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MATEMATICAS FINANCIERA
Hardy Seplveda Daz Pgina 1
2012
MATEMATICAS FINANCIERA
Profesor; HARDY SEPULVEDA DAZ
A P U N T E S D E C L A S E S
MATEMATICAS FINANCIERA
Hardy Seplveda Daz Pgina 2
INDICE
Unidad N 1 Inters Simple e Inters compuesto 3
Unidad N 2 Valor Actual, Pagos Parciales, Anualidades y Amortizaciones 59
Unidad N 3 Depreciacin en la Matemticas Financieras 92
Unidad N 4 Matemticas Financieras en la Evaluacin de Inversiones 99
ANEXOS
Anexo N 1 Tasa Nominal, tasa efectiva y tasa equivalente 116
Anexo N 2 Valor Actual, Pagos Parciales y Anualidades 133
Anexo N 3 Tcnicas de Evaluacin de Inversiones, desde el punto
de vista de las Matemticas Financieras 141
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UNIDAD N 1
Inters Simple e Inters Compuesto
INTERESES
I = $ 1.000
$ 100.000 $ 101.000
______________________________________ Hoy 30 das
CONCEPTO DE INTERS
FACTORES QUE DETERMINAN LA CUANTA DEL INTERS.
CAPITAL O PRINCIPAL ( C ) : Suma de dinero originalmente prestado o pedido en prstamo.
TIEMPO ( t ): Es el nmero de unidades de tiempo para el cual se calculan los
intereses.
TASA DE INTERS ( i ): Es el inters por unidad de tiempo, expresado como tanto por ciento (%) o tanto por uno
del capital.(Generalmente las tasas se expresan en trminos mensuales o anuales).
MODALIDAD DE CLCULO DEL INTERS: La cuanta del inters va a depender si la operacin es a inters simple o
a inters compuesto
INTERS SIMPLE: La base de clculo corresponde al capital inicial otorgado en prstamo. Los intereses que se generan no se transforman en capital, por tal motivo, los intereses
resultantes para los distintos periodos son iguales:
$ 200.000
|_____________|_____________|____________| I = $60.000 0 I = 20.000 1 I = 20.000 2 I = 20.000 3 aos
i = 10 % anual
MATEMTICAS FINANCIERAS constituyen
un conjunto de herramientas, de mtodos y
procedimientos que ayudan a la toma de
decisiones, en materia de obtencin y uso del
dinero.
(I), desde el punto de vista del deudor, la renta que se debe pagar por el uso del dinero tomado en prstamo. Y desde el punto de vista del acreedor, la renta que se tiene derecho a cobrar cuando se
presta dinero.
Es el costo del dinero.
Es lo que el deudor debe sacrificar por usar dinero ajeno.
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INTERS COMPUESTO: El inters que genera el capital para cierto tiempo se capitaliza, es decir, el inters se
transforma en capital.
Para el periodo siguiente, el capital relevante ser el capital inicial ms el inters resultante del primer periodo, generando con ello, un inters mayor en el segundo
periodo, el cual tambin se capitaliza.
En inters compuesto, los intereses en los distintos periodos son diferentes y crecientes (los intereses se calculan sobre intereses).
Cuando la deuda cambia, se habla de inters compuesto.
$ 200.000 220.000 242.000 266.200
|______________|_______________|______________| I = $66.200 0 I1 = 20.000 1 I2 = 22.000 2 I3 = 24.200 3 aos
i = 10 % anual
Preguntas;
1. Haga un paralelo entre interes simple e interes compuesto 2. Cundo El interes simple resulta ser mayor al interes compuesto? 3. D uma definicin de Inters 4. Seale la diferencia entre Inters y Tasa de interes 5. D un ejemplo en que para un mismo capital, una misma tasa de interes y un mismo tiempo, el interes simple es
mayor al interes compuesto.
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Ejercicio;
Determinar El Inters simple y compuesto que genera uma inversin de $2.000.000 a una tasa de interes mensual de 1%, durante 5
meses.
Monto; corresponde al capital ms los
intereses acumulados hasta cierta fecha
En interes simple; el interes para el perodo 6, ser de; _____________
En interes compuesto; el interes para el perodo 6 ser de? _____________
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OPERACIONES A INTERS SIMPLE
Inters acumulado al primer ao:
$ 20.000 ( 20.000 x 1 ) C x i x 1
Inters acumulado al segundo ao:
$ 40.000 ( 20.000 x 2 ) C x i x 2
Inters acumulado al tercer ao:
$ 60.000 ( 20.000 x 3 ) C x i x 3
Por lo tanto, si se quiere determinar el inters acumulado para n periodos, el inters que genere el capital, para un periodo ( C x i ), se debe multiplicar por el nmero de periodos de generacin de intereses ( n)
I = C x i x n
Un capital de $500.000 se invierte al 2% mensual. La ganancia
para un periodo de 4 meses es de;
C = $500.000
im = 2%
n = 4
1 2 3 4 meses
$ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 intereses
I =500.000*0,02*4 = $40.000
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n: Corresponde al nmero de veces que se genera intereses en
el tiempo de uso del dinero.
n Depende de: o Tiempo de uso del dinero o Tiempo de la tasa de inters
Ejemplo: Se hace un depsito durante un ao a un 0,4% mensual
Tiempo de uso del dinero 1 ao
Tiempo de la tasa de inters Mensual
n Veces que se genera intereses mensuales en un ao: 12
Ejemplo: Se hace un depsito durante un ao a un 3,4% trimestral
Tiempo de uso del dinero 1 ao
Tiempo de la tasa de inters trimestral
n Veces que se genera intereses mensuales en un ao: 4
Ejemplo: Se hace un depsito durante un 175 das a un 0,4% por periodos de 35 das
Tiempo de uso del dinero 175 das
Tiempo de la tasa de inters 35 das
n Veces que se genera intereses en 175 das; 175/35 = 5
n = Numerador tiempo de uso del dinero 175 das 5
Denominador tiempo de la tasa de inters 35 das
Tanto numerador como
denominador deben estar
expresados en una misma unidad
de tiempo
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DETERMINACIN DE n PARA EL CALCULO DE INTERESES M = C ( 1 + i )
n
n Corresponde a las veces que se genera intereses en el tiempo de uso del dinero
Su valor depende del tiempo de uso del dinero y el tiempo de la tasa de inters
Si n no corresponde a un valor entero, tener presente que en el numerador debe ir el tiempo de uso del dinero y en el denominador el tiempo de la tasa de inters (ambos en una misma unidad de tiempo.
Ejemplo donde n toma un valor entero;
ejemplo n
Un capital se invierte durante un periodo de 6 meses a una rentabilidad del 2% mensual
6
Ejemplo donde n NO toma un valor entero, ES DECIR, es una fraccin
ejemplo n
Un capital se invierte durante un periodo de 18 meses a una rentabilidad del 12% anual
18/12
Un capital se invierte durante un periodo de 20 meses a una rentabilidad del 8% trimestral
20/3
Un capital se invierte durante un periodo de 15 meses a una rentabilidad del 12% semestral
15/6
Un capital se invierte durante un periodo de 180 das a una rentabilidad del 12% anual
180/360
Un capital se invierte durante un periodo de 4 semestres a una rentabilidad del 12% anual
4/2
Un capital se invierte durante un periodo de 133 das a una rentabilidad del 2% trimestral
133/90
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Ejemplos a Inters Simple
Un capital de $600.000 durante un periodo de 8 meses ha generado un inters de $38.374. Qu tasa de inters mensual se aplic?
Datos disponibles;
Capital; $600.000
Inters por 8 meses; $38.374
Tiempo; 8 meses
Tasa de inters mensual; ????
I = C x i x n
38.374 = 600.000 * i m * 8
i m = 38.374/(600.000*8)
i m = 0,00799458 i m = 0,799%
Frmula de tasa de inters despejada i = I/(C*n)
Frmula de nmero de periodos de generacin de intereses (n) n = I/(C*i) Frmula de Capital ( C) C = I/(n*i)
MONTO A INTERS SIMPLE.
M = C + I
I = C x i x n
M = C + C x i x n / Factorizando por C
Frmulas despejadas;
Frmula para n; n = ( M/C -1)/i
Ejemplo para comprobar el uso de la frmula despejada
M = $500.000
C = $400.000
i = 2% mensual
n = (500.000/400.000 1)/0,02 = 12,5
tiempo de uso del dinero; un ao y 15 das
Comprobacin;
M = 400.000(1+0,02*12,5) = $500.000
Frmula para i; i = ( M/C -1)/n
Frmula para C; M /(1+i*n)
El monto de una deuda ( M ) a una fecha dada, corresponde al capital inicial ms los intereses
acumulados a esa fecha.
M = C ( 1 + i x n )
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Caso
Una persona el 24 de marzo invirti $800.000 a una tasa de inters del 0,4% mensual.
a.- Cunto dinero ganar al 25 de junio del presente ao b.- Cunto dinero ganar durante el 25 de junio (1 da)
c.- Si durante los primeros 30 das de realizada la inversin se ha ganado $10.000, qu tasa de inters anual se aplic?
DESARROLLO
a.- Cunto dinero ganar al 25 de junio del presente ao
Determinacin de la cantidad exacta de das entre las dos fechas; 7+30+31+25 = 93 das
Determinacin de inters simple durante el periodo
I = C * i * n
I para 93 das = 800.000 * 0,004 * 93/30 n esta dividido por 30, dado que los meses tienen 30 das I para 93 das = $9.920
b.- Cunto dinero ganar durante el 25 de junio (1 da)
I = C * i * n
I para 1 da = 800.000 * 0,004 * 1/30 en inters simple el inters para el da 1 o el da 25 es igual
I para 1 da I = $106,6 es decir $107
c.- Si durante los primeros 30 das de realizada la inversin se ha ganado $10.000, qu tasa de inters anual se aplic?
I = C * i * n
I para 30 das = 10.000 = 800.000 * i a * 30/360
i a = 15% 10.000/(800.000*30/360)
Tiempo de uso del dinero
Nmero de das que tiene una tasa de inters anual
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PRUEBA N 1
Juan Prez solicita en prstamo $ 300.000 a una tasa de inters del 2,2% mensual.
a.- Determina el inters acumulado para un periodo de:
1.- 3 meses
2.- 9 meses
3.- 2 aos
4.- 2 aos y 5 meses.
b.- Determina el inters acumulado para un ao, si la tasa de inters es de un 6 % semestral.
c.- Qu cantidad de dinero deber invertir para que en un lapso de 10 meses, se genere un inters de $18.000?
d.- Cul deber ser la tasa de inters mensual para que en un plazo de 2 aos, el inters resultante sea la cuarta parte del capital
inicial.
e.- Determina el inters que genera la obligacin durante el 5 mes.
