Post on 21-Dec-2015
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LEY DE FOURIER
ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN:
Donde:
campo de temperaturas. T = f (x, y, z, t)
calor generado por las fuentes internas
conductividad térmica
difusividad térmica
:Gq
:k
:T
Solo se considera la transferencia de calor unidireccional
LEY DE FOURIER DE LA CONDUCCIÓN:
Donde:
T: campo de temperaturas
T = f (x) en régimen Permanente.
A: área de la superficies de transferencia
NOTA:
- En regimen permanente la temperatura de los cuerpos que intervienen en la
transferencia de calor permanece constante en el tiempo.
- En régimen variable la temperatura varía con el tiempo.
PARED PLANA SIN FUENTES INTERNAS:
(Temperaturas superficiales, T1 y T2 dadas):
Hipótesis:
Régimen permanente
Transferencia unidireccional (dirección X)
Una vez realizadas las simplificaciones resulta la
siguiente ecuación diferencial:
Cuya solución general es: BAxT
Las condiciones de contorno son las siguientes:
x = 0 ----> T = T1
x = L ----> T = T2
El campo de temperaturas queda:
Según la Ley de Fourier de la conducción:
dx
dTkq
Resistencia Térmica =
=>
PARED PLANA CON FUENTES INTERNAS
(Temperatura superficial: To dada)
Hipótesis:
- Régimen permanente
- Transferencia unidireccional (dirección X)
- Se supone que la fuente interna está en el centro
geométrico de la pared según la dirección X. EL
origen de coordenadas se sitúa en ese punto
Simplificando:
Cuya solución general es:
El campo de temperaturas queda:
El flujo de calor:
dx
dTkq => xqq G .
Las condiciones de contorno son las siguientes:
x = 0 --> 0
dx
dT => B = 0
x = L --> 00 TThdx
dTk s
=>
PARED CILÍNDRICA SIN FUENTES INTERNAS
(Temperaturas superficiales, T1 y T2, dadas)
Hipótesis:
Régimen permanente
Transferencia unidireccional (dirección radial)
01
dr
dTr
dr
d
r BALxT
=>
A partir de la ecuación general de la conducción
en coordenadas cilíndricas y después de efectuar
las simplificaciones:
1rr 1TT
2rr 2TT
Las condiciones de contorno son las siguientes:
Con lo que el campo de temperaturas queda: 1
1
2
1
21 Tr
rL
r
rL
TTrT
Según la Ley de Fourier:
dr
dTkq
cter
r
rL
TTkq
1
1
2
11 AqQ .
,
LrA ..2cte
r
rL
TTLkQ
1
2
212
k
r
rL
TT
r
rL
TTk
L
Q
1
2
21
1
2
21
2
1
.2
k
r
rL
TERMICAARESISTENCI
1
2
2
1
o
a
h
kCRITICORADIO
:ak
:0h
Conductividad del aislante
Coeficiente de película
CILINDRO CON FUENTES INTERNAS
(Temperatura superficial, To, dada)
Hipótesis:
Régimen permanente
Transferencia unidireccional (dirección radial)
Se supone que la fuente interna está en el eje
longitudinal del cilindro
A partir de la Ecuación general de la conducción en coordenadas
cilíndricas y después de efectuar las simplificaciones:
01
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G 21
2
..4
.CrLC
k
rqrT G
0r 0dr
dT
0rr q 00 TThdr
dTk s
Las condiciones de contorno son las siguientes:
Hay un máximo puesto que se ha supuesto
que la fuente está situada ahí
Conducción = convección
q
Con lo que el campo de temperaturas queda: 0
0
2
0
2
2
.
4
.
4
.T
h
rq
k
rq
k
rqrT oGGG
El flujo de calor:
dr
dTkq r
qq G .
2
PARED ESFÉRICA SIN FUENTES INTERNAS
1T 2T(Temperaturas superficiales, y ,dadas)
Hipótesis:
Régimen permanente
Transferencia unidireccional (dirección radial)
A partir de la Ecuación general de la conducción en
coordenadas esféricas y después de efectuar las
simplificaciones:
01 2
2
dr
dTr
dr
d
rB
r
AT
Las condiciones de contorno son las siguientes:
1rr 1TT
2rr 2TT
Con lo que el campo de temperaturas queda:
2
211
21
21
. r
e
TTT
rr
er
TTrT
12: rrespesore
Según la Ley de Fourier:
dr
dTkq cte
rr
e
TTkq
r
21
2
21
.
