Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 1

Exercicis

Variable aleatòria

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 2

Propietats de l'esperança i la variància d'una variable aleatòria discreta

Propietats de l'esperança

)X(kE)kX(E

)Y(E)X(E)YX(E

k)k(E

Propietats de la Variància

)X(Vk=)kX(V

0=)k(V2

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 3

Exercici 1

a) E(Y) = E(3X+6) = E(3X)+E(6) = 3E(X) + 6 = 3·3 + 6 = 15

X: E(X)=3 V(X)=2

Y=3X+6

b) V(Y) = V(3X+6) = V(3X)+V(6) = 9V(X) = 9·2 = 18

c) DE(Y) = = = 4’24 V(Y) 18

d) CV(Y) = DE(Y)/E(Y) = 4’24/15 = 0,28

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 4

Variables aleatòries discretes

Funció de probabilitat: Es una funció que associa a cada resultat

possible de la variable discreta X la probabilitat de aquest resultat

P(x)=P(X=x)

Funció de distribució de probabilitat F(x)=P(X≤x)

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 5

Exercici 2

x 0 1 2 3 4 5 6

F(x) 0’1 0’2 0’3 0’6 0’8 0’9 1

b) P(X≤3) = F(3) = 0’6

c) P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1- 0’1 =0’9

d) P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X ≤ 4) - P(X ≤ 1) = F(4) – F(1) = 0’8 – 0’2 = 0’6

x 0 1 2 3 4 5 6

F(x) 0’1 0’2 0’3 0’6 0’8 0’9 1

P(x) 0’1 0’1 0’1 0’3 0’2 0’1 0’1

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 6

Exercici 2

)x(Px=)X(Extot

∑

x 0 1 2 3 4 5 6

F(x) 0’1 0’2 0’3 0’6 0’8 0’9 1

P(x) 0’1 0’1 0’1 0’3 0’2 0’1 0’1

E(X) = 0·0’1 + 1·0’1 + 2·0’1 + 3·0’3 + 4·0’2 + 5·0’1 + 6·0’1 = 3’1

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 7

Qualsevol variable aleatòria X que representi el nombre d'èxits en n proves idèntiques i independents, amb probabilitat d'èxit p constant d'una prova a l'altre, se'n diu una variable aleatòria binomial amb paràmetres n i p.

X~B(n,p)

Variable aleatòria binomial

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 8

Variable aleatoria binomial

Funció de probabilitat

xnxnx )p(p)xX(P --1

pn)X(E)p,n(B:X ·

Esperança o mitjana

ppn)X(V -1 ·

Variància

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 99

Exercici 3

Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4)

X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9)

Funció de probabilitat xnxn

x )p(p)xX(P --1

TAULES

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 10Bioestadística FMCS Reus Curs 2012-13 URV 10

Probabilitats binomials exactes

P{X = x} =

x

npx (1 – p)n – x n = 1, 2, ...,10

n x \ p .01 .05 .10 .15 .20 .25 .30 1/3 .35 .40 .45 .49 .50 2 0 .9801 .9025 .8100 .7225 .6400 .5625 .4900 .4444 .4225 .3600 .3025 .2601 .2500

1 .0198 .9050 .1800 .2550 .3200 .3750 .4200 .4444 .4550 .4800 .4950 .4998 .5000 2 .0001 .0025 .0100 .0225 .0400 .0625 .0900 .1111 .1225 .1600 .2050 .2401 .2500 3 0 .9703 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2963 .2746 .2160 .1644 .1327 .1250

1 .0294 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4444 .4436 .4320 .4084 .3823 .3750 2 .0003 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2222 .2389 .2880 .3341 .3674 .3750 3 .0000 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0370 .0429 .0640 .0911 .1176 .1250 4 0 .9606 .8145 .6561 .5220 .4096 .3164 .2401 .1975 .1785 .1296 .0915 .0677 .0625

1 .0388 .1715 .2916 .3685 .4096 .4219 .4116 .3951 .3845 .3456 .2995 .2600 .2500 2 .0006 .0135 .0486 .0975 .1536 .2109 .2646 .2963 .3105 .3456 .3675 .3747 .3750 3 .0000 .0005 .0036 .0115 .0256 .0469 .0756 .0988 .1115 .1536 .2005 .2400 .2500 4 .0000 .0000 .0001 .0005 .0016 .0039 .0081 .0123 .0150 .0256 .0410 .0576 .0625 5 0 .9510 .7738 .5905 .4437 .3277 .2373 .1681 .1317 .1160 .0778 .0503 .0345 .0312

