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GEOMETRIA ANALITICA CUADERNO DE EJERCICIOS EL MATERIAL QUE SE PRESENTA EN ESTE CUADERNO DE EJERCICIOS CORRESPONDE AL PROGRAMA VIGENTE DEL CURRICULUM DEL BACHILLERATO DE LA U.A.E.M. PRESENTA EJERCICIOS QUE APOYAN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL ALUMNO CON UN ENFOQUE POR COMPETENCIAS DE CADA UNO DE LOS MODULOS DEL PROGRAMA ROBERTO MERCADO DORANTES 25/10/2011
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PROGRAMA
MODULO I RECTA
MODULOII CIRCUNFERENCIA
MODULO III PARÁBOLA
MODULO IV ELIPSE
MODULO VI HIPERBOLA
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INDICE
PORTADA 1
PROGRAMA 2
INDICE 3
MODULO I 4-13
MODULO II 14-17
MODULO III 18-23
MODULO IV 24-34
MODULO V 35-42
BIBLIOGRAFIA 43
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MODULO I
OBJETIVO
Calcular ecuaciones de rectas, graficarlas y resolver problemas cuya modelación conduzca a ecuaciones de rectas.
OBJETIVOS PARTICULARES:
Calcular la ecuación de una recta, dados como datos: dos puntos, pendiente y un punto, el ángulo de inclinación y un punto.
Obtener la ecuación de una recta, a partir de la pendiente y ordenada al origen. Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a partir de la ecuación general
de una recta. Graficar la recta a partir de su ecuación general. Reconocer que toda ecuación de primer grado se representa como una recta y
recíprocamente.
Resolver problemas que involucren el concepto de distancia de un punto a una recta
Evidencias de aprendizaje
1. Obtén las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano
A ( ), B ( ), C ( ), D ( ), E ( )
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2. Calcula el perímetro del siguiente polígono que se muestra en la figura
3. Determine las coordenadas del ),( yxP , que divide al segmento AB cuyos extremos son:
A (1,-1) Y B (10,10) en la razón 3
1r , e indique si es punto de trisección. Grafique
P=
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4. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los
puntos A (-5,3) y B (6,1/2). Grafique
5. Señala gráficamente la pendiente m del segmento de recta que se muestra en la figura y
obtén el valor de su ángulo de inclinación
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6. Calcula el ángulo interior del triángulo con vértice en el punto A del triángulo formado por
los puntos A (-1,1), B (2,5) y C (4,-3). Grafique
7. Halle la ecuación del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en
seis unidades es igual al cuádruple de su abscisa.
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8. Halle la ecuación del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto
)4,3(A . Grafique
9. Grafica en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones:
yxc
yb
xa
2)
4)
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10. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ángulo de inclinación es 0135 . Grafique
11. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique
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12. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y es el
punto (0,-2). Grafique
13. Obtenga la pendiente da cada una de las siguientes rectas:
01545)
05)
01032)
yxc
yxb
yxa
14. Determine la ecuación general de la recta que contiene al origen y es paralela a la recta
01232 yx
a) m=…………………………….
b) m=…………………………….
c) m=-------------------------
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15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-4,3) Y es perpendicular a la recta
02yx
15. Determine el valor de k para que la recta ,010)2(2 ykkx sea perpendicular a la
recta que tiene por ecuación 012107 yx .
16. Determine la distancia del punto P(5,-6) a la recta: 0643 yx
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Evidencias de aprendizaje
1. Escribe la ecuación cuya pendiente es 3m y su intersección con el eje y es el punto (0,2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
2. Escribe la ecuación de la recta de pendiente 3
2 y ordenada en el origen
igual a 4 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 3. La siguiente ecuación 504xy representa el sueldo de Luis que trabaja
en una florería, donde y representa el salario semanal de Luis en dólares y la literal x representa el número de arreglos florales vendidos durante la primera semana, calcula:
a) El sueldo semanal de Luis cuando no vende ningún arreglo floral b) Cuando vende 10 arreglos florales c) Representa utilizando Geogebra la solución de los dos incisos
anteriores. 4. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente
2m (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
5. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto )3,2(1P y tiene un
ángulo de inclinación 045 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
6. Escribe la ecuación que pasa por los puntos )5,3(1P y )1,2(2P . (Utiliza
Geogebra para representar su lugar geométrico).
