PRODUCTOS NOTABLES

OBJETIVOS: Reconocer y utilizar los productos notables

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios

Los productos notables son:  1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

  2. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

  3. (a + b) ( a – b ) = a2 – b2

  4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

  5. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

  6. (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

  7. (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

  8. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab   9. (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

PRODUCTOS NOTABLES

El primer producto que se analiza no es precisamente un producto notable como tal, sino que es la propiedad distributiva vista anteriormente, pero que se presenta frecuentemente en operaciones algebraicas; por lo que se menciona de nueva cuenta.

            Sea a, b, c ε   ℜ entonces

◦ a(b + c) = ab + ac                  propiedad distributiva

Factor común

Factor común

Factor común EJEMPLO  Multiplicar:  3x(2x2y – 7) =Aplicando la propiedad distributiva:

3x(2x2y – 7) = 3x(2x2y) + 3x(– 7)

= 3·2xx2y – 3·7x          ley de los exponentes y regla de los signos

= 6x3y – 21x

Cuadrado de un binomio Expresado en  palabras: “Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término” .Análogamente, se tiene que :   

  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Cuadrado de un binomio

Cuadrado de un binomio EJEMPLOSObtener las siguientes multiplicaciones, aplicando el producto notable. 1.  (2x + 5)2 =  

2. (2m2n – 5p3)2 =  

3. ( 1 – 5x5 )2 =

Binomios conjugados

(𝑎+𝑏 ) (𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2

NO se puede factorizar en el conjunto de los números reales.

Expresado en palabras: “El producto de dos binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados”.El signo negativo de la diferencia de cuadrados corresponde al término que esté restando de los binomios conjugados.

Binomios conjugados

(𝑎+𝑏 ) (𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2

NO se puede factorizar en el conjunto de los números reales.

Binomios conjugados  EJEMPLOSObtener los siguientes productos aplicando el producto notable. 

1. (7x2 + 4y3) (7x2 – 4y3) =

2. (3p + 6q2) (6q2 – 3p) =

3.  (a – b) (– a – b) =

Producto de dos binomios con un término común

Producto de dos binomios con un término común El producto notable es: 

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

EJEMPLOS

1.  (x + 2) (x – 3) = 

2. ( x – 5 ) ( x – 2 ) = 

Producto de binomios con variable común El producto notable es: 

(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

EJEMPLO ( 2x + 5) ( 3x – 4) =El primer y último término del trinomio resultante, se obtiene multiplicando:(2x) (3x) = 6x2     y     (5) ( –4) = –20 .Para encontrar el término central hagamos la operación por visualización:    15x  y –8x y la suma algebraica es: 7x

Resultando:( 2x + 5 ) ( 3x – 4 ) = 6x2 + 7x – 20

Polinomio al cuadrado

(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 )2=𝑎2+𝑏2+𝑐2+𝑑2+2 (𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑎𝑑+𝑏𝑐+𝑏𝑑+𝑐𝑑 )

Binomio al cubo Expresado en palabras:“Un binomio al cubo es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”.Análogamente:          

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Binomio al cubo

Binomio al cubo

1. Desarrollar (2a2 + 5bc)3 =

2. Desarrollar (5x3y – z2)3 =

3. Desarrollar ( – a + b)3 =

Producto  de un binomio por un trinomio que da una suma o diferencia de cubos

Los productos notables son:

Suma y diferencia de cubos

EJEMPLOS

1. (x – 3) (x2 + 3x + 9) =

2. (x2 + 7) (x4 – 7x2 + 49) =

Suma y diferencia de cubos

Se trata de desarrollar ( a +  b )n

Donde n es un entero positivo.

Pero para obtener el valor de los coeficientes binomiales surgió el TRIÁNGULO DE PASCAL en honor de Blais Pascal, el cual nos permite conocer el valor de los coeficientes que aparecen en el desarrollo de los binomios elevados a una potencia n cualquiera.

BINOMIO DE NEWTON – TRIANGULO DE PASCAL

Recordemos lo siguiente: ( a + b)0 = 1                            ( a + b )1 = a + b ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 

BINOMIO DE NEWTON – TRIANGULO DE PASCAL

El TRIÁNGULO DE PASCAL es el siguiente:

n = 0                                                1 n = 1                                            1      1 n = 2                                      1      2     1 n = 3                                   1      3      3     1 n = 4                               1     4       6     4     1 n = 5                           1    5     10    10     5     1 n = 6                        1     6    15    20    15     6     1 n = 7                    1    7     21    35    35    21     7    1  

BINOMIO DE NEWTON – TRIANGULO DE PASCAL

El TRIÁNGULO DE PASCAL es el siguiente:

 

BINOMIO DE NEWTON – TRIANGULO DE PASCAL

Se trata de desarrollar ( a +  b )n Donde n es un entero positivo. Tiene las siguientes características: 1. El número de términos es n + 1, o sea, el número

de sumandos son uno más que el exponente del binomio.

2. El primer término siempre es a y se encuentra elevado al mismo exponente del binomio, a partir de ahí empieza a decrecer una unidad en cada uno de los sumandos siguientes.

3. La b aparece por primera vez a partir del segundo término, con exponente uno, y empieza a aumentar de unidad en unidad hasta llegar al mismo valor que el exponente del binomio.

BINOMIO DE NEWTON

4. La suma de los exponentes de a y b en cualquier término es igual al exponente que se encuentra el binomio (n).

5. Los coeficientes de a y b presentan cierta simetría. Esta simetría consiste en que se repiten los valores para términos equidistantes de los extremos.

6. Los coeficientes del primero y último términos son siempre uno. El coeficiente del segundo y del penúltimo términos es n ( que es el valor del exponente al que se encuentra elevado el binomio).

7. Si en cualquiera de los términos el coeficiente (conocido) se multiplica por el exponente dea y este producto se divide entre el exponente de b  aumentado en 1, el resultado es el coeficiente del siguiente término.

BINOMIO DE NEWTON

EJEMPLOSDesarrollar los binomios usando el Binomio de Newton y el Triángulo de Pascal.

1. ( x2 + 3y2 )4 =

2. ( x3 + 2y2 )5 =

BINOMIO DE NEWTON