EJERCICOS RESUELTOS DE CONJUNTOS CONVEXOS

Representar los siguientes conjuntos de R2 e indicar cuáles son convexos;

a. S1= {( x , y )∈R2/ x2+ y2≤4 }

Solución

Si lo hacemos gráficamente, representemos el conjunto. Para ello dibujamos el límite x2+ y2=4=22 (circunferencia de radio 2).

Definimos la expresión:x2+ y2=4

Y lo representamos como aparece:

Ahora determinemos en que lado de la circunferencia se sitúa el conjunto.

Tomemos un punto fuera de la circunferencia, por ejemplo (3,3). Y comprobemos si cumple la condición que impone el conjunto este punto.

32+32=9+9=18≤ 4

Evidentemente no la cumple y por lo tanto el conjunto se sitúa hacia adentro de la circunferencia.

Tomemos los puntos (1, -1) y (2,0) que pertenecen al conjunto según lo muestra la siguiente gráfica y segmento que los une queda totalmente contenido en el círculo. Así gráficamente para cualquier par de puntos (x, y) de S1 , el segmento que los está

totalmente contenido en dicho conjunto.

Por lo tanto el conjunto S1 es convexo.

b. S1= {( x , y )∈R2/ x2+ y2≥4 }

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Solución

Representemos gráficamente el conjunto. Para ello dibujamos el límite x2+ y2=4=22 (circunferencia de radio 2).

Definimos la expresión:x2+ y2=4

Y su gráfica es como aparece a continuación:

Ahora determinemos en que lado de la circunferencia se sitúa el conjunto.

Tomemos un punto fuera de la circunferencia, por ejemplo (1,-1). Y comprobemos si cumple la condición que impone el conjunto este punto.

12+(−1)2=1+1=2≤4

Evidentemente no lo cumple y por lo tanto el conjunto se sitúa hacia afuera de la

circunferencia, representado con el color azul.

Tomemos los puntos (-2, 1) y (2,1) que pertenecen al conjunto según lo muestra la siguiente gráfica y segmento que los une queda totalmente contenido en el

círculo. Así gráficamente para cualquier par de puntos (x, y) de S1 , el segmento que los

une no está totalmente contenido en dicho conjunto. Por lo tanto el conjunto S1 NO es convexo.

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