7. Se espera que el valor de una maquina disminuya con el paso del tiempo de manera lineal. Do puntos de datos indican que el valor de la maquina en un año después de la compra será $120,000.00 y su valor después de 6 años será de $30,000.00. Determina:
a) La ecuación que representa la depreciación de la máquina, considerando como valor V, y antigüedad en años t.
b) Interpreta el significado de la pendiente c) (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
8. De acuerdo con la Ley de Charles, la presión P (en pascales) de un volumen de gas se relaciona de forma lineal con la temperatura T (en grados centígrados). Un experimento dio como resultado que si T=20, entonces P=40, y que si T=70, entonces P=90.
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(Sugerencia: representa en el eje y la presión y temperatura en el eje x)
a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene estos puntos? b) Explica el significado de la pendiente en este contexto c) Escribe la ecuación de este modelo experimental d) Utilizando Geogebra representa el lugar geométrico de la ecuación
obtenida.
9. Escribe la ecuación de la recta en forma simétrica, si sus intersecciones con
los ejes YX son los puntos A (3,0) y B (0,-2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
10. La grafica que aparece más adelante muestra el comportamiento de un
negocio que renta locales para exposiciones. El dueño cobra x pesos por metro cuadrado, y el número de espacios y que puede rentar esta modelado por la ecuación lineal xy 5200 .
a) ¿Cuántos espacios disponibles hay al iniciar el negocio? b) Escribe el modelo de la ecuación en la forma simétrica c) ¿Qué significa la intersección de la recta con el eje x
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MODULO II CIRCUNFERENCIA
En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes; competencias: 1. Construir e interpretar modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la circunferencia. 3. Argumentar la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio
Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: 1. Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano. 2. Reconocer la circunferencia como lugar geométrico. 3. Identificar los elementos asociados a la circunferencia. 4. Comprender la existencia de una circunferencia específica cuando se conocen su centro y su radio. 5. Identificar el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación.
6. Identificar las secciones cónicas resultantes de los cortes a un cono
Habilidades
Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: 1. Analizar la forma de secciones cónicas en su entorno. 2. Determinar los elementos mínimos para trazar una circunferencia.
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3. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una circunferencia con centro en el origen en la escritura de su ecuación. 4. Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación. 5. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen. 6. Reflexionar sobre las características de la circunferencia como lugar geométrico, con la finalidad de modelar fenómenos o situaciones provenientes de diversos contextos.
Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: 1. Participará activamente en la realización de ejercicios y en la resolución de problemas. 2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. 3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.
Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: 1. Identificar el tipo de curvas que se forman por medio de los cortes de un plano en un cono. 2. Realizar las descripciones mínimas necesarias para el trazado de una circunferencia. 3-Determinar la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen a partir de la medida de su radio o de otros datos. 4. Establecer el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación. 5. Resolver situaciones problemáticas que impliquen determinar la ecuación o la gráfica de circunferencias con centro en el origen.
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Es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que su distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante
Dónde: r= constante (radio) C=punto fijo (centro)
rCP
Formas de la ecuación de una circunferencia a)Ecuación de una circunferencia de
centro en el origen(0,0) y radio r
222 ryx ;forma canoníca
b)Ecuación de una circunferencia de centro (h,k) y radio r
222 )()( rkyhx ;forma ordinaria
c)Ecuación de una circunferencia en su forma general
022 FEyDxyx ;forma general
Evidencias de aprendizaje
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6 (Utilizando Geogebra representa su lugar geométrico).
2. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6
3. Determina si el punto (3,-1) pertenece a la circunferencia 922 yx
4. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (2,3). Utiliza Geogebra para trazar su grafica.
5. Una laguna de forma circular tiene una superficie de 806m2, toma como origen el centro de la laguna, obtén la medida de su radio.
R. No es un punto de la circunferencia
R. 1322 yx
R. 16.02
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6. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el punto (2,1) y radio r=3 (Utiliza Geogebra para trazar su grafica).
7. En la ciudad de México se encuentra un reloj floral, que tiene una caratula floral de 10 metros de diámetro. Lo adornan 20 mil plantas de diferentes especies. Determina: a) La ecuación ordinaria de la circunferencia considerando que su centro esta en el punto P (6,2)
8. La glorieta del paseo colon en la ciudad de Toluca tiene por ecuación en su base
0144242422 yxyx ;
Determinar: a) La ecuación ordinaria b) Elementos (centro, radio)
9. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-1,0) y que es tangente a la recta .01243 yx (Utiliza Geogebra para trazar su
grafica).
