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LA DIDÁCTICA DE LA FÍSICA CUÁNTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Y
LA CONSTRUCCIÓN DE PENSAMIENTO TEÓRICO
Alberto Stefanel, Marisa Michelini
Grupo de Investigación en Didactica de la Fisica
Universidad de Udine, Italia
ABSTRACT
La meccanica quantistica costituisce il nuovo paradigma con cui si studia il mondo
microscopico. Per introdurre nella scuola secondaria i suoi aspetti metodologici fondanti,
come contributo alla formazione culturale del cittadino medio, diverse ricerche si sono
rivolte all'approccio formale alla Dirac, che avvia direttamente ai concetti nodali della
teoria e in particolare al principio di sovrapposizione. In questo filone è stata messa a punto
una proposta didattica che introduce immediatamente alle idee che costituiscono “il modo
di pensare quantistico”, in una palestra concettuale, in cui si esplorano esperimenti ideali di
ottica fisica relativi all‟interazione di fotoni con polaroid e cristalli birifrangenti. Si passa,
per successivi gradi di formalizzazione, da una rappresentazione iconografica di proprietà
dei fotoni che ne caratterizzano lo stato, ad una in cui si formalizza lo stato dei fotoni con
un vettore e le osservabili fisiche con operatori lineari.
Sperimentazioni in classe hanno indicato, che la transizione da concezioni e idee classiche,
a quelle quantistiche avviene quando si è guadagnata padronanza della fenomelogia a
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partire dal coivokgemento diretto nella conduzione di esperimenti reali e si è riconosciuto
per esplorazione concettuale diretta, che non è possibile descrivere tutta la fenomenologia
con ipotesi teoriche che implicano elementi di realismo locale.
RESUMEN
La mecánica cuántica juega el papel de nuevo paradigma en la descripción científica del
mundo microscópico. Para introducir en la escuela secundaria sus aspectos metodológicos
fundantes, como contribución a la formación cultural del ciudadano común, diferentes
investigaciones están dirigidas al enfoque formal de Dirac, que empieza por los conceptos
fundamentales de la teoría, en particular, el principio de superposición de estados. Dentro
de esta corriente, hemos desarrollado una propuesta didáctica para introducir
inmediatamente la modalidad mecánico-cuántica de pensar. Trabajamos en laboratorios de
experimentos ideales de óptica física: exploración de fotones que interactúan con filtros
Polaroid y cristales birrefringentes (espato de Islandia). En grados sucesivos de
formalización, se pasa de una representación iconográfica de las propiedades de los fotones
que caracterizan su estado a la representación formalizada de los estados de los fotones a
través de vectores y de los observables físicos por medio de operadores lineales. De las
experiencias en la escuela, resulta que la transición desde concepciones e ideas clásicas a
concepciones e ideas cuánticas necesita del conocimiento directo de la fenomenología
construido sobre la participación personal en experimentos realmente efectuados. Resulta
también que no es posible describir toda la fenomenología por medio de conjeturas que
implican elementos de realidad local en la descripción de un sistema cuántico.
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Introduzione
La meccanica quantistica costituisce uno tra i contributi culturali più significativi, che la
scienza ha prodotto nel XX secolo, sia per il ruolo che riveste nell'attuale descrizione del
mondo microscopico, sia per il modo di pensare che introduce un nuovo paradigma per il
pensiero teoretico. È culturalmente irrinunciabile pertanto, che i suoi aspetti metodologici
fondanti entrino a far parte in modo non marginale della formazione dei cittadini di media
cultura (Ghirardi, 1997; Pospiech, 1999; Hadzidaki et al., 2000; Zollman 2000). Alcune
considerazioni ne sottolineano i motivi.
Si caratterizza come teoria compatta, che si discosta in modo drastico dalla fisica classica
per molti aspetti: i principi su cui si fonda, la logica sottesa, il formalismo messo in gioco
ed il ruolo ad esso attribuito, le grandezze fisiche coinvolte (Dirac, 1958; D‟Espagnat,
1976; Sakurai, 1985; Ghirardi, 1997). Sarebbe un grave errore ridurla sul piano didattico ad
una evoluzione dalla “fisica dei quanti”, sviluppata nei primi venti anni del „900. Pur
inglobandone i risultati la meccanica quantistica la supera e rende obsoleta, fondando un
nuovo modo di pensare organico (Bellone, 1990; Fishler, 2000; Pospiech, 2000).
Le sue caratteristiche concettuali, le principali idee e le conseguenze che ne derivano
emergono in modo chiaro considerando quegli aspetti, che non hanno corrispettivo classico,
come ad esempio lo spin, per il quale non esiste una corrispondente osservabile classica
(Baym, 1969; Feynman, 1985; Sakurai, 1985; Bell, 1987; Levy Leblond, Balibar, 1990).
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Gli elementi di continuità tra fisica classica e fisica quantistica, che pure esistono e trovano
sintesi formale nel principio di corrispondenza e nel teorema di Ehrenfest per i valori medi,
non hanno valore fondate, ma solo quello di principi euristici. Si possono riguardare come
sistemi di controllo: garanzie e vincoli a cui deve soddisfare la teoria quantistica per fornire
(e fornisce) risposte analoghe a quelle della fisica classica in ben definiti contesti, visto che
è “impossibile descrivere rigorosamente in termini strettamente classici l‟evoluzione
temporale di grandezze quantizzate” (Messiah, 1961).
Dopo oltre 70 anni dalla sua formulazione e dal suo impiego sempre più vasto nella ricerca
scientifica, solo negli ultimi due decenni si è cominciata ad introdurre la fisica quantistica
nell'insegnamento secondario1 (Phys. Educ., 2000; Zollman, 2000; Am. J. Phys., 2002),
benché alcune buone sperimentazioni parziali abbiano precorso i tempi (Boffi e D‟Anna,
1996; Lawrence, 1996; Stefanel, 1996; Giliberti e Marioni, 1997; Niedderer e Deylitz,
2000).
Il quadro che emerge dalla letteratura in merito all'impostazione è estremamente
diversificato nei modi, nei piani di analisi e nei contenuti. Le inevitabili difficoltà sul piano
concettuale e su quello formale, necessarie per rendere conto del profondo cambiamento
con cui viene interpretata la fenomenologia, hanno determinato la rinuncia alla
completezza, a favore della trattazione di selezionati aspetti che caratterizzano la nuova
1 Qui come nel seguito, quando si parla di Scuola Superiore Superiore (SSS) si fa riferimento al livello pre-
universitario di studi, per studenti di 16-19 anni di età.
