Post on 30-Jun-2015
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
Facultad de Ingeniería Química y Metalurgia
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
Ingº Humberto Hernández Arribasplata
Ayacucho - Perú
1999
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Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
INTRODUCCION
El presente texto de Ingeniería Económica, es el resultado de la experiencia docente y profesional desarrollada a lo largo de 20 años de trabajo, condensado en los diferentes apuntes tratados en clases con los alumnos de la EF P de Ingeniería Química de la Facultad de Ingeniería Química y Metalurgia de la Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga; además, durante este tiempo conjuntamente se aprendió que es importante tener un conocimiento básico sobre economía aplicada. Aún en estos nuevos tiempos con mayor razón por estar frente a una economía globalizada mundial, que exige que los profesionales del área de ingeniería tengan la capacidad de producir productos de calidad y a precios competitivos.La Ingeniería Económica es un tema trascendente; su esencia es la toma de decisiones basada en comparaciones de los valores de las vías alternas de acción respecto a sus costos y los impactos sociales. Las decisiones varían desde las inversiones individuales al presupuesto de capitales corporativos, y se producen en todos los niveles de las organizaciones, tanto en el sector privado como el público de la economía de un país. Las herramientas utilizadas para la toma de decisiones son indicadores que permiten medir la rentabilidad de las diferentes alternativas económicas y/o los impactos sociales que producirán dichos proyectos; para el cálculo de estos indicadores y su aplicación en la toma de decisiones se debe tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo, el costo de oportunidad del capital, la tasa social de descuento, la inflación, el riesgo, la incertidumbre, entre otros.En el presente texto de Ingeniería Económica se trata cuatro temas fundamentales: Costos e Ingresos, Tasas de Interés y Relaciones Dinero- Tiempo, Depreciación y Criterios aplicados a las Decisiones de Inversión. En cada uno de ellos se presentan los conceptos básicos, las fórmulas para su cuantificación y la ilustración correspondiente a través de ejemplos específicos. Espero que el presente texto sea de utilidad para aquellas personas, que en su campo profesional tengan que tomar decisiones básicamente de carácter económico.
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Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
Ayacucho, abril de 1999
Humberto Hernández Arribasplata
INDICEPág.
CAPITULO I COSTOS E INGRESOS1.1. Costos 41.2. Resumen de clasificación de costos 51.3. Costos unitario 51.4. Determinación de costos variables por ítems
61.5. Determinación de costos fijos por ítems 91.6. Ingresos 101.7. Análisis y determinación del punto de equilibrio 101.8 Utilidades 121.9. Ejemplo 121.10. Problemas resueltos 131.11. Bibliografía 29
CAPITULO II TASAS DE INTERES Y RELACIONES DINERO-TIEMPO2.1. Generalidades 302.2. Valor del dinero a través del tiempo
302.3. Tasa de interés 312.4. Intereses 342.5. Notación y diagramas de flujo de efectivo 392.6. Factores de interés compuesto 402.7. Anualidades 422.8. Resumen de fórmulas 492.9. Uso de tablas 492.10. Pagos capitalizables continuamente con intereses continuos
502.11. Amortizaciones 532.12. Problemas resueltos 572.13. Bibliografía 64
CAPITULO III DEPRECIACION3.1. Definición 653.2. Propósitos de la depreciación 653.3 Tipos de depreciación 653.4. Métodos de depreciación 663.5. Problemas resueltos 713.6. Bibliografía 73
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CAPITULO VI CRITERIOS APLICADOS EN LAS DECISIONES DE INVERSIÓN4.1. Indicadores totales (VA, TIR, B/C y PRI) 744.2. Indicadores parciales(CEA y VPC) 844.3. Problemas resueltos 864.4. Bibliografía 89ANEXO 90
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1.1. COSTOS Son los valores de los recursos reales o financieros utilizados para la producción en un período dado.a. DIVISION DE COSTOS
Los costos se dividen en costos fijos y costos variables
COSTOS FIJOS (CF) Son aquellos que no varían con la cantidad
de producción, es decir, son independientes del volumen de
producción.
COSTOS VARIABLES(CV) Son aquellos que dependen del
volumen de producción.
Estos conceptos son válidos en el corto plazo, ya que en el
largo plazo todos los costos son variables. Los conceptos de
corto y largo plazo son conceptos operativos y no
cronológicos.
CAPITULO I Costos e Ingresos
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El corto plazo es aquel período de tiempo en el que la
empresa no puede alterar su capacidad, escala o tamaño de
fábrica; mientras que el largo plazo es aquel período en el que
la empresa puede ajustar apropiadamente a las nuevas
circunstancias en el mercado.
b. COSTO TOTAL (CT)
El costo total es la suma de los costos fijos más los costos
variables.
CT = CF + CV Ec. 1.1
como el costo variable es función de la cantidad, se tiene
entonces:
CV = vQ
Ec. 1.2
luego, reemplazando (2) en (1)
CT = CF + vQ Ec. 1.3
COSTOS (S/.)
UNIDADES PRODUCIDAS (Q) GRAFICO N1 1
1.2. RESUMEN DE CLASIFICACION DE COSTOS
Materiales directosCOSTOSDIRECTOS Mano de obra directa
COSTOS DEFABRICACION Mano de obra
indirectaCOSTOS
Materiales indirectosINDIRECTOS Gastos indirectos
COSTOS GASTOS DE Gastos de venta
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OPERACIONGastos generales y de administración
GASTOS FINANCIEROS
PérdidasOTROS GASTOS Incobrables
Imprevistos
1.3. COSTOS UNITARIOS:Los costos unitarios se logran dividiendo el costo total por la
cantidad producida.
Ec. 1.4
Costo unitario total
= Costo unitario fijo
v = Costo unitario variable
COSTO UNITARIO
(S/.)
CF Q
v
UNIDADES PRODUCIDAS (Q) GRAFICA N1 2
1.4. DETERMINACION DE COSTOS VARIABLES POR ITEMS
a. MATERIA PRIMA El costo total anual de materia prima, se determina a base del balance de materia y energía, el volumen de producción y el precio de venta.
COSTO DE MATERIA PRIMA DURANTE EL HORIZONTE DEL PROYECTO
AÑO MAT.PRIMATM./AÑO
FACTOR DEUTILIZAC.
VOLUMEN DEPRODUCCIÓN
TM
COSTOTOTAL
S/.8
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01
02
03
04
05
06
07
08
3 000
3 600
4 200
4 800
5400
6 000
6 000
6 000
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.0
1.0
2 500
3 000
3 500
4 000
4 500
5 000
5 000
5 000
4 500
5 400
6 300
7 200
8 100
9 000
9 000
9 000
Factor de utilización = PRODUCCION ACTUAL / PRODUCCION DISEÑO
f.u. = QA/QD
f.u. = 2 500 TM/5 000TM
f.u. = 0.5
i. Rendimiento de materia prima a producto finalSi por cada TM de producto final se necesita 1.2 TM de materia prima, el rendimiento será del 83.3%.
ii. Costo de la materia prima nacional (en función al mercado)
El costo de la materia prima nacional se fija en función de la oferta y demanda. Costo M.P. = S/. 1 500.00/TM
iii. Costo de materia prima importada: el precio de la materia prima importada se cotiza con el precio FOB (precio en puerto de embarque).
PrecioDerechos
arancelariospuesto
Precio C I F
en+ Derechos de
Almacén
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Puerto Flete + Seguro + Derechos de Agente
de de Aduanas
Embarque + Transporte hasta planta
F O B
COSTO DE LA MATERIA PRIMA IMPORTADA
b. MANO DE OBRA DIRECTA Se refiere a los trabajadores que están ligados directamente a la producción. Mano de obra no calificada(obreros) Mano de obra calificada(técnicos) Mano de obra altamente calificada(profesionales)El costo de planilla se calcula en función del número de trabajadores por el sueldo o salario mensual que perciben, más las gratificaciones y compensación por tiempo de servicios que le corresponde por ley al trabajador(CTS). Los sueldos, bonificaciones y otros, en el sector público es fijado por el Gobierno Central, mediante decretos supremos, en cambio en el sector privado se fijan los sueldos y salarios mediante convenios colectivos que tienen fuerza de ley.
CUADRO RESUMEN
No. DETRABAJADORES
SUELDO/SALARIO.
MENSUAL S/.
SUELDO/SALARIO. ANUAL S/.
BONIFICACION
ANUAL
TOTAL S/.
02 Ingenieros
05 Técnicos
06 Obreros
1 200
800
600
14 400
9 600
7 200
3 600
2 400
1 800
36 000
60 000
54 000
13 Trabajadores
2 600 31 200 7 800 150 000
BONIFICACION: 01 Sueldo por fiestas patrias01 Sueldo por navidad01 Sueldo por CTS
En la actualidad la mayoría de empresas, cuando contratan su personal lo hacen en la modalidad de servicios no personales; lo cual los libera de pagos a los trabajadores de bonificaciones
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y otras responsabilidades.
c. COSTO DE ENERGIA El costo se calcula de acuerdo al balance de energía, es decir el volumen de combustible (petróleo, kerosene, etc.), energía eléctrica, por el precio unitario por galón o por kW-h.
Costo = Q combustible * PrecioCosto = Q(galones) * (S/./gl.)
d. COSTO DE TRANSPORTE Se calcula en función de la materia prima y/o producto que se tiene que transportar por peso y/o volumen.Por ejemplo en el caso de transporte de naranjas no solamente se cobra por el peso sino también por el volumen.
Costo de transporte = Peso (kg)*S/kg.
e. COSTO DE AGUA El costo se calcula en función del balance de materia, hay que diferenciar las calidades del agua: Agua de enfriamiento Agua para proceso Agua para generar vaporel costo es diferenciado, debido a los tratamientos que se someten cada tipo de agua.
Costo = m3 * S/./m3
f. COSTO DE PUBLICIDAD La publicidad es sumamente importante para algunos productos, como para otros no. La publicidad puede ser en medios escritos, radio, TV y páginas Web (Internet); siendo de mayor alcance los dos últimos, sin embargo es más costoso. El costo en el caso de la TV depende del horario, tiempo y el tipo de medio que se utilice y frecuencia con la que se hace la propaganda.
g. COMISION POR VENTAS La comisión por ventas depende del tipo de producto, además está relacionada con el grado de dificultad que tiene el producto para ser colocado en el mercado, las tasas de pago dependen de las políticas de la empresa.
h. GASTOS DE LABORATORIO Son los costos que ocasiona el producto en sus distintas etapas para hacer el control de calidad.
i. OTROS COSTOS Aquí se pueden englobar otros rubros que pertenecen a los costos variables y que de por sí tienen incidencia en la estructura de costos.
1.5. DETERMINACION DE COSTOS FIJOS POR ITEMS
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a. COSTOS GENERALES DE ADMINISTRACION Son costos que se incurren básicamente en la administración
de la empresa:
Gerente de la empresa
Sub-Gerente de la empresa
Contador
Asesor legal
Jefe de personal
Secretarias
Personal de servicio
Gastos en materiales de escritorio y servicios
b. COSTOS DE DEPRECIACION DE ACTIVOS FIJOS Básicamente se consideran estos costos como la forma de recuperación de la inversión en activos fijos, se calcula en función del tipo de depreciación que se considera a los activos fijos.
c. AMORTIZACION DE CARGOS DIFERIDOS Se considera los costos de inversión en intangibles, normalmente se divide el total entre el número de años que tendrá como vida el proyecto.
d. COSTOS DE MANTENIMIENTO Y REPARACION Son los costos que se incurren en el mantenimiento y reparaciones de los equipos y maquinarias, normalmente el mantenimiento debe ser programado por la empresa para asegurar la vida útil del equipo.
e. SEGUROS Los gastos que ocasiona la empresa en la compra de pólizas para asegurar a la empresa frente a riesgos, el pago es de acuerdo al nivel de inversión.
f. INTERESES Y AMORTIZACIONES El pago de intereses por el capital prestado más la devolución del principal.
g. OTROS Son los gastos que se pueden incurrir en algún rubro que específicamente no se ha considerado.
CONCLUSION Los costos de producción en todo momento se deben tender a minimizar, hay que tener mucho cuidado en no considerar gastos que no tengan la justificación del caso en el rubro de costos fijos.
1.6. I N G R E S O S
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Al calcular los ingresos pueden considerarse dos casos: precio fijo y precio variable:
a. Ingreso con precio fijo Y = P * Q Ec. 1.5
El ingreso total varía en proporción directa a la cantidad, es decir el ingreso responde a una función lineal. En el caso del precio fijo la empresa no ejerce influencia alguna (es decir, tiene una escasa participación en el mercado).
b. Ingreso con precio variable
Considerando que el precio varía linealmente con respecto a la cantidad.
P = a – bQ Ec. 1.6
por lo tanto el ingreso será Y = (a - bQ)*Q Ec. 1.7
En este caso, la empresa ejerce cierta influencia sobre el precio, es decir al vender más, el precio se reduce; el ingreso total en este caso no responde a una relación lineal.
1.7. ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO
El análisis del punto de equilibrio tiene cierta utilidad cuando se trata de examinar los costos, los ingresos y los beneficios con diferentes niveles de producción. El punto en que se cruzan las líneas del costo total y del ingreso total es denominado punto de equilibrio; una vez calculado el punto de equilibrio se puede analizar el volumen de producción que se requiere para evitar la operación con pérdida y ver si es razonablemente accesible. El punto de equilibrio se puede determinar en forma analítica y gráfica.
a. Determinación Analítica
a.1. Ingresos lineales = Costos lineales
P * Qe = CF + vQe
Ec. 1.8
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en este caso se tiene un solo punto de equilibrio Qe
a.2. Ingresos no lineales = Costos lineales
aQe – bQ2e = CF + vQe
bQ2e - aQe + vQe + CF = 0
bQ2e +(v -a)Qe +CF = 0
en este caso se tiene dos puntos de equilibrio Qe1 y Qe2
b. Determinación Gráfica Con los datos de ingresos totales y costos totales se traza la correspondiente gráfica, determinándose el o los puntos de equilibrio.
