Post on 27-Feb-2018
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
1/12
EJERCICIOS DE APLICACIN
EJERCICIO 1:
Para un fuido dado la velocidad para todo campo es vx=5m
s y
vy=2 tm
s (t en segundos). Una partcula se suelta en t=0 seg. En el
origen de coordenadas. Obtener las ecuaciones de la trayectoria y lneasde corriente en t=5 seg.
Solucin:
Ecuacin de !rayectoria" para obtener la ec. #e trayectoria debemostener la $uncin %=&(') ya ue este seala el camino.
vx=dxdt=5
dx=5dt
x
0
x
dx=t0
t
5 dt
x=5(tt0) * c0 t0=(tx
5) * c1
+(,)
vy=dy
dt=2 t
dy=2 t dt
0
y
dy=
t0
t
2t dt
y=2( t2t0
2)+c2 +.. (-)
ustituyendo (,) en (-) nos ueda"
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
2/12
y=2[ t2(t22( tx5 )c1+x2
25 )+c2]
y=2
(t
x
5
)c1
x2
25
+k
i" t=5seg. /eemplaamos en la ecuacin"
y=2(5x5 )c12525 +k
y=2(5x5 )c11+k *cEcuacin de 1nea de corriente" abiendo ue la ecuacin analtica de lalnea corriente para un instante t en un movimiento bidimensionaltenemos"
dx
vx=
dy
v y
dx
5=
dy
2t
1
5dx=
1
2tdy
1
50
x
dx=12
0
ydy
t
2*x
5=y
2 t
2onsiderando t=5 seg.
c+x
5=y2(5)
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
3/12
y=2x *2 +(Ec. #e 1. 2orrienteen el tiempo 5seg)
EJERCICIO 2:
Un elemento bidimensional de fuido3 de dimensiones dx y dy se
traslada y se distorsiona como se muestra en la 4gura3 durante un
periodo in4nitesimal dt= t- t,. 1as componentes de la velocidad
en el punto P en el instante inicial3 son u y v en las direcciones x y
y 3 respectivamente. #emuestre ue la magnitud de la ran de la
rotacin (velocidad angular) alrededor del punto P en el plano xy es"
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
4/12
wz=1
2(
dv
dx
du
dy)
Solucin:
elocidad de rotacin" w=wz=1
2(
dv
dx
du
dy)
6ngulo medio de rotacin"
a+b2
#urante el incremento de tiempo dt3 el punto P se mueve una distanciaudt a la derec7a y vdt 7acia arriba.
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
5/12
En el punto 8 se mueve una distancia (u+du
dydx )dt 7acia la derec7a y
(v+dv
dxdx )dx 7acia arriba.
En el punto 9 se mueve una distancia (u+du
dydy )dt 7acia la derec7a y
(v+dv
dxdy )dx 7acia arriba.
:nicialmente la distancia del punto 8 al punto P es d'
1a distancia del punto 8; al punto P; en un tiempo t-es dx+du
dxdxdt
#onde la distancia vertical del punto P; al punto 8; t-esdv
dxdxdt
:nicialmente la distancia vertical del punto P al punto 9 es dy
1a distancia 7oriontal del punto P; al punto 9; en t-esdu
dx dydt
y la distancia vertical del punto P; al punto 9; en t-es dy+dv
dydydt
ya conocidas las distancias3 encontraremos el
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
6/12
/eemplaando en
a+b2
tenemos"
a+b
2
=1
2
( v
xdt
u
ydt
)=
dt
2
( v
x
u
y
)&inalmente
a+b2
w=wz=d
dt
1
2 ( v x u y )
EJERCICIO 3:
i la intensidad de iluminacin de una partcula fuida en ('3y3) altiempo t est< dada por"
:=8e3 t
x2+y2+z2
% el campo de velocidades del fuido est< dado por"
vx=B (y +2z)
vy=B(y+3z)
vz=B (y+3z+2z )
#onde 8 y 9 son constantes conocidas3 determine la velocidad devariacin de la iluminacin e'perimentada al tiempo t por la partculafuida ue est< en el punto (,3-3-) al tiempo t.