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meccanica, scelti, tuttavia, in base a non condivisi criteri di importanza e novità che essi
introducono (Phys. Educ., 2000; Zollman, 2000; Greca e Moriera, 2001; Am. J. Phys.,
2002).
Il nostro lavoro ha avuto come riferimento l'impostazione tracciata da Dirac (1958). Viene
qui collocata nel panorama della ricerche sull‟insegnamento della meccanica quantistica
nella scuola secondaria e presentata nelle sue linee principali. Un sintetico riepilogo dei
risultati delle sperimentazioni effettuate fino ad ora fornisce una quadro delle sue
potenzialità e dei suoi limiti.
Diversi approcci didattici
L‟insegnamento della fisica dell‟ultimo secolo, è previsto da almeno due decenni nei
curricula delle scuole superiori di molti paesi2. Nonostante questo, non è maturata alcuna
tradizione di insegnamento in questo ambito. Molti lavori di ricerca sono stati fatti in
materia, ma non esiste a tutt‟oggi un‟opinione condivisa quanto ad aspetti da trattare e
impostazione da adottare (Phys. Educ., 2000; Greca e Moreira, 2001; Am. J. Phys., 2002).
Diverse scelte di quali temi considerare irrinunciabili e di quale formalismo adottare, che si
intrecciano spesso con divergenze di carattere epistemologico, hanno prodotto un ventaglio
di proposte per l‟insegnamento della MQ, che sono quasi più numerose di quante se ne
trovino per la fisica classica (Cataloglu e Robinett, 2002).
2 Per un panorama in particolare sui curricula dei paesi europei e degli Statu Uniti:
http://teachers.web.cern.ch/teachers/archiv/HST2001/syllabus/syllabus.htm
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La più diffusa, probabilmente mediata da approcci divulgativi, prevede l'introduzione della
quantizzazione delle principali grandezze descrittive degli stati stazionari dei sistemi
microscopici, mediante un'analisi dei problemi irrisolti, degli esperimenti o degli aspetti
classicamente non spiegabili, come ad esempio lo spettro del corpo nero, l‟effetto
fotoelettrico, l‟effetto Compton, l‟esperimento di Franck e Hertz3 (Born, 1953).
Consiste, in breve, nella ricostruzione razionale, spesso in chiave storica, delle idee, che
hanno portato alla cosiddetta fisica dei quanti. È bene rappresentata da quei testi
universitari che la utilizzano come introduzione alla trattazione rigorosa della teoria
quantistica (Born, 1953; Messiah, 1961) e da alcune proposte di ricerca anche recenti
(Stefanel, 1996; Giliberti, Marioni, 1997; Stavrou et al., 1999; Hadzidaki et al., 2000).
Trova traduzione didattica in molti libri di testo per le scuole superiori, in cui: la trattazione
è prevalentemente di tipo narrativo, agli elementi quantistici di volta in volta introdotti si
attribuisce solo carattere di ipotesi ad hoc, rinunciando a priori a darne motivazione per le
richiamate difficoltà formali; gli esiti degli esperimenti cruciali sono in genere proposti in
modo dichiarativo e assertivo come conferme a posteriori delle ipotesi formulate e non
discussi sulla base di un'analisi dati.
Ha valenze sul piano culturale e motivazionale, ma anche limiti contingenti difficilmente
3 Per una presentazione degli esperimenti cruciali si possono vedere i siti qui citati con: URDF 2002, dove
sono reperibili i materiali sviluppati a Udine sulla fisica quantistica; PERG 2004, dove sono reperibili i
materiali realizzati presso l'Università del Kansas.
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superabili legati da un lato alle difficoltà formali, per una sua proposta rigorosa, dall'altro
all'eccessivo tempo, necessario per integrarla con una presentazione delle principali idee e
di essenziali aspetti formali su cui si fonda la meccanica quantistica moderna (Stefanel
1996; Giliberti, Marioni, 1997; Olsen, 2001). Tale integrazione non risolve comunque il
nodo della incoerenza intrinseca ed estrinseca della fisica dei quanti. Essa è essenzialmente
basata sulla regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld per le variabili cicliche di un
sistema, estranea sia alla fisica classica, all'interno della quale comunque viene utilizzata
per selezionare le orbite possibili del sistema stesso, sia alla fisica quantistica, in cui non
trova posto se non come esito del calcolo del valore di aspettazione di misure di
localizzazione del sistema.
Diversi ricercatori, anche per superare i limiti indicati di un approccio alla fisica dei quanti,
hanno utilizzato un approccio ondulatorio. Le proposte sviluppate sono incentrate sul
concetto di funzione d‟onda come descrittore dello stato di un sistema, introdotta per lo più
in modo assiomatico. Hanno il duplice scopo di far riconoscere da un lato alcuni elementi
peculiari della fisica quantistica, come l'indeterminismo, la incompatibilità di alcune
grandezze (Haber-Shaum, 1975; Giliberti, Marioni 1997; Dobson et al., 2000), dall‟altro le
potenzialtà esplicative della nuova meccanica, in particolare in relazione alla struttura
atomica (Lawrence, 1996; Loria et al., 1979). Utilizzano quindi un formalismo, quello
dell‟analisi matematica, che ha almeno sulla carta una base familiare agli studenti di SSS.
Di fatto anche in questo caso, come nel precedente, il superamento di una trattazione
qualitativa o semiqualitativa richiede, anche per gli aspetti più semplici, l‟impiego di
strumenti formali, difficilmente gestibili dai ragazzi.
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Solo recentemente il computer ha permesso di superare, in gran parte le difficoltà formali
nella gestione operativa della funzione d'onda, lasciando aperto tuttavia il nodo di come
costruirla in termini di descrittore dello stato di un sistema quantistico (Bao et al., 1998).
Per il livello dei college statunitensi, sono state proposte strategie mirate a recuperare
l‟intuito nella comprensione dei fatti quantistici, attraverso l'utilizzo di applet che
permettono la rappresentazione della funzione d'onda e delle grandezze ad essa correlate,
rendendo esplicito come essa dipende e si modifica in relazione ai parametri del sistema di
cui essa descrive lo stato (Cataloglu e Robinett, 2002; UMPERG, 2003; Bao e Redish,
2002).