10. Transformar la siguiente ecuación de una circunferencia, a la forma ordinaria, obtén las coordenadas del centro, la magnitud del radio y representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
0204222 yxyx
9)1()2( 22 yx
100)2()6( 22 yx
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MODULO III PARÁBOLA
En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias:
1. Construir e interpretar modelos sobre la parábola como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. 2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la parábola. Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: 1. Reconocer a la parábola como lugar geométrico. 2. Identificar los elementos asociados a la parábola. 3. Reconocer la ecuación de parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen. 4. Identificar los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación. Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: 1. Determinar las condiciones necesarias para trazar una parábola. 2. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una parábola con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje x o y en la escritura de su ecuación 3. Obtener los elementos de una parábola horizontal o vertical con vértice en el origen a partir de su ecuación. 4. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen.
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Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: 1. Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes al lugar geométrico de la parábola. 2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. 3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos. Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: 1. Reconocer los elementos de la parábola como lugar geométrico. 2. Trazar parábolas por medio de distintos métodos. 3. Determinar la ecuación de una parábola vertical u horizontal con vértice en el origen. 4. Determinar el vértice, el foco y la directriz asociados a una parábola a partir de su ecuación. 5. Modelar situaciones en las que intervienen parábolas verticales u horizontales con vértice en el origen.
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Formas de la ecuación de una parábola
a)Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje horizontal(forma canonica)
pxy 42 ;p distancia
del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda
Ecuación de la directriz es x=-P,las coordenadas de su foco son F(p,0) y la longitud de su lado recto
LR= P4
b) Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje vertical(forma canonica)
pyx 42 ; p distancia
del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre hacia arriba, si p<0 la parábla se abre hacia abajo.
Ecuación de la directriz es y=-P,las coordenadas de su foco son F(0,p) y la longitud de su lado recto
LR= P4
c)Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje horizontal(forma ordinaria)
)(4)( 2 hxpky
;p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda
Ecuación de su directriz x=h-p, coordedenadas de su foco F(h+p,k), longitud
de su lado rectoLR= P4
d) Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje vertical(forma ordinaria)
)(4)( 2 kyphx
;p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda
Ecuación de su directriz y=k-p, coordedenadas de su foco F(h,k+p), longitud
de su lado rectoLR= P4
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Forma general de la ecuación de la parábola
Una ecuación de segundo grado en las variables yx que carezca del término en xy
puede escribirse en la forma 022 FEyDxCyAx
a) Si A=0.C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo(o
coincide) el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar
geométrico, según que las raíces de 02 FEyCy sean reales y desiguales,
reales e iguales o complejas
b) Si A 0 , C=0 y E 0 , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos recta diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún
lugar geométrico, según que las raíces de 02 FDxAx sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas
Evidencias de aprendizaje
1. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y foco el punto (3,0), obten ademas el valor de su lado recto y la ecuación de su directriz. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)
Resultado:
Ecuación buscada xy 122
LR=12 Ecuación de la directriz x=-3
2. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y el eje vertical, pasa por el punto
(6,3), obten ademas las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)
Resultado:
Ecuación de la parábola yx 122
Coordenadas del foco F(0,3) Ecuación de la directriz y=-3 Longitud del ladorecto LR=12
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3. Obtenga la ecuación en forma ordinaria de la parábola con vertice en el punto (-4,3) y que tiene como foco el punto (-1,3). Obtenga ademas la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)
Resultado:
Ecuación de la parábola )4(12)3( 2 xy
Ecuación de la directriz x=-7 Longitud del lado recto LR=12
4. Obtenga la forma ordinaria de la ecuación de la parábola cuya ecuación general es
07120484 2 yxy
Resultado:
)2(122
52
xy
5. Compruebe que la ecuación 015912484 2 xyx representa una parábola. Hallar todos sus elementos
Resultado Representa una parábola con eje vertical
2
712
2
32
yx
Coordenadas del foco 2
1,
2
3
Ecuación de la directriz 2
13y
Longitud del lado recto LR=12
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6. Un reflector cuya concavidad es parabólica, tiene un diámetro de 30 cm y mide 20
cm de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco, ¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra? Sugerencia: Si haces un bosquejo de la figura en las coordenadas cartesianas, observa que tienes el punto (20,15).
7. El puente Golden Gate, en San Francisco, California, es un puente de suspensión cuya forma es aproximada a una parábola. Los cables del tramo principal se suspenden entre dos torres que se encuentran separadas 1 280 metros y cuyo borde superior se ubica a 150 metros por arriba de la autopista. El cable se extiende 3 metros arriba del punto medio de la autopista entre las dos torres. Encuentra una ecuación que represente la forma del cable. Observa la figura.
