Post on 06-Jul-2015
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Capítulo 5
Óptimo del Consumidor
Racionalidad Económica
◆ El principal postulado acerca del comportamiento del consumidor dice que escoje la mejor alternativa del conjunto de alternativas factibles.
◆ Las alternativas disponibles constituyen el conjunto factible.
◆ ¿Cuál es la mejor canasta del conjunto factible?
x1
x2
x1
x2Utilidad
Utilidad x2
x1
x1
x2
Utilidad
Utilidad
x1
x2
Utilidad
x1
x2
Utilidad
x1
x2
Utilidad
x1
x2
Utilidad
x1
x2
Factible, pero no es la mejor de las alternativas factibles.
x1
x2
Utilidad La mejor de lascanastas factibles
Factible, pero no es la mejor de las alternativas factibles.
x1
x2
Utilidad
Utilidad
x1
x2
Utilidad
x1
x2
Utilidadx1
x2
x1
x2
x1
x2
Canastasfactibles
x1
x2
Canastasfactibles
x1
x2
Canastas que sonmás preferidas
Canastasfactibles
x1
x2
Canastasfactibles
Canastas que sonmás preferidas
x1
x2
x1*
x2*
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) es la mejorDe las canastafactibles.
◆ La mejor de las canastas factibles es conocida como la DEMANDA ORDINARIA a los precios y el ingreso dados.
◆ La demanda ordinaria se denota porx1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m).
◆ Cuando x1* > 0 y x2* > 0 la canasta demandada es INTERIOR.
◆ Si se compra (x1*,x2*) el costo es m entonces se agota el ingreso.
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) es interior.
(x1*,x2*) agota el ingreso.
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) es interior.(a) (x1*,x2*) agota elingreso:p1x1* + p2x2* = m.
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) es interior .(b) la pendiente de lacurva de indiferencia en (x1*,x2*) es igual a lapendiente de la restricciónde presupuesto.
◆ (x1*,x2*) satisface dos condiciones:
◆ (a) el ingreso se agota: p1x1* + p2x2* = m
◆ (b) la pendiente de la restricción de presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la curva de indiferencia que contiene a (x1*,x2*) son iguales en (x1*,x2*).
Estimando la Demanda Ordinaria
◆ ¿Cómo podemos emplear esta información para poder encontrar la canasta (x1*,x2*) para los precios p1, p2 y el ingreso m?
Estimando la demanda ordinara. Ejemplo para una Cobb Douglas
◆ Supongamos que las preferencias del consumidor son del tipo Cobb-Douglas.
U x x x xa b( , )1 2 1 2=
◆ En consecuencia:
ba xaxx
UTUMg 2
11
11
−==∂∂
121
22
−== baxbxx
UTUMg
∂∂
◆ Y la TMgS:
./
/
1
21
21
21
1
2
1
1
2
bx
ax
xbx
xax
xTU
xUT
dx
dxTMgS
ba
ba
−=−=−== −
−
∂∂∂∂
◆ En (x1*,x2*), se debe cumplir que TMgS = -p1/p2 , en consecuencia
− = − ⇒ =ax
bx
pp
xbpap
x2
1
1
22
1
21
*
** * . (A)
◆ Y sabemos que (x1*,x2*) agota el presupuesto del consumidor:
p x p x m1 1 2 2* * .+ = (B)
◆ En consecuencia, sabemos que:
xbpap
x21
21
* *= (A)
p x p x m1 1 2 2* * .+ = (B)
xbpap
x21
21
* *= (A)
p x p x m1 1 2 2* * .+ = (B)
Sustituyendo
xbpap
x21
21
* *= (A)
p x p x m1 1 2 2* * .+ = (B)
p x pbpap
x m1 1 21
21
* * .+ =y tenemos:
y simplificando ….
xam
a b p11
*
( ).=
+
y sustituyendo este valor de x1* en p x p x m1 1 2 2
* *+ =
Obtenemos:
xam
a b p11
*
( ).=
+
xbm
a b p22
*
( ).=
+
Así hemos descubierto que la mejor canasta factible para el consumidor con preferencias Cobb-Douglas es
( , )( )
,( )
.* * ( )x xam
a b pbm
a b p1 21 2
=+ +
x1
x2
xam
a b p11
*
( )=
+
x
bma b p
2
2
*
( )
=
+
U x x x xa b( , )1 2 1 2=
Restricciones para el óptimo del consumidor
◆ Cuando x1* > 0 y x2* > 0 y (x1*,x2*) agota el ingreso,y la curva de indiferencia tiene una forma regular, no especial , la demanda ordinaria se obtiene mediante:
◆ (a) p1x1* + p2x2* = m
◆ (b) la pendiente de la restricción de presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la curva de indiferencia en la canasta (x1*,x2*) son iguales.
◆ ¿Pero, y si x1* = 0?
◆ ¿Pero y si x2* = 0?
◆ Si x1* = 0 ó x2* = 0 entonces la demanda ordinaria (x1*,x2*) es una solución de esquina.
Ejemplo de soluciones de esquina – el caso de sustitutos perfectos
x1
x2
TMgS = -1
x1
x2
pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.
TMgS = -1
x1
x2
TMgS = -1
pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.
x1
x2
xy
p22
* =
x1 0* =
TMgS = -1
pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.
x1
x2
xyp11
* =
x2 0* =
pendiente = -p1/p2 con p1 < p2.
TMgS = -1
En consecuencia, si la función de utilidades = x1 + x2, la canasta óptima es (x1*,x2*)donde:
= 0,py
)x,x(1
*2
*1
y
=
2
*2
*1 p
y,0)x,x(
si p1 < p2
si p1 > p2.
x1
x2
TMgS = -1pendiente = -p1/p2 con p1 = p2.
yp1
yp2
x1
x2
Todas las canastas en larestricción de presupuestoson canastas óptimas si p1 = p2.
yp2
yp1
Ejemplo de soluciones de esquina – el caso de las preferencias no convexas
x1
x2m
ejor
x1
x2
x1
x2
¿Cuál es la canasta óptima?
x1
x2
La canasta óptima
x1
x2
Observe que la solución detangencia no es la canasta óptima.
La canasta óptima
Ejemplos de soluciones en “punta” – el caso de complementarios perfectos
x1
x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1
x2
TMgS = 0
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1
x2
TMgS = - ∞
TMgS = 0
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1
x2
TMgS es indefinida
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
TMgS = - ∞
TMgS = 0
x1
x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1
x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
¿Cúal es la canasta óptima?
x1
x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
La canasta óptima
x1
x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*
x2*
x1
x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*
x2*
(a) p1x1* + p2x2* = m
x1
x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*
x2*
(a) p1x1* + p2x2* = m(b) x2* = ax1*
(a) p1x1* + p2x2* = m;
(b) x2* = ax1*.
(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.
Substituyendo, tenemos
p1x1* + p2ax1* = m
21
*1 app
mx
+=
Y sustituyendo este resultado para obtener x2*:
.21
*2 app
amx
+=
x1
x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
xm
p ap11 2
* =+
x
amp ap
2
1 2
* =
+