1 .0480 .2036 .3280 .3915 .4096 .3955 .3602 .3292 .3124 .2592 .2059 .1657 .1562 2 .0010 .0214 .0729 .1582 .2043 .2637 .3087 .3292 .3364 .3456 .3369 .3185 .3125 3 .0000 .0011 .0081 .0244 .0512 .0879 .1323 .1646 .1811 .2304 .2757 .3060 .3125 4 .0000 .0000 .0004 .0022 .0064 .0145 .0284 .0412 .0488 .0768 .1128 .1470 .1562 5 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0010 .0024 .0041 .0053 .0102 .0185 .0283 .0312 6 0 .9415 .7351 .5314 .3771 .2621 .1780 .1176 .0872 .0754 .0467 .0277 .0176 .0156

1 .0571 .2321 .3543 .3993 .3932 .3560 .3025 .2634 .2437 .1866 .1359 .1014 .0938 2 .0014 .0305 .0984 .1762 .2458 .2966 .3241 .3292 .3280 .3110 .2780 .2437 .2344 3 .0000 .0021 .0146 .0415 .0819 .1312 .1852 .2195 .2355 .2765 .3032 .3121 .3125 4 .0000 .0001 .0012 .0055 .0154 .0330 .0592 .0823 .0951 .1382 .1861 .2249 .2344 5 .0000 .0000 .0001 .0004 .0015 .0044 .0102 .0165 .0205 .0369 .0609 .0864 .0938 6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0002 .0007 .0014 .0018 .0041 .0083 .0139 .0156 7 0 .9321 .6983 .4783 .3206 .2097 .1335 .0824 .0585 .0490 .0280 .0152 .0090 .0078

1 .0659 .2575 .3720 .3960 .3670 .3115 .2471 .2048 .1848 .1306 .0872 .0603 .0547 2 .0020 .0406 .1240 .2097 .2753 .3115 .3177 .3073 .2985 .2613 .2140 .1740 .1641 3 .0000 .0036 .0230 .0617 .1147 .1730 .2269 .2561 .2679 .2903 .1918 .2786 .2734 4 .0000 .0002 .0026 .0109 :0287 .0577 .0972 .1280 .1442 .1935 .2388 .2676 .2734 5 .0000 .0000 .0002 .0012 .0043 .0115 .0250 .0384 .0466 .0774 .1172 .1543 .1641 6 .0000 .0000 .0000 .0001 .0004 .0013 .0036 .0064 .0084 .0172 .0320 .0494 .0547 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0006 .0016 .0037 .0068 .0078 8 0 .9227 .6634 .4305 .2725 .1678 .1001 .0576 .0390 .0319 .0168 .0084 .0046 .0039

1 .0746 .2793 .3826 .3847 .3355 .2670 .1977 .1373 .1373 .0896 .0548 .0352 .0312 2 .0001 .0515 .1488 .2376 .2936 .3115 .2965 .2587 .2587 .2090 .1569 .1183 .1 094 3 .0000 .0054 .0351 .0839 .1468 .2076 .2541 .2786 .2786 .2787 .2568 .2273 .2188 4 .0000 .0004 .0046 .0185 .0459 .0865 .1361 .1875 .1875 .2322 .2627 .2730 .2734 5 .0000 .0000 .0004 .0026 .0092 .0251 .0467 .0808 .0808 .1239 .1719 .2098 .2188 6 .0000 .0000 .0000 .0002 .0011 .0038 .0100 .0217 .0217 .0413 .0703 .1008 .1094 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0004 .0012 .0033 .0033 .0079 .0164 .0277 .0312

8 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0002 .0007 .0017 .0033 .0039

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 11

Exercici 3

Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4)

X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9)

Funció de probabilitat xnxn

x )p(p)xX(P --1

NO EXISTEIX TAULA: X~B(4,0’9)

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 12

Exercici 3

Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4)

X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9)

Y: Nombre de pacients que no milloren Y~B(4,0’1)

X=4-Y

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 13Bioestadística FMCS Reus Curs 2012-13 URV 13