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Módulo IV Elipse
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un
plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos
fijos llamados focos es una constante positiva.
Elementos de la el ipse
Focos
Son los puntos f i jos F y F' .
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatr iz del segmento FF' .
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Centro
Es el punto de intersección de los e jes.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la e l ipse a
los focos: PF y PF' .
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c , c es e l valor de la
semidistancia focal .
Vértices
Son los puntos de intersección de la e l ipse con los ejes:
A, A' , B y B' .
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a , a es e l valor del
semieje mayor .
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b , b es e l valor del
semieje menor .
Ejes de simetría
Son las rectas que cont ienen al e je mayor o a l e je menor.
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Centro de simetría
Coincide con el centro de la e l ipse, que es el punto de
intersección de los e jes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
Excentricidad de la elipse
La excentricidad es un número que mide el mayor o menor
achatamiento de la e l ipse. Y es igual a l cociente entre su
semidistancia focal y su semieje mayor.
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En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias:
a) Construir e interpretar modelos sobre la elipse como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. b) Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas como distintas representaciones de la elipse con centro en el origen.
Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: a) Caracterizar la elipse como lugar geométrico. b) Identificar los elementos asociados a la elipse. c) Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos.
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d) Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria.
Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: a) Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con la ayuda de hilo, regla y compás. b) Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse con centro en el origen y con eje focal sobre algún eje coordenado, y conocer su efecto en la conformación de su ecuación. c) Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con eje focal sobre alguno de los ejes coordenados a partir de su ecuación. d) Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen.
Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: a) Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes a la elipse. b) Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. c) Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.
Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: a) Reconocer los elementos de la elipse como lugar geométrico. b) Trazar elipses por medio de distintos métodos. c) Determinar la ecuación de elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados.
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d) Determinar los elementos asociados a una elipse a partir de su ecuación. e) Modelar situaciones en las que intervienen elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X
Ecuación Vértices Longitud del eje mayor
Longitud del eje menor
Focos
12
2
2
2
b
y
a
x
),(),,( ' oaVoaV 2a 2b F(c,0), F´(-c,0)
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y
12
2
2
2
a
y
b
x
),0(),,0( ' aVaV 2a 2b F(0,c),F’(0,-c)
Elipse Horizontal
Elipse Vertical
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Evidencias de aprendizaje
1. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como vértices
y focos los siguientes puntos: V (6,0), V´ (0,-3), F (4,0) y F (-4,0), representa
su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación en su forma canónica 12036
22 yx:
2. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como focos
los siguientes puntos: F (0,3), F´ (0,-3) y su excentricidad es 3
2representa
su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación en su forma canónica 1
2
45
2
92
2
2
2 yx
3. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria que tiene como
focos los siguientes puntos: F (-4,-6), F (-4,-2) y vértices V´ (-4,-8), V (-4,0).
representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación en su forma ordinaria 116
)4(
12
)4( 22 yx
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4. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria con centro en C(-9,3)
foco y vértice en F (-6,3),y vértices V (-4,3),obtén además su dominio y
rango, representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación de la elipse en su forma ordinaria 116
)3(
25
)9( 22 yx
Dominio 4,14x
Rango 7,1y
5. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto
(3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, escribe la ecuación de la elipse
en su forma ordinaria, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.
representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación de la elipse en su forma ordinaria 110
)1(
25
)2( 22 yx
Excentricidad 5
15
a
ce
Coordenadas de los focos )1,152(F y )1,152(´F
6. La forma general de la ecuación de una elipse es:
018121849 22 yxyx .Redúzcala a su forma ordinaria; determine
centro, focos, longitud de los ejes mayor y menor, lado recto y su
excentricidad. representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación de la elipse en su forma ordinaria 19
)2
3(
4
)1(2
2 yx
Centro C(-1,3/2)
Focos )52
3,1(F y )5
2
3,1´(F
Vértices )32
3,1(V y )
2
33(V
Longitud del eje mayor LR=6
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Longitud del eje menor Lm=4
Excentricidad 3
5e
7. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol,
sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones de kilómetros
y qué la excentricidad vale 0,017, hallar la máxima y la mínima distancia de
la tierra al sol.