Una proposta con un approccio non formale alla fisica quantistica nella scuola superiore,
che fa riferimento comunque all‟approccio ondulatorio, utilizza applet di simulazioni
disponibili in rete per visualizzare aspetti sperimentali e concetti (Zollman et al., 2002;
PERG, 2004). Essa si qualifica per la struttura modulare, che permette di utilizzare i singoli
applet, proposti come pacchetti autosufficienti, in contesti differenziati, inserendoli in
percorsi basati su impostazioni anche profondamente differenti. Nello stesso filone si
collocano numerose proposte di visualizzazione della fisica quantistica e in particolare dei
modelli atomici che possono essere ora raffigurati con strumenti informatici. Recenti studi
hanno evidenziato numerose difficoltà di studenti nel collegare concetti quantistici e tali
rappresentazioni (Dimopoulos e Kalkanis, 2005). Un'interessante proposta è quella
sviluppata dal gruppo di Karlsruhe, in cui l'atomo quantistico viene rappresentato con il
modello a densità di carica o a densità di corrente elettrica. È un modello dinamico che si
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caratterizza per la possibilità di visualizzare in tre dimensioni il modello di atomo
quantistico quando si trova in stati stazionari e quando transisce tra due di detti stati.
(Hermann, 2004; Kahrlsruhe, 2002).
Anche se con caratteristiche molto diverse si possono collocare qui anche gli approcci
qualitativi alla fisica quantistica, come quelli che propongono semplici attività sperimentali
per il grande pubblico (Johansson e Nilsson, 2000).
Le nuove opportunità offerte dal computer hanno consentito anche di superare le notevoli
difficoltà formali di un approccio didattico alla teoria quantistica basata sul metodo della
somma sui cammini alla Feynman, valorizzandone al tempo stesso gli aspetti più intuitivi
(Taylor et al., 1998). Uno dei punti di forza di tale approccio, risiede nella possibilità di
determinare l‟evoluzione temporale della funzione d‟onda in modo semplice, almeno nelle
situazioni in cui si trattano sistemi liberi. I due seguenti nodi richiedono, invece, ancora un
approfondito lavoro di ricerca.
In primo luogo, l‟approccio alle “regole” del metodo, che viene in genere impiegato
(Lawrence, 1996; Fabri, 1996; Taylor et al., 1998) e che Feynman stesso aveva
originariamente adottato nelle sue opere divulgative (Feynman, 1985), è di tipo
assiomatico. Si consente in questo modo un raccordo solo a posteriori con i fatti e la realtà,
impedendo la possibilità di costruire per gradi i concetti.
In secondo luogo, con il metodo di Feynman si determina l‟evoluzione temporale di una
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particella quantistica, quando per esempio viene emessa in un punto A e rivelata in un altro
punto B, determinando la funzione d‟onda che la rappresenta, come somma dei contributi
associati a tutti i possibili cammini (classici), che il sistema stesso potrebbe impiegare per
portarsi da A a B. In questo modo, partendo dalle possibili traiettorie classiche percorribili,
si fonda l'impossibilità di associare una traiettoria ad una particella quantistica, fatto
implicito nel concetto stesso di funzione d'onda. Pur essendo questo un circolo solo
apparentemente vizioso dal punto di vista concettuale, fa emergere comunque un serio
problema metodologico-didattico (Ghirardi, 2000).
Un ulteriore filone, emerso dalla ricerca didattica, comprende proposte sull‟insegnamento
della fisica quantistica nella SSS con un‟impostazione alla Dirac, basate sulla descrizione
vettoriale (astratta) degli stati quantistici, imperniate sulla discussione del principio di
sovrapposizione lineare quantistico, come principio fondante della nuova teoria e quindi
contenuto irrinunciabile ad ogni livello. Tali proposte mirano a fornire i contenuti culturali
della teoria quantistica, mostrandone le potenzialità nell‟unificare la visione dei fenomeni
microscopici, puntando l‟attenzione sul ruolo giocato dal formalismo nell‟attribuire
significato agli enti fisici. In genere analizzano specifiche situazioni come quelle offerte
dall‟ottica fisica, con l‟utilizzo di minimi apparati matematici acccessibili a studenti della
scuola superiore, in grado tuttavia di far apprezzare novità e aspetti peculiari della teoria
quantistica (French, 1975; Toraldo di Francia, 1975; Ghirardi et al., 1995, 1996, 1997;
Pospiech, 1999, 2000; Dobson et al., 2000; Holbrow et al., 2002; Schneider e LaPuma,
2002).
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Il nostro lavoro di ricerca sull'introduzione della fisica quantistica nella scuola secondaria fa
riferimento a tale impostazione e si inserisce in questo filone.
Le idee degli studenti: tra fisica classica e fisica quantisica
Le ricerche sui problemi di apprendimento della meccanica quantistica sono state
sviluppate solo di recente con una certa sistematicità (McDermott e Redish, 1999; Greca e
Moreira, 2001).
Ne emerge un quadro abbastanza ampio su come gli studenti universitari apprendono i
concetti e il formalismo della meccanica quantistica (Johnston et al., 1998; Steiberg et al.,
2000; Singh, 2001; Bao e Redish, 2002; Cataloglu e Robinett, 2002). Qui si fa riferimento
solo agli aspetti relativi al concetto di stato quantico e alla relazione tra fisica classica e
quantistica.
Vi sono indicazioni in merito alle difficoltà a distinguere tra lo stato di un sistema, le
proprietà che lo caratterizzano, la sua rappresentazione formale (Singh, 2001). Il significato
fisico di tale rappresentazione costituisce un ulteriore problema frequentemente rilevato in
letteratura sotto diverse forme. Per esempio gli studenti attribuiscono indifferentemente alla
funzione d'onda il significato di ampiezza di probabilità, probabilità, distribuzione di
probabilità (Bao et al., 1998; Rebello e Zollman, 2000; Singh, 2001). Se la immaginano
come un ente fisico che vive in uno spazio reale, non la identificano chiaramente con un
ente formale definito in uno spazio astratto (Niedderer e Deylitz, 2000; Steinberg et al.,
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2000). Hanno difficoltà nel capire come evolva nel tempo, sia quando non vengono
effettuate misure, sia quando in seguito ad un processo di misura collassa su un ben definito
stato. Ad esempio il collasso della funzione d‟onda viene associato a volte alla sparizione
(annichilazione?) del sistema (Cabral, 2004).