Probabilitats binomials exactes

P{X = x} =

x

npx (1 – p)n – x n = 1, 2, ...,10

n x \ p .01 .05 .10 .15 .20 .25 .30 1/3 .35 .40 .45 .49 .50 2 0 .9801 .9025 .8100 .7225 .6400 .5625 .4900 .4444 .4225 .3600 .3025 .2601 .2500

1 .0198 .9050 .1800 .2550 .3200 .3750 .4200 .4444 .4550 .4800 .4950 .4998 .5000 2 .0001 .0025 .0100 .0225 .0400 .0625 .0900 .1111 .1225 .1600 .2050 .2401 .2500 3 0 .9703 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2963 .2746 .2160 .1644 .1327 .1250

1 .0294 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4444 .4436 .4320 .4084 .3823 .3750 2 .0003 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2222 .2389 .2880 .3341 .3674 .3750 3 .0000 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0370 .0429 .0640 .0911 .1176 .1250 4 0 .9606 .8145 .6561 .5220 .4096 .3164 .2401 .1975 .1785 .1296 .0915 .0677 .0625

1 .0388 .1715 .2916 .3685 .4096 .4219 .4116 .3951 .3845 .3456 .2995 .2600 .2500 2 .0006 .0135 .0486 .0975 .1536 .2109 .2646 .2963 .3105 .3456 .3675 .3747 .3750 3 .0000 .0005 .0036 .0115 .0256 .0469 .0756 .0988 .1115 .1536 .2005 .2400 .2500 4 .0000 .0000 .0001 .0005 .0016 .0039 .0081 .0123 .0150 .0256 .0410 .0576 .0625 5 0 .9510 .7738 .5905 .4437 .3277 .2373 .1681 .1317 .1160 .0778 .0503 .0345 .0312

1 .0480 .2036 .3280 .3915 .4096 .3955 .3602 .3292 .3124 .2592 .2059 .1657 .1562 2 .0010 .0214 .0729 .1582 .2043 .2637 .3087 .3292 .3364 .3456 .3369 .3185 .3125 3 .0000 .0011 .0081 .0244 .0512 .0879 .1323 .1646 .1811 .2304 .2757 .3060 .3125 4 .0000 .0000 .0004 .0022 .0064 .0145 .0284 .0412 .0488 .0768 .1128 .1470 .1562 5 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0010 .0024 .0041 .0053 .0102 .0185 .0283 .0312 6 0 .9415 .7351 .5314 .3771 .2621 .1780 .1176 .0872 .0754 .0467 .0277 .0176 .0156

1 .0571 .2321 .3543 .3993 .3932 .3560 .3025 .2634 .2437 .1866 .1359 .1014 .0938 2 .0014 .0305 .0984 .1762 .2458 .2966 .3241 .3292 .3280 .3110 .2780 .2437 .2344 3 .0000 .0021 .0146 .0415 .0819 .1312 .1852 .2195 .2355 .2765 .3032 .3121 .3125 4 .0000 .0001 .0012 .0055 .0154 .0330 .0592 .0823 .0951 .1382 .1861 .2249 .2344 5 .0000 .0000 .0001 .0004 .0015 .0044 .0102 .0165 .0205 .0369 .0609 .0864 .0938 6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0002 .0007 .0014 .0018 .0041 .0083 .0139 .0156 7 0 .9321 .6983 .4783 .3206 .2097 .1335 .0824 .0585 .0490 .0280 .0152 .0090 .0078

1 .0659 .2575 .3720 .3960 .3670 .3115 .2471 .2048 .1848 .1306 .0872 .0603 .0547 2 .0020 .0406 .1240 .2097 .2753 .3115 .3177 .3073 .2985 .2613 .2140 .1740 .1641 3 .0000 .0036 .0230 .0617 .1147 .1730 .2269 .2561 .2679 .2903 .1918 .2786 .2734 4 .0000 .0002 .0026 .0109 :0287 .0577 .0972 .1280 .1442 .1935 .2388 .2676 .2734 5 .0000 .0000 .0002 .0012 .0043 .0115 .0250 .0384 .0466 .0774 .1172 .1543 .1641 6 .0000 .0000 .0000 .0001 .0004 .0013 .0036 .0064 .0084 .0172 .0320 .0494 .0547 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0006 .0016 .0037 .0068 .0078 8 0 .9227 .6634 .4305 .2725 .1678 .1001 .0576 .0390 .0319 .0168 .0084 .0046 .0039