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Pauta de Correccin:
a.- C = $ 300.000 i = 2,2% mensual
a1 n = 3 meses I = 300.000 x 0,022 x 3 = $ 19.800 a2 n = 9 meses I = 300.000 x 0,022 x 9 = $ 59.400
a3 n = 2 aos I = 300.000 x 0,022 x 24 = $ 158.400
a4 n = 2 aos, 5 meses I = 300.000 x 0,022 x 29 = $ 191.400
b.- c = 300.000 I = C x n x i
i = 6% semestral I = 300.000 x 0.06 x 2
t = 1 ao I = $ 36.000
n = 2 semestres
c.- C = ? $ 18.000 = C x 10 x 0,022
n = 10 $ 81.818 = C
i = 2,2% mensual I = $ 18.000
d.- i = ? C / 4 = C x i x 24
n = 2 aos (24 meses) 0,25 C = C x i x 24 / : C
I = C/4 0,25 = 24 x i
C = C i = 1,0417%
e.- Se pide:
|________|________|________|________|_ |
0 1 2 3 4 5 meses
Para responder la pregunta, puedes abordar el problema de dos maneras:
a.- Como en inters simple, los intereses para los distintos periodos de uso del dinero son iguales, y el inters para el primer mes es de $ 6.600 ( 300.000 x 0,022), el inters para el quinto mes ser tambin de $ 6.600.
b.- En inters simple, los intereses no se capitalizan, es decir el capital o deuda pendiente de pago para el quinto mes es de $ 300.000 y como en este mes ( al igual que los otros meses), el inters es el resultante de multiplicar el capital por la tasa de
inters ( C x i ), $ 300.000 x 0,022 = $ 6.600.
PRUEBA N 2
Se deposita en un banco $ 400.000 a una tasa de inters del 12 % anual, durante un periodo de 3 aos.
A.- Determina la cantidad de dinero que se retirar al final del periodo.
B.- Determina la cantidad de dinero que se retirar al cabo de 5 meses, si en esa fecha se cierra la cuenta.
C.- Cunto dinero se deber depositar, para que en un periodo de 18 meses se acumule un monto de $ 500.000
D.- Qu tasa de inters deber aplicarse al prstamo para que el monto sea un 25% superior al capital inicial?
E.- Cunto tiempo deber mantenerse el dinero depositado para que se pueda retirar $450.000 y dejar en la cuenta el 50% del
capital depositado.
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Pauta de Correccin:
A.- C = $ 400.000 M = 400.000 ( 1 + 0,12 x 3 )
i = 12 % anual M = $ 544.000
t = 3 aos
n = 3
B.- C = 400.000.- M = 400.000 ( 1 + 0,12 x 5 / 12 )
i = 12 % anual M = $ 420.000
t = 5 meses
n = 5 / 12 aos
!Recuerda! tambin puedes transformar la tasa anual a mensual. En inters simple seria 0.12 / 12 = 0.01 o 1%, por lo tanto el
monto se obtendra de la siguiente manera:
M = 400.000 ( 1 + 0.01 x 5 ) = $ 420.000
C.- M = 500.000 500.000 = C ( 1 + 0,12 X 18 / 12 )
C = ? C = $ 423.729
t = 18 meses
i = 12 % anual
n = 5 / 12 aos
Si trabajas con una tasa mensual (0,12 / 12), n ser 18 (porque en el tiempo de uso del dinero (18 meses), habrn 18 periodos mensuales de generacin de intereses), por lo tanto, el monto lo calcularamos as:
500.000 = C ( 1 + 0,12 / 12 x 18 )
C = $ 423.729
Si trabajas con una tasa semestral ( i = 0,12 / 2 = 0.06 o 6% ), por lo tanto, n = 3 (en 18 meses existen 3 semestres).
500.000 = C ( 1 + 0,06 x 3 ) = 423.729
D.- C = 400.000 500.000 = 400.000 ( 1 + 3 x i )
t = 3 aos i = 0.083
M = 500.000 i = 8,3 % anual
n = 3
i = ?
!No te olvides de colocar siempre el periodo de la tasa de inters!
E.- Dinero depositado + Dinero dejado en depsito = Monto
450.000 + 200.000 = 650.000
650.000 = 400.000 ( 1 + 0,12 x n )
n = 5,2 aos
5 aos, 2 meses ( 0,2 x 12 ), 12 das (0,4 x 30)
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PRUEBA N 3 INTERS SIMPLE
SELECCIN MLTIPLE Realice los clculos al lado de las alternativas de respuesta. Marque con una X
1. Un capital de $550.000 se invirti a una tasa de inters simple del 2,2% mensual, durante un ao y 7 meses. El
inters simple del periodo es de;
a. $562.100
b. $12.100
c. $229.900
d. $729.900
2. Un capital de $550.000 se invirti a una tasa de inters simple del 2,2% mensual, durante un ao y 7 meses. El
Monto simple del periodo es de;
a. $562.100
b. $12.100
c. $229.900
d. $779.900
3. El 20 de agosto del 2009 una persona presta $700.000 a una tasa de inters del 2% mensual hasta el 14 de enero
del 2010. El inters simple del prstamo es;
a. $68.600
b. $71.328
c. $72.049
d. $768.600
4. El 20 de agosto del 2009 una persona presta $700.000 a una tasa de inters del 2% anual hasta el 14 de enero
del 2010. El inters simple del prstamo es;
a. $705.717
b. $5.683
c. $5.740
d. $5.717
5. El 14 de julio del 2009 una inversin se realiz a una tasa de inters mensual del 2,2%. Al da de hoy (20 de
agosto del 2009), se ha obtenido una ganancia de $2.389. Cunto dinero se invirti el 14 de julio? (Inters
simple)
a. $88.047
b. $99.023
c. $87.823
d. $86.890
6. El14 de julio del 2009 una inversin se realiz a una tasa de inters mensual del 2,2%. Al da de hoy (20 de
agosto del 2009), se ha obtenido una ganancia de $2.389. Cunto dinero se acumular hasta el 31 de
diciembre del 2009? (Inters simple)
a. $88.047
b. $99.023
c. $87.823
d. $86.890
7. Durante un periodo de 300 das un capital de $440.000 ha generado intereses de $9.990. La inversin otorgado
una rentabilidad del 0,45% por periodos de 60 das. El inters simple para un periodo de 600 das corresponde a;
a. Igual a $9.990 *2
b. Mayor a $9.990*2
c. Menor a $9.990 * 2
d. Ninguna de las anteriores
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8. Determine el inters simple para un periodo de 600 das (considerando valores del problema anterior)
a. $19.800
b. $20.206
c. $459.800
d. 460.206
e.
9. Determine el inters simple que genera una inversin de $2.300.000 a una tasa de inters del 1,8% mensual,
durante el primer mes de la inversin:
a. $2.304.140
b. $4.140
c. $414.000
d. $41.400
10. Del problema 9, determine el inters simple que genera la inversin durante el tercer mes.
a. $42.145
b. $42.904
c. $41.400
d. $126.449
11. Cunto tiempo un capital de $800.000 debe mantenerse invertido para que genere un inters de $200.000,
considerando una rentabilidad mensual del 1,1%?
a. 1 ao, 8 meses y 11 das
b. 1 ao, 10 meses y 22 das
c. 1 ao, 10 meses y 21 das
d. 1 ao, 8 meses y 12 das
12. Si un capital de $1.650.000 por un periodo de 4 trimestres gener una ganancia de $108.000, Qu rentabilidad
trimestral se aplic?
a. 1,64%
b. 6,39%
c. 6,55%
d. 1,6%
13. Si un capital de $1.650.000 por un periodo de 4 trimestres gener una ganancia de $108.000, Qu rentabilidad
anual gener?
a. 0,55%
b. 6,55%
c. 1,64%
d. 19,64%
14. Un capital por un periodo de 2 meses gener una ganancia de $30.000. La rentabilidad mensual era de $1%.
Determine la cantidad de dinero acumulada durante un periodo de 15 meses.
a. $225.000
b. $1.725.000
c. $240.252
d. $1.740.252
15. Don Jos el 10 de agosto prest a su amigo Diego $550.000 a una tasa de inters del 2,3% mensual simple.
Cunto dinero deber devolver Diego el 24 de enero del 2010?
a. $1.170.418
b. $613.250
c. $620.418
d. $1.163.250
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16. Don Jos el 19 de agosto prest a su amigo Diego $850.000 a una tasa de inters del 0,3% trimestral simple.
Cunto dinero deber devolver Diego el 12 de Diciembre del 2009?
a. $853.258
b. $859.817
c. $852.550
d. $9.817
17. Durante un periodo de 55 das una inversin gener una ganancia de $42.600. La rentabilidad por periodos de
55 das era de 1,9%. La rentabilidad anual simple sera de; (considere el ao con 360 das)
a. 12,44%
b. 12,61%
c. 13,11%
d. 13,30%
Respuestas;
1. C 2. D 3. A 4. D 5. A 6. B 7. A 8. A 9. D 10. C 11. B 12. A 13. B 14. B 15. C 16. A 17. A
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GUIA de Ejercicios Propuestos INTERS SIMPLE
1.1 Determine el inters simple de un capital de $75.000 invertido en una institucin financiera al
2,7% mensual, durante 6 meses.
1.2 Encontrar el inters simple y monto simple de un prstamo de $120.000 al 8% anual, si el
prstamo se piensa cancelar en 3 aos y tres meses.
1.3 Si se pide un prstamo de $380.000 a una tasa de inters del 1,3% anual
Cunto se debera cancelar si se desea finiquitar la obligacin una vez transcurridos 6 meses
desde la fecha de contrado el prstamo?
Qu inters devengara el prstamo en estas condiciones?
1.4 Si del problema 1.3, el monto a devolver en dicho tiempo corresponde a $450.000,
Cul es la tasa de inters mensual aplicada?
Cul es la tasa de inters trimestral aplicada?
Cul es la tasa de inters diaria aplicada, usando criterio exacto y ordinario?
1.5 Si Ud. deposita en el banco cierta cantidad de dinero, a una tasa de inters mensual del 1,2%, en cunto tiempo obtendr por concepto de intereses la mitad del capital invertido?
1.6 Si un prstamo de $1.138.000 ha generado un inters de $390.000:
Cul es la tasa de inters anual aplicada por haber usado el dinero durante 8 aos?
Cuntas semanas ha usado el dinero si la tasa de inters aplicada ha sido del 2% mensual? (considere que
un mes tiene 4 semanas)
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1.7 Si Ud. hizo un depsito en un banco de $50.000 y gan $4.000 por 90 das de depsito.
Qu tasa de inters de captacin pagaba el banco por depsitos a 90 das?
Qu tasa de inters de captacin pagaba el banco por depsitos a 30 das, a inters simple?
Cunto dinero le devolvera el banco si Ud. desea mantener el dinero en depsito durante 10 aos?
1.8 Una persona invierte hoy $100.000 en una financiera a una tasa de inters de un 2% mensual,
durante 36 meses. Cul es el inters pagado por la financiera o ganado por el inversionista?
