JUNIO 04/05: P-1

Zninzeeew

senyee

iyeeee

shzw

zzz

xxxxzz

,10

2cos

222

zshxf log)(

2

7arg

2

3,0/

wwCwD

0cos2

)Re( yee

wxx

Znnyy

x

;2

)12(0cos

0

Re(w)

Im(w)

2

3

zshxf log)( a) Determinar la región del plano complejo en la que la función es analítica. Considérese la determinación del logaritmo correspondiente al ángulo

determinación 2

3

Znnynsenysenyee

wxx

;2)12(002

)Im(

0,0 senyx0

;2)12(

x

Znnyn

0,0cos, senyyRxRx

Znny

;2

)14(

Znnynynxinz

f

;2

)14(2)12(,0

:que talesyixz puntos de conjunto elen excepto C,en analítica es

i

i

i2

0

22:4

2

2

1

82)(

zC

zz

zzf

Re(z)2 4

)(4 traslaciónzZ

Re(Z)2 4 6 8

26 Z

22 z

82)(

z

zzf

b) Determinar la imagen de la región , al considerar la función

16

1

16

316

1)

16

3(0112)(32

03212)(26

0)(0)(

1

22222

22

2222

w

vuuvu

XYXZ

acvbuvuddcYbXYXa

Zw

Re(w)3/16 1/4

16

1

16

3w

8

1

8

3

)homotecia(2

W

wW

Re(W)3/8 1/2

8

1

8

3

)180º de giro(

Z

WeWZ i

Re(Z)-3/8-1/2

8

1

8

1

)(2

1

w

traslaciónZw

Re(Z)1/41/8

)3(

1)(

2

zzzf

c) Dada la función f(z), obtener la serie de Laurent en torno a cada uno de sus puntos singulares. A la vista del desarrollo, clasificar las singularidades.

Puntos singularesz0 = 0z0 = 3

0 1

00

0 0)(

)()(n n

nnn

n Rzzzz

bzzazf

1

112

00

)1(1

1

)1(

1

;)1(1

1 ;

1

1

:1 Para

n

nn

n

nn

n

n

nwww

ww

ww

w

z0 = 0

2

2

02

01

0

31

31

33

1

3

11)(

3

1

33

1

31

31

3

1

:3013

0 Si

zz

z

zzzf

zz

zz

zz

nn

n

n

nn

n

n

Polo doble

03

z0 = 3

0

21

32

1

11

2222

33

1)3)(2()1(

3

11

3

1)(

3

3)1(

3

1

33

1

1

3

11

:33013

30 Si

n

nn

nn

zzn

zzzf

zn

zz

zz

Polo simple

03

d) Obtener la solución de la integral

donde , orientado en sentido positivo.

C

dziziziz

22

)(312

)(

6

4: izC

Re(z)i4f analítica dentro y sobre C, excepto en el punto singular aislado z0=i

2

2

0

6231

a en torno f deLaurent de Desarrollo

izizizzf

iz

2),Res( 0 izf

iizfidzzfC

4),Res(2)( 0

e) Obtener la solución de la integral

donde , orientado en sentido positivo. Considérese que n es un entero positivo y

C

n

dzzz

z2)cos(21

2: zC

0

)Res(f,)Res(f,2

en contenidas ,21

cos1coscos

0)cos(21 :f de adesSingularid

)cos(21)(

21

2121

2

2

2

zziI

Czzzz

isenz

zz

zz

zzf

n

i

i

ez

ez

2

1

2

2: zC

iez 1

iez 2

ii

in

i

i

n

ee

e

ezez

z

zf

)zRes(f,)( 1

ii

in

i

i

n

ee

e

ezez

z

zf

)zRes(f,)( 2

0 , ; )(

22 nsen

nseni

ee

eeiI

ii

inin

SEPTIEMBRE 02/03: P-1

1. Calcular la integral

Donde C es el arco de circunferencia , orientado positivamente.

C

dzzzz 2

))arg(0( ,1 zz

3

8

3

1

1

1

0

3

0 0

322

ii

iiii

C

i

ee

deeideiedzzzz

ezz

2. Haciendo uso de la teoría de residuos, calcular la integral

donde C es la circunferencia , orientada positivamente.2z

C

dzz

senz

1

1

1

0y 1 :2en singulares Puntos zzz

)1(1

1

1Res

1sen

zsen

zz

z=1 : polo simple :

z=0 :

...1

...!5

1

!3

11

...1

!5

11

!3

11...1

1

1

11

1

1)(

33

22

532

z

c

z

c

z

zzzzz

zsen

zzsen

zzf

01121

1

1

sensenidzz

senzC

)1(...!5

1

!3

11Res

0sen

z

Luego es:

Y entonces:

3. Calcular la integral ,donde C es la

circunferencia orientada positivamente, utilizando el concepto de residuo en el infinito.

