Ejercicios Capitulos (6-7)

EJERCICIOS: CAPITULO 6 “TRABAJO Y ENERGIA”

12 ++ La figura 6.30 muestra una función energía potencial U en función de x. (a) En cada punto indicado, establecer si la fuerza F x es positiva, negativa o cero. (b) ¿En qué punto la fuerza posee el modulo máximo? (c) Identificar los puntos de equilibrio y establecer si el equilibrio es estable, inestable o neutro.

Planteamiento del problema F xse define como el negativo de la derivada de

la energía potencial en función con respecto a x; es decir, F x=−dU /dx:

(a) Examinar las laderas de la curva en cada uno de los puntos con letras , recordando F x que es el negativo de la pendiente del gráfico de energía potencial , para completar la tabla:

(b) Encontrar el punto donde la pendiente es más empinada

En el punto “C” |Fx| es máximo.

(c) Si d2U /d x2<0, entonces la curva es cóncava hacia abajo y la equilibrio es inestable.

Puntos dU /dx F x

A + -B 0 0C - +D 0 0E + -F 0 0

En el punto B el equilibrio es inestableSi d2U /d x2>0, entonces la curva es cóncava hacia arriba y el equilibrio es estable

En el punto “D” el equilibrio es estable

Observaciones: En el punto “D” establece el equilibrio y en el punto

“F” es neutro; es decir, d2Ud x2

=0 no se halla en equilibrio.

15 ++ Una artista de circo de 50 Kg camina por una cuerda floja sostenida por dos soportes que están separados 10 m. la tensión de la cuerda es de 5000N y la cuerda está a 10m del suelo. Estimar: (a) cuanto se afloja la cuerda cuando la artista está en el centro, y (b) el cambio en la energía potencial gravitatoria de la artista desde antes de caminar en la cuerda hasta el momento que está en el centro de la misma.

Planteamiento del problema El diagrama describe la situación cuando el equilibrista está en el centro de la cuerda. MRepresenta su masa y las

componentes verticales de las tensiones T 1 y T 2, de igual magnitud, soportar

su peso. Podemos aplicar el criterio de estática equilibrio en la dirección vertical para relacionar la tensión en la cuerda a la θ ángulo y el uso trigonometría para encontrar s como una función de θ.

a) Utilice la trigonometría para relacionar el caso s en la cuerda con su longitud L y θ :

tanθ= s12

Ly s=L

2tan θ

Aplicar ∑ F x=0 a la cuerda floja cuando el artista está en el centro de la

cuerda, para obtener:

2T sin θ−Mg=0

Cuando T es la magnitud T 1 y T 2

Resolver θ para obtener:

θ=sen−1( Mg2T )

Sustituir los valores numéricos y evaluar θ:

θ=sen−1 ¿

Reemplazando para obtener:

s=10m2tan2.81 °=0.245m

b) Expresar el cambio en la energía potencial gravitacional del equilibrista como los huecos de la cuerda:

∆ U=U f−U i=Mg∆ y

Sustituir los valores numéricos y evaluar

∆ U=(50kg )(9.81m

s2 ) (−0.245 )=−120J

18 ++La masa de la lanzadera espacial es de unos 8x104Kg y el periodo de su órbita es de 90 minutos. Calcular (a) la energía cinética de la lanzadera cuando está en órbita. (b) el cambio en su energía potencial comparando cuando está en órbita (320 Km por encima de la superficie terrestre) y cuando está en la superficie de la tierra. (c) ¿Por qué el cambio de energía potencial es mucho menor que el de su energía potencial? (d) ¿deberían ser iguales?

Planteamiento del problema: Podemos encontrar la velocidad orbital del transbordador desde la radio de su órbita y su periodo y su energía cinética a

partir de K=12

mv2 ignoraremos la variación en la aceleración debida a la

gravedad para estimar el cambio en la energía potencial de la nave entre su valor en la superficie de la tierra y su valor orbital.

a) La energía cinética de la lanzadera cuando está en órbita.

K=12

mv2(1)

También tenemos la relación de la velocidad en funcion de su periodo

v=2πrT

(2)

Reemplazando la ecuación (2) en (1):

K=12

m( 2πrT )

2

=2π2mr2

T2(3)

Reemplazando los datos en la ecuación (3):

K=2π 2 (8×104 kg ) [ (200mi+3960mi ) (1.609km /mi ) ]2

[ (90mi ) (60 s /mi ) ]2=2.43TJ

b) El cambio en su energía potencial comparando cuando está en órbita (320 Km por encima de la superficie terrestre) y cuando está en la superficie de la tierra.

Asumiendo la aceleración de la gravedad constante evaluado en 200 mi

∆ U=mgh (1)

Reemplazando los datos en la ecuación (1):

∆ U=(8×104 kg ) (9.81m / s2 ) × (200mi ) (1.609km /mi )=0.253TJ

c) ¿Por qué el cambio de energía potencial es mucho menor que el de su energía potencial? ¿Deberían ser iguales?

No, ellos no deberían ser iguales, porque no es más que la fuerza de gravedad a considerar aquí. Cuando la lanzadera está descansando sobre la superficie de la tierra, se apoya contra la fuerza de la gravedad por la fuerza normal de la tierra ejerce hacia arriba sobre el mismo. Habría que tener en cuenta el cambio en la energía potencial de la superficie de la tierra en su deformación bajo el peso de la lanzadera para encontrar el verdadero cambio en la energía potencial.

24++ Un alumno compite en una carrera con su amigo. Al principio ambos tienen la misma energía cinética, pero el alumno observa que su amiga le está venciendo. Incrementando su velocidad en un 25% el corre a la misma velocidad que ella. Si la masa del joven es de 85 kg, ¿Cuál es la masa de la muchacha?

Planteamiento del problema: Podemos utilizar la definición de energía cinética para encontrar la masa de su amigo.

Por conservacion de la energÍa tenemos:Utilizando la definición de energia cinetica y dejar que "1" denotan su masa y la velocidad y "2" a su novia, expresan la igualdad de sus energías cinéticas y resolver la masa de su novia como una función tanto de sus masas y velocidades:

12

m1 v12=12

m2 v22

y:

m2=m1( v1v2 )

2

(1)

Expresar la condición de la velocidad que, para ejecutar a la misma velocidad que su novia:

v2=1.25v1(2)

Reemplazando la ecuacion (2) en (1) tenemos:

m2=m1( v11.25v1 )

2

=(85kg )( 11.25 )

2

=54.4 kg (masa de la muchacha)

25++ Una partícula de 3kg se desplaza con una velocidad de 2 m/s cuando e encuentra en X=0, esta partícula se encuentra sometida a una única fuerza FX que varía con la posición del modo indicado en la figura 6.32. (a) ¿Cuál es su energía cinética para x=0m? (b) ¿Cuál es trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se desplaza desde x=0 m a x=4 m? (c) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cunado se encuentra en x=4 m?

Planteamiento del problema: La representación gráfica muestra la partícula que se mueve a lo largo del eje x positivo. La energía cinética aumenta de la partícula porque el trabajo se realiza en ella. Podemos calcular el trabajo realizado sobre el mismo a partir del gráfico de F x vs x y relacionar su energía cinética cuando está en x=4m de su energía cinética cuando estaba en el origen y el trabajo realizado mediante el uso del teorema trabajo-energía cinética.

a) Calcular la energía cinética de la partícula cuando está en x=0m

K °=12

m v2=12

(3kg )(2 ms )

2

=6.00 J

b) Debido a que la fuerza y el desplazamiento son paralelas, el trabajo hecho es el área bajo la curva. Utilice la fórmula para el área de un triángulo para calcular el área bajo la F como una función de x gráfico.

W 0→4=12

(base ) (altura )

W 0→ 4=12

(4m ) (6N )=12.0 J

c) Expresar la energía cinética de la partícula en x = 4 m en términos de su velocidad y la masa y resolver para su velocidad:

v4=√ 2K 4

m(1)

Uso del Teorema de la energía cinética de trabajo, relacionar el trabajo realizado en la partícula a su cambio en energía cinética y resolver para la partícula de energía cinética en x = 4 m:

W 0→4=K4−K 0

K4=K0+W 0→4=6.00J+12.0J=18.0J

Sustituir los valores numéricos en la ecuación (1) y evaluar en v4:

v4=√ 2(18.0J )3kg

=3.46m / s

26 ++Sobre una partícula actúa una fuerza que está relacionado con la

posición de la partícula por la forma FX=C x3, en donde C es una

constante. Determinar el trabajo realizado por la fuerza al actuar sobre la partícula que se desplaza desde x=1.5m a x=3m.

Planteamiento del problema: El trabajo realizado por esta fuerza, ya que desplaza la partícula es la zona bajo la curva de F como una función de x. Tenga en cuenta que la constante C tiene unidades de N /m3.

Debido a q F varía con la posición de forma no lineal, expresar el trabajo que hace como una integral y evaluar la integral entre los límites x = 1,5 m y x = 3 m:

W =(C N /m3 ) ∫1.5m

3m

x ' 3d x '

W =(C N /m3 )[ 14 x!3]1.5m

3m3m1.5m

=(C N /m3 )

4[ (3m )4−(1.5m )4 ]=19C J

27++ La ultima invención de LOU destinada a los propietarios de perros urbanos en la correa X-R. Está construida con un material semejante al

caucho que ejerce una fuerzaF x=−kx−a x2 cuando se alarga una distancia

x, siendo constante k y a. El enuncio de invento afirma: “nunca volverás a usar tu vieja correa después de haber tenido la emoción de una experiencia con la correa X-R. Y observaras un nueva mirada de respeto en los ojos de tu orgulloso cachorro”. Determinar el trabajo realizado por la correa sobre un perro si la persona permanece estacionaria y el perro tira de ella, alargan do la correa de x=0a x=x1.

Planteamiento del problema: El trabajo realizado en el perro por la correa ya que se extiende es el área bajo la curva de F como una función de x. Podemos encontrar esta área (la obra Lou no celebración la correa) mediante la integración de la función de la fuerza.

Debido a F varía con la posición de forma no lineal, expresar el trabajo que hace como una integral y evaluar la integral entre los límitesx=0 y x=x1:

W =∫0

x1

(−k x ,−a x ,2 ) d x,

W =[−12 k x ,2−12

ax , 3]0

x1

¿−12

k x12−12

a x13

28 ++Un objeto de 3 kg se mueve con una velocidad de 2.40 m/s en la dirección x al pasar por el origen actúa sobre este objeto una única fuerza F x que varía con x como indica la figura 6.33. (a) determinar el trabajo

realizado por la fuerza desde x=0hasta x=2m. (b) ¿Cuál es la energía cinética del objeto en el punto x =2 m? (c) ¿Cuál es la velocidad del objeto en dicho punto? (d) determinar el trabajo realizado sobre el objeto desde x=0a x=4m. (e) ¿Cuál es la velocidad del objeto para x = 4 m?

Planteamiento del problema: El trabajo realizado sobre un objeto puede ser determinada por la búsqueda de la zona delimitada por su gráfica de FF x como una función de x y el eje x. Podemos encontrar la energía cinética y la velocidad de la partícula en cualquier punto mediante el uso del Teorema de energía cinética de trabajo.

a) Expresa W, el área bajo la curva, en términos del área de un cuadrado, Acuadrado y el número de cuadrados n:

W =n Acuadrado

Determinar el equivalente de trabajo en el cuadrado:

W =(0.5N ) (0.25m )=0.125J

Estimar el número de plazas bajo la curva entre x = 0 y x = 2 m:

n≈22

Sustituir para determinar W:

W =22 (0.125 j )=2.75 J

b) Relacionar la energía cinética de la objeto en x = 2 m, K2, a su inicial energía

cinética, K0, y el trabajo que se hizo en ella entre x = 0 y x = 2 m:

K2=K 0+W 0→2

K2=12

(3kg )(2.40 ms )

2

+2.75J=11.4 J

c) Calcular la velocidad del objeto en x = 2 m de su energía cinética en el mismo lugar:

v=√ 2k2m

v=√ 2(11.4 J )3kg

=2.76m /s

d) Estimar el número de plazas bajo la curva entre x = 0 y x = 4 m:

n≈26

Sustituir y determinar W

W =n Acuadrado=26 (0.125J )=3.25J

(e) Relacionar la energía cinética del objeto en x = 4 m, K4 a su energía

cinetica inicial, K0 y el trabajo que se hizo en ella entre x = 0 y x = 4 m:

K4=12

(3kg )(2.40ms )+3.25 J

¿11.9 J

Calcular la velocidad del objeto en x = 4 m de su energía cinética en el mismo lugar:

v=√ 2K4

m=√ 2(11.9 J )

3 kg=2.82m /s

29++ Cerca de la cabaña de Margaret hay una torre de agua de 20 m de altura que atrae muchos pájaros durante los meses de verano. El año pasado fue tan cálido que la torre se secó y Margaret tuvo que transportar el agua que necesitaba. Como se sentía muy sola sin los pájaros visitantes, decidió transportar algo de agua a la torre para que volviesen. Su cubo tiene una masa de 10 kg y una capacidad de 30 kg cuando está lleno. Sin embargo, el cubo tenía un agujero y cuando Margaret subía a velocidad constante, el agua se derramaba también con rito uniforme. Cuando ella llegaba a lo alto de la torre, solo quedaba 10 kg para el baño de los pájaros. (a) Escribir una expresión que indique la masa del cubo más del agua en funcion de la altura (y) trepada. (b) determinar el trabajo realizado por Margaret sobre el cubo.

Planteamiento del problema: Podemos expresar la masa de agua en un cubo de Margaret como la diferencia entre su masa inicial y el producto de la velocidad a la que se pierde agua y su posición durante su ascenso. Debido a Margaret debe hacer el trabajo contra la gravedad en el levantamiento y llevar el cubo, el trabajo que realiza es la integral del producto del campo gravitacional y la masa de la cubeta como una función de su posición.

a) Expresar la masa de la cubeta y el agua en ella como una función de su masa inicial, la velocidad a la que es pérdida de agua, su posición durante su ascenso:

m ( y )=40 kg−ry

Encontramos la tasa, r=∆m∆ y

en el cual cubo de Margaret pierde agua:

r=∆m∆ y

=20kg20m

=1kg/m

Sustituir para obtener:

m ( y )=40 kg−ry=40kg−1kgm

y

b) Integrar la fuerza que Margaret ejerce sobre el cubo, m( y )g entre los límites de y=0 y y=20m:

W =g ∫0

20m

(40kg−1kgm

y ,)d y ,=(9.81 ms2 )[ (40kg ) y ,−1

2 (1 kgm ) y ,2]0

20m

=5.89KJ

Observaciones: También podría encontrar el trabajo que Margaret hizo en el cubo, por lo menos aproximadamente, mediante el trazado de un gráfico de m( y )g y encontrar el área bajo esta curva entre y=0 y y=20m.

33++ Un tornillo, de algún modo, es una especie de plano inclinado. La figura 6.35 muestra esquemáticamente un gato, un dispositivo que se utiliza para levantar los coches cuando hay que cambiar un neumático pinchado. El tornillo del gato de la figura tiene un paso de rosca p y una manivela de radio R. cuando la manivela da una vuelta completa. El gato a subido un peso w una altura p. suponiendo que no hay rozamiento, el trabajo realizado durante una vuelta de la manivela es el mismo que el incremento de la energía potencial del coche que esta levantando. Demostrar que la ventana mecánica de este dispositivo es 2πR / p (véase la pregunta 32).

Planteamiento del problema: Podemos encontrar el trabajo realizado por revolución en el levantamiento de peso y el trabajo realizado en cada revolución del mango y luego usar la definición de ventaja mecánica:

Expresar la ventaja mecánica de la toma:

M=WF

Expresar el trabajo realizado por la toma en una revolución completa (el peso

W se eleva una distancia p):

W levantar=℘

Expresar el trabajo realizado por la fuerza F en una revolución completa:

W giro=2πRF

Equiparar estas expresiones para obtener:

W p=2πRF

Resuelva para la relación de W a F

M=WF

=2πRp

Observaciones: Uno hace la misma cantidad de trabajo girando como de elevación; ejerciendo una menor fuerza sobre una distancia mayor.

40 ++ (a) Determinar el vector unitario que es paralelo al vector A=A X i+A j+ A z k . (b) determinar la componente del vector A=2i− j−k en la

dirección del vector B=3 i+4 j.

Planteamiento del problema: El componente de un vector que es a lo largo de otro vector es el producto escalar del antiguo vector y un vector de unidad que es paralelo a este último vector.

a) Por definición, el vector unitario que es paralela al vector A es:

uA=AA

uA=Ax i+ A y j+A z k

√Ax2+ A y

2+ A z2

b) Hallar el vector unitario paralelo a B:

uB=BB

=(3 i+4 j )

√ (3 )2+(4 )2=( 35 i+ 4

5j)

El componente de A a lo largo de B es:

A ∙ uB=(2i− j−k ) ∙( 35 i+ 45

j)= (2 )(35 )+(−1 )( 45 )+(−1)(0)=0.400

41++ Dados dos vectores A y B, demostrar que si |A+B|=|A−B|, entonces Aes ortogonal con B.

Planteamiento del problema: Podemos utilizar las definiciones de la magnitud

de un vector y el producto punto para demostrar que si |A+ B|=|A−B|, entonces A⊥ B.

Expresar |A+B|2

|A+B|2=( A+ B )2

Expresar |A−B|

|A−B|=( A−B )2

Equiparar estas expresiones para obtener:

( A+ B )2=( A−B )2

Expandir ambos lados de la ecuación para obtener:

A2+2 A B+B2=A2−2 A B+B2

Simplifique para obtener:

4 A B=0

O

A B=0

De la definición del producto punto que tenemos:

A . B=ABcos θ

Donde θ es el ángulo entre los vectores A y B

Porque ni A ni B es vector cero:

cosθ=0→θ=90 ° → A⊥ B

42++ A y B son dos vectores unitarios en el plano XY, forman ángulos θ1 yθ2con el eje x positivo, respectivamente. (a) determinar las

componentes x e y de los dos vectores. (b) considerando el producto

escalar de A y B, demostrar que: cos ( θ1−θ2 )=cosθ1 cosθ2+senθ1 senθ2

Planteamiento del problema: El diagrama muestra la unidad de los vectores A y B de manera arbitraria situada en el primer cuadrante. Podemos expresar estos vectores en términos de los vectores unitarios i y j y sus componentes x y y, continuación, se puede formar el producto escalar de A y B demostrando que

cos ( θ1−θ2 )=cosθ1 cosθ2+senθ1 senθ2

a) Exprese A en términos de la unidad vectores i y j:

A°=A X i+ A y j

Donde:

Ax=cosθ1 y A y=senθ1

Siga el procedimiento anterior para obtener:

B=B x i+BY j

Donde:

BX=cosθ2 y B y=senθ2

b) Evaluando: A ∙ B:

A ∙ B=(cosθ1i+sinθ1 j ) ∙ (cos θ2i+sin θ2 j )=cosθ1 cosθ2+sin θ1sinθ2

En el diagrama se observa que:

A ∙ B=cos (θ1−θ2 )

Sustituyendo para obtener

cos ( θ1−θ2 )=cosθ1 cosθ2+sin θ1 sin θ2

44++ (a) Sea A un vector constante con su extremo en el origen de coordenadas. Sea r=xi+ yj un vector en el plano XY que satisface la relación. A ∙ r=1. Demostrar que los puntos (x, y) están alineados. (b) si A=2i−3 j. Encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de la línea. (c) si ahora A y r son vectores en el espacio tridimensional, demostrar que la relación. A . r=1 Especifica un plano.

Planteamiento del problema: Podemos formar el producto escalar de A y r

exigir que A ∙ r=1 para demostrar que los puntos en la cabeza de todos esos vectores r están en una línea recta. Podemos utilizar la ecuación de esta línea y los componentes de A para encontrar la pendiente y intersección de la línea.

a) Dejar A=ax i+a y j entonces:

A ∙ r=( AX i+ AY j ) ∙ ( xi+ yj )=ax x+ay y=1

Resuelve para y para obtener:

y=−ax

a y

x+ 1ay

Que es de la forma y=mx+b y por lo tanto es la ecuación de una línea

Dado que:

b) tenemos A=2i−3 j

m=−ax

ay

=−2−3

=23

y

b= 1ay

= 1−3

=−13

c) La ecuación obtenida en (a) especifica todos los vectores cuyas componentes paralelo a A tiene una magnitud constante; Por lo tanto,

podemos escribir un vector r=A

|A|2+ B , donde B es cualquier vector

perpendicular. Esto se muestra gráficamente.

Debido a que todos los vectores posibles B van al vector r resultante debe estar en un plano así como se muestra arriba.

45 ++Cuando una partícula se mueve en un círculo centrado en el origen y con velocidad constante, los módulos de su vector posición de los vectores velocidad son constantes. (a) derivar respecto al tiempo la expresión. r . r=r2=¿ Constante para demostrar que v . r=0 y, por lo tanto,

v es ortogonal a r. (b) derivar respecto al tiempo la expresión v . v=v2=¿ constante para demostrar que a . v=0 y, por lo tanto, “a” es ortogonal a “v”, ¿Qué muestran los resultados de (a) y (b) respecto a la dirección de “a”? (c) derivar v . r=0 respecto al tiempo y demostrar que a . r+v2=0 y, por

lo tanto, a t=−v2

r.

Planteamiento del problema: Las reglas para la diferenciación de los vectores son los mismos que los de la diferenciación de escalares y multiplicación escalar, es conmutativo.

a) Diferenciando r . r=r2=constante.

ddt

( r ∙ r )=r ∙drdt

+ drdt

∙ r=2 v ∙ r

¿ ddt

(costante )=0

Porque v ∙ r=0

r⊥ v

b) Diferenciado: v ∙ v=v2=constante con respecto al tiempo:

ddt

( v ∙ v )= v ∙dvdt

+ dvdt

∙ v=2 a ∙ v

¿ ddt

(constante )=0

Porque: a ∙ v=0

a⊥ v

Los resultados de (a) y (b) muestran que a es perpendicular a r y paralelo ( o antiparalelo ) a r.

c) Diferenciar v . r=0 con respecto al tiempo:

ddt

( v ∙ r )= v ∙drdt

+r ∙dvdt

=v2+r ∙a= ddt

(0 )=0

Porque: v2+r ∙ a=0:

r ∙ a=−v2(1)

Expresando a t, en funcion de θ, donde θ es al ángulo formado entre r y a:

a t=acosθ

Expresando r ∙ a:

r ∙ a=racosθ=r at

Sustituir en la ecuación (1) para obtener:

r at=−v2

Resuelva:

a t=−v2

r

46 ++ La fuerza A realiza un trabajo de 5 J en 10 s. la fuerza B realiza un trabajo de 3 j en 5 s. ¿Cuál de la fuerzas suministra mayor potencia?

