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n5mero de estudiante en un curso de economa, la cantidad de *amilias quetienen acceso directo a internet, la cantidad de microemresa en una regi!n,etc%
Las $ariales C+ALITATI4AS son aquellas que reresentan, una roiedad, unatriuto%
Las $ariales cualitati$as nominales resentan modalidades no numricas y nose las uede ordenar, como or e)emlos( el color del caello de una ersona,el color de autom!$il que re-ere una mu)er, el estado ci$il de una ersona,etc,%
Las $ariales cualitati$as ordinales son aquellas que adem#s de reresentaruna roiedad, las odemos ordenar% Es decir odemos determinar cu#l $a derimero, segundo, tercero,7%, como or e)emlo( El ni$el educati$o de una
ersona, . sin estudio, rimarios, secundarios, tecn!logo, regrado ouni$ersitarios, esecialista, master, Doctor, &D0% Otra $ariale ordinal, uedeser la areciaci!n de cierta marca de comutadores or un usuario( mala,regular, uena, e6celente% El remio que adquiere un deortista en losolmicos( 'ronce, lata, oro%
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SUMATORIA PRODUCTORIA.ocional0
SUMATORIA ( ) %
En las *!rmulas que utili"amos ara otener $arios resultados en estadstica
usamos las letras griegas% El smolo, , el cual se lee 8sumatoria9 se
utili"a ara simli-car una suma de trminos% Esta letra griega 8sigma 8 seacoma/a con un $alor inicial de la $ariale y un lmite suerior 3asta dondetoma el $alor la $ariale, este $alor $a camiando de uno en uno% El smolo,
, signi-ca que los trminos que se otienen al remla"ar el $alor de la
$ariale se suman del rimero 3asta el 5ltimo, en el caso de que la sumatermine%
En general la sumatoria, se simoli"a y de-ne, as(
i=1
n
x i=x1+x2+x3++xn
En algunos casos el lmite suerior de la sumatoria es in-nito, , y se
otiene una serie, as(
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i=1
x i=x1+x2+x3++xn+
E)ercicio%
Desarrollar y simli-car las siguientes sumatorias(
1.i=1
4
2i
2.i=3
5i+1
i2
3.x=0
1
x !
Soluci!n%
1.i=1
4
2i=21+22+23+24=2+4+8+16=30
2.
i=3
5i+1
i2 =
3+1
32 +
4+1
42 +
5+1
52 =
4
9+
5
16+
6
25=
3589
3600
3.x=0
1
x !=
1
0 !+ 1
1 !+1
2 !+1
3!++
1
n!+=e=2,718281828.
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1.i=1
4
2i=2
12
22
32
4=24816=1024
2.i=3
5i+1
i2 =
3+1
32 4+1
42 5+1
52
=
4
95
16 6
25 =
1
30
SEGUNDA UNIDAD
DIST2I'+CIONES DE F2EC+ENCIAS
Dist&i'(ciones de )&ec(encias pa&a *a&ia'le c(antitati*a disc&eta +*a&ia'les c(alitati*as
Si tenemos una $ariale cuantitati$a discreta o una $ariale cualitati$a, la
odemos resumir en una tala que recie el nomre de distriuciones de*recuencias% &ara ellos re$isemos las siguientes de-niciones(
Frecuencias asolutas% fi
Las *recuencias asolutas es el n5mero de $eces que se reite un dato% Las
simoli"aremos con la letra 8e*e9 min5scula( fi
La suma de las *recuencias asolutas es igual al n5mero de datos . n 0%
n f1 , f2 , f3 , -- , fm
fi
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Oser$e que 3emos tomado un sundice m , deido a que los $alores que
toma la $ariale, or lo general son menores que el n5mero de datos . n 0
&ara determinar las *recuencias asolutas se utili"a el conteo o recuento% Se
escrien los $alores ordenados de la $ariale sin reetirlos% Luego se 3ace unamarca *rente a cada $alor tantas $eces el dato se encuentre en la lista dedatos, se recomienda 3acer gruos de cinco marcas% &ara e6licarlo m#sclaramente, consideremos los siguientes datos los cuales odran corresonderal n5mero de 3i)os de :; *amilia oser$adas( , ?,
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Oser$e que la 5ltima *recuencia asoluta acumulada es igual al n5mero dedatos%
Frecuencias relati$as% hi
Las *recuencias relati$as se calculan di$idiendo cada *recuencia asoluta . fi
0, entre el n5mero de datos . n 0% eneralmente se las e6resa en orcenta)e
ara su *#cil interretaci!n% Se denotan y de-nen as(
hi fi
n
fi
n100
La suma de las *recuencias relati$as es igual a : o al :??%
h1+h2+h3++hm h i : @ :??%
Las Frecuencias 2elati$as Acumuladas% Hi
Las *recuencias relati$as acumuladas se calculan di$idiendo cada *recuencia
asoluta acumulada . Fi 0, entre el n5mero de datos . n 0% eneralmente se
las e6resa en orcenta)e ara su *#cil interretaci!n% Se denotan y de-nenas(
Hi Fi
n
Fi
n100
Otra *orma de calcular las *recuencias relati$as acumuladas es mediante lassumas sucesi$as de las *recuencias relati$as%
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H1 h1
H2 h2+h1
H3 h3+h2+h1
-------------
Hm hm++h3+h2+h1 $ $##.
