Post on 16-Jul-2020
Limites en el Infinito
2
Funciones, Límite y Continuidad
Límites al infinito
Límites infinitos
tiempo
(años)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
10
20
30
40
50
60
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
+∞→t
Entonces: 50)(lim =
+∞→
tft
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
3
4
Límites al infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x L→+∞
=
De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim ( )x
f x M→−∞
=
5
y = f (x)y
y = L
y = M M
L
lim ( )x
f x L→+∞
=
lim ( )x
f x M→−∞
=
x
Por ejemplo….
• Ejemplo• f(x) = x / (x – 3)• Para x = 1000 ���� y = 1000/997 = 1,003• Para x=10000 ���� y = 10000/9997 = 1,0003• Para x = 100000 ���� y = 1,00003• Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y
cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega.
• Otro ejemplo
• y = x / (x2 – 4)Para x = 1000 � y = 1000/999996 = 0,001Para x=10000 � y = 10000/9999996 = 0,0001Para x = 100000 � y = 0,00001Para x = 1000000 � y = 0,000001
Está ya claro que:Lím f(x) = 0x� +∞
Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos.
Lím f(x) = 0x� –∞
La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0.Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas horizontales: y = L1 e y = L2
1º) El límite de la función f(x)=k, tanto en -∞ como en +∞: lím k = kx→-∞Lím k=kx→+∞
1.- Cálculo de límites en el infinito
2º) El límite de la función f(x)=x, tanto en -∞ como en +∞:
lím x=-∞ x→-∞lím x=+∞ x→+∞
9
límite al infinito para funciones polinómicas
1
1 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a−
−= + + + +…
lim ( ) lim n
nx x
f x a x→±∞ →±∞
=
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos:
a) 32 59lim
3 6xx x
→+∞
− + −
b) )5( 24
lim +−+−+∞→
xxxx
Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valor
de los siguientes límites?
10
+∞=+∞→
n
xxlim
=
+∞→
nx x
1lim
=
−∞→
nx x
1lim
Interrogante . . . . .
EjemploF(x)=1/x
0
0
1
1 1 0
1
1 1 0
( )n n
n n
m m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
−
−
−
−
+ + + +=
+ + + +
…
…
1
1 1 0
1
1 1 0
lim ( ) lim
n n
n n
m
m mx x
m m
m
a x a x a x a
xf xb x b x b x b
x
−
−
−→±∞ →±∞
−
+ + + +
=
+ + + +
…
…
Divida el numerador y denominador entre el x elevado
al mayor grado del denominador y calcule el límite de la
nueva expresión:
Resolución:
Límite al infinito para funciones racionales
11
12
Para funciones racionales:
1
1 1 0
1
1 1 0
( )n n
n n
m m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
−
−
−
−
+ + + +=
+ + + +
…
…
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término
dominante del numerador y del denominador:
m
m
n
n
x xb
xalim
±∞→
13
Operaciones con expresiones infinitas
Ejemplos resueltos
Se dividen numerador y denominador entre la mayor potencia de x que aparezca.Si hay raíces en el denominador se multiplica y se divide por la expresión conjugada del denominador.
Se opera la expresión antes de calcular los límites, o bien, si hay raíces como en este ejemplo, se multiplica y divide por la expresión conjugada.
CASOS DE INDETERMINACIÓN (Tratar cada caso según su expresión)
0----0
±∝
----±∝
∝ - ∝ 0 · ∝ 00 ∝ 0 1 ∝
Ejemplo
18
Ejercicios:
32
542
2
lim+
+
+∞→ x
x
x
x
xx
x 21
34
lim−
−
+∞→
x
xx
x 21
34
lim−
−
−∞→
3
72lim
−
+
+∞→ x
x
x
1.
2.
3.
4.
Calcule los siguientes límites