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PROBLEMA 1 Para la configuración de cargas de la figura, calcular:

a) El potencial eléctrico exacto en puntos del eje z (z > 0).

b) El momento dipolar y el tensor momento cuadrupolar de la distribución de carga.

c) La expresión aproximada del potencial eléctrico en un punto P(r,θ,φ) arbitrario,

siendo r >>a, b.

d) La expresión aproximada del campo eléctrico en puntos r>>a,b

PROBLEMA 2 Un condensador cilíndrico de radio interior a, radio exterior b y longitud L (L>>b) está conectado a una batería que mantiene una diferencia de potencial Vo entre sus armaduras. El interior del condensador está relleno de un dieléctrico de permitividad ε =εor/a. Calcular:

a) Los campos D, E y P.

b) La carga libre y la capacidad del condensador.

c) Las densidades de carga de polarización (ligada). Comprobar la neutralidad del dieléctrico.

d) La energía eléctrica almacenada en el condensador.

Soluciones - Parcial de Electrostatica

20 de noviembre de 2012

Problema 1

Apartado a.

El potencial electrico creado por una carga puntual q situada en ~ri en un punto situado en

~r, a una distancia |~r − ~ri|, de la carga puntual viene dado por:

V (~r) =1

4πε0

q

|~r − ~ri|

Llamamos V1 al potencial creado por la carga situada en z = a, V2 al creado por la situada

en z = −a y V3 al creado por la situada en z = b. El potencial en un punto del eje z vendra dado

por:

V (z) = V1 + V2 + V3 =1

4πε0

q

|z − a|+

1

4πε0

q

|z + a|+

1

4πε0

Q

|z − b|

Apartado b.

Para calcular el momento dipolar ~p, necesitamos conocer el vector de posicion de cada una

de las cargas: ~r1 = a~k, ~r2 = −a~k, ~r3 = b~k. Por tanto:

~p =∑i

qi~ri = qa~k + q(−a)~k +Qb~k = Qb~k

Como tiene simetrıa axial, para calcular las componentes del tensor cuadrupolar basta con

calcular Qzz.

Entonces :

Qzz =∑

qn(3z2n − r2n

)= q

(3a2 − a2

)+ q

(3a2 − a2

)+Q(3b2 − b2) = 4qa2 + 2Qb2

Tenemos que Qxx = Qyy = −Qzz2 = −2qa2 −Qb2.

Ademas, Qxy = Qxz = Qyz = 0.

Por tanto:

Qxy = 2qa2 +Qb2

−1 0 0

0 −1 0

0 0 2

Apartado c.

Para el termino monopolar necesitamos Qtotal = 2q +Q. Por tanto:

V1 =2q +Q

4πε0r

El termino dipolar viene dado por:

V2 =~p · ~r

4πε0r3=Qb~k · ~r4πε0r3

=Qbz

4πε0r3=Qb cos θ

4πε0r2

Para expresar el termino cuadrupolar del potencial, podemos tener en cuenta que la distri-

bucion de carga tiene simetrıa axia.

Por tanto:

V3 =Qzz4πε0

3 cos2 θ − 1

4r3=

2qa2 +Qb2

8πε0r3(3 cos2 θ − 1)

Apartado d.

El campo electrico vendra dado por ~E = −∇V .

En este caso es mucho mas sencillo trabajar en coordenadas esfericas y, por tanto, podemos

expresar el campo electrico como ~E = Er ~ur + Eθ ~uθ + Eφ ~uφ. Calculamos las tres componentes

de ~E:

Er = −∂V∂r

= −∂V1∂r− ∂V2

∂r− ∂V3

∂r=

2q +Q

4πε0r2+Qb cos θ

2πε0r3+

(6qa2 + 3Qb2)(3 cos2 θ − 1)

8πε0r4

Eθ = −1

r

∂V

∂θ= −1

r

∂V2∂θ− 1

r

∂V3∂θ

=Qb sin θ

4πε0r3+

3(2qa2 +Qb2) cos θ sin θ

8πε0r4

Eφ = − 1

r sin θ

∂V

∂φ= 0

2

Problema 2

Apartado a.

Los campos ~E, ~D y ~P son cero fuera del condensador. Por tanto, podemos reducir el calculo

al interior del condensador. Al conectarlo a una diferencia de potencial V0, aparece una carga

Q en r = a y una carga −Q en r = b.

Aplicando el teorema de Gauss a un cilindro de radio r (a < r < b), tenemos que:∮s

~D d~S = Qencerrada

Como ~D y d~S son vectores paralelos y, ademas, | ~D| es constante sobre S, podemos escribir:

D · 2πrL = Q → D =Q

2πrL=

λ

2πr→ ~D =

λ

2πr~ur

Tenemos que ~D = ε ~E. Por tanto:

~E =λa

2πε0r2~ur

Calculamos la diferencia de potencial entre los extremos del condensador:

V0 = Va − Vb = −∫ a

bE dr = −

∫ a

b

λa

2πε0r2dr =

λa

2πε0

(1

a− 1

b

)=λ(b− a)

2πε0b

Por tanto:

λ =2πε0bV0b− a

Y, por tanto:

~D =ε0bV0

(b− a)

1

r~ur ~E =

abV0(b− a)

1

r2~ur

Por ultimo:

~P = ~D − ε0 ~E =λ

2π

(1

r− a

r2

)=

ε0bV0r(b− a)

(1− a

r

)Apartado b.

La carga libre la hemos calculado en el apartado anterior:

Q = λL =2πε0bLV0b− a

Para calcular la capacidad, podemos tener en cuenta que Q = C|V |. Es importante tener en

cuenta que la capacidad tiene que ser siempre un numero positivo.

C =Q

|V |= λL =

2πε0bL

b− a

Apartado c.

3

La densidad de carga superficial de polarizacion se calcula a partir de σP = ~p~n, donde ~n es

un vector normal a la superficie del dielectrico y hacia fuera del mismo. Por tanto, en r = a

tenemos que ~n = − ~ur y en r = b tenemos que ~n = ~ur.

σp(a) = −∣∣∣~P (a)

∣∣∣ = 0

σp(b) =∣∣∣~P (b)

∣∣∣ =ε0V0b

Y la densidad de carga de polarizacion de volumen:

ρp(r) = −∇P = −1

r

∂

∂rrPr = − 1

r2∂

∂r

[ε0bV0

(b− a)

(1− a

r

)]= − 1

r3ε0abV0(b− a)

Para comprobar la neutralidad del dielectrico, calculamos la carga total de polarizacion:

Qsupp = σ(b)2πbL = 2πε0V0

Qvolp =

∫ b

aρp dV = −

∫ b

a

1

r3ε0abV0(b− a)

dV = −2πε0V0

Puede comprobarse que Qp = Qsupp +Qvol

p = 0

Apartado d.

La energıa almacenada por un condensador puede calcularse directamente como:

U =1

2QV = λL =

πε0bLV20

b− a

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