NEUR0BICOSDesafíos para la inteligencia

Uso y desuso

• Sin duda alguna, nuestra masa cerebral cumple el viejo aforismo lamarckiano: “Órgano que no se usa se atrofia”.

• “Una masa gris perezosa y sumida en el tedio es una materia infrautilizada y lerda”.

Katz y neuróbicos

• Neuróbica, término de Lawrence Katz, neurólogo de la universidad de Duke, presentado en su libro Mente despierta.

• La neuróbica enseña a entrenar el cerebro para que se mantenga ágil y sano.

Función de los neuróbicos

• Además de optimizar la agilidad intelectual y retrasar el envejecimiento del cerebro, la neuróbica estimula la memoria, la capacidad de razonar, la creatividad y la coordinación motora.

• Se aprovechan dos funciones naturales: neuroplasticidad y neurogénesis

Neuroplasticidad y neurogénesis-1

• Neuroplasticidad: habilidad del cerebro para reorganizar sus funciones neuronales en función de nuevas experiencias.

• Neurogénesis: capacidad natural para fabricar nuevas neuronas.

• .

Neurotrofinas

• Para Katz, “los ejercicios neuróbicos inducen la producción de unos factores de crecimiento llamados neurotrofinas, fertilizantes cerebrales que fortalecen la conexión entre las neuronas y ayudan a éstas y a sus dendritas a mantenerse jóvenes y robustas”,

Neuróbicos elementales

• Voltear las fotografías al revés, los cuadros, vestirse o abotonarse los zapatos con los ojos cerrados, cambiar de sitio en la mesa, cambiar de sitio los muebles y los elementos de trabajo, determinar el valor de una moneda sin mirarla.

Falacia de El Greco-1

Falacia: El Greco pintaba las figuras alargadas porque tenía un defecto visual que las hacía ver así.

El Greco - 2

El GrecoModelo

Copia

fiel

El Greco - 3

• Si El Greco copiara el cuadro de la izquierda y lo redujera como se va a la derecha, él mismo se daría cuenta de que no ha llevado a cabo una copia exacta.

• Para lograrlo, debería pintarlo exactamente igual al original.

Soluciones falsas: Los 17 camellos-1

• Un padre deja a sus 3 hijos 17 camellos.

• Para el mayor 1/2, 1/3 para el segundo y 1/9 para el tercero.

• ¿Cómo repartirlos si fraccionar los camellos?

Soluciones falsas 17 Camellos-2

• Se presta un camello, para obtener 18.

• Los 18 se reparten así: 9 (que es 1/2), 6 (que es 1/3) y 2 (que es 1/9).

• En total son 17. Luego se devuelve lo prestado.

Soluciones falsas 17 Camellos-3

• La solución no es correcta, pues 9, por ejemplo, no es 1/2 de 17, etc.

• Observemos que 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18, luego el padre no legó toda sus fortuna.

• Pero es una solución “válida”, que corrige el error del padre.

Sentido común-1

• Sentido común, intuición o experiencia.

• La intuición es una travesía del pensamiento.

• Contra el sentido común se oponen los prejuicios, los sesgos mentales (contraintuitivos), la precipitación y los estados emocionales.

Sentido comúnAutobús-1

• Sherlock Holmes observa desde el andén opuesto un autobús detenido esperando pasajeros. ¿En cuál dirección se dirige?

BA

Sentido comúnAutobús-2

• explicación

Holmes

Sentido comúnAutobús-2

• Sherlock Holmes tiene la palabra: Elemental: el hecho de que no se vea ninguna puerta indica que estas se encuentran al lado opuesto, el de la acera de enfrente. Como estamos en Londres, una ciudad en que se conduce por la izquierda, el autobús avanza hacia B.

Sentido comúnPecera-1

• ¿Cómo averiguar si la pecera está llena hasta la mitad sin vaciar el tanque ni utilizar ningún artilugio de medida?

Nivel

Sentido común Pecera-2

• Inclinarla hasta la posición mostrada

Nivel

Sentido común Pecera-3

• Otra solución

Ayudas visuales-1

• Una figura es más elocuente que mil palabras. Somos seres visuales por excelencia.

• Decimos “ya lo vi”, cuando entendemos.

• Exigimos ver para creer.

• Lo visual es importante como elemento mnemónico (fijar las ideas).

Ayudas visuales-2

• El gran desarrollo de lo visual lo podemos aprovechar en la solución de problemas: gráficas, dibujos, croquis….

Ayudas visuales-3

• Transformación topológica: croquis para llegar a una finca.

B

Portada azul

CPuente partida

destino

Ayudas visuales-4

• Más de una vez, una figura puede darnos la clave para hallar la solución.