Oser$e que la 5ltima *recuencia relati$a es el :?? o uno%
Con cada $alor calculado rocedemos a construir la distriuci!n de *recuencias,la cual es una tala que contiene( la $ariale de estudio, las *recuenciasasolutas, las *recuencias relati$as, las *recuencias asolutas acumuladas y*recuencias relati$as acumuladas% La *orma general de una distriuci!n de*recuencias es la siguiente%
x i fi Fi hi Hi
x1 f1 F1h1=
f1
n
H1
x2 f2 F2h2=
f2
n
H2
x3 f3 F3h3=
f3
n
H3
% % % % %% % % % %
xm fm Fm=nhm=
fm
n
Hm=100=1
TOTAL n $/$##.
donde,
xi : 4ariale de estudio
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fi : Frecuencias asolutas%
Fi : Frecuencias asolutas acumuladas%
hi : Frecuencias relati$as%
Hi : Frecuencias relati$as acumuladas%
E)emlo(
Las esquera m#s grande del &uerto de Tumaco, tiene en su n!mina a >?emleados% &or leyes del goierno toda emresa dee dar un susidio deeducaci!n a cada 3i)o de los traa)adores% El gerente ara 3acer a)ustes en el
resuuesto de la emresa determina el n5mero de 3i)os de los traa)adoresque estn estudiando y otiene los siguientes resultados(
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? G G := :=: H :=
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Nota( Los inter$alos que se *orman se consideran semiJaiertos or derec3a, es
decir tienen la *orma( K a , b 0, este inter$alo contiene todos los $alores
comrendidos entre a y b , incluyendo a a y e6cluyendo a b %
Algunos autores de-nen de manera di*erente los inter$alos, or e)emlo, alconsiderarlo cerrado, es decir de la *orma, Ka, al siguiente inter$alo se deeiniciar or lo menos : milsima m#s grande que %
Amlitud del inter$alo% . c 0% Es la distancia que 3ay entre el lmite suerior y
el lmite in*erior de cada inter$alo% No necesariamente todos los inter$alosdeen tener la misma amlitud% Se aconse)a usar la siguiente *!rmula
c rango
nmerodetervao
R
m , .La aro6imaci!n se la 3ace
or e6ceso% Se uede usar decimales0%
Construcci!n de los inter$alos
El lmite in*erior . "inf1 0, del rimer inter$alo es el $alor mnimo de los datos,
y el lmite suerior del rimer inter$alo . "1 0, se otiene sumando al $alor
mnimo la amlitud% Este lmite suerior ser# el lmite in*erior del segundointer$alo, de aqu en adelante el roceso se reite 3asta *ormar el 5ltimointer$alo%
Suongamos que deseamos traa)ar con =inter$alos de amlitud >y que el$alor mnimo de los datos es de
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&ara e6licarlo m#s claramente, consideremos los inter$alos anteriores y lossiguientes datos( ?, BB, B:, >:,
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Construir una distriuci!n de *recuencias%
Soluci!n(
La $ariale de inters es el eso de los emleados, la cual es una $arialecuantitati$a continua, or lo tanto calculemos(
2ango%
En la serie de datos odemos oser$ar que el eso mnimo es >=Pg% y el esom#6imo es de :?< Pg%, entonces
Rango @ R Vmximo Vmnimo :?= =;
N5mero de inter$alos%
Alicando la regla de Sturges, tenemos
m 1+3,3log (n) 1+3,3log (40) 6!"76899- 7
La amlitud de cada inter$alo es
c rango
nmerodeintervao
R
m
57
7
7!$%"78- ,= y su lmite suerior se otienesum#ndole la amlitud de ,=, >G, =, ==, =;, =H, G?, G:, G, H;, :?=B,< G:,> IIII I / 6G:,> GH,G IIII II / 8GH,G ;;, IIII IIII I / $$;;, G IIII / %
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G H>,< IIII II / 8H>,< :? II / "
Con las de-niciones y *!rmulas corresondientes construimos la siguientedistriuci!n de *recuencias
Peso;?54= Ma&cas de clasexi
0 e3pleadosfi Fi
hi Hi"inf . " .
>= =B,< >H,: B B ;,= ;,==B,< G:,> =;,B G H := ?GH,G ;;, ;B,; :: ,< H?,: ; B :;,= H=H>,< :? H,B < >? = :??
TOTAL %# :??
El an#lisis de los resultados en la tala se 3ace tal como se indican ara eltercer rengl!n, as(
;de los emleados de la esquera, equi$alentes al :;,=tienen esos entrelos G:,> Pg% y GH,G Pg% &odramos decir que el eso romedio de estos sietetraa)adores es aro6imadamente de G=,= Pg%
:Gde los emleados de la esquera, equi$alentes al >?tienen esos entrelos >= Pg% y GH,G Pg%
Estos resultados los odramos oser$ar gr#-camente en un ISTO2A1A, oen un &OLIONO DE F2EC+ENCIAS, los cuales se de-nen en la sesi!n der#-cos Estadsticos%
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Histograma
45 55 5 !5 "5 #5 $ %5
peso
%
5
$%
$5
&%
&5
'%
p
o
rce
n
ta
(e
Pogono de )recuencias para PE*+
45 55 5 !5 "5 #5 $%5
peso
%
5
$%
$5
&%
&5
'%
p
o
rce
n
ta
(e
,E-CE- /01DD1EDIDAS DE TENDENCIA CENT2AL 1EDIDAS DE &OSICION
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son $alores que en una serie ordenada dedatos 8tienden9 a uicarse en el centro% Tamin, se las conoce con el nomrede romedios% Entre ellas tenemos(
La media aritmtica o romedio aritmtico%La media aritmtica onderada%La media geomtrica%La mediana%La moda4
Media A&it3@tica o P&o3edio A&it3@tico4
Es el cociente entre la suma de los datos y el n5mero de datos. n 0% +na
$enta)a de este romedio es que considera la in*ormaci!n de todos los datos, yuna des$enta)a es que es muy sensile a $alores e6tremos%
x xin
x1+x2+x3++xn
n ! ara datos
NO agruados
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Se oser$a que la $ariale de inters es el recio de los roductos, or tanto, elrecio romedio se calcula as(
x (xifi )
n
x1f1+x2f2++xmfm
n
20.0004+12.00012+9.0009+17.00015
40
560.000
40 :>%???