1 .0746 .2793 .3826 .3847 .3355 .2670 .1977 .1373 .1373 .0896 .0548 .0352 .0312 2 .0001 .0515 .1488 .2376 .2936 .3115 .2965 .2587 .2587 .2090 .1569 .1183 .1 094 3 .0000 .0054 .0351 .0839 .1468 .2076 .2541 .2786 .2786 .2787 .2568 .2273 .2188 4 .0000 .0004 .0046 .0185 .0459 .0865 .1361 .1875 .1875 .2322 .2627 .2730 .2734 5 .0000 .0000 .0004 .0026 .0092 .0251 .0467 .0808 .0808 .1239 .1719 .2098 .2188 6 .0000 .0000 .0000 .0002 .0011 .0038 .0100 .0217 .0217 .0413 .0703 .1008 .1094 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0004 .0012 .0033 .0033 .0079 .0164 .0277 .0312

8 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0002 .0007 .0017 .0033 .0039

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 1414

Exercici 3

Y X P(x) F(x)

4 0 0,0001 0,0001

3 1 0,0036 0,0037

2 2 0,0486 0,0523

1 3 0,2916 0,3439

0 4 0,6561 1

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 15

Exercici 3

pn)X(E)p,n(B:X ·

Esperança o mitjana

ppn)X(V -1 · Variància

X: B(4,0,9)

E(X) = np = 4*0,9 = 3,6

V(X) = np(1-p) = 4*0,9*0,1 = 0,36

DE(X) = √V(X) = √ 0.36 = 0,6

CV(X) = DE(X)/E(X) = 0,6/3,6 = 0.1667

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 16

Exercici 4

Meningitis: Mortalitat 30% Supervivència 70% 9 nens amb meningitis (n=9)

X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitis X~B(9,0’7)

NO EXISTEIX TAULA: X~B(9,0’7)

Y: Nombre de nens que moren de meningitis Y~B(9,0’3)

X=9-Y

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 1717

Exercici 4

X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitisY: Nombre de nens que moren de meningitisY~B(9,0’3)

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 1818

Exercici 4

Y~B(9,0’3) Y P(Y=y)

0 0,0404

1 0,1556

2 0,2668

3 0,2668

4 0,1715

5 0,0735

6 0,0210

7 0,0039

8 0,0004

9 0,0000

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 1919

Exercici 4

a) P(X≥5) = P(Y≤4) = P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4) =

0,0404 + 0,1556 + 0,2668 + 0,2668 + 0,1715 = 0,9011

X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitisY: Nombre de nens que moren de meningitisY~B(9,0’3)

b) P(X=9) = P(Y=0) = 0,0404

c) P(6≤X≤8) = P(1≤Y≤3) = P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3) =

0,1556 + 0,2668 + 0,2668 = 0,6892

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 20

Exercici 5

N=8 P=0’9 X: Nombre de persones sense crisi de migranya X~B(8,0’9)

N=8 P=0’1 Y: Nombre de persones amb crisi de migranya Y~B(8,0’1)

O

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 21

Exercici 5

X: Nombre de persones sense crisi de migranyaY: Nombre de persones amb crisi de migranyaY~B(8,0’1)

a) P(X≥7) = P(Y≤1) = P(Y=1)+P(Y=0)

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 22

Probabilitats binomials exactes

P{X = x} =

x

npx (1 – p)n – x n = 1, 2, ...,10

n x \ p .01 .05 .10 .15 .20 .25 .30 1/3 .35 .40 .45 .49 .50 2 0 .9801 .9025 .8100 .7225 .6400 .5625 .4900 .4444 .4225 .3600 .3025 .2601 .2500

1 .0198 .9050 .1800 .2550 .3200 .3750 .4200 .4444 .4550 .4800 .4950 .4998 .5000 2 .0001 .0025 .0100 .0225 .0400 .0625 .0900 .1111 .1225 .1600 .2050 .2401 .2500 3 0 .9703 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2963 .2746 .2160 .1644 .1327 .1250