AqQ .
2.4 rA cte
krr
e
TT
rr
e
TTkQ
rr
.4...
.4
21
21
21
21
krrh
eTERMICAARESISTENCI
..10
o
a
h
kCRITICORADIO
.2
:ak
:0h
Conductividad del aislante
Coeficiente de película
PROBLEMA 1: La temperatura a ambos lados de una pared de ladrillos de
25cm. De espesor son 10 y 20 grados centigrados. . Hallar en calorías el calor
perdido por hora, por metro cuadrado, sabiendo que el coeficiente de
conductividad térmica es 0,0015.
Solución:
El calor fluye perpendicularmente a la superficie de la pared.
Es claro que las superficies isotérmicas son planos paralelos a la pared.
Haciendo un gráfico para un instante t:
Para un metro cuadrado:
Además:
41015
1025
200
k
Tx
Tx
Ecuación:
dx
dTkAq
dx
dT
dx
dTkq 15104 dx
qdT
15
cxq
T 15
………….(1)
200 Tx
20c
C.I.:
En (1):
La ecuación queda de la siguiente manera: 2015
xq
T ….. (2)
1025 TxC.I.:
20)25(15
10 q
hcal
scalq 6480018
En (2):
PROBLEMA 2:
Encontrar las pérdidas de calorías por día del tubo de 15cm de radio que
contiene vapor a 100 grados centígrados si el cubo estaba cubierto de una
capa de hormigón (k = 0,0022) con espesor de 10cm y la superficie exterior
del hormigón se mantiene a 35 grados centígrados. Tomar una longitud de
20m de tubo.
Solución: Se observa que el calor fluye radialmente, por lo tanto lo hace perpendicularmente a la superficie lateral del cilindro (las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con el dado).
Haciendo un grafico para un instante t:
Ecuación: dx
dTkAq ………… (1)
Para: xr 15 100 x
)15)(2000(2..2 xLrA )15(104 3 xA
En (1): dx
dTq 11088 dT
qx
dx 11088
15
1
11088)15ln( cT
qx
qT
cex8.8
15
…..…. (2)
C.I. : 0x 100T
En (2): qce
880
15
qec880
15 ……..(a)
Ahora (a) en (2):
qT
q eex 8.8880
.1515
.1515)100(8.8q
T
ex
………. (3)
C.I. :
35T10x
En (3):
qe)65(8.8
1525
qe
)65(8.8
3
5
q
)65(8.8
3
5ln
dia
s
s
cal
s
calq
1
606024
3
5ln
658.8
3
5ln
658.8
diacal
dia
calq 33 1007.30394010
3
5ln
361568.8
PROBLEMA 3: Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 0.15,
tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie
interna se mantiene a 200°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C.
a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de
los cilindros concéntricos.
b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm
c) ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo?
Solución:
Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros
dados. El área de tal superficie con radio r y longitud L es: LxrA ..2
La distancia d en este caso : dx
.
Así, la ecuación: dx
dTkAq puede escribirse como:
dx
dTLxrkq )..(2
Puesto que k = 0.15, L = 20 m = 2000cm,
tenemos que:
dx
dTxq 10.600 …… (1)
De esta última ecuación, q es por supuesto una constante.
De la ecuación (1), integrando obtenemos: dTqx
dx.
600
10
1.600
)10ln( CTq
x
q
T
cex
.600
10
…….. (2)
Reemplazando la siguiente condición en la ecuación 2:
C.I: CTx º2000
qq ecce
.120000200.600
1010
…….. (a)
Ahora (a) en (2): q
T
q eex
.600.120000
1010
…….. (3)
Ahora en (3): CTx º5010
2ln
9000021020
.9000050600.120000
qeee qqq…… (b)
Ahora (b) en (3):
3
4
10log
2
30021010
101010
2300
2
3
4
300
)2ln2(
3
2ln4
)200(300
2ln2)200(
90000
2ln.600)200(600
rTer
eeer
TT
TTTq
Cuando:
3
4
10
15log
2
30015 2Tr
Se hallo el calor en calorías por segundo:
min1054
min
60
2ln
90000 5 cals
s
calq