Introducción al

Cálculo

Funciones Trigonométricas

Ing. Santiago Figueroa Lorenzo santiagofigueroalorenzo@gmail.com

Conceptos a conocer UNIDAD I. PlANO CARTESIANO

2- Funciones:

• Funciones Trigonométricas

Objetivos

Análisis de las funciones trigonométricas

Bibliografía

Cálculo con Geometría Analítica, Denis Zill.

Funciones

Trigonométricas Las funciones seno y coseno de un ángulo t, se denotan por

cos 𝑡 y 𝑠𝑒𝑛 𝑡, y se puede interpretar de dos maneras:

1- Como las coordenadas 𝑥 y 𝑦 de un punto en un circuito unitario

Funciones

Trigonométricas 2- Como el cociente de las longitudes de lados de un triángulo rectángulo

Medidas de Ángulos

Medidas en grados Medidas en radianes

Medidas de Ángulos Ejemplo

Realizar las siguientes conversiones:

Tabla de Conversiones

Angulares

Medidas angulares

• Los ángulos que se miden en dirección contraria a las manecillas

del reloj tienen medida positiva

• Los ángulos que se miden en la misma dirección de las manecillas

del reloj tienen medidas negativas

Ángulo Normal: Ángulo que parte del

eje x positivo

Ángulos Coterminales

• Dos ángulos en Posición Normal son Coterminales si tienen el mismo

lado terminal

𝜋

4 −

7𝜋

4 y

Son coterminales

Funciones

Trigonométricas

Adicionales

Valores Numéricos

Valores Numéricos

Valores Numéricos Ejemplo

Obtener las funciones trigonométricas adicionales

Algunas Identidades

Básicas Como los ángulos 𝑡 y 𝑡 + 2𝜋 son coterminales , por tanto los valores de la

función sin 𝑡 y cos 𝑡 se repiten cada 2𝜋 radianes

Identidad Fundamental

𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = (𝑠𝑒𝑛 𝑡)2

𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠 𝑡)2

𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑡

𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡

(𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = 1) 𝑠𝑒𝑛2 𝑡

Identidad Fundamental Dividiendo la identidad fundamental entre sen2 𝑡

𝑠𝑒𝑛2 𝑡

𝑠𝑒𝑛2 𝑡+𝑐𝑜𝑠2 𝑡

𝑠𝑒𝑛2 𝑡=

1

𝑠𝑒𝑛2 𝑡

Dividiendo la identidad fundamental entre 𝑐𝑜𝑠2 𝑡

(𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = 1) 𝑐𝑜𝑠2 𝑡

𝑠𝑒𝑛2 𝑡

𝑐𝑜𝑠2 𝑡+𝑐𝑜𝑠2 𝑡

𝑐𝑜𝑠2 𝑡=

1

𝑐𝑜𝑠2 𝑡

1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑡 = csc2 𝑡

1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 = sec2 𝑡

Otras Identidades

Gráficas de las Funciones

Trigonométricas

Gráficas de las Funciones

Trigonométricas

Análisis de las Gráficas Las gráficas revelan la naturaleza periódica de las funciones

trigonométricas

𝑦 = sin 𝑥

• Es periódica en el intervalo de 0 ; 2𝜋

• Se repite cada 2𝜋 unidades

• Tiene amplitud 1

𝑦 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 𝑘 > 0

• Tiene amplitud 𝐴

• Período 2𝜋 𝑘

Ejemplos Comparar las gráficas 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 = −2 𝑠𝑒𝑛𝑥

Ejemplos Trazar las gráfica 𝑦 = cos 4𝑥

coscot csc

1 cos

senx xx x senx

x

Primer ejercicio: Establece si la siguiente expresión es o no es identidad

Ejercicios de Identidades

Trigonométricas

cos cos 1

1 cos

senx x xsenx

x senx senx

2 2cos cos 1 cos 1

1 cos

sen x x x x sen x

x senx senx

2 2 2cos cos cos cos

1 cos

sen x x x x x

x senx senx

2 2 2cos cos cos cos

1 cos

sen x x x x x

x senx senx

2 2 2cos 1 cos cos

1 cos

x sen x x x

x senx senx

Cambiamos cotx y cscx por sus respectivas equivalencias

Realizamos suma de fraccionarios a ambos lados de la igualdad.

Efectuamos propiedad distributiva en cos 1 cosx x

Analizando el numerador, se debe buscar un modo de eliminar la

expresión . 2sen xEsta es una forma, pero pueden existen otras maneras de hacerlo.

Aquí agrupamos los dos primeros términos.

¡Se factoriza!, pues existe un FACTOR COMÚN en la expresión del paréntesis

arriba. 2 cos cossen x x x

2 2cos 1 cos cos

1 cos

x x x

x senx senx

2 2cos cosx x

senx senx

3 2 2cos cos cos

1 cos

x x x

x senx senx

2 3 2cos cos cos

1 cos

x x x

x senx senx

2 2 2cos cos cos cos

1 cos

x x x x

x senx senx

Cambiamos la expresión por 2 1sen x 2cos x

Multiplicamos los dos primeros términos 2cos cosx x

Ordenamos o cambiamos el orden para ver las cosas mejor…

Nuevamente factorizamos el numerador de la izquierda

Y simplificando la expresión anterior, finalmente concluimos que

!!!ES IDENTIDAD¡¡¡

Segundo ejercicio: Establece si la siguiente expresión es o no es identidad

cos tan2 tan

cos

senx x xx

x

Ejercicios de Identidades

Trigonométricas

cos

1 1 cos 2 tancos

senx x senx

x xx

2 tancos

senx senxx

x

22 tan

cos

senxx

x

2tan 2tanx x

Cambiamos la expresión tanx por su equivalente

Simplicando la expresión nos queda senx. cos

1 cos

x senx

x

Sumando…

!!!ES IDENTIDAD¡¡¡