1 .0294 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4444 .4436 .4320 .4084 .3823 .3750 2 .0003 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2222 .2389 .2880 .3341 .3674 .3750 3 .0000 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0370 .0429 .0640 .0911 .1176 .1250 4 0 .9606 .8145 .6561 .5220 .4096 .3164 .2401 .1975 .1785 .1296 .0915 .0677 .0625

1 .0388 .1715 .2916 .3685 .4096 .4219 .4116 .3951 .3845 .3456 .2995 .2600 .2500 2 .0006 .0135 .0486 .0975 .1536 .2109 .2646 .2963 .3105 .3456 .3675 .3747 .3750 3 .0000 .0005 .0036 .0115 .0256 .0469 .0756 .0988 .1115 .1536 .2005 .2400 .2500 4 .0000 .0000 .0001 .0005 .0016 .0039 .0081 .0123 .0150 .0256 .0410 .0576 .0625 5 0 .9510 .7738 .5905 .4437 .3277 .2373 .1681 .1317 .1160 .0778 .0503 .0345 .0312

1 .0480 .2036 .3280 .3915 .4096 .3955 .3602 .3292 .3124 .2592 .2059 .1657 .1562 2 .0010 .0214 .0729 .1582 .2043 .2637 .3087 .3292 .3364 .3456 .3369 .3185 .3125 3 .0000 .0011 .0081 .0244 .0512 .0879 .1323 .1646 .1811 .2304 .2757 .3060 .3125 4 .0000 .0000 .0004 .0022 .0064 .0145 .0284 .0412 .0488 .0768 .1128 .1470 .1562 5 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0010 .0024 .0041 .0053 .0102 .0185 .0283 .0312 6 0 .9415 .7351 .5314 .3771 .2621 .1780 .1176 .0872 .0754 .0467 .0277 .0176 .0156

1 .0571 .2321 .3543 .3993 .3932 .3560 .3025 .2634 .2437 .1866 .1359 .1014 .0938 2 .0014 .0305 .0984 .1762 .2458 .2966 .3241 .3292 .3280 .3110 .2780 .2437 .2344 3 .0000 .0021 .0146 .0415 .0819 .1312 .1852 .2195 .2355 .2765 .3032 .3121 .3125 4 .0000 .0001 .0012 .0055 .0154 .0330 .0592 .0823 .0951 .1382 .1861 .2249 .2344 5 .0000 .0000 .0001 .0004 .0015 .0044 .0102 .0165 .0205 .0369 .0609 .0864 .0938 6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0002 .0007 .0014 .0018 .0041 .0083 .0139 .0156 7 0 .9321 .6983 .4783 .3206 .2097 .1335 .0824 .0585 .0490 .0280 .0152 .0090 .0078

1 .0659 .2575 .3720 .3960 .3670 .3115 .2471 .2048 .1848 .1306 .0872 .0603 .0547 2 .0020 .0406 .1240 .2097 .2753 .3115 .3177 .3073 .2985 .2613 .2140 .1740 .1641 3 .0000 .0036 .0230 .0617 .1147 .1730 .2269 .2561 .2679 .2903 .1918 .2786 .2734 4 .0000 .0002 .0026 .0109 :0287 .0577 .0972 .1280 .1442 .1935 .2388 .2676 .2734 5 .0000 .0000 .0002 .0012 .0043 .0115 .0250 .0384 .0466 .0774 .1172 .1543 .1641 6 .0000 .0000 .0000 .0001 .0004 .0013 .0036 .0064 .0084 .0172 .0320 .0494 .0547 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0006 .0016 .0037 .0068 .0078 8 0 .9227 .6634 .4305 .2725 .1678 .1001 .0576 .0390 .0319 .0168 .0084 .0046 .0039

1 .0746 .2793 .3826 .3847 .3355 .2670 .1977 .1373 .1373 .0896 .0548 .0352 .0312 2 .0001 .0515 .1488 .2376 .2936 .3115 .2965 .2587 .2587 .2090 .1569 .1183 .1 094 3 .0000 .0054 .0351 .0839 .1468 .2076 .2541 .2786 .2786 .2787 .2568 .2273 .2188 4 .0000 .0004 .0046 .0185 .0459 .0865 .1361 .1875 .1875 .2322 .2627 .2730 .2734 5 .0000 .0000 .0004 .0026 .0092 .0251 .0467 .0808 .0808 .1239 .1719 .2098 .2188 6 .0000 .0000 .0000 .0002 .0011 .0038 .0100 .0217 .0217 .0413 .0703 .1008 .1094 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0004 .0012 .0033 .0033 .0079 .0164 .0277 .0312