• En la vida diaria no son pocas las ocasiones en que pedimos papel y lápiz para explicar algo con un dibujo.

Mostraciones

• A veces lo visual es tan claro y tan potente para sacar conclusiones, que se usa el término mostración para referirse a “demostraciones”, sin rigor pero convincentes, o que son fácilmente convertibles en demostraciones.

Ayudas visuales-3Pitágoras- “mostración”

Chou pei suang ching, 2000 A.c.

a2 = b2 + c2

b2

c2

a2

Ayudas visuales-3Pitágoras- “mostración”

Explicación: a2 + 4T = 4T + b2 + c2

b

c

b2

c2

a

a2ba

TT

T T TT

T

T

ba

c

cb

c

PWW (proofs without words) Suma de naturales de 1 a n

• 1 + 2 +3 + … + n = n2/2 + n/2

Suma de naturales-21 + 2 + 3 + …+ n = n(1+n)/2

Idea feliz

En 1950, Charles W. Trigo introdujo en su sección un apartado que muy pronto se hizo popular, titulado Quickies.

Un quickie “es un problema resoluble por un método laborioso, pero que enfocado apropiadamente [idea feliz] puede liquidarse con presteza”.

Ayudas visuales-4

• Hallar el área del triángulo pequeño en función de la del grande

Ayudas visuales-5

• Solución: al girar el triángulo rojo se descubre que el área es 1/4

Cuerpos Extraños-1

• Se introduce un elemento no dado en el enunciado, pero que nos sirve para hallar la solución.

• La experiencia y la creatividad son los recursos que viene en nuestra ayuda.

Cuerpos ExtrañosLas 18 colillas-1

• Se tienen 18 colillas. Con tres se arma un cigarrillo. ¿Cuántos cigarrillos se pueden fumar?

Cuerpos ExtrañosLas 18 colillas-2

• Se pueden armar 6 cigarrillos, que dejan 6 colillas.

• Con las 6 colillas se arman 2 cigarrillos. Lo que nos da 8 cigarrillos y dos colillas de residuo.

Cuerpos ExtrañosLas 18 colillas-2

• Pero hay otra “solución” inesperada:

• Se presta una colilla, se arma un nuevo cigarrillo y se devuelve lo prestado.

• Total: 9 cigarrillos y no sobra nada.

Cuerpos ExtrañosUn ángulo en el espacio-1

• Dado un cubo, hallar el ABC

B

C

A

Cuerpos ExtrañosUn ángulo en el espacio-2

• Se introduce la diagonal AC. ABC es isósceles, luego sus ángulos son de 60º

B

C

A

Cuerpos ExtrañosTablero trunco-1

Cubrir el tablero trunco de 34 casillas con

17 fichas 2x1.

17

Cuerpos ExtrañosTablero trunco-3

• Sombrear la mitad de las casillas como en el ajedrez. Quedan 18 negras y 16 blancas. Imposible cubrirlas con

16 fichas negro-blancas.

Cuerpos Extraños los 5 círculos-1

• Cinco círculos iguales y espaciados uniformemente. Bisecar el área total con una recta que pase por A.

Ao

Cuerpos Extraños los 5 círculos-2

• Solución: se introducen tres círculos auxiliares y la solución es obvia.

A

B

o

o

Cambio de marco de referencia

• Estrategia: cambiar el problema por uno equivalente (cambiar de marco de referencia); esto es, por uno que tenga la misma solución, pero que esta sea más fácil de hallar.

Cambio de marcoTorneo de tenis-1

• 8 personas participan en un torneo de tenis por simple eliminatoria ¿Cuántos partidos se juegan?

Cambio de marcoTorneo de tenis-2

• 1

2

3

4

5

6

5

3

8

2

7

8

2

5

2 No. partidos: 4+2+1 = 7

Cambio de marcoTorneo de tenis-3

• De ser 128 jugadores,

• 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127

• Otra solución: como deben eliminarse 127, deben jugarse 127 partidos.

Cambio de marcoSuma infinita-1

• Hallar la suma de los infinitos triángulos verdes

4

1/2 1/4 1/8 1/16 …

1

Cambio de marcoSuma infinita-2

• S = 4(1/2)/2 + 4(1/4)/2 + 4 (1/8)/2+ …

• S = 1 + 1 / 2+ 1 / 4 + 1 / 8 +…= 1/(1-1/2)= 2

4

1/2 1/4 1/8 1/16 …

Cambio de marcoSuma infinita-3

• Otra solución: área verde = amarilla, luego la verde vale la mitad del rectángulo.

4

1/2 1/4 1/8 1/16 …

Imaginación, ingenio, recursividad…-1

• En los problemas, la experiencia es el mejor auxiliar. Y la imaginación (creatividad) y el ingenio son los mejores complementos.