Otra *orma de calcularla es desarrollando las oeraciones en una tala, as(
P&od(cto P&ecio Cantidadx ifix i fi
+S'
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el asirante que otenga el m#s alto unta)e ser# el seleccionado, si seresentaron 2oerto, Luis, os, Ana y 2osa y otu$ieron los unta)es que semuestran en la siguiente tala% uin *ue el seleccionadoR%
Aspi&ante Conoci3ientos Bo2a de *ida Ent&e*ista2oerto G ;< ?Luis ;= G> ;
os G; ;: ;Ana ;< GH ;B2osa ;B G=
Soluci!n(
Como cada ruea tiene di*erente imortancia 8onderaci!n o eso9, noodemos alicar la media aritmtica o romedio aritmtico ara calcular elunta)e de cada asirante% Aqu deemos utili"ar la media aritmtica
onderada x# %
&ara calcular el unta)e romedio onderado que otu$o 2oerto deemoscalcularlo as(
x# (xi$ i)
$i
x1$1+x2$2++xm$m
$1+$2+$3++$ m
680,70+720,20+800,10
0.70+0,20+0,10
70
1 ;? untos%
En la tala se muestran los unta)es romedios onderados . x# 0, ara los
dem#s asirantes%
No3'&easpi&ante
Conoci3ientos;8#.=
Bo2a de *ida;"#.=
Ent&e*ista;$#.= x# x
2oerto G ;< ? ;? ;B,BLuis ;= G> ; ;B,: ;
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&or lo tanto, Luis es el seleccionado ara el cargo director del #rea contale enla alcalda de &asto, con un unta)e romedio de ;B,:untos%
Oser$emos que calculado la media aritmtica ; x =, 2osa sera la
seleccionada con un unta)e de ;=,B untos, cometiendo el error de darle unaonderaci!n de BB,B a la entre$ista y a las otras dos rueasU camiando aslas reglas de selecci!n%
Media Geo3@t&ica4
Se la utili"a cuando los datos crecen en rogresi!n geomtrica, es decir, los
datos aumentan r#idamente%
Las *!rmulas de c#lculo son las siguientes(
%g n
(x1x2x3xn ) n
(xi ) ! ara
datos NO agruados
%g n
(x1f1x2
f2x3f3xm
fm) n
(xifi ) ! ara datos
agruados
Los roductos dentro de la ra" suelen ser muy grandes, una *orma de traa)arcon $alores eque/os es utili"ando los logaritmos en ase :?, as(
%g antiog ( log x in ) ! ara datos NO agruados
%g antiog ( (filogx i)n ) ! ara datos agruados
E)emlo(
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Calcular la media geomtrica de los siguientes datos(
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1ediana ara datos No agruados(
Si el n5mero de datos es imar, la mediana es el $alor que se encuentra en elcentro de la serie ordenada%
Si el n5mero de datos es ar, el $alor de la mediana se encuentra
romediando los dos $alores centrales%
E)emlo(
En internet ulican los recios de cinco lanes tursticos( B=, B;, >H?, >=:?, >=B?, >G??, >;??, G???4
El lugar de la mediana es "%e
n+1
2 =
6+1
2 B,=% Esto indica
que la mediana se encuentra entre el tercer dato y el cuarto% Es decir, la
mediana es4530+4600
2
9130
2 >=G=% Esto signi-ca que el
=? de los instrumentos $ulcanol!gicos esa menos de >=G= gramos y el otro=? esa m#s de >=G= gramos%
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1ediana ara datos agruados(.$ariale cuantitati$a discreta0
Se calcula el lugar de la mediana, y 3aciendo lectura en las *recuencias
asolutas acumuladasFi
, se selecciona la inmediatamente mayor o igual allugar de la mediana y se determina donde se encuentra la mediana% aciendolectura en la columna de la $ariale y la -la donde se encuentra la mediana seencuentra el $alor de la mediana%
E)emlo(
? *amilias $ia)aron al uerto de Tumaco or una semana% El organi"ador y guaregunto cu#ntas ersonas or *amilia est#n de acuerdo que la dieta araesa semana sea a ase de mariscosR% Los resultados se resumen en lasiguiente tala%
x i fi
? :?: < B?B :
donde, x i : N5mero de ersonas que resondieron a-rmati$amente
fi : N5mero de *amilias%
Calcular y anali"ar la mediana%
Soluci!n(
Antes de calcular la mediana comlementemos la tala con las *recuenciasasolutas acumuladas, como se oser$a en la siguiente tala%
x i fi Fi
? :? :?: B>< B? G>B :< ;G
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E)emlo(
A un gruo de ersonas seleccionadas aleatoriamente se les regunt! cu#ntossalarios mnimos in$ertiran en tecnologa en el a/oR% La in*ormaci!n se resumeen la siguiente tala%
Sala&ios 3ni3os (ese in*e&ti&an en tecnolo5a N3e&o de pe&sonas
:JB =BJ= ;=J; :,=% Esto
indica que el +3 se encuentra entre el dato de lugar B> y el dato de lugar
B=% Adem#s, la *recuencia asoluta acumulada inmediatamente mayor a B>,=es >
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"inf . " . fi Fi
< = > >= :? :> :: := :B > :; B >='(')" %
&or lo tanto
"inf . ::
Fa Q :: B
2emla"ando en la *!rmula tenemos,
+3 "inf . , [(n,4 Fa)fo
]c 11 M [ (453
4 29)13 ] VB
:
Esto signi-ca que el ;= de las emresas m#s grandes del as, tienenutilidades mensuales in*eriores a : esos y el ? de los datos0%
Lugar del decil 4
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"- 4
,(n+1 )10
4(45+1 )
10
184
10 :,>% Esto
indica que el -4 se encuentra entre el dato de lugar : y el dato de lugar
:H% Adem#s, la *recuencia asoluta acumulada inmediatamente mayor a :,>es >= :? :> :: := :B > :; B >=
'(')" %
Po& lo tanto
"inf .