Per quel che riguarda i ragazzi della scuola superiore i risultati sono meno dettagliati, e per
lo più legati a elementi di contesto, in quanto le poche indagini svolte mirano più a
confrontare l'impatto sugli studenti delle scelte di impostazione e strategia adottate, con
quello di un non meglio definito standard della didattica tradizionale (Zollman, 2000).
In particolare le ricerche in cui si adotta una linea di continuità tra fisica classica e fisica
quantistica, non hanno chiarito quali idee vengano generate negli studenti quando si
accostano concetti che sono irrimediabilmente inconciliabili come quelli classici e
quantistici; se un tale accostamento, consenta poi di riconoscere le differenze e i concetti
peculiarmente non classici dei sistemi quantistici. Hanno invece messo in evidenza quelle
difficoltà di apprendimento che si manifestano nella interpretazione di una situazione
quantistica, in conseguenza di difficoltà relative alla comprensione dell‟analoga situazione
classica. Ne sono esempi le indagini sulle difficoltà nell'utilizzo del concetto di energia, a
causa della mancata comprensione del concetto di conservazione di energia in fisica
classica, o quelle che evidenziano una forte correlazione tra le difficoltà a determinare le
regioni di maggiore probabilità di localizzazione di un sistema quantistico e dell'analogo
classico (oscillatore armonico) (Bao et al., 1998; Rebello e Zollman, 2000; Steinberg et al.,
2000; Bao e Redish, 2002; Cataloglu e Robinett, 2002).
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D‟altro canto, le positive valutazioni sull‟acquisizione di concetti come la
complementarietà, il principio di sovrapposizione, il concetto di stato, emerse in relazione
all‟impatto di proposte che puntano sugli elementi di rottura tra fisica classica e quantistica,
non sono ancora supportate da un numero sufficiente di sperimentazioni per capire se esse
siano effettivamente generalizzabili (Stefanel, 2001; Fishler, 2000; Pospiech, 2000a;
Michelini et al., 2001).
Pochi elementi emergono inoltre sulla natura strutturale dei problemi di apprendimento
rilevati e su come le concezioni quantistiche si strutturano in relazione a quelle classiche.
Il retroterra di conoscenze e soprattutto concettuale (background), con cui i ragazzi
affrontano idee o contesti quantistici, così come emerge in modo più o meno indiretto dagli
esiti di ricerca, può essere in breve sintetizzato nei seguenti punti.
- Conoscenza. Gli studenti manifestano uno conoscenza di concetti e contenuti: non
sistematica, non organica e non generalizzata di alcuni dei fenomeni non interpretabili
in termini unicamente classici (Olsen, 2001; Kalkanis et al., 2003); scarsa o nulla in
merito alla portata culturale della teoria e di quali sono i suoi concetti cardine
(Pospiech, 2000a; Müller e Wiesner, 2002); manualesca del modello di Bohr e a volte
del concetto di orbitale (Giliberti e Marioni, 1997; Rebello e Zollman, 2000; Müller e
Wiesner, 2000; Fischler, 2000); piuttosto confusa o assente del dualismo onda-
corpuscolo (Olsen, 2002); assente in merito ai fenomeni o aspetti della quotidianità
rivelatrici della natura quantistica dei fenomeni microscopici (Stefanel et al., 2004).
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- Idee classiche e idee quantistiche. Gli studenti tendono a: utilizzare concetti classici,
come ad esempio quelli di traiettoria (Niedderer, 1987), e posizione (Müller e Wiesner,
2000, 2002; Fishler, 1999; Kalkanis et al., 2003; Mashadi, 1996), attibuire proprietà
classiche a sistemi quantistici (Olsen, 2002); generalizzare i risultati, in particolare
laddove si riconosca la similitudine dei casi classici e quantistici corrispondenti
(Fishler, 2000; Bao e Redish, 2002).
Dalla letteratura emergono chiare indicazioni solo in merito alla negatività di determinati
approcci. Per esempio l‟insegnamento di modelli semiclassici, producono sistematiche e
generalizzabili difficoltà nell‟acquisizione di concetti genuinamente quantistici. Alla base
di tali difficoltà vi sono sicuramente complessi problemi di natura concettuale nascosti in
tali modelli, come in particolare quelli che caratterizzano la vecchia fisica dei quanti e ben
rappresentati dall‟atomo di Bohr: quali aspetti restano quantistici e quali possono essere
assunti come classici? quali considerazioni motivano le ipotesi di quantizzazione? quali
sono portata e limiti di ciascun modello? Una volta appresi e riconosciutane la capacità
esplicativa, non solo sono profondamente difficili da superare, ma anche vengono assunti
come paradigmi che attivano idee non coerenti con i principi della teoria quantistica
(Rebello e Zollman, 2000; Müller e Wiesner, 2000; Fishler, 2000). Diventano quindi non
solo causa di difficoltà di apprendimento, ma proprio inibiscono la costruzione di concetti
più generali (Giliberti e Marioni, 1997; Stefanel, 1997; Müller e Wiesner, 2000; Olsen,
2001).
Ad analoga conclusione si può giungere, in merito ad approcci didattici che enfatizzano
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l‟analisi di situazioni in cui la fisica classica e la fisica quantistica forniscono risposte
simili, come nel caso di stati atomici con grande numero quantico. Senza una profonda (e
dispendiosa in termini di tempo) discussione di quali sono le condizioni in cui ciò si
realizza e come, ossia per quali aspetti, ciò si realizza, portano a erronee generalizzazioni di
questi risultati o all‟attribuzione di comportamenti quantistici anche a sistemi classici,
ovvero di andamenti classici a sistemi quantistici (Fishler, 2000; Bao e Redish, 2002;
Stefanel et al., 2004). Processi e concetti, che in meccanica quantistica subiscono una
profonda critica e revisione, come il processo di misura e il concetto di disturbo che essa
produce su un sistema, se non vi è una specifica e profonda analisi critica in contesto,
vengono riproposti in termini classici (Müller e Wiesner, 2000, 2002; Singh, 2001).