Planteamiento del problema: La potencia suministrada por una fuerza se define como la velocidad a la que la fuerza realiza trabajo; es decir

P=dWdt

Calcular la velocidad a la que la fuerza A hace el trabajo:

PA=5 J10 s

0.5W

Calcular la velocidad a la que la fuerza B hace el trabajo:

PB=3J5 s

=0.6W

Entonces podeos decir que: PB>P A

52 ++Una partícula antes de abrir el para caídas cae en caída libre con una velocidad constante, su velocidad limite. De 192 km/h. (a) si su masa es de 55 kg. Calcular la magnitud de la potencia producida por la fuerza de arrastre. (b) después de la apertura del paracaídas, su velocidad disminuye hasta 24 km/h. ¿Cuál es ahora la potencia disipada por la fuerza de arrastre?

Planteamiento del problema: Elige un sistema de coordenadas en el que al alza es el positivo de y dirección. Podemos expresar Parrastre como el producto

de la fuerza de arrastre que actúa sobre el Farrastre paracaidista y su terminal de v t velocidad. Podemos aplicar la segunda ley de Newton para el paracaidista a

expresar FFarrastre en términos de su masa m y el campo de la gravedad g.

a) Expresar la energía debido a la fuerza de fricción que actúa sobre el paracaidista como ella cae en su terminal v t velocidad:

Parrastre=Farras tre ∙ v t

O, porque:

Farrastre y v t son anti paralelas Parrastre=−Farrastre . v t

Aplicar ∑ F y=0 para el paracaidista:

Farrastre−mg=m ay

O, porque a y=0, Farrastre=mg

Sustituye para la magnitud de Parrastre:

Parrastre=|−mg vt|(1)

Valores numéricos sustitutos y evaluar P:

Parrastre=|−(55kg )(9.81 ms2 )(120 mi

h×

1h3600 s

×1.609km

mi )|=2.89×104W

b) Evaluar la ecuación (1) con v=15km /h:

Parrastre=|−(55kg )(9.81 ms2 )(15 mi

h×

1h3600 s

×1.609km

mi )|=3.62KW

53++ Un cañón colocado en la cima de un acantilado de altura H, dispara directamente hacia arriba en el aire una bala con una velocidad inicial vo. La bala sube, vuelve a caer, pasa muy cerca del cañón y cae por el acantilado. Si se desprecia la resistencia del are, calcular para cualquier instante de tiempo v f de la tabla, y explicar explícitamente que la integral de F . v durante el tiempo que la bala está en aire es igual a al cambio de la energía cinética de la tabla.

Planteamiento del problema: Debido a que, en ausencia de la resistencia del aire, la aceleración de la bala de cañón es constante, podemos utilizar una ecuación de aceleración constante a relacionar su velocidad al tiempo que ha estado en vuelo. Podemos aplicar la segunda ley de Newton a la bala de cañón para encontrar la fuerza neta que actúa sobre él y luego formar el producto escalar de F y v para expresar la velocidad a la que el campo gravitatorio funciona en la bala de cañón. La integración de esta expresión el T de la bola del tiempo de vuelo producirá el resultado deseado.

Expresar la velocidad de la bala de cañón como una función del tiempo mientras está en el aire:

v (t )=0 i+( v0−¿ ) j

Aplicar: ∑ F=¿ ma¿ a la bala de cañón para expresar la fuerza que actúa

sobre él mientras está en el aire:

F=−mgj

Evaluando F ∙ v:

F ∙ v=−mgj ∙ (v0−¿ ) j

¿−m g v0+m g2 t

Relacionar F ∙ v a la velocidad a la que se está trabajando en la bala de cañón:

dWdt

=F ∙ v=−mg v0+m g2t

Separe las variables e integrar con el tiempo T que la bala de cañón está en el aire:

W =∫0

T

(−mg v0+m g2 t )dt=12

m g2T 2−mg v 0T (1)

Utilizando la constante de la ecuación de aceleración, relacionar la velocidad v de la bala de cañón cuando aterriza en la parte inferior del acantilado a su velocidad inicial v0 y la altura del acantilado H :

v2=v02+2a∆ y pero a=g y ∆ y=H y v2=v0

2+2 gH

Resolviendo v para obtener:

v=√v02+2 gH

Utilizando la constante de la ecuación de aceleración, relacionar el tiempo de vuelo T a las velocidades iniciales y de impacto de la bola de cañón:

v=v0−¿

Resolviendo T para obtener:

T=v0−v

g

Sustituyendo T en la ecuación (1) y simplificar y evaluar W :

W =12

m g2( v 0−v

g )2

−mg v0( v0−vg )

¿ 12

m g2( v02−2v v0+v2

g2 )−mg v 0( v0−vg )

¿ 12

m v2−12

m v02=∆ K

54 ++Una partícula de masa m se mueve desde el tiempo t=0 partiendo del reposo bajo la influencia de una fuerza constante F. demostrar que la potencia suministrada por a fuerza durante un tiempo t es P=F2 t /m.

Planteamiento del problema: Si la partícula se actúa por una sola fuerza, esa fuerza es la red de fuerza que actúa sobre la partícula y es responsable de su aceleración. La velocidad a la que la energía es entregada por la fuerza es P=F . v

Expresar la velocidad en función de F y v:

P=F . v

La velocidad de la partícula, en términos de su aceleración y el tiempo que

la fuerza ha actuado es:

v=a t

Utilizando la segunda ley de newton sustituimos para:

v= Fm

t

Sustituto para v en la expresión

para P y simplificar para obtener:

P=F .Fm

t= F . Fm

t= F2

mt

60 ++ Una maquina de atwood sencilla utiliza dos masas, m1 y m2 (figura 6.38). partiendo del reposo, lavelocidad de las dos masas es 4.0 m/s al cabo de 3.0 s. en ese instante, la energia cinetica del sistema es de 80 J y cada una de las masas se a desplazado una distancia de 6.0 m. determinar los valores de m1 y m2.

Planteamiento del problema: En una sencilla máquina de Atwood’s, el único efecto de la polea es conectar los movimientos de los dos objetos en cada lado de ella; es decir, podría ser sustituida por un pedazo de tubo pulido. Podemos relacionar la energía cinética de la salida y la caída de objetos a la masa del sistema y a su velocidad común y se relacionan sus aceleraciones a la suma y la diferencia de sus masas que conduce a ecuaciones simultáneas en m1 y m2.

Utilizando la definición de la energia cinetica del sistema para determinar la masa total está acelerando:

K=12

( m1+m2 ) v2

Y

m1+m2=2Kv2

=2(80J )(4m /s )2

=10.0kg (1)

En el capítulo 4, la aceleración de la masas ha demostrado ser:

a=m1−m2

m1+m2

g

Debido v (t)=a , podemos eliminar a en la ecuación anterior para obtener:

v (t )=m1−m2

m1+m2

>¿

Resolver para m1−m2:

m1−m2=(m1+m2) v (t)

¿

Sustituir los valores numéricos y evaluar m1−m2:

m1−m2=(10kg )(4 m

s )(9.81m

s2 ) (3 s )=1.36kg(2)

Resolver ecuaciones (1) y (2) simultáneamente para obtener:

m1+m2=10kg

m1−m2=1.36kg

Tenemos:

m1=5.68kg y m2=4.32kg

61++ Una barra recta de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento como indica la figura 6.39. Las masas m1 y m2 se acoplan a la barra a las distancias l1 y l2 (a) Expresar la energía potencial gravitacional de las masas en función del ángulo θ formado por la barra y la horizontal. (b) ¿Para qué ángulo θ es mínima la energía potencial? ¿Es compatible el resultado obtenido con la expresión “los sistemas tienden hacia el mínimo de energía potencias”? (c) Demostrar que si m1l1=m2 l2 la energía potencial es la misma para todos los valores de θ. (Cuando esto ocurra el sistema se equilibrará bajo el ángulo θ. Este resultado se conoce como ley de la palanca de Arquímedes.)

Planteamiento del problema: La energía potencial gravitacional de este sistema de dos objetos es la suma de sus energías potenciales individuales y está bajo la dependencia de una elección arbitraria de donde, o bajo qué condiciones, la energía potencial gravitacional es cero. La mejor opción es uno que simplifica los detalles matemáticos de la expresión de U . Entonces:

Donde U=0 y θ=0

(a) Expresando U para el sistema como la suma de su energía gravitacional potencial; señalando que porque el objeto cuya masa es 2m está por encima de la posición que hemos elegido para U=0, su energía potencial es positiva, mientras que la del objeto cuya masa es 1 m es negativo.

U (θ )=U 1+U 2

¿m2g l2 senθ−m1g l1 senθ

¿ (m2l2−m1l1 ) gsenθ

(b) Diferenciar T con respecto a θ y establecer esta derivada igual a cero para identificar valores extremos:

dUdθ

=(m2 l2−m1l1 ) gcosθ=0

Se puede concluir que: cosθ=0 y θ=cos−10

Para ser físicamente significativa, −π /2≤θ≤ π /2:

∴θ=± π /2

Expresar la segunda derivada de U con respecto a θ y evaluar este derivada en θ=± π /2:

d2Ud θ2

=− (m2l2−m1l1 ) gsenθ

Si suponemos, en la expresión de U que derivamos en (a) que (m2 l2−m1l1 )>0, entonces U (θ) es una condición en función de seno y, en el intervalo −π /2≤θ≤ π /2 , adquiere su valor mínimo cuando θ=−π /2:

d2Ud θ2 |−π /2

>0

y U es un mínimo en θ=−π /2

d2Ud θ2 |π /2

<0

y U es un máximo en θ=π /2

(c) Si m1l1=m2 l2, entonces:(m¿¿2 l2−m1l1)=0¿ y U=0 independientemente de θ.

Observaciones: Un enfoque alternativo para el establecimiento de la U es un máximo en θ=π /2 es trazar su gráfica y tenga en cuenta que, en el intervalo de interés, U es cóncava hacia abajo con su valor máximo en θ=π /2.

63 ++ Una función energía potencial viene dada por U=Clx, en donde C es una constante positiva. (a) Determinar la fuerza F, en función de x. (b) ¿Está dirigida esta fuerza hacia el origen o se aleja de él? (c) ¿Crece o decrece la energía potencial cuando x crece? (d) Responder a los apartados (b) y (c) para el caso en que es una constante negativa.

Planteamiento del problema: F x se define como el negativo de la derivada del potencial función con respecto ax, que es F x=−dU /dx. En consecuencia, habida cuenta de U como una función de x, podemos encontrar F x diferenciando U con respecto a x.

(a) Evaluar F x=−dU

dx: F x=

−ddx (Cx )=C

x2

(b) Debido a que C>0: F xes positivo para x≠0 y por lo tantoF está dirigida lejos del origen.

(c) Dado que U es inversamente proporcional a x y C>0:U (x ) disminuye con el aumento de x.

(d) con C<0 F xes negativo para x≠0 y por lo tantoF está dirigida hacia el origen.

Debido a que U es inversamente proporcional ha x y C<0, U (x ) se vuelve menos negativo cuando x aumenta.

U ( x ) aumenta con el aumento de x.

64 ++ En la curva de energía potencial U en función de y indicada en la figura 6.40, los segmentos AB y CD son líneas rectas. Representar la fuerza F, en función de y.

Planteamiento del problema: F y se define como el negativo de la derivada del

potencial función con respecto a y, es decir, F y=−dU

dy. En consecuencia,

podemos obtener F y por el examen de las laderas de la gráfica de U en función de y.

La tabla de la derecha resume la información que podemos obtener de la figura 6.40

Pendiente F y

Intervalo (N ) (N )A →B −2 2B→C transicional −2→1.4

C → D 1.4 −1.4

La grafica de F es una función de y como se muestra a la derecha:

65 ++ La fuerza que actúa sobre un objeto viene dada por F x=a/ x2. Determinar la energía potencial del objeto en función de x.

Planteamiento del problema: F x se define como el negativo de la derivada del potencial función con respecto a x, es decir, F x=−dU /dx. En consecuencia, dada F como una función de x, podemos encontrar U integrando F x con respecto a x.

Evaluar la integral de F x con respecto a x:

U ( x )=−∫F ( x ) dx=−∫ a

x2d x

¿ ax+U 0

Donde U 0 es una constante determinada por cualquier condición que se aplican a U .

66 ++ La energía potencial de un objeto dada por U ( x )=3 x2−2x3, donde U se expresa en julios y x en metros. (a) Determinar la fuerza que actúa sobre este cuerpo. (b) ¿En qué posiciones está el objeto en equilibrio? (c) ¿Cuáles de estas posiciones de equilibrio son estables y cuáles inestables?

Planteamiento del problema: F x se define como el negativo de la derivada del potencial función con respecto a x, es decir, F x=−dU /dx.En consecuencia, habida cuenta de U como una función de x, podemos encontrar F x diferenciando U con respecto a x. Para determinar si el objeto está en equilibrio

estable o inestable en un punto dado, evaluaremos d2U /d x2 en el lugar de interés.

(a) Evaluando F x=−dU

dx:

F x=−ddx

(3 x2−2 x3 )=6 x (x−1)

(b) Sabemos que en el equilibrio, F x=0:Cuando F x=0, 6 x (x−1 )=0. Por lo tanto, el objeto está en equilibrio en x=0 y x=1m.

(c) Decidir si la equilibrio en un punto en particular es estable o inestable, evaluar el segundo derivado de la energía potencial función en el punto de interés:

dUdx

= ddx

(3 x2−2 x3 )=6 x−6 x2 y

d2Ud x2

=6−12 x

Evaluar d2Ud x2

en x=0:

d2Udx2 |

x=0

=6>0

⇒Equilibrio estable en x=0

Evaluar d2Ud x2

en x=1:

d2Udx2 |

x=1m

=6−12<0

⇒Equilibrio inestable en x=1m

67 ++ La energía potencial de un objeto viene dada por U ( x )=8 x2−x4, en donde U se expresa en julios y x en metros. (a) Determinar la fuerza que actúa sobre este objeto. (b) ¿En que posiciones el objeto se encuentra en equilibrio? (c) ¿Cuáles de estas posiciones de equilibrio son estables y cuales son inestables?

Planteamiento del problema: F x se define como el negativo de la derivada del potencial función con respecto a x , es decir, F x=−dU /dx. En consecuencia, habida cuenta de U como una función de x, podemos encontrar F x diferenciando U con respecto a x. Para determinar si el objeto es en equilibrio estable o inestable en un punto dado, evaluaremos d2U /d x2 en el punto de interés.

(a) Evaluar el negativo de la derivada de U con respecto a x:

F x=−dU

dx

¿− ddx

(8 x2−x4 )=4 x3−16 x

¿4 x ( x+2 ) (x−2 )

(b) El objeto está en equilibrio donde Fneto=Fx=0:4 x ( x+2 ) (x−2 )=0 ⇒ los puntos de equilibrio son x=−2m .0 , y 2m

(c) Decidir si la equilibrio en un punto en particular es estable o inestable, evaluar el segundo derivado de la energía potencial función en el punto de interés :

d2Ud x2

= ddx

(16 x−4 x3 )=16−12 x2

Evaluar d2Ud x2

en x=−2m:

d2Ud x2 |x=−2m

=−32<0

⇒ Equilibrio inestable en x=−2m

Evaluar d2Ud x2

en x=0:

d2Ud x2 |x=0

=−16>0

⇒ Equilibrio estable en x=0

Evaluar d2Ud x2

en x=2m:

d2Ud x2 |x=2m

=−32<0

⇒ Equilibrio inestable en x=2m

OBSERVACIONES: También puede decidir si las posiciones de equilibrio son estables o inestable por el trazado de F (x) y el examen de la curva en las posiciones de equilibrio.

68 ++ La fuerza que actúa sobre un objeto viene dada por la expresión F ( x )=x3−4 x. Localizar las posiciones de equilibrio estable e inestable y demostrar que en estos U (x ) es respectivamente un máximo o un mínimo local.

Planteamiento del problema: F x se define como el negativo de la derivada del potencial función con respecto a x, es decir,F x=−dU /dx. En consecuencia, dada F como una función de x, podemos encontrar U integrando F x con respecto a x. Evaluando d2U /d x2 en puntos extremos determinarán la naturaleza de la estabilidad en estos lugares.

Determinar las ubicaciones de equilibrio mediante el establecimiento de Fneto=F ( x )=0

F ( x )=x3−4 x=x ( x2−4 )=0

∴ Las posiciones estable e inestable de equilibrio están en: x=−2 ,0 y 2

Evaluar el negativo de la integral de F (x) con respecto a x:

U ( x )=−∫F (x)

¿−∫(x3−4 x)dx

¿− x4

4+2 x2+U 0

Donde U 0 es una constante cuyo valor es determinado por las condiciones de U (x ).

Diferenciar U (x ) dos veces:

dUdx

=−Fx=−x3+4 x

y d2Ud x2

=−3x2+4

Evaluar d2Ud x2

en x=−2:

d2Ud x2 |x=−2

=−8<0

∴ El equilibrio es inestable en x=−2

Evaluar d2Ud x2

en x=0:

d2Ud x2 |x=0

=4>0

∴ El equilibrio es estable en x=0

Evaluar d2Ud x2

en x=2:

d2Ud x2 |x=2

=−8<0

∴ El equilibrio es inestable en x=2

Por lo tanto U (x ) tiene un minimo local en x=0 y máximo locales en x=±2.

69 ++ La energía de un objeto de 4 kg viene dada por U=3x2−x3 para x≤3m, y U=0 para x≤3m, en donde U se expresa en julios y x en metros. (a) ¿En qué posiciones se encuentra este objeto en equilibrio? (b) Hacer un gráfico de U en función de x obtenidos en (a). (d) Si la energía de la partícula es 12 J, ¿Cuál es su velocidad para x=2m?

Planteamiento del problema: F x se define como el negativo de la derivada del potencial función con respecto a x, es decir, F x=−dU /dx. En consecuencia, habida cuenta de U como una función de x, podemos encontrar F x diferenciando U con respecto a x. Para determinar si el objeto es en equilibrio estable o inestable en un punto dado, podemos examinar el gráfico de la U .

(a) Evaluar F x=−dU

dx para x≤3m:

F x=−ddz

(3 x2−x3 )=3x (2−x)

Conjunto F x=0 para identificar aquellos valores de para los cuales x del objeto de 4 kg está en equilibrio:

Cuando F x=0, 3 x (2−x )=0 . Por lo tanto, el objeto está en equilibrio en: x=0 y x=2m

Evaluar F x=−dU

dx para x>3m:

F x=0, porque U=0

Por lo tanto, el objeto está en equilibrio neutral para x>3m.

(b) Un gráfico de U ( x ) en el intervalo −1m≤ x≤3m se muestra a la derecha:

(c) De la gráfica,U (x ) es mínimo en x=0:∴ Equilibrio estable en x=0

De la gráfica, U (x ) es un máximo en x=2m

∴ Equilibrio inestable en x=2m

(d) Relacionar la energía cinética que se opone a su energía total y su potencial energético:

K=12

mv2=E−U

Resolviendo para v:

v=√2¿¿¿

Evaluar U (x=2m):

U ( x=2m )=3 (2 )2−(2 )3=4 J

Sustituir en la ecuación para v a obtener:

v=√ 2(12 J−4 J )4kg

=2.00m /s

70 ++ Una fuerza viene dada por F x=A x−3, siendo A=8N .m3. (a) Para valores positivos de x, ¿crece o decrece la energía potencial asociada con esta fuerza al crecer x? (Para responder a esta cuestión imagínese lo que le ocurriría a una partícula si se la dejara en reposos en algún punto x y luego se la liberara.) (b) Determinar la función energía potencial U asociada con esta fuerza, de modo que U se aproxime a cero cuando x tiende a infinito. (c) Representar U en función de x.

Planteamiento del problema: F x se define como el negativo de la derivada del potencial función con respecto a x, que es F x=−dU /dx.En consecuencia, dada

F como una función de x, podemos encontrar U integrando F x con respecto a x.

(a) Evaluar el negativo de la integral de F ( x ) con respecto a x:

U ( x )=−∫F ( x )=−∫ A x−3dx

¿ 12

A

x2+U 0

Donde U 0 es una constante cuyo valor es determinado por las condiciones en U (x ).

Para x>0:

U disminuye a medida que aumenta x.

(b) Como x→∞, 12

A

x2→0:

∴U 0=0

y U ( x )=12

Ax2

=128N .m3

x2= 4

x2N .m3

(c) La gráfica de U (x ) se muestra a la derecha:

71 +++ Un reloj de masa m, como el que se muestra en la figura 6.41, cuelga de dos cables ligeros que pasan por dos poleas de las que cuelgan dos contrapesos de masa M . (a) Determinar la energía potencial del sistema en función de la distancia y. (b) Determinar el valor de y para el cual la energía potencial del sistema es mínima. (c) Si la energía potencial es mínima, el sistema está en equilibrio. Aplicar la segunda ley de Newton al reloj y demostrar que está en equilibrio (la suma de las fuerzas sobre él es cero) para el valor de y obtenido en el apartado (b). ¿Es éste un punto de equilibrio estable o inestable?

Planteamiento del problema: Sea L la longitud total de un cable y el cero de la gravedad energía potencial sea en la parte superior de las poleas. Podemos encontrar el valor de y para los que la energía potencial del sistema es un extremo mediante la diferenciación de U ( y) con respecto a y, el establecimiento de este derivado igual a cero. Podemos establecer que este valor corresponde a un mínimo mediante la evaluación de la segunda derivada de U ( y) en el punto identificado por el primero derivado. Podemos aplicar la segunda ley de Newton al reloj para confirmar el resultado que obtenemos por examinar los derivados de U ( y).