• Debe aprovecharse el generador de azar del cerebro.

• Para pensar efectivamente debemos a veces salirnos del camino trillado.

Imaginación, ingenio, recursividad…-1

• En los problemas, la experiencia es el mejor auxiliar. Y la imaginación (creatividad) y el ingenio son los mejores complementos.

• Aprovechar el generador de azar del cerebro.

• Para pensar efectivamente debemos a veces salirnos del camino trillado.

Imaginación, ingenio, recursividad…-2

• Edward De Bono propone pensar lateralmente, o salirse del pensamiento enfocado a la solución, y divagar, especular, volver al enunciado y buscar pistas sutiles, información escondida, salirse por un momento del contexto del problema, repetir pasos previamente descartados.

Imaginación, ingenio, recursividad…-3

• Conjunto de Fischer: jugadas que parecen no conducir a ninguna parte.

• Estrategia de Bobby Fischer: agotar todas las posibilidades, incluyendo el conjunto de “imposibles”.

Imaginación, ingenio, recursividad…-2

• Hallar el número que sigue en cada una de estas series:

• A) 1, 8, 27, 64,…

• B) 0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, ...

Imaginación, ingenio, recursividad…-3

• Soluciones

• A) 1, 8, 27, 64, (Cubos), 125, 216,

• B) 0, 5, 4, 2, 9, 8, 6,...

• Cero, cinco, cuatro, dos, nueve, ocho, seis,… (orden alfabético), siete, uno,

Imaginación, ingenio.. Pensar a un lado-1

Imaginación, ingenio.. Pensar a un lado-2

• Mirar en un espejo

Imaginación, ingenio.. Los tres interruptores-1

• En la sala hay 3 interruptores, todos en off.• Uno de ellos enciende una lámpara situada en

un sitio no visible desde la sala. Hallarlo.

• Podemos accionar como máximo 2 de los interruptores. A la vez o por separado.

• Sólo nos permiten salir de la sala una vez para verificar si la lámpara está encendida.

Imaginación, ingenio.. Los tres interruptores-2

•

S1S2S3

Imaginación, ingenio.. Los tres interruptores-3

• Accionar S1, esperar un minuto.

• Accionar S2 y salir a verificar: si el bombillo está prendido, S2 es la respuesta; si está apagado, lo tocamos, y si está caliente, S1 será la respuesta.

• Si está apagado y frío, S3 es la solución.

Hipótesis implícitas-1

• Un obstáculo en la solución de problemas reside en que el camino que conduce a la solución o la solución no concuerdan con nuestra intuición.

• Otras veces enfrentamos problemas que parecen contener contradicciones.

Hipótesis implícitas Distractores-1

• Unir los nueve puntos por medio de 4 rectas . .

. . .

. . .

Hipótesis implícitas Distractores-2

• Solución

. . .

. . .

. . .

Hipótesis implícitas Formar un cuadrado-1

• Formar un cuadrado moviendo sólo dos fichas

Hipótesis implícitas Formar un cuadrado-2 Dos ensayos fallidos

Hipótesis implícitas Formar un cuadrado-3

• Solución: cuadrado en blanco

Hipótesis implícitas Formar un cuadrado-4

• Otra solución (4 es un cuadrado perfecto)

Hipótesis implícitasEl reloj de pólvora-1

• Se dispone de dos mechas de pólvora que encendidas cada una tarda una hora en consumirse. Las mechas son irregulares.

• ¿Cómo se podría medir con ellas exactamente 45 minutos?

Hipótesis implícitasEl reloj de pólvora-2

• Prender una mecha por lado y lado; la otra por un solo lado.

• A los 30 minutos se ha consumido la primera y la otra le quedan 30 minuto. En ese momento prendemos el otro extremo de la segunda, para que se consuma en 15 minutos más.

Indirectos- contradicción

• Reducción al absurdo o por contradicción: Se parte de que la proposición que se desea demostrar es falsa y si de allí se deriva una contradicción o absurdo.

• En lugar de probar la veracidad de P se demuestra la falsedad de no-P.

•

Indirectos- complementos

• En lugar de resolver el problema, lo hacemos con sus complementos.

• Por ejemplo, en lugar de averiguar cuántos casos cumplen una condición contamos los que no la cumplen y de allí deducimos los primeros.

• Si deseamos conocer la probabilidad de cierto suceso, buscamos la del suceso contrario y por complemento derivaríamos la primera.

