Post on 18-Feb-2018
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 1/12
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
FORMA INTEGRAL.
LEY DE CONTINUIDAD
Sea v1 la velocidad de la partícula en el punto 1, y v
2 la velocidad de
la partícula en el punto 2, con A1 y A
2 las secciones trasversales de los
tubos, perpendiculares a las líneas de corriente. Si el tubo es estrechov
1
y v2 son uniformes en A
1 y A
2 respectivamente.
En un intervalo de tiempo dt , un elemento de uido recorrerá una
distancia v dt por lo que el tiempo dt pasará por A1 la masa del
uido
d m1= ρ
1∗ A
1∗v
1dt
Donde ρ1 es la densidad del uido al pasar por la secci!n 1. El u"o de la
masa o caudal másico se de#ne como la masa que atraviesa una secci!n enla unidad del tiempo, y viene dado por
Q=d m
1
dt = ρ
1 A
1v
1
Donde se considera implícitamente que un intervalo in#nitidecimal detiempo ni A ni v varian apreciablemente en el recorrido del uido
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 2/12
vdt . el caudal másico atraves de la secci!n A1 es ρ
1 A
1v
1 y atraves
de la secci!n 2 A2 es ρ
2 A
2v
2
$on las partículas del u"o no pueden atravesar las paredes del tubo delu"o debe cumplirse que, si el r%&imen es permanente o estacionario y nohay fuentes ni sumideros de partículas, ambos caudales másicos han de seri&uales.
Qm= ρ1 A
1v1=¿Qm= ρAv=cte
' análo&amente para cualquier otra secci!n ( perpendicular al tubo deu"o, por lo que esta ley de conservaci!n de la masa o ecuaci!n decontinuidad se puede escribir simplemente como
ρAv=cte
( trav%s de cualquier secci!n del tubo del u"o perpendicular al mismo enr%&imen estacionario.
)ara el caso particular el u"o incomprensible ρ no depende del punto y
esta ecuaci!n de continuidad puede escribirse como
A1
v1= A
2v
2=¿Q= Av=cte.
Donde * es el caudal o volumen que atraviesa la secci!n en la unidad detiempo.
)or e"emplo, en una canali+aci!n por la que circula el uido incompresible,
se tiene la sencilla relaci!n S1
v1=S
2v2 , que da para la relaci!n entre
velocidades.
v2=
S1
S2
v1
En todo el cálculo anterior hemos considerado implícitamente que la
velocidad v es uniforme en cada secci!n. Esto no es cierto en el caso
&eneral, pero la ecuaci!n de continuidad si&ue siendo válida en las mismascondiciones si la densidad es uniforme en la secci!n y en ve+ de lavelocidad se utili+a la velocidad promedio en la secci!n.
v=
1
A∫ A
❑
vdA
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 3/12
FORMA DIFERENCIAL.
Estudiaremos la conservaci!n de la masa en un prisma in#nitidesimal de
arista dx,dy,dz #"o en el espacio. El caudal másico que atraviesa la caraperpendicular al e"e y de la i+quierda es
d Qm y= ρ v y d A y= ρ v y dxdz
ientras que en el caudal másico que atraviesa la cara perpendicular al e"e
y de la derecha (ay+dy ) es
d Qm y+dy= ρ v y d A y+
∂
∂ y [ ρ v y d A y ] dy=[ ρ v y+
∂
∂ y [ ρ v y ] dy
]dxdz
De este modo, el caudal másico neto a trav%s de las caras perpendicularesal e"e y es
Qm y
neto=Qm y−Qmy+dy=−∂
∂ y
( ρ v y ) dxdydz
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 4/12
-na epresi!n similar se obtiene para los caudales másicos netos a trav%sde las caras perpendiculares al e"e ,
Qm x
neto=Qm x−Qm x+dx=−∂
∂ x
( ρ v x) dx dydz
' otra para los caudales másicos netos a trav%s de las caras perpendicularesal e"e +
Qm z
neto
=Qm z−Qmz +dz=−∂
∂ z ( ρ v z ) dx dydz
Si tenemos en cuenta que la masa total contenida en el prisma es
dm= ρdV = ρdxdydz , el caudal másico total tambi%n puede ser
d Qtotal
neto= ∂
∂t ( ρdV )
*ue presenta la velocidad con que varia la masa en el punto #"o del espacioen que estamos considerando el elemento de volumen. Este caudal másico
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 5/12
debe ser a su ve+ la suma de los caudales másicos a trav%s de las carasperpendiculares a cada una de las direcciones , y, +.