(a) Expresar la energía potencial del sistema como la suma de las potenciales energías del reloj y contrapesos:

U ( y )=U reloj ( y )+U pesos( y )

Sustituyendo se obtiene:

U ( y )=−mgy−2Mg (L−√ y2−d2)

(b) Diferenciar U ( y) con respecto a y:dU ( y )

dy=−d

dy[mgy+2Mg (L−√ y2−d2)]

¿−[mg−2Mgy

√ y2−d2 ]o mg−2Mg

y '

√ y ' 2+d2=0 para los extremos.

Resolviendo para y para obtener:

y '=d √ m2

4M 2−m2

Encontrar: d2U ( y)

dy2:

d2U ( y)dy2

=−ddy [mg−2Mg

y

√ y2+d2 ]¿ 2Mgd2

( y2+d2)3/2

Evaluar d2U ( y)

dy2 en y= y ':

d2U ( y)dy2 |

y '

= 2Mg d2

( y2+d2)3 /2|y '

2Mgd

( m2

4M 2−m2 +1)3 /2

¿0 y la energía potencial es un mínimo en

y=d√ m2

4M 2−m2

(c) La FUP para el reloj es muestra a el derecho a:

Aplicar ∑ F y=0 al reloj:

2Mgsenθ−mg=0 y senθ= m2M

Exprese senθ en términos de y y d:

senθ= y

√ y2+d2

Sustituyendo se obtiene:

m2M

= y

√ y2+d2

Que es equivalente a la primera ecuación en la parte (b)

Este es un punto de equilibrio estable. Si el reloj se desplaza hacia abajo, θ aumenta, conduciendo a una mayor fuerza hacia arriba en el reloj. Del mismo modo, si el reloj se desplaza hacia arriba, la fuerza neta de los cables disminuye. Debido a esto, el reloj se retiró hacia el punto de equilibrio si se desplaza lejos de ella.

Observaciones: Debido a que hemos demostrado que la energía potencial del sistema es un mínimo en y= y ' (es decir, U ( y) es cóncava hacia arriba en ese momento), se puede concluir que este punto es uno de equilibrio estable.

77 +++ Las cuatro cuerdas de un violín pasan por encima del puente del instrumento tal como se muestre en la figura 6.42. El ángulo que las cuerdas forman con la normal al plano del instrumento es de 72° en cada lado. La fuerza normal total que presiona el puente en el violín es de 103 N y la longitud de las cuerdas desde el puente a las clavijas a las que están atadas es de 32,6 cm. (a) Determinar la tensión de las cuerdas del violín, suponiendo que es la misma para todas las cuerdas. (b) Una de las cuerdas está punteada una distancia de 4mm, como se muestra en la figura. Dibujar un diagrama que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la cuerda en ese punto, y determinar la fuerza que tira de la cuerda para que recupere su posición de equilibrio suponiendo que la tensión de la cuerda permanece constante. (c) Determinar el trabajo realizado sobre la cuerda al puntearla la distancia indicada. Recordar que la fuerza neta que tiende a volver a la cuerda a su posición de equilibrio depende de la posición de la misma, pero supóngase en este caso que es constante.

Planteamiento del problema: El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas que actúan sobre uno de las cuerdas en el puente. La fuerza cuya magnitud es F es un cuarto de la fuerza (103 N) el puente ejerce sobre las cuerdas. Podemos aplicar la condición de equilibrio en la dirección y para encontrar la tensión en cada cadena. La repetición de este procedimiento en el sitio del

desplume producirá la restauración fuerza que actúa sobre la cadena. Podemos encontrar el Trabajo realizado en la cadena, ya que vuelve al equilibrio a partir del producto del promedio de la fuerza que actúa sobre él y su desplazamiento.

(a) Teniendo en cuenta que debido a la simetría, T '=T , aplicar ∑ F y=0 en la cadena en el punto de contacto con el puente.

F−2Tsen18 °=0

Resuelva para evaluar T :

T=F

2 sen18 °=

14

(103N )

2 sen 18°=41.7N

(b) El diagrama que muestra el cuerpo libre, las fuerzas de recuperación de la cadena a su posición de equilibrio justo después de que tiene ha arrancado se muestra a la derecha

Expresar la fuerza neta que actúa sobre la cadena inmediatamente después de que es lanzado:

Fneta=2Tcosθ

Utilizamos trigonometría para encontrar θ

θ=tan−1(16.3cm4mm

×10mm

cm )=88.6 °

Sustituyendo y evaluando la Fneta

Fneta=2 (34.4N ) cos88.6 °=1.68N

(c) Expresar el trabajo realizado en la cadena, en el desplazamiento de una distancia dx '

dW =Fdx '

Si tiramos de la cuerda hacia fuera una distancia x ' , la magnitud de la fuerza tirando de él hacia abajo es aproximadamente:

F=(2T ) x '

L2

= 4TL

x '

Sustituyendo para obtener:

dW =4TL

x ' dx '

Integrar para obtener:

dW =4TL∫0

x

x ' d x '=2 tL

x2

Donde x es el desplazamiento final de la cadena.

Sustituyendo los valores numéricos para obtener:

W =2 (41.7N )32.6×10−2m

(4×10−3)2

W =4.09mJ

78 ++ La fuerza que actúa sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje x viene dada por F x=−ax2, siendo a una constante. Calcular la función energía potencial U sabiendo que U=0 para x=0 y representar un gráfico de U en función de x.

Planteamiento del problema: F x se define como el negativo de la derivada del potencial función con respecto a x, que es F x=−dU /dx. En consecuencia, dada F como una función de x, podemos encontrar U integrando F x con respecto a x.

Evaluar la integral de F x con respecto a x:

U ( x )=−∫F ( x ) dx=−∫(−a x2)dx

¿ 13

a x3+U 0

Aplicar la condición de que U (0 )=0 para determinar U 0

U (o )=0+U 0=0⇒U 0=0

∴U ( x )=13

ax3

La gráfica de U (x ) se muestra a la derecha:

79 ++ Una fuerza actúa sobre un carro de masa m de tal modo que la velocidad v del carro se incrementa con la distancia x según la expresión v=Cx, donde C es una constante. (a) Determinar la fuerza que actúa sobre el carro en función de la posición. (b) ¿Qué trabajo realiza la fuerza al moverse el carro de x=0 a x=x i?

Planteamiento del problema: Podemos utilizar la definición de trabajo para obtener una expresión para la fuerza dependiente de la posición que actúa sobre el carro. El trabajo realizado en el carro se puede calcular de su cambio en la energía cinética.

(a) Expresar la fuerza que actúa sobre el carro en términos del trabajo realizado:

F (x)=dWdx

Debido a que U es constante:

F ( x )= ddx ( 12m v2)= d

dx [ 12 m (Cx )2]F ( x )=mC2 x

(b) El trabajo realizado por esta fuerza cambia la energía cinética del carro:

W =∆ K=12

mv12−12

m v02

W =12

m v12−0=1

2m(C x1)

2

W =12

mC2 x12

80 ++ Una fuerza F=(2N /m2 ) x2 i se aplica a una partícula. Determinar el trabajo realizado por la partícula cuando se mueve a lo largo de una distancia total de 5 m (a) paralelamente al eje y desde el punto (2 m, 2 m) hasta el punto (2 m, 7 m) y (b) en línea recta desde (2 m, 2 m) a (5 m, 6 m).

Planteamiento del problema: El trabajo realizado por F depende de si se provoca un desplazamiento en la dirección que actúa.

(a) Debido a que F es a lo largo del eje x y el desplazamiento es a lo largo del eje y:

W =∫ F . ds=0

(b) Calcular el trabajo realizado por F durante el desplazamiento desde x=2m a 5m

W =∫ F . ds=∫2m

5m

(2N /m2)x2dx

W =( 2N

m2 )[ x3

3 ]2m

5m

=78.0 J

81 ++ Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje x. Su posición varía con el tiempo según la ecuación x=2 t3−4 t 2, en donde x se mide en metros y t en segundos. Determinar (a) la velocidad y aceleración de la partícula en cualquier instante t , (b) la potencia suministrada a la partícula en cualquier instante t , (c) el trabajo realizado por la fuerza de t=0 a t=t 1.

Planteamiento del problema: La velocidad y la aceleración de la partícula puede ser encontrada por diferenciación. La potencia suministrada a la partícula se puede expresar como el producto de la velocidad y la fuerza neta que actúa sobre él, y el trabajo realizado por la fuerza y se pueden encontrar desde el cambio en la energía cinética que provoca trabajo.

Entonces, t está en segundos y m es en kilogramos, entonces v es en m /s, a es en m /s2 , P en W , y W es en J

(a) La velocidad de la partícula está dada por:

v=dxdt

= ddt

(2t 3−4 t 2)

v=(6 t2−8 t )

La aceleración de la partícula está dada por:

a=dvdt

= ddt

(6 t 2−8 t)

a=(12 t−8)

(b) Expresar y evaluar la velocidad a la cual la energía se entrega a las partículas, ya que acelera:

P=Fv=mav

P=m(12t−8)(6 t 2−8 t)

P=8m(9 t2−18 t +8)

(c) Debido a que la partícula se mueve de tal manera que su energía potencial no está cambiando, el trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre la partícula es igual al cambio de su energía cinética.

W =∆ K=K1−K0

W =12

m [ (v (t 1 ))2−( v (0 ) )2 ]

W =12

m [(6 t 12−8 t1 ) ]

2−0

W =2mt 12(3t 1−4)

2

Observaciones: También pudieron encontrar W mediante la integración de P(t ) con respecto al tiempo.

82 ++ Una partícula de 3 kg parte del reposo en x=0 y se mueve bajo la influencia de una sola fuerza F x=6+4 x−3 x2 en donde F x se mide en newtons y x en metros. (a) Determinar el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se desplaza de x=0 a x=3m. (b) Determinar la potencia suministrada a la partícula cuando se encuentra en x=3m.

Planteamiento del problema: Podemos calcular el trabajo realizado por la fuerza dada de su definición. La potencia puede determinarse a partir de P=F . v y v a partir del cambio en energía cinética de la partícula producida por el trabajo realizado en ella.

(a) Calcule el trabajo realizado desde su definición:

W =∫ F . ds=∫0

3m

(6+4 x−3 x2 ) dx

W =[6 x+4 x2

2−3 x3

3 ]0

3m

W =9.00J

(b) Expresar la potencia entregada a la partícula en términos de F x=3m y su velocidad:

P=F . v=Fx=3m v

Relacionar el trabajo realizado sobre de la partícula con su energía cinética y velocidad:

W =∆ K=K fina l=12

m v2desde v0=0

Resolviendo v:

v=√ 2Km

=√ 2(9J )3 kg

=2.45m /s

Evaluar F x=3m:

F x=3m=6+4 (3 )−3 (3 )2=−9N

Sustituyendo F x=3m y v:

P=(−9N )(2.45m /s)=−22.1N

83 ++ La energía cinética inicial impartida a una bala de 0.020 kg es de 1200 J. Despreciando la resistencia del aire, determinar el alcance de este proyectil cuando se dispara bajo un ángulo tal que el alcance es igual a la altura máxima de la trayectoria.

Planteamiento del problema: Suponiendo que la altura de disparo es insignificante y que la bala está a la misma altura de la que fue despedido. Podemos utilizar la ecuación R=(v¿¿02/g) sen2θ ¿ para encontrar el rango de las ecuaciones de la bala y de la aceleración constante, encontrar su altura máxima. Velocidad inicial de la bala se puede determinar a partir de su energía cinética.

Expresar el rango de la bala como una en función de su velocidad de disparo y el ángulo de despido:

R=v02

gsen 2θ

Volviendo a escribir la ecuación utilizando el rango con identidades trigonométricas sen2θ=2 senθcosθ.

R=v02

gsen 2θ=

2v02 senθcosθ

g

Exprese las coordenadas de posición del proyectil a lo largo de su trayectoria de vuelo en términos del parámetro t :

x=(v0 cosθ) t y y=( v0 senθ ) t−12

g t 2

Eliminar el parámetro t y hacer uso del hecho de que la máxima altura se produce cuando el proyectil está en la mitad del rango para obtener:

h=(v0 senθ)2

2g

Equiparar R y H y resolver la ecuación para θ:

tanθ=4 ⇒ θ=tan−14=76.0°

Relacionar la energía cinética de la bala, su masa y velocidad:

K=12

v02 y v0

2=2km

Sustituyendo v02 y θ y evaluar R:

R=2 (1200 J )

(0.02kg )(9.81 m

s2 )sen 2 (76 )°

84 ++ La figura 6.43 nos muestra la fuerza F x que actúa sobre una partícula en función de x. (a) A partir del gráfico calcular el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se desplaza desde x=0 a los siguientes valores de x :−4 ,−3 ,−2 ,−1 ,0 ,1 ,2 ,3 y 4m. (b) Representar la energía potencial U en función de x para un intervalo de x que oscila de −4m a +4m suponiendo que U=0 para x=0.

Planteamiento del problema: El trabajo realizado sobre la partícula es el área bajo el desplazamiento de fuerza frente curva. Nótese que para los desplazamientos negativos, F es positivo, por lo que W es negativo para x<0

(a) Utilizar cualquiera de las fórmulas para las áreas de figuras geométricas simples o contando cuadrados y multiplicando por el trabajo representado por un cuadrado para completar la tabla a la derecha:

x W(m)

(J)

-4 -11-3 -10

-2 -7-1 -30 01 12 03 -24 -3

(b) La elección de U (0)=0, y el uso de la definición de ∆ U=−W , completa la tercera columna de la tabla:

x W ∆ U(m) (J) (J)-4 -11 11-3 -10 10-2 -7 7-1 -3 30 0 01 1 -12 0 03 -2 24 -3 3

El gráfico de la U como una función de x es:

85 ++ Repetir el problema 84 para la fuerza F x que se muestra en la figura 6.44

Planteamiento del problema: El trabajo realizado sobre la partícula es el área bajo el desplazamiento de fuerza frente curva. Nótese que para los desplazamientos negativos, F es negativo, por lo que W es positivo para x<0

(a) Utilizar cualquiera de las fórmulas para el áreas de figuras geométricas simples o contando cuadrados y multiplicando por el trabajo representado por un cuadrado para completar la tabla a la derecha:

x W(m)

(J)

-4 6-3 4-2 2-1 0.50 01 0.52 1.53 2.54 3

(b) La elección de U (0)=0, y el uso de la definición de ∆ U=−W , completa la tercera columna de la tabla:

x W ∆ U(m) (J) (J)-4 6 -6-3 4 -4-2 2 -2-1 0.5 -0.50 0 01 0.5 -0.52 1.5 -1.53 2.5 -2.5

4 3 -3

El gráfico de la U como una función de x es:

86 ++ Una caja de masa M se encuentra en la parte más baja de un plano inclinado sin rozamiento (figura 6.45). La caja está atada a una cuerda que tira de ella con una tensión constante T . (a) Determinar el trabajo realizado por la tensión T cuando la caja se ha desplazado una distancia x a lo largo del plano. (b) Determinar la velocidad de la caja en función de x y θ. (c) Determinar la potencia desarrollada por la tensión en la cuerda en función de x y θ.

Planteamiento del problema: La pictórica representación muestra el cuadro en su posición inicial 0 en la parte inferior de la inclinación y más tarde en la posición

Asumiremos que el bloque está en la posición 0. Debido a que la superficie es sin fricción, el trabajo realizado por la tensión va a cambiar tanto el potencial como energía cinética del bloque. Usaremos la Segunda ley de Newton para encontrar la aceleración del bloque por la pendiente y un aceleración constante ecuación para expresar v en términos de T , x, M , y θ . Por último, podemos expresarla en energía producida por la tensión en términos de la tensión y la velocidad de la caja.

(a) Utilizar la definición del trabajo para expresar el trabajo de la tensión T hace mover el cuadro de una distancia x del bloque inclinado:

W =Tx

(b) Aplicar ∑ F x=M ax a la cajaT−Mgsenθ=M ax

Resolviendo para ax:

ax=T−Mgsenθ

M= T

M−gsenθ

Utilizando una constante de aceleración, expresar la velocidad en términos de su aceleración y la distancia x del bloque inclinado:

v2=v02+2ax x

Si: v0=0

Entonces: v=√2ax x


v=√2( TM

−gsenθ) x

(c) La energía producida por la tensión en la cuerda está dada por:

P=Tv=T √2( TM

−gsenθ) x

87 ∎∎∎ Una fuerza en el plano xy viene dada por F=(FO/r )( y i−x j), en

donde FO es una constante y r=√x2+ y2. (a) Demostrar que el módulo de

esta fuerza es FO y su dirección es perpendicular a r=xi+ y j. (b) Determinar el trabajo realizado por esta fuerza sobre una partícula que se mueve en un círculo de radio 5m centrado en el origen. ¿Es conservativa esta fuerza?

Planteamiento del problema Podemos utilizar la definición de la magnitud del vector para demostrar que la magnitud de F es FOy la definición del producto escalar para mostrar que su dirección es perpendicular al r. El trabajo realizado como la partícula se mueve en una trayectoria circular se puede encontrar de su definición.

(a) Exprese la magnitud de F : |F|=√F X2 +FY

2

¿√( FO

ry )2

+(−FO

rx)2

¿FO

r√x2+ y2

Porque:r=√x2+ y2 |F|= FO

r√ x2+ y2=

FO

rr = FO

Formar el producto escalar de Fy r: |F|=(FO

r ) ( y i−x j )∙ (x i+ y j)

¿( FO

r ) ( xy−xy )=0

Porque F ∙ r=0. F⏊ r

(b) Porque F⊥ r, F es tangencial al círculo y constante. En (5 m, 0), F señala en el dirección j. si d s está en el dirección j, dW >0 . El trabajo que hace en una revolución es:

W =F0 (2πr )=2π (3m)F0

¿(10πm) F0 si la rotación es en sentido horario y

W =(−10 πm) F0 si la rotación es en sentido

antihorario

W =(10 πm) F0 si la rotación es en sentido horario, (−10 πm)F0 si la

rotación es en sentido antihorario. Debido a W ≠0 para un circuito completo, F no es conservadora.

88 ∎∎∎ Una fuerza en el plano xy viene dada por: F=−(b /r3 )(x i+ y j), donde

b es una constante y r=√x2+ y2. (a) Demostrar que el módulo de la fuerza

varía según el inverso del cuadrado de la distancia al origen, y

que su dirección es antiparalela (opuesta) al vector radio r=(x i+ y j). (b) Si b = 3 N∙m2, determinar el trabajo realizado por esta fuerza sobre una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta entre la posición inicial x = 2m, y = 0m y una posición final x=5m, y =0m. (c) Determinar el

trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula que se mueve por un círculo de radio r = 7m centrado en el origen. (d) Si esta fuerza es la única fuerza que actúa sobre la partícula. ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando se mueve por el círculo? Suponer que la masa de la partícula es m=2kg.

Planteamiento del problema Podemos sustituir r y x i+ y j en F para demostrar que la magnitud de la fuerza varía como la inversa del cuadrado de la distancia al origen, y que su dirección es opuesta al radio vector. Podemos encontrar el trabajo realizado por esta fuerza mediante la evaluación de la integral de Fcon respecto a x desde una posición inicial x = 2 m, y = 0 m hasta una posición final x = 5 m, y = 0 m. Por último, podemos aplicar la segunda ley de Newton a la partícula para relacionar su velocidad a su radio, la masa y la constante b.

(a) Sustituir r y x i+ y j en F para obtener:

F=−( b

( x2+ y2 )3 /2 )√ x2+ y2 r

donde r es un vector unitario que apunta desde el origen hacia el punto de aplicación de F


F=−b ( 1

x2+ y2 ) r=−b

r2r

es decir, la magnitud de la fuerza varía como el inverso del cuadrado de la distancia al origen, y su dirección es antiparalela (opuesta) al radio vector r=xi+ yj .

(b) Calcular el trabajo realizado por esta fuerza mediante la evaluación de la integral de Fcon respecto a x desde una posición inicial x = 2 m , y = 0 m hasta una posición final x = 5 m , y = 0 m:

W =−∫2m

5mbx '2

d x '=b [ 1x ' ]2m

5m

¿3N ∙m2( 15m− 12m )=−0.900J

(c) Ningún trabajo se hace como la fuerza es perpendicular a la velocidad.

(d) Debido a que la partícula se mueve en un círculo, la fuerza sobre la partícula debe ser el suministro de la aceleración centrípeta mantenerla en movimiento en el círculo. Aplicar Σ F r=m ac de la partícula :

br2

=mv2

r

Resolver para v:

v=√ bmr

Sustituir los valores numéricos y evaluar v:

v=√ 3N ∙m2

(2kg)(7m)=0.463m/ s

89 ∎∎∎ Según Richard Feynman, uno de los más brillantes físicas del siglo XX, “Si en algún cataclismo se destruyera todo el conocimiento científico, y sólo pasara una frase a la generación siguiente, ¿Qué frase contendría más información en menos palabras? Yo creo que es… que todos los objetos están formados por átomos: pequeñas partículas… que se atraen entre sí cuando están muy cerca, pero que se replen cuando se las aprieta una contra otra.” Cuando los físicos y los químicos contemporáneos describen la fuerza entre atomos, modelan la interacción entre los átomos con el potencial “6-12”, donde la función energía potencial entre dos átomos viene dada por la forma funcional.

U (r )= a

r12− b

r6

en donde r es la distancia entre los núcleos atómicos y en donde a y b son constantes que se determinan espectroscópicamente. Al no formarse enlaces atómicos, los átomos de los gases nobles tienen funciones de energía potencial que se modelan adecuadamente con el potencial 6-12 y responden bien a las medidas experimentales. En caso del argón, a = 1,09

×10−7J y b = 6,84 ×10−5J, si r se mide en nm (1nm = 10−9m) y U en eV (1eV

= 1.6×10−19J) (a) Usando una hoja de cálculo, representar la función energía potencial en función de su separación para dos átomos de argón, con valores de r entre 0.3 nm y 0,7 nm. La forma de la función energía potencial ¿Apoya la opinión de Feynman? Explicarlo. (b) ¿Cuál es el valor mínimo de la energía potencial (comparada con átomos que están muy separados)? ¿A qué distancia se da el mínimo? ¿El mínimo es estable o inestable? (c) A partir del gráfico o de la fórmula, estimar la fuerza de atracción entre dos átomos de argón separados una distancia de 5Å y la fuerza de repulsión para una separación de 3,5 Å. Asegurarse a convertir las unidades al sistema internacional.