CANTIDAD(Q) CANTIDAD(Q) Costos e ingresos lineales Costo lineal e ingreso no lineal
GRAFICA No. 3 GRAFICA No. 4
1.8. UTILIDADES (U) Es la diferencia de los ingresos menos los costos totales
U = Y- CT Ec. 1.9
Cost
os
e
Ingre
sos
Cost
os
e
Ingre
sos
PEPE1
PE2
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E J E M P L O
Una compañía estima que conforme aumenta sus ventas va disminuyendo el precio de venta de su producto, y sus ingresos cambian de acuerdo a la siguiente relación: Ingresos = aQ - bQ2
en donde Q representa las unidades mensuales de demanda, siendo Q = a/b. La compañía tiene costos fijos de $ 1 000 por mes y los costos variables son de $ 4.00 por unidad. Si a = $ 6.00 y b = $ 0.001, determine el volumen de ventas para tener utilidades máximas y cuáles son las utilidades mensuales máximas
SOLUCION:
CF = $ 1 000 CT = 1 000 + 4Qv = $ 4/unid. Y = 6Q - 0.001Q2
Q = 6.00/0.001 Q = 6 000 unid.
a. Punto de Equilibrio Ingresos = Costos 6Q -0.001Q2 = 1 000 + 4Q
2Q - 0.001Q2 – 1 000 = 0
Q2 – 2 000Q + 1 000 000 = 0
+ 2 000 Qe = ------------ Qe1 = 1 000 2 Qe2 = 1 000
CT = 1 000 + 4(1 000) Y = 6(1 000) - 0.001(1 000)2
CT = $ 5 000 Y = $ 5 000
b. UTILIDADES = INGRESOS - COSTOS U = 6Q - 0.001Q2 - ( 1 000 + 4Q )
U = 2Q - 0.001Q2 – 1 000para calcular las utilidades máximas hay que derivar la función e igualar a cero.
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Q = 2/0.002 Q = 1 000
unid. Umáx = 2(1 000)-0.001(1 000)2-1 000 Umáx = 0
PROBLEMAS RESUELTOS
Costos, Ingresos y Punto de Equilibrio
1-1 El costo total de fabricar 260 unidades de un producto es de $ 3 200. Al fabricar 340 unidades, el costo es de $ 3 800.
a. Cuál es el costo medio de fabricación de las primeras 260 unidades?.
b. Cuál es el costo variable por unidad?c. Cuál es el costo fijo total?d. Cuál es el costo fijo medio unitario de las primeras 260
unidades.
SOLUCION
Costo Total CTa. Costo Medio(CM) = ----------------------------- = ----
Unidades Producidas Q
$ 3 200 CM = --------- = $12.31/unidad 260 u
Costo variable total CV b. Costo variable unit.(v) = ----------------------------- = ----
Unidades Producidas Q
Para calcular el costo variable unitario se debe plantear dos ecuaciones, sabiendo que:
Costo total = Costo fijo + Costo variable CT = CF + CV CT = CF + vQ 3 200 = CF + v(260) (i) 3 800 = CF + v(340) (ii)
restando (i) de (ii) se tiene: $ 600
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v =-------- = $ 7.5/unidad 80 u
c. Costo fijo total(CF) = Costo total - Costo variable CF = CT - CV CF = 3 200 - 7.5*260 CF = $ 1 250
Costo fijo total CFTd. Costo fijo medio(CFM) = ------------------------------ = ----
Unidades Producidas Q
$ 1 250 CFM = ---------- = $ 4.81/unidad
260u
1-2 Una compañía fabrica ganchos industriales para un trabajo de ensamblaje. Se ha determinado que el ingreso marginal es:
IMg = 100 - 0.02 Qen donde Q es el número de ganchos producidos. Los costos variables más los costos fijos se calculan mediante la fórmula.
CT = 2*10-4Q2+ 10 000Calcule la producción de ganchos por año para las siguientes condiciones.
a. Costo unitario mínimo de ventasb. Producción para una utilidad máximac. Volumen para punto de equilibrio
SOLUCION
a. El costo unitario mínimo de ventas se obtiene a partir del costo unitario medio, a la vez derivando dicha ecuación:
CT CF CM = ---- =---- + v Q Q
d(v + CF*Q-1 ) -------------------- = 0 dQ
dv CF ---- - --- = 0 (i) dQ Q2
CV 2Q2*10-4
v =---- = ----------- = 2Q*10-4
Q Q
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dv --- = 2*10-4 (ii) Q
CF = 10 000 (iii)
reemplazando valores, (iii) y (ii) en (i) tenemos 10 000
2*10-4 - --------- = 0 Q2
Q = 7 071 unidades
b. Utilidad = Ingresos - Costos
dY Ingreso Marginal(IMg) = ---- = 100 - 0.02Q dQ
Integrando la ecuación anterior obtenemos el ingreso.
Y = 100Q - 0.01Q2
reemplazando los valores de los ingresos y los costos en la ecuación de utilidad tenemos:
U = 100Q - 0.01Q2 - 2Q2*10-4 + 10 000
U = 100Q - 0.0102Q2 + 10 000para encontrar las unidades que se deben producir para maximizar las utilidades, derivamos la ecuación anterior e igualamos a cero.
dU ---- = 100 - 0.0204Q = 0 , de donde dQ
Q = 4 902 unidades
c. Punto de equilibrio
El punto de equilibrio se alcanza cuando se iguala los ingresos con los costos
Ingresos = Costos
100Q - 0.01Q2 = 2Q2*10-4 + 10 000 100Q - 0.0102Q2 + 10 000 = 0
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de donde:
Q1 = 9 706 unidades Q2 = 98 unidades
Se han obtenido dos puntos de equilibrio por que los ingresos y los costos no son relaciones lineales.
1-3 Un determinado producto se vende actualmente a $12. Los costos fijos son de $4 por unidad, y se venden anualmente 10 000 unidades, con una utilidad bruta de $30 000. Un nuevo diseño aumentará los costos variables en un 20%, y los costos fijos en un 10%, pero las ventas deberán aumentar a 12 000 unidades por año.¿Cuál deberá ser el precio de ventas para mantener el mismo nivel de utilidades ($30 000)?.
SOLUCION
a. Utilidad Bruta = Ingresos - Costos Ingresos = Precio * Cantidad UB = P*Q - ( CF + vQ) Datos:
P = $12/u, CFU = $4/u, Q1 = 10 000u, UB = $30 000reemplazando datos en la ecuación de utilidad bruta, calculamos el costo variable unitario.
30 000 = 12*10 000 - 4*10 000 - v*10 000 de donde: v = $ 5/u
b. Nuevo Precio Cálculo de los nuevos costos fijo y variable
CUF' = 4 + 10% = 4*1.1 = $ 4.4/u v' = 5 + 20% = 5*1.2 = $ 6.0/u
Para encontrar el nuevo precio, se utiliza la ecuación de utilidad bruta, reemplazando valores tenemos:
30 000 = P*12 000 -4.4*10 000 - 6*12 000
P = $ 12.17/u
1-4 Las ventas de una lámpara de escritorio cuyo precio de mayor es de $4 por unidad, han resultado decepcionantes. La contribución de cada lámpara vendida es de $1.5. Se planea aumentar el
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presupuesto de publicidad en $0.22 por lámpara, y reducir el precio con objeto de aumentar las ventas. Se asignará para propaganda el doble de lo que se establecerá como reducción de precio. La ganancia bruta actual es de $ 50 000 sobre ventas de 100 000 lámparas por año. ¿Cuántas lámparas deberán venderse bajo las condiciones propuestas para duplicar la utilidad.
SOLUCION
Datos: P = $4/u, Contribución = P - v = 1.5
UB1 = $50 000/100 000 lámp.
a. Cálculo del costo variable unitario
v = P - 1.5 v = 4 - 1.5 = $2.5/u Cálculo del costo fijo total UB = P*Q - CF - vQ
50 000 = 4*100 000 - 2.5*100 000 -CF
de donde:
CF = $100 000
b. Nuevas condiciones, aumento del costo variable y disminución del precio de venta.
v' = 2.5 + 0.22 = $2.72/u P' = 4 - 0.11 = $3.80/u
UB2 = 2(UB1), condiciones del problema
100 000 = 3.89Q - 2.72Q –100 000 de donde:
Q = 171 000 unidades
1-5 Dadas las siguientes funciones de costo promedio e ingreso
CM = Q2 + Q + 1 + 5/Q
IM = Q2 - 4Q +4 +6/Q determine lo siguiente:
a. El costo fijo de la empresa con Q = 3b. El costo total con Q = 3c. La producción de equilibrio
SOLUCION
Costo total = Costo medio * Cantidad20
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CT = CM*Q
CT = Q3 + Q2 + Q + 5
a. Costo fijo de la empresa CF = 5 para cualquier volumen
b. Costo total CT = (3)3 + (3)2 + 3 + 5
CT = 44
c. Producción de equilibrio
Ye = CTe Ingreso total = Ingreso medio * Cantidad
Y = IM*Q = Q3 -4Q2 + 4Q + 6
Qe3 -4Qe2 + 4Qe + 6 = Qe3 + Qe2 + Qe + 5
simplificando la relación anterior se obtiene:
5Qe2 - 3Qe - 1 = 0
3 + { (3)2 - 4(5)(-1) }1/2 Qe =---------------------------- 2(5)
de donde:
Qe1 = 0.84 Qe2 = -0.54 (es descartado por ser un valor negativo)
1-6 La corporación ABC tiene una capacidad de ventas de $1 000 000 por mes. Sus costos fijos son de $350 000/mes y sus costos variables para un amplio rango de volumen son $0.5/unidad monetaria de ventas.
a. ) Cuál es el volumen en el punto de equilibrio?b. ) Cuál será el efecto de disminuir los costos variables en 25%, sin
con ello se aumente los costos fijos en un 10%?.SOLUCION
a. Punto de equilibrio
Ye = CTe
P*Qe = CF + vQe
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CF Qe = ------ (i) P -v
por condiciones del problema v = 0.5P (ii) reemplazando (ii) en (i) se tiene 350 000 Qe =---------- (iii) 0.5P
sabemos que Ye = P*Qe (iv)
reemplazando (iii) en (iv), tenemos
350 000 Ye =----------- = $700 000 0.5
b. Costos variable y fijos totales
CV = $500 000/mes CF = $ 350 000/mes disminución del costo variable en 25%
CV' = $500 000*0.75 = $ 375 000/mes aumento del costo fijo en 10%
CF'= $ 350 000*1.1 = $ 385 000/mes
CT = 385 000 + 375 000 = $ 760 000/mes UB'= $ 1 000 000/mes - $ 760 000/mes = $240 000/mes UB = $ 1 000 000/mes - $ 850 000/mes = $150 000/mes
UB' > UB El cambio de los costos de producción de la empresa es favorable.
1-7 Una compañía que hace deslizadores de fibra de vidrio tiene capacidad para producir 100 unidades al mes. Sus costos fijos se elevan a $15 000 al mes y sus costos variables son de $320 por unidad.a. Cuál debe ser su volumen de producción si se pueden vender
sus deslizadores en $500 y estar así en el punto de equilibrio.b. Debido a variaciones estacionarias en las ventas, la compañía
quisiera que su punto de equilibrio no sobrepase el 60% de su capacidad, en cuanto se tendrán que reducir los costos fijos para lograr lo anterior.
c. En cuanto se tendrá que reducir los costos variables por unidad sin cambiar los costos fijos, a fin de lograr las mismos resultados.
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SOLUCION
a. Volumen de equilibrio: CF Qe = ------- P - v
$15 000 Qe = -------------------- $500/u - $320/u
Qe = 83.0 u/mes
b. Punto de equilibrio del 60% CF 0.6Qe = ------------ 500 - 320
CF = 0.6*100(500 - 320) CF = $ 10 800
Reducción del costo fijo CF = $15 000 - $10 800 Reducción = $4 200
c. Reducción de los costos variables para no cambiar la condición (b).
$15 000 0.6Qe =------------- 10 800 - v v = $250 Reducción del costo variable v = $320 - $250 Reducción = $70
1-8 La estructura de costos de una empresa de esmaltes, trabajando al 100% de su capacidad instalada es la siguiente:Materia prima S/.
109 500 000Envases
3 285 000Servicios(agua, comb., energ.) 4
200/TMSueldos (1)
4 520 000Salarios (1)
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33 890 000Depreciaciones
11 500 000Comisiones por venta 3%
precio de ventaFletes
800/Tm
Intereses financieros 8 500 000
Seguros 5 300 000
(1) Remuneraciones básicas sin leyes socialesSe considera 55% salarios y 40% sueldos como cargas
sociales.La capacidad instalada es de 5 000TM/año, con una inversión total de S/. 160 500 000. El producto se vende a S/.60/kg.a. Cuál será la rentabilidad después de impuestos con respecto a
la inversión total, si el impuesto a las ventas asciende al 30% de la utilidad bruta, trabajando al 90% de su capacidad.
b. Hallar el punto de equilibrio de la empresa.
SOLUCION
a. Determinación gráfica del punto de equilibrio, para ello hay que seleccionar los costos fijos y variables.