Fa :>
fo :=
c :: Q B
2emla"ando en la *!rmula tenemos,
-4 "inf . , [(n
10 Fa)fo
]c 8 M [ (45410
14 )15 ] VB
,
Esto signi-ca que el >? de las emresas m#s grandes del as, tienenutilidades mensuales in*eriores a W??%??? esos y el G? de las emresastienen utilidades mensuales sueriores a W??%???%
Clc(lo del pe¢il "94 ;Equi$alente al
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"29
,(n+1 )100
29(45+1 )
100
1334
100 :B,B>%
Esto indica que el 29 se encuentra entre el dato de lugar :B y el dato de
lugar :>% Adem#s, la *recuencia asoluta acumulada inmediatamente mayor a:B,B> es :>, corresondiente al segundo inter$alo%
Utilidad 3ens(al;3illones de pesos= 0 de e3p&esas
"inf . " . fi Fi
< = > >
= :? :> :: := :B > :; B >=
'(')" %
&or lo tanto
"inf . =
Fa >
fo :?
c Q = B
2emla"ando en la *!rmula tenemos,
29 "inf . , [ (n
100Fa)
fo ]c 5 , [ (4529
100 4)
10 ] H> 8!8$
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Esto signi-ca que el
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"inf . " . fi Fi
< = > >= :? :> :: := :B > :; B >='(')" %
De donde se tiene que(
:?,=
"inf .
Fa :>
fo
:=c :: Q @ B
2emla"ando en la *!rmula del rango ercentil se tiene
[("inf .
c )fo+Fa]100n
= [(
10,58
3 )15+14]10045
[( 2,53)15+14]10045
[26,5 ]100
45 =,H
Es decir, que el =,H de las emresas m#s grandes del as tienen unasutilidades in*eriores a :?W=??%??? esos mensuales y el >:,: de las emresastienen utilidades sueriores a :?W=??%??? esos mensuales%
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CUARTA UNIDAD
LAS MEDIDAS DE DISPERSION! VARIACION oDESVIACION
Las medidas de tendencia central, NO indican que caracterstica tienen losdatos en cuanto a si son arecidos, .3omogneos o tienen oca $ariailidad0 osi son muy distintos .3eterogneos o tienen $ariailidad considerale0% Lasmedidas de disersi!n son las que me indican que tanta $ariailidad tienen losdatos%
Las medias de disersi!n, $ariaci!n o des$iaci!n que estudiaremos ser#n( Elrango o recorrido, la des$iaci!n media, la $arian"a, la des$iaci!n est#ndar y el
coe-ciente de $ariaci!n%
El &an5o o &eco&&ido
Es la di*erencia entre el $alor m#6imo de los datos y el $alor mnimo%
Rango R Vmximo Vmnimo Vmx.
Vmn.
Si el rango es muy grande y tenemos muy ocos datos, se uede decir, que los
datos tienen muc3a $ariailidad% &ero si el rango es eque/o y tenemosmuc3os datos, estos tienen oca $ariailidad o son 3omogneos%
Aunque esta medida es muy *#cil de calcular su interretaci!n es muysu)eti$a, adem#s, 5nicamente utili"a los $alores e6tremos y no considera losotros datos%
Des*iaciones con &especto a la 3edia4
Estas no son medidas de disersi!n, ero se las utili"a ara las calcular lades$iaci!n media y la $arian"a las cuales las estudiaremos a continuaci!n%
Las des$iaciones resecto a la media es la di*erencia entre cada dato y la
media aritmtica de los datos, se ueden simoli"ar como( (xix ) ! indican
que tan distante se encuentra cada dato con resecto a la media aritmtica% Sila di*erencia es negati$a el dato se encuentra a la i"quierda de la media y si es
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ositi$a el dato se encuentra a la derec3a de la media, si es cero el dato esigual a la media%
+na roiedad de las des$iaciones resecto a la media es que la suma detodas ellas es igual a cero, es decir,
(xix ) #! ara datos NOagruados
[(xix)fi ] #! ara datos agruados
E)emlo(
Calcular las des$iaciones resecto a la media de los siguientes datos( G, >, B, ;,,> @ M:,G> > Q >,> @ J ?,>B B Q >,> @ J :,>; ; Q >,> @ M,> @ J TOTAL (xix ) #
Des*iaciFn 3edia
La des$iaci!n media es el romedio de los $alores asolutos de lasdes$iaciones resecto a la media aritmtica% Dic3o de otra manera, es elcociente entre la suma de los $alores asolutos de las des$iaciones resecto ala media y el n5mero de datos% Las *!rmulas corresondientes son:
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-% |xix|
n
|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n !