Imagen Problema A de la hoja de cálculo para calcular el potencial que se muestra a continuación. Las constantes utilizadas en la función de potencial y la fórmula utilizada para calcular la " 6-12" potencial son los siguientes:

Célula Contenido/Fórmula Forma algebraicaB2 1.09×10-7 aB3 6.84×10-5 b

D8 B2/C8∙12−B3/C8∙6 a

r12− b

r6

C9 C8+0.1 r + Δr(a)

El gráfico muestra a continuación se genera a partir de los datos de la tabla que se muestran arriba. Debido a la fuerza entre los núcleos atómicos es dada por F=−(dU /dr ), podemos concluir que la forma de la función de energía potencial justifica la petición de Feynman.

(b) El valor mínimo es de aproximadamente -0.0107 eV, que se producen en una separación de aproximadamente 0.380 nm. Debido a que la función es cóncava hacia arriba (un potencial de "pozo" ) en esta separación, esta separación es uno de equilibrio estable , aunque muy poco profunda.

(c) Relacionar la fuerza de atracción entre dos átomos de argón a la pendiente de la energía potencial función:

F=−dUdr

=−ddr [ a

r12− b

r 6 ]¿ 12a

r13−6b

r7

Sustituir los valores numéricos y evaluar F (5 Å):

F=12 (1.09×10−7 )

(0.5nm )13−6 (6.84×10−5 )

(0.5nm )7=−4.18×10−2

eVnm

×1.6×10−19 J

eV×1nm10−9m

¿−6.69×10−12

donde el signo menos significa que la fuerza es atractiva .

Sustituir los valores numéricos y evaluar F (3,5 Å):

F=12 (1.09×10−7 )

(0.35nm )13−6 (6.84×10−5 )

(0.35nm )7=4.68×10−1

eVnm

×1.6×10−19 J

eV×1nm10−9m

¿7.49×10−11N

donde el signo más significa que la fuerza es repulsiva .

90 ∎∎∎ El potencial de Yukawa U (r )=−U 0 (a/r ) e−r /a, en donde U 0 y a son

constantes, y r es la separación entre dos nucleones, es una fórmula teórica para la función energía potencial asociada con la fuerza nuclear entre dos nucleones. (a) Usando una hoja de cálculo, como Microsoft ExcelTM por ejemplo, representar gráficamente U frente a r, usando U0 = 4pJ (un picojoule, pJ, es 1×10−12J) y a = 2,5fm (un femtometro, fm es 1

×10−15m). (b) Determinar la fuerza F(r) en función de la separación entre

dos nucleones. (c) Comparar el módulo de la fuerza cuando la separación es r = 2a con la que se da cuando r = a. (d) Comparar el módulo de la fuerza para la separación r=5a con la que se da cuando r = a.

Imagen Problema A de la hoja de cálculo a trazar el potencial de Yukawa se muestra a continuación. Las constantes utilizadas en la función potencial y la fórmula utilizada para calcular el Potencial de Yukawa son los siguientes:

Célula Contenido/Fórmula Forma algebraica

B1 4 U 0

B2 2.5 a

D8 −$B$1*($B$2/C9)*EXP(−C9/$B$2) ¿−U 0(ar

)e−r /a,

C10 C9+0.1 r + Δr

(a)

U como una función de r se muestra a continuación

.(b) Relacionar la fuerza entre el nucleones a la pendiente de la potencial

función de energía:

F (r )=−dU (r )dr

¿− ddr [−U 0( a

r )e−r /a]¿−U 0 e

−r /a( a

r2+1r )

(c) Evaluar F ( 2a ):

F (2a)=−U0 e−2a /a( a

(2a)2+1a )

¿−U 0 e−2( 34a )

Evaluar F (a):

F (a)=−U 0 e−a/a( a

(a)2+1a )

¿−U 0 e−1( 1a+ 1

a )=−U 0e−1( 2a )

Expresar la relación F (2a)/F (a):

F (2a)F (a)

=−U 0 e

−2( 34a )−U 0e

−1( 2a )=38

e−1

¿0.138Evaluar F (5a) :

F (5a)=−U 0 e−5a /a( a

(5a)2+15a )

¿−U 0 e−5( 625a )

Expresar la relación F (5a)/F (a) :

F (5a)F (a)

=−U 0 e

−5( 625a )−U 0 e

−1( 2a )= 325

e−4

¿2.20×10−3

EJERCICIOS: CAPITULO 7 “CONSERVACION DE LA ENERGÍA”

7 ∎∎ Supóngase que al frenar se ejerce una fuerza de rozamiento constante sobre las ruedas de un coche las ruedas de un coche. Si esto es así, se deduce que (a) la distancia que el coche recorre antes de pararse es proporcional a la velocidad que tenía antes de accionar de los frenos, (b) la energía cinética del coche disminuye a una tasa constante, (c) la energía del coche es inversamente proporcional al tiempo que ha pasado desde la aplicación de los frenos, (d) ninguna de las respuestas anteriores es cierta.

Planteamiento del problema Debido a que la fuerza de fricción constante es responsable de una constante aceleración, podemos aplicar las ecuaciones de aceleración constante para el análisis de estas declaraciones. También podemos aplicar el teorema de trabajo-energía con la fricción para obtener expresiones para la energía cinética del vehículo y la velocidad a la que está cambiando. Elegir que el sistema incluya la tierra y el coche y se supone que el coche se está moviendo en una superficie horizontal de modo que ∆ U=0 .

(a) Una fuerza de rozamiento constante causa una aceleración constante. La distancia de frenado del coche es relacionada con su velocidad antes de que los frenos se hayan aplicado a través de una ecuación constante aceleración.

v2=v02+2a∆ s , donde: v=0

∴∆s=−v0

2

2a ; donde: a<0

Por lo tanto: ∆ s∝ v02y la declaración (a) es falsa.

(b) Aplicar el teorema de trabajo-energía con la fricción para obtener:

∆ K=−W t=−μk mg ∆ s

Expresar la velocidad a la que K es disipado:∆ K∆ t

=−μk mg∆ s∆ t

Así, ∆ K∆ t

∝ v y por lo tanto no es constante. Declaración (b) es falsa.

(c) En la parte (b) vimos que:K ∝∆s

Como ∆ s∝∆ t :

K ∝∆s , y la declaración de (c) es falsa.

Debido a que ninguna de las anteriores son correctas: (d) es correcto.

9∎∎Una piedra atada al extremo de una barra sin masa rígida se mueve en una circunferencia vertical a velocidad constante. La energía total del movimiento no es constante, pero la energía cinética del movimiento sí lo es. En cambio, la energía potencial cambia continuamente. ¿Ejerce la barra una fuerza tangencial sobre la piedra?

Determinar el Concepto No. Desde el teorema trabajo-energía cinética, no hay trabajo total que se realiza en la roca, ya que su energía cinética es constante. Sin embargo, la varilla debe ejercer una fuerza tangencial en la roca para mantener la constante de velocidad. El efecto de esta fuerza es cancelar el componente de la fuerza de la gravedad que es tangencial a la trayectoria de la roca.

10 ∎∎ La tasa metabólica es el ritmo con que el cuerpo usa energía química para sustentar sus funciones vitales. Experimentalmente se ve que la tasa metabólica media es proporcional al área total superficial del cuerpo. El área superficial de un varón de 1,78m de altura y 80kg de peso es unos 2, 0m2, mientras que el de una mujer de 1,62m de altura y 50kg de peso es 1,5m2. Hay un cambio de un 1% en el área superficial por cada 1,2kg por encima o por debajo de los pesos y de un 1% por cada 7,5cm por encima o por debajo de las alturas que aquí se señalan. (a) Estime su su tasa metabólica usando la siguiente guía para la actividad física: tasa metabólica de: dormir: 40 W/m2; caminar: 160 W/m2; actividad física moderada: 175 W/m2; ejercicio aeróbico moderado: 300 W/m2. Compararlo con la potencia de una bombilla de 100 W. (b) Exprese su tasa metabólica media en kcal/día (1 kcal= 4190J). (Una kcal es la “caloría alimentaria” usada por los expertos en nutrición). (c) Un valor estimado por los dietistas es que una persona estándar debe comer entre 25-32 kcal/kg para mantener su peso. A partir de los cálculos del apartado (b) estimar si este valor es razonable.

Planteamiento del problema Usaremos los datos para el " hombre típico " descrito anteriormente y supongamos que pasa 8 horas al día durmiendo , a 2 horas a pie , a 8 horas sentado , a 1 hora en el ejercicio aeróbico , y 5 horas haciendo una actividad física moderada . Podemos aproximar su utilización de la energía haciendo uso de Eactiva=A Pactiva∆ t activa, donde A es el área de la

superficie de su cuerpo, Pctivity es la tasa de consumo de energía en una

determinada actividad, y ∆ t activa, es el momento pasado en la actividad. Su

consumo total de energía será la suma de los cinco términos correspondiente a sus actividades diarias.

(a) Exprese el consumo de energía del hombre hipotético:E=Edurmiendo+Ecaminando+E sentado+ Emod . act+Eaer .act

Evaluar Edurmiendo:Edurmiendo=APdurmiendo ∆ t durmiendo

¿(2m2)(40W /m2)(8h)(3600 s /h)¿2.30×106 J

Evaluar Ecaminando:Ecaminando=APcaminando ∆ t caminando

¿(2m2)(160W /m2)(2h)(3600 s /h)¿2.30×106 J

Evaluar E sentado:E sentado=APsentado ∆ t sentado

¿(2m2)(60W /m2)(8h)(3600 s /h)¿3.46×106 J

Evaluar Emod . act:Emod . act=APmod . act ∆ tmod . act

¿(2m2)(175W /m2)(5h)(3600 s/h)¿6.30×106 J

Evaluar Eaer .act:Eaer .act=APaer . act ∆ t aer . act

¿(2m2)(300W /m2)(1h)(3600 s /h)¿2.16×106 J


E=2.30×106 J +2.30×106 J +3.46×106 J+6.30×106 J+2.16×106 J

¿16.5×106 JExpresar la tasa metabólica media representado por esta energía consumo:

Pav=E∆ t

= 16.5×106 J(24h)(3600 s/h)

=191W

o aproximadamente el doble de la de una bombilla de 100 W

(b) Exprese su energía media consumo en términos de kcal /día:

E=16.5×106 J /dia4190 j /kcal

=3940kcal /día

(c) 3940kcal/día

175 lb=22.5kcal / lb

Es mayor que la estimada en el estado del problema. Sin embargo, mediante el ajuste de las actividades del día, la tasa metabólica puede variar más de un factor de 2.

24 ++ El sistema que se muestra en la figura 7.19 está en reposo cuando se corta la cuerda inferior. Determinar la velocidad de los objetos cuando están a la misma altura. En la polea no hay rozamiento y su masa es despreciable.

Planteamiento del problema Deje que el sistema incluya los dos objetos y la tierra. Entonces W ext=0. Elige U g=0 en la elevación en la que los dos objetos se encuentran. Con esta elección, la energía potencial inicial del objeto 3kg es positiva y la del objeto 2kg es negativo. Su suma, sin embargo, es positiva. Dada nuestra elección para U g=0, esta energía potencial inicial se transforma completamente en energía cinética.

Aplicar la conservación de la energía:W ext=∆ K+∆U g=0

o, como W ext=0,

Sustituir ∆ K y resuelve para vf; señalando que m representa la suma de las masas de los objetos tal como son tanto en movimiento en el estado final:

12

m v f2−12

m v i2=∆U g

o, como v i=0,

v f=√−2∆U g

m

Expresar y evaluar ∆ U g :

∆ U g=U gf−U gi

¿0−(3kg−2kg)(0.5m)×(9.81m / s2)

¿−4.91J

Sustituir y evaluar vf:

v f=√−2(−4.91J )5kg

=1.40m /s

25 ∎∎ Un bloque reposa sobre un plano inclinado como indica la figura 7.20. Por medio de una polea, el bloque está conectado a un muelle del cual se tira hacia abajo con una fuerza gradualmente creciente. El valor de μe es conocido. Determinar la energía potencial U del muelle en el momento que el bloque comienza a moverse.

Planteamiento del problema El diagrama cuerpo-libre muestra las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando está a punto de moverse. FSP es la fuerza

ejercida por el muelle y, debido el bloque está a punto de deslizarse, f S=f s ,max . Podemos utilizar la segunda ley de Newton, bajo condiciones de equilibrio, para expresar el alargamiento del muelle como una función de m ,k yθ y luego sustituir en la expresión para la energía potencial almacenada en un muelle estirado o comprimido.

Expresar la energía potencial cuando el bloque está a punto de mover:

U=12

k x2

Aplicar ΣF=ma , bajo condiciones de equilibrio, al bloque:

∑ F x=F sp−F s ,max−mgsenθ=o

y ∑ F y=Fn−mgsenθ=o

Usando F s ,max=μs Fn y F sp=kx , eliminar F s ,maxy F sp de la ecuación x y resuelve para x:

Sustituir x en la expresión para U :

U=12

k [ mg ( senθ+μs cosθ)k ]

2

¿[mg ( senθ+μs cosθ ) ]2

2k

26 ∎∎ Un bloque de 2,4kg se lanza desde una altura de 5,0m sobre un muelle cuya constante de fuerza es de 3955 N/m (figura 7.21). Cuando el bloque alcanza momentáneamente el reposo, el muelle se ha comprimido 25cm. Determinar la velocidad del bloque cuando la compresión del muelle es de 15cm.

Planteamiento del problema La mecánica de energía del sistema, que consta del bloque, el resorte, y la tierra, es inicialmente energía potencial gravitatoria completamente. Dejar Ug=0 donde se comprime el resorte 15 cm. Entonces la energía mecánica cuando la compresión del resorte es 15 cm a voluntad debe ser parcialmente cinética y parcialmente almacenada en el resorte. Podemos utilizar la conservación de energía para relacionar la energía potencial inicial del sistema a la energía almacenada en el resorte y la energía cinética del bloque cuando se ha comprimido el resorte 15 cm.

Aplicar conservación de la energía para el sistema:

∆ U+∆ K=0

U gf−U gi+U sf−U si+K f −K i=0

Como:U gf−U si=K i=0:

−U gi+U sf +K f =0

Sustituye hasta obtener:

−mg (h+x )+ 12

k x2+ 12

mv2=0

Resolver para v:

v=√2g (h+x )− k x2

m


v=√2 (9.81m/ s2 ) (5m+0.15m )−( 3955N

m ) (0.15 )2

2.4kg=8.00m /s

27 ∎∎ Una pelota en el extremo de una cuerda se mueve en un círculo vertical con energía constante E. ¿qué diferencia existe entre la tensión en la parte más baja del círculo y la tensión en la parte más alta del mismo?

Planteamiento del problema El diagrama representa la pelota que viaja en una trayectoria circular con energía constante. Ug ha sido elegido ser cero en el punto más bajo del círculo y el diagrama de cuerpo-libre superpuesto muestra las fuerzas que actúan sobre la bola en la parte superior e inferior de la trayectoria circular. Vamos a aplicar segunda ley de Newton a la pelota en la parte superior e inferior de su camino para obtener una relación entre el TT y la Tbc y la conservación de la energía mecánica a relacionar las velocidades de la pelota en estas dos ubicaciones.

Aplicar Σ F radial=F maradial a la pelota en la parte inferior del círculo y

resolverpara la T B:

T B−mg=mvB2

R

y T B=mg−mvB2

R…………..(1)

Aplicar Σ F radial=F maradiala la pelota en la parte superior del círculo y resolver para TT :

T T−mg=mvT2

R

y T T=mg−mvT2

R………….(2)

Restar la ecuación (2) de la ecuación (1) para obtener:

T B−TT=mg+mvB2

R−(−mg+m

vT2

R )¿m

vB2

R−m

vT2

R+2mg………….(3)

El uso de la conservación de la energía, se relacionan la energía mecánica de la pelota en la parte inferior de su camino a su energía mecánica en la parte

superior del círculo y resolver mvB2

R−m

vT2

R:

12

mvB2

R=12

mvT2

R+mg(2R)

mvB2

R−m

vT2

R=4mg

Sustituir en la ecuación (3) para obtener

T B−TT=6mg

28 ∎∎ Una muchacha de masa m lleva una cesta de comida a su abuela. Para cruzar un riachuelo ata una cuerda de longitud R a la rama de un árbol y comienza a oscilar desde el reposo en un punto que se encuentra a una distancia R/2 por debajo de la rama. ¿Cuál es la tensión mínima de rotura de la cuerda para que ésta no se rompa y la muchacha no caiga en el arroyo?

Planteamiento del problema Deje U g=0 en el punto más bajo de oscilación de la niña. Luego nos puede equiparar su energía potencial inicial de su energía cinética mientras pasa a través del punto más bajo en su oscilación de relacionar su velocidad v a R. La FUP muestran las fuerzas que actúa sobre la chica en el punto más bajo de su columpio. Aplicando segunda ley de Newton a su nos permitirá establecer la relación entre la tensión Ty su velocidad.

Aplicar Σ F radial=F maradial la chica en su punto más bajo y resolver para T :

T−mg=mv2

R

y T=mg−mv2

R

Equiparar potencial inicial de la niña energía para su energía cinética final y

resuelve para v2

R:

mgR2=12

mv2❑⇒ v2

R=g

Sustituir v2

R2y simplificar para obtener:

T=mg+mg=2mg

29 ∎∎ La vagoneta de una montaña rusa de masa 1500kg parte de un punto situado a una altura H de 23m sobre la parte más baja de un rizo de 15m de diámetro (figura 7.22). Si el rozamiento es despreciable, la fuerza hacia debajo de los carriles sobre la vagoneta cuando los viajeros están cabeza abajo en lo alto del rizo es (a) 4,6×104N, (b) 3,1 ×104 N, (c) 1,7 ×104

N, (d) 980N, (e) 1,6×103N.

Planteamiento del problema El diagrama de cuerpo- libre muestra las fuerzas que actúan sobre el coche cuando está boca abajo en la parte superior del bucle. Elige U g=0 en la parte inferior del bucle. Podemos expresar Fn en términos de v y R por aplicar segunda ley de Newton para el coche y a continuación, obtener una segunda expresión en estas mismas variables mediante la aplicación de la conservación de la energía mecánica. La solución simultánea de estas ecuaciones producirá una expresión para Fn en términos de cantidades conocidas.

Aplicar Σ F radial=F maradial para el coche en la parte superior del círculo y

resolver para Fn:

Fn+mg=mv2

R

y Fn=mg−mv2

R …………….(1)

El uso de la conservación de la energía, se relacionan la energía del coche en el que a partir de la energía de su movimiento cuando está en la parte superior del bucle:

mgH=12

m v2+mg(2 R)

Resuelva mv2

R:

mv2

R=2mg( H

R−2)…..…..(2)

Sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1) para obtener:

Fn=2mg( HR

−2)−mg

¿mg( 2HR

−5)Sustituir los valores numéricos y evaluar Fn:

Fn=(1500kg )( 9.81m

s2 ) [ 2 (23m)7.5m

−5]=1.67×104N ❑⇒

(c ) es correcto

31 ∎∎ Las vagonetas de la montaña rusa Graviton pasan por un bucle construido con el objeto de la que las personas que vayan montadas en ellas se sientan perfectamente ingrávidas cuando lleguen a la cima del arco. ¿Qué peso sentirán cuando lleguen al punto más bajo de la trayectoria, es decir, cuál es la fuerza normal que los hunde en el fondo de sus asientos al llegar al fondo del bucle? Expresar la respuesta en función del peso normal de una persona. Supóngase que la trayectoria es perfectamente circular y que sobre la vagoneta no hay fuerzas de rozamiento.

Planteamiento del problema Deje que el radio de la bucle sea Ry la masa de uno de los pilotos ser m. En la parte superior del bucle, la fuerza centrípeta en ella es su peso (la fuerza de la gravedad). Las dos fuerzas que actúan sobre ella en la parte inferior del bucle son la fuerza normal ejercida por el asiento del coche, empujando hacia arriba, y la fuerza de la gravedad, tirando hacia abajo. Nosotros podemos utilizar la segunda ley de Newton en tanto la parte superior y la parte inferior del bucle para relacionar la acelera en esos lugares a m y R y en b, a F, y luego usar la conservación de para relacionarse v tyvb.

Aplicar Σ F radial=F maradial al piloto en la parte inferior del arco circular:

F−mg=mvb2

R

Resolver para F para obtener:

F=mg+mvb2

R…………(1)

Aplicar Σ F radial=F maradialal piloto en la parte superior del arco circular:

mg=mv t2

R

Resolver v t2:

v t2=gR

Utilice conservación de la energía para relacionar las energías del piloto en la parte superior y la parte inferior del arco:

Kb−K t+U b−U t=0

o, como U b=0

Kb−K t−U t=0


12

m vb2=12

m v t2+2mgR=0

Resolver vb2:

vb2=5 gR


F=mg+m5 gR

R=6mg

es decir , el ciclista se sentirá seis veces más pesado de su peso normal.

32 ∎∎ Una piedra se lanza hacia arriba bajo un ángulo de 53º por encima de la horizontal. Su altura máxima durante la trayectoria es de 24m. ¿Cuál fue la velocidad inicial de la piedra?

Planteamiento del problema Deje que el sistema consista en la piedra y la tierra e ignorar la influencia de la resistencia del aire. Entonces W ext=0. Elija U g=0 como se muestra en la figura. Aplicar la ley de la conservación de la

energía mecánica para describir las transformaciones de energía como la piedra se eleva al punto más alto de su trayectoria

Aplicar conservación de la energía:

W ext=∆ K+∆U=0

y K1−K 0+U 1−U 0=0

Como U 0=0:

K1−K 0+U 1=0


12

m vx2−12

mv2+mgH=0

En la ausencia de resistencia del aire, la componente horizontal de v es constante e igual a vx=vcosθ . Por lo tanto:

12

m (vcosθ )2−12

m v2+mgH=0

Resolver para v:

v=√ 2 gH1−cos2θ


v=√ 2 (9.81m /s2 ) (24m )1−cos253 º

=27.2m/ s

33 ∎∎ Una pelota de béisbol de masa 0,17 kg se lanza desde el tejado de un edificio situado a 12m por encima del suelo. Su velocidad inicial es de 30 m/s y el ángulo de lanzamiento 40º sobre la horizontal. (a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota? (b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la gravedad cuando la pelota se mueve desde el tejado hasta su altura máxima? (c) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo?