dQtotal
neto= ∂
∂ t ( ρ v y )=
∂ p
∂t dxdydz=[−∂
∂ x
( ρ v x)− ∂
∂ y
( ρ v y)− ∂
∂ z
( ρ v z )]dx dydz
/a parte entre los corchetes no es más que menos la diver&encia de ρ v
por la epresi!n anterior se puede escribir como
∂ p
∂t =−∇ ( ρ v )
∂ p
∂t
+∇ ( ρ v )=0
*ue es la epresi!n de la continuidad en forma diferencial. )ara el caso
particular de un uido incomprensible, la densidad ρ no depende de la
posici!n ni el tiempo y la ecuaci!n de continuidad queda como ∇ v=0
En r%&imen estacionario, la densidad en un punto no cambia con el tiempo,
por lo que∂ p
∂t =0 y la ecuaci!n de continuidad queda ∇ ( ρ v )=0
ECUACION DE BERNOULLI.
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 6/12
$onsideremos la ecuaci!n de euler 0 ∇ x v=0¿ para el caso particular de
u"o estaionario en el que∂v
∂ t
=0 y recordemos que el u"o estacionario,
las trayectorias reales de las partículas 0la senda tiene lu&ar a l lar&o de las
líneas de u"o. ultiplicando escalarmente la ecuaci!n ∇ x v=0 por v
por lo tanto queda
∇ x v { p
ρ+1
2v
2+Φ}=0
Si consideramos un sistema de e"es coordenados que tiene uno de ellos
0denomin%mosle
xv
diri&ido a lo lar&o de una línea de u"o y otros dos endirecciones perpendiculares, la nica componente del &radiente que no seanula en el producto escalar es precisamente la componente en la direcci!ndel u"o, quedando la ecuaci!n anterior en la forma
v ∂
∂ xv{ p
ρ+1
2v2+Φ}=0
∂
∂ xv
{ p
ρ+1
2v
2+Φ}=0
Esta ecuaci!n nos dice que a lo lar&o de una línea de corriente el t%rminoentre corchetes debe ser constante,
p
ρ+1
2v
2+Φ=cte enunalinea de flujo
$onoci%ndose e esta epresi!n como ecuaci!n de 3ernoulli. Esta ecuaci!nes válida a lo lar&o de una línea de u"o para un u"o estacionario e
incomprensible que conserva la ener&ía. /a constante será en &eneraldistinta para distintas líneas de u"o.
-n caso particular interesante se tiene cuando el u"o es ademásirrotacional. En este caso la vorticidad es nula en cualquier punto del u"o y
la ecuaci!n ∇ x v=0 queda como
∇{ p
ρ+1
2v
2+Φ}=0
De donde se deduce que en este caso particular el u"o irrotacional
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 7/12
p
ρ+1
2v
2+Φ=cteenel flujo
)ara puntos en cualquiera de las líneas de u"o. Si como es habitual la nicafuer+a de masa que acta sobre el uido es la atracci!n &ravitatoria,
Φ=gz y la ecuaci!n de bernoulli queda
p
ρ+1
2v2+gz=cte
4, escrito en forma habitual,
p+ ρgz+1
2 ρv
2=cte
4 tambi%n como
Esta ultima forma cada uno de los elementos de la ecuaci!n de 3ernoullitiene dimensiones de lon&itud. 5ísicamente eso representa ener&ías porunidad de peso del uido. (demás, cada uno de los sumandos de
p ρg
+ z+ v2
2g=cte recibe un nombre especial,
p
ρg Es la altura de presi!n. 6epresenta la ener&ía por unidad de peso
debida a las fuer+as de presi!n.
z Es la altura &eom%trica y representa la ener&ía potencial &ravitatoria
del uido por unidad de peso.
v2
2 g Es la altura de la velocidad o altura cin%tica y representa la ener&ía
cin%tica por unidad de peso del uido en un punto.
/a suma de las alturas de presi!n y &eom%trica p
ρg+ z recibe el nombre
de altura pie+om%trica y corresponde a la altura que alcan+aría el liquido enun tubo vertical abierto a la atmosfera 0pie+!metro colocado en ese lu&ar
del u"o. ( sí mismo de denomina altura total a la suma de los tres
p
ρg+ z+
v2
2g=cte
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 8/12
elementos de la ecuaci!n de bernoulli, correspondiendo a la ener&ía totalpor unidad de peso del uido.
OBTENCION ATRAVES DE LA CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
7eamos como la ley de conservaci!n de ener&ía relaciona la altura del u"o,el m!dulo de la velocidad del u"o y la presi!n para puntos que seencuentran a lo lar&o de una línea de u"o. )ara ello consideraremos untubo de u"o estrecho alrededor de la línea de u"o considerada, como semuestra en la #&ura anterior. De este modo la velocidad en las seccionestrasversales del tubo del u"o puede ser considerada uniforme.