Sono da ricordare qui infine alcune indicazioni in merito a difficoltà nel correlare fatti e
teoria in questo specifico ambito (Fletcher e Johnston, 2000) e all‟importanza, che anche in
questo campo apparentemente astratto e lontano da fatti immediatamente accessibili
l‟operare pratico e concettuale (hands-on, minds-on), giochino un ruolo molto importante
nell'attivare la concettualizzazione (Lawrence, 1996; Stefanel, 1996; Rebello, Zollman
2000).
Le nostre scelte di fondo
Il nostro lavoro di ricerca si è sviluppato a partire dall'inquadramento organico che Dirac ha
dato della meccanica quantistica (1958), ripreso e attualizzato da altri autori di testi
universitari (Sakurai, 1985; Levy Leblond, Balibar, 1990; Townsend, 1992; Gottfried,
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1996). Punta a discutere fin dall'inizio i concetti fondanti, la loro rappresentazione formale,
il significato fisico di tale rappresentazione. Si è avvalso del lavoro di rianalisi critica dei
fondamenti teorici sviluppatosi nella seconda metà del secolo scorso (Baym, 1969;
D‟Espagnat, 1976; Bell, 1987; Ghirardi, 1997, Ghirardi, Rimini, Weber, 1986; Sonego,
1992) e supportato dalla realizzazione di esperimenti inizialmente concepiti solo come
ideali (Aspect, Dalibard, Rogers, 1982; Go, 2003).
Si è concretizzato in una proposta didattica, in cui si affronta il significato fisico del
principio di sovrapposizione e le conseguenze che da esso derivano, scegliendo semplici
contesti fenomenologici, come quello della polarizzazione. Per livelli successivi vengono
introdotti i concetti (Ghirardi et al., 1995, 1996, 1997) e la loro rappresentazione formale
(Michelini et al., 2000, 2001, 2003; Stefanel et al., 2003). Diversi strumenti, come schede
per studenti, simulazioni applet java, e materiali anche disponibili in web, supportano la
formazione insegnanti, la loro attività di progettazione e sperimentazione (Michelini et al.,
2002; Michelini e Stefanel, 2004). È stata sperimentata per ora in classi e progetti pilota
(Stefanel, 2001; Michelini et al., 2001, 2004a) e nella formazione iniziale degli insegnanti
di fisica (Michelini et al., 2004; Stefanel et al., 2004).
L’approccio
L'approccio scelto propone un‟analisi di contesti reali, per ricavare leggi empiriche che li
descrivono, per poi interpretare tali leggi direttamente secondo un riferimento concettuale
quantistico. L‟assunto che ci siamo posti come obiettivo nello sviluppo della nostra
proposta didattica è stato quello di interpretata la fenomenologia, in particolare quella
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dell‟ottica fisica, direttamente in termini quantistici.
Si affronta il nucleo della teoria a partire dal principio di sovrapposizione: la polarizzazione
come proprietà quantistica della luce, analizzata fenomenologicamente mediante semplici
esperimenti reali di interazione dei singoli fotoni con polaroid e materiali birifrangenti, è il
contesto in cui esplorare ipotesi interpretative in una palestra concettuale di esperimenti
ideali.
L'impostazione
L'esame degli esiti dell'interazione di fotoni con polaroid fa rivisitare la legge di Malus
nella prospettiva di preparazione ovvero di misura di una certa proprietà di un sistema
fisico (la polarizzazione come proprietà della luce). Il riconoscimento di uno stato associato
ad una proprietà fisica della luce (la polarizzazione) è il preludio all'individuazione di
proprietà mutuamente esclusive prima, ciascuna delle quali risulta incompatibile con
qualsiasi altra proprietà (di polarizzazione). Il principio di indeterminazione e
l'indeterminismo quantistico vengono riconosciuti dal comportamento di fotoni polarizzati
linearmente nell'interazione con polaroid. Mediante l'analisi del comportamento di fotoni
quando interagiscono con cristalli birifrangenti, viene discusso come lo stato di
polarizzazione secondo una certa direzione sia associato al vettore somma di stati
ortogonali componenti e non possa essere considerato una loro miscela statistica, né i
risultati sperimentali possano essere previsti sulla base di informazioni definite a priori e
trasportate dai fotoni stessi. Una conseguenza di questo risultato è la impossibilità di
associare una traiettoria ad un sistema quantistico, come si può riconoscere nell'interazione
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di fasci di fotoni polarizzati con un sistema di due cristalli birifrangenti, uno diretto e uno
inverso allineati.
Nello stesso contesto si discutono il problema della teoria quantistica della misura, della
descrizione dei macroggetti (Ghirardi et al., 1995, 1996, 1997).
La fenomenologia trattata è così semplice, che consente anche lo sviluppo del formalismo
in modo accessibile a studenti di scuola superiore. Risulta infatti immediato mostrare come
lo stato di un fotone polarizzato linearmente possa essere descritto da un vettore
appartenente ad uno spazio vettoriale astratto. Si introducono gli operatori di proiezione,
come descrittori di apparati di misura che selezionano lo stato del sistema (nello specifico
dei polaroid come selettori di stato di polarizzazione). Mentre si attribuisce significato
fisico ad operatori lineari più generali, costruiti come combinazioni lineari di proiettori, in
modo estremamente diretto, calcolando il valore di aspettazione delle possibili osservabili
associate ad un fotone linearmente polarizzato (Michelini et al., 2000, 2001, 2003).
La discussione di ulteriori contesti, apre la strada alla generalizzazione di risultati. In
particolare l‟introduzione dell‟operatore impulso porta alla individuazione dei suoi autostati
e quindi alla possibilità di considerare situazioni in cui fotoni si propagano senza interagire
con la materia, come si ha nei fenomeni di diffrazione.
L'entanglement di sistemi quantistici correlati viene proposto con un'analisi
fenomenologica dell'esperimento tipo EPR proposto da Mermin (1990). Pur senza l'utilizzo
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del formalismo emergono la potenza predittiva del principio di sovrapposizione e il
carattere non locale della teoria quantistica (Michelini et al., 2004a).
Gli strumenti didattici
Per la conduzione delle attività con i ragazzi sono state progettate apposite schede che
costituiscono parte integrante della proposta sull'insegnamento della meccanica quantistica.