Planteamiento del problema Deje que el sistema consista en la pelota y la tierra. Entonces W ext=0 . La figura muestra que la pelota está lanzada desde el

techo de un edificio. Elegir U g=0 al nivel del suelo. Podemos utilizar la conservación de la energía mecánica a determinar la altura máxima de la pelota y su velocidad en el impacto con el suelo. Podemos utilizar la definición del trabajo realizado por gravedad para calcular cómo había mucho trabajo realizado por la gravedad como la pelota se elevó a su altura máxima.

(a) Aplicar la conservación de la energía:W ext=∆ K+∆U=0

o K2−K1+U 2−U 1=0

Sustituir las energías para obtener:

12

m v22−12

m v12+mg h2−mg h1=0

Tenga en cuenta que, en el punto 2, la pelota está se mueve horizontalmente y:

v2=v1 cosθ

Sustituir v2y h2:

12

m ( v1 cosθ)2−12

m v12+mgH−mg h1=0

Resolver para H :

H=h1−v2

2g(cos2θ−1 )

Sustituir los valores numéricos y evaluar H :

H=12m−(30m /s )2

2 (9.81m /s2 )(cos240°−1 )

¿31.0m

(b) Usando su definición , expresar el trabajo realizado por la gravedad :

W g=−∆U=−(U H−U hi )¿−(mgH−mg hi )=−mg(H−hi)

Sustituir los valores numéricos y evaluar W g:

W g=−(0.17kg)(9.81m/ s2)(31m−12m)¿−31.7J

(c) Relacionar la mecánica inicial la energía de la bola a su justo antes del impacto energía :

12

m v i2+mg hi=

12

m v f2

Resolver parav f :

v f=√v i2+2ghi

Sustituir los valores numéricos y evaluar:

v f=√(30ms )

2

+2( 9.81m

s2 ) (12m)

¿33.7m /s

34 ∎∎ Un péndulo de 80cm de longitud con una lenteja de 0,6kg se suelta desde el reposo cuando el reposo cuando forma un ángulo inicial Ɵ0 con la vertical. En la parte más baja de su oscilación, la velocidad de la lenteja es 2,8 m/s. (a) ¿Cuál era el ángulo inicial del péndulo? (b) ¿Qué ángulo formará el péndulo con la vertical cuando la velocidad de la lenteja sea de 1,4 m/s?

Planteamiento del problema La figura muestra el péndulo Bob en su posición de liberación y en las dos posiciones en las que está en movimiento con las velocidades indicadas. Elija U g=0 en el punto más bajo de la oscilación .Podemos aplicar la conservación de la energía mecánica para relacionar los dos ángulos de interés para la velocidades de la lenteja en el intermedio y puntos bajos de su trayectoria.

(a) Aplicar la conservación de la energía:W ext=∆ K+∆U=0

o K f −K i+U f−U i=0

cuando U fy K i igual a cero:∴K f−U i=0

Expresa U i:

U i=mgh=mgL(1−cosθ0)

Sustituir K f y U i :

12

m v f2+mgL (1−cosθ0)=0

Resolver θ0:

θ0=cos−1(1− v2

2gL )Sustituir los valores numéricos y evaluar θ0:

θ0=cos−1(1− (2.8m /s )2

2 (9.81m /s2 )(0.8m))¿60.0 °

(b) Dejar cantidades cebados describir la ubicación indicada , utilice la ley de la conservación de la energía mecánica para relacionar la velocidad de la lenteja en este punto para θ:

K ' f−K i+U ' f−U i=0cuando K i=0

∴K ' f +U ' f−U i=0Exprese U ' f:

U ' f=mg h'=mgL(1−cosθ)

Sustituir para K ' f, U ' f y U i:

12

m ( v 'f )2+mgL (1−cosθ )

−mgL (1−cosθ0 )=0Resolver para θ:

θ0=cos−1[ ( v ' f )2

2 gL+cosθ0]

Sustituir los valores numéricos y evaluar θ:

θ0=cos−1[ (1.4m /s )2

2(9.81m /s2)(0.8m)+cos60 ° ]

¿51.3 °

35 ∎∎ El puente Royal Gorge sobre el río Arkansas tiene una altura aproximada de L=310m. Un saltador de masa 60kg tiene una cuerda elástica de longitud d = 50m atada a sus pies, Suponer que la cuerda actúa como un muelle de constante de fuerza k. El saltador se lanza, apenas toca el agua y después de numerosas subidas y bajadas se

detiene a una altura h sobre el agua. (a) Determinar h. (b) Determinar la velocidad máxima alcanzada por el saltador.

Planteamiento del problema Elige U g=0 en el puente, y dejar que el sistema

sea la tierra, el puente y la cuerda de Bunge. Entonces W ext=0. Utilice la conservación de energía mecánica para relacionarse con el tramo de su energía potencial gravitatoria inicial y final a la energía almacenada en la cuerda Bunge estirada. En la parte (b), vamos a utilizar una estrategia similar, pero incluimos un término de energía cinética porque estamos interezados en encontrar su velocidad máxima.

(a) Exprese su altura final h por encima el agua en términos de L , d y la distancia x la cuerda elástica tiene estirado:

h=L−d−x…………(1)Utilice la conservación de la mecánica energía para relacionar su energía gravitacional potencial cuando apenas toque el agua la energía almacenada en la cuerda elástica estirada:

W ext=∆ K+∆U=0

Como ∆ K=0 y ∆ U=∆U g+∆ U s−mgL+12

k x2=0

donde x es la distancia máxima que la cuerda elástica ha estirado .

Resolver para k:

k=2mgL

x2

Encuentra la distancia máxima de la cuerda elástica se extiende:

x=310m−50m=260mEvaluar k:

k=2(60kg)(9.81m /s2)(31m)

(260m )2

¿5.40N /m

Expresar la relación entre las fuerzas que actúan sobre ella cuando tiene viene finalmente a descansar y despejar x:

Fnet=kx−mg=0

y x=mgk

Evaluar x:

x=(60 kg)(9.81m /s2)

5.40N /m=109m

Sustituto en la ecuación (1) y evaluarh:

h=310m−50m−109m=151m

(b) El uso de la conservación de la energía , expresan su energía total E:

E=K+U g+U s=E i=0Debido a que v es un máximo cuando K es como máximo, para resolver K :

K=−U g−U s

¿mg (d+x )−12

kx2………….(1)

Utilice la condición para una extrema valor para obtener

dKdx

=mg−kx=0 para valores máximos

Resolver y evaluar para x:

x=mgk

=(60kg)(9.81m / s2)

5.40N /m=109m

Para la ecuación (1) tenemos:

12

m v2=mg (d+x )−12

k x2

Resolver para obtener v:

v=√2g (d+x )− kx2

m

Sustituir los valores numéricos y evaluar v para x=109m:

v=√2 (9.81m/ s2 ) (50m+109m )−(5.4N /m)(109m )2

60kg=45.3m /s

Como de Kd x2

=−K<0 , x=109mcorresponde a Kmaxy así v es un valor máximo

36 ∎∎ Un péndulo está formado por una lenteja de 2 kg atada a una cuerda ligera de longitud 3 m. la lenteja se golpea horizontalmente de modo que alcanza una velocidad horizontal inicial de 4.5 m/s. En el punto en que la cuerda forma un ángulo de 30° con la vertical. (a) ¿Cuál es el módulo de ala velocidad de la lenteja? (b) ¿Cuál es su energía potencial? (c) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (d) ¿Qué ángulo forma la cuerda con la vertical cuando la lenteja alcanza su máxima altura?

Planteamiento del problema Deje que el sistema sea la tierra y el péndulo. Entonces wext = 0. Elija Ug = 0 en el punto más bajo de la lenteja del péndulo y aplicar la ley de la conservación de la energía mecánica a su movimiento. Cuando la lenteja alcanza los 30° posición de su energía cinética será parcialmente y parcialmente potencial. Cuando llega a su altura máxima, su energía será enteramente potencial. La aplicación de la segunda ley de Newton, nos permitirá expresar la tensión en la cadena como una función de la velocidad de la lenteja y su posición angular.

a) Aplicar la conservación de la energía para relacionar las energías de la lenteja en los puntos 1 y 2:

W ext=∆ K+∆U=0 o K2−K1+U 2−U 1=0

Porque U1 = 0

12

m v22−12

m v12+U 2−U 1=0

Expresando U1

U 2=mgL(1−cosθ)

Sustituimos U2 para obtener

12

m v22−12

m v12+mgL(1−cosθ)=0

Despejando v2

v2=√v12−2 gL(1−cosθ ¿)¿

Sustituyendo los valores numéricos

v2=√(4.5 ms)2

−2(9.8m /s2)(3m)(1−cos30 °¿)=3.52m /s¿

b) De (a) tenemos que:

U 2=mgL(1−cosθ)

Sustituyendo los valores numéricos y evaluar U 2:

U 2= (2kg )(9.81 m

s2 ) (3m ) (1−cos 30° )=7.89J

c) Aplicando ∑ F radial=m aradial obtenemos.

T−mg cosθ=mv22

L

Resolver para T :

T=m(gcosθ+v22

L)

d) Sustituyendo los valores numéricos y evaluar T :

T=(2kg )[((9.81ms2 )cos30 °+

(3.52 ms )

2

3m )]=25.3N

e) Cuando alcanza su mayor altura:

U=Umax=mgL¿ y K1+Umax=0

Sustituyendo para K1 yU max

12

m v12+mghL¿

Despejando θmax

θmax=cos−1(1−

v12

2 gL)

Sustituyendo por los valores numéricos y evaluar θmax :

θmax=cos−1(1−

(4.5m /s )2

2(9.8ms2

)(3m))=49.0°

37. ∎∎ Un péndulo está formado por una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. La cuerda se dispone en posición horizontal y se da a la lenteja la velocidad inicial mínima par que el péndulo de una vuelta completa en el plano vertical. (a) ¿Cuál es la máxima energía cinética Ec de la lenteja? (b) ¿Cuál es en ese momento la tensión de la cuerda?

Planteamiento del problema Deje que el sistema consista en la sacudida de tierra y el péndulo. Entonces Wext = 0. Elija Ug = 0 en la parte inferior del círculo y dejar los puntos 1, 2 y 3 representar el punto inicial de la sacudida, punto más bajo y el punto más alto, respectivamente. La lenteja ganará velocidad y energía cinética hasta que alcanza el punto 2 y retrasar hasta que alcanza el punto 3; por lo que tiene su energía máxima cinética cuando está en el punto 2.

Podemos utilizar la segunda ley de Newton en los puntos 2 y 3 en junto con la ley de la conservación de la energía mecánica para encontrar la energía cinética máxima de la lenteja y la tensión de la cuerda cuando la lenteja tiene su energía cinética máxima.

a) aplicando ∑ F radial=m aradial a la lenteja del circulo y despejando v32

mg=mv32

L y v3

2=gL

Utilizando conservación de la energía en la expresión que relaciona K2, K3, y U3, despejado en K2

K3−K 2+U 3−U 2=0Donde U 2=0

k 2=Kmax=k3+U 3

¿ 12

m v32+mg(2 L)

Sustituyendo v32 y simplificando para obtener:

Kmax=12

m (gL )+2mgL=12

mgL

b) Aplicando ∑ F radial=m aradial en la parte inferior de circulo y resolver T 2

Fneta=T2−mg=mv22

L y T 2=mg+m

v22

L…….(1)

Utilizando la conservación de la energía relacionados a las energías de la lenteja en los puntos 2 y 3 despejando K2:

k 3−k2+U 1−U 2=0 , DondeU 2=0

k 2=k3+U 3

¿ 12

m v32+mg(2 L)

Sustituyendo para v32 y K2 y resolver para v2

2

12

m v22=12

m(gL)+mg(2L)

v22=5gL

Sustituir en la ecuación(1) y obtener:

T 2=6mg

38 ∎∎ Un muchacho de peso 360 N se balancea sobre una charca de agua con una cuerda atada a la rama de un árbol en el borde de la charca. La rama está a 12 m por encima del nivel del suelo y la superficie del agua de la charca está a 1.8 m por debajo del suelo. El muchacho coge la cuerda con la mano en un punto a 10.6 m de la rama y se mueve hacia atrás hasta que la cuerda forma con la vertical un ángulo de 23°. Entonces se lanza y cuando la cuerda está en posición vertical se suelta de la cuerda y cae en la charca. Determinar el módulo de la velocidad del muchacho en el momento de caer al agua.

Planteamiento del problema Deje que el sistema consista en la tierra y el niño. Entonces Wext = 0. En la figura, inicial la posición del niño se designa con el número 1; el punto en el cual el niño libera la cuerda y comienza a caer con un 2, y su punto de impacto con el agua se identifica con un 3. Elija Ug = 0 en el nivel del agua.

Si bien se podría utilizar la ley de la conservación de la energía entre los puntos 1 y 2 y luego entre los puntos 2 y 3, es más directa considerar la energía de transformación entre los puntos 1 y 3. Dada nuestra elección de energía potencial gravitatoria del cero, la energía potencial inicial en el punto 1 se transforma en energía cinética en el punto 3.

Aplicando la transformación de la energía entre los puntos 1 y 3.

W ext=∆ K+∆U=0

k 3−k1+U 3−U 1=0

Cuando U 3 y K 1 es cero

Sustituyendo para K3 y U1

12

m v32−mg [h+L(1−cosθ)]

Resolviendo para V3:

v3=√2g [h+L(1−cosθ)]

Sustituyendo numéricamente los valores evaluados para V3:

v3=√2(9.81m /s2) [3.2m+(10.6m)(1−cos23 °) ]=8.91ms

39 ∎∎ Paseando junto a un estanque, un muchacho encuentra una cuerda atada a la rama de un árbol a 5.2 m del suelo y decide utilizarla para balancearla sobre el estanque. La cuerda esta algo deteriorada, pero soporta su peso. El muchacho estima que la cuerda se romperá si la tensión supera en 80 N su propio peso, que es de unos 650 N. Agarra la cuerda en un punto que está a 4.6 m de la rama y se mueve hacia atrás

para balancearse sobre el estanque. (a) ¿Cuál es el ángulo inicial máximo entre la cuerda y la vertical que permite al muchacho balancearse con seguridad si que la cuerda se rompa? (b) Si el muchacho comienza con este ángulo máximo y la superficie del estanque está a 1.2 m por debajo del nivel del suelo, ¿con que módulo de la velocidad entrara en el agua si se suelta de la cuerda cuando esta pasa por la posición vertical?

Planteamiento del problema Deje que el sistema constara del muchacho y la tierra. Luego no hay fuerzas externas que hacen trabajo en el sistema y Wext = 0. En la figura, su posición inicial se designa con el número 1, el punto en el que se suelta la cuerda y comienzan a caer con un 2, y su punto de impacto con el agua se identifica con un 3.

Elija Ug = 0 en el nivel del agua. Podemos aplicar segunda ley de Newton a las fuerzas que actúan en que en el punto 2 y aplicar la conservación de energía entre los puntos 1 y 2 para determinar el ángulo máximo en el que puede empezar su oscilación y luego entre los puntos 1 y 3 para determinar la velocidad con la que se llegará el agua.

a) Usando la conservación de la energía relativa a la velocidad en el punto 2 y la energía potencial en el punto 1.

W ext=∆k+∆ U=0

k 2−k1+U 2−U 1=0

si K1=0

12+m v2

2+mgh

−¿

Despejando en la ecuación θ

θ=cos−1[a− v22

2gL ]Aplicando ∑ F radial=m aradial a:

T−mg=mv22

L

Tú en el punto 2 y resolver para T :

T=mg+mv22

L

Debido a que se ha estimado que la cuerda podría romperse si la tensión en ella excede su peso por 80N , es debe de ser:

mv22

L=80N o v2

2=(80N ) L

m

Supongamos que su peso es de 650N . Luego, su masa es de 66.3kg y:

v22=

(80N )(4.6m)66.3kg

=5.55m2/ s2

Sustituir los valores numéricos en la ecuación (1) a obtener:

θ=cos−1[1− 5.55m2/s2

2(9.8ms2

)(4.6m) ]=20.2°

b) Aplicando la conservación de la energía a la energía transformada entre los puntos 1 y 3:

W ext=∆k+∆ U=0

k 3−k1+U 3−U 1=0

cuando U 3 y k1 es cero.

Sustituyendo K3 y U1 para obtener:

12

m v32−mg [h+L(1−cosθ)]

Resolviendo V3:

v3=√2g [h+L(1−cosθ)]

Sustituyendo los valores numéricos y evaluar V3:

v3=√2(9.81m /s2) [1.8m+(4.6m)(1−cos 20.2° )]=6.39 ms

40 ∎∎ Un péndulo de longitud L tiene una lenteja de masa m atada a una cuerda ligera y conecta a un muelle de la constante de fuerza k. Con el péndulo en la posición indicada en la figura 7.23, el muelle se encuentra en su posición natural. Si ahora tiramos lateralmente de la lenteja hasta que la cuerda forme un ángulo pequeño θ con la vertical. ¿Cuál será la velocidad de la lenteja después de soltarla cuando pase por la posición de equilibrio?

Planteamiento del problema Elige Ug = 0 en punto 2, el punto más bajo de la trayectoria la lenteja y deje que el sistema consista en la lenteja y la tierra. Teniendo en cuenta esta opción, hay fuerzas externas haciendo un trabajo sobre el sistema. Debido que θ << 1, podemos utilizar series trigonométricas de seno y coseno funciones que se aproximan a estas funciones. Energía inicial de la sacudida es parcialmente gravitacional potencial y parcialmente la energía potencial almacenada en el resorte estirado. A medida que la lenteja se abre hacia abajo al punto 2 esta energía se transforma en energía cinética. Igualando estas energías, podemos derivar una expresión para la velocidad de la bob en el punto 2.

Aplicando la conservación de la energía en el sistema del péndulo con las oscilaciones de la lentejas en el punto 1 y 2.

12

m v22=12

k x2+mgL(1−cosθ)

Nota: de la figura, x ≈ Lsenθ cuando θ≪1

12

m v22=12

k ( Lsenθ)2+mgL(1−cosθ)

También, cuando θ≪1

senθ≈ θ y cosθ ≈1−12

θ2

Sustituyendo y simplificando y resolver para v2:

v2=Lθ√ km

+ gL

41 ∎∎∎ Un péndulo está suspendido del techo y conectado a un muelle fijo en el extremo opuesto justo por debajo del soporte del péndulo (figura 7.24). la masa de la lenteja es m, la longitud del péndulo, L y la constante del muelle k. la longitud del muelle se deforma en L/2 y la distancia entre la parte más baja del muelle y el techo es 1.5 L. El péndulo se desplaza lateralmente hasta formar un pequeño ángulo θ con la vertical y después se deja en libertad desde el reposo. Obtener una expresión para la velocidad de la lenteja cuando θ= 0.

Planteamiento del problema Elige Ug = 0 en punto 2, el punto más bajo de la trayectoria de la lenteja y deje que el sistema consista en la tierra, el techo, la resorte, y el péndulo. Teniendo en cuenta esta opción, no existen fuerzas externas que realizan trabajos para cambiar la energía del sistema. De la sacudida la energía inicial es parcialmente energía potencial gravitacional y parcialmente potencial almacenada en el resorte estirado. Como el péndulo se abre hacia abajo al punto 2 de esta energía se transforma en energía cinética. Equiparando estas energías, se puede derivar una expresión para la velocidad de la sacudida en el punto 2.

Aplicando la conservación de la energía al sistema en el péndulo oscilatorio en los puntos1 y 2:

12

m v22=12

k x2+mgL¿

Aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo inferior en el diagrama para obtener:

(x+12

L)2

=L2 ¿

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para obtener:

x+12

L=L√¿¿

Despejando x:

X=L¿

Sustituyendo x en la ecuación (1):

12

m v22=12

k L2¿¿

Despejando v22 obtenemos:

v22=2gL ¿

¿ L2¿

Finalmente, resolviendo para v2:

v2=L√¿¿

43 ∎∎ Un estudiante de física de 80 kg sube a un monte de 120 m de altura (a) ¿Cuál es el incremente de energía potencia gravitacional del estudiante al llegar a la cumbre del monte? (b) ¿De dónde procede esta energía? (c) El organismo del estudiante tiene un rendimiento del 20 por ciento, es decir por cada 100 J de energía interna consumida, 20 J se convierten en energía mecánica y 80 J se pierden en forma de calor. ¿Cuánta energía química consume el estudiante durante el ascenso al monte?

Planteamiento del problema El trabajo realizado por el estudiante es igual al cambio de su energía potencial gravitatoria y se realiza como resultado de la transformación metabólica de la energía en los músculos del escalador.

a) El aumento en gravitatoria energía potencial es:

∆ U=mg ∆h

¿(80kg)( 9.81m

s2)(120m)

¿94.2kj

b) La energía necesaria para hacer este trabajo proviene de la energía almacenada en de el cuerpo químico:

c) Relacionar la energía química realizado por el estudiante al cambio deenergía potencial y resuelve para E:

0.2 E=∆U

E=5∆ U=5 (94.2kj )=471kj

48 ∎∎ Una niña de 20 kg se desliza por un tobogán de 3.2 m de altura. Cuando alcanza su parte inferior lleva una velocidad de 1.3 m/s. (a) ¿Cuánta energía se a disipado por rozamiento? (b) si el tobogán está inclinado 20°, ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre la niña y la superficie de deslizamiento?