En primer lu&ar hallaremos el traba"o reali+ado en un intervalo de tiempo
dt sobre el uido que en la re&i!n limitada por las secciones A1 y A
2 y
el tubo de corriente. El uido que se encuentra a la i+quierda de la super#cie A
1 e"erce sobre esta una fuer+a p1 A
1, perpendicular a la super#cie. En
l intervalo de tiempo dt esta fuer+a reali+ará un traba"o
F 2
d x2=− p
2 A
2v2
dt
)or lo que el traba"o total reali+ado sobre el uido es
δW = p1 A1 v1 dt − p2 A2 v2 dt ,
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 9/12
Epresi!n válida para cualquier tipo de uido. )ara el caso concreto de unuido incompresible, se cumple
v1 A
1=v
2 A
2, po lo !uela expe"i#n anteio puede e"ci$i"e como
δW =( p1− p2 ) v
1 A
1dt =( p1− p
2) v2 A
2dt
4 simplemente como
δW =( p1− p
2 ) dV
Donde dV es el volumen de elemento in#nitidesimal.
Este traba"o reali+ado sobre el uido debe traducirse en un aumento de
ener&ía total. (sí, hay un cambio de ener&ía cin%tica en la re&io A1− A1
%
que se acaba de abandonar en la re&i!n A2− A2
%
que acaba de ocupar, y
tambi%n un cambio de ener&ía potencial. En el volumen dV , que al ser
incompresible, es el mismo en las dos re&iones la masa es ρdV , la
ener&ía potencial es gzdm 0con + la altura del punto y la ener&ía cin%tica
1
2v
2dm . El cambio en la ener&ía total queda entonces como
d& =[ g z2
dm+1
2v
2
2dm]−[g z
1dm+
1
2v
1
2dm]
' debe ser i&ual al traba"o reali+ado sobre el uido, d& =δW , ya que no
se produce ni disipaci!n ni otro tipo de intercambio de calor.
d& =[ g z2
dm+1
2v
2
2dm]−[g z
1dm+
1
2v
1
2dm]=δW =( p1
− p2 ) dV =( p
1− p
2)
dm
ρ
*ue al simpli#car queda
p1− p
2= ρg z
2+1
2 ρ v
2
2− ρg z1−
1
2 ρ v
1
2
4 escrito en forma habitual.
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 10/12
p1+ ρg z
1+1
2 ρ v
1
2= p2+ ρg z
2+
v2
2
2g=cte,
Epresi!n conocida como ecuaci!n de bernoulli, valida a lo lar&o de una
línea de u"o para u"o que conserva la ener&ía, estacionario en un u"oincomprensible.
'a se ha comentado en la secci!n anterior en el si&ni#cado físico de cadauno de los t%rminos que aparecen en la Ecuaci!n de 3ernoulli
$uando el u"o es irracional, esta epresi!n es válida entre dos puntos de unmismo tubo de u"o, y no solamente entre puntos de la misma línea de u"o.
EFECTO VENTURI. VENTURIMETRO.
El efecto 7enturi es una consecuencia inmediata de la ecuaci!n decontinuidad y de la ecuaci!n de 3ernoulli. $onsideremos dos puntos ( y 3 a
la misma ltura, pero con distintas secciones S A y S' . la ecuaci!n de
3ernoulli nos da
p A+1
2 ρ v A
2
= p'+1
2 ρ v'
2
*ue implica, al ser S A>S'
p'+ p( =1
2 ρ (v '
2−v( 2 )=1
2 ρ v '
2 (1− S'
2
S A
2 )❑
>0.
$omo se ve, la presi!n es más d%bil donde la velocidad es mayor, es decir,
donde la secci!n es menor.
-na aplicaci!n inmediata de este efecto es el denominado venturimetro.$onsiste en un calibrador colocado en una tubería para medir la velocidaddel u"o de un líquido. Despe"ando la velocidad de la ecuaci!n se tiene
v '
2=
2( p'− p( )
ρ ∗S A
2
S A
2−Sa
2
*ue da
p+ z+
v2
2=cte 8
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 11/12
v A
2=S'
2
S A
2 v'
2=
S '
2
S A
2∗2( p'− p( )
ρ ∗S A
2
S A
2−Sa
2
6esultando #nalmente, para la velocidad del u"o.
4tra aplicaci!n de este efecto es la denominada trompa de a&ua, que seutili+a para hacer ba"os de vacios de forma limpia.
Este mismo efecto se utili+a tambi%n en pulveri+adores.
v A= 2 S'
2 ( p A− p')
S2−S
2 =S'
ρ% g )2
S2−S
2
7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx
http://slidepdf.com/reader/full/deduccion-de-la-ley-de-continuidad-y-bernoullidocx 12/12