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OPERACIONES A INTERS COMPUESTO
C0 M1 = C1 M2 = C2 M3 = C3
|____________ ____|_________________|_________________|
0 I1 1 I2 2 I3 3 aos
I1 = C0 x n x i ( n = 1 )
M1 = C0 + I1
I2 = M1 x n x i ( n = 1 )
M2 = C1 + I2
I3 = M2 x n x i ( n = 1 )
M3 = C2 + I3
MONTO A INTERS COMPUESTO
Monto usando frmula
CAPITAL $ 200.000
TASA 10%
N 10
MC $ 518.748
M = 200.000 (1+0,1)10
Monto usando calculo de intereses periodo a periodo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CAPITAL INICIAL $ 200.000 $ 220.000 $ 242.000 $ 266.200 $ 292.820 $ 322.102 $ 354.312 $ 389.743 $ 428.718 $ 471.590
INTERS $ 20.000 $ 22.000 $ 24.200 $ 26.620 $ 29.282 $ 32.210 $ 35.431 $ 38.974 $ 42.872 $ 47.159
MONTO $ 220.000 $ 242.000 $ 266.200 $ 292.820 $ 322.102 $ 354.312 $ 389.743 $ 428.718 $ 471.590 $ 518.748
Despeje de Frmula para calcular n;
M = C ( 1 +i) n
M / C = ( 1 + i )
n
Log (M / C) = n log ( 1 + i )
n = log (M/C)/log(1+i)
M = C ( 1 + i ) n
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Frmulas despejadas;
Frmula para C; C = M/( 1 + i ) n
Frmula para i; i = -1 o bien i = (M/C )1/n
-1
Comprobemos si la tasa de inters del 10% aplicada sobre el capital de $200.000
permite obtener el monto de $518.748 durante 10 periodos.
i a = (518.748/200000) 1/10
-1 = 10% anual
n CM /
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INTERS COMPUESTO ACUMULADO, conociendo el monto compuesto:
M = C + I
I = M - C
M = C ( 1 + i ) n
I = C ( 1 + i )n - C
Frmulas despejada;
C; I/((1+i)n -1)
i; (I/C +1)1/n
-1
n; log (I/C +1 ) / log(1+i)
Ejemplo para uso de frmula
CAPITAL $ 200.000
TASA 10%
n 10
Inters Compuesto para 10 aos; 200.000*((1+0,1)10
1) = $318.748
I = C ( ( 1 + i ) n - 1 )
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PRUEBA N 3
Resuelve la prueba N 1 y N 2 de inters simple, suponiendo que los intereses se capitalizan peridicamente. Recordemos las
pruebas.
PRUEBA N 1
Juan Prez solicita en prstamo $300.000 a una tasa de inters del 2,2% mensual.
a.- Determina el inters acumulado para un periodo de:
1.- 3 meses
2.- 9 meses
3.- 2 aos
4.- 2 aos y 5 meses.
b.- Determina el inters acumulado para un ao, si la tasa de inters es de un 6 % semestral.
c.- Qu cantidad de dinero deber invertir para que en un lapso de 10 meses, se genere un inters de $ 18.000?.
d.- Cul deber ser la tasa de inters mensual para que en un plazo de 2 aos, el inters resultante sea la cuarta parte del capital
inicial.
e.- Determina el inters que genera la obligacin durante el 5 mes.
PRUEBA N 2
Se deposita en un banco $400.000 a una tasa de inters del 12 % anual, durante un periodo de 3 aos.
A.- Determina la cantidad de dinero que se retirar al final del periodo.
B.- Determina la cantidad de dinero que se retirar al cabo de 5 meses, si en esa fecha se cierra la cuenta
C.- Cunto dinero se deber depositar, para que en un periodo de 18 meses se acumule un monto de $ 500.000?
D.- Qu tasa de inters deber aplicarse al prstamo para que el monto sea un 25% superior al capital inicial?
E.- Cunto tiempo deber mantenerse el dinero depositado para que se pueda retirar $450.000 y dejar en la cuenta el 50% del capi tal depositado?
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Pauta de Correccin: 1.- De la prueba N 1:
C = $ 300.000
i = 2,2% mensual compuesto
a.- 1.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )3 - 1 ) = 20.239
2.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )9 - 1 ) = 64.904
3.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )24
- 1) = 205.758
Al igual que en inters simple la tasa de inters se puede transformar de mensual a anual. (Tema que ser tratado ms
adelante).
4.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )29
- 1) = 263.894
b.- C = 300.000
t = 1 ao I = 300.000 ( ( 1 + 0,06 )2 - 1 )
i = 6%semestral I = $ 37.080
n = 2 ( semestres)
c.- t = 10 meses 18.000 = C ( ( 1 + 0,022 )10
-1 )
i = 2,2% mensual C = $ 74.041
n = 10
I = $ 18.000
d.- C = 300.000 75.000 = 300.000 ( ( 1 + i )24
- 1 )
t = 2 aos (75.000/ 300.000 ) + 1 = ( 1 + i )24
i = 2,2% mensual 1,25 = ( 1 + i )24
I = 1/4 ( 300.000) im = 0,009341
n = 24 im = 0,9341%
e.- Para calcular el inters que genera el capital durante el quinto mes, es necesario determinar el dinero adeudado al inicio del quinto mes ( saldo insoluto o
saldo de capital). Para ello, se debe calcular el monto al final del mes cuatro (se supone que no hay pagos intermedios).
M4 = 300.000 ( 1 + 0,022 ) 4 = $ 327.284
El monto resultante ($ 327.284), corresponde al capital o deuda para todo el quinto mes, por lo tanto, el inters para este mes ser:
I5 = 327.284 ( ( 1,022 )1 -1 ) = $ 7.200
Tambin podemos obtener el inters para el 5 periodo descontndole al M5 el M4.
Si te das cuenta, el inters compuesto para el 5 periodo ($ 7.200), es el mismo si se hubiese hecho a inters simple, usando como capital el M4 .!Calclalo! ). Esto se
debe, a que para un periodo de uso del dinero donde no existen an capitalizaciones, ambos mtodos (IS e IC ), arrojan el mismo resultado.
2.- De la prueba N 2 a Inters compuesto
a.- C = 400.000 M = 400.000 (1 + 0,12 )3 = $561.971 t = 3 aos
i = 12% anual
n = 3
b.- C = 400.000 M = 400.000 ( 1,12 )5/12 = $419.341 i = 12% anual
t = 5 meses
n = 5 / 12 ( aos )
Otra alternativa para resolver el problema es transformar la tasa anual a mensual ( siendo n = 5 ). El procedimiento de transformacin de tasa a
inters compuesto es tratado ms adelante.
c- M = 500.000 500.000 = C ( 1, 12 )18/12
= $ 421.835
t = 18 meses
i = 12 % anual
n = 18 / 12
d.- C = 400.000 500.000 = 400.000 ( 1 + i )3
M = 500.000 i = 0.077217345 anual
t = 3 aos i = 7,7217345 % anual
e.- C = 400.000
M = 450.000 + 0,5 x 400.000 = 650.000
i = 12 % anual
650.000 = 400.000 ( 1,12 ) n
1,625 = n 1,12 / log
n = 4,28 aos
Si n lo dejamos expresado en trminos de aos, meses y das, quedara:
4 aos, 3 meses y 10,8 das
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INTERS COMPUESTO
PROBLEMAS DE SELECCIN MULTIPLE
Realice los clculos al lado de las alternativas de respuestas. Marque con una X
1. Durante un periodo de 300 das un capital de $440.000 ha generado intereses de $9.990. La inversin otorgado
una rentabilidad del 0,45% por periodos de 60 das. El inters compuesto para un periodo de 600 das
corresponde a;
a. Igual a $9.990 *2
b. Mayor a $9.990*2
c. Menor a $9.990 * 2
d. Ninguna de las anteriores
2. Determine el inters compuesto para un periodo de 600 das (considerando valores del problema anterior)
a. $19.800
b. $20.206
c. $459.800
d. 460.206
3. El 20 de agosto del 2009 una persona presta $700.000 a una tasa de inters del 2% mensual hasta el 14 de enero
del 2009. El inters compuesto del prstamo es;
a. $68.600
b. $71.328
c. $72.049
d. $768.600
4. El 20 de agosto del 2009 una persona presta $700.000 a una tasa de inters del 2% anual hasta el 14 de enero
del 2009. El inters simple del prstamo es;
a. $705.717
b. $5.683
c. $5.740
d. $5.717
5. Determine el inters compuesto que genera una inversin de $2.300.000 a una tasa de inters del 1,8%
mensual, durante el primer mes de la inversin:
a. $2.304.140
b. $4.140
c. $414.000
d. $41.400
6. Del problema 5, determine el inters compuesto que genera la inversin durante el tercer mes.
a. $42.145
b. $42.904
c. $41.400
d. $126.449
7. Cunto tiempo un capital de $800.000 debe mantenerse invertido para que genere un inters de $200.000,
considerando una rentabilidad mensual del 1,1%?
a. 1 ao, 8 meses y 11 das
b. 1 ao y 8 meses
c. 1 ao y 9 meses
d. 1 ao, 8 meses y 12 das
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8. Cunto tiempo un capital de $800.000 debe mantenerse invertido para que genere un inters de $200.000,
considerando una rentabilidad anual del 10,5%?
a. 2 aos, 4 meses y 18 das
b. 2 aos, 2 meses y 24 das
c. 2 aos, 2 meses y 25 das
d. 2 aos, 4 meses y 17 das
9. Si un capital de $1.650.000 por un periodo de 4 trimestres gener una ganancia de $108.000, Qu rentabilidad
trimestral se aplic?
a. 1,64%
b. 6,39%
c. 6,55%
d. 1,6%
10. Si un capital de $1.650.000 por un periodo de 4 trimestres gener una ganancia de $108.000, Qu rentabilidad
anual se obtuvo?
a. 0,55%
b. 6,55%
c. 1,64%
d. 19,64%
11. Un capital por un periodo de 2 meses gener una ganancia de $30.000. La rentabilidad mensual era de $1%.
Determine la cantidad de dinero acumulada durante un periodo de 15 meses.
a. $1.492.537
b. $1.522.537
c. $240.252
d. $1.732.789
12. Don Jos el 10 de agosto prest a su amigo Diego $550.000 a una tasa de inters del 2,3% mensual compuesto.
Cunto dinero deber devolver Diego el 24 de enero del 2010?
a. $1.174.219
b. $616.227
c. $625.094
d. $624.219
13. Don Jos el 19 de agosto prest a su amigo Diego $850.000 a una tasa de inters del 0,3% trimestral compuesto.
Cunto dinero deber devolver Diego el 12 de Diciembre del 2009?