Planteamiento del problema Deje que el sistema consista en la tierra, la niña, y la corredera. Dado esta elección, no hay fuerzas externas que realizan trabajos para cambiar la energía del sistema. En el momento en que llega a la parte inferior de la corredera, su energía potencial en la parte superior de la corredera ha sido convertida en energía cinética y térmica. Elegir Ug = 0 en la parte inferior de la pendiente y denotan la parte superior e inferior de la corredora como se muestra en la figura. Usaremos el teorema trabajo-energía con la fricción de relacionar estas cantidades y las fuerzas que actúen sobre ella durante su deslizamiento para determinar la fuerza de fricción que transforma algo de su energía potencial inicial en energía térmica.

a) Expresar el teorema de trabajo-energía:

W ext=∆k+∆ U+∆ E=0

Como U 2=K 1=W ext=0

0=K1−U 1+∆ E=0

∆ E=U 1−k2=mg ∆h−1/2m v22

Sustituyendo numéricamente los valores y evaluando en ∆ E termica:

∆ E=(20kg)( 9.81ms2

)(3.2m)−1/2(20kg )( 1.3ms )

2

=611J

Relacionar la energía disipada por fricción para la fuerza de fricción cinética y la distancia sobre la cual esta fuerza actúa y resuelve para μk:

∆ E termica=f ∆ s=μk Fn ∆s

μk=∆E termica

Fn∆ s

Aplicando ∑ F y=ma y a la niña y resolver para Fn:

Fn=mg cosθ=0

De la figura, relacionar ∆ h y Fn a obtener:

∆ s= ∆ hsenθ

Sustituir para ∆ s y Fn a obtener:

μk=∆ E

mg∆ h

senθcosθ

= ∆E tan θmg ∆h

Sustituir los valores numéricos y evaluar μk :

μk=(6.11 ) tan 20 °

(20kg)(9.81m

s2)(3.2m)

=0.354

49 ∎∎ El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque de 4 kg y la plataforma de la figura 7.26 es 0.35 (a) Determinar la energía disipada por rozamiento cuando el bloque de 2 kg cae una distancia y (b) Calcular la energía mecánica total E del sistema después de que el bloque de 2 kg

caiga la distancia y, suponiendo que inicialmente E=0. (c) Utilizar el resultado de (b) para determinar el módulo de la velocidad de cualquier de los bloques después de que el bloque de 2 kg caiga 2 m.

Planteamiento del problema Deje que el sistema conste de los dos bloques, la plataforma, y la tierra. Dada esta elección, no hay fuerzas externas que hace el trabajo para cambiar la energía del sistema. Debido a la fricción entre el bloque de 4 kg y la superficie sobre la cual se desliza, no toda la energía transformada durante la caída del bloque de 2 kg se realiza en forma de energía cinética. Podemos encontrar la energía disipada por fricción y luego usar el teorema Trabajo-energía con fricción cinética para encontrar la velocidad de cualquiera de los bloques cuando tienen recorrida la distancia dada.

a) La energía disipada por la fricción cuando el bloque de 2 kg cae una distancia y viene dada por:

∆ E=f ∆ s=μk m1gy

Sustituir los valores numéricos y evaluar ∆ E termica:

∆ E=(0.35 ) (4 kg )( 9.81m

s2 )=(13.17N ) y

b) Del teorema de trabajo-energía con la energía cinética tenemos:

W ext=∆ Emecánica+∆ Etérmico por que W ext=0

∆ Emecánica=−∆ E térmica=− (13.7 ) y

c) Exprese la energía mecánica total del sistema:

12

(m1+m2 ) v2−m2gy=−∆ E f

Resolver v para obtener:

V=√ 2(m2gy−∆ Ef )m1+m2

Sustituir los valores numéricos y evaluar v :

v=√ 2 [(2kg )( 9.81ms2 ) (2m )−(13.73N )(2m)]4 kg+2kg

50 ∎∎ Un objeto compacto de masa m se mueve en un círculo horizontal de radio r sobre una mesa rugosa. Está sujeta a una cuerda fija en el centro del círculo. La velocidad del objeto es inicialmente vo. Después de completar una vuelta la velocidad es ½ vo. (a) Determinar la energía disipada por rozamiento durante una vuelta en función de m, vo, y r. (b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético? (c) ¿Cuántas vueltas dará la partícula antes de alcanzar la posición de reposo?

Planteamiento del problema Deje que el sistema consiste en la partícula, la mesa, y la tierra. Entonces Wext = 0 y la energía disipada por la fricción durante una revolución es el cambio en el la energía térmica del sistema.

a) Aplicar el teorema de trabajo-energía

W ext=∆k+∆ U+∆ E termica

Con la fricción cinética obtener:

por que ∆ U=W ext=0

0=∆ k+∆ Etérmica

Sustituir para ∆ K f y simplificar para obtener:

∆ E tèrmica=−¿

¿−[1/2m(12 v0)2

−12

m(v0)2]

¿ 38

m v02

b) Relacionar la energía disipada por fricción de la distancia recorrida y el coeficiente de fricción cinética:

∆ E f =f ∆ s=μk mg ∆s=μk mg(2 πr)

Sustituir de ∆ E y resuelve para μk para obtener:

μk=∆ E f

2 πmgr=

12

m v02

2πmgr=3v0

2

16 πgr

c) Debido a que perdió 34

K1en una revolución, sólo se requerirá otro 1/3 de

revolución para perder el restante 14

K1

51∎∎ Un bloque de 2.4 kg pose una velocidad inicial de 3.8 m/s dirigida hacia arriba sobre un plano inclinado 37° con al horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es 0.30, ¿Qué distancia sobre el plano inclinado sube el bloque? ¿Cuál es el módulo de la velocidad cuando llega al punto de partida en el viaje de regreso cuesta abajo?

Planteamiento del problema La caja se ralentizará y detenerse debido a la disipación de energía térmica. Deje que el sistema sea el tierra, la caja, y el plano inclinado y aplicar el teorema trabajo-energía con fricción. Con esta elección del sistema, no hay fuerzas externas que realizan trabajos para cambiar la energía del sistema. el diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas que actúan sobre la caja cuando se está subiendo la pendiente.

Aplicar el teorema de trabajo-energía con la fricción en el sistema:

W ext=∆ Emecánica+∆ Etérmica

Sustituir para ∆ K , ∆ U , y ∆ E térmica para obtener:

0=12

m v f2−12

m v02+mg ∆ h+μk Fn L…….(1)

Refiriéndose a la FUP, relacionar la fuerza normal al peso de la la caja y el ángulo de la pendiente:

Fn=mgcosθ

Relacionar ∆ h a la distancia L a lo largo de la pendiente:

μk mgLcosθ+ 12

m v f2−12

m v02+mgLsenθ=0……(2)

Resolver la ecuación (2) para L rendimientos:

L=v02

2g (μk cosθ+senθ)

L=(3.8m /s )2

2(9.81m /s2) [ (0.3 ) cos37 °+sen37 ° ]=0.875m

Deje vf representa la velocidad de la caja, ya que pasa a su punto de partida en el camino por la pendiente. Para el bloque ascendencia, la ecuación (2) se convierte en:

μk mgcosθ+ 12

m v f2−12

m v02−mgLsenθ=0

Deje v1 = 0 (el bloque parte del reposo en la parte superior de la pendiente) y resolver para vf:

v f=√2 gL(senθ−μkco sθ)

Sustituir los valores numéricos y evaluar

v f=√2(9.81m/ s2)(0.875m) [ sen37 °−(0.3 ) cos37 ° ]=2.49m/ s

52 ∎∎∎ Un bloque de masa m descansa sobre un plano inclinado θ grados sobre la horizontal. El bloque está unido a un muelle de constante k (figura7.27). Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el bloque y el plano son µc y µs respectivamente. Tiramos del muelle lentamente hacia arriba a lo largo del plano hasta que el bloque comienza a moverse. (a) Determinar una expresión para el alargamiento d del muelle ecn el momento en que el bloque se mueve. (b) Determinar el valor de µc tal que el bloque se detenga justo cuando el muelle se encuentre en su condición natural, es decir, ni alargado, ni comprimido.

Planteamiento del problema: Deje que el sistema consista en la tierra, la manzana, la pendiente, y el resorte. Con esta elección del sistema, no hay fuerzas externas que hacen trabajar para cambiar la energía del sistema. El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas que actúa sobre el bloque justo antes de que comience a mover. Podemos aplicar la segunda ley de Newton al bloque para obtener una expresión para la extensión del resorte en este instante. Vamos a aplicar el teorema de trabajo-energía con la fricción a la segunda parte del problema.

a) Aplicar ∑ F=ma al bloque:

∑ F x=F resorte−f s .max−mgsenθ=0

Cuando está a punto de deslizamiento:

y:

∑ F y=Fn−mgcosθ=0

Eliminar Fn, f s , max y F resorte, entre las dos ecuaciones, obtener:

kd−μs mgcosθ−mgsenθ=0

Resuelve para y evaluar d:

d=mgk

(senθ+μscosθ )

b) Comience con el teorema de trabajo y la energía con la fricción y no hay trabajo, está hecho por una fuerza externa:

W ext=∆ Emec+∆ Etermica

W ext=∆ K+∆U g+∆U s+∆ E termica

Dado que el bloque está en reposo en tanto su estado inicial y final, ∆ K=0 y:

∆ U g+∆ U s+∆ E termica=0 (1)

Deje U g=0 en la posición inicial del bloque. Entonces:

∆ U g=U g , final−U g ,inicial=mgh−0=mghsenθ

Expresar el cambio en la energía almacenada en el resorte ya que relaja a su longitud sin estirar:

∆ U s=U s ,final−U s , inicial=0−12

k d2=−12

k d2

La energía disipada por fricción es:

∆ E termica=f ∆ s=−f kd=−μk Fn d=−μkmgdcosθ


mgdsenθ−12

k d2−μk mgdcosθ=0

Por último, para resolver μk:

μk=12(tanθ−μs)

60 ∎∎ En una reacción de fusión nuclear, dos núcleos de H se combinan para producir He. (a) ¿Cuánta energía se libera en esta reacción? (b) ¿Cuántas reacciones de este tipo tiene lugar por segundo para producir 1 kW de potencia?

Planteamiento del problema La reacción es H 2+H 2❑→

He4+E. La energía

liberada en este reacción es la diferencia entre el doble de la energía en reposo de 2H y la energía en reposo de He2.

El número de reacciones que debe tener lugar para producir una cantidad dada de energía es la relación de la energía por segundo (el poder) a la energía liberada por reacción.

a) La energía en reposo de He4 (Ejemplo 7-14) es:

3727.409MeV

La energía de reposo del Deuteron, He2, (Tabla 7-1) es:

1875.628MeV

La energía liberada en la reacción es:

E=[2 (1875.628 )−3727.409 ] MeV

¿23.847MeV =3.816×10−12J

b) El número de reacciones por segundo es:

1000 J /s3.816×10−12 J /reacción

¿2.62×1014 reacciones /s

61 ∎∎ Una gran central nuclear produce 3000 MW de potencia por fisión nuclear, que transforma la masa m en energía. (a) ¿Cuánta masa se transforma en energía al cabo de un año? (suponer una eficiencia de 33 por ciento en una central nuclear) (b) en una central térmica de carbón, cada kilogramos de carbón libera en la combustión 31 MJ de energía térmica. ¿Cuántos kilogramos de carbón se necesita anualmente para una central de 3000 MW? (Suponer una eficiencia de 38 por ciento en una central térmica de carbón.)

Planteamiento del problema: El consumo anual de la materia por la planta de fisión es la relación de su producción anual de energía al cuadrado de la velocidad de la luz. El consumo anual de carbón en una central eléctrica de carbón es la proporción de su producción anual de energía a la energía por unidad de masa del carbón.

a) m Expresar en términos de E:

m= E

c2

Suponiendo una eficiencia de 33%c, encontrar la energía producida al año:

E=3P ∆ t=3(3×109 J / s)(1 y)

E=3(3×109Js )(3600 s

h )×(24 hd ) (365.24d )=2.84×1017 J


m= 2.84×1017

(3×108m / s)2=3.16kg

b) Asumiendo una eficiencia de 38%, expresa la masa de carbón que se requiere en términos anuales a la producción de energía y las energías liberadas por kilogramo:

mcarbon=Eanual

0.38 (E/m)= 9.47×1016 J0.38 (3.1×107 J /kg)

=8.04×109 kg

62 ∎∎ Un bloque de masa m, inicialmente en reposo se arrastra con una cuerda hacia arriba por un plano inclinado un ángulo de θ sobre la horizontal (sin rozamiento). La tensión en la cuerda es T y la cuerda es paralela al plano. Después de recorrer una distancia L, la velocidad del bloque es v. El trabajo realizado por la tensión] T es (a) mgLsenƟ, (b)mgLcos θ + ½ mv2. (c) mgL sen θ + ½ m v2. (d) mgL cos θ (e) TLcos θ.

Planteamiento del problema Deje que el sistema consista en el bloque, la tierra, y la de inclinación. A continuación, la tensión en la cuerda es una fuerza externa que va a hacer el trabajo para cambiar la energía del sistema. Debido a que la inclinación es sin fricción; el trabajo realizado por la tensión en la cuerda, ya que desplaza el bloque en la pendiente es igual a la suma de los cambios en la cinética y energías potenciales gravitatorias.

Relacionar el trabajo realizado por la tensión fuerza a los cambios en la cinética y energías potenciales gravitatorias del bloque:

W tension=W ext=∆U+∆ K

Haciendo referencia a la figura, expresar el cambio en la energía potencial del bloque medida que se mueve desde la posición 1 a posición 2:

∆ U=mg ∆h=mgLsenθ

Como el bloque parte desde el reposo:

∆ K=K2=12

m v2

Sustituir a obtener:

W tension=mgLsenθ+12

mv2

Y (c) es correcto.

63 ∎∎ Un bloque de masa m se desliza abajo con velocidad constante v por un plano i8nclinado un ángulo θ con la horizontal,. Durante el intervalo de tiempo Δt ¿Cuál es la magnitud de la energía disipada por rozamiento? (a) mgv Δt tg θ, (b) ) mgv Δt sen θ, (c) ½ mv3 ) Δt, (d) La respuesta no puede determinarse sin conocer el coeficiente de rozamiento cinético.

Planteamiento del problema: Deje que el sistema incluya la tierra, el bloque y el plano inclinado. Entonces no hay fuerza externa para hacer el trabajo en el sistema y W ext=0. Aplicar el teorema de trabajo-energía con la fricción para encontrar una expresión para la energía disipada por fricción.

Expresar el teorema trabajo-energía con la fricción:

W ext=∆ K+∆U +∆ Etermica=0

Debido a que la velocidad del bloque es constante, ∆ K=0 y:

∆ E termica=−∆ U=−mg ∆h

En el bloque de tiempo ∆ t se desliza una distanciarse vΔt. A partir de la figura:

∆ h=v ∆ tsenθ

Sustituye para obtener:

∆ E termica=−mgv ∆ tsenθ

Y

(b )es correcto

66∎∎ (a) Calcular la energía total que cada segundo radia el sol, usando el valor de la constante solar que se da en el problema 65 y la distancia conocida de la tierra al sol. (b) Esta energía la producen reacciones de fusión como la que se detalla en el ejemplo 7.15. Hay varias reacciones que tienen lugar en el “ciclo Phenix del sol”, pero el resultado global es que se fusionan cuatro núcleos de hidrogeno para formar un núcleo de helio, liberando 26.7 MeV de energía. Si suponemos que esencialmente el sol está formado por Hidrogeno y que continua “quemándolo” hasta que haya usado un 10% de todo ese combustible, use la masa del sol para determinar aproximadamente cuanto tiempo de vida le queda al sol.

Planteamiento del problema: La luminosidad del sol (o de cualquier otro objeto) es el producto de la energía que irradia por unidad de área y su área de superficie. Si dejamos que L represente el sol de luminosidad, que la energía que irradia por unidad de área (también conocido como la constante solar o la intensidad de su radiación), y a su área superficial, entonces L=IA. Podemos estimar la vida útil solar dividiendo el número de núcleos de hidrógeno en el sol por la velocidad a la que se están transformando en energía.

(a) Exprese la energía total del sol que irradia cada segundo en términos de la constante solar:

L=IA

Dejar que R representa su radio, expresar el área de la superficie del sol:

A=4 π R2

Sustituye y obtener:

L=4 π R2 I

Sustituir los valores numéricos y evaluar L:

L=4 π (1.5×1011

m )2(1.35 kW

m2 )=3.82×1026

watt

Nota: Tenga en cuenta que este resultado está en buen acuerdo con el valor indicado en el texto de 3,9 × 1026 watt.

(b) Expresar la vida solar en términos de la masa del Sol y la velocidad a la que su masa está siendo convertida en energía:

t solar=N H nucleo

∆ n/ ∆ t= M /m

∆ n/∆ t

Donde M es la masa del Sol, m la masa de un núcleo de hidrógeno, y n es el número de núcleos agotados.

Sustituir los valores numéricos para obtener:

t solar=

1.99×1030 kg

1.67×10−27 kgHnucleos

∆ n/∆ t=1.19×1057 Hnucleos

∆n /∆ t

Para cada reacción, 4 núcleos de hidrogeno se " agotan "; así:

∆ n∆ t

=4 (3.82×1026 J /s)4.27×10−27 J

=3.57×1038 s−1

Debido a que hemos supuesto que el sol continuará quemándose hasta más o menos 10% de su combustible de hidrógeno se agota, el tiempo de vida solar total debe ser:

t solar=0.1( 1.19×1057Hnu cleos3.57×1038 s−1 )=3.33×1017 s=1.06×1010 y

68 ∎∎ Determinar la potencia necesaria de un motor para el funcionamiento de una tele arrastre que permita subir a 80 esquiadores por una pista de 600 m, inclinada 15° sobre la horizontal, a una velocidad de 2.5m/s. El coeficiente de rozamiento cinético es 0.006 y la masa media de cada esquiador 75 kg.

Planteamiento del problema: El diagrama de cuerpo- libre muestra las fuerzas que actúan sobre los esquiadores ya que son remolcados hasta la pendiente en velocidad constante. Debido a que el poder necesario para moverlos esF . v, necesitamos encontrar F como una función de mmtot, θ, y μk. Nosotros pueden aplicar la segunda ley de Newton para obtener dicha función:

Expresar la potencia necesaria como función de la fuerza de los esquiadores y su velocidad:

P=Fv (1)

Aplicar ∑ F=ma para los esquiadores:

∑ F x=F−f k−mtot gsenθ=0

Y

∑ F y=Fn−mtot gcosθ=0

Eliminar f k¿ μk Fn y Fn entre las dos ecuaciones y resolver para F:

F=mtot gsenθ+μk mtot gcosθ


P=( mtot gsenθ+μkmtot gcosθ ) v=mtot gv (senθ+μk cosθ)

Sustituir los valores numéricos y evaluar P:

P=80 (75 kg )(9.81m

s2 )(2.5 ms )( sen15 °+(0.06 )cos15 ° )=46.6kW

69 ∎∎ Una caja de 2 kg se proyecta hacia arriba, con velocidad inicial de 3 m/s, por un plano inclinado rugoso que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético es 0.3 (a) Relacionar todas las fuerzas que actúan sobre la caja. (b) ¿Qué distancia recorre la caja a lo largo del plano antes de que se detenga momentáneamente? (c) Determinar la energía disipada por el rozamiento cuando la caja se desliza hacia arriba por el plano. (d) Determinar su velocidad cuando alcanza la posición inicial

Planteamiento del problema: El diagrama de cuerpo- libre de la caja se superpone a la representación pictórica mostrada. El trabajo realizado por la

fricción frena y detiene momentáneamente la caja, ya que se desliza hacia arriba de la pendiente. La velocidad de la caja cuando se vuelve al fondo de la pendiente, será menos que su velocidad cuando se puso en marcha la pendiente debido a la energía disipada por fricción mientras estaba en movimiento. Deje que el sistema incluya la caja, la tierra, y la pendiente. Entonces W ext=0. Podemos utilizar el teorema del trabajo y la energía con la fricción para resolver los varias partes de este problema.

a) Desde el FBD podemos ver que las fuerzas que actúan sobre la caja son la fuerza normal ejercida por el plano inclinado, una fuerza de fricción cinética, y la fuerza gravitacional (el peso de la caja) ejercida por la tierra.

b) Aplicar el teorema de trabajo-energía con fricción de relacionar la distancia ∆ x la casilla se desliza por la pendiente a su energía cinética inicial, su energía potencial final, y el trabajo realizado contra la fricción:

−12

m v12+mg ∆h+μk mg ∆ xcosθ=0

En referencia a la figura, se relacionan ∆ h a ∆ x para obtener:

∆ h=∆ xsenθ

Sustituto de ∆ h para obtener:

−12

m v12+mg ∆ hsenθ+μk mg ∆ xcosθ=0

Resuelve para ∆ x:

∆ x=v12

2 g(senθ+μkcosθ )

Sustituir los valores numéricos y evaluar ∆ x:

∆ x=(3m / s)2

2(9.81m / s2)¿¿

∆ x=0.451m

c) Expresar y evaluar la energía disipada por fricción:

∆ E termica=f k ∆ x=μkmg ∆ xcosθ

∆ E termica= (0.3 ) (2kg )(9.81 m

s2 ) (0.451 )cos 60°=1.33J

d) Use el teorema trabajo-energía con fricción para obtener:

W ext=∆ K+∆U +∆ Etermica=0

O

K1−K2+U 1−U 2+∆ Etermica=0

Debido K2=U 1=0, tenemos:

K1−U 2+∆ Etermica=0

O

−12

m v12−mg ∆ xsenθ+μk mg ∆ xcosθ=0

Resuelve para v1:

v1=√2 g∆ x ¿¿

Sustituir los valores numéricos y evaluar v1:

v1=√2 (9.81m /s2)(0.451m)(sen60 °− (0.3 ) cos60 °)=2.52m / s

71 ∎∎ Para reducir el consumo de potencia de los motores de los ascensores, estos utilizan contrapesos conectados mediante un cable que pasa por una polea situada en la parte superior de eje del ascensor. Si el ascensor del problema 70 tiene un contrapeso de masa 1500 kg. ¿Cuál es la potencia suministrada por el motor cuando asciende a plena carga a una velocidad de 2.3 m/s? ¿Qué potencia suministra el motor cuándo el ascensor asciende vacío a 2.3 m/s?

Planteamiento del problema : La potencia de un motor debe ser proporcionar para ejercer una fuerza F sobre una carga que se está moviendo a una

velocidad v es Fv. El contrapeso, realiza trabajo negativo y el poder del motor se reduce sin contrapeso.