Respuesta: Máxima distancia 152 millones de kilómetros Mínima distancia 146 millones de kilómetros
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Modulo V Hipérbola
Se llama hipérbola al lugar
geométrico de los puntos del plano tales que la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es una constante (se representa
por 2a).
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se
llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es
el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la
hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la
elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias
desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios
vectores del punto.
Sus elementos son:
Vértices: A y A’
Covértices: B y B’
Eje transversal: recta que contiene los focos
Eje conjugado: recta que contiene a los covértices
Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado
O
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Ecuaciones canonícas de la hipérbola
a) Se l lama ecuación canoníca a la ecuación de la h ipérbola cuyos
ejes coinciden con los e jes coordenadas, y, por tanto, e l centro de
hipérbola con el origen de coordenadas. Si e l e je real está en el e je
de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la h ipérbola cumple:
b) Ecuación canoníca de eje vertical de la hipérbola
F '(0 , -c) y F (0 , c)
2a=Longitud del e je t ransverso
2b=Longitud dele je conjugado
2c=Distancia éntrelos focos
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222 bac
Formas de la ecuación de la h ipérbola de centro (h, k)
a) Eje focal paralelo a l e je X
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
b) Eje focal paralelo a l e je Y
1)()(
2
2
2
2
b
hx
a
ky
Excentr ic idad 1a
ce
Evidencias de aprendizaje
a) Los vért ices de una hipérbola son los puntos V (3,0) y V ` ( -3,0) y
sus focos son los puntos F(5,0) y F`( -5,0). Determinar la ecuación
de la h ipérbola, las longitudes de sus ejes t ransverso y conjugado,
su excentr ic idad, la longitud de cada lado recto, e l dominio, rango y
construcción graf ica ut i l izando Geogebra.
Respuestas:
Ecuación 1169
22 yx
Longitud deleje transverso LT=6
Longitud deleje conjugado LC=8
Longitud de cada lado recto LR=3
32
Excentricidad 13
5e
Dominio ),3()3,(x
Roberto Mercado Dorantes Página 38
Rango ),(y
b) Escribe la ecuación 03649 22 yx , en su forma canoníca y obtén
todos sus elementos, con Geogebra representa su lugar
geométr ico.
Respuesta:
Ecuación en su forma canoníca 149
22 xy
Focos F(0, 13 ) y F(0, 13 )
Vértices(0,3) y V(0, -3)
Extremos del eje conjugado (2,0) y ( -2,0)
Longitud deleje transverso LT=6
Longitud del eje conjugado LC=4
Longitud de cada lado recto LR=3
8
Excentricidad 13
13e
Dominio ),(x
Rango ),3()3,(y
c) Obtenga las ecuaciones de las asíntotas de la h ipérbola cuya
ecuación es: 100254 22 yx ut i l izando Geogebra representa su lugar
geométr ico.
Respuesta:
Ecuaciones de las asíntotas 052
052
yx
yx
Roberto Mercado Dorantes Página 39
d) Los vért ices de una hipérbola están en los puntos ( -5,-3) y ( -5,-
1) y los extremos del e je conjugado están en ( -7,-2) y ( -3,-2).
Obtenga la ecuación de la h ipérbola así como las ecuaciones de las
asíntotas.
Respuesta:
Ecuación de la hipérbola 14
)5(
1
)2( 22 xy
Ecuaciones de las asíntotas 092
012
yx
yx
e) Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es
Solución Completando el cuadrado en ambas variables
Por tanto, el centro está en . El eje de la hipérbola es horizontal, y
Roberto Mercado Dorantes Página 40
Los vértices están en , los focos en y y la
excentricidad es . La gráfica se muestra en la figura
f) Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en y y
asíntotas y . Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.
Solución
Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son . Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y . Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.
Roberto Mercado Dorantes Página 41
Por tanto, la ecuación canónica es
El valor de está dado por
Los focos están en y y la excentricidad es La gráfica se muestra en la figura
Roberto Mercado Dorantes Página 42
y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son
-La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.
Roberto Mercado Dorantes Página 43
BIBLIOGRAFIA
OCAMPO CONTRERAS, JÓSE, GEOMETRIA ANALITICA, U.A.E.M, MEXICO 2011
LEHMANN, CHARLES, GEOMETRIA ANALITICA, LIMUSA, MÈXICO, 1982
JIMENEZ, RENE, MATEMATICAS III, PEARSON, MEXICO, 2011
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OTEYZA.LAM.HERNANDEZ.CARRILLO, GEOMETRIA ANLITICA, PEARSON, MEXICO, 2005