a. $853.258
b. $853.260
c. $852.550
d. $9.817
14. Durante un periodo de 55 das una inversin gener una ganancia de $42.600. La rentabilidad por periodos de
55 das era de 1,9%. La rentabilidad anual simple sera de; (considere el ao con 360 das)
a. 12,44%
b. 12,61%
c. 13,11%
d. 13,30%
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Resultados
1 B 2 B 3 B 4 B 5 D 6 B 7 D 8 C 9 D 10 B 11 D 12 D 13 B 14 C
Ejercicio Inters Compuesto
$ 100.000
$ 1.000
0 1 2 3 4 5 meses
tasa de inters ?? mensual
inters compuesto periodo 3 y 4
Resultados im 1,00%
M3 100.000(1+0,01)3
$ 103.030
I 4 Y5 103.030((1+0,01)2 -1) $ 2.071
Ejercicio a Inters Simple e Inters compuesto
simple $ 3.493 $ 827
$ 400.000
09/09/2010 18/01/2011
tasa mensual 0,2%
compuesto $ 4.285 $ 276
tiempo 131 das
n 4,36666667 5,33333333
monto al 30 de noviembre $ 400.729
inters simple durante
el mes de diciembre
inters compuesto
durante mes de
diciembre
inters simple
durante el periodo de
inversin
inters compuesto
durante el periodo de
inversin
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Desarrollo
simple $ 3.493 $ 827
$ 400.000
09/09/2010 18/01/2011
tasa mensual 0,2%
compuesto $ 4.285 $ 276
tiempo 131 das
n 4,36666667 5,33333333
monto al 30 de noviembre $ 400.729
30/11/2010 82
inters simple durante
el mes de diciembre
inters compuesto
durante mes de
diciembre
inters simple
durante el periodo de
inversin
inters compuesto
durante el periodo de
inversin
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EJERCICIOS DE INTERS SIMPLE E INTERES COMPUESTO
Don Carlos acaba de depsitar en un banco $ 10.000.000
a una tasa de inters mensual del 0,25%
el tiempo de depsito ser de (aos) 2 aos
frmula resultado frmula resultado
inters del periodo I = C * i * n $ 600.000 I = C*((1+i)n - 1) $ 617.570
Monto al final del periodo M = C*(1+i*n) $ 10.600.000 M = C*(1+i)n $ 10.617.570
I = C * i * n $ 25.000 M = C*(1+i)n $ 10.125.627
I = C*((1+i)n - 1) $ 25.314
inters durante el primer trimestre I = C * i * n $ 75.000 I = C*((1+i)n - 1) $ 75.188
n = I/(C*i) 1,40n =
log(I/C+1)/log(1+0,0
025)1,399301919
n en das 42 41,97905758
n = I/(C*i) 4,00n =
log(I/C+1)/log(1+0,0
025)3,985105436
en das 120 119,5531631
si durante 9 meses se ha ganado $15.000,
qu tasa de inters mensual se ha aplicado?
i = I/(C*n) 0,0166667% i = ((I/C +1) (1/n) -1) 0,0166556%
cunto dinero se debe invertir para que
durante dos aos se obtenga una ganancia
de $30.000?
C = I/(i*n) $ 500.000 C = I/((1+i)n -1) $ 485.775
modalidad de clculo
inters simple inters compuesto
inters durante el mes 6
cuanto tiempo es necesario mantener el
depsito para ganar $100.000
cunto tiempo es necesario mantener el
depsito para ganar $35.000?
En primera columna registre la frmula a utilizar; en la segunda columna dele valores correspondientes a la frmula y en la tercera columna registre el resultado.
El ejercicio debe ser resuelto en Excel. (Si no ha tenido el ramo de computacin desarrollarlo manualmente.
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TIEMPO DE USO DEL DINERO.
DETERMINACIN DEL NMERO DE DAS ENTRE DOS FECHAS.
Criterio Exacto: Se cuenta el nmero exacto de das existente entre la fecha inicial y la fecha terminal.
Criterio aproximado: Se cuenta el nmero de das de la fraccin de ao entre la fecha inicial y fecha terminal, considerando que el
mes tiene 30 das (si el mes tiene 28 29, 30 o 31 das, se considera que tiene 30 das).
Para contar los das es costumbre excluir el primer da e incluir el ltimo.
Si se invierte el 15 de marzo y se retira la inversin el 16 de marzo, el tiempo es de slo 1 da: o Se considera solo el da 16 de marzo. o Se puede obtener restando 16 15= 1 da
DETERMINACIN DE LA FECHA DE VENCIMIENTO (FF) DE UNA DEUDA
1.- Si el plazo esta dado en das, la fecha de vencimiento va a ser:
FF = Fecha inicial + N exacto de das
2.- Si el plazo esta expresado en meses ( aos ), la fecha de vencimiento ser:
FF = Fecha inicial + N de meses ( aos )
Ejercicio:
Determina el tiempo transcurrido entre el:
1.- 16.02.07 y 12.10.07
2.- 16.02.07 y 12.10.08
Respuesta:
1.- Como puedes observar, el tiempo entre las dos fechas es menor a un ao, por lo tanto, se debe utilizar el criterio exacto.
MESES PARTICIPANTES DAS DEL MES
DAS DE USO
DEL DINERO
EN EL MES
Febrero 28 12
Marzo 31 31
Abril 30 30
Mayo 31 31
Junio 30 30
Julio 31 31
Agosto 31 31
Septiembre 30 30
Octubre 31 12
total 238
2.- Como puedes observar, el tiempo entre las dos fechas es superior a un ao, por lo tanto, se debe utilizar el criterio
aproximado.
2008 aos 10 meses 12 das
menos 2007 aos 2 meses 16 das
1 ao 7 meses 26 das
es decir, 1 x 360 + 7 x 30 + 26 = 596 das
(Como la resta de 12 menos 16 arroja un resultado negativo, se debe pedir prestado a la columna de meses 1 mes, llegando a la
columna de das, 30 das, por lo tanto, quedara 30 + 2 16 = 26 das)
Ejercicio
Supn que la fecha inicial es el 30.03.07. Determina la fecha de vencimiento en los siguientes casos:
a.- plazo 90 das
b.- plazo 3 meses
c.- plazo 3 aos
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Respuesta:
a.- = 28.06.07 (exacto)
b.- = 30.06.07 (aprox.)
c.- = 30.03.2010 (aprox.)
Para el caso a.- en que el plazo esta dado en das, se ha de usar el criterio exacto en la determinacin de la fecha de
vencimiento.
Por otro lado, para resolver el problema a..- es posible utilizar la siguiente metodologa:
MESES
PARTICIPANTES
DAS DE CADA
MES
DAS DE USO DEL
DINERO EN CADA
MES
DAS
ACUMULADOS
Marzo 31 1 1
Abril 30 30 31
Mayo 31 31 62
Junio 30 28 90
Hasta el 31 de Mayo se ha usado 62 das el dinero, faltan 28 das para completar los 90 das pactados, por lo tanto, estos
28 das son los correspondientes al mes de Junio, es decir, FF = 28 de Junio.
EJERCICIOS PROPUESTOS Tiempo de Uso del Dinero
3.1 Determine el tiempo de uso del dinero en forma exacta y aproximada, para los siguientes periodos:
3.1.1 Del 12.05 06 al 19.12.06 3.1.2 Del 24.01.06 al 22.08.06 3.1.3 Del 18.10.06 al 14.02.06
Problemas de determinacin de la fecha de vencimiento
3.2 Determinar la fecha de vencimiento para los siguientes casos:
3.2.1 Se contrae una obligacin el 25.04.06, con vencimiento en:
TIEMPO FECHA DE VENCIMIENTO
a.-120 das
b.- 88 das
c.- Un ao y tres meses
d.- Cuatro meses
3.2.2 Se contrae una obligacin el 08.06.06, con vencimiento en:
TIEMPO FECHA DE VENCIMIENTO
a.- 90 das
b.- 6 meses
c.- dos aos , tres meses y 22 das
3.3 Un Capital de $2.000.000 se deposit el 25 de enero del presente ao, a una tasa de inters del 3,6% anual. 3.3.1 Si el tiempo de depsito es de 200 das, cul es la fecha de vencimiento del depsito? 3.3.2 En qu fecha el capital genera un inters de $33.000?
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PRUEBA N 4
Juan Prez prest a su amigo David Ral $300.000 el 18.03.07, a una tasa de inters del 15% anual. David Ral se
comprometi a devolver el prstamo ms los intereses el 22.05.07.
a.- Determina el tiempo de uso del dinero ,segn criterio exacto y aproximado. b.- Determina la tasa de inters equivalente mensual a inters simple y a inters compuesto. c.- Calcula el inters que genera la deuda, a inters simple y a inters compuesto. d.- Si el plazo del prstamo hubiese sido de 2 meses:
1.- Determina su fecha de vencimiento
2.- Calcula el inters del prstamo (IS e IC)
e.- Si Juan Prez desea que el prstamo genere $15.000 por concepto de inters, Cul debera ser la fecha de vencimiento de la deuda a inters simple e inters compuesto (mantenindose la tasa de inters).
f.- Determina el inters que genera la deuda entre los das 14.04.07 y 21.04.07 (ambas fecha inclusive). ( IS, IC ) g.- Cunto debera ser el dinero prestado por Juan Prez para obtener un monto de $400.000.- (IS, IC). h.- Explica porqu en la letra c, el inters compuesto resulta ser menor que el inters simple.