Costos variables totales:Materia prima
S/ 109 500 000
Envases
3 285 000
Servicios 4 200/TM*5 000TM/año 21 000 000
Salarios(1) 33 890 000 + 55% 55 629 500
Comisión por venta 60/kg*5*106kg*0.03 9 000 000
Fletes 800/TM*5 000TM 4 000 000
SUB-TOTAL S/. 202 414 500Costos Fijos Totales:Sueldos (1) 4 520 000 + 40%
6 328 000Depreciaciones
11 500 24
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
000Intereses financieros
8 500 000
Seguros
5 300 000 SUB-TOTAL S/. 31 628 000
COSTO TOTAL = CF + CV = S/. 234 042 500
INGRESOS TOTALES = 60/kg*5 000TM*1 000kg/TM = 300 000 000
30 Y
CT
CV
20
10
CF
0 1000 2000 3000 4000 5000
CAPACIDAD INSTALADA (TM/AÑO)
b.. Determinación del punto de equilibrio analíticamente En el punto de equilibrio tenemos: Ingresos = Costos
CF Qe = -------
CO
ST
OS
E I
NG
RE
SO
S (
S/.*
107 )
Pérdidas
Ganancias
25
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
P - v CF = S/. 31 628 000
P = S/ 60 000/TM v = S/ 202 414 500/5 000TM = S/. 40 483
reemplazando datos tenemos: 31 628 000 Qe = -------------------- 60 000 – 40 483
Qe = 1 620.5 TM (analítico) Qe = 1 618.0 TM (gráfico)
c. Cálculo de la utilidad bruta: UB = Y - CT
UB = 300 000 000 – 234 042 500 UB = S/. 65 957 500
esta utilidad corresponde al 100% de la capacidad de la planta; actualmente se está trabajando solamente al 90%, por lo tanto los ingresos y los costos variables corresponderán al 90% de producción.
CV = 202 414 500*0.9 = S/. 182 173 050
Y = 300 000 000*0.9 = S/. 270 000 000
UB = S/. 270 000 000 - S/. 182 173 050
UB = S/. 56 198 950
Cálculo de la utilidad neta:
UN = S/.56 198 950*0.7 = S/. 39 339 265
d. Cálculo de la rentabilidad:
UTILIDAD NETA R = --------------------------- INVERSION
S/. 39 339 265 R = ------------------- = 0.2451 S/. 160 500 000 R = 24.51%
1-9 Los formatos que se presentan a continuación, corresponden a los costos de producción por mes para un volumen bruto de 942 483m3
de agua de ex -EMAPA.
FORMATO N º 01A. COSTOS DE PRODUCCION POR METRO CUBICO DE AGUA POTABLE
AYACUCHO - HUANTA
RUBROS COSTO MENSUAL COSTO ANUAL
01 MATERIALES DIRECTOS
* Materia prima(agua cruda)
13 290.73 159 488.92
26
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
* Insumos:- sulfato de alum.- Cloro- reactivos p.análs
9 245.26 2 999.60 1 045.87
110 943.19 35 995.20 12 550.53
02 MANO DE OBRA DIRECTA
* Sueldos y salarios* Seguro social* Provisiones* Pensiones* Gratificaciones* Servicios
17 283.28
8 181.06 1 338.35 1 136.41 1 848.70 4 778.77
207 399.57 98 172.75 16 060,20 13 636.92
22 184.47 57 345.23
03 MANO DE OBRA INDIRECTA
* Jefes de Producción* Supervisores* Choferes* Mantenimiento* Limpieza* Guardianía
8 535.61
1 362.38 3 005.60 1 291.67 166.67 2 709.29
102 420.24
16 348.67 36 060.00 15 500.00 2 000.00 32 511.57
04 MATERIALES INDIRECTOS
* Repuestos* Combustibles y lubricantes* Utiles de aseo* Otros(Indemnizaciones)
14 330.18
1 164.20 1 935.88 2 208.33 9 021.77
171 962.16
13 970.40 23 230.56 26 499.96 108 261.24
05 GASTOS INDIRECTOS
* Energía* Comunicaciones(telefax,Rad)* Primas de seguros* Alquileres* Depreciaciones* Amortización de cargos dif.
13 842.63
2 099.60
11 743.03
166 111.68
25 195.24
140 916.44
TOTAL S/. 67 281.88 807 382.57
FORMATO Nº 02B. GASTOS DE OPERACION AYACUCHO - HUANTA
RUBROS COSTO MENSUAL COSTO ANUAL
01 GASTOS DE VENTAS GASTOS LABORALES
* Sueldo Gerte.de Comer.* Sueldo Cobradores* Seguro Social
16 416.32
1 733.33 2 459.22 4 487.24
196 996.06
20 800.00 29 510.65 53 846.96
27
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
* Gratificaciones* Provisiones
5 584.12 2 152.41
67 009.51 25 828.94
COMISIONES* De ventas y cobranza
PUBLICIDAD* Radio y/o TV* Periódicos y/o revistas
793.23 759.90 33.33
9 518.88 9 118.88 400.00
IMPUESTOS A LAS VENTAS
TRASPORTES 596.12 7 153.40
ALMACENAMIENTO
02 GASTOS GENERALES Y ADMINISTRACIONGASTOS LABORALES
* Dietas Directorio* Sueldos Directivos* Sueldos: Oficinistas
y Auxiliares* Seguro Social* Gratificaciones* Pensiones
40 593.81
5 081.67 6 565.32 13 726.63 5 285.90 7 893.62 2 040.67
487 125.80
60 980.04 78 783.84 164 719.59 63 430.83 94 723.44 24 488.06
GASTOS DE REPRESENTAC.
SEGUROS 407.56 4 890.72
ALQUILERES 119.08 1 429.00
MATERIALES Y UTILES DE OFIC. 1 069.91 12 839.00DEPRECIACIONES 2 312.91 27 755.00
IMPUESTOS* Al valor de prop.predial* Terrenos sin construir
162 676.13 1 952 113.60
TOTAL S/ 224 985.07 2 699 821.46
FORMATO Nº 03
RUBROS AYACUCHO HUANTA
GASTOS FINANCIEROS
MENSUAL ANUAL
131.75 1 581.00
OTROS GASTOS:
28
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
* Pérdidas
* Incobrables
* Imprevistos
31 350.81 376 209.77
TOTAL S/. 31 482.56 377 790.77
CALCULO DE COSTO DE PRODUCCION Y PRECIO UNITARIO
a. Costo Unitario de Producción
COSTO TOTAL DE COSTOS DE GASTOS DE GASTOS OTROS = + + + PRODUCCION PRODUCCION OPERACION FINANCIEROS GASTOS
COSTO TOTAL = 807 382.57 + 2 699 821.46 + 1 581.00 + 376 209.77
CTA = S/. 3 884 994.68/AÑO
CTM = S/. 323 749.56/MES
b. Costo Unitario Medio: (volumen bruto)
S/. 323 749.56 CUM = --------------------- = S/. 0.343/m3
942 483m3
c. Precio Unitario Medio: (volumen facturado)
S/. 372 574.95PPM =------------------- = S/. 0.75/m3
496 256m3
1-10 La compañía Champion está considerando un nuevo producto. Su
departamento de
mercadotecnia ha calculado la relación del volumen de ventas y del
precio como sigue:
PRECIO 2 4 6 8 10
29
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
DEMANDA ANUAL 2 000 1 500 1 000 500 0
El departamento de costos de la empresa ha desarrollado la función
unitaria de costo, basándose en un producto semejante, y es la
siguiente:
donde: CU = Costo unitario
$ 1 000/Q = Costo fijo unitario
$ 0.80 = Costo variable unitario
a. Calcúlese el número esperado de unidades para obtener
ganancias óptimas.
b. Calcúlese las ganancias óptimas durante el primer año.
SOLUCION:
a. En este caso la cantidad demandada depende del precio, por
lo tanto en primera instancia se debe determinar la función
correspondiente, para ello graficamos demanda precio.
La función es: Q = -250P + 2 500
El costo total se determina multiplicando el costo unitario por
la cantidad
CT = $ 1 000 + 0.80Q.
La función ganancia o utilidad es U = Ingresos – Costos
totales,
remplazando valores tenemos:
30
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
U = P*Q – CT
U = P* (-250P + 2 500) – [1 000 + 0.80(-250P + 2 500)]
U = 2 700P – 250P2 – 2 100
El número esperado de unidades para obtener ganancias o
utilidades óptimas vendrá dada por la primera derivada
igualada a cero.
reemplazando el precio en la función de demanda tenemos
Q = -250(5.4) + 2 500
Q = 1 150 unidades
b. Las ganancias óptimas durante el primer año vendrá dada
por:
Uo = 2 700Po + 250P2o – 2 100
Uo = 2 700(5.40) – 250(5.4)2 – 2 100
Uo = $ 4 920
31
Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata
BIBLIOGRAFIA
1. De Garmo,Paul y Canadá Jhon, "Ingeniería Económica", Edit.
CECSA, México, 1978.2. Riggs L. James, "Ingeniería Económica", Edit.RSI, México, 19823. Thuesen Fabrycky y Otros, "Economía del Proyecto en Ingeniería",
Edit. PHI, España, 1974.4. Webb C., Samuel, " Economía de la Empresa", Edit. Limusa, México,
1985.
32
2.1. GENERALIDADES
Un estudio económico para transformarlo en realidad, se hace necesario contar con un monto suficiente de capital, para cubrir todos los costos que demandará el proyecto hasta ponerlo en marcha e integrarlo al proceso productivo; es decir los costos ocasionados en la inversión fija más el capital de trabajo.
En pocos casos los inversionistas nativos (privados o el estado) tienen la capacidad de afrontar con recursos propios el monto total de capital demandado por el proyecto. Sin embargo en la mayoría de las inversiones, es práctica recurrir a las fuentes de financiamiento para conseguir capitales, los cuales harán posible el funcionamiento de la nueva empresa. Por lo tanto el capital total que se utiliza para financiar la empresa se puede clasificar en dos categorías: capital propio y capital ajeno (prestado).
Los dueños del capital propio lo arriesgan con la esperanza de recibir utilidades; de igual manera los proveedores de capital (fuentes internas y/o externas) esperan recibir alguna recompensa por suministrar y permitir que se utilice, por consiguiente cada uno de los dos tipos de capitales tienen derecho a un rendimiento. En consecuencia, la práctica común ha permitido diferenciar que lo que se paga por el uso del capital propio se conoce como UTILIDAD, y, lo que se paga por el capital ajeno se designa como INTERESES.
2.2. VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO
El dinero ubicado en el tiempo tiene distinto valor. En el mercado de capitales, "una unidad monetaria inmediata" puede cambiarse por "1 + i unidades dentro de un año". El número i es positivo, no por necesidad lógica, sino por que las personas y empresas prefieren
CAPITULO IITasas de Interés y Relaciones Dinero - Tiempo
"una unidad monetaria inmediata" a "una unidad monetaria dentro de un año", y es necesario ofrecerles alguna recompensa o remuneración para que acepten el cambio; i es la tasa de interés anual que rige en el momento.
El preferir tener "una unidad monetaria ahora" es por que existe un "costo de oportunidad" involucrado en dejar pasar las utilidades que podrían obtenerse usando esa "una unidad monetaria actual" invertida en la firma durante un año.
Esquemáticamente se puede representar de la siguiente manera.
0 1 2 t
donde:t = 0 se define como ahorat = 1 será el período de un añoi = tasa de interés anual
2.3. TASA DE INTERES:
Cuando hablamos de costo de capital nos estamos refiriendo a la tasa de interés que cobran los acreedores de capital. LA TASA DE INTERES se expresa como la razón entre el valor pagado (intereses) por el uso de determinados fondos prestados y el total utilizado de los mismos. Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:
i = tasa de interés expresado en %
Ejemplo Nº 01: Se hace un préstamo de S/. 150 para comprar un libro de Ingeniería Económica, los cuales se devolverán después de un año, los intereses cobrados ascienden a S/. 30, ¿cuál es la tasa de interés?.
1 000 1 000(1+i)
i = 20%
En el mundo de las finanzas se habla de dos tasas de interés: una nominal y otra efectiva; sin embargo es importante considerar una tercera que se denomina tasa de interés real. A continuación se va a definir cada una de ellas.
2.3.1. TASA DE INTERES NOMINAL (j)
Son las tasas que se dan como referencia para definir las características de una operación financiera y se refiere a un período anual.
2.3.2.TASA DE INTERES EFECTIVA (i)
Son las tasas resultantes al final de un año en una operación financiera, como consecuencia del proceso de capitalización a lo largo de un año.
2.3.3.TASA DE INTERES REAL (r)
Es la tasa de interés que mide la discrepancia entre la tasa efectiva y el deterioro del signo monetario (tasa inflacionaria nacional). Esta tasa sirve para medir la pérdida del valor adquisitivo del dinero depositado un año atrás.
2.3.4.FORMULAS MATEMATICAS:
a. Tasa nominal j = m [ (1 + i)1/m.n -1 ]
b. Tasa efectiva i = ( 1 + j/m )m.n - 1
i - Ø c. Tasa real r = --------------- 1 + Ø /100
donde: n = número de años o períodosm = períodos de capitalización
Ø = tasa inflacionaria
Ejemplo Nº 02: Se ha hecho un préstamo de S/. 200 000 para ser cancelado después
de un año, a una tasa de interés de 60%, que se capitaliza de
acuerdo a los siguientes casos: 0 360
0 180 360 0 90 180
270 360
días
Ejemplo Nº 03: Una persona deposita en ahorros S/. 200 000 en un banco comercial el 01 de enero de 1993, a una tasa de interés del 60% capitalizable trimestralmente, ¿cuál es el poder adquisitivo de 200 000 más los intereses ganados, al retirarlo el 30 de diciembre de 1993?.
Período
m j i
Anual 1 60% 60%
Semest.
2 60% 69%
Trimes.
4 60% 75%
CA
SO
1C
ASO
2C
ASO
3
S/. 338 000
S/. 320 000
S/. 350 000
SOLUCION:j = 60%Capital ahorrado = S/. 200 000a. Cálculo de la tasa efectiva
i = ( 1 + 0.6/4)4*1 - 1
i = 74.9%
b. Cálculo de la suma futurasuma futura = 200 000( 1 + 0.749 ) = S/. 349 800
c. Valor adquisitivo de la suma futura
c.1. Cálculo de la tasa real
se está tomando una tasa inflacionaria de 46% 74.9 - 46 r = --------------- 1 + 46/100 r = 19.79%
valor adquisitivo = 200 000(1 + 0.1979) = S/. 239 580
COMENTARIOS:
El poder adquisitivo de nuestra moneda estará sujeta a las siguientes consideraciones:
i. Si la tasa de interés efectiva es mayor que la tasa inflacionaria, se tendrá un poder adquisitivo positivo de nuestra moneda. ii. Si la tasa de interés efectiva es igual a la tasa inflacionaria, el poder adquisitivo de nuestra moneda se mantiene sin ninguna variación.iii. Si la tasa de interés efectiva es menor que la tasa inflacionaria, el poder adquisitivo de nuestra moneda es negativa, es decir a perdido su valor.