Attivano strategie di tipo PEC (Previsione-Esperimento-Confronto) (Martongelli et al.,
2001; Michelini, Santi, Sperandeo, 2002) e sono basate sull‟inquiring methods (McDermott
et al., 2000). Sono di due tipi: a) Schede esperimenti, (tre relative al punto 1 dell'appendice)
strutturate con domande di previsione degli esiti sperimentali, raccolta ed elaborazione dati
sperimentali, confronto con le ipotesi, costruzione delle leggi fenomenologiche; b) Schede
concettuali, (sette relative ai punti 2-4, 5-8, 10, 11, 12, 13-15) strutturate con domande-
stimolo per la esplorazione di ipotesi interpretative ipotesi in merito allo specifico contesto
considerato (Michelini et al., 2004a).
Una rappresentazione
iconografica delle
proprietà di un fotone
(figura 1) è stata usata
come strumento
didattico, con cui
favorire il passaggio da idee qualitative alla loro formalizzazione. Essa è fondata sull'idea
che sia possibile, almeno operativamente, associare una proprietà ad un sistema quantistico
Rappresentazione Formalizzazione
fotoni con proprietà * stato rappresentato dal versore H’
fotoni con proprietà stato rappresentato dal versore V’
probabilità di transizione H’V’: P(H’V’)=( H’ • V’)=0 H’ V’
proprietà mutuamente esclusive:
* e
vettori di stato mutuamente
ortogonali: H’ V’
proprietà incompatibili: e * ( stato sovrapposizione:
u45 zz(1/√2) (H’+V’)
Figura 1. Formalizzazione dei concetti: con la rappresentazione
iconografica delle proprietà attribuite ai fotoni; con la rappresentazione
vettoriale degli stati dei fotoni.
20
quando si effettuano misure ripetute della stessa grandezza fisica, sufficientemente vicine
spazialmente e temporalmente (Einstein et al., 1935; D‟Espagnat, 1976; Hughes, 1989).
Alcuni risultati
Ad oggi la proposta, di cui si è delineata l'impostazione e il cui percorso di riferimento è
riepilogato a punti in appendice, è stata discussa in diverse attività di formazione insegnanti
(Michelini et al., 2004; Stefanel et al., 2004) e sperimentata in classe, da circa 300 studenti
di 17-19 anni tutti di quinta liceo scientifico in contesti differenziati in:
A) sperimentazioni con classi pilota
B) sperimentazioni nelle classi/scuole in cui si sono svolti i tirocini dei docenti in prima
formazione formati di cui si è accennato
C) attività pomeridiane di discussione con studenti volontari (Michelini et al., 2004a)
Si sintetizzano qui i risultati relativi a sperimentazioni realizzate nei tre differenti contesti
indicati e realizzate con circa 200 studenti, con la precisazione che quelli relativi ai contesti
B) hanno una sufficiente base numerica per essere significativi sul piano statistico, mentre
gli altri vanno considerati come esito di case study.
Sperimentazioni in classe
A) Sperimentazioni in classi pilota. Una preliminare sperimentazione è stata condotta in
una classe pilota di 21 alunni, come test di fattibilità della nostra proposta (Stefanel, 1999;
21
Michelini et al., 2001).
Ha fornito positive indicazioni in questo senso in merito ai seguenti aspetti. La
fenomenologia indagata è alla portata dei ragazzi e può essere esplorata in classe con
strumentazioni commerciali. 18 ragazzi hanno evidenziato buona padronanza della
fenomenologia, 3 hanno evidenziato insicurezza nel padroneggiare la legge di Malus e la
fenomenologia della birifrangenza.
L'80% dei ragazzi, ha saputo interpretare e distinguere situazioni ideali e reali. Gli elementi
che hanno prodotto questo risultato sono stati: l'aver preparato il passaggio
dall‟esperimento reale, a quello ideale con un'ampia esplorazione di contesti reali; favorire
tale passaggio con una analisi di casi e simulazioni realizzate con mirati tools informatici,
che consentono di esplicitare e riconoscere gli aspetti reali che sono modellizzati
dettagliatamente e quelli che invece vengono eliminati nel modello. In altro senso gli
studenti sono in grado di passare da situazioni reali a quelle ideali avendo chiarezza su
quale parte di realtà il modello simulato riproduce.
L‟uso di rappresentazioni simboliche, iconografiche favorisce, almeno nell'70% dei casi, la
formulazione di ipotesi e la esplicitazione di idee e sembra uno strumento catalizzatore del
passaggio da una lettura qualitativa della fenomenologia alla sua formulazione.
In merito agli apprendimenti dei ragazzi e alle modalità con cui avvengono si può
sintetizzare quanto segue. Il possesso della fenomenologia, maturato per esperienza diretta,
22
legge di Malus e fenomenlogica quantitativa della polarizzazione 4/6
Fenomenologia birifrangenza 5/6
Link esperimento reale /ideale 3/6
Interpretazione probabilitistica legge Malus 6/6
Associazione stato-proprietà 5/6
Proprietà mutuamente esclusive/incompatibili 6/6
Impossibilità associazione cammino al fotone 3/6
Indeterminismo e principio indeterminazione 3/6
Associazione stato vettore e formalizzazione principio
sovrapposizione
6/6
Probabilità di transizione 6/6
Tabella 1. Contenuti disciplinari indagati nel test di uscita per gli studenti
condiziona in modo decisivo la fase di concettualizzazione, il 20% dei ragazzi che ha
padroneggiato la fenomenologia, è quello stesso che non ha manifestato particolare
progresso cognitivo; l‟interpretazione dei dati sperimentali, una volta che il primo passo è
garantito, in termini di probabilità di trasmissione del singolo fotone non è problematica
(per oltre l'80%). I ragazzi hanno dimostrato nella maggior parte dei casi di essere in grado
di comprendere concetti quali l‟incompatibilità (62%), l‟indeterminismo e il concetto di
stato quantico (70%), seppure con modi differenziati e con diversa consapevolezza.
B) Sperimentazioni nei tirocini (Michelini et al., 2004). Nella tabella 1 sono presentati gli
aspetti indagati nei test che
sono stati proposti in 6 classi
ad un totale di 143 studenti
dagli insegnanti in
formazione della Scuola di
Specalizzazione
all'Insegnamento Secondario.