Pauta de Correccin
a.-
Determinacin de tiempo exacto: 18.03.07 --- 22.05.07
Marzo 31 13
Abril 30 30
Mayo 31 22
65 das
Determinacin de tiempo aproximado
ao mes da 97 05 22 97 03 18
0 2 4
2 x 30 + 4
60 + 4 = 64 das
b.-
Tasa de inters equivalente mensual simple
0,15 = 1,25 %
12
Tasa equivalente mensual compuesto
( 1 + 0,15 )1 = ( 1 + im )12 => im = 1.17 %
c.-
Inters que genera la deuda a inters simple
I = 300.000 x 0,15 x 65 = $ 8.125
360
Inters que genera la deuda a inters compuesto
Tasa equivalente diaria ( 1 + 0,15 )1 = ( 1 + id )
360
id = 0,000388303
id = 0,0388303%
I = 300.000 [(1.000388303)65 -1 ) = $ 7.667
d.-
1.- Fecha de Vencimiento: 18.05.07
2.- Inters Simple:
I = 300.000 x 0,15 x 2 = $ 7.500
12
Inters Compuesto
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I = 300.000 ( (1,0117)2 -1 ) = $ 7.061
e.-
1.-
I = 15.000
C = 300.000
i = 15% anual
a inters simple:
I = C x n x i
15.000 = 300.000 x 0,15 x n
n = 0,333 aos
n = de ao
n = 4 meses
=> fecha de vencimiento: 18.07.07 (aproximado )
a inters compuesto:
15.000 = 300.000 ((1,15)n -1 )
1.05 = (1 .15)n /log.n n = log(1.05)
log (1,15)
n = 0.3490947774 ao
tiempo : 4 meses, 5 das, 16 horas
fecha de vencimiento: 24.07.07
Al emplear el mtodo de Inters Compuesto se requiere mayor tiempo que en inters simple debido a que la tasa de
inters equivalente mensual compuesta es menor a la tasa de inters equivalente mensual simple:
f.-
Periodo 14.04.07 --- 21.04.07 (ambos fechas inclusive) Das exactos : 8
a.- Inters para el periodo (8 das): mtodo simple
I = 300.000 x 0,15 x 8 = $ 1.000
360
b.- Inters para el periodo (8 das): mtodo compuesto
1.- Clculo del Monto acumulado al da 13.04.07
M = 300.000 ( 1 + 0,0117 ) 26/30
M = 303.040
Tambin pudiste calcular el monto, utilizando una tasa equivalente diaria, y usando como exponente 26 (nmero de das
exactos entre el 18.03 y el 13.04)
I = 303.040 ( (1,000388303)8 -1 ) = $ 943
g.-
M = $ 400.000
C = ? i = 15% anual
5 = 65 das
a) Inters simple
400.000 = C ( 0,15 x 65 + 1)
360
C = $389.452
b.- Inters Compuesto
400.000 = C (1 + 0,000388303 )65 C = $390.032
h.- En c el inters compuesto es menor al inters simple, para el tiempo indicado, debido a que la tasa de inters equivalente
mensual compuesta es menor a la tasa equivalente mensual simple:
MATEMATICAS FINANCIERA
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TASAS DE INTERS EN OPERACIONES DE CRDITO
1. Aspectos Introductorios
Para determinar la cantidad de inters que genera un depsito o prstamo, se debe
considerar los siguientes factores:
1. La cantidad de dinero depositado o solicitado en prstamo (Capital; C) 2. El tiempo que involucra la operacin (t) 3. La tasa de inters pactada entre las partes (i) 4. La modalidad de clculo del inters. En este caso puede ser:
a. Inters Simple: Los intereses que genera la deuda no se capitalizan (no se suman al capital, para el clculo del prximo periodo de generacin de
inters)
b. Inters Compuesto: Los intereses que genera la deuda se capitalizan (se suman al capital, para el clculo del prximo periodo de generacin de
inters)
A continuacin se desarrollar el efecto que provoca la utilizacin de la tasa de
inters en el clculo de intereses.
Recordar NO es lo mismo INTERS ($5.300) que
TASA DE INTERS (0,12% mensual)
2. Concepto de Tasa de Inters
Es aquel porcentaje que se aplica, por unidad de tiempo, sobre cierto capital con el objeto de determinar la cuanta de inters que genera el depsito o prstamo,
en dicho tiempo.
Porcentaje de un monto de dinero prestado por un periodo, que tiene que pagar el agente econmico que usa los fondos, al propietario de ellos.
Es lo que se debe pagar por el derecho de usar fondos que se prestan, expresado como porcentaje de lo que se debe.
Es el precio (%) que permite regular la oferta y la demanda de fondos en una economa, obtenindose de esta forma una mejor distribucin de los recursos
crediticios.
Factor que determina cuanto vas a ganar por prestar tu dinero como depsito o cuanto dinero pagars por concepto de prstamo.
MATEMATICAS FINANCIERA
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3. Tipos de tasas de Inters
1.- Tasa Activa Bancaria: TAB: Esta tasa es calculada por la asociacin de Bancos
e Instituciones Financieras y corresponde a la tasa mnima a la cual puedan
prestar los Bancos, pues de lo contrario pierden dinero. Se calcula tomando la
tasa mxima de captacin para depsitos a 90, 180 y 360 das y agregando el
costo de encaje Bancario y la inflacin. Se calcula agregndole a la tasa mxima
de captacin el encaje bancario y la inflacin
2.- Tasa de Captacin: Es la tasa de inters que los Bancos e instituciones
financieras ofrecen pagar sobre el capital, a los agentes econmicos que
depositen su dinero por un periodo determinado.
3.- Tasa de Colocacin: Se refiere a la tasa de inters que aplican los Bancos e
Instituciones financieras a las empresas y personas, por prestarle una
determinada cantidad de dinero, por un cierto tiempo.
4.- Tasas de Corte. Es un tipo de inters que aplica el Banco Central a otras
entidades financieras que se ven obligadas por medio de un pagar.
5.- Tasa de Descuento: Tasa de inters que el Banco Central impone a los
prstamos otorgados a los bancos comerciales. Se aplica este concepto tambin
a las operaciones con letras en cobranza, en especial cuando son de montos altos,
a la que se aplica una tasa de descuento. En esta operacin el banco paga en
forma anticipada al cedente.
6.- Tasa de Encaje: Porcentaje del monto total de depsitos en los bancos e
instituciones financieras que la autoridad monetaria exige que se mantengan
como reservas. Las tasas de encaje exigidas difieren en los distintos tipos de
depsitos que realizan los bancos e instituciones financieras.
7.- Tasa de Inters Fija: Es aquella que mantiene su valor, para ser aplicada por
distintos periodos durante cierto tiempo. Por ejemplo. Prstamo de consumo a 12
meses, a una tasa de inters del 1,3% mensual. Esta tasa se aplica los doce meses
para determinar los intereses que se genera mes a mes.
La Tasa de Inters Variable se caracteriza por que para cada
periodo para determinar el inters se utiliza una tasa de distinto
valor. En el mercado financiero chileno, un ejemplo puede ser la
tasa de inters de depsito a plazo con renovacin automtica. Para
cada periodo se utiliza la tasa de inters que esta en pizarra o la que
el cliente negocia con el banco.
8.- Tasa de Inters Nominal: Es aquella tasa de inters que se paga o se cobra en
trminos monetarios. Incluye el pago por la prdida de poder adquisitivo que se
MATEMATICAS FINANCIERA
Hardy Seplveda Daz Pgina 35
genera en los fondos prestados producto de la inflacin. Se obtiene agregndole a la tasa
de inters real la inflacin del periodo que indica la tasa.
9.- Tasa de Inters Penal: Sobretasa a aplicar sobre aquella cuota de un prstamo
que se ha pagado fuera del plazo de vencimiento. Su monto est definido y
equivale a la tasa mxima convencional.
10.- Tasa de Inters Real: Es aquella tasa de inters que mide realmente el precio
que se paga por utilizar los fondos ajenos, una vez descontados los efectos de la
inflacin sobre el poder de compra de dichos fondos. La tasa de inters real se
calcula, en forma aproximada, como la tasa de inters nominal menos la tasa de
inflacin para un periodo determinado.
11.- Tasa de Inters promedio (TIP): Es el promedio de las tasas de captacin y
colocacin del sistema financiero. Es una tasa referencial que sirve para observar
cunto esta pagando en promedio la banca en sus instrumentos.
Las tasas TIP pueden ser:
1.- Para operaciones no reajustables de entre 30 y 89 das
2.- Colocaciones no reajustables para el pblico en general y los
bancos para 30 y 89 das.
3.- Captaciones reajustables (UF + tasa de inters real) para plazos
entre 90 y 365 das.
Todo este clculo lo realiza diariamente el Banco Central de
Chile.
12.-. Tasa Interbancaria: Es la tasa de inters que aplican los bancos para prstamos
entre s. sta es menor que la tasa de colocacin entregada al pblico por las
instituciones financieras, sto debido a diferentes factores tales como el mayor
volumen de montos transados y el menor riesgo de un Banco como deudor.
13.- Tasa Interna de Retorno (T.I.R): Es la tasa a la cual se consiguen depsitos en
los bancos. Esta tasa representa el mnimo a la cual podran prestar dichos
fondos, ya que nadie puede obtener por un prstamo una tasa inferior a la que al
banco le costo obtener los fondos. Es un promedio ponderado, pero ocupando
como ponderadores los activos de cada banco y se determina para captaciones
nominales a 30 das, y reales a 90 y 360 das.
Desde el punto de vista de la Evaluacin de Inversiones la Tasa Interna de
Retorno: Es aquella tasa de descuento que al ser utilizada para realizar una
actualizacin de flujos futuros de ingresos netos de un proyecto de inversin,
hace que el valor actual neto (VAN) de esta alternativa sea igual a cero. Es una
medida de la rentabilidad que nos generara la inversin que se evala.
MATEMATICAS FINANCIERA
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4. Caractersticas de la Tasa de Inters
o Es un porcentaje (%, 4,5%; 0,2%) o Se puede considerar como sinnimo, Rentabilidad o Esta referido a un tiempo determinado (0,3% para un periodo de 35 das; 6,4%
anual)
o Se puede obtener dividiendo la ganancia que genera una inversin por la inversin realizada, o bien, dividir el inters que genera un capital por el capital
invertido.
o El valor de la tasa de inters puede depender de: o El poder de negociacin de las partes o La tasa de inters que establezca el Banco Central o El riesgo del cliente o De la cantidad de dinero invertida o solicitada en prstamo o Del plazo del crdito o Otras.
5. Efecto que provoca la Modalidad de Clculo de Inters en la Tasa de
Inters
Se debe recordar que los intereses se pueden determinar ya sea a Inters Simple (no se
capitalizan los intereses) o a Inters Compuesto (se capitalizan los intereses).
La modificacin de la tasa de inters de un periodo a otro, va a tener efectos distintos si
se trata a inters simple o a inters compuesto.
Veamos un ejemplo:
Capital: $ 2.000.000
Tasa de Inters: 1% mensual
Tiempo: 2 aos
n: 24
Inters Simple Inters Compuesto
I = C i*n
I = 2.000.000 * 0,01*24
I = $ 480.000
I = C ((1 + i ) n -1 )
I = 2.000.000*((1+0,01) 24
- 1)
I = $ 539.469
Si se transforma la tasa de inters mensual a una tasa anual, multiplicando la tasa
mensual por 12, obtendremos una tasa de 12% anual.
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Ahora con la nueva tasa volvamos a determinar el inters que genera el capital de
$2.000.000 por un periodo de 2 aos.
Con esta modificacin, n = 2
Con la tasa anual, los intereses se capitalizan
anualmente. Por lo tanto en un periodo de dos aos
habr dos capitalizaciones de intereses, es decir, n
= 2
Inters Simple Inters Compuesto
I = C i*n
I = 2.000.000 * 0,12*2
I = $ 480.000
I = C ((1 + i ) n -1 )
I = 2.000.000*((1+0,12) 2 - 1)
I = $ 508.800
Comentario:
o Si la operacin es a INTERS SIMPLE, al cambiar la tasa de inters de un periodo a otro (por supuesto cambiando n, dado que el valor de n depende del
tiempo de uso del dinero y del tiempo en que esta expresada la tasa de inters),
el inters resultante no se ve modificado.
o Si la operacin es a INTERS COMPUESTO, al cambiar la tasa de inters de un periodo a otro, multiplicando o dividiendo la tasa, segn corresponda (en
este caso, la tasa mensual se multiplic por 12 para pasar la tasa mensual a
anual), (por supuesto cambiando n, dado que el valor de n depende del tiempo
de uso del dinero y del tiempo en que esta expresada la tasa de inters), el
inters resultante es diferente.
o Con la tasa anual, para un periodo de dos aos, se obtiene menores intereses que si se aplica una tasa mensual. Esto se debe a que al aplicar
una tasa anual, la capitalizacin de los intereses se realiza una vez que
ha transcurrido recin un ao, por lo tanto en el periodo de dos aos solo
se van a producir dos capitalizaciones de intereses. En cambio, si se
aplica la tasa mensual, las capitalizaciones de intereses se producirn
mes a mes, es decir, en el periodo de dos aos habr 24 capitalizaciones
de intereses, generando con ello, mayores intereses.