ara datos NO agruados%
-% [|x ix|fi ]
n
|x1x|f1+|x2x|f2+|x3x|f3++|xmx|fmn ! ara datos agruados%
E)emlo(
Calcular la des$iaci!n media de los siguientes datos( G, >, B, ;, ,>
En la siguiente tala se calculan las des$iaciones resecto a la media, sus$alores asolutos y los totales%
x i x ix |xix|
G G Q >,> @ M:,G :,G> > Q >,> @ J ?,> ?,>B B Q >,> @ J :,> :,>; ; Q >,> @ M @ J
'(')" (x ix ) # |x ix| / 7!%
De la tala se otiene que( -% |xix|
n
8,4
5 :,G%
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Otra manera de calcularla es
-% |xix|
n
|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n
|64,4|+|44,4|+|34,4|+|74,4|+|24,4|5
1,6+0,4+1,4+2,6+2,4
5
8,4
5 :,G%
Este $alor indica que la distancia romedio a cada uno de los datos conresecto a la media aritmtica es de :,G unidades% Es decir, que en romedio,
los datos se searan de la media en :,G unidades.Adem#s, odramosasegurar que en distribuciones normales.estas distriuciones se estudiar#n enlas unidades de roailidad0, que la mayora de los datos se encuentran entre
x-%/ x+-%
VARIANA
Se odra de-nir la $arian"a como un romedio de los cuadrados de las
des$iaciones resecto a la media, o como el cociente entre la suma de loscuadrados de las des$iaciones resecto a la media y el n5mero de datos% Lasunidades de la $ariale de estudio quedan ele$adas al cuadrado y carecen designi-cado real, or tanto, la $arian"a no tiene interretaci!n% La $arian"a es elmedio ara calcular la des$iaci!n est#ndar%
Las *!rmulas resecti$as ara el c#lculo de la $arian"a son(
Va&ianJa co&&e5ida
2
(xix )
2
n1
(x1x )
2+(x2x )
2+(x3x )
2++ (xmx )
2
n1!
ara datos NO agruados%
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2
[(xix )2fi ]
n1
(x1x )2f1+(x2x )
2f2+(x3x )
2f3++(xmx )
2fm
n1
! ara datos agruados4
La $arian"a corregida es la m#s utili"ada ara calcular la $arian"a de una
muestra%Se di$ide entre n1 , orque se est# estimando un ar#metro que
es la media olacional%
Va&ianJa SIN co&&e5i&
2
(xix )2
n
(x1x )2+(x2x )
2+(x3x )2++ (xmx )
2
n!
ara datos NO agruados
2
[(xix )2fi ]
n
(x1x )2f1+(x2x )
2f2+(x3x )2f3++(xmx )
2fmn
! ara datos agruados
DESVIACION ESTANDAR o TKPICA
La des$iaci!n est#ndar o des$iaci!n tica es la ra" cuadrada ositi$a de la$arian"a% Las unidades de la des$iaci!n est#ndar son las mismas de la $arialede estudio, y or este 3ec3o tiene interretaci!n% Nos indica cu#nto uedenale)arse los datos resecto a la media aritmtica, dic3o de otra manera, lades$iaci!n est#ndar es una medida del grado de disersi!nde los datos conresecto al $alor romedio% Esta medida es m#s estale que el rango orecorrido y toma en consideraci!n el $alor de cada dato%
Des*iaciFn estnda& co&&e5ida
2
varian0a corregida (x ix )
2
n1!
ara datos NO agruados
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2
varian0a corregida [(xix )2fi ]
n1!
ara datos agruados
Des*iaciFn estnda& SIN co&&e5i&
2
varian0a sin corregir (xix )
2
n!
ara datos NO agruados%
2
varian0a sin corregir
[(xix )2fi ]
n! ara datos agruados%
COEICIENTE DE VARIACION
El coe-ciente de $ariaci!n es una medida de disersi!n y se de-ne como elcociente entre la des$iaci!n est#ndar y la media aritmtica% Este carece deunidades y or tanto se uede e6resar en orcenta)e% Su *!rmula de c#lculoes(
1V
x
x100
El 1V indica que tan disersos se encuentran los datos con resecto a la
media aritmtica% Este es m#s reciso que la des$iaci!n est#ndar%
El Coe-ciente de $ariaci!n mide la disersi!n en trminos de orcenta)e,se/ala qu tan grande es la magnitud de la des$iaci!n est#ndar resecto alromedio del con)unto de datos que se e6amina%
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-% |xix|
n
|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n
|168177,4|+|170177,4|+|196177,4|+|180177,4|+|173177,4|
5
9,4+7,4+18,6+2,6+4,45
42,4
5 @ ,>
Este $alor indica que la distancia romedio a cada uno de los datos conresecto a la media aritmtica es de ,>% Es decir, que en romedio, los datosse searan de la media en ,> unidades.
Calc(le3os la Va&ianJa ;co&&e5ida=
2
(xix )2n1
(x1x )
2+(x2x )2+(x3x )
2++ (xmx )2
n1
(168177,4 )2+(170177,4 )2+(196177,4 )2+(180177,4 )2+ (173177,4 )2
51
88,36+54,76+345,96+6,76+19,36
4
515,2
4 = :
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1V
x
x100
11,35
177,4 ?,?GBH;H%% G,>
Este $alor es menor que el
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Peso;5&4= 0t&(c1as
fi
xi x ifi xix (x2x )2 (x2x )
2fi
"inf . " .