La potencia suministrada por el motor es dada por:

P=Fv

Debido a que el ascensor es contrapeso y ascendente con velocidad constante, la tensión en el cable (s) de apoyo es:

F=(melev+mcarga−mcw ) g

Sustituto y evaluar P:

P=( melev+mcarga−mcw ) gv


P=(500kg)( 9.81m

s2)(2.3m /s )

P=11.3 kW

Sin una carga:

F=(melev−mcw ) g y P=( melev−mcw ) gv

P=(−300kg)(9.81m

s2)(2.3m / s)

P=−6.77kW

72 ●● Un juguete de lanzar dardos posee un muelle cuya constante de fuerza es 5000N/m. Para cargar el disparador, el muelle se comprime 3 cm. El dardo de 7 g, disparado verticalmente hacia arriba, alcanza una altura máxima de 24m. Determinar la energía disipada por el rozamiento de aire durante el ascenso de dardo. Estimar la velocidad del proyectil cuando retorna a su punto de partida.

Planteamiento del problema : Podemos usar el teorema de energía-trabajo con fricción para describir la energía de transformación de lanza dardos. Con esto podemos decir: Wext=0. Escoge Ug=0 en la elevación del dardo cuando se comprime el muelle. La energía inicial en el muelle es transformada en energía potencial gravitacional y energía térmica. Cuando el dardo cae, esta energía gravitacional potencial se transforma en energía cinética y energía térmica.

Aplicando la conservación de energía cuando el dardo sube:

Wext=Δ K+ ΔU+Δ Eterm=0 o porque Δ K=0 ,

U g , f−U g, i+U s , f−U s, i+ Δ Eterm=0

Porque U g,i=U s, f=0: U g, f−U s, i+Δ E term=0

Reemplazando Ugf y Us,f : ΔE =Us,i −U g,f = 12

kx2 –mgh

Sustituyendo los valores numérico y evaluando ΔE :

ΔE = 12

(5000N/m) (0.03m)² - (0.007kg) (9.81m/s²) (24m) = 0.062J

Aplicando la conservación de energía cuando el dardo desciende:

Wext=Δ K+ ΔU+Δ Eterm=0o porque Ki = Ug,f = 0,

Kf – Ug ,i+Δ Eterm=0

Sustituyendo Kf y Ug,i obtenemos: 12

mv −mgh + ΔEterm = 0

Solución para Vf :

Vf =√2¿¿¿¿ ¿17.3m /s ².

73●● En una erupción volcánica se expulsa verticalmente hacia arriba un trozo de 2 kg de roca volcánica porosa con una velocidad inicial de 40 m/s, alcanzando una altura de 50 m antes de que comience a caer a la Tierra. (a) ¿Cuál es la energía cinética inicial de la roca? (b) ¿Cuál es el incremento de energía térmica debido al rozamiento del aire durante el ascenso? (c) Si el incremento de energía térmica en el aire debido al descenso es el 70% del que tuvo lugar en el ascenso. ¿Cuál es la velocidad de la roca cuando vuelve a s posición inicial?

Planteamiento del problema : Cuando el sistema compuesto por la tierra, rocas y el aire, entonces podemos decir que no hay fuerzas externas que trabajan en el sistema y que Wext = 0. Tomamos Ug = 0 que es donde la roca comienza esta subida. La energía cinética inicial de la roca es parcialmente transformada en energía potencial y parcialmente disipada por la resistencia del aire cuando la roca asciende. Durante el descenso, esta energía potencial es parcialmente transformada en energía cinética y parcialmente disipada por la resistencia del aire.

(a) Usando la definición de energía cinética, calcule la energía cinética

inicial de la roca : K=12

mv ²=12

(2kg )(40ms )

2

=1.60kJ

(b) Aplicando el teorema del trabajo-energía con fricción para describir las energías del sistema cuando la roca asciende:

ΔK +ΔU +ΔEterm=0

Porque Kf : −K+ΔU +ΔEterm=0ΔEterm=Ki – ΔU

Sustituyendo los valores numéricos y evaluando ΔEterm :

Δ Eterm=1600J−(2kg)(9.81m /s ²)(50m)=619 J(c) Aplicando el teorema del trabajo-energía con fricción para describir las

energías del sistema cuando la roca desciende:

ΔK +ΔU +0.7 ΔEterm=0

Porque Ki = Uf = 0 : Kf −U i+0.7 Δ Eterm=0

Resolviendo Vf : Vf =√2gh−1.4 Δ Em

Sustituyendo los valores numéricos y evaluando Vf :

Vf = ¿√2¿¿ ¿23.4m / s

74●● Un bloque de masa m parte del reposo a una altura h y se desliza hacia abajo por un plano inclinado sin rozamiento que forma un angulo Θ con la horizontal como indica la figura 7.28. El bloque choca contra un muelle de constante de fuerza k. Determinar la compresión del muelle cuando el bloque se detiene momentáneamente.

Planteamiento del problema : Observa la distancia del bloque cuando resbala antes de golpear el muelle en L. La figura muestra el bloque en la parte alta de la pendiente (1), como si esta golpeara el muelle (2), y el bloque en contra del muelle completamente comprimido (3). Deja el bloque, el muelle y la tierra comprimiendo el sistema. Luego Wext = 0. Si Ug = 0 donde el muelle está en su máxima compresión. Podemos aplicar el teorema de trabajo-energía para hallar la energía la energía del sistema cuando este cambia de su estado 1 hasta su estado 3.

Usando el teorema de trabajo-energía:

ΔK + ΔU g+ ΔUs = 0Porque:

ΔK = Ug,3 + Us,1 = 0 - Ug,1 + Us,3 = 0

Sustituyéndolo por términos de energía tenemos:

- mgh1 + 12

kx² = 0

Sustituyendo h3 por h1:

−mg(L+x )senΘ+12

kx ²=0

Reescribe la ecuación como una ecuación cuadrática:

x2−2mgsen Θ

kx−2mg LsenΘ❑❑

k=0

Resolviendo esta escuacion cuadrática, tenemos :

x2=mgk

sen Θ+√(mg )

ksen ²Θ+ 2mgL

ksenΘ

Nota el signo negativo entre los 2 términos anteriores no influye en la solución.

76●● Un coche de 1500 Kg de masa se desplaza con una velocidad de 24 m/s se encuentra al pie de una colina de 2.0 km de longitud y cuya altitud es de 120m. En la cima de la colina la velocidad del coche es de 10m/s. Suponiendo aceleración constante, calcular la potencia media desarrollada por el motor del coche, despreciando todas las perdidas internas de rozamiento.

Planteamiento del problema : La potencia media desarrollada por el motor del coche es la razón por la cual cambia la energía del carro. Porque el coche baja su velocidad mientras sube la cuesta, esta energía potencial aumenta y la energía cinética se reduce.

Expresando la potencia media desarrollada por el motor del coche:

P= Δ EΔt

Expresamos el aumento de la energía potencial del coche:

Δ E=Δ K+ ΔU

= Karriba – Karriba+Uarriba+Uabajo

¿12

mv ² arriba−12

mv ² abajo+mg Δh

= 12

m(v² arriba - v² abajo + 2gΔh)

Sustituyendo los valores numéricos y evaluando ΔE:

Δ E=12(1500 kg)[(10m /s) ²−(24m /s) ²+2(9.81m /s ²)(120m)]=1.41MJ

Asumiendo que la aceleración del coche es constante, encontrar la velocidad promedio durante la subida:

Vprom= varriba+vabajo2

=17m / s

Usando la velocidad promedio, encontrar el tiempo que el coche se demora en subir la cuesta:

Δt= ΔsVprom

=2000m17m /s

=118 s

Sustituyendo para determinar la potencia promedio:

Pprom=1.41MJ118 s

=11.9 kW

77●● Se suspende una masa m del techo mediante un muelle que puede moverse verticalmente en la dirección y como se indica en la figura 7.29.

Sabemos que la energía potencial en función de la posición de U = 12

ky² -

mgy. (a) Representar U en función de y usando una hoja de cálculo o una calculadora gráfica. ¿Qué valor de y corresponde a la condición no deformada del muelle? (b) A partir de la expresión de U, determinar la fuerza neta hacia abajo que actúa sobre m en cualquier posición y, (c) La masa se deja libre desde el reposo en y = 0; si no hay rozamiento ¿Cuál es el valor máximo, ymax, que alcanzara la masa? Indicar ymax en el esquema de apartado (a). (d) Considerar ahora el concepto de rozamiento. La masa finalmente se detiene en una posición de equilibrio yeq. Determinar este punto en el esquema. (e) Determinar la cantidad de energía térmica producida por rozamiento desde el comienzo de la operación hasta el equilibrio final.

Planteamiento del problema : Teniendo la energía potencial en función de Y, nosotros podemos encontrar la fuerza conjunta actuando en el sistema dado

desde F=dUdy

. La máxima extensión del muelle; i.e., la posición más baja de la

masa en el final, puede ser hallada mediante el teorema de trabajo – energía. La posición de equilibrio del sistema puede ser hallada mediante el teorema de trabajo – energía con fricción… así como la cantidad de energía térmica producida por el sistema oscile en la posición de equilibrio.

(a) El grafico de U en función de Y es mostrado a la derecha. Y como k y m no están especificados, k ha sido igualado a 2 y mg a 1. El muelle esta estancado cuando y = y 0 = 0. Nota que el valor mínimo de U ( en la posición estable de equilibrio) ocurre cuando y = 5.

(b) Evaluando el negativo de U con respecto a Y:

F=−dUdy

=−ddy

(12

k y2−mgy)=−ky+mg

(c) Aplicando la conservación de energía de movimiento de la masa desde y = 0 hasta y= ymax :

ΔK +ΔV +ΔEterm .=0

Si ΔK = 0 (el objeto empieza desde restar y es momentáneamente restado desde y= ymax ) y ΔEterm. = 0 ( sin friccion), entonces se dice que:

ΔU=U ( ymax)−U (0)=0

Entonces sí: U ( ymax)=0⇒ 12

ky ²max−mgy max=0

Resolviendo para y max : y max = 2mg

k

(d) Expresando la condición de F en el equilibrio y resolviendo para y eq :

F eq=0⇒−ky eq+mg=0 ^ yeq=mg / k

(e) Aplicando la conservación de energía del movimiento de la masa desde y = 0 hastay= yeq resolver para ΔE term. :

ΔK +ΔU +ΔE term=0 o porque ΔK=0 ΔE term=−ΔU=U i−U f

Entonces si U i=U (0)=0 ΔE term=−( 12

ky ² eq−mgy eq)

Sustituyendo dey eq y simplificando, tenemos:

ΔE term=m2g2

2k

78●● Una pistola lanza señales se carga comprimiendo el muelle una distancia d y dispara una bengala de masa m dirigida verticalmente hacia arriba. La bengala tiene una velocidad v0 cuando abandona el muelle y alcanza una altura h desde el punto donde abandona el muelle. Los efectos de resistencia del aire son importantes. (Expresar las respuestas en función de m, v0, d, h y g.) (a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el muelle en el proceso de compresión? (b) ¿Cuál es el valor de la constante del muelle, k? (c) ¿Cuánta energía mecánica se transforma en energía térmica a causa de la fuerza de arrastre del aire sobre la bengala durante el tiempo que transcurre entre el disparo y la llegada a su altura máxima?

Planteamiento del problema : La energía usada en el muelle comprimido es inicialmente transformada en la energía cinética de la señal luminosa y luego

se transforma en energía potencial gravitacional y energía térmica cuando la señal está en su máxima altura. Como el sistema contiene la tierra, el aire, y la luz, entonces el W = 0. Nosotros podemos usar el teorema de trabajo-energía con fricción en el análisis de las transformaciones de energía durante el viaje de la bengala.

(a) El trabajo hecho comprimiendo el muelle es igual a la energía cinética en la bengala al despegar. Entonces:

W muelle=K bengala=12

mv ²

(b) Ignorando los cambios en la energía potencial gravitacional (asumiendo que la compresión en el muelle es pequeña comparada con la máxima elevación de la bengala) aplicando la conservación de energía en la transformación que toma lugar cuando el muelle se descomprime y le da a la bengala la velocidad de despegue:

ΔK +ΔU muelle=0 ^ K f −K i+U s, f – U s , i=0

Si K i=ΔU g=ΔU s , f : Kf – Us , i = 0

Sustituyendo para Kf y Us , i :

1/2mv ²−1/2kd ²=0

Resolviendo k tenemos:

k=mv ²d ²

(c) Aplicando el método de trabajo- energía con fricción para hallar la trayectoria de la bengala:

ΔK +ΔU g+ ΔEterm=0

Resolviendo la ΔEterm :

ΔE term=−ΔK−ΔU g

¿ K i−K f +U i−U f

Entonces si K f =U i=0 ΔE term=12

mv ²−mgh

79●● Una vagoneta de una montaña rusa de masa total (incluidos los pasajeros) 500 kg se desplaza libremente por la pista sin rozamiento del aire indicada en la figura 7.30. Los puntos A, E y G son secciones rectas horizontales, todas ellas de la misma altura de 10 m sobre el suelo. El punto C, que está a una altura de 10 m sobre el suelo, pertenece a una

pendiente que forma un ángulo de 30º. El punto B esta en lo alto de una cuesta, mientras el punto D pertenece a una hondonada que está al nivel del suelo. El radio de curvatura de cada uno de estos puntos es 20 m. El punto F esta en medio una curvatura horizontal con peralte de radio de curvatura de 30 m y a la misma altura de 10 m sobre el suelo que los puntos A, E y G. En el punto A, la velocidad de la vagoneta es de 12 m/s. (a) Si la vagoneta es capaz de llegar justamente al punto B de la cuesta, ¿Cuál es la altura de este punto sobre el suelo? (b) Si se cumple la condición (a), ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida sobre la vagoneta por la pista en el punto B? (c) ¿Cuál es la aceleración de la vagoneta en el punto C? (d) ¿Cuáles son el modulo y dirección de la fuerza total ejercida sobre la vagoneta por la pista en el punto F? (f) Al llegar al punto G, se aplica a la vagoneta una fuerza de frenado constante y se alcanza la detención en una distancia de 25 m. ¿Cuál es la fuerza de frenado?

Planteamiento del problema : Observa UD = 0. Escoge el sistema para incluir la tierra, la pista y el auto. Luego vemos que allí no hay fuerzas externas para hacer el trabajo en el sistema y cambia esta energía, entonces podemos usar la 2da ley de Newton y el teorema de trabajo – energía para describir el sistema de transformaciones de energía para el punto G… y luego el teorema de trabajo – energía con fricción para determinar la fuerza de freno que hace que el auto se detenga. El diagrama de cuerpo libre para el punto C lo muestra:

El diagrama de cuerpo libre para el punto D también señala:

El diagrama de cuerpo libre para el punto F también muestra:

(a) Aplicando el teorema de trabajo – energía en el sistema de transformaciones de energía entre el punto A y B:

ΔK +ΔU=0

Si asumimos que el auto llega al punto B con vB = 0, entonces:

−mv ²+mg Δh=0 , donde Δh es la diferencia de

elevación entre A y B

Resolviendo y evaluando Δh:

ΔK= v ²2g

=( 12m

s )2

2(9.81m / s ²)=7.34m

La altura con respecto al suelo es: h + Δh = 10m + 7.34m = 17.3m

(b) Si el auto solo pasa por el punto B, y si el tiene allí vB = 0, entonces la fuerza externa de la pista sobre el auto será una fuerza normal:

Fpistadel auto=Fn=mg

¿(500kg)(9.81m /s ²)

¿4.91kN

(c) Aplicando ΣFx=mapara el auto en el punto C (observa FBD) y resuelve para a:

mgsen Θ=ma ^ a=gsenΘ=(9.81m /s ²)sen 30º¿4.91m / s ²

(d) Aplicando ΣFy=may para el auto en el punto D (observa FBD) y resuelve para Fn:

Fn – mg=mv ² /R ^ Fn=mg+mv ²R

Aplicando el teorema de trabajo – energía para el sistema de transformaciones de energía entre B y D:

ΔK +ΔU=0 o KD – KB+UD –UB=0

Entonces si KB=UB=0: KD – UB=0

Sustituyendo obtenemos:

1/2mvD ²+mg(h+ Δh)=0

ResolviendovD ²: vD ²=2 g(h+ Δh)

Sustituyendo para hallar Fn : Fn=mg+mv ²R

¿mg+m2 g(h+ Δh)

R

¿mg [1+2(h+Δ h)

R]

Sustituyendo valores numéricos en Fn :

Fn=(500kg)(9.81m /s ²)[1+m2 (17.3m)20m

]

¿13.4kN , ascenso directo

(e) F tiene 2 componentes en el punto F, uno horizontal (la fuerza interna que la pista ejerce) y el otro vertical (la fuerza normal). Aplicando ΣF = ma del auto al punto F:

ΣFy=Fn –mg=0⇒Fn=mg ^ ΣFx=Fc=mv ²R

Expresando el resultado de estas dos fuerzas :

F=√Fc ²+Fn ²

¿√(m v ²R

) ²+(mg)²

¿m√ v 4R ²

+g ²

Sustituyendo en valores numéricos y evaluando F:

F=(500kg)√(12m /s2)R ²

+(9.81m / s2)²

¿5.46kN

(f) Aplicando el teorema de trabajo – energía con fricción en el sistema de transformación de energía entre F y el auto detenido:

−KG+ΔEterm=0 ^ ΔE term=KG=12

mvG ²

El trabajo hecho por la fricción también es:

ΔEterm = f Δs = Ffreno d , donde d es la distancia que se detiene.

Igualando las 2 expresiones de ΔEterm y resolviendo para Ffreno :

Ffreno=mv ²2d

Sustituyendo en valores numéricos y evaluando Ffreno :

Ffreno=(500kg)(12m /s2) ²

2(25m)=1.44 kN

82●● Un bloque de 2 kg se suelta sobre un plano inclinado hacia abajo a una distancia de 4 m de un muelle de constante k = 100 N/m. El muelle esta fijo a lo largo del plano inclinado, que forma un ángulo de 30º (figura 7.31). (a) Si no hay rozamiento, hallar la compresión máxima del muelle, admitiendo que carece de masa. (b) Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es de 0.2, hallar la compresión máxima. (c) En el plano de apartado (b), ¿hasta qué punto subirá el bloque por el plano después de abandonar el muelle?

Planteamiento del problema : Deja el sistema que incluye la tierra, el bloque, muelle y la pendiente. Entonces Wext = 0. El grafico de la izquierda muestra el bloque cayendo por la pendiente y comprimiendo el muelle. Tomamos U g = 0 para la elevación a la cual el muelle está totalmente comprimido. Podemos usar la conservación de energía mecánica para determinar la compresión máxima del muelle. El grafico de la derecha muestra el bloque subiendo por la pendiente rugosa después de ser empujada por el muelle totalmente comprimido. Podemos usar el teorema de trabajo – energía con fricción para determinar cuál lejos subirá el bloque por la pendiente antes de detenerse.

(a) Aplicando la conservación de energía mecánica en el sistema cuando cambia desde su estado 1 hasta su estado 3:

Δ K+ ΔU g+ΔU s=0 ó K 3– K 1+Ug ,3 –Ug ,1+Us ,3−Ugf =0

Porque : K 3=K 1=U g,3=U s,1=0

−Ug ,1+Us ,3=0 ó −mg Δh+ 12

kx ²=0

Observando Δh en L + x y Θ, y sustituyendo tenemos:

Δ h=(L+ x)senΘ

∴ 12

kx ²−mg(L+x) senΘ=0

Reescribiendo esta ecuación en la forma de una ecuación cuadrática especifica:

1/2kx ²−(mgsen Θ) x−mgLsen Θ=0

Sustituyendo k, m, g, Θ y L para obtener:

(50N /m)x ²−(9.81m /s ²) x – 39.24 J=0

Resolviendo para significado físico de la ecuación:

X=0.989m

(b) Proceder como en (a), pero incluyendo la energía disipada por friccion:

Ug ,1+Us ,3+Δ E term .=0

La energía mecánica transformada en energía térmica es dada por:

Δ E term=F (L+x)=μ F (L+x)

¿ μmg cosΘ(L+x)

Sustituyendo Δh y ΔEterm para obtener:

−mg(L+x )senΘ+12

kx ²+μmg cos(L+x )=0

Sustituyendo k, m, g, Θ y L para obtener:

(50N /m)x ²−(6.41N ) x – 25.65J=0

Resolviendo para el resultado positivo:

X=0.783m

(c) Aplicando el teorema de trabajo – energía con fricción en el sistema cuando este cambia desde su estado 3 hasta su estado 4:

K 4 – K 3+Ug ,4 –Ug ,3+Us ,4 –Us ,3+ Δ E term=0

−mg Δh‘+12

kx ²+Δ E term=0

Sustituyendo para Δh‘ y ΔEterm para obtener:

−mg(L ‘+x )senΘ+ 12

kx ²+μmg cos (L‘+x)=0

Resolviendo paraL ‘ conx=0.783m :

L ‘=1.54m

83●● Un tren con una masa total de 2x10⁶ sube 707m a lo largo de una distancia de 62 km con una velocidad media de 15,0 km/h. Si la fuerza de rozamiento es igual al 0,8 por ciento del peso, (a) calcular la energía cinética del tren, (b) la variación total de energía potencial, (c) la energía disipada por el rozamiento y (d) la potencia de la locomotora.

Planteamiento del problema: El trabajo realizado por los motores mantiene la energía cinética del tren y supera el trabajo realizado por las fuerzas de fricción. Deje que el sistema incluye la tierra, pista y los coches, pero no de los motores. A continuación, los motores van a hacer el trabajo externo en el

sistema y podemos utilizar esta obra para encontrar la salida de potencia de los motores del tren.