Por lo tanto, para cambiar tasas de
inters se debe tener en cuenta si la
operacin de crdito es a inters simple
o a inters compuesto.
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5.1 TRANSFORMACIN DE TASAS DE INTERS EN OPERACIONES A
INTERS SIMPLE
Situacin A
Si una tasa anual se desea transformar a una tasa por un periodo menor, aquella se
debe dividir segn corresponda:
1. Transformacin de Tasa anual a Tasa Semestral: ia / 2 2. Transformacin de Tasa anual a Tasa Trimestral: ia / 4 3. Transformacin de Tasa anual a Tasa Mensual: ia / 12 4. Transformacin de Tasa anual a Tasa Diaria: ia / 360
En este ltimo caso, el dividir la tasa anual por 360, se conoce con el
nombre de transformacin de tasa segn criterio ordinario. Existe el
criterio exacto, donde la tasa anual se divide por la cantidad de das
exactos que tiene el ao (365 o 366 si es bisiesto), pero en la prctica no
es utilizado.
Situacin B
Si una tasa semestral se desea transformar a una tasa por un periodo menor,
aquella se debe dividir segn corresponda:
1.- Transformacin de Tasa semestral a Tasa Trimestral: is / 2
2. Transformacin de Tasa semestral a Tasa Mensual: is / 6 3. Transformacin de Tasa semestral a Tasa Diaria: is / 180
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Situacin C
Si una tasa Trimestral se desea transformar a una tasa por un periodo menor, aquella
se debe dividir segn corresponda:
1. Transformacin de Tasa trimestral a Tasa mensual: itr / 3 2. Transformacin de Tasa trimestral a Tasa Diaria: itr / 90
Situacin D
Si una tasa Mensual se desea transformar a una tasa diaria, la tasa mensual se debe
dividir por 30 (criterio ordinario).
El criterio exacto, que consiste en dividir la tasa
mensual por 28, 29, 30 o 31 das, segn sea el
mes en cuestin, no es aplicado en la prctica.
Situacin E
Si se desea transformar una tasa de inters para un periodo mayor, la tasa debe
ser multiplicada, segn sea el caso:
1. De tasa diaria a tasa mensual: id * 30 2. De tasa diaria a tasa trimestral: id * 90 3. De tasa diaria a tasa semestral: id * 180 4. De tasa diaria a tasa anual : id * 360 5. De tasa mensual a tasa trimestral: im*3 6. De tasa mensual a tasa semestral: im*6 7. De tasa mensual a tasa anual: im*12 8. De tasa trimestral a tasa semestral: itr*2 9. De tasa trimestral a tasa anual: itr*4 10. De tasa semestral a tasa anual: is*2
5.2 TASAS DE INTERS EN OPERACIONES A INTERS COMPUESTO
En operaciones a Inters compuesto es necesario distinguir entre las siguientes tasas de
inters:
o Tasa de Inters Nominal o Tasa de Inters Efectiva o Tasa de Inters Equivalente
MATEMATICAS FINANCIERA
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5.2.1 Tasa de Inters Nominal
Se refiere a aquella tasa de inters pactada por las partes en una operacin de crdito,
que se aplica sobre el capital o dinero adeudado para generar intereses, durante el
periodo indicado en la tasa de inters.
Ejemplo: Un capital de $500.000 a una tasa de inters del 2% trimestral.
o El inters resultante para un trimestre sera de $10.000 (500.000 * 0,02)
o La tasa de inters nominal trimestral es de un 2%
5.2.1.1 Capitalizaciones de los Intereses
En general, cuando se seala una tasa nominal anual, significa que los intereses se van a
capitalizar (sumar los intereses al capital), cada vez que se cumpla un ao.
Si la tasa de inters es nominal mensual, al final de cada mes los intereses
se sumarn al capital.
Si la tasa de inters nominal es por periodos de 55 das, cada 55 das los
intereses se capitalizarn.
En la frmula de INTERS COMPUESTO, I = C*((1+i)n 1), el exponente
n representa la cantidad de capitalizaciones de intereses que se producir durante el tiempo de uso del dinero.
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5.2.1.2 Capitalizacin de Intereses en un periodo menor al tiempo de la Tasa de
Inters
Existen operaciones de crdito en que la capitalizacin de los intereses no se realiza en
el tiempo indicado en la tasa de inters nominal.
(En este caso NO se debe usar el concepto
nominal para relacionarlo con la inflacin.
Tema se ver ms adelante).
Por ejemplo, los crditos hipotecarios que otorgan los bancos, generalmente se
establecen a una tasa anual, pero las cuotas se pactan mensualmente. En este caso, como
la deuda cambia mes a mes, es necesario determinar los intereses mensualmente, es
decir, la capitalizacin de intereses es mensual.
Implcitamente la tasa anual es con capitalizacin mensual
Por ejemplo, si la tasa anual es del 6% y la capitalizacin de
intereses es mensual, la tasa de inters por periodo de
capitalizacin sera: 6%/12, es decir, 0,5%.
Para calcular los intereses mensuales se debe usar la tasa del 0,5%
En estos casos la tasa de inters por periodo de capitalizacin ya no es la tasa nominal.
Alternativas de Tasas de Inters por Periodos de Capitalizacin
Tasa por periodo de capitalizacin
o Tasa anual con capitalizacin mensual ia / 12 o Tasa anual con capitalizacin trimestral ia / 4 o Tasa anual con capitalizacin semestral ia / 2 o Tasa semestral con capitalizacin mensual is / 6 o Tasa semestral con capitalizacin trimestral is / 2 o Tasa trimestral con capitalizacin mensual it / 3
En Chile, el periodo mnimo de capitalizacin es de 30 das
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Efectos de la Capitalizacin de los intereses en n
Es necesario recordar, que n es nmero de veces que se genera intereses en el tiempo de uso del dinero.
En el caso de inters compuesto, donde la capitalizacin de intereses es por periodos
menores a lo indicado en la tasa de inters, el exponente de la frmula I = C*((1+i)n
1) representa la cantidad de veces que se capitalizan intereses en el tiempo de uso del dinero.
Ejemplo:
Capital: $500.000
Tasa de inters anual con capitalizacin mensual: 15%
Tiempo de uso del dinero: 3 aos
Tasa de
inters por
periodo de
capitalizacin:
0,15/12
n 36
I = 500.000*((1+0,15/12)36
- 1) = $ 281.972
Ejemplo; Del problema anterior, determinemos el inters para los primeros 7
meses
Tasa de
inters por
periodo de
capitalizacin:
0,15/12
n 7
I = 500.000*((1+0,15/12)7 - 1) = $ 45.425
Del siguiente ejemplo, explica que cambios hay
respecto al ejercicio anterior
I = 500.000*((1+0,15)7/12
- 1)
NOTA. Si la tasa de inters se pacta para cierto tiempo y la capitalizacin de los
intereses es por dicho periodo, NO corresponde transformar la tasa de inters de
un periodo a otro
MATEMATICAS FINANCIERA
Hardy Seplveda Daz Pgina 43
(ya sea dividiendo o multiplicando), porque distorsionara los
resultados.
5.2.2 Tasa de Inters Efectiva
Cuando la capitalizacin de intereses es por periodos menores al tiempo de la tasa de
inters, el inters resultante es mayor que si la capitalizacin es por el tiempo que indica
la tasa. Mientras mayores sean las capitalizaciones mayores sern los intereses para un
mismo periodo.
Por lo tanto es posible encontrar que frente a la misma tasa de inters nominal, durante
un mismo tiempo, cierto capital puede generar distintos intereses. Veamos un ejemplo;
Capital: $2.000.000
Tiempo de uso del dinero: 4 aos
Tasa nominal anual; 12% Tasa nominal anual con capitalizacin
mensual; 12%
Tasa de inters por periodo de
capitalizacin: 0,12 (12%)
Tasa de inters por periodo de
capitalizacin: 0,12/12 (12%/12)
I = C*((1+i)n 1) I = C*((1+i)n 1)
I = 2.000.000*((1+0,12)4-1) I = 2.000.000*((1+0,12/12)
48-1)
I = $ 1.147.039 I = $ 1.224.452
Por lo tanto, para tomar decisiones
no basta con conocer la tasa de
inters nominal de un crdito, sino
ms bien, la tasa de inters efectiva
que se esta aplicando a un
prstamo.
5.2.2.1 Concepto de Tasa de Inters Efectiva
o Corresponde a aquella tasa de inters que permite generar intereses, durante cierto tiempo, con una sola capitalizacin de intereses.
o Se obtiene dividiendo el inters que genera la inversin, depsito o prstamo durante cierto tiempo, por la cantidad de dinero invertido, depositado o
solicitado en prstamo.
Tasa de inters efectiva: Inters (que genera la inversin)
Inversin
MATEMATICAS FINANCIERA
Hardy Seplveda Daz Pgina 44
Ejemplo:
Capital (Inversin): $300.000
Inters anual: $60.000
Tasa efectiva anual: iea: 60.000 / 300.000
Tasa efectiva anual: iea: 0,2
Tasa efectiva anual: iea: 20%
o Es posible determinar la tasa efectiva para cualquier tiempo. (lo importante es que debe haber una sola capitalizacin de intereses en dicho periodo). Por
ejemplo:
o Tasa de inters efectiva anual: Inters anual / Inversin o Tasa de inters efectiva semestral: Inters semestral / Inversin o Tasa de inters efectiva trimestral: Inters trimestral / Inversin o Tasa de inters efectiva mensual: Inters mensual / Inversin o Tasa de inters efectiva 45 das: Inters para 45 das / Inversin
o La tasa efectiva es igual a la tasa nominal cuando la capitalizacin de los intereses de la tasa nominal se produce en el tiempo indicado en esta ltima. Por
ejemplo, si la tasa nominal anual es de 10% y la capitalizacin de intereses es
anual, la tasa efectiva anual es de un 10%.
o Cuando la tasa nominal pactada tiene capitalizaciones de intereses en periodos menores al tiempo sealado en la tasa de inters (ejemplo, 6% anual con
capitalizacin mensual), la tasa efectiva ser mayor a la tasa nominal.
Comprobacin:
Capital:
$800.000
Tiempo: 12
meses
Tasa nominal anual con capitalizacin mensual: 6%
I 12 meses: 800.000*((1+0,06/12)12
-1) = $ 49.342
Clculo de tasa efectiva anual:
Frmula: Inters efectivo anual / Inversin
(capital)
Tasa efectiva anual: 49.342 / 800.000
Tasa efectiva anual: 6,17% La tasa nominal anual pactada es de un 6%, pero efectivamente se esta pagando por el prstamo un 6,17%. Es este ltimo dato el que se debe tener presente para la toma de decisiones.
