Ingeniería en Mantenimiento Industrial

Materia: Ecuaciones Diferenciales

Profesor: Emmanuel Huerta

Contenido programático

UNIDADES TEMÁTICASHORAS

PRÁCTICAS TEÓRICAS TOTALES

I. Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales

5 5 10

II. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

10 5 15

III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior

10 10 20

IV. Transformada de LAPLACE 10 5 15

V. Series de FOURIER 10 5 15

TOTALES 45 30 75

Unidad Temática I.- Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales

Objetivo

Comprender qué es una ecuación diferencial, su origen, sus tipos, su solución y su interpretación en problemas de ingeniería, para modelar sistemas electromecánicos, mediante el estudio de casos.

Temas

Definiciones y terminología

Teorema de existencia y unicidad

Problemas de valor inicial y condiciones de frontera

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

Unidad Temática II.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Objetivo

El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden, para su aplicación a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante las técnicas básicas de solución y el uso de software para matemáticas.

Temas

Ecuaciones de variables separables

Ecuaciones exactas

Solución de ecuaciones por sustitución

Ecuaciones lineales y de Bernoulli

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Unidad Temática III.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior

Objetivo

El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones diferenciales de orden superior, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante el análisis de los casos más representativos.

Temas

Ecuaciones homogéneas y no homogéneas

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes indeterminados.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Unidad Temática IV.- Transformada de Laplace

Objetivo

El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales a través de transformadas de Laplace, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante la compresión de los conceptos básicos.

Temas

Definición de la transformada de Laplace

Transformada inversa

Teoremas de traslación y derivadas de una transformada.

Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas.

Aplicaciones.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Unidad Temática V.- Series de Fourier

Objetivo

El alumno utilizará las series de Fourier en el modelado y análisis de problemas relacionados con el mantenimiento industrial, en particular en estudios de calidad de la energía y vibraciones, mediante la comprensión de los conceptos básicos.

Temas

Series de Fourier

Series de Fourier de senos y cosenos

Aplicaciones.

Evaluación

• Examen 25% Saber

• Tareas 40%• Exposición 25%Hacer

• Actitud 10%Ser

Bibliografía recomendada

Autor Año Título del Documento Ciudad País Editorial

D.G. Zill (2002)Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones

Madrid España Iberoamericana

E.D. Rainville

(1999)Ecuaciones diferenciales elementales

México México Trillas

Bronson/ Costa

(2008) Ecuaciones diferenciales México México McGraw-Hill

Simmons (2007)Ecuaciones diferenciales (Teoría, Técnica y Práctica)

México México McGraw-Hill

Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales Funciones: Cuando dos variables están

relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera esta en función de la segunda.

Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras.

Una Ecuación Diferencial (ED) es una expresión matemática que involucra al menos una derivada de una función desconocida.

Las ecuaciones diferenciales aparecen frecuentemente en física, ingeniería, química y ocasionalmente en economía y psicología.

Las siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:

0232

2

ydxdy

dxyd

ydtdy

𝒅𝟑𝒙𝒅𝒚𝟑 +𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒚−𝟒 𝒙𝒚=𝟎

Notaciones

Notación de Leibniz: , , ,...

Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...

Notación de Newton: ...,,,

......

xxx

En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente:

5 ey dx

dy x𝑑𝑦𝑑𝑥

=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Clasificación de las ecuaciones diferencialesLas ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:

TIPO.

ORDEN.

Grado.

LINEALIDAD.

Clasificación por tipo Si una ecuación diferencial contiene sólo

derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO).

nteIndependieVariableeDependientVariable

dxdy

__

Algunos ejemplos de EDO:

03

2

2

2

ydxdy

dxyd

eydxdy x

Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

yv

xu

tu

tu

xu

yu

xu

2

2

2

2

2

2

2

2

0

Clasificación según el orden

El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.

La ecuación:

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

xeydx

dy

dx

yd

22

3

2

2

Ejemplos

04)( xdydxxy

02 yyy

xeydxdy

xdx

yd 53

3

EDO de Primer orden

EDO de Segundo orden

EDO de Tercer orden

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos da el orden de la ecuación diferencial.

La EDO mostrada es de tercer grado, porque la segunda derivada es la de mayor orden y esta elevada al cubo

xeydxdy

dxyd

45

3

2

2

La ED anterior es de segundo orden y primer grado, dado que la segunda derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada a la potencia uno.

Ejemplo:

NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.

EjerciciosDeterminar el grado de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

735 25

2

22

4

4

x

dx

dy

dx

yd

dx

yd

3

2

22

6

2

2

7

dx

ydx

dx

dyx

dx

yd

Ejercicios

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

b)

c)

d)

ydxdy

xdx

yd533

3

5

3

33

3

3

818

dx

ydx

dx

yd

dx

dy

53

3

2

2

3dx

ydx

dx

yd

dx

dyx

dx

yd85

3

3

𝑎𝑛 (𝑥 ) 𝑑𝑛 𝑦𝑑𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 (𝑥 ) 𝑑

𝑛− 1 𝑦𝑑𝑥𝑛−1 +…….+𝑎1 (𝑥 ) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑎0 (𝑥 ) 𝑦=𝐹 (𝑥 )

Linealidad

Una ecuación diferencial lineal es aquella en la que:

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.

b) Cada coeficiente de y y sus derivadas dependen solamente de la variable independiente x, o es una constante, es decir tiene la forma: