FUNCIONES LOGARITMICAS

Sec. 4.3

Logaritmos de base a

Sea a un número real positivo distinto de 1.

El logaritmo base a de x se define como

y = loga x si y solo si x = ay

para cada x > 0 y cada número real y.

Por ejemplo,

El logaritmo base 2 de 32 se define como

5 = log2 32 por que 32 = 25

Forma Logarítmica vs. Forma Exponential

Note que las dos ecuaciones mencionadas en la

definición anterior son equivalentes.

y = loga x x = ay

(5 = log2 32 32 = 25 )

El diagrama muestra que “el logaritmo es un

exponente”.

Ejemplos

A continuación se muestran varios ejemplos de

formas equivalentes:

𝑙𝑜𝑔5125 = 3 53 = 81

𝑙𝑜𝑔16913 = 12 169

12 = 13

𝑙𝑜𝑔515 = −1 5−1 =

1

5

𝑙𝑜𝑔21 = 0 20 = 1

𝑙𝑜𝑔381 = 4 34 = 81

𝑙𝑜𝑔264 = 6 26 = 64

Ejemplos

Determine el número si es posible:

Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.

Para esto, nos hacemos preguntas como:

¿Cuál es la potencia de 10 que da 100?

¿Cuál es la potencia de 2 que da 𝟏

𝟑𝟐?

Ejemplos

Determine el número si es posible:

Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.

Para esto, nos hacemos preguntas como:

¿Cuál es la potencia de 9 que da 3?

¿Cuál es la potencia de 7 que da 𝟏?

¿Cuál es la potencia de 3 que da −𝟐?

Determinar Logarítmos – Más ejemplos

Determinar cada uno de los siguientes logarítmos.

a) log10 10,000 b) log10 0.01 c) log2 8

d) log9 3 e) log6 1 f) log8 8

Solución:

a) El exponente a la cual elevamos 10 para obtener

10,000 es 4; por lo tanto log10 10,000 = 4.

El exponente a la cual elevamos 10 para obtener

0.01 es –2, por lo tanto log10 0.01 = –2.

b) Como 0.011

1001

102 102.

Más ejemplos (cont.)

c) log2 8: El exponente a la cual elevamos 2 para obtener

8 es 3, por lo tanto log2 8 = 3.

d) log9 3: El exponente a la cual elevamos

9 para obtener 3 es 1/2; por lo tanto log9 3 = 1/2.

3 9 91 2.

e) log6 1: 1 = 60. El exponente a la cual elevamos 6 para

obtener 1 es 0, por lo tanto log6 1 = 0.

f) log15 15: 15 = 151. El exponente a la cual elevamos

15 para obtener 15 es 1, por lo tanto log15 15 = 1.

Ejemplos con calculadora

Muchas calculadoras sólo son capaces de calcular el

valor a una expresión logarítmica de base 10. A este

tipo de logaritmos se le conoce como el logaritmo

común. Cuando ves una expresión logaritmica sin

base, debes interpretar la base como 10.

Por ejemplo:

log 1000 = 3 por que 102 = 100.

log 0.001 = -3 por que 10-3 = 0.001

Ejemplos con calculadora

Determinar los siguientes logaritmos comunes en una

calculadora. Redondear a cuatro lugares decimales.

a) log 645,778 b) log 0.0000239 c) log (3)

b) log 0.0000239 –4.6216

c) log (–3) No es real.

Solución:

Valor de la Función Resultado/calculadora Redondeo

a) log 645,778 5.8101

Propiedades de loga x

Visualizar el loga x como un exponente nos lleva a

las propiedades generales siguientes:

Fórmula para cambiar de base

Las propiedades de logaritmos se pueden usar para

derivar una fórmula para cambiar de base .

La fórmula es útil ya que muchas calculadoras sólo

incluyen formas para determinar el logaritmo común.

Sea u > 0 y a,b números reales positivos distintos de

1, entonces la fórmula para cambiar de base es:

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Formula para cambiar de base

Determine el valor, redondeado a 2 lugares

decimales, de

log3100

Usando la fórmula para cambiar de base

Para usar la fórmula a=10 b=3 u = 100

log3100 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝟎

𝒍𝒐𝒈 𝟑 =

𝟐

𝒍𝒐𝒈𝟑≈ 𝟒. 𝟏𝟗

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Ejemplo

Solución:

a = 10, b = 5, and M = 8. Luego, sustituimos en

el la fórmula de cambio de base:

log5 8 log10 8

log10 5

1.2920

Determinar log5 8 usando logaritmos comunes.

Redondear a 3 lugares decimales.

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Evaluar Funciones logarítmicas

Evaluamos funciones logarítmicas reemplazando x con algún valor y

simplificando la expresión.

Para mantener la claridad, siempre colocaremos la expresión que representa el

argumento de la función logarítmica entre paréntesis.

Ejemplos:

Dado f(x) = log3(x - 2) determina f(11), f(7), f(0)

f(11) = log3(11 - 2)

= log3(9)

= 2

f(7) = log3(7 - 2)

= log3(5) (este es el valor exacto)

Para aproximar, usamos 𝒍𝒐𝒈 𝟓

𝒍𝒐𝒈 𝟑≈ 𝟏. 𝟒𝟔

f(0) = log3(0 - 2)

= log3(- 2) Este valor NO es real, ya que -2 NO está en el dominio

de esta función logarítmica

Resolver Ecuaciones logarítmicas

Solo resolveremos ecuaciones logarítmicas que se pueden

resolver utilizando la definición de lo que es un logaritmo:

y = loga x si y solo si x = ay

Para resolver estas ecuaciones logarítmicas se siguen dos

pasos:

Aislar (dejar sola en un lado de la ecuación) el término

logarítmico.

Usando la definición de logaritmo, escribir la forma

exponencial equivalente de la expresión.

Resolver la ecuación resultante.

Ejemplo:

Resolver usando la definición de logaritmos o el teorema de

funciones uno-a-uno:

1. log3(x) – 3 = 0

a) Aislar el término logarítmico.

log3(x) = 3

b) Convertir a forma exponencial equivalente

x = 33

c) Resolver ecuación resultante

x = 27

Ejemplo:

Resolver usando la definición de logaritmos o el teorema de

funciones uno-a-uno:

2. log3(x+2) - 4 = 0

a) Aislar el término logarítmico.

log3(x+2) = 4 (Nota que NO se puede tocar el

argumento del logaritmo)

b) Convertir a forma exponencial equivalente

x + 2= 34

x + 2 = 81

c) Resolver ecuación resultante

x = 79

Más ejemplos

Resolver usando la definición de logaritmos

3) log4(x - 5) – 2 = 1

Primeramente, aislamos la expresión logarítmica.

log4(x - 5)= 3

Ahora cambiamos a la forma exponencial,

𝒙 − 𝟓 = 𝟒𝟑

𝒙 − 𝟓 = 𝟔𝟒

𝒙 = 𝟔𝟗

Finalmente, verificamos en la ecuación original:

log4(x - 5) – 2 = log4(69 - 5) – 2 = log4(64) – 2 = 3 – 2

=1

Ejemplo

4) Resolver:

Gráficas de funciones logarítmicas (cont)

Graph: y = f (x) = log5 x.

Solution: Método 1

y = log5 x es equivalente a x = 5y.

Seleccionar y and computar x.

Ejemplo (cont.)

Gráficar: y = f (x) = log5 x.

Solución: Método 2

Usar calculadora gráfica. Primeramente, cambiar de

base.

y log5 x ln x

ln5ln x ln 5

Trazar la gráfica de f(x) = log3 x

x log3(x)

1

81 -4

1

27 -3

1

9 -2

1

3 -1

1 0

3 1

9 2

27 3

Ejemplo

f (x) = ln (x + 3)

Dominio: es el conjunto de los números reales mayores

que –3, (–3, ∞). La línea x = –3 es una asíntota vertical.

Campo de valores: Todos los reales

Gráfica de loga x

Ambas gráficas son

crecientes.

Dominio ax : R

Rango: (0,∞)

Dominio loga x: (0,∞)

Rango: R

Ambas gráficas tiene

asíntotas.

ax : asíntota horizontal

y = 0

loga x: asíntota vertical

x = 0