MATEMATICAS FINANCIERA
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Los bancos cuando ofrecen, por los crditos hipotecarios, una determinada tasa de inters anual, la tasa efectiva que ganan es mayor, dado que la capitalizacin de intereses es mensual. (la letra chica!)
5.2.3 Tasa de Inters Equivalente
5.2.3.1 Antecedentes Previos
Como se ha demostrado anteriormente, en inters compuesto, al cambiar la tasa de
inters, utilizando el procedimiento descrito en inters simple (dividiendo la tasa o
multiplicndola), los intereses resultantes son distintos.
Hasta el momento, cuando el tiempo de uso del dinero se encuentra expresado de un
modo distinto a como esta establecida la tasa de inters (tiempo en das y la tasa anual),
se ha procedido a dejar establecido el tiempo de uso del dinero al periodo en que esta
expresada la tasa de inters. Algunos ejemplos.
Tasa de inters anual: 15%
Tiempo de uso del dinero: 7 meses
La tasa se expresa: 15% o bien 0,15
El tiempo se expresa: n 7/12
Tasa de inters anual: 15%
Tiempo de uso del dinero: 267 das
La tasa se expresa: 15% o bien 0,15
El tiempo se expresa: n 267/360
Tasa de inters semestral: 4%
Tiempo de uso del dinero: 7 meses
La tasa se expresa: 4% o bien 0,04
El tiempo se expresa: n 7/6
Tasa de inters mensual: 1,2%
Tiempo de uso del dinero: 267 das
La tasa se expresa: 1,2% o bien 0,012
El tiempo se expresa: n 267/30
Tambin se ha podido comprobar que si en vez de transformar el tiempo, se deja
expresada la tasa de inters al modo como esta expresado el tiempo de uso del dinero,
los intereses resultantes en inters simple no sufren modificacin, pero a inters
compuesto cambian.
MATEMATICAS FINANCIERA
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Para su comprobacin tomemos los siguientes datos:
Capital: $2.000.000
Tasa de inters anual: 15%
Tiempo de uso del dinero: 7 meses
Tiempo segn tasa de inters Tasa de inters segn se expresa el
tiempo de uso del dinero
Tasa de inters anual: 0,15
Tiempo de uso del dinero: 7/12
Tasa de inters 0,15/12
Tiempo de uso del dinero 7
I = C*((1+i)n 1) I = C*((1+i)n 1)
I = 2.000.000*(1+0,15)7/12
-1) I = 2.000.000*(1+0,15/12)7-1)
I = $ 169.887 I = $ 181.701
Se produce mayores intereses dado
que la capitalizacin de intereses es
mensual
Si se desea calcular intereses pero trabajando con una tasa de inters por un periodo
distinto al pactado, y no se quiere que se produzcan distorsiones en los intereses, se
debe calcular una tasa de inters que sea equivalente a la establecida originalmente.
MATEMATICAS FINANCIERA
Hardy Seplveda Daz Pgina 47
5.2.3.2 Concepto de Tasa Equivalente
Dos tasas de inters son equivalentes, si aplicadas sobre un mismo capital, durante
un mismo tiempo, permiten generar un mismo inters o monto.
La tasa equivalente se puede determinar tanto a inters simple como
compuesto. (En inters simple basta multiplicar o dividir la tasa. En
inters compuesto se ver a continuacin su procedimiento de
clculo).
Procedimiento para determinar Tasa de Inters Equivalente
Alternativa 1:
PASO A: Con la tasa de inters pactada (original) se determina el inters que
generar el capital por el tiempo establecido.
PASO B: Con el inters obtenido en PASO A, se calcula la tasa de inters que
permita generar al capital establecido en el tiempo sealado, el inters
respectivo. (Se obtiene la tasa de inters equivalente)
Ejemplo:
Capital: $3.000.000
Tiempo: 2 aos
Tasa nominal semestral: 5%
SE PIDE: Tasa equivalente mensual: iem
PASO A: I 2 aos: 3.000.000*((1+0,05)4 1) = $ 646.519
PASO B: I 2 aos: 3.000.000*((1+ iem)24
1)
Ahora como la tasa que se solicita es mensual, la
cantidad de capitalizaciones en dos aos n es 24
646.519: 3.000.000*((1+ iem)24
1)
El inters que debe generar el capital para un
periodo de dos aos, aplicando una tasa de inters
mensual, debe ser de $646.519.
o Si se despeja la ecuacin, se obtendr la tasa equivalente mensual de la tasa del 5% semestral.
MATEMATICAS FINANCIERA
Hardy Seplveda Daz Pgina 48
o Es posible aplicar la siguiente frmula (obtenida del despeje de la frmula de inters)
Tasa de inters: n CI 1/ - 1
Apliquemos la frmula
Tasa de inters mensual: 24 )13000000/646519( -
1
Tasa de inters mensual: 0,81648%
Comprobacin:
Para comprobar si la tasa determinada es equivalente a tasa
original vamos a determinar el inters que genera un capital de
$1.000.000 durante 128 das.
Para cualquier tiempo y capital la tasa equivalente debe generar el
mismo inters que la tasa original.
Capital: $1.000.000
Tiempo: 128 das
Tasa SEMESTRAL: 5% Tasa equivalente MENSUAL:
0,81648%
I = C*((1+i)n 1) I = C*((1+i)n 1)
I = 1.000.000*((1+0,05)128/180
-1) I = 1.000.000*((1+0,0081648)128/30
-1)
I = $ 35.304 I = $ 35.304
AMBAS TASAS SON EQUIVALENTES
Ver anexo N1 tasas de inters nominal, efectiva y equivalente
MATEMATICAS FINANCIERA
Hardy Seplveda Daz Pgina 49
Es aquella tasa de inters que las partes pactan. Esta refirida a cierto periodo
ejemplo 3,94% anual crdito hipotecario
0,12% 30 das depsito a plazo
capital $ 2.000.000 $ 2.000.000 $ 2.000.000
tasa nominal anual 15% 15% 15%
tiempo (das) 200 200 200
capitalizacin de intereses anual mensual trimestral
tasa de inters por periodo de
capitalizacin 15% 0,15/12 0,15/4
Inters Compuesto (frmula)
inters compuesto $ 161.479 $ 172.686 $ 170.497
inters para un mes $ 23.430 $ 25.000 $ 24.694
iem 1,17% 1,25% 1,23%
inters para un trimestre
ietr
TASAS DE INTERS EQUIVALENTE
tasas de inters nominal 12% 1%
tiempo de la tasa anual mensual
capital
tiempo (das)
inters simple (frmula)
inters simple $ 16.667 $ 16.667 I = C*i*n
inters compuesto (frmula)
inters compuesto $ 15.990 $ 16.862
calculo de tasa equivalente anual 16.862 = 500.000*((1+ia)100/360
- 1)
12,68%
son tasas equivalentes
no son tasas equivalentes
inters para un trimestre
capitaltasa efectiva trimestral
Dos tasas de inters son equivalentes, si aplicadas sobre un mismo capital durante un mismo tiempo, generan un
mismo inters o monto
$ 500.000
100
TASAS DE INTERS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE
tasa efectiva mensualinters para un mes
capital
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EJERCICIO N 1
Capital $ 3.000.000
Fecha de inversin 12/03/2008
Fecha de retiro de inversin 25/06/2008
Tasa de inters pactada (anuales) 15%
Capitalizacin de intereses pactada mensual
Tiempo de uso del dinero
1.1 Inters de la inversin
1.2 Inters de la inversin si los intereses se capitalizan semestralmente
Inters
1.3 Monto de la inversin durante el mes de marzo, considerando que la
capitalizacin de los intereses es anual
Inters
1.4 Si la tasa efectiva se determina dividiendo el inters del periodo por la inversin,
y basado en el problema original, determine:
1.4.1 La tasa efectiva anual
Inters efectivo anual
Tasa de inters efectiva anual
1.4.2 Tasa efectiva trimestral
Inters efectivo trimestral
Tasa de inters efectiva trimestral
2.- A una persona le estn cobrando una tasa de inters nominal del 22% anual con capitalizacin trimestral
(las cuotas son trimestrales). Determine la tasa efectiva anual que se le esta aplicando.
2.1 Use un capital de $ 200
2.2 Use un capital de $ 3.142.000
2.3 Use un capital de $ 380.000
2.4 Use un capital de $ 5
Datos
Tasa anual 22%
Capitalizacin de Intereses trimestral
Inters anual
2.1
2.2
2.3
2.4
3.- Capital 2600000
tiempo (das) 44
tasa anual 18%
3.1 Calcular el inters por el periodo de la inversin
3.2 Determine una tasa mensual que sea equivalente a la tasa anual del 18%
Tasa mensual
Comprobacin
Capital $ 400.000
tiempo (meses) 9 inters 9 meses
tasa anual 18%
tasa mensual
CONTROL A INTERES COMPUESTO
Tasa efectiva anual
4.- Don Jos desea invertir $12000000 en depsito a plazo. Para ello consulta en dos bancos
los cuales les ofrecen las siguientes alternativas
Banco tasa de inters Periodo de depsitoTasa 35 das Tasa 65 das
BCI 0,58% 65
Chile 0,33% 35
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EJERCICIO N 2
Alternativas de inversin en depsito a plazo
Monto de inversin $ 2.800.000
tasa
tiempo de
depsito
(das)
Banco Chile 0,65% 70 2.800.000*((1+0,0065)360/70-1) $ 94.869 (1+0,0065)360/70-1 3,39%
Banco Santander 0,33% 31 2.800.000*((1+0,0033)360/31-1) $ 109.202 (1+0,0033)360/31-1 3,90%
Banco Estado 1,02% 90 2.800.000*((1+0,0102)360/90-1) $ 116.000 (1+0,0102)360/90-1 4,14%
tasa equivalente anualinters para un ao
desarrollo EJERCICIO N 2
Alternativas de inversin en depsito a plazo
Monto de inversin $ 2.800.000
tasa
tiempo de
depsito
(das)
Banco Chile 0,65% 70 2.800.000*((1+0,0065)360/70-1) $ 94.869 (1+0,0065)360/70-1 3,39%
Banco Santander 0,33% 31 2.800.000*((1+0,0033)360/31-1) $ 109.202 (1+0,0033)360/31-1 3,90%
Banco Estado 1,02% 90 2.800.000*((1+0,0102)360/90-1) $ 116.000 (1+0,0102)360/90-1 4,14%
tasa equivalente anualinters para un ao
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6. Tasa de Inters Nominal y Tasa de Inters Real
Inflacin en las Matemticas Financieras
Para entender el concepto de tasa NOMINAL y tasa REAL, es necesario tratar el tema
Inflacin.
Se entiende por Inflacin, el alza sostenida en el nivel de precios. Nivel de Precios es el conjunto de precios
que existe en la economa.
o Cuando el nivel de precios disminuye sostenidamente recibe el nombre de deflacin.
o La inflacin, en Chile, la determina el INE por intermedio de la variacin en el IPC (ndice de
precios al consumidor).
o La inflacin provoca prdida en el poder adquisitivo del dinero. (con el mismo dinero,
dado el aumento en los precios, se puede
comprar menos bienes y servicios).
o En las libretas de ahorro bancarias, para reflejar la prdida del valor del dinero producto de la
inflacin, se cancela reajuste. Cuando la variacin del IPC es negativa el reajuste pasa a
ser negativo (disminuye el dinero mantenido en
ahorro).
6.1 Tasa de Inters Nominal
Es aquella tasa de inters, o porcentaje, que se aplica a determinado capital, obteniendo
cierta cantidad de dinero adicional, denominado Inters. No toma en consideracin el comportamiento de los precios durante el periodo.
o Indica, en porcentaje, la cantidad de dinero que se ganar o gastar por usar el dinero durante cierto tiempo.
o Las tasas de inters por depsitos a plazo, las tasas de inters de colocacin de prstamos de consumo, entre otras, estn expresados en trminos nominales.
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Ejemplo:
Un depsito de $400.000 se realiza por periodos de 30 das durante 6 meses a
una tasa de inters nominal del 0,33%.
I = C*((1+i)n 1)
I = 400.000*((1+0,0033)6-1)
I = $ 7.986
o La persona que har el depsito, suponiendo que la tasa de inters se mantiene durante los 6 periodos mensuales, ganar en el
semestre $7.986. Es decir, retirar al final de los 6 meses
$407.986.
o La persona, por el depsito ganar dinero. Con ese mayor dinero debera estar en condiciones de poder comprar mayor cantidad de
bienes o servicios, si los precios de stos no varan o su
incremento es menor a la tasa de inters.
o Si la inflacin mensual durante el periodo es mayor a la tasa de inters nominal pactada, el ahorrante, a pesar de ganar dinero, su
poder de compra se ver disminuido, dado que podr comprar
menores cantidades de bienes o servicios.
o Por tal motivo, para tomar buenas decisiones, es necesario conocer la rentabilidad real o tasa de inters real.
6.2 Tasa de Inters Real
Es aquella tasa de inters que permite determinar, en trminos porcentuales, el
mayor o menor poder de compra que puede generar las ganancias de una
inversin o prstamo, durante cierto tiempo.
Por ejemplo: Si una operacin de crdito se pacta a una tasa de inters real del
1% por periodos de 90 das, significa que la persona que gane los intereses, al
final de los 90 das podr comprar 1% ms de bienes o servicios con la
cantidad de dinero que recibir. Si hoy puede comprar 100 unidades de un
artculo X, al final de los 90 das podr comprar 101 unidades de ese artculo.
Toda tasa de inters que se pacte en UF (Unidad de Fomento), es una tasa de
inters real.
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6.2.1 Procedimiento para determinar la Tasa de Inters Real
Para determinar la tasa de inters real, un modo fcil y rpido de hacerlo, es restar a la
tasa de inters nominal la inflacin del periodo.
Tasa Real = Tasa nominal Inflacin
ir = in - inflacin
Por ejemplo;
Una persona el 01 de septiembre deposita en un banco cierta cantidad de
dinero, a una tasa de inters nominal a 30 das del 0,4%. Al retirar su dinero
se entera que la inflacin durante el mes de septiembre fue de 0,1%. La
rentabilidad real obtenida por el depsito durante el mes de septiembre sera:
ir = in - inflacin
ir = 0,4% - 0,1%
ir = 0,3%
La tasa real del 0,3% significa, que la persona por hacer el
depsito durante el mes de septiembre aumentar el poder de
compra del dinero depositado en un 3%, es decir, aumenta su
riqueza en un 0,3%
Tambin es posible, conociendo la tasa de inters real y la inflacin del periodo,
determinar la tasa de inters nominal por dicho tiempo.
in = ir + inflacin
Por ejemplo;
Un depsito se realiza al 4% real anual durante un ao. Por dicho tiempo la
inflacin es de un 6%. La tasa nominal sera:
ina = ir + inflacin
ina = 4% + 6%
ina = 10%
o Por el depsito anual el inversionista vera incrementado el poder de compra en un 4%. Por ejemplo, si hoy, con el dinero que se deposita,
puede comprar 100 kilos de pan, al final del ao, con la cantidad de
dinero que recibe podr comprar 104 kilos de pan. (si la variacin en
el precio del pan refleja la inflacin del periodo)
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o Por el depsito anual el inversionista vera incrementado su cantidad de dinero en un 10%. Por ejemplo, si el depsito es de $100.000, al
final del ao el dinero a retirar ser de $110.000, obtendr $10.000
adicionales por permitir que el banco use su dinero durante un ao.
6.2.2 Uso de Mtodo de Fisher para estimar tasa de inters Real/Nominal
Para determinar la tasa de inters real /nominal de un modo exacto es recomendable
utilizar el mtodo planteado por Fisher.
o El mtodo Fisher seala que para determinar la tasa de inters nominal, a la tasa de inters real se le debe agregar (no sumar) la inflacin.
o Hay que tener presente que la inflacin representa un alza sostenida en los niveles de precios. Es decir, la base de clculo para determinar la variacin del IPC va cambiando. (Es parecido
a como va cambiando la base de clculo en inters compuesto).
Por tal motivo, las inflaciones mensuales no deben ser sumadas
sino agregadas, segn se muestra en la frmula de Fisher.
Mtodo de Fisher:
(1 + in)t = (1+ir)
t*(1+inflacin)
t
t: Corresponde al tiempo de uso del dinero. El valor de t depender del tiempo de la tasa nominal, de la tasa real como del periodo inflacionario considerado. Lo
importante que los exponentes representen un mismo
tiempo.
Por ejemplo:
Tasa nominal anual: ??
Tasa real semestral: 3,5%
Inflacin promedio mensual: 0,4%
La tasa nominal anual, aplicando Fisher sera:
(1 + in)t = (1+ir)
t *(1+inflacin)
t
(1 + ina)1 = (1+irs)
2*(1+inflacinm)
12
(1 + ina)1 = (1+0,035)
2*(1+0,004)
12
(1 + ina)1 =
1,1238%
ina =
12,38%
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Un capital de $1.000.000 invertido durante un ao generar una
ganancia nominal de $123.800.
6.2.3 Procedimiento para determinar la cantidad de dinero a ganar en
depsito a tasa de inters real
1. Determinar la cantidad de dinero a depositar 2. Obtener el valor de la UF para el da del depsito 3. Transformar la cantidad de dinero a depositar en UF 4. Determinar los intereses que generar el depsito, en trminos UF, durante el
periodo de la inversin.
5. Calcular el monto que se obtendra con el depsito, en UF 6. Transformar el monto,(UF), en dinero multiplicando por el valor de la UF al da del
retiro del depsito.
7. Si se quiere determinar la tasa de inters nominal efectiva, se divide el inters nominal resultante por la cantidad de dinero depositada.
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EJERCICIOS DE TASA NOMINAL / REAL
Ejercicio N 1
CAPITAL: $2.000.000
Tasa De inters real mensual: 0,3%
Tiempo de inversin: 3 meses Inflacin mensual: 0,4%
Determinar cantidad de dinero a retirar dentro de 3 meses?
Tasa de inters nominal: tasa real + inflacin
Tasa de inters nominal: 0,003 + 0,004
Tasa de inters nominal mensual: 0,007 0,7%
Monto a inters compuesto: 2000000*(1+0,007)3
Monto a inters compuesto: $ 2.042.295
Ejercicio N2
Tasa nominal anual: 15%
Inflacin trimestral: 5%
Tasa de inters real mensual:
(1+0,15) (1/12) / (1+0,05) (1/3) -1 -0,46%
Ejercicio N 3
Inflacin semestral: 5%
Tasa real trimestral: 0,8%
Tasa nominal anual:
(1+0,008) (4) / (1+0,05) (2) -1 = 13,82%
Ejercicio N 4
Tasa nominal anual con capitalizacin trimestral: 12%
Tasa inflacionaria mensual: 0,3%
Tasa de inters real semestral:
(1+0,12/4)2/(1+0,003)6-1 = 4,20%
Ejercicio N 5
Tasa Nominal anual con capitalizacin mensual: 15%
Inflacin trimestral: 2,2%
Tasa de inters real semestral?
Respuesta 3,15%
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Ejercicio N 6
A:_Tasa nominal 30 das: 0,5%
B: Tasa real 90 das: 0,2%
Inflacin anual 7%
Tasa real 90 das alternativa A?
Respuesta -0,195%
Conviene invertir en alternativa B
Ejercicio N 7
Tasa real mensual: 0,3%
Inflacin anual: 5%
Tasa nominal anual?
Respuesta: 8,84%
Ejercicio N 8
Calcular tasa real semestral Tasa nominal mensual 0,2% inflacin trimestral 1%
Respuesta; -0,79% Ejercicio N 8
Inflacin anual: 8%
Tasa Real Mensual: 0,3%
Tasa Nominal trimestral (Fisher):
Respuesta; 2,86%
Ejercicio N 9
Un banco acaba de publicitar en televisin que ofrece depsitos a plazo por 90 das una tasa de inters de colocacin del
0,3% real. Si el banco donde usted en cuentacorrentista le ofrece una tasa de inters nominal por depsitos a plazo por
30 das del 0,4%, le convendr depositar su dinero en su banco?
Se estima que la inflacin mensual para los prximos 5 meses ser de un 0,3%
Datos:
Tasa de inters real 90 das otro banco: 0,3%
Tasa de inters nominal banco donde es cuentacorrentista: 0,4% 30das.
Inflacin mensual: 0,3%
Calcular tasa nominal para 30 das del otro banco
(1+in) t = (1+ir)
t*(1+inflacin)
t
Sea t: 90 das
(1+in) 90 = (1+ir) 90*(1+inflacin)90 (1+in30)
90/30 = (1+0,00390) 90/90*(1+0,00330)
90/30
(1+in30)3 = (1+0,00390)
1*(1+0,00330)3
in30 0,40%
Respuesta:
Da lo mismo depositar en el banco donde es cuenta correntista que en el otr banco por depsitos a 30 da dado que
ambos pagan una tasa nominal del 0,4%.
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UNIDAD N 2
VALOR ACTUAL, PAGOS PARCIALES Y ANUALIDADES
VALOR ACTUAL DE UNA DEUDA CON VENCIMIENTO EN EL FUTUR0
Situaciones posibles:
CASO 1.- Una persona debe cancelar a un amigo $300.000 el 22 de junio del presente
ao.
CASO 2.- Juan en una casa comercial debe dos cuotas de $40.000 cada con
vencimiento el 01 de junio y el 1 de julio del presente.
CASO 3.- Mara desea saber cuanto dinero le esta debiendo al banco por un