8 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0002 .0007 .0017 .0033 .0039

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 23

Exercici 5

X: Nombre de persones sense crisi de migranyaY: Nombre de persones amb crisi de migranyaY~B(8,0’1)

a) P(X≥7) = P(Y≤1) = P(Y=1)+P(Y=0) = 0’4305 + 0’3826 = 0’8131

b) P(X>3) = P(Y<5) = 1 – P(Y≥5) =

= 1 – ( P(Y=5) + P(Y=6) + P(Y=7) + P(Y=8) ) =

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 24

Probabilitats binomials exactes

P{X = x} =

x

npx (1 – p)n – x n = 1, 2, ...,10

n x \ p .01 .05 .10 .15 .20 .25 .30 1/3 .35 .40 .45 .49 .50 2 0 .9801 .9025 .8100 .7225 .6400 .5625 .4900 .4444 .4225 .3600 .3025 .2601 .2500

1 .0198 .9050 .1800 .2550 .3200 .3750 .4200 .4444 .4550 .4800 .4950 .4998 .5000 2 .0001 .0025 .0100 .0225 .0400 .0625 .0900 .1111 .1225 .1600 .2050 .2401 .2500 3 0 .9703 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2963 .2746 .2160 .1644 .1327 .1250

1 .0294 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4444 .4436 .4320 .4084 .3823 .3750 2 .0003 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2222 .2389 .2880 .3341 .3674 .3750 3 .0000 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0370 .0429 .0640 .0911 .1176 .1250 4 0 .9606 .8145 .6561 .5220 .4096 .3164 .2401 .1975 .1785 .1296 .0915 .0677 .0625

1 .0388 .1715 .2916 .3685 .4096 .4219 .4116 .3951 .3845 .3456 .2995 .2600 .2500 2 .0006 .0135 .0486 .0975 .1536 .2109 .2646 .2963 .3105 .3456 .3675 .3747 .3750 3 .0000 .0005 .0036 .0115 .0256 .0469 .0756 .0988 .1115 .1536 .2005 .2400 .2500 4 .0000 .0000 .0001 .0005 .0016 .0039 .0081 .0123 .0150 .0256 .0410 .0576 .0625 5 0 .9510 .7738 .5905 .4437 .3277 .2373 .1681 .1317 .1160 .0778 .0503 .0345 .0312

1 .0480 .2036 .3280 .3915 .4096 .3955 .3602 .3292 .3124 .2592 .2059 .1657 .1562 2 .0010 .0214 .0729 .1582 .2043 .2637 .3087 .3292 .3364 .3456 .3369 .3185 .3125 3 .0000 .0011 .0081 .0244 .0512 .0879 .1323 .1646 .1811 .2304 .2757 .3060 .3125 4 .0000 .0000 .0004 .0022 .0064 .0145 .0284 .0412 .0488 .0768 .1128 .1470 .1562 5 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0010 .0024 .0041 .0053 .0102 .0185 .0283 .0312 6 0 .9415 .7351 .5314 .3771 .2621 .1780 .1176 .0872 .0754 .0467 .0277 .0176 .0156

1 .0571 .2321 .3543 .3993 .3932 .3560 .3025 .2634 .2437 .1866 .1359 .1014 .0938 2 .0014 .0305 .0984 .1762 .2458 .2966 .3241 .3292 .3280 .3110 .2780 .2437 .2344 3 .0000 .0021 .0146 .0415 .0819 .1312 .1852 .2195 .2355 .2765 .3032 .3121 .3125 4 .0000 .0001 .0012 .0055 .0154 .0330 .0592 .0823 .0951 .1382 .1861 .2249 .2344 5 .0000 .0000 .0001 .0004 .0015 .0044 .0102 .0165 .0205 .0369 .0609 .0864 .0938 6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0002 .0007 .0014 .0018 .0041 .0083 .0139 .0156 7 0 .9321 .6983 .4783 .3206 .2097 .1335 .0824 .0585 .0490 .0280 .0152 .0090 .0078