2.4. INTERESES
Se define el interés como la cantidad de dinero que se paga por la utilización de un capital ajeno, según su costo de oportunidad. Es decir, reflejan el costo de capital. El monto de dinero que se paga por el capital prestado, incluye el pago por el uso, pérdida adquisitiva, riesgo y gastos administrativos.
El interés siempre se refiere a un período de tiempo determinado, y se mide en unidades monetarias por año.
2.4.1. INTERES SIMPLE
Su cálculo se basa en el capital o préstamo inicial. El interés pagado por el préstamo es proporcional al tiempo que dura éste. Matemáticamente se
expresa de la forma siguiente:Is = P*i*n
donde: Is = interés simpleP = valor presentei = tasa de interés simplen = número de unidades de tiempo o
períodos
Ejemplo Nº 04: Se hace un préstamo de S/. 400 000 a una tasa de interés simple de 60% anual, el cual será devuelto después de 04 años, ¿cuál es la cantidad de interés que ha generado durante este tiempo?.
SOLUCION: Is = 400 000*0.6*4 Is =S/. 960 000
4.2.2 INTERES COMPUESTO
Su cálculo se basa en el capital inicial más intereses acumulados, es decir el importe de los intereses correspondientes a los sucesivos vencimientos anuales no se libera, sino que queda incorporado al fondo del capital,
corriendo la misma suerte que éste. La relación matemática que nos permite calcular el interés compuesto es la siguiente:
S = P ( 1 + i )n
Ic = S - PIc = P [ ( 1 + i )n - 1]donde: S = suma futura
Ic = Interés compuesto
Tomando el ejemplo número 04 calculamos el interés compuesto, bajo las mismas consideraciones, solamente especificando que el interés es compuesto.Ic = 400 000 [ ( 1 + 0.6)4 - 1 ]Ic = S/. 2 221 440
COMENTARIOSSe puede notar claramente la gran diferencia entre hacer un préstamo a
interés simple con obtenerlo éste a un interés compuesto, los intereses son mayores en el segundo caso con respecto al primero, cuya diferencia es de:Ic - Is = 2 221 440 – 960 000 = S/. 1 261 440 Esto se debe básicamente a la capitalización. En las transacciones financieras mayormente se usa el interés compuesto.
Ejemplo Nº 05: Se tiene un capital del que 2/4 partes se depositan al 5% y el resto al 10% anual. Después de dos años se retiran $500 y se deposita el resto del dinero al 8% anual. Si al quinto año el monto asciende a $680, determine el capital inicial.
SOLUCION:
2/4 P ------- 5%P
2/4 P ------- 10%2 años después retiran -------- $ 500Resto se colocan -------- 8%5to. año suma final -------- $ 680
Suma futura después de dos añosS = P ( 1 + i*n)S = 2/4 P (1+0.05*2) + 2/4 P (1+0.10*2)S = 4.6/4 PSuma futura en el quinto año, considerando el retiro de $ 500, después de dos años.
S1 = ( S - 500)*( 1 + 0.08*3)reemplazando el valor de S y S1 tenemos:
680 = ( 4.6/4 P - 500)*( 1.24)
P = $ 912.3
Ejemplo Nº 06: Dos capitales se depositan en dos cuentas de ahorros a diferentes tasas. La suma de los dos capitales es de $ 800. La tasa correspondiente al primero es 5% menos que la tasa correspondiente al segundo. El primer capital produce en 3 meses intereses por $ 60 y el segundo, en el mismo plazo, reporta por intereses $ 90. Determine los capitales y las tasas:
SOLUCION:
P1 + P2 = 800 60 = P1 ( i2 - 0.05)*3
i1 = i2 - 0.05 90 = P2*i2*3 60
t1 = t2 = t = 3 P1 = -------------- (i2-0.05)*3
I1 = P1*i1*t 90 P2 = --------- 3i2
60 90 ------------- + --------- = 800 3(i2-0.05) 3i2
90i2 - 800i22 - 1.5 = 0
cambiando de signo y aplicando la fórmula para la solución de
ecuaciones cuadráticas tenemos:
+ 90 ± 57.4i2 = ----------------
1,600
i2 = 0.0921
i2' = 0.0203 se descarta
i1 = 0.0921 - 0.05 = 0.0421
i1' = 0.0203 - 0.05 = - 0.0297 se descarta 60P1 = ----------------------
(0.0921 - 0.05)*3
P1 = 461.5P2 = 800 - 461.5 = 338.5
Ejemplo Nº 07: El Sr. Murillo deposita S/. 20 000 en tres cuentas al 25% capitalizable mensualmente para que sus tres hijos reciban sumas iguales al cumplir 18 años. Si sus hijos tienen 8, 10 y 13 años.a. ) ¿Qué cantidad depositó en cada cuenta?b. ) ¿Cuánto recibirá cada hijo al cumplir 18 años?
SOLUCION:
P = P1 + P2 + P3 n1 = 18 - 8 = 10 n2 = 18 - 10 = 8
20 000 = P1 + P2 + P3 n3 = 18 - 13 = 5
j = 0.25
m = 12
S1 = S2 = S3
S1 = P1 [1 + 0.25/12]12*10 = P1 [1 + 0.25/12]120
S2 = P2 [1 + 0.25/12]12*8 = P2 [1 + 0.25/12]96
S3 = P3 [1 + 0.25/12]12*5 = P3 [1 + 0.25/12]60
P1 [1 + 0.25/12]120 = P2 [1 + 0.25/12]96
P1 [1 + 0.25/12]120
P2 = ------------------------- [1 + 0.25/12]96
P2 = P1 [1 + 0.25/12]24
P1 [1 + 0.25/12]120 = P3 [1 + 0.25/12]60
P3 = P1 [1 + 0.25/12]60
200 000 = P1 + P1 [1 + 0.25/12]24 + P1 [1 +0.25/12]60
200 000 = P1 [ 1 + 1.64 + 3.45 ]
a. En cada cuenta ha depositado
P1 = 3 284.1P2 = 5 385.9P3 = 11 330
b. S1 = 3 284.1 [1 + 0.25/12]120
S1 = 38 994 S2 = 38 994 S3 = 38 994
2.5. NOTACION Y DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO
2.5.1.NOTACION En este apunte se va usar la siguiente simbología, para los diferentes cálculos que se realicen, utilizando el interés compuesto.
i = tasa de interésn = número de períodos de capitalizaciónP = Suma presente de dinero S = suma futura de dineroR = flujo de efectivo al final de cada período en una serie
uniforme, también se lo conoce como anualidades.2.5.2.DIAGRAMAS Se utilizan para visualizar lo que pasa cuando
hay flujos de dinero en varios puntos del tiempo. Representación:
a. La línea horizontal es una escala de tiempo que está dividida en períodos iguales y empieza en cero, que corresponde al tiempo presente (ahora).
b. Sobre la escala de tiempo se colocan flechas que representan flujos de efectivos. Las flechas hacia abajo representan desembolsos y las flechas hacia arriba representan ingresos.
c. La tasa de interés se coloca en la parte superior de la línea horizontal.
d. El diagrama de flujo de efectivo depende del punto de vista del usuario.
Ejemplo Nº 08: Se hace un préstamo de S/.1 000 000 ahora, cuya deuda deberá ser cancelada después de 5 años, a una tasa de interés del 60% capitalizable anualmente.
a. Determinar los símbolos respectivos que se deben usar.b. Como será el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del prestamista y prestatario.
0 1 2 3 4 5 6 7 n
Años
i %
S1
S2
P
SOLUCION:
a. Los símbolos que se usarán son: P, i, S, nb. Diagramas de flujo:
Prestatario Prestamista
2.6. FACTORES DE INTERES COMPUESTO
Es característica de todos los proyectos de inversión que los ingresos y desembolsos
de caja se reproduzcan en distintos períodos. Mil nuevos soles recibidos hoy, mil a recibir al final del primer año y otros mil a recibir al final del segundo año, no son valores homogéneos y por lo tanto comparables ( aún asumiendo que no hay deterioro del signo monetario). Como ya definimos, mientras más pronto se recibe el dinero, más rápidamente podrá ser invertido para ganar un interés.
2.6.1.FACTOR DE CAPITALIZACION DE UN SOLO PAGO (fsc) Se define como la capitalización de los intereses. El interés devengado se suma al capital de cada período anual de intereses; a continuación se va a representar en un diagrama.
Valor del capital al inicio de cada período
0 1 2 3 4 5
Años
P = 1 000 000
0 1 2 3 4 5
Años
P = 1 000 000 i = 60%
S
S
i = 60%
PP (1+i) P (1+i)2 P (1+i)n-1
P*i P (1+i)*i P (1+i)2*i
P (1+i)n-1*iIntereses al finalizar el período
0
La suma futura capitalizable durante n períodos será igual al valor al comienzo del período n más los intereses al final del período n. En forma numérica se expresaría así:S = P ( 1 + i )n-1 + P ( 1 + i )n-1*iS = P ( 1 + i )n
Ec. 2.1El factor ( 1 + i )n, se llama factor singular de capitalización (fsc) ó factor de pago singular cantidad compuesta (spcaf). Se utiliza para encontrar la suma futura S capitalizada a interés compuesto con un capital presente P.
La Ec. 1 algunos autores como Taylor lo expresan:S = Pi-n (fsc) ó S = Pi-n (spcaf)
Ejemplo Nº 09: Si se presta S/. 10 000 000 al 60% de interés capitalizable anualmente, y después de transcurrido 4 años se desea liquidar la deuda, ¿qué
cantidad se tendrá que entregar?SOLUCION:
P = S/. 10 000 000 S = P(1 + i)n
n = 4 años i = 60% S = 10 000 000(1+0.6)4
S = ? S = S/. 65 536 000 suma entregada
2.6.2. FACTOR DE ACTUALIZACION DE UN SOLO PAGO (fsa) Se define como el inverso del factor singular de capitalización. Se utiliza para hallar el valor presente de una suma futura, la razón es la siguiente:
S P = ---------- Ec. 2.2 (1 + i)n 1 El factor --------- , se llama factor singular de capitalización (fsa) ó (1 + i)n
factor de pago singular valor actual (sppwf). La Ec. 2 se expresa también de la siguiente forma:
P = Si-n (fsa) ó P = Si-n (sppwf)
Ejemplo Nº 10: Una entidad AB tiene un contrato que le da derecho a recibir S/ 30 000 000 de aquí a 12 años. Si el precio del capital es de 60% capitalizable anualmente, ¿Cuál es el valor actual de este contrato?.SOLUCION:
30 000 000 S = S/ 30 000 000 P = ---------------n = 12 años (1 + 0.6)12
i = 60% P = ? P = S/. 106 581.4
2.7. ANUALIDADESEn muchos estudios económicos de ingeniería se encuentran series de ingresos ó desembolsos iguales que se hacen al final de períodos anuales sucesivos de intereses. Entonces anualidades se definen como la serie de pagos iguales afectados a intervalos regulares de tiempo.
Existen dos tipos de anualidades: anualidades ciertas u ordinarias y anualidades contingentes.
2.7.1ANUALIDADES CIERTAS U ORDINARIAS Son aquellas en la cual los pagos empiezan y terminan en fecha fija y determinada. Dentro de estas anualidades existen tres tipos:
a. Anualidades Anticipadas Es aquella en la cual los pagos se hacen al comienzo de los intervalos de pago:
R R R R R R
b. Anualidades Vencidas Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de los intervalos de pago.
0 1 2 3 4 5
P
0 1 2 3 4 5
P
R R R R R
c. Anualidades Diferidas Se llama así cuando una anualidad anticipada o vencida no se inicia sino hasta una fecha posterior.
2.7.2ANUALIDAD CONTINGENTE Es aquella en la cual el plazo depende de algún suceso cuya realización no puede fijarse.
2.7.3FACTOR DE CAPITALIZACION DE UNA SERIE DE PAGOS IGUALES(fcs) Es el factor que nos permite calcular la suma futura de una serie de pagos uniformes:
La suma futura es igual a la suma de los montos separados futuros calculados para cada anualidad.
S = S1 + S2 + S3 +...+ Sn-1 + Sn
S = R(1+i)o + R(1+i)1 + R(1+i)2 +...+ R(1+i)n-2 + R(1+i)n-1 (1)
Multiplicando ambos términos por (1+i)
S(1+i) = R(1+i)1 + R(1+i)2 +R(1+i)3+...+R(1+i)n-1+R(1+i)n (2) restando (1) de (2)
S(1+i) - S = -R + R(1+i)n
R R R R R R R R(1+i)O = S1
R(1+i)1 = S2
R(1+i)2= S3
R(1+i)n-2=Sn-
1
R(1+i)n-1 = Sn
(1+i)n - 1S = R ---------------- Ec.2. 3
itambién se puede deducir aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica de n términos:
arn - aSuma P.G. = --------- primer término es a = 1
r - 1 razón = (1+i)
(1+i)n - 1
El factor--------------, se llama factor de capitalización de una serie uni-
i forme (fcs) ó factor de series uniformes cantidad compuesta o (uscaf). Utilizando la simbología de Taylor la Ec.3 se expresa:
S = Ri-n (fcs) ó S = Ri-n (uscaf)
Ejemplo Nº 11: A cuanto ascenderá el monto de una anualidad de S/ 30 000 durante 7 años, si se invierte a la tasa de 60% de interés anual.