:;= := H :? :%G>,= :?%>>=,TOTAL "# =:%H
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2
varian0a corregida (xix )
2fi
n1
168,89 :
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m3= (x ix )3
n
La interretaci!n del coe-ciente de simetra se 3ace de la siguiente manera(
Si a3=0 , la distriuci!n es simtrica% Otra manera de llegar a la misma
conclusi!n es oser$ando que la media aritmtica, la mediana y la moda
coincidan, . x=%e=%0 0% r#-camente se tendra(
Si a3
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COEFICIENTE DE C+2TOSIS O A&+NTA1IENTO . a4 0%
Es el cociente entre el cuarto momento central . m4 0 y la des$iaci!n est#ndar
ele$ada a la cuatro%
a4=m4
43
El cuarto momento central se de-ne y calcula, as(
m4= (x ix )
4
n
La interretaci!n del coe-ciente de curtosis o auntamiento se 3ace de lasiguiente manera(
Si a4=0 , la distriuci!n es normal o mesoc5rtica%
Si a40 , la distriuci!n es auntada o letoc5rtica%
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QUINTA UNIDAD
GRAICOS ESTADISTICOS
+na manera de reresentar la in*ormaci!n es mediante los gr#-cosestadsticos% Estos ayudan de manera r#ida a re$isar la descrici!n de losdatos%
Los gr#-cos m#s comunes son(
El gr#-co o diagrama de arras .3ori"ontales, $erticales o en comonentes0El gr#-co o diagrama de lneas o tra"os%El gr#-co o diagrama de sectores, circular, de torta o de astel%
Los &ictogramas%El diagrama de Ca)as y 'igotes%El istograma%El olgono de *recuenciasLas o)i$as o olgono de *recuencias acumuladas%
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ay otros gr#-cos que se utili"an seg5n la discilina, tales como loscartogramas que se utili"an en las ciencias sociales, la cur$a de Loren" quee6lica el Coe-ciente de ini, el cual lo utili"an los economistas% EYCEL,STAT2A&ICS y S&SS, en la galera de gr#-cos resenta una gran $ariedadde gr#-cos e incluso en BD% Otros aquetes estadsticos resentan gr#-cos
eseciales como las caras de C3ernoZ y estrellas utili"ados ara an#lisis dedatos multi$ariados%
Cada tio de gr#-co est# destinado ara una laor esec-ca% Con la r#cticay de acuerdo a tus necesidades determinar#s cual utili"ar seg5n tus datos%
El gr#-co o diagrama de arras .3ori"ontales, $erticales o en comonentes0
Es un gr#-co que utili"a rect#ngulos 3ori"ontales o $erticales llamados arras%El anc3o de cada arra es aritrario, ero se dee tener en cuenta que ninguna
de ellas se dee cru"arse o 8solaarse9 con otra% El alto de cada arra deendede las *recuencias de los datos% eneralmente los $alores de las $ariales seuican en el e)e Y, y las *recuencias en el e)e .gr#-co $ertical0% Cuando se$an a anali"ar dos o m#s $ariales el gr#-co recie el nomre de gr#-co dearras en comonentes, tamin se ueden comarar la misma $ariale endos eriodos distintos con este tio de gr#-cas%
E)emlo(
Se registr! en el rimer semestre del a/o
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El gr#-co de arras $erticales es el siguiente% .Si queremos las arras3ori"ontales, uicamos los meses en el e)e , y la cantidad de +S' $endidas enel e)e Y0%
?
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Soluci!n%
El gr#-co de arras en comonentes es el siguiente% Oser$a que si tenemosdos $ariales en cada $alor del e)e Y, se gra-can dos arras% Si se tienen tres
comonentes se deer#n gra-car tres arras, etc%
enero *erero mar"o aril mayo )unio?
:?
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enero *erero mar"o aril mayo )unio?
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'ota BG?[
#arte x R
E)emlo%
La *acultad de Economa de una uni$ersidad est# comuesta or( estudiantes,docente, administrati$os y ser$icios generales% Si las cantidades de ersonasen cada estamento son las que aarecen en la siguiente tala, reresentemosesta in*ormaci!n mediante un diagrama circular%
Esta3entos Cantidad
Estudiantes ??Administrati$os :??Docente B>?Ser$icios enerales ?
TOTAL $>"#
Soluci!n%
Calculando los orcenta)es y los grados ara cada estamento, y oder tra"ar elgr#-co sin usar 3erramientas in*orm#ticas tenemos los siguientes resultados%
Esta3entos CantidadPo¢
a2es G&ados
G&adosAc(3(la
dosEstudiantes ?? G?,G
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El diagrama circular es el siguiente, resentado en tres dimensiones
G:
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El diagrama de Ca)as y 'igotes%
Este gr#-co se utili"a ara anali"ar $ariailidad de los datos y simetra, adem#sme determina datos aticos 8outlier9%
NOTA% &ara comrender los trminos usados en este gr#-co, remitirse a lasesi!n de medidas de osici!n%
En una serie ordenada de datos o en datos agruados odemos calcular lostres cuartiles los cuales di$iden al rango en cuatro artes iguales% Se aclara queel segundo cuartil es igual a la mediana% Calculados estos $alores construimos
una ca)a entre el cuartil : . +1 0 y el cuartil B . +3 0, con un anc3o
aritrario, en medio de la ca)a se uica el segundo cuartil . +2 0 o mediana%
Luego se encuentran dos $alores 21 y 22 de la siguiente *orma(
21 +11,5(+3+1 )
22 +3+1,5(+3+1 )
En el medio del anc3o de la ca)a se tra"a una segmento de recta 3asta llegar a21
y otro segmento de recta al otro lado de la ca)a 3asta llegar a22
4Estos segmentos de recta recien el nomre de igotes%
E)emlo%
Construir un diagrama de ca)as y igote ara reresentar los siguientes datos(
>=, >G, =, ==, =;, =H, G?, G:, G
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"+1 ,(n+1 )
4
1(27+1 )4
;, el stimo dato es el cuartil
:, +1= 9
"+2 ( n+1 )
4
2(27+1 )4
:>, el dato de lugar :> es el
cuartil :, +1= 66
"+3 ,(n+1 )
4
3(27+1 )4
9= / 9%
Como los igotes soreasan al $alor mnimo .>=0 y al $alor m#6imo .;;0 delos datos, los igotes toman estos $alores( >= y ;;% Esto signi-ca que noe6isten $alores aticos%
El gr#-co aro6imado es el siguiente
>=, >G, =, ==, =;, =H, G?, G:, G
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GrficodeCa(a 23igotes
45 55 5 !5 "5
pesog
GrficodeCa(a23i gotes
1nter6alos deconfian7a del #58para la mediana9 :$;$$%4; !%;""#= =B,% G HG:,> GH,G% ; :GGH,G ;;,% :: B:G H>,,< :?% < >?