Solucin:
1o ue se pide es e'actamente el concepto de #erivada material3 eneste caso de la iluminacin recibida por una partcula fuida. #ados el
campo Euleriano de iluminacin y el campo de velocidades con ue semueve el fuido3 la e'presin de la derivada material es"
DI
Dt=
I
t+(v )I
iendo las derivadas parciales"
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
7/12
I
t=3A
e3 t
x2+y2+z2
I
x=2xA
e3 t
(x2+y2+z2)2
I
y=2yA
e3t
(x2
+y2
+z2
)
2 I
z=2zA
e3 t
(x2
+y2
+z2
)
2
1a e'presin 4nal resulta"
DI
Dt=A
e3 t
x2+y2+z2
[3+ 2B
x2+y2+z2
(yx+4zx+y2+6zx+2z2)]
Evaluando en el punto (,3-3-) resulta"
DI
Dt=Ae
3 t
9 (4 B3)
EJERCICIO 4:
En un cierto fu>o bidimensional no estacionario las componentes de la
velocidad son u=ax
t yv=by 3 siendo a y b constantes.
#eterminar la curva ue describe en cada instante el coloranteinyectado en el punto (,3-)3 suponiendo despreciables los e$ectos dedi$usin.
Solucin:
?otamos del problema ue para el fu>o bidimensional 7ablamos de dos
coordenadas especiales (@'A y @yA)3 y ue el fu>o estacionario (nopermanente) se re4eren a ue sus caractersticas mec
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
8/12
dx
dt=
ax
t
%dy
dt=by ,
2on las condiciones iniciales '='03 y=y0en t=t0.
El resultado es
x=x0
(
t
t0
)
a
,
y=y0 exp [b (tt0 ) ] .
Eliminando t0entre estas dos ecuaciones y sustituyendo '0 = , e y0= -3
e obtiene la lnea de traa correspondiente al punto (,3-)3Bue coincide con la curva ue se pide determinar en el enunciado"
y=2exp [bt(1x 1a)].EJERCICIO 5:
En las pro'imidades de un punto de remanso (o punto de estancamiento)bidimensional3 la velocidad est< dada por"
u=Uox
L u=Uo
Y
L 3 C=0
a) 2alcular el vector aceleracin y veri4car ue es puramente radial.
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
9/12
b) Dallar las lneas de corriente3 las trayectorias y las lneas de7umo3 dibu>arlas esueme la trayectoria de la partcula ue a t = 0estaba en el punto (03-130)3 la lnea de corriente ue3 a tiempo
1U03 pasa por el punto (-13 13 0) y la lnea de 7umo del punto (-1303 0)3 en instante t = 1U0.
Solucin:
a) Para calcular la aceleracin a partir del campo Euleriano develocidades3 se calcula la derivada material de la velocidad"
Dv
Dt=
v
t+(v )v
ax=d
dt+
d
dx+v
d
dy+!
du
dz=0+
U0
L+0+0
ay=dv
dt+
dv
dx+v
dv
dy+!
dv
dz=0+0+v (U0L)+0
az=dw
dt+
dw
dx+ v
dw
dy+!
dw
dz=0
ax=U0
2
L2
x ,a y=U0
2
L2
y , az=0
iendo la aceleracin un mFltiplo (U02
L2) del vector posicin.
b) 2omo se trata de un campo estacionario3 las lneas de corriente3 las
trayectorias3 y las lneas de 7umo ser
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
10/12
Entonces las lneas de corriente tienen la $orma" y= '=k
x 3 como se indica en
la 4gura
c) 1a trayectoria de la partcula ue a t = 0 estaba en el punto (03-130) es la
semirrecta" (' = 03y G 0). 1a lnea de corriente ue3 a tiempo 1U03 pasa por el
punto (-13130) es la curva" (y = 2L
2
x ). % la lnea de 7umo del punto (-13030)3
en instante t = 1U0es la semirrecta (' G 03y = 0)
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
11/12
EJERCICIO :
Un campo de velocidad euleriano est< dado por = a'-i H -a'y>.a) IEs uni3 bi o tridimensionalJb) IEs permanente o transitorioJc) Ies incompresibleJd) Encuentre la pendiente de la lnea de corriente ue pasa por el
punto K,3,L.
Solucin
Para los incisos a) y b)3 el campo de velocidad est< descrito pordos coordenadas especiales (@'A y @yA) y no depende del tiempo3de modo ue es bidimensional y permanente.
Para el inciso c) se tiene"
" . v=d
dx+
dv
dy=
dax2
dx
d2axy
dy =2ax2ax=0
Por lo tanto es incompresible.
Para la parte d)3 a partir de la de4nicin de lnea de corriente3 sesabe ue su pendiente en el plano K'3yL est< dado por el
7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir
12/12