SOLUCION:R = S/. 30 000 S = R0.6 - 7 (fcs)i = 60% (1+0.6)7-1 n = 7 años S = 30 000 ---------------S = ? 0.6 S = S/. 1 292 175
2.7.4FACTOR DE DEPOSITO DE FONDO DE AMORTIZACION (fdfa) Se define como el inverso del factor de capitalización de una serie uniforme. Se trata de un fondo que tiene la propiedad de producir la cantidad deseada al final de 'n' años, por medio de una serie uniforme de pagos:
i R = S ------------- Ec.2.4 (1+i)n - 1
i El factor-------------, se llama factor de depósito de fondo
de amortización. (1+i)n - 1
La Ec.4 se puede escribir también de la siguiente manera:
R = Si-n(fdfa) ó R = Si-n(sfdf)
Ejemplo Nº 12: Una empresa pública decide establecer una nueva planta. Influye en su decisión la oferta que le hizo una financiadora oficial de concederle un préstamo de S/. 2 000 000 al 60% compuesto semestralmente.
La deuda con sus intereses deberá pagarse a los 10 años. La empresa decide construir un fondo de amortización en un banco al 65% de interés compuesto anualmente. ¿Qué cantidad deberá depositarse al final de cada año para que al término del décimo año se haya liquidado el empréstito?.
SOLUCION:
P = S/. 2 000 000 a) S = P(1+i)n j = 60% S = 2 000 000(1+0.6/2)2*10
n = 10 años S = 380 099 275m = 2S = ? b) R = Si-n(sfdf)
R = 380 099 275(0.004375) R = 1 662 934
2.7.5FACTOR DEL VALOR ACTUAL DE UNA SERIE DE PAGOS IGUALES(fas) Se define como el factor que nos permite transformar una serie de pagos iguales (R) a un valor presente (P).
P = P1 + P2 + P3+...+ Pn
El corchete es una progresión geométrica [ 1/1+i ], aplicando la fórmula
para la suma de una progresión geométrica: 1 a - arm a = ------- Suma P.G. = ---------- (1+i) 1 - r 1
r = ------ reemplazando los valores de a, r, m; (1+i) y haciendo las simplificaciones del m = n
caso se obtiene la siguiente ecuación:
0 1 2 3 4 5 n
R R R R R R
Ec. 2.5
La deducción de la ecuación anterior se puede hacer también a partir de la Ec. 3.
(1)
Sabemos que
S = P (1+i)n (2)
reemplazando (2) en (1)
P(1+i)n
(1+i)n - 1
El factor [------------], se llama factor de actualización de una serie (fas)
i*(1+i)n o factor de series uniformes-valor actual(uspwf).
Ejemplo Nº 13: Se compró una máquina, cuyo contrato de compra-venta fue la siguiente: dar por adelantado S/. 8'000,000 y el resto serían cancelados por letras trimestrales, cuyo valor de cada una asciende a S/ 500,000 durante 6 años a la tasa de interés del 55%, capitalizable trimestralmente. ¿Hallar el precio de la máquina al contado?.
SOLUCION:
j = 55% hay que calcular la tasa efectiva
Pcontado = ? Pcon. = Pinic. + Ri-n (uspwf)
Pinicial = S/. 8 000 000 Pcon. = 8 000 000+500
000(6.9425)
R = S/. 500 000 trimestral Pcon. = 11 471 230
n = 6 años
2.7.6FACTOR DE RECUPERACION DEL CAPITAL (frc) Se define como el inverso del factor de actualización de una serie, y sirve para encontrar los pagos iguales (R) al final del período que suministrará una suma de valor (P).
Ec. 2.6
El factor , se llama factor de recuperación del
capital (frc) o (crf).
Ejemplo Nº 14: Una empresa adquirió un equipo por S/. 3 000,000. Pagó S/. 600 000 al contado y se compromete a pagar el resto con intereses al 60% capitalizable anualmente en 6 pagos anuales iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota anual?.
SOLUCION:
PT = S/. 3 000 000 R = (PT - Pa)i-n (crf)Pa = S/. 600 000
n = 6 años R = (3 000 000 – 600 000)*(0.6380)
i = 60%
R = ? R = 1 531 200
2.8. RESUMEN DE FORMULAS Hallar Dado Pagos discretos
Capitalización discreta Designación de factores
S P S = P (1 + i)n fsc ó spcaf
P S P = S/(1 + i)n fsa ó sppwf
S R fcs ó uscaf
R S fdfa ó uscaf
P R fas ó uspwf
R P frc ó crf
2.9. USO DE TABLAS:
Todos los factores que se han tratado, han sido tabulados para diferentes valores de 'i' y de 'n', con el propósito de facilitar el cálculo, sin embargo hoy en día no existe problemas en calcularlos, ya que se cuenta con calculadoras personales que directamente nos dan el resultado.
Existe una variedad de tablas sobre los diferentes factores que intervienen en el interés compuesto. En el libro de G.A. Taylor aparece de la siguiente manera:
FACTORES DE TASA DISCRETA DE RENDIMIENTO
n spcaf sppwf crf uspwf sfdf uscaf
i = 6%
1 1.0600 0.94340 1.0600 0.94340 1.00000 1.0000 2 1.1236 0.89000 0.54544 1.83340 0.48540 2.0600 3 1.2625 0.83962 0.37411 2.67300 0.31411 3.1836
100 339.30 0.00295 0.06180 16.6180 0.00018 4.3746
2.10.PAGOS CAPITALIZABLES CONTINUAMENTE CON INTERESES CONTINUOS
Lo tratado anteriormente está referido a funciones discretas, es decir se considera que los pagos están concentrados en puntos discretos dentro de la serie cronológica. Esta modalidad de capitalización del capital es la que se usa mayormente en el mundo financiero. Sin embargo podría presentarse algunos casos donde las transacciones monetarias se hagan en forma relativamente uniforme a lo largo del año, transformándose de una función discreta a una función continua.
Mayormente el concepto de pagos o intereses continuos son usados en la teoría de las decisiones al aplicar modelos matemáticos.
2.10.1 INTERES ANUAL COMPUESTO CONTINUAMENTE (ic)
La deducción se va a ser partiendo de la relación del interés discreto:
i = ( 1 + j/m)m*n – 1 (1)
para el interés continuo 'm' será igual al número infinito de períodos de capitalización por año. Haciendo algunos cambios de variables en la relación (1) como: m/j = k , m = jk (2) n = 1 (un año). Reemplazando estos valores en la Ec. 1 tenemos:
ic = ( 1 + 1/k )jk - 1
tomando límite [ (1 + 1/k)k]j = ej k--------
ic = ej – 1 Ec. 2.7
ic = tasa de interés continuo efectivo
2.10.2 PAGOS CAPITALIZABLES CONTINUAMENTE CON INTERESES CONTINUOS En estos casos se transforman en una función continua. Sabemos que S = P (1+i)n, pero (1+i)n en capitalización discreta, en capitalización continua corresponde ej, de tal manera la función anterior con las consideraciones respectivas se puede transformar en una función continua:
∆S = ∆ Pejn (1)
Esta relación expresa que la cantidad futura se repite en 't' años a partir del momento 'n' ∆.P está definida por el área del rectángulo cuya altura es R y largo ∆t. R es igual al pago fluyendo continuamente cada período y t es el tiempo.
0 1 2 3 ∆t n-2 n-1
∆P = R ∆t (2)
Reemplazando (2) en (1)
∆S =R∆ t * ejt
cuando ∆t se aproxima a cero se tendrá:
Integrando la ecuación anterior se tiene:
A partir de ésta relación se puede derivar las otras relaciones aplicables a pagos continuos con interese continuos.
Ejemplo Nº 15: Cuál es el valor actual de los siguientes flujos
Ec. 2.8
∆PR
continuos de fondos.
a) S/. 5 000 al año, durante 7 años, al 60% compuesto continuamente.
b) S/. 8 000 mensuales, durante 10 años, al 65% compuesto continuamente.
c) S/. 15 000 trimestrales, durante 5 años, al 60% compuesto continuamente.
SOLUCION:
a) R = S/. 5 000 ejn - 1
j = 60% P = R [----------] j*ejn
n = 7 años e0.6*7 - 1
m = 1 P = 5 000 [------------] 0.6*e0.6*7
P = ?P = S/. 8 208.4
b) R = S/. 8 000 ejn - 1j = 65% P = R [-----------]n = 7 años j/m*ejn
m = 12 P = 8 000 [18.4338]P = ? P = S/. 147 470.4
10.3 RESUMEN DE FORMULAS DE PAGOS CONTINUOS:
Hallar Dado Pagos continuos ycapitalización
continua
designación de los
factores de flujo
ejn - 1 Factor de
R S S = R [------------] J
capitalizacióncompuesta.
S R j R = S [------------] ejn – 1
Factor de amortización
R P ejn - 1 R = P [------------] j*ejn
Factor de renta temporalcontinua
P R j*ejn
R = P [------------] ejn - 1
Factor de valor actual
2.11.AMORTIZACION
Es la extinción de una deuda, por su cancelación o pago. Existen dos métodos para proveer progresivamente el pago de una deuda a largo plazo:
a. Método del fondo de amortización.b. Método de amortización.
2.11.1 METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION Un fondo de amortización es la cantidad que se va acumulando mediante pagos periódicos, que devengan interés, y que se destinan para pagar una deuda a su vencimiento.
2.11.2 METODO DE AMORTIZACIÓN Se puede definir como el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda, mediante una serie de pagos periódicos al acreedor. Cada pago incluye el interés sobre la deuda pendiente y un pago parcial sobre el capital de aquella. Si los pagos
de amortización son de igual importe forman una anualidad cuyo valor actual es igual al valor actual de la deuda, esto es, del capital de la misma.
2.11.3 DIFERENCIA ENTRE EL METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION Y METODO DE AMORTIZACIÓN Si bien es cierto ambos métodos sirven para estructurar el pago de un préstamo a largo plazo o liquidar una obligación; en el primer método el importe de los pagos sirve únicamente para el pago del capital prestado, en el segundo método los pagos son suficientes para cancelar el capital y el interés que ganará este capital.
En el caso del método del fondo de amortización se hacen pagos periódicos que se invierten y se acumulan hasta el vencimiento de la deuda, fecha en que se paga de una vez el capital de la misma, en cambio en el método de amortización, los pagos no se acumulan en un fondo sino que se entregan periódicamente al acreedor reduciendo así, al mismo tiempo, el interés debido periódicamente sobre el capital pendiente.
Otra diferencia entre los métodos reside en el hecho que el método del fondo de amortización no hace ninguna provisión para el pago de los intereses sobre la deuda, pero en el método de amortización, los intereses sobre el capital forman parte de cada pago periódico.
Ejemplo Nº 16: Formar un fondo de amortización para cancelar un préstamo de S/. 4 000 000 en 6 años al 60% capitalizable anualmente.
SOLUCION:
S = S/. 4 000 000 R = Si-n (sfdf)
n = 6 años R = 4 000 000 (0.03803)
i = 60% R = S/. 152 120
R = ?
EXPLICACION DEL CALCULO:
La columna (1) se calcula por la fórmula
La columna (2) se obtiene multiplicando la columna 4 por el
porcentaje.
La columna (3) es el resultado de la columna (1) más la columna
(2).
La columna (4) es igual a los valores acumulativos de la columna
tres (3).
FONDO DE AMORTIZACION
1 2 3 4
Fecha de pago del fondo
Cuota anual
Interés sobre el fondo al 60%
Total añadi- do al fondo
Total en el fondo
Fin del 1er
año
Fin del 2do
año
Fin del 3er
año
Fin del 4to
año
Fin del 5to
año
Fin del 6to
año
152
120
152
120
152
120
152
120
152
120
152
120
---
91 272
237 307
470 964
844 814
1 442 974
152 120
243 392
384 427
623 084
996 934
1 595 094
152
120
395
512
784
939
1 408
023
2 404
956
4 000
000
∑ 912 720
3 087 331 4 000 000
Ejemplo Nº 17: Construir un cuadro de amortización para cancelar una deuda de S/. 8 000 000, cuyas condiciones son: 7 años con interés del 60%.
SOLUCION:
P = S/. 8 000 000 R = Pi-n(crf)
i = 60% R = 8 000 000 (0.62321)
n = 7 años R = 4 985 714
EXPLICACION DEL CALCULO La columna (1) se obtiene restando del capital pendiente de
pago menos amortización, columna (3).
La columna (2) se calcula multiplicando la columna (1) por los
intereses respectivos 60%.
La columna (3) de amortización es el resultado de la diferencia
de la columna (4) menos la columna (2).
La columna (4) se calcula por la fórmula.
La columna (5) es el acumulativo de la columna (3).
AMORTIZACION PROPIAMENTE DICHA
1 2 3 4 5
Añosfin
Capital pendient
eDe pago
Interesessobre el cap.pend
.
Amortiza- ción
delcapital
Anualidad
delcapital
Capital amortiza-
do
1234567
8 000 000 7 814 286 7 517 144 7 041 616 6 280 871 5 063 680 3 116 174
4 800 000 4 688 572 4 510 286 4 224 969 3 768 523 3 038 208 1 869 704
185 714 297 142 475 528 760 745 1 217 191 1 947 506 3 116 010
4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714
185 760 428 856 958 284 1 719 0292 936 2204 883 727 7 999 937
26 900 7 999 34 899
∑ 262 937 998
La tabla anterior se puede construir más fácilmente haciendo uso de la hoja de cálculo a través de pequeños programas elaborados específicamente para este caso; la información que se necesita alimentar es: deuda a amortizar, tipo de interés anual, tiempo en años y período de amortización.