1 .0659 .2575 .3720 .3960 .3670 .3115 .2471 .2048 .1848 .1306 .0872 .0603 .0547 2 .0020 .0406 .1240 .2097 .2753 .3115 .3177 .3073 .2985 .2613 .2140 .1740 .1641 3 .0000 .0036 .0230 .0617 .1147 .1730 .2269 .2561 .2679 .2903 .1918 .2786 .2734 4 .0000 .0002 .0026 .0109 :0287 .0577 .0972 .1280 .1442 .1935 .2388 .2676 .2734 5 .0000 .0000 .0002 .0012 .0043 .0115 .0250 .0384 .0466 .0774 .1172 .1543 .1641 6 .0000 .0000 .0000 .0001 .0004 .0013 .0036 .0064 .0084 .0172 .0320 .0494 .0547 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0006 .0016 .0037 .0068 .0078 8 0 .9227 .6634 .4305 .2725 .1678 .1001 .0576 .0390 .0319 .0168 .0084 .0046 .0039

1 .0746 .2793 .3826 .3847 .3355 .2670 .1977 .1373 .1373 .0896 .0548 .0352 .0312 2 .0001 .0515 .1488 .2376 .2936 .3115 .2965 .2587 .2587 .2090 .1569 .1183 .1 094 3 .0000 .0054 .0351 .0839 .1468 .2076 .2541 .2786 .2786 .2787 .2568 .2273 .2188 4 .0000 .0004 .0046 .0185 .0459 .0865 .1361 .1875 .1875 .2322 .2627 .2730 .2734 5 .0000 .0000 .0004 .0026 .0092 .0251 .0467 .0808 .0808 .1239 .1719 .2098 .2188 6 .0000 .0000 .0000 .0002 .0011 .0038 .0100 .0217 .0217 .0413 .0703 .1008 .1094 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0004 .0012 .0033 .0033 .0079 .0164 .0277 .0312

8 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0002 .0007 .0017 .0033 .0039

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 25

Exercici 5

X: Nombre de persones sense crisi de migranyaY: Nombre de persones amb crisi de migranyaY~B(8,0’1)

a) P(X≥7) = P(Y≤1) = P(Y=1)+P(Y=0) = 0’4305 + 0’3826 = 0’8131

b) P(X>3) = P(Y<5) = 1 – P(Y≥5) =

= 1 – ( P(Y=5) + P(Y=6) + P(Y=7) + P(Y=8) ) =

= 1 – [ 0.0004 + 0 + 0 + 0] = 0.9996

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 26

El nombre de successos que ocurreixen en un interval de temps, de longitud, de espai segueix una distribució de Poisson si

La probabilitat de un succés es la mateixa en tot l’interval

La probabilitat de un succés no depèn dels successos ocorreguts amb anterioritat

Variable aleatòria de Poisson

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 27

Variable aleatòria de Poisson

X~P(λ)

La variable X de Poisson queda caracteritzada amb un únic paràmetre λ (Nombre mig de successos en un interval)

E(X)=λ V(X)=λ La seva funció de probabilitat és:

!x

e)xX(p

x -

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 28Bioestadística FMCS Reus Curs 2012-13 URV 28

Exercici 6

X: Nombre de casos en una hora

X~Poisson(λ=2)

24 hores 48 1 hora 2

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 29Bioestadística FMCS Reus Curs 2012-13 URV 29

Exercici 6

X~Poisson(λ=2)

λ \ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 0,13530,27070,27070,18040,09020,03610,01200,00340,00090,0002

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 3030

Exercici 6

b) P(X=0) = 0,1353

X: Nombre de casos en una horaX~Poisson(2)

c) P(X=3) = 0,1804

d) P(X≥5) = 1 - P(X<5) =

1 - (P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)) =

1 - (0,1353+0,2707+0,2707+0,1804+0,0902) =

1 - 0,9473 = 0,0527

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 31

Exemple en que la variable aleatòria generada es pot considerar com variable de Poisson

Una població amb una prevalença de diabetis d'un 2%. La probabilitat de trobar 0, 1, 2, 3, 4,... diabètics en una mostra de 100 individus : B(100, 0’02)

En les mateixes condicions que la variable binomial si la característica és poc freqüent (p<0.05)

mostres grans (n≥30)

La variable X segueix el model de distribució de Poisson

Binomial (100,0’02) Poisson (2)

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 32

Exercici 7

N=1200 P=0’001 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(1200,0’001)