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>= =B,% GH,G% ;;,% G% H>,
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que resentar se re*erir#n a dados, monedas, cartas y se alternar# cone)emlos de alicaci!n a otras situaciones%
&2INCI&IO F+NDA1ENTAL DEL CONTEO .%*%c0
Si un e$ento o suceso 31 uede ocurrir de n1 maneras di*erentes, un
e$ento o suceso 32 uede ocurrir de n2 maneras di*erentes, un e$ento o
suceso 33 uede ocurrir de n3 maneras di*erentes, y as sucesi$amente,
un e$ento o suceso 3, uede ocurrir de n maneras di*erentes,
entonces, todos los e$entos en con)unto ueden ocurrir de
n1 4n2 4n3 4.. .4nmaneradiferente
35em#o
De cu#ntas maneras di*erentes ueden caer tres monedasR%
6o7ci8n
De-namos los e$entos de la siguiente manera(
31: lanzar la primer moneda , este e$ento o suceso uede ocurrir de dos,
n1=2 , maneras di*erentes( {cara, eo}
32 :lanzar la segunda moneda , este e$ento o suceso uede ocurrir de dos,
n2=2 , maneras di*erentes( {cara, eo}
33 :lanzar la tercer moneda , este e$ento o suceso uede ocurrir de dos, n3=2
, maneras di*erentes( {cara, eo}
&or lo tanto, or el .%*%c0, las tres monedas ueden caer de(
n1 4n2 4n3=24 242=23=8maneradiferente
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Nota( Si se lan"an :? monedas, estas ueden caer de 210=1024 maneras
di*erentes%
35em#o
De cu#ntas manera di*erentes ueden caer dos dadosR%
6o7ci8n
De-namos los e$entos de la siguiente manera(
31: lanzar el primer dado , este e$ento o suceso uede ocurrir de seis, n1=6 ,
maneras di*erentes( {1,2,3,4,5,6 }
32 :lanzar el segundo dado , este e$ento o suceso uede ocurrir de seis,
n2=6 , maneras di*erentes( {1,2,3,4,5,6 }
&or lo tanto, or el .%*%c0, los dos dados ueden caer de(
n1 4n2=6 46=62
=36 manera diferente
&ara $eri-car este resultado, suongamos que en el rimer dado se otiene eluno, entonces el otro dado uede caer de las seis *ormas di*erentes, ero si elrimer dado se -)a en dos, tres, cuatro cinco o seis, el otro dado uede camiaren las seis *ormas, otenindose las BG maneras di*erentes% 4e#moslo de lasiguiente manera(
Los osiles resultados de lan"ar dos dados serian(
(1,1 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 ) , (1,5 ) , (1,6 )
(2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (2,5 ) , (2,6 )
(3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) , (3,5 ) , (3,6 )
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(4,1 ) , (4,2 ) , (4,3 ) , (4,4 ) , (4,5 ) , (4,6 )
(5,1 ) , (5,2 ) , (5,3 ) , (5,4 ) , (5,5 ) , (5,6 )
(6,1 ) , (6,2 ) , (6,3 ) , (6,4 ) , (6,5 ) , (6,6 )
35em#o
De cu#ntas manera di*erentes ueden caer un dado y una monedaR%
6o7ci8n
De-namos los e$entos de la siguiente manera(
31: lanzar el dado , este e$ento o suceso uede ocurrir de seis, n1=6 ,
maneras di*erentes( {1,2,3,4,5,6 }
32 : lanzar la moneda , este e$ento o suceso uede ocurrir de dos, n2=2 ,
maneras di*erentes( {cara, eo}
&or lo tanto, or el .%*%c0, el dado y la moneda ueden caer de(
n1 4n2=6 42=12 manera diferente
35em#o
Cu#ntas lacas de autom!$il es osile *ormar en ColomiaR% .Oser$aci!n(Cada laca de autom!$il tiene tres letras y tres n5meros y admite reetici!n deletras y n5meros% Las letras c3, rr, ll, /, no se consideran, es decir, solamentese cuenta con
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31: llenar la primera casilla de la placa con una letra , este e$ento o suceso uede
ocurrir de
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= alotas numeradas del ?: 3asta >=, todas del
mismo tama/o y eso% Cuando )uega el aloto salen aleatoriamente G deellas0%=%0 Cuantos n5meros de lotera de cuatro dgitos y dos en la serie es osile
*ormarR%
TIPOS DE AGRUPACIONES .ocional0
Entre los tios de agruaciones tenemos(
Las Cominaciones (n1r )
Las 4ariaciones o &ermutaciones (nr )
Las $ariaciones con elementos idnticos% (Vn9 ,: ,; , )
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LAS CO1'INACIONES (n1r )
Llamaremos CO1'INACIONES a las di*erentes agruaciones que odemos
*ormar tomando r de los n elementos dados, de tal manera que cada
agruaci!n sea di*erente en or lo menos un elemento, SIN I1&O2TA2 ELO2DEN DE +'ICACI]N%
El total de cominaciones que odemos *ormar con n elementos tomadolos
de r en r , se simoli"a y calcula as(
n1r=(nr )= n!
r!( nr ) !
donde, n !=n(n1 )(n2 )321 , se llama N5mero Factorial%
LAS 4A2IACIONES o &E21+TACIONES (nr )
Llamaremos 4A2IACIONES a las di*erentes agruaciones que odemos *ormartomando r de los n elementos dados, de tal manera que cada
agruaci!n sea di*erente en or lo menos un elemento, O EN EL O2DEN DE+'ICACI]N .8si imorta el orden90%
El total de $ariaciones que odemos *ormar con n elementos tomadolos de
r en r , se simoli"a y calcula as(
nr=
n !