Periodo Capital
Capital Pagado Interés
Amortizaciones
18 000
000.00 185 733.034 800
000.004 985
733.03
27 814
266.97 297 172.854 688
560.184 985
733.03
37 517
094.13 475 476.554 510
256.484 985
733.03
47 041
617.57 760 762.494 224
970.544 985
733.03
56 280
855.091 217
219.983 768
513.054 985
733.03
65 063
635.111 947
551.963 038
181.064 985
733.03
73 116
083.143 116
083.141 869
649.894 985
733.03
Totales8 000
000.0026 900 131.20
34 900 131.20
EJERCICIOS
2-1 Una compañía se registró con $ 50 000; al final de 10 años el capital había aumentado a $ 90 000. ¿Cuál fue la tasa media de crecimiento?.
SOLUCION:
P = $ 50 000 S = P (1+i)n
S = $ 90 000 90 000 = 50 000(1+i)10
n = 10 años 9/5 = (1+i)10
i = ? ln1.8 = 10 ln(1+i)
(1+i) = e0.05878
i = 6.05%2-2 Se hace un préstamo personal con tasa de interés de 3/4% por mes
sobre el saldo insoluto. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés?.
SOLUCION:
j = 3/4% i = [1+0.075/12]12*1 - 1
m = 12 i = [ 1.00625]12 - 1
i = 0.0776 ó 7.76%
2-3 ¿Cuántos años se requerirá para que el saldo dejado en una cuenta de ahorros aumente de $ 1 000 a $1 500 si el interés se recibe a una tasa nominal del 6% compuesto semestralmente durante el período?.
SOLUCION:
P = $ 1 000 S = P (1 +j/m)m*n - 1
S = $ 1 500 1 500 = 1 000(1+0.06/2)2*n - 1
j = 6% ln1.5 = 2n ln1.03
n = ? 0.4054 = 2n(0.02956)
n = 6.68 años2-4 Una acería estima que uno de sus hornos requerirá gastos de
mantenimiento de $ 2 000 al final de 2 años, de $ 4 000 al final de 4 años y de $ 8 000 al término de 8 años, ) Qué cantidad semestral uniforme tiene que invertir durante los siguientes 8 años, al final de cada período, para poder cubrir estos costos de mantenimiento, si todos los fondos devengan intereses a una tasa del 6% capitalizable semestralmente?.
SOLUCION:
j = 6% m = 2
P = 2 000(0.8885) + 4 000(0.7894) + 8 000(0.6232)
P = $ 9 921
j/m(1+j/m)m*n
R = P [--------------------] (1+j/m)m*n+ - 1
0.06/2(1+0.06/2)2*8
R = 9 921 [-------------------------] (1+0.06/2)2*8 - 1
R = $ 790 esta es la cantidad uniforme que tiene que invertir semestralmente
2-5 Un deudor puede liquidar una deuda pagando: a) S/. 9 000 en la fecha; o b) pagando S/. 11 000 dentro de 5 años. ¿Qué opción debe aceptar suponiendo un rendimiento del 60% capitalizable semestralmente?.
SOLUCION:P = S/. 9 000 P = 11 000/(1+0.6/2)2*5
S = S/. 11 000
n = 5 años P = S/. 789
j = 60% Decisión: La opción que se debe aceptar es la b), cuyo valor es de
0 1 2 3 4 5 6 7 8
S = 4000
S = 2000
S = 8000
S/. 798 m = 2
2-6 Una empresa acuerda cancelar una deuda mediante 8 pagos trimestrales de S/. 2 000 cada uno, si omite los 4 primeros pagos. ¿Qué pago debe hacer al vencimiento del siguiente para saldar la deuda?. La tasa de interés es del 60%.
SOLUCION:P = S/. 2 000 ST = R1-n(uscaf) + Ri-n(uspwf)n = 8 trimestres ST = 2 000(6.7424)+2 000(2.2832)
j = 60% ST = 13 484.8 + 4 566.4
m = 4 ST = S/. 18 051.2
j/m = 15%
2-7 Qué tasa convertible anualmente es equivalente al 60% convertible trimestralmente.
SOLUCION:
j = 60% i = ( 1 + j/m )m*n - 1
n = 1 i = ( 1 + 0.6/2)2*1 - 1
m = 4 i = 74.9%
i = ?
2-8 En una fabricación continua se ha pensado sustituir la regulación manual de los flujos por un mecanismo automático cuyo valor instalado es de s/. 2 000 000 . La vida de este mecanismo se calcula en 10 años y su valor residual se estima nulo para mayor seguridad. La mano de obra que ahorra el aparato vale S/. 400 000/año y a su vez, su costo de funcionamiento se considera prácticamente nulo. ¿Qué interés se obtiene con la sustitución?.
SOLUCION:
P = S/. 2 000 000 i(1+i)10
R = S/. 400 000/año 400 000 = 2 000 000*------------ (1+i)10-1
n = 10 años
i = ? i(1+i)10
R = S/. 400 000/año 0.2 = ------------n = 10 años (1+i)10-1
La solución de esta ecuación se hace por tanteo, tomando valores de i = 10%, i = 15% y i = 20% y se compara con 0.2, la respuesta es i = 15.1%.
2-9. ¿En cuál de los siguientes casos se da la más alta tasa de descuento.a. Una suma actual de S/. 399.9 con redituación de S/. 50
semestralmente, durante 5 años.b. Una suma actual de S/. 399.9 con redituación de S/. 100
anuales, durante 5 años.c. Una suma actual de S/. 421.2 con redituación de S/. 25
trimestrales, durante 5 años.
SOLUCION:Los intereses serán mayores cuanto más veces rote un capital. Para encontrar en
cual de los casos se tiene la mayor tasa hay que calcular la tasa efectiva.
P1 = S/. 399.9 j1 = 50/399.9 = 0.125P2 = S/. 421.2 j2 = 100/399.9 = 0.25I1 = S/. 50 semestrales j3 = 25/421.2 = 0.0593I2 = S/. 100 anuales i1 = (1 + 0.125/2)2*1 - 1I3 = S/. 25 trimestrales i1 = 0.266
i2 = (1 + 0.25)1 - 1 i2 = 0.25 i3 = (1 + 0.0593/4)4*1 - 1 i3 = 0.2599
La tasa más alta de descuento es en el caso a) con 26.6%. En este caso la tasa de descuento lo estamos asimilando como si se trataría de la tasa efectiva, sin embargo la tasa de descuento se define como el descuento de una unidad de capital en una unidad del tiempo, matemáticamente se expresa de la siguiente manera:
d = 1 - 1/(1 + i)
Desde el punto de vista de proyectos la TASA DE DESCUENTO se define como la tasa promedia ponderada de interés que el inversionista tendría que pagar para disponer de recursos marginales que invertir.
2-10 Una empresa invierte ahora S/. 10 000 000 en un pequeño negocio, que le va a generar ingresos anuales a perpetuidad, se considera que es una serie uniforme a una tasa de interés del 60%, capitalizable anualmente. ¿Cuáles son los ingresos anuales?.
SOLUCION:
P = S/. 10 000 000
i = 0%
R = ?
cuando 'n' tiende al infinito (∞), la ecuación anterior se transforma en:
P = R/i R = P*i
R = 10 000 000*0.6
R = 6 000 000
2-11 na compañía grande hace dos ofertas al propietario de una compañía pequeña, para comprarle su negocio. La oferta A es de $ 150 000 en efectivo más 10 pagos anuales de $ 1 000 cada uno,
iniciándose estas después de un año. La oferta B es de $ 15 000 en efectivo, $ 50 000 al final de un año y $ 100 000 al final de 3 años. Si el dinero le reditúa 6% y no se toma en cuenta aspectos de impuestos sobre la renta. ¿Cuál es la mejor oferta desde el punto de vista de propietario?.
SOLUCION:
Oferta A PA = PO + P1
PO = $ 150 000
R = $ 1 000
P1 = $ 7 352.2PA = $ 150 000 + $ 7 352.2 = $ 157
352.2
Oferta B PB = PO + P1 + P3
PO = $ 15 000 P1 = 50 000/(1+0.006)= $ 47 169.8
S1 = $ 50 000 P3 = 100 000/(1+0.006)3 = $ 83 961.9
S3 = $ 100 000 PB = $ 15 000 + $ 47 169.8 + $ 83
961.9
PB = $ 146 131.7
Decisión: Al propietario de la pequeña compañía le conviene la
oferta A
2-12 eterminar el capital final que se obtendrá al calcular 30 000 soles al 3% semestral, durante 19 meses, (acumulación semestral).
SOLUCION:
En este caso el tiempo n no expresa o representa un número exacto
de períodos de capitalización, para resolver el problema se opera
representando en forma fraccionada de la siguiente manera n = m
+ p/q.
n = 19 meses = 3 semestres y 1 mes
m = 3 S = P(1+i)n
p/q = 1/6 S = P(1+i)3+1/6
i = 3% S = 30 000(1+0.03)19/6
S = S/. 32 943.06
2-13 Se ha instalado un aparato electrostático para eliminar el polvo de un gas de tostación, siendo su importe total de 500 000 soles. La vida que se garantiza al aparato es de 20 años, el valor residual es cero. Los costos de reparación, sustituciones y funcionamiento se calculan en un período de 20 000 soles por año. Capitalícese las inversiones totales al momento actual y al fin del servicio, supuesto un interés del 8%.
SOLUCION:
P = S/. 500 000 PT = P + P1
R = S/. 20 000/año
P1 = S/. 196 363
Valor actual del servicio PT = 500 000 + 196 363 = S/. 696 363
Valor futuro S = 696 363(1.08)20 = S/. 3 245 748
BIBLIOGRAFIA
1. DIULIO, Eugene, "Macroeconomía", Edit. McGraw-Hill, México, 1977
2. DE GARMO, Paul y Canadá, Jhon, "Ingeniería Económica", Edit.
CECSA, México, 1978.
3. RIGGS L., James, "Ingeniería Económica", Edit. Representaciones y
Servicios de Ingeniería, México, 1982.
4. THUESEN, H.G. y otros, "Economía del Proyecto en Ingeniería",
Edit. PHI, España, 1974.
5. VIAN ORTUÑO, Angel, "El Pronóstico Económico en Química
Industrial", Edit. Alhambra, España, 1975.
6. Apuntes del Curso de Formulación y Evaluación de Proyectos de
Inversión, Universidad Nacional de Ingeniería, Facultad de Ingeniería
Económica y Sociales, Lima, 1982.
3.1 Definición es la disminución del valor de los activos físicos con el
paso del tiempo, el uso, obsolescencia tecnológica y la
desvalorización del dinero por causas económicas tales como la
inflación y la devaluación de la moneda ante divisas extranjeras. Sin
embargo existen activos físicos que no se deprecian como: terrenos,
obras de arte y antigüedades. Entiéndase como valor de un activo
físico al valor de mercado
.
3.2 Propósitos de la depreciación la depreciación se debe tomar en
cuenta principalmente por dos razones;
a. Para recuperar el capital invertido en activos físicos.
b. Para poder cargar el costo de la depreciación al costo de la
producción de bienes o servicios que resulten del uso del
activo.
3.3 Tipos de depreciación las disminuciones del valor de los activos
físicos debido al paso del tiempo se puede clasificar:
a. Depreciación normal, dentro de ésta tenemos:
Depreciación física se debe a la pérdida de la habilidad
física de un activo para producir resultados. Las causas
comunes son el desgaste y el deterioro.
Depreciación funcional es la pérdida del valor debido a la
disminución en la demanda de la función para la cual
estaba diseñado el activo. Este tipo de depreciación se
produce por: cambio en los hábitos de consumo, saturación
de mercados, producción de máquinas más eficientes, etc.
b. Depreciación debido a cambios en el nivel de precios si suben
los niveles de precios durante la vida de un activo, el capital
recuperado a través de la depreciación no será suficiente para
la adquisición de un reemplazo idéntico.
c. Depreciación por agotamiento el término agotamiento se usa
para indicar la disminución en valor que haya ocurrido en
relación con el consumo de recursos naturales para la
CAPITULO III Depreciación
producción de bienes o servicios, por ejemplo
extracción de minerales, petróleo, madera, etc. Esta
disminución se compensa mediante una reducción
proporcionada en las ganancias que se derivan de
aquel recurso.
3.4. Métodos de depreciación: el uso de un determinado método de
depreciación en la elaboración de estudios económicos dependerá
de los criterios del evaluador y del tipo de proyecto; sin embargo
cualquiera de los métodos debe proporcionar lo necesario para la
recuperación del capital y para la adecuada asignación del costo de
la depreciación durante el transcurso de la vida estimada del activo.
De los muchos métodos de depreciación que se cuenta,
examinaremos solamente cuatro de ellos por ser de uso más
común, estos son: método de la línea recta, método de saldo
decreciente, método de suma de dígitos y método del fondo de
amortización.
a. Método de la línea recta: considera que la pérdida del valor es
directamente proporcional a la edad del activo, entonces:
donde: d = costo anual por depreciación
VI = valor inicial del activo
VR = valor residual o de desecho del activo
n = vida útil del activo
El valor residual (VR) en la mayoría de los estudios económicos
se debe considerar que en el futuro es cero, a menos que haya
certeza de que siempre se tendrá un valor de desecho ya
estable. La vida útil de los activos es proporcionada por los
fabricantes, además existe información en la literatura de los
activos más comunes.
La depreciación hasta la edad de n años es:
El valor en libros del activo al final de n años es:
Ejemplo: una empresa compró un equipo mecánico en $ 32
000. Estimado la vida probable en 5 años y un valor de desecho
de $ 3 200. ¿Hallar el cargo periódico por depreciación y el
valor en libros después de 3 años por el método lineal?
= $ 5 760
AÑOS CARGA PORDEPRECIACION
ACUMULACION DEL FONDO DE RESERVA PARA DEPRECIACIÓN
VALOR ENLIBROS
012345
-5 7605 7605 7605 7605 760
- 5 76011 52017 28023 04028 800
32 00026 24020 48014 720 8 960 3 200
28 800
= $ 14 720
b. Método del Saldo Decreciente o método del porcentaje
constante se supone que el costo anual por depreciación es un
porcentaje fijo del valor de rescate al empezar el año, y se
designa por k. Para este caso el valor de rescate no debe ser
cero, de lo contrario no se puede aplicar este método.