C

dzzz

z4332

17

32

3z

iI

zf

zzzz

zz

z

z

zz

zzz

fz

zf

ziI

z

z

2

111

Res 3121

11

3121

1

31

21

1111

11Res2

204332

4332

18

194

3

3

2

17

22

20

4. Obtener el número de raíces de la ecuacióndonde , en el círculo

02 zaez10 ea 1z

raíces 2

1en )( que ceros de número mismo el tiene0z

:Rouché de Teorema elPor

1 si )()(

1)(

1)(

:1En

)(

)(

22

2

2

z zzfae

zzgzf

aeaeeaaezg

zzf

z

aezg

zzf

z

xzz

z

11 x1 ea

5. Hallar el residuo logarítmico de la función

respecto a la circunferencia

z

zzf

2cos1

1)(

2

z

z

pNNdzzf

zf

i 0)(

)(

2

1

Ceros de f(z): 01 2ziz

iz

2

12 ceros simples

Polos de f(z):

3;2;1;0;1;2;3

:nciacircunfere la a Interiores

; 12cos

02cos1

7654321

zzzzzzz

kkzz

z

k

042cos1

02cos1

02cos1

:que ya ,)2cos(1

de dobles cerosser por f de dobles polosson Todos

2

k

k

z

z

k

z

z

z

z

12272)(

)(

2

1

:Entonces

z

dzzf

zf

i

JUNIO 02/03: P-1

1. Estudiar la derivabilidad de la funcióny en caso afirmativo hallar la derivada.

21)( z

zzf

2222

222

)(yx

yi

yx

yxxzf

u iv

02

02

222

222

yxyx

v

y

u

yxxy

v

x

u

se cumplen las ECR sólo en x=0, y=0

C

zderivable no f(z)

0y 0, xpara definidasestán no y)y v(x, y)u(x, Pero

2. Demostrar la expresión

y calcular todos los valores posibles de .

iz

iz

izarctg

1

1log

2

1)(

3arctg

iz

iz

izarctgw

iz

iziw

iz

ize

eeizeeeei

ee

w

wsenwtgz

iw

iwiwiwiwiwiw

iwiw

1

1log

2

1)(

1

1log2

1

1

)cos(

)()(

2

)(

32

3

21ln

2

1

2

3

2

1log

2

1

4

322log

2

1

31

31log

2

13

k

kkii

i

i

i

ii

i

iarctg

3. Calcular

donde C es la circunferencia con sentido positivo.

C

z

dziz

e32

3z

i

C

zi

iz

Cn

n

C

z

ieIi

Idz

iz

e

ie

ezfezfiz

siendo

dzzz

zf

i

nzf

dziz

eI

23

2

200

10

0)(

3

22

!2

)()(;2

:

, )(

2

!

2

dzzz 22

z

1

e4. Calcular ,donde γ es el contorno

indicado en la figura.-1

01

ezz

ef

fffidzzz

z

z

z

doblepoloz

simplespolosz

z

z

2

1

11,Res

1,Res0,Res21,Res21

e

11

20

11

:simples cerrados contornos de Número

0

1

:aislados singulares Puntos

1

2

22

z

)1(222

22

12

1

e

11

21

10,Res

211,Res

22

z

0

22

2

0

2

1

2

chie

eidz

zz

z

zze

z

ef

e

zz

ef

z

z

z

z

z

z

5. Calcular utilizando la teoría de residuos.

0 22 41

)log(dx

xx

x

i

i

iii

iizf

ii

i

iii

iizf

ii

i

iii

iizf

iziziziz

z

zz

zzf

122

2log

43

2log2),(Res

24

9

62

3

)3()2(

log),(Res

2462

3)(2

log),(Res

22

log

41

log)(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

6

2log),(ResRe

2

1

122

32log

)4()()3(

2log2),(Res

4

1

2

2

k

kzzfI

i

i

iii

iizf

SEPTIEMBRE 01/02: P-2

1. Obtener los puntos del plano complejo donde la función

es diferenciable. Calcular su derivada.)Re()( zzzf

yix

yxyxxyixxx

yix

xiyxxxyyixx

z

zzzzzz

z

zfzzf

lím

lím

límlím

z

z

zz

2

ReRe

2

0

0

00

0)0(

0ReRe00

:0z Si

000

f

zz

zz

z

fzflímlímlím

zzz

21

21

000

0

2

00

ImIm

ReRe

:0

22

2

:0

:0z Si

xxy

yxi

z

zfzzf

yiz

iyxiyxx

x

xiyxxx

z

zfzzf

ixz

límlímlím

lím

límlím

yyz

x

xz

z=0

0z puntos losen blediferencia es no f(z)