Gli esiti generali sono i seguenti: la fenomenologia dell‟interazione di fotoni con polaroid è
stata compresa e padroneggiata da una larga maggiornza di ragazzi (da 70 a 90 %). Meno
sicura invece è la padronanza del contesto fenomenologico della birifrangenza (circa 70%)
La quasi totalità dei ragazzi ha compreso il significato di proprietà mutuamente esclusive,
mentre non da tutti é stata raggiunta la comprensione del concetto di proprietà incompatibili
(55%). Il ruolo giocato dal formalismo, almeno ad un primo livello, è stato ampiamente
23
riconosciuto (70% almeno). In modo indiretto e non completamente quantificabile
emergono difficoltà a superare il contesto fenomenologico specifico affrontato.
C) Attività pomeridiane. Per approfondire i punti critici, che producono le discusse
difficoltà nell‟apprendimento della MQ è stato messo a punto uno studio condotto in
un‟attività pilota di discussione concettuale realizzata con 17 studenti dei Licei Scientifici
cittadini con i seguenti obiettivi:
ruolo nell‟apprendimento dei ragazzi giocato dal raccordo con il contesto esplorato
modalità con cui i ragazzi passano da interpretazioni classiche a idee quantistiche
ruolo giocato dal formalismo nell‟apprendimento
I risultati emersi si possono sintetizzare come segue.
La costruzione di ipotesi e il riconoscimento delle conseguenze che coerentemente ne
derivano producono il superamento della crisi cognitiva attivata nel confronto di previsioni
e risultati sperimentali. Tale competenza viene manifestata dai ragazzi, ancorando il proprio
ragionamento a un contesto fenomenologico specifico conosciuto operativamente e non
solo in relazione agli esiti sperimentali, come era emerso nella sperimentazione preliminare
(Stefanel, 1999). L„uso di simulazioni può aiutare alla costruzione del quadro
fenomenologico di riferimento, ma non la può sostituire.
L'acquisizione del quadro concettuale è in genere dipendente dal contesto esaminato.
24
Le maggiori difficoltà di apprendimento in merito al concetto di stato quantico sono legate
a quello di incompatibilità. Esse si manifestano nella difficoltà ad abbandonare l‟idea
(classica) profondamente radicata di poter prevedere l‟esito di una misura in base a
proprietà preesistenti del sistema misurato.
Le idee quantistiche vanno a giustapporsi a quelle classiche. Non si é manifestato un
cambiamento concettuale, ma piuttosto l‟utilizzo in alternativa di schemi teorici diversi.
Dalla esperienza maturata, il formalismo sviluppato ad un primo livello e limitatamente agli
specifici contesti indagati viene gestito ad un primo livello (almeno da ¾ dei ragazzi). Esso
non è risultato un ostacolo all‟apprendimento, ma al contrario lo ha favorito. Il limitarsi al
campo reale e a sistemi a due stati non esaurisce le problematiche fondanti della teoria
quantistica, ma certamente consente di analizzare a fondo gli aspetti peculiari della teoria
quantistica.
Indicazioni sono emerse inoltre nella capacità di gestione operativa di parti del formalismo,
ma senza chiarezza sul suo significato nei ragazzi che non padroneggiavano il quadro
fenomenologico, come è ben noto in molti altri ambiti della fisica.
Sono state infine confermati i risultati preliminari in merito alla potenzialità della
rappresentazione iconografica nel favorire la costruzione di ipotesi e il passaggio dal piano
descrittivo delle fenomenologie indagate a quello della formalizzazione dei concetti. Le
25
schede di lavoro basate sulla strategia PEC, sono un importante strumento per fissare le
idee e favorire l'analisi di coerenza delle diverse ipotesi esplorate.
Conclusioni
É oramai riconosciuto a tutti livelli, che la teoria quantistica riveste un ruolo
particolarmente importante nella cultura del XX secolo e pertanto deve contribuire al
bagaglio formativo dei cittadini. Nell'ampio e differenziato panorama di proposte che sono
state sviluppate per l'insegnamento di questo tema nella scuola secondaria, ci siamo inseriti
nel filone che mira a formare alle metodologie proprie della meccanica quantistica, come
vengono caratterizzate nell'approccio alla Dirac. Con l‟obiettivo di formare al pensiero
teoretico, essa si basa sullo sviluppo delle idee quantistiche in una palestra concettuale sulla
fenomenologia della polarizzazione. Si focalizza sui concetti fornendo plausibilità alle
modalità con cui la fisica quantistica rende conto dei fenomeni. Sviluppa il formalismo di
base prima in spazi bidimensionali per poi generalizzarlo a spazi di dimensione arbitraria.
Esplora gli aspetti peculiari della fenomenologia quantistica, come l'indeterminismo non
espistemico e l'incompatibilità, mostrando come il loro significato fisico emerga dal
formalismo. Fornisce elementi sulle potenzialità esplicative della teoria, proponendo gli
aspetti che la caratterizzano come l'entanglement e la non località.
Dalle sperimentazioni effettuate in contesti diversi con studenti degli ultimi anni della
scuola superiore emergono chiare indicazioni di fattibilità. Sono state inoltre documentate
le modalità con cui i ragazzi apprendono e utilizzano i concetti quantistici.
26
Un ruolo centrale viene giocato dalla conoscenza diretta e operativa del contesto
fenomenologico di riferimento per la comprensione dell'interpretazione probabilistica dei
processi, del concetto di incompatibilità e di sovrapposizione e del significato fisico del
formalismo. Il coinvolgimento operativo degli studenti ha un ruolo importante anche nel
modo in cui strutturano i concetti quantistici su piani paralleli a quelli su cui si collocano i
concetti classici. L'apprendimento delle idee quantistiche non si configura, quindi, come un
cambiamento concettuale in cui le nuove idee sostituiscono o si integrano con le precedenti,
ma come una giustapposizione di tali differenti piani di idee. Laddove tale strutturazione
non avviene si assiste alla fusione di idee classiche e quantistiche e alla incapacità di
differenziare contesti e concetti classici da quelli quantistici. Tale fusione viene favorita e
spesso irrimediabilmente strutturata dall'affrontare modelli semiclassici. Dalle ricerche sui
problemi di apprendimento emergono indicazioni indirette, che analogo esito possano
produrre anche gli approcci che privilegiano una linea di continuità tra fisica classica e
quantistica.