(nr )!
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4A2IACIONES CON ELE1ENTOS ID^NTICOS% (Vn9, : ,; , )
Si en una $ariaci!n, de los n elementos dados tenemos una cantidad( 9
que son idnticos,:
que son idnticos,;
son idnticos, etc%, el n5merode $ariaciones que odemos *ormar , se simoli"an y calculan as(
Vn9 , : , ; ,
= n !
9 !: !; !
E)emlo :%
De un gruo de :? ro*esionales que con*orman una cooerati$a quierennomran la )unta directi$a comuesta or( &residente, Tesorero y -scal% Decu#ntas maneras di*erentes se uede nomrar la )unta directi$aR%
Soluci!n(
Suongamos que los nomres de los ro*esionales son(
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9, 10 .
+na de las osiles )untas directi$a odra estar *ormada or(
4
reidente
3
'eorero
9
Fica
&ero si camiamos de cargo a las ersonas de la siguiente manera(
9
reidente
4
'eorero
3
Fica
otenemos otra )unta directi$a, a esar de ser las mismas ersonas, ero condi*erentes cargos, or lo tanto se trata de una 4A2IACION% .8si imorta elorden90%
&or lo tanto, si n=10< r=3 otenemos(
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nr=103= n !
(nr )!=
10 !
(103 ) !=
10!
7 !=1098=720
que corresonde a la cantidad de )untas directi$as di*erentes que es osile*ormar con los :? ro*esionales%
E)emlo
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cinco otenemos el =BG, muy di*erente al anterior, es decir, imorta el orden,
entonces es una $ariaci!n con n=4< r=3 , or lo tanto
nr=43= n !(nr )!
= 4 !(43 )!
=4 !1!=432=24
es la cantidad de n5meros que odemos *ormar%
&ara $eri-car este resultado 3agamos un listado de ellos(
No : < B > = G ; H :? :: : := :G :; : :H
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Tamin llamada de-nici!n te!rica de roailidad% La roailidad de que
ocurra un suceso o e$ento 8 3 8 es el cociente entre el n5mero de casos
*a$orales . h 0 y el n5mero de casos asiles . n 0% Esto se simoli"a as(
# (3 )=hn=h
n4100
Oser$aci!n(Como nos odemos dar cuenta la *!rmula es muy simle y sencilla de alicar,
ero cuando nos resentan situaciones comle)as donde se dean calcular n
y h entonces se comlica, orque antes de alicarla se deen usar las
tcnicas de contar%
DEFINICION F2EC+ENCIAL DE &2O'A'ILIDAD%
Tamin llamada de-nici!n e6erimental% La roailidad de que ocurra un
suceso o e$ento 8 3 8 es el cociente entre el n5mero de $eces que se reite
un resultado . f 0 y el n5mero de $eces que se reali"a el e6erimento . n 0%
Esto se simoli"a as(
# (3 )=f
n
=f
n
4100
Esta de-nici!n, es la que 3ace osile que cuando se realice en *orma in-nitaun e6erimento, la roailidad se aro6ima a la roailidad te!rica o cl#sica%
Notas(
Si # (3 )=0, e 7ceo eim#oibe % La roailidad de otener un n5mero
en el lan"amiento de un dado es cero, es decir, otener es sucesoimosile%
Si # (3 )=1, e 7ceo e eg7ro % La roailidad de otener un n5mero
menor que ; en el lan"amiento de un dado es siemre seguro, conroailidad de :?? @ :%
La roailidad de que ocurra cualquier e$ento, siemre $a estar entrecero y uno .lo que es equi$alente entre ? y :??0%
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35em#o
Cu#l es la roailidad de otener un n5mero m5ltilo de B en el lan"amientode un dadoR
6o7ci8n
Este rolema no tiene muc3a di-cultad y usted odra decir la resuesta deinmediato%
2ealicemos el rocedimiento%
Experimento:Lan"ar un dado
Espacio muestral: 6 @ _:,,=,G, , entonces n @ G, de casos
osiles%
Evento o suceso 3 : 8otener m5ltilos de B9 @_B,G`, entonces h @
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6o7ci8n
Este rolema tiene m#s di-cultad que el unto anterior y usted odratamin decir la resuesta de inmediato%
2ealicemos el rocedimiento%
Experimento:Lan"ar un ar de dados
Espacio muestral: 6 es(
(1,1 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 ) , (1,5 ) , (1,6 )
(2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (2,5 ) , (2,6 )
(3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) , (3,5 ) , (3,6 )
(4,1 ) , (4,2 ) , (4,3 ) , (4,4 ) , (4,5 ) , (4,6 )
(5,1 ) , (5,2 ) , (5,3 ) , (5,4 ) , (5,5 ) , (5,6 )
(6,1 ) , (6,2 ) , (6,3 ) , (6,4 ) , (6,5 ) , (6,6 )
entonces n @ BG% de casos osiles% &ero recuerde que alicando el
rinciio *undamental del conteo se determin! que las *ormas osiles de caerdos dados se calculan as( G6G@BG%
Evento o suceso 3 : 8otener una suma de = untos9 @_.:,>0, ., de casos *a$orales%
&or lo tanto,
# (3 )=h
n=
4
36=0,1111=11,11
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+n ca)a contiene ; camisas y = antalones, si se seleccionan aleatoriamenteuna renda, cu#l es la roailidad de que la renda seleccionada sea unantal!nR%
6o7ci8n
Experimento:Seleccionar una renda de $estir
Espacio muestral: 6 @ _; camisas, = antalones`, entonces n @ : untos, el tercero una suma de ; untos y elcuarto una suma de :: untos% Cu#l es la roailidad de ganar decada uno de ellos y quin tiene mayor roailidad de ganarR%
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