2. Obtener los puntos del plano complejo donde la función es analítica. Considerar la determinación principal.21

1)(

zzf

020)Im(

1010)Re(

211

)(y 0

que tales1 puntos los en todos analítica es )(

1

2222

222

2

)1(2

12

12

2

xyw

yxyxw

xyiyxzw

wArg-πw

zwzf

ezzLog

0

0

y

x

1 ó 110

102

2

xxxy

imposibleyx

Im(z)

Re(z)-1 1

(Re(z)<-1) y (Re(z)>1) Im(z)=0

Zonas de no analiticidad – plano zZonas de no analiticidad – plano w

Re(w)

Im(w)

Re(w)<0Im(w)=0

3. Calcular la integral

donde el contorno C es la circunferencia orientada de forma positiva.

dzz

zLogz

i C

1

1

2

1 2

2z

0020)Im(

110)Re(

:principalión determinac la estudia Se

1

11)Im(;

1

11)Re(

1

11

1

1

1

1

1

1

:logaritmofunción laen Problemas

2

2222

2

22

2

1

yyw

yxxw

yx

xyxyw

yx

yxxw

yx

iyxiyx

iyx

iyxw

z

z

z

z

0

11

y

x

2

2: zC

-1 1

Segmento donde f(z) no es analítica

zLogzLogz

z

zLog

zz

zLogzzz

fz

zF

zz

fz

dzz

zLogz

iI

C

111

1

11

11

111111)(

0;11

Res1

1

2

1

:infinito elen residuo de

concepto el aplicamosanalítica) es C de (fuera

C de dentro singulares puntos de infinito conjuntoun

4

4

2

22

22

...!3

2

!21

2)0(1

2)(

1)0(1

1)(

1)0(1

1)(

;0)0(

1 )(

:0en 1 dey 1 de serieen sdesarrollo los Obtengamos

32

3

2

0

zzzzLog

gz

zg

gz

zg

gz

zg

g

zLogzg

zzLogzLog

...!3

2

!21

2)0(1

2)(

1)0(1

1)(

1)0(1

1)(

;0)0(

1 )(

32

3

2

zzzzLog

hz

zh

hz

zh

hz

zh

h

zLogzh

3

2

3

2

!3

40);(Res

...!342

...!3

2

!2...

!3

2

!2

1)(

3

3232

4

IzzF

zz

zzz

zzz

zzF

4. Calcular la siguiente integral definida utilizando la teoría de residuos:

2

0 cos2

1d

3

2

32

11),(Res

),(Res22

de dentro está sólo

simples polos ,1

14

1)(

32;32 :rdenominado elen Ceros

14

2

1121

2

12

1

2cos

)20(1:

211

11

2121

2

21

2

Izz

zf

zfii

ICz

zzzzzzzz

zf

zz

zz

dz

iz

dz

zz

iI

izddz

zzee

ezzC

CC

ii

i

5. Hallar el residuo de una función compuesta en el punto donde se verifican las siguientes condiciones:

zf az

B. es residuosu y )(

punto elen orden primer de poloun tieneffunción La

0)(y en analítica es )(

a

aazz

(2) ...!2

...!2!1

:Taylor de desarrolloen analítica

2

aza

aazaz

aza

aza

az

az

Ba

af

Expresamos la segunda condición

(1)

az

zzf

:(1)en (3)y (2) doReemplazan

(3) ...!1

:Taylor de desarrollo(1))(por en analítica

azaa

az

az

B

a

Bazzf

aza

aaz

azaaB

az

zzf

;)(Res

...!2

...

JUNIO 01/02: P-3

1. Hallar el residuo logarítmico de la función compleja

respecto del contornochzzf )(

8z

8

0

2

8

0

6)(

)(

2

1

63,2,1,0

:a ientescorrespond ceros los encuentran se 8En

;2

121202

)1log(2100

:8en )( de ceros los Calculamos

0enterafunción una es )(

)(

)(

2

1

z

k

zzz

p

z

p

dzzf

zf

i

Nk

z

kki

zkiz

zeeechz

zzf

Nchzzf

NNdzzf

zf

i

2. Determinar el número de ceros con sus multiplicidades que tiene el polinomio complejo en el disco anular

1283 3569 zzzz21 z

ceros 36-9 tienese 21en Por tanto,

7123

88

:1z disco elEn

561128

15363

:2z disco elEn

359

6

356

9

z

zzz

z

zzz

z2zen ceros 9

1zen ceros 6

Rouché de Teorema