X~B(1200,0’001)

N gran

X~Poisson(λ=1200·0’001)

X~Poisson(λ=1’2)

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 33

Exercici 7

X~Poisson(λ=1’2)

b) p(X=2) = 0’2169

c) p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] =

= 1 – [ 0’3012 + 0’3614 + 0’2169] =

= 1 – 0’8795 = 0’1205

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 34

Exercici 8

A cada interval X: Nombre de particules emeses X~Poisson(λ=4)

a) P(X≥4) = 1 – [ p(X=0) + p (X=1) + p (X=2) + p(X=3) ] =

= 1 – [0’0183 + 0’0733 + 0’1465 + 0’1954] =

= 1 – 0’4335 = 0’5665

1 segon 0’5 8 segons 4

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 35

Exercici 8

En 5 intervals Y: Nombre de intervals que emeten 4 o mes particules Y~B(5,0’5665)

b) P(Y≥1) = 1 – [ p(Y=0)] =

= 1 – [0,0153] = 0’9847

( ) 5050 )4335'0(5665'0=)0=Y(p

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 36

Variable aleatoria normal

P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b)

P(Z>-a) = P(Z<a)

P(Z<a) = 1 - P(Z>a)

P(Z>-a) = 1 - P(Z>a)

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 37

Exercici 9

El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg.

a. Quina és la probabilitat de que una persona pesi entre 70 i 90 kg?

• Quina és la probabilitat de que una persona pesi més de 95 Kg

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 38

Exercici 9

El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg.

P(70 < X < 90) = P (X > 70) – P (X > 90)

X~N(80,10) Z~N(0,1)10

X=

σμX

=Z80--

a a - 80

10

P(X>a) P(Z > (a-80) / 10 )

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 39

Exercici 9

70 8010 X 80

10

X: N(80,10)

P(70 < X < 90) = P (X > 70) – P (X > 90) =

= P ( > ) - P ( > )

= P (Z > -1) – P (Z > 1) =

= [1 – P(Z>1)] – P(Z>1) =

= 1 – 2·P(Z>1) =

X 8010 90 80

10

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 40

P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 41

Exercici 9

70 8010 X 80

10

X: N(80,10)

P(70 < X < 90) = P (X > 70) – P (X > 90) =

= P ( > ) - P ( > )

= P (Z > -1) – P (Z > 1) =

= [1 – P(Z>1)] – P(Z>1) =

= 1 – 2·P(Z>1) = 1 – 2·0’1587 = 0’6826

X 8010 90 80

10

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 42

Exercici 9

10

80X10

8095

X: N(80,10)

P (X > 95) =

= P ( > )

= P (Z > 1’5) =

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 43

P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 44

Exercici 9

10

80X10

8095

X: N(80,10)

P (X > 95) =

= P ( > )

= P (Z > 1’5) = 0’0668

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 45

Exercici 10

hipertens "borderline" : Entre 90 i 100 mmHg inclusius. Les pressions sanguínies diastòliques dels quals presenten una distribució normal amb una mitjana de 80 i variança 144 (σ=12)

P(90 < X < 100) = P (X > 90) – P (X > 100)

X~N(80,12) Z~N(0,1)12X

=σ

μX=Z

80--

a a - 80

12

P(X>a) P(Z > (a-80) / 12 )

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 46

Exercici 10

90 8012 X 80

12

X: N(80,12)

P(90 < X < 100) = P (X > 90) – P (X > 100) =

= P ( > ) - P ( > )

= P (Z > 0’83) – P (Z > 1’67) =

X 8012 100 80

12

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 47

P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 48

Exercici 10

90 8012 X 80

12

X: N(80,12)

P(90 < X < 100) = P (X > 90) – P (X > 100) =

= P ( > ) - P ( > )

= P (Z > 0’83) – P (Z > 1’67) =

= 0’2033 – 0’0475 = 0,1558

X 8012 100 80

12

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 49

Exercici 10

12

80X12

80104

X: N(80,12)

P (X > 104) =

= P ( > )

= P (Z > 2’0) =

Curs 2013-14 URV 50

P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a

2,0 0,0228

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 URV 51

Exercici 10

12

80X12

80104

X: N(80,12)

P (X > 104) =

= P ( > )

= P (Z > 2’0) = 0’0228