L'acquisizione del concetto di stato quantico passa necessariamente, attraverso la
comprensione del concetto di incompatibilità, che risulta il nodo centrale e più difficile da
superare. Per questo è necessario esplorare sino in fondo e con rigore le conseguenze a cui
si giunge nel tentare di attribuire elementi di realismo (ingenuo) ai sistemi quantistici.
Il formalismo è accessibile, almeno nella sua forma più semplice in spazi bidimensionali,
anche a studenti di scuola superiore. Favorisce e potenzia la comprensione e costruzione dei
concetti, solo se è avvenuta la strutturazione in piani paralleli dei concetti classici e
27
quantistici poc'anzi delineata.
Lo strumento metodologico, che è la chiave della positiva acquisizione della meccanica
quantistica da parte degli studenti e costituisce al tempo stesso il valore qualificante della
nostra proposta, è l'analisi coerente di specifiche fenomenologie mantenendosi all‟interno
di un unico quadro teorico. Questo costituisce un elemento a favore di approcci didattici
focalizzati sugli aspetti caratteristici e peculiari della teoria quantistica, in grado di
stimolare lo sviluppo del pensiero teoretico, di abilità argomentative e di generalizzazione.
Appendice: passi del percorso didattico
1. Con semplici esperimenti di interazione dei singoli fotoni con polaroid e materiali
birifrangenti, si costruisce l‟idea di polarizzazione come proprietà della luce. Le leggi
fenomenologiche di Malus e della trasmittività attraverso l‟uso di sensori di luce on-line
consentono di dare una descrizione empirica completa del contesto considerato.
2. Tale descrizione consente di riconoscere in che cosa consista operare con polaroid
ideali (coeffiente di trasmissione e grado di polarizzazione unitari).
3. Con l‟utilizzo di tools informatici implementati su fogli elettronico e in applet java si
passa dalle situazioni reali a quelle in cui la luce interagisce con polaroid ideali, da
sistuazioni a molti fotoni a quelle a singolo fotone.
4. Si reinterpreta la legge di Malus in termini probabilistici
5. Si definisce operativamente in quali situazioni è lecito assegnare proprietà definite ad
un sistema: fotoni filtrari da un primo polaroid vengono sempre trasmessi da polaroid
28
con assi di trasmissione paralleli a quello del primo polaroid; tale caso certo può essere
(operativamente) ricondotto al fatto che i fotoni prima della misura possedevano una
proprietà. Si rappresenta tale proprietà in modo simbolico/grafico.
6. Con l‟uso di polaroid incrociati si riconosce che esistono proprietà mutuamente
exclusive, che corrispondono a quelle in cui il sistema può trovarsi in seguito al
processo di misura.
7. L‟analisi dell‟interazione di fotoni polarizzati a 45° su polaroid orizzontali, ovvero
verticali porta a riconoscere l‟esistenza di proprietà incompatibili (associate a fotoni
polarizzati verticalmente/orizzontalmente e obliquamente)
8. Il fatto che esistano tali proprietà incompatibili, comporta l‟indeterminismo quantistico.
Viene discusso con l‟utilizzo di due cristalli birifrangenti, uno diretto e uno inverso, che
ciò comporta l‟impossibilità, di principio, di associare una traiettoria alle particelle
quantistiche
9. L‟analisi dell‟interazione di fotoni polarizzati a 45° su polaroid verticali/orizzontali può
essere proposta anche in merito alla ipotesi che lo stato a 45° sia una miscela statistica
degli stati componente, ossia che gli esiti dell‟interazione siano prevedibili in base a
proprietà definite e preesistenti la misura. Se si attribuisce un ruolo passivo ai polaroid è
facile vedere che ciò è inconsistente con gli esperimenti. Nel momento in cui si
riconosce il ruolo attivo dei polaroid si vede che i risultati sperimentali possono ancora
essere coerentemente spiegati. Parallelamente si avvia alla costruzione del concetto di
stato quantico.
10. L‟interazione di fotoni con due cristalli birifrangenti diretti, uno dei quali ruotato di 45°
intorno alla direzione di propagazione della luce (Pospiech, 2000a), che chiarisce
29
l‟impossibilità di attribuire proprietà preesistenti ai sistemi quantistici, ovvero
l‟impossibilità di elementi di realismo ingenuo nella descrizione dei sistemi quantistici.
11. Si può vedere che tale ipotesi ha una conseguenza particolarmente sorprendente nel
momento in cui si analizzano sistemi correlati. Emergono: l‟entanglement dei sistemi
correlati; la non località della teoria quantistica (Mermin, 1990); l‟impossibilità di
attribuire proprietà oggettive e locali ai sistemi quantistici.
12. La semplice geometria dei polaroid porta a riconoscere semplicemente la possibilità di
descrivere lo stato di polarizzazione con un vettore. Tale descrizione risulta completa in
quanto è sufficiente a riprodurre il comportamento statistico dei fotoni, ossia la
fenomenologia, attraverso la legge di Malus.
13. Si riconosce che l‟azione di un polaroid sullo stato dei fotoni è strutturalmente analoga
a quella di un proiettore su un vettore di stato.
14. Si considerano operatori più generali, combinazione lineare di proiettori, e si esplora
come operano su vettori generici e sui vettori base dello spazio dei vettori di stato
15. Si riconosce il significato fisico di un operatore, collegandolo al valore di aspettazione
di una osservabile. Si determina il valore di aspettazione dell‟osservabile polarizzazione
di fotoni polarizzati a 45° che incidono su un cristallo birifrangente e vengono rivelati
da due rivelatori posti all‟uscita del fascio ordinario e di quello straordinario. Si
riconosce il ruolo degli autostati e il significato degli autovalori.
16. Si generalizzano i risultati a osservabili qualsiasi. In particolare si introduce l‟operatore
impulso e lo si caratterizza in termini operatoriali e attraverso i suoi autovettori.
17. Si discute il significato di sovrapposizione in un caso generale (es. degli stati di energia)
18. Si generalizzano i risultati agli operatori in particolare riconoscendo la non
30
commutatività della loro algebra e la sua correlazione con le relazioni di Heisenberg
Un diciannovesimo punto, attualmente allo studio, riguarda semplici esemplificazioni di
situazioni (l‟elettrone in una scatola, l‟oscillatore armonico)
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