Depreciación durante el primer año:
d1 = VI*k
Tasa de depreciación:
Depreciación durante el enésimo año:dN = VL-1*k
La depreciación hasta la edad de N años es:
Valor en libros:
VL =
Utilizando el ejemplo anterior se elaborara el cuadro de cargo por depreciación por el método de saldos decrecientes.
= 0.36904 ó 36.904% d1 = 32 000*0.36904 = 11
809.28
AÑOS CARGA PORDEPRECIACION
ACUMULACION DEL FONDO DE RESERVA PARA DEPRECIACION
VALOR ENLIBROS
012345
-11 809.28 7 451.18 4 701.40 2 966.40 1 871.74
- 11 809.2819 206.4623 961.8626 928.2628 800.00
32 00020 190.7212 739.54 8 038.14 5 071.74 3 200.00
28 800
VL3 = = 8 038.04
c. Método de la suma de dígitos la depreciación para un año cualquiera es el producto que resulta de multiplicar el factor de depreciación de la suma de dígitos para ese año por el valor depreciable VI –VR.Depreciación para un año cualquiera:
Valor en libros:
AÑO Número del año Factor deEn el orden inverso depreciación (dígitos)
1 5 5/15
2 4 4/153 3 3/154 2 2/155 1 1/15Suma de dígitos 15
Utilizando el mismo ejemplo se elaborara el cuadro de cargo por depreciación por el método de suma de dígitos.
d1 = (32 000 – 3 200)* = 9 600
AÑOS CARGA PORDEPRECIACION
ACUMULACION DEL FONDO DE RESERVA PARA DEPRECIACION
VALOR ENLIBROS
012345
-9 600
7 680 5 760 3 840 1 920
- 9 60017 28023 04026 88028 800
32 00022 40014 720 8 960 5 120 3 200
28 800
d. Método del fondo de amortización supone que se establece un fondo de amortización en el cual se acumula fondos para propósitos de reemplazo. La reserva de depreciación acumulada es igual al valor futuro de la serie de pagos uniformes por cargo de depreciación en una fecha dada. Para aplicar este método de depreciación se necesita conocer el costo de oportunidad del capital (COK).Depreciación
La depreciación hasta la edad de N años es:
Valor en libros:VL = VI - DN
Utilizando el mismo ejemplo se elaborara el cuadro de cargo por depreciación por el método del fondo de amortización, con COK = 10%.
FONDO DE AMORTIZACION
AÑOS CARGA PORDEPRECIACION
ACUMULACION DEL FONDO DE RESERVA PARA DEPRECIACION
VALOR ENLIBROS
012345
-4 717.405 189.145 708.056 278.856 906.74
-4 717.40 9 906.5415 614.5521 893.4028 800.14
32 000.027 282.622 093.516 385.410 106.6 3 200.0
28 800
e. Gráfica de los cuatro métodos de depreciación
AÑOSCUOTA ANUAL
INTERESESSOBRE EL
FONDO 10%
TOTAL AÑADIDO AL
FONDO
TOTAL EN EL FONDO
1 4 717.4 - 4 717.40 4 717.402 4 717.4 471.74 5 189.14 9 906.543 4 717.4 990.65 5 708.05 15 614.554 4 717.4 1 561.45 6 278.85 21 893.405 4 717.4 2 189.34 6 906.74 28 800.14
a. Ventajas y Desventajas comparativas de los cuatro métodos de depreciación. Las tres primeros métodos son de fácil aplicación y para su
cálculo no se necesita el costo de oportunidad del capital. El cálculo de depreciación por el método del fondo de
amortización es engorroso y se necesita conocer el costo de oportunidad del capital.
En los métodos de depreciación del saldos decrecientes y suma de dígitos en el primer año se deprecia el activo en un 37% y 30 % respectivamente, esto quiere decir que se está recuperando aproximadamente 1/3 del valor del activo en ese año, esto se puede visualizar en la gráfica.
El método de depreciación del saldo decreciente no se puede aplicar si el valor de desecho se considera igual a cero.
EJERCICIOS
3-1 Hace 15 años se construyó un elevador de de granos, con un costo de $ 43 000. Se le suponía tener un valor de recuperación después de 30 años del 10% de su costo original. La depreciación se realiza mediante un fondo de amortización conservado en poder de un banco local, el cual ha pagado intereses durante el período, al 4%
compuesto anualmente. Los propietarios desean ahora agregar un segundo elevador de granos, que costará $ 60 000. ¿Cuánto capital adicional se requerirá si aplican las reservas de depreciación del primer elevador como contribución para la construcción del segundo?.SOLUCION:VI = $ 43 000 VR = $ 4 300 n = 30 N = 15Depreciación acumulada al año 15
DN = $ 13 817Capital adicional requerido = $ 60 000 - $ 13 817 = $ 46 183
3-2 Se tiene un activo de $ 24 000 que se espera tenga una vida útil de 10 años y un valor de rescate de $ 4 000 al cabo de este tiempo. Calcúlese el cargo por depreciación para el tercer año y el valor en libros al término de tres años usando los métodos de depreciación siguientes: (a) línea recta, (b) fondo de amortización con intereses al 8% y (c) saldo decreciente.
SOLUCION:VI = $ 24 000 VR = $ 4 000 n = 10 Años i = 8%a Línea recta
VL = VI – DN = 24 000 – 6 000VL = $ 18 000
b. Fondo de amortización
d3 = $ 1 380.6 +$ 229.7 = $ 1 610.3 (229.7 son los intereses ganados por el cargo de depreciación correspondientes al segundo año.
DN = $ 4 481.98 VL = VI – DN = 24 000 – 4 481.98 = $ 19 518.02
c. Saldo decreciente
VL,2 =
d3 = 16 771.85*0.164 = $ 2 750.58
Vl,3 =
BIBLIOGRAFIA
1. DE GARMO, Paul y Canadá, Johon, "Ingeniería Económica", Edit
CECSA, México, 1978.
2. GALLEGOS CERVANTES, Raúl, “Formulación y Evaluación de
Proyectos de Inversión, Edit. McGRAW-HILL, 1998.
3. RIGGS L., James, "Ingeniería Económica", Edit. Representaciones y
Servicios de Ingeniería, México, 1982.
4. THUESEN, H.G. y otros, "Economía del Proyecto en Ingeniería",
Edit. PHI, España, 1974.
5. VIAN ORTUÑO, Angel, "El Pronóstico Económico en Química
Industrial", Edit. Alhambra, España, 1975
La pregunta que surge inmediatamente es en que invertir, para como inversionistas o propietario del capital logre utilidades, además de la recuperación del capital invertido en un determinado período de tiempo; la respuesta es, depende de los criterios de decisión que se apliquen, los que nos ayudarán a detectar esas alternativas económicas entre muchas que se propongan.Por lo tanto los criterios aplicables a las decisiones de inversión es una regla o norma que ayuda a analizar la idoneidad y conveniencia de una alternativa económica expresada en función de la rentabilidad de la empresa o de otra medida de valor con la cual se compara la rentabilidad o algún otro aspecto potencial del proyecto.Para expresar la rentabilidad u otra característica de la alternativa económica, ya sea proyectos únicos o mutuamente excluyentes y hacer la comparación con la norma de la empresa, se debe contar con la información de los flujos de efectivo neto, éste depende del costo del proyecto, de las entradas y salidas de efectivo subsecuentes, de las fechas en que ocurren, del horizonte o vida económica del proyecto y del valor de desecho. El costo de los recursos, el riesgo, la incertidumbre de los flujos de efectivo y la inflación son otros factores importantes que se deben tener en cuenta.Los criterios de decisión que se aplican con más frecuencia se clasifican en dos categorías: indicadores totales e indicadores parciales.
Indicadores totales: son aquellos que consideran los ingresos como los costos generados durante el horizonte del proyecto, dentro de ellos tenemos: el Valor Actual(VA), Tasa Interna de Rendimiento(TIR), relación Beneficio-Costo(B/C) y Período de Recuperación de la Inversión(PRI); en las decisiones de inversión se aplican los dos primeros con mayor frecuencia por ser los más consistentes y los dos últimos son muy referenciales y su aplicación es muy restringida.a. Valor Actual (VA) Es igual a la diferencia entre el valor
actualizado de los ingresos y el valor actualizado de los costos, descontados ambos a la misma tasa, que corresponde al costo de oportunidad de capital de la empresa; los valores
CAPITULO IVCRITERIOS APLICADOS EN LAS DECISIONES DE
INVERSION
pueden ser reales o nominales, matemáticamente se expresa:
donde: VA = Valor ActualYn = Ingresos en el año nCn = Costos en el año nIo = Inversión en el año ceroFE = Flujo de efectivo (Yn- Cn)ik = Costo de oportunidad del capitalt = Horizonte del proyecto
El criterio o la regla de decisión es:Proyectos Unicos Proyectos AMES*
VA > 0 se acepta VAA > VAB se acepta A
VA = 0 se posterga VAA = VAB indistinto
VA < 0 se rechaza VAA < VAB se acepta B
*AMES = Alternativas mutuamente excluyentes.
Se debe tener cuidado, sin embargo de no mezclar valores reales con
nominales.
Ejemplo Nº 1: Un proyecto requiere la inversión inmediata de $ 27 000 y se estima que al final de cada año dará como resultado los ingresos y costos siguientes:
AÑOS 1 2 3 4 5INGRESOS $ 30 000 36 000 40 000 38 000 24 000COSTOS $ 24 000 27 000 30 000 32 000 19 000
El proyecto se terminará al final del quinto año y se estima que al vender los activos de esa fecha se obtendrán $ 10 000 netos. Normalmente, la compañía obtiene un rendimiento sobre sus inversiones de por lo menos 15% antes de impuestos. Determine el Valor Actual y la Tasa Interna de Rendimiento y haga la recomendación pertinente.SOLUCION: Para calcular el VA lo primero hay que elaborar el cuadro de
flujo de efectivo.AÑO INVERSION
$INGRESOS
$COSTOS
$
V.RESIDUAL$
FLUJODE
EFECTIVO
012345
27 000 -30 00036 00040 00038 00024 000
-24 00027 00030 00032 00019 000
-
10 000
(27 000) 6 000 9 00010 000 6 0001 5 000
VA = $ 2 486.02Como el VA es mayor que cero, y de acuerdo a la regla de decisión para proyectos únicos, se acepta el proyecto.Nota: los cálculos se han hecho a través de Microsoft Excel con la función financiera ƒx (VNA)
b. Tasa Interna de Rendimiento(TIR) Es la tasa de descuento capaz de igualar la serie de ingresos futuros con el desembolso original; dicho de otro modo es la tasa de actualización que hace cero al Valor Actual, cuya fórmula es la siguiente:
La regla de decisión es: Proyectos Unicos Proyectos AMES
TIR > ik se acepta TIRA > TIRB se acepta A
TIR = ik se posterga TIRA = TIRB indistinto
TIR < ik se rechaza TIRA < TIRB se acepta B
En el caso de las alternativas mutuamente excluyentes
(AMES), necesariamente se debe tener en cuenta el costo de
oportunidad del capital (ik), de lo contrario no tendría sentido
comparar tasas de rendimiento.
Para determinar la TIR , tomamos los datos del ejemplo Nº1 y utilizamos la función financiera ƒx (TIR)
TIR = 18.42%Como la TIR es mayor que el costo de oportunidad del capital(15%) se acepta el proyecto.Para hacer la gráfica del VA vs la tasa de descuento hay que determinar diferentes valores del VA.
En la gráfica se puede observar que cuanto mayor es la tasa de descuento el Valor Actual va disminuyendo, hasta alcanzar el valor de cero que corresponde a la TIR.
Ejemplo Nº 2: Compare los valores actuales y las tasas de rentabilidad de los planes siguientes y escoja la alternativa preferible. La mínima tasa de rentabilidad aceptable es del 6%.
RUBROS PLAN 1 PLAN 2 PLAN 3Costo inicialValor de recuperaciónVida económicaIngresos anualesDesembolsos anuales
$ 40 000$ 10 000
7 años $ 18 000
$ 11 000
$ 32 000$ 6 0007 años
$ 18 000$ 14 500
$ 70 000$ 20 000
7 años $ 24 500
$ 14 500
Cálculo del VA y TIR para cada Plan
Plan 1
AÑO INVERSION$
INGRESOS$
COSTOS$
V.RESIDUAL$
FLUJODE
EFECTIVO0
1-67
40 000 -18 00018 000
-11 00011 000
-
10 000
(40 000) 7 00017 000
TIR1 = 9.46%Plan 2
AÑO INVERSION$
INGRESOS$
COSTOS$
V.RESIDUAL$
FLUJODE
EFECTIVO0
1-67
32 000 -18 00018 000
-14 50014 500
-
6 000
(32 000) 3 500 9 000
TIR2 = - 1.04%Plan 3
AÑO INVERSION$
INGRESOS$
COSTOS$
V.RESIDUAL$
FLUJODE
EFECTIVO0
1-67
70 000 -24 00024 000
-14 50014 500
-
20,000
(70 000) 9 50029 500
TIR3 = 4.72%CUADRO RESUMEN
Plan 1 VA1 = $ 5 727.24 TIR1 = 9.46% Se acepta
Plan 2 VA2 = -$ 8 471.32
TIR2 = - 1.04%
Se rechaza
Plan 3 VA3 = -$ 3 666.23
TIR3 = 4.72% Se rechaza
De acuerdo a los resultados presentados en el cuadro resumen, y no existiendo la condición de presupuesto limitado, se considera que las alternativas son
independientes, por lo tanto de acuerdo a las reglas de decisión se selecciona el Plan 1 por que el VA1> 0 y la TIR1 > ik, además VA2 y VA3 son < que cero.