Indirectos- complementossuma-1

• Se sabe que 1+2+3+…+n = n(n+1)/2

• Hallar: S = 100 + 11 + 12 + … + 1.000

Indirectos- complementos suma-2

• S = 100+110+ 120 +…+1.000 = [1+2+3+…+1000] – [1+2+3+…+99] =

• 1.000 x 1001 / 2 – 100 x 99 / 2 =

• = 500.500 – 4.950 = 495.550

Indirectos- contradicción Historia: cuadratura del cuadrado-1• Pareció imposible dividir un cuadrado en

un número finito de cuadrados menores y diferentes. En 1938, W. T. Tutte encontró una primera solución. En 1966, T. H. Willcoks, logró reducir a 24 el número de cuadrados necesarios. Recientemente, A. J. W. Duijvestijn encontró la solución mínima con 21 cuadrados.

Indirectos- contradicción Historia: cuadratura del cuadrado-2

Sol.

Indirectos- contradicción Cubicación del cubo-1

Dividir un cubo en un número finito de cubos menores y diferentes.

Si esto fuese posible podríamos construir un hermoso rompecabezas. Pero la tarea es imposible.

Indirectos- contradicción Cubicación del cubo-2

Supongamos resuelto el problema. depositemos los cubos sobre una mesa y analicemos los que descansan sobre ella. Sea A el más pequeño. Por ser el más pequeño, debe estar rodeado por cubos más grandes, especie de foso de sección cuadrada igual al lado de A. Fijémonos en la cara superior de A. Esta debe servir de apoyo a un conjunto finito de cubos y, obviamente, de lado menor que el de A. Sea B el menor de ellos. Repitiendo el argumento anterior, existirá otro cubo C, el menor de los que se apoyan sobre la cara superior de B. Y así sucesivamente, en un descenso infinito de cubos cada vez menores. Pero esto contradice el hecho de que la partición del cubo original es finita.

Indirectos- complementosÁrea-1

• Hallar área en gris

1

1

Indirectos- complementos Área-1

• Área en rojo es 3/4 del total, luego la gris es ¼.

Sentido comúnÁrea-2

• Solución: Cada pedazo en rojo es una cuarta parte del cuadrado. Luego el área en gris mide un cuarto del área del cuadrado, esto es, 4.

Existencia -1

• Teoremas de existencia: se prueba que existe cierto ente matemático, aunque, y ocurre con frecuencia, nadie conozca el ente en mención.

• Teorema fundamental del álgebra: toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz real o compleja. Ejemplo:

• 5X4 + 3X3 – 2X2 +5 =0

Existencia - 2 Mesa de 4 patas

• Las mesas de cuatro patas cojean.

• Solución: poner debajo de una de las patas un suplemento.

• Existe una solución sencilla, rápida y elegante: rotar la mesa lentamente hasta que al llegar a cierto ángulo, no superior a 90 grados, la mesa queda estabilizada.

Existencia - 3 Mesa de 4 patas

• Supongamos que en la posición mostrada en la figura siguiente, parte izquierda, no hay contacto simultáneo de las cuatro patas con el piso. Entonces habrá dos patas, B y D, por ejemplo, que se apoyan en el piso, mientras que las dos restantes, A y C, cojean; es decir, que ejerciendo presión sobre la superficie de la mesa podemos a voluntad hacer que una de estas dos patas, pero sólo una, toque el piso. En este caso diremos que la mesa se balancea sobre la diagonal BD. Vamos ahora a girar la mesa sobre su centro 90 grados en la dirección del reloj, manteniendo siempre la presión sobre las patas B, C y D, con el fin de que permanezcan en contacto con el piso. Nótese que al completar los 90 grados, la diagonal AC habrá ocupado el lugar de la BD y BD la de AC; por consiguiente, al terminar el giro será AC la diagonal sobre la que se balancea la mesa y, en consecuencia, la pata A quedará necesariamente en contacto con el piso

Existencia - 4 Mesa de 4 patas

• En este caso diremos que la mesa se balancea sobre la diagonal BD. Vamos ahora a girar la mesa sobre su centro 90 grados en la dirección del reloj, manteniendo siempre la presión sobre las patas B, C y D, con el fin de que permanezcan en contacto con el piso. Nótese que al completar los 90 grados, la diagonal AC habrá ocupado el lugar de la BD y BD la de AC; por consiguiente, al terminar el giro será AC la diagonal sobre la que se balancea la mesa y, en consecuencia, la pata A quedará necesariamente en contacto con el piso

Existencia - 5 Mesa de 4 patas

A B

CD

A

B

C

D

A

BC

D

Devolverse

• En algunos problemas puede uno devolverse de la solución o de un paso intermedio, o partir de que existe la solución.

DevolverseDos envases-1

• Se dispone de un grifo de agua y envases de 4 y 9 litros. Medir 6 litros

94 3

9

DevolverseDos envases-2

• Si dispusiera de 1 litro…

83

1

4

9

1 1

DevolverseDos envases-3

• Listos…

4

4

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