(a) Utilizando la definición de cinética energía:

K=12

v m2

K=12(2×106 kg)(15 km

h.1h3600 s )

2

K=17.4 MJ

(b) El cambio en la energía potencial del tren es:

∆ U=mg ∆h

∆ U=(2×106 kg)(9.81 m

s2)(707m)

∆ U=1.39×1010 J

(c) Expresar la energía disipada por fricción cinética:

∆ E termica=f ∆ s

Expresar la fuerza de fricción:

f =0.008mg

Sustituir f y evaluar en ∆ E termica

∆ E termica=0.008mg ∆ s=0.008 (2×106kg )(9.81 m

s2 ) (62km )=9.73×109J

(d) Expresar la potencia de salida de los motores del tren, en términos de la obra hecho por ellos:

P=∆ W∆ t

Use el teorema de trabajo-energía con fricción para encontrar el trabajo realizado por los motores del tren:

W ext=∆ K+∆U +∆ Etermica

O, porque:

∆ K=0W ext=∆U+∆ Etermica

Encontrar el tiempo durante el cual los motores hacen este trabajo:

∆ t=∆ sv

Sustituto en la expresión de P a obtener:

P=(∆U+∆E termica)v

∆ s


P=(1.39×1010 J+9.73×109 J )(15 km

h.1h3600 s )

62km=1.59MW

84●● Parece ser que al acelerar se consume más energía que al conducir con velocidad constante. (a) Calcular la energía necesaria para que un coche de 1200 kg alcance una velocidad de 50 km/h despreciando el rozamiento. (b) Si los rozamientos (rozamiento por rodadura y fuerza de arrastre) del aire dan lugar a una fuerza de rozamiento total de 300N a la velocidad de 50 km/h, ¿Cuánta energía se necesita para desplazar el coche a una distancia de 300 m a una velocidad constante de 50 km/h? (c) Suponiendo que las pérdidas de energía por causa del rozamiento en el apartado (a) son el 75 por ciento de las encontradas en el apartado (b), estimar la relación que existe entre el consumo de energía para los dos casos considerados.

Planteamiento del problema: Mientras que en una superficie horizontal, el trabajo realizado por un automóvil de motor cambia la energía cinética del coche y funciona contra la fricción. Estas transformaciones de energía son descritas por el teorema trabajo-energía con la fricción. Deje que el sistema incluye la tierra, la carretera, y el coche, pero no el motor del coche.

(a) La energía requerida es igual al cambio en la energía cinética del coche:

∆ k=12

m v2

∆ k=12

(1200kg )(50 kmh

.1h3600 s )

2

∆ k=116 kJ

(b) La energía requerida es igual a:

∆ E termica=f ∆ s

El trabajo realizado contra la fricción:

Sustituir los valores numéricos y evaluar ∆ E termica

∆ E termica= (300N ) (300m )=90.0KJ

(c) Aplicar el teorema de trabajo-energía con la fricción para expresar la energía requerida:

E'=W ext=∆K+∆ Etermica

Dividir ambos lados de la ecuación por E para expresar la relación de las dos energías:

E 'E

=∆ KE

+0.75

Sustituir los valores numéricos y evaluar E ' /E:

E 'E

=116 KJ90KJ

+0.75=2.04

85●●● Un péndulo consiste en una pequeña masa (M) atada ala extremo de una cuerda de longitud L. Tal como se muestra en la figura 7.32, la masa se coloca en posición horizontal y se suelta. En el punto mas bajo de la oscilación, la cuerda choca con una clavija delgada situada a una distancia R por encima de dicho punto. Demostrar que R debe ser menor que 2L/5 para que la masa describa un circulo entero alrededor del punto R.

Planteamiento del problema: Suponga que el Bob se mueve con velocidad v a medida que pasa a la parte superior del punto vertical cuando bucle alrededor de la clavija .Hay dos fuerzas que actúan sobre el Bob: la tensión en la cuerda (si los hay) y la fuerza de la gravedad, Mg; tanto apuntar hacia abajo cuando la

pelota está en la posición más alta. La velocidad mínima posible para la sacudida debe pasar la vertical, se produce cuando la tensión es 0; de esto, la gravedad debe suministrar el fuerza centrípeta necesaria para mantener la bola se mueve en un círculo. Podemos utilizar conservación de la energía para relacionar v a L y R.

Expresar la condición de que la sacudida oscila en torno a la paridad en un pleno círculo:

Mv2

R>Mg


v2

R>g

Utilice la conservación de la energía para relacionar la energía cinética de la lenteja en el parte inferior del bucle a su potencial energía en la parte superior de su columpio:

12

M v2=Mg (L−2 R)

Resuelve para v2:

v2=2g (L−2R)

Sustituye para obtener:

2g(L−2R)R

>g

Resuelve para R:

R< 25

L

86●● Para determinar la penetrabilidad de una bala se dispara un rifle contra un bloque de madera en reposo. La bala penetra una distancia D en la madera. Otra bala que tiene la misma masa pero que dobla su velocidad incide sobre el mismo bloque. Supongamos que la madera ejerce una fuerza media sobre la bala que no depende de la velocidad. La distancia de penetración de la segunda bala es (a) D, (b) 2D, (c) 4D, (d) imposible de determinar a partir de la información disponible.

Planteamiento del problema: Si la madera ejerce una fuerza media F en la bala, el trabajo que tiene FD magnitud. Esto debe ser igual al cambio en la energía cinética de la bala, o porque la energía cinética final de la bala es cero, a la negativa de energía cinética inicial. Dejaremos que m la masa de la bala y V su velocidad inicial y aplicamos el teorema de la energía para relacionar la

profundidad de penetración de v:

Aplicar la energía cinética de trabajo teorema de relacionar la penetración profundidad para el cambio en la cinética la energía de la bala:

W total=∆ K=k f −k i

O, porque: K f =0

W total ¿−K i

Sustituto W total y K i para obtener:

FD=−12

mv2

Resuelve D para obtener:

D=−m v2

2F

Para una bala idéntica a dos veces la velocidad que tenemos:

FD'=−12

m (2v )2

Resuelve para D ' para obtener:

D'=4(−mv2

2F )=4D

Y

(c ) es incorrecto

87●● En la figura 7.33 se muestra una experiencia estándar del curso de física introductorio destinada a examinar la conservación de la energía y las leyes de Newton. Una pequeña viga de masa M atada a una cuerda sin masa de cuyo extremo cuelga un peso de masa m se coloca en un rail de aire. Cuando el aire circula sobre el rail este esencialmente no tiene rozamiento. Se suelta entonces la masa m y se mide la velocidad de la viga después que el peso haya caído una distancia Y. Para demostrar que las leyes de la física son coherentes, determinar la velocidad de la viga de dos formas diferentes: (a) mediante la conservación de la energía mecánica; (b) usando la segunda y tercera leyes de Newton directamente; es decir, haciendo un diagrama de fuerzas para las dos masas, encontrando su aceleración y, a partir de ella, calculando la velocidad de la viga.

Planteamiento del problema: Para la parte (a), los sistemas incluyen el parapente, pista, peso, y la tierra. Las velocidades de la vela y el peso que cae serán los mismos, mientras que están en movimiento. Su velocidad común cuando se han movido una distancia Y sea v y dejar en cero la energía potencial sea en la elevación del peso cuando ha caído a una distancia Y . Podemos utilizar conservación de la energía para relacionar la velocidad del planeador (y el peso) a la distancia que el peso se ha caído. En la parte (b) , se lo haremos la dirección del movimiento ser la dirección x, la tensión en la cadena de conexión sea T, y aplicar segunda ley de Newton para el parapente y el peso para encontrar su aceleración común. Debido a que esta aceleración

es constante, podemos utilizar una ecuación de aceleración constante para encontrar su velocidad común cuando se han trasladado una distancia Y .

a) Utilizar la conservación de energía para relacionar la cinética y potencial, energías del sistema:

∆ K+∆U=0

O:K f −K i+U f−U i=0

Debido a que el sistema parte del reposo y U f=0 :

K f −U i=0


12

m v2+12

M v2−mgY =0

Resuelve para v:

v=√ 2mgYM +m

(b) Los diagramas de cuerpo libre para el planeador y el peso se muestran:

Aplicar tercera ley de Newton para obtener:

|T 1|=|T 2|=T

Aplicar ∑ F x=ma a la vela:

T=Ma

Aplicar = ∑ F x=ma al peso:

mg−T=ma

Añadir estas ecuaciones para eliminar T y obtener:

mg=Ma+ma

Resolver para obtener:

a=gm

m+M

Utilizando una constante de aceleración en la ecuación, relacionar la velocidad del planeador a su velocidad inicial y para la distancia que el peso ha caído:

v2=v02+2aY

O, porque:

v0=0

v2=2aY

Sustituir Y en v para obtener:

v=√ 2mgYM +m

El mismo resultado que se ha obtenido en la parte (a):

88●● Se formula un modelo de carrera deportiva, según el cual la energía se consume en el proceso de acelerar y desacelerar las piernas. Si la masa de una pierna es m y la velocidad de la carrera es v, la energía

necesaria para acelerar la pierna desde el reposo a v es 12

mv ² y la misma

energía se necesita para desacelerar la pierna hasta el reposo para iniciar la siguiente zancada.

Así, la energía requerida en cada zancada es mv².Supongase que la masa de la pierna de un hombre es de 10 kg y que corre con una velocidad de 3 m/s, siendo la distancia de dos pisadas consecutivas es de 1 m. Por lo tanto, la energía que debe proporcionar cada segundo es de 3 x mv². Calcular con este modelo el consumo de energía del hombre, suponiendo que sus músculos tienen un rendimiento de 25 por ciento.

Planteamiento del problema: Nos dan P=dW /dt y se nos pidió que evaluáramos los términos de la condiciones asumidos:

Expresar la tasa de energía, los gastos para el hombre:

P=3m v2=3 (10kg) (3m /s )2

P=270W

Expresar la tasa de energía del gasto P ' suponiendo que su:

P=15

P '

Los músculos tienen una eficiencia del 20 %:

Resolviendo P ':

P'=5 P=5 (270W )=1.35KW

89●● Un profesor de química de secundaria sugirió medir el módulo de la aceleración mediante el método siguiente: Colgar un peso de un hilo muy fino de longitud L formando un péndulo que se coloca en el extremo de una mesa de tal forma que este queda a una altura H sobre el suelo en el punto altura mínima de su oscilación. Tirar entonces del hilo de forma que forme un ángulo Θ0 con la vertical. Colocar en el punto más bajo del péndulo de una cuchilla que corte el hilo. Cuando este se ha cortado, la masa se proyecta horizontalmente y cae a una distancia D del borde de la mesa. La idea es medir D en función de Θ0 y que esto sirva para determinar g. Además de las dificultades experimentales obvias, el procedimiento tiene un problema grave: D no depende de g. Muestre que esto es verdad y que D depende únicamente de Θ0.

Planteamiento del problema: La pictórica representación muestra el balanceo del péndulo a través de un ángulo θ antes de que se corte el hilo y se puso en marcha horizontalmente. Deje su velocidad en la posición 1 sea v. Podemos utilizar la conservación de la energía para relacionar v al cambio de la energía potencial de la lenteja como se balancea a través de la θ ángulo. Podemos encontrar su tiempo de vuelo ∆ t a partir de una constante de aceleración de la ecuación y luego expresar como D el producto de V y ∆ t .

Relacionar la distancia D recorrida horizontalmente por la sacudida de su lanzamiento, velocidad v y el tiempo de vuelo ∆ t :

D=v ∆ t (1)

Utilice la conservación de la energía para relacionar su velocidad de lanzamiento v a la longitud del péndulo L y el ángulo θ:

K1−K 0+U 1−U 0=0

O Porque:

U 1=K 0=0 , K1−U 0=0


12

m v2−mgL (1−cosθ )=0

Resolviendo para v rendimientos:

v=√2gL(1−cosθ)

En la ausencia de resistencia del aire, los movimientos horizontales y verticales de la lenteja son independientes entre otra y podemos usar una constante de aceleración, ecuación para expresar el tiempo de vuelo (el tiempo para caer una distancia H):

∆ y=vo y∆ t+ 1

2ay (∆ t )2

O, porque:

∆ y=−H ,ay=−g , y v0 y=0 ,−H=−1

2g (∆ t )2

Resuelve para obtener ∆ t :

∆ t=√2H / g

Sustituyendo en la ecuación (1) y simplificar para obtener:

D=√2 gL(1−cosθ )√ 2Hg

D=2√HL(1−cosθ)

Lo que demuestra que, mientras que D depende de θ, es independiente de g.

90●● Un bloque de 5 kg mantiene contra el muelle cuya constante de fuerza es de 20 N/cm, comprimiéndolo 3 cm. El bloque se libera y el muelle se extiende impulsando el bloque a lo largo de una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento entre la superficie y el bloque es 0,2. (a) Determinar el trabajo realizado sobre el bloque por el muelle al extenderse desde su posición comprimida hasta su posición de equilibrio. (b) Determinar la energía disipada por el rozamiento cuando el bloque se desplaza 3 cm hasta la posición de equilibrio del muelle. (c) ¿Cuál es la velocidad del bloque al alcanzar el muelle su posición de equilibrio? (d) Si el bloque no estuviera sujeto al muelle, ¿Qué distancia recorrería sobre la superficie antes de detenerse?.

Planteamiento del problema: La representación pictórica representa el bloque en su posición inicial contra el resorte comprimido (1), ya que se separa del resorte en su máximo de energía cinética (2), y cuando se ha llegado a descansar después de mover una distancia x+d. Deje que el sistema consista en la tierra, el bloque y la superficie sobre la que se desliza el bloque. Con esta elección, W ext=0 . Podemos utilizar el teorema de trabajo-energía con la fricción para determinar hasta qué punto el bloque se desliza antes de llegar al descanso

(a).

El trabajo realizado por el muelle sobre el bloque está dada por:

W resorte=∆U resorte=12

K x2

Sustituir los valores numéricos y evaluar W resorte

W resorte=12 ( 20N

cm ) (3cm )2=0.900J

(b) La energía disipada por la fricción viene dada por:

∆ E termica=f ∆ s=μk Fn ∆ x=μk mg ∆ x

Sustituir los valores numéricos y evaluar ∆ E termica:

∆ E termica=(0.2)(5kg)( 9.81m

s2)(0.03m)

∆ E termica=0.294J

(c) Aplicar la conservación de energía entre los puntos 1 y 2:

K2−K1+U s ,2−U s ,1+∆E termica=0

Porque K1=U s ,2=0:

K2−U s ,1+∆ E termica=0


12

m v22−12

k x2+∆ Etermica=0

Resolviendo para v2:

v2=√ K x2−2∆ Et ermica

m

Sustituir los valores numéricos y evaluar v2:

v2=√( 20Ncm )(3m )2−2(0.294 J )

5kg

v2=0.492m /s

(d) Aplicar la conservación de la energía entre los puntos 1 y 3:

∆ K+U s ,3−U s , 1+∆ Etermica=0

Porque ∆ K=U s , 3=0:

−U s ,1+∆ Etermica=0

O

−12

K x2+μk mg ( x+d )=0

Resolviendo para d:

d= k x2

2 μk mg−x

Sustituir los valores numéricos y evaluar d:

d=(20N /cm) (3cm )2

2(0.2)(5kg)(9.81m

s2)−0.03m

d=6.17cm

91●● Un bloque de masa m se deja caer sobre la parte superior de un muelle vertical cuya constante de fuerza es k (figura 7.21, problema 26). Si el bloque se suelta desde una altura h por encima del muelle, (a) ¿Cuál es la energía cinética máxima del bloque? (b) ¿Cuál es la máxima compresión del muelle? (c) ¿Para qué compresión la energía cinética del bloque es la mitad de su valor máximo?.

Planteamiento del problema La pictórica representación muestra el bloque inicialmente en descansar en el punto 1, cayendo bajo la influencia de gravedad al punto 2, parcialmente comprimir el resorte, ya que continúa ganando cinética energía en el punto 3, y, finalmente, llegar a reposo en el punto 4 con el muelle totalmente comprimido. Deje que el sistema consiste en la tierra, el bloque y la primavera para que Wext = 0. Sea Ug = 0 en el punto 3 de la parte (a) y en el punto 4 de la parte (b). Podemos utilizar el teorema trabajo-energía para expresar la cinética de energía del sistema como una función de la posición de bloque y luego utilizar esta función para maximizar K , así como determinar la compresión máxima del resorte y la ubicación del bloque cuando el sistema de tiene la mitad de su energía cinética máxima.

(a) Aplicar conservación de energía mecánica para describir la transformaciones de energía entre estado 1 y el estado 3:

∆ K+∆U g+∆ U S=0

o K3−K 1+U g3−U g1+U g3−U g1=0

Como: K1=U g3=U g1=0

y K3=K=mg (h+x )−12

kx2

Diferenciar K con respecto a x y establecer esta derivada igual a cero para identificar valores extremos:

dKdx

=mg−kx=0, para valores extremos.

Resolver para x:

x=mgk

Evaluar la segunda derivada de K con respecto a x:

d2Kdt 2

=−k<0

❑⇒

x=mgk

, máximos K .

Evaluar K para x=mgk

:

Kmax=mgh+mg(mgk )−12 k (mg

k )2

¿mgh+ m2 g2

2k

(b) El resorte tendrá su compresión máxima en el punto 4 donde K=0 :

mg (h+xmax )−12

k xmax2 =0

o xmax2 −2mg

kxmax

❑ −2mghk

=0

Resuelva para x y mantener la física raíz significativa :

xmax=mgk

+√m2g2

k2+ 2mgh

k

(c) Aplicar conservación de energía mecánica para el sistema como que

evoluciona del estado 1 al estado en que K=12

K max:

∆ K+∆U g+∆ U S=0

o K−K1+U g3−U g1+U g3−U g1=0

Como K1=U g3=U g1=0 :

K1−U g1+U g3=0

y K=mg (h+ x )−12

kx2

Sustituir para obtener K :

12 (mgh+ m2g2

2k )=mg (h+x )−12

kx2

Expresar la ecuación en forma cuadrática:

x2−2mgk

x+(m2g2

2k2−mgh

k )=0Resolver para hallar valor positivo:

x=mgk

+√ 2m2 g2

k 2+ 4mgh

k

92●● Se empuja hacia un lado la lenteja de un péndulo de longitud L de modo que la cuerda forme con la vertical un ángulo Θ0’ y luego se suelta. En el ejemplo 7.2 se utilizó el principio de conservación de la energía para obtener su velocidad en la parte inferior de la trayectoria. En este problema se pide llegar al mismo resultado utilizando la segunda ley de Newton. (a) Demostrar que la componente tangencial de la segunda ley de Newton viene dada por dv / dt = -gsen Θ ,donde v es el modulo de la velocidad yΘel ángulo que forma la cuerda con la vertical. (b) Demostrar que v se puede escribir en la forma v= LdΘ/ dt. (c) Utilizar este resultado y la regla de la derivación en cadena para obtener:

dvdt

= dvdΘ

d Θd t

= dvdΘ

vL

(d) Combinar los resultados de (a) y (c) para obtener v dv = -gL sen ΘdΘ.

(e) Integrar el miembro de la izquierda de esta ecuación desde v = hasta la velocidad final y el miembro de la derecha desde Θ= 0 a Θ = Θ0 y demostrar que el resultado es equivalente a v = √2gh siendo h la altura original de la lenteja del péndulo sobre el punto más bajo de su recorrido.

Planteamiento del problema El diagrama de cuerpo- libre muestra las fuerzas que actúan sobre la péndulo. La aplicación de Segunda ley de Newton conduce directamente a la expresión requerido para la tangencial aceleración. Recordemos que, siempre θ está en radianes, s=Lθ . Diferenciación con respecto al tiempo produce el resultado se pide en la parte (b ) . Las partes restantes del problema simplemente requieren siguiente las instrucciones para cada parte:

(a) Aplicar ∑ F x=max

F tan=−mgsenθ=m a tan

Resolver para a tan:

a tan=dvdt

=−gsenθ

(b) Relacionar la distancia s arco al longitud del péndulo L y el ánguloθ :

s=Lθ

Diferenciar con respecto al tiempo:

ds /dt=v=Ldθdt

(c) Multiplicardvdt

por dθdθ

y sustituir por dθdt

de la parte (b):

dvdt

=dvdt

dθdθ

=dvdθ

dθdt

¿ dvdθ ( v

L )(d) Equiparar las expresiones para

dvdt

a partir de (a) y (c):

dvdθ ( v

L )=−gsenθ

Separe las variables para obtener:

vdv=−gLsenθdθ

(e) Integrar el lado izquierdo de la ecuación de la parte (d) a partir de v=0 a la velocidad v final y el lado derecho de θ=θ0:a θ=0.

∫0

v

v ' d v '=∫θ0

0

−gLsenθ ' dθ '

Evaluar los límites de integración a obtener:12

v2=gL(1−cosθ0)

Nota, a partir de la figura, que h=L(1−cos θ0) . Sustituir y resolver para v:v=√2gh

93●●● Un escalador de 85 kg baja por la pendiente de una roca cuando su sujeción falla y queda sostenido únicamente por la cuerda de seguridad atada a un punto de la cima. La forma de la pared puede esquematizarse tal como se muestra en la figura 7.34, con H de 300 m. Suponga que la cuerda se comporta como un muelle de constante de fuerza k = 5 N/m y de 60 m de longitud. (a) Usando una hoja de cálculo, represente gráficamente la energía potencial del escalador en función de s, siendo esta la distancia desde la cima medida a lo largo de la curva de la superficie de la roca. Use valores de s comprendidos entre 60 m y 200 m. (b) Si la caída comenzó cuando estaba a una distancia si = 60 m de la cima y acabo a una distancia si = 110 m, determinar cuanta energía se disipó desde el momento que empezó a resbalar y hasta finalmente quedó parado.

Planteamiento del problema La energía potencial del escalador es la suma de su gravedad la energía potencial y la energía potencial almacenada en la cuerda elástica primaveral. Deje que θ sea él ángulo que forma la posición del escalador de roca en el acantilado con la vertical eje y elegir el cero de energía potencial gravitatoria para estar en la parte inferior del acantilado. Podemos utilizar las definiciones de Ug y Uresorte expresar potencial total del escalador energía.

(a) Expresar el potencial total energía del escalador :

U (s )=U cuerda+U g

Sustituir y obtener:

U (s )=12(s−L)2+ Mgy

¿ 12(s−L)2+MgHcosθ

¿ 12(s−L)2+MgHcos ( s

H )Una solución de hoja de cálculo se muestra a continuación. Las constantes utilizadas en la energía potencial función y las fórmulas utilizadas para calcular la energía potencial son los siguientes:

CELULA CONTENIDO/FÓRMULA FORMA ALGEBRAICA

B3 300 H

B4 5 k

B5 60 L

B6 85 M

B7 9.81 g

D11 60 s

D12 D11+1 X+1

E11 0.5*$B$4*(D11−$B$5)^2

+$B$6*$B$7*$B$3*(cos(D11/$B$3))

¿ 12(s−L)2+MgHcos ( s

H )

G11 E11−E61 U(60m)−U(110m)

En el siguiente gráfico se trazan utilizando los datos de las columnas D(x)

y E(U ( X ))

Ejercicios Capitulos (6-7)

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