Ejemplo Nº 3: Compare los valores actuales y las tasas de rentabilidad de los planes considerados en el ejemplo Nº 2 y escoja la alternativa preferible si el presupuesto es limitado y asciende a $110 000. La mínima tasa de rentabilidad aceptable es del 6%.En este caso como el presupuesto es limitado, las alternativas son mutuamente excluyentes, por lo tanto se debe hacer las combinaciones correspondientes; la selección de la alternativa final será aquella que arroje el VA más alto.Plan 1-2AÑO INVERSION
$INGRESOS
$COSTOS
$
V.RESIDUAL$
FLUJODE
EFECTIVO0
1-67
72 000 -36 00036 000
-25 50025 500
-
16 000
(72 000)10 50026 500
TIR12 = 5.04%Plan 1-3
AÑO INVERSION$
INGRESOS$
COSTOS$
V.RESIDUAL$
FLUJODE
EFECTIVO0
1-67
110 000 -42 50042 500
-25 50025 500
-
30 000
(110 000)17 00047 000
TIR13 = 7.07%
Plan 2-3
AÑO INVERSION$
INGRESOS$
COSTOS$
V.RESIDUAL$
FLUJODE
EFECTIVO0
1-67
102 000 -42 50042 500
-29 00029 000
-
26 000
(102 000)13 50039 500
TIR23 = 3.72%Plan 1-2-3, no es factible realizarlo por que la suma de las inversiones de los tres planes asciende a $ 142 000 y el presupuesto con el que se cuenta es solamente de $ 110 000.
CUADRO RESUMENPlan 1-2 VA12 = -$ 2
744.08TIR12 = 5.04% Se
rechaza
Plan 1-3 VA13 = $ 4 852.20
TIR13 = 7.07% Se acepta
Plan 2-3 VA23 = -$ 9 346.37
TIR23 = 3.72% Se rechaza
Plan 1-2-3 No es factiblePor lo tanto se se selecciona el Plan 1-3 por que el VA13 > 0 y la
TIR13 > ik
c. Relación Beneficio – Costo (B/C): este indicador se define
como la relación entre los ingresos y los costos actualizados a
una tasa que corresponde al costo de oportunidad del capital,
la regla de decisión es:
Proyectos Unicos Proyectos AMES
B/C > 1 se acepta B/CA > B/CB se acepta A
B/C = 1 se posterga B/CA = B/CB indistinto
B/C < 1 se rechaza B/CA < B/CB se acepta B
Este indicador es poco consistente, por lo que muy poco se
utiliza en la toma de decisiones de selección de proyectos.
B/C =
d. Período de Recuperación de la Inversión (PRI): es el
período de tiempo durante el cual se recupera la inversión vía
utilidades netas, la regla de decisión es:
Proyectos Unicos Proyectos AMES
PRI < Horizonte del Pyto. Se selecciona el Pyto. que
tenga
se acepta el menor PRI y que sea<
Horiz.Pyto.
El PRI tiene muchas limitaciones, en primer lugar no mide la
rentabilidad del proyecto, debido a que en su cálculo se
desentiende de todos los beneficios producidos después de la
recuperación del capital, por lo que su aplicación debe ser
referencial.
=
Ejemplo Nº 4: Para poder elaborar un nuevo producto hay que instalar un equipo con un costo de $ 100 000. Se estima que éste tendrá una vida económica de 7 años y que al término de ese tiempo su valor de rescate sería de $ 20 000. Los costos de producción son los siguientes:Mano de obra directa $ 6 por unidadMateriales directos $
3 por unidadCostos indirectos $ 10 000 + $ 2 por unidadEl precio de venta del producto sería de $ 20 la unidad, pero hay mucha incertidumbre en cuanto al número de unidades que se pueden vender. La compañía está recibiendo un 10 % antes de impuestos sobre su capital. Determínese la relación beneficio costo y el período de recuperación de capital para un volumen de ventas de 5 000 unidades.
SOLUCION: Cálculo de la relación beneficio-costo(B/C)
Costos anuales (vida económica 7 años):Mano de obra directa = $ 6/unid*5 000 unid = $
30 000Materiales directos =
$ 3/unid*5 000 unid = $ 15 000Costos indirectos = $ 10 000 + $ 2/unid*5 000 unid = $ 20
000 Costo total anual $ 65
000
Ingresos anuales:Ingresos por ventas =
$20/unid*5 000unid = $ 100 000Valor de rescate (en el año 7) = $
20 000
La relación B/C > 1, de acuerdo a la regla de decisión para proyectos únicos se acepta el proyecto; esto quiere decir que el flujo actualizado de ingresos es mayor que el flujo actualizado de costos.
Cálculo del Período de Recuperación de la Inversión
100 000 < 110 945.29Para determinar el PRI hacemos la interpolación pertinente, auque el resultado arroja cierto error por que la función no es lineal. Si 110 945.29 ------------------ 4 años 100 000 -------------------- x
( 3 años, 7 meses, 6 días)
La solución más exacta del PRI, es através del método gráfico
SOLUCION GRAFICA
El período de recuperación de la inversión es menor que el horizonte del proyecto (PRI< HP), de acuerdo a la regla de decisión se acepta el proyecto.
e. Comentarios sobre los cuatro indicadores totales De los cuatro indicadores totales, los más etables y
usados en la evaluación de estudios económicos, tanto independiente como mutuamente excluyentes, es el Valor Actual(VA) y la Tasa Interna de Rendimiento(TIR), sin embargo el indicador Beneficio-Costo(B/C) y el Período de Recuperación de la Inversión(PRI) se usan en la selección de alternativas independientes y en forma muy restringuida cuando se trata de proyectos mutuamente excluyentes.
El Valor Actual(VA) depende del tiempo, es decir el valor varía de acuerdo al año o período en el cual se calcula, además del costo de oportunidad del capital (COK) y la tasa inflacionaria.
La Tasa Interna de Rendimiento (TIR) es independiente del tiempo, sin embargo puede presentar más de un resultado cuando en el flujo de efectivo existe más de un valor negativo.
La relación Beneficio-Costo (B/C), no está ideado para calificar proyectos, establece solamente un nivel mínimo de aceptabilidad, y no pretende identificar la fuente de fondos de inversión. Como ejemplo podemos considerar dos alternativas económicas que pueden tener la
misma relación (B/C ) y costar cien mil y un millón, esto demuestra que es insensible a los niveles del costo de inversión.
También depende del tiempo y del costo de oportunidad del capital.
El Período de Recuperación de la Inversión (PRI), ignora por completo muchos componentes de las entradas de efectivo. Todas las entradas que exceden al período de recuperación se pasan por alto, lo cual es muy engañoso al evaluar proyectos de inversión
4.2 Indicadores Parciales son aquellos que consideran solamente los ingresos o los costos generados durante el horizonte del proyecto, dentro de ellos tenemos:
c. Costo Equivalente Anual (CEA) Se define como la conversión de
cualquier flujo de efectivo en una serie de pagos iguales de igual valor,
calculando en primer lugar el valor actual de la serie original y luego
multiplicando dicho valor por el factor de interés. Este indicador
de evaluación se aplica en la selección de alternativas
mutuamente excluyentes y cuando los beneficios son
iguales.
La regla de decisión es aceptar aquel proyecto que tenga un
CEA menor comparativamente con los demás proyectos.
Ejemplo Nº 5: Instalar una tubería de 18 pulgadas para trasportar
agua, tiene un costo de $ 21 000 y acarrearía gastos de
mantenimiento de $ 6 700 por año. Otra tubería de 24 pulgadas
costaría $ 32 000 y sus costos anuales de mantenimiento sería $ 3
850. Se necesita este servicio durante siete años, luego de los
cuales estas tuberías podrán retirarse y venderse a un precio igual a
la mitad de sus costos originales. Compare los costos equivalentes
anuales de instalar una u otra tubería usando tasa de interés de 8%.
SOLUCION: PA = $ 21 000 PB = $ 32 000
VRA = $ 10 500 VRB = $ 16 000
R1A = $ 6 700 R1B = 3 850
n = 7 años n = 7 años
Como CEAA > CEAB, se selecciona la tubería de 24 pulgadas, por
tener el menor costo equivalente anual.
Cuando los activos sometidos a comparación tienen vidas útiles
diferentes, su costo equivalente anual puede calcularse mediante el
método de proyectos repetidos.
Ejemplo Nº 6: A continuación se presenta dos alternativas con vidas útiles diferentes:
ITEMS ALTERNATIVA A ALTERNATIVA BCosto inicialVida útilValor residualCostos anualesTasa requerida
$ 50 00020 años$ 10 000$ 9 000
8%
$ 120 00040 años$ 20 000$ 6 000
8%
SOLUCION:En este caso al término de la vida económica de la alternativa A, se reemplaza con otra nueva de las mismas características que la inicial. Este método se llama “mínimo común múltiplo” de las vidas útiles.
De acuerdo a los resultados, se selecciona la alternativa A: CEAA <
CEAB
d. Valor Presente de Costos (VPC) Se define como el factor que nos permite transformar una serie de pagos iguales (R) o pagos desiguales futuros a un valor presente de costos (VPC).
La regla de decisión es aceptar aquella alternativa económica
que tenga un VPC menor comparativamente con las demás
alternativas.
Ejemplo Nº 7: Para ilustrar el cálculo de éste indicador, tomamos los datos del ejemplo Nº 6.
De acuerdo a la regla de decisión se seleccióna la alternativa A por que VPCA < VPCB
EJERCICIOS
4-1 Calcular el Valor Actual y la TIR del siguiente flujo de fondos y explique los resultados hallados.
AÑOS 0 1 2 3 4 5FLUJO
DE FONDOS
(8 000) (1 600) (0.88) 4 000 5 000 6 000
Considere un costo de oportunidad del capital del 12%SOLUCION:a. Cálculo del VA
VA = 0.00b. Cálculo de la TIR
TIR = 12%De acuerdo a los resultados VA=0 y TIR = ik, el proyecto se
posterga.
4-2 Una compañía petrolera tiene que comprar un nuevo equipo de perforación. Uno de los equipos, el A, cuesta únicamente $ 60 000, pero necesita energía eléctrica para su operación, para lo cual habría que tener una línea eléctrica. Se estima que esta línea costaría $ 5 000 al año durante los 15 años de vida estimada del equipo de perforación. El costo de energía sería de $ 18 000 al año, el de mantenimiento de $ 2 000 y el de mano de obra de $ 25 000 anualmente.Una unidad de perforación, B, que utiliza diesel, tiene un costo de $ 85 000 y una vida estimada de 10 años. Los costos por combustible se estima en $ 12 000 al año, los de mantenimiento en $ 3 500 y los de mano de obra en $ 27 000. Los impuestos y el seguro para cualquier equipo se elevarían anualmente a un 2% de su costo inicial. El capital ha estado redituando en promedio un 10% anual. ¿Qué equipo recomendaría usted?. SOLUCION:Cálculo de los costos equivalentes anuales para vidas desiguales:Como el equipo A tiene una vida de 15 años y el CEA se va a calcular solamente para 10 años, entonces existe un valor residual(valor en libros después de 10 años)
VL10 = VI - DN = 60 000- = $ 20 000
Costo anual total(A) = 5 000 + 18 000 + 2 000 + 25 000 + 0.02*60 000 = $51 200
Costo anual total de(B) = 12 000 + 3 500 + 27 000 + 0.02*85 000 = $ 44 200
Comparando los resultados: CEAA > CEAB, por lo tanto se selecciona el equipo de perforación B.
4-3 Considere los proyectos A y B que son alternativos. Por ejemplo, A consiste en un túnel subfluvial y B se refiere a un puente en la misma ubicación. El flujo de costos y utilidades es como sigue:Proyecto A - $ 320 000 + $ 64 000 + $ 64 000 + $ 64 000... a
perpetuidadProyecto B - $ 2 000 000 + $ 240 000 + $ 240 000 + $ 240
000... a perpetuidad El costo de oportunidad del capital es el 8%Se pide:Decidir cuál de los dos proyectos deben ser ejecutados.
SOLUCION:Calculamos primero las TIR, teniendo en cuenta que se trata de rentas perpetuas (n=∞).Proyecto A:
TIRA = 20%
Proyecto B:
TIRB = 12%
Considerando la tasa interna de retorno pareciera que el proyecto A es superior al proyecto B. Pero veamos ahora que ocurre con el valor actual.Proyecto A:VAA = -PA + RA/ iVA A = -320 000 + 64 000/0.08 = $ 480 000Proyecto B:VAB = -2 000 000 + 240 000/0.08 = $ 1 000 000Desde este punto de vista se prefiere el proyecto B, y ésta es la decisión correcta pese que A tiene una TIR superior y una razón(beneficio-costo) también superior.
BIBLIOGRAFIA
1. BOLTEN E., Steven, “ Administración Financiera”, Edit. LIMUSA,
México, 1992
2. DE GARMO, Paul y Canadá, Johon, "Ingeniería Económica", Edit
CECSA, México, 1978.
3. GALLEGOS CERVANTES, Raúl, “Formulación y Evaluación de
Proyectos de Inversión, Edit. McGRAW-HILL, 1998.
4. RIGGS L., James, "Ingeniería Económica", Edit. Representaciones
y Servicios de Ingeniería, México, 1982.
5. THUESEN, H.G. y otros, "Economía del Proyecto en Ingeniería",
Edit. PHI, España, 1974.
ANEXO
1. CALCULO DE LA INFLACIÓNPara calcular la inflación es necesario conocer el Indice de Precio al Consumidor(IPC), dichos datos son proporcionados por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI).Ejemplo:Calcular la inflación anual para 1987IPC anual promedio de 1986 =
9 551.14IPC anual promedio de 1987 =
17 750.44
2. EVOLUCION DE LA INFLACION 1980 - 1999
AÑO INFLACION
AÑO INFLACION
1980198119821983198419851986198719881989
80.872.772.9
126.1111.6168.3
62.9114.5
1 722.3
2 776.3
1990199119921993199419951996199719981999
7,649.6
139.258.739.515.410.211.8
6.56.03.7