PROBABILIDADYESTADÍSTICA

UNIDAD2

MEDIDASDETENDENCIACENTRAL

Lasmedidasdetendenciacentralsonvaloresqueresumenunavariableyquedemanerageneral intentandarteuna ideadedóndeestá lamitadde losdatosdeunavariable.Enteoría, las medidas de tendencia central son un valor cercano al centro del rango, yalrededordeesevalorcentralestá repartida toda lavariable.Lasmedidasde tendenciacentralson:media,medianaymoda.a) MEDIA(𝒙).Tambiénconocidacomopromedio,eslamáscomúnmenteutilizadayse

definecomolasumadetodoslosvaloresqueadquierelavariabledivididaentreelnúmerototaldeéstos.

b) MEDIANA (Me). También conocida como el valormedio de una lista de valores.Para calcularla, debemos ordenar demanera ascendente o descendente todos losvalores y tomar el valor que esté exactamente a la mitad de la lista, pero si elnúmerodedatosesunnúmeropar,setienendosdatoscentralesylamedianaeselpromediodelosdosvalorescentrales.

c) MODA(Mo).Eselvalormásfrecuenteenunavariable,esdecir,elmásrepetido.Si

hay un empate entre los valoresmás repetidos, todos los valores empatados sonmoda,por lotantounavariablepuedetenermásdeunamodae inclusopuedenoexistir.

EJEMPLO1.En la clase de Ciencias de la Salud se pidió a 15 estudiantes de una preparatoria quemencionaranelnúmerodehorasquedurmieronlanocheanterior.Losresultadosfueron:7,8,5,6,8,9,5,8,11,10,8,6,7,7,6.Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda

a)mediaSumamostodoslosvaloresydividimosentreelnúmerodedatos.

𝑥 =7 + 8 + 5 + 6 + 8 + 9 + 5 + 8 + 11 + 10 + 8 + 6 + 7 + 7 + 6

15=11115

𝑥 = 7.4

b)medianaOrdenamos losdatosy seleccionamoseldatoqueestáenel centrode la lista.Podemosutilizarlaformula:𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = !!!

!paraubicarlaposicióndelamediana.

𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 =15 + 12

=162= 8

5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,10,11

Son15datosentotalyellugar8(octavo)esel7𝑀𝑒 = 7

c)modaSeleccionamoselvalorquemásserepite.

5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,10,11El8eselvalorquemásserepitepuestoqueapareceen4ocasiones.

𝑀𝑜 = 8EJEMPLO2.EnlaclasedeEducaciónFísicasepidióa18estudiantesquesesometieranaunapruebaparamedirsucapacidadfísicaparaelejercicio.Lacapacidaddeestosestudiantesmedidaen minutos fue: 30, 27, 35, 26, 30, 29, 33, 31, 32, 31, 25, 32, 25, 27, 30, 30, 33, 34Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda

a)mediaSumamostodoslosvaloresydividimosentreelnúmerodedatos.𝑥 =

30 + 27 + 35 + 26 + 30 + 29 + 33 + 31 + 32 + 31 + 25 + 32 + 25 + 27 + 30 + 30 + 33 + 3418

=54018

𝑥 = 30b)medianaOrdenamos losdatosy seleccionamoseldatoqueestáenel centrode la lista.Podemosutilizarlaformula:𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = !!!

!paraubicarlaposicióndelamediana.

𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 =18 + 12

=192= 9.5

25,25,26,27,27,29,30,30,30,30,31,31,32,32,33,33,34,35

Son18datosentotalyellugar9.5(promediamoslosvaloresdelosdatos9y10)quees30 + 30

2= 30

𝑀𝑒 = 30c)modaSeleccionamoselvalorquemásserepite.

25,25,26,27,27,29,30,30,30,30,31,31,32,32,33,33,34,35

El30eselvalorquemásserepitepuestoqueapareceen4ocasiones.𝑀𝑜 = 30

ACTIVIDAD11.AcontinuaciónsepresentanlasedadesdemotociclistasquesehirieronenaccidentesdetránsitoenlaciudaddeMatamoroselmespasado.25,31,20,30,24,40,15,23,20,25,28,20,26,42,17,30,21,14,34,15Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda

2.ElnúmerodejuegosganadoscadaañoporFernandoValenzuelaquienfueralanzadordelosDodgersdeLosÁngeles.:5,15,3,16,20,20,21,22,7,21,10,16,23,22,20,7,15,5,0Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda

3.Losresultadosdeunapruebadematemáticasqueseaplicóaungrupodealumnosdeunapreparatoria:

5.0 5.6 7.6 4.8 8.0 7.5 7.9 8.0 9.26.0 5.6 6.0 5.7 9.2 8.1 8.0 6.5 6.68.0 6.5 6.1 6.4 6.6 7.2 5.9 4.0 5.76.0 5.6 6.0 6.2 7.7 6.7 7.7 8.2 9.0

Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda

OBTENCIÓNDELASMEDIDASDETENDENCIACENTRALDEUNADISTRIBUCIÓNDEFRECUENCIASDEDATOSNOAGRUPADOS.EJEMPLOLascalificacionesdelaasignaturadeQuímicaIIenungrupode52alumnosdeunaescuelapreparatoriaestándadasenlasiguientetabla.Determinalasmedidasdetendenciacentralparalasiguientedistribucióndefrecuencias.

Calificaciónx

frecuenciaf

1 32 43 24 65 76 97 88 69 410 3 N=52

a)media.Agregamoslacolumnafxqueresultademultiplicarlafrecuencia(f)porelvalordeldato,queenestecasoeslacalificación(x).Sesumalosvaloresdefxysedivideentreeltotaldefrecuencias.Calificación

xfrecuencia

ffx

1 3 1x3=32 4 2x4=83 2 3x2=64 6 245 7 356 9 547 8 568 6 489 4 3610 3 30 N=52 𝑓𝑥 = 300

𝑥 =𝑓𝑥𝑁

=30052

𝑥 = 5.77

Eldato26y27seencuentranenrango23-31

b)medianaAgregamoslacolumnafrecuenciaacumulada(fa)

𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 =52 + 12

=532= 26.5

Elvalordelamedianaseobtienepromediandoelvalordeldato26y27.Enamboscasoselvalores6.𝑀𝑒 = 6c)modaLa moda es el valor de mayor frecuencia. En este caso la moda es 6, puesto que sufrecuenciaes9(elmayor).

𝑀𝑜 = 6

Calificaciónx

frecuenciaf

fx fa

1 3 3 32 4 8 73 2 6 94 6 24 155 7 35 226 9 54 317 8 56 398 6 48 459 4 36 4910 3 30 52 N=52 𝑓𝑥 = 300

Calificaciónx

frecuenciaf

fx fa

1 3 3 32 4 8 73 2 6 94 6 24 155 7 35 226 9 54 317 8 56 398 6 48 459 4 36 4910 3 30 52 N=52 𝑓𝑥 = 300

ACTIVIDAD21.Elaboraunatabladefrecuenciasydeterminalasmedidasdetendenciacentralparalascalificacionesdeinglésenungrupode40alumnos.

1 7 9 2 5 4 4 3 7 84 5 6 7 6 4 3 1 5 92 6 4 6 5 2 2 8 3 64 5 2 4 3 5 6 5 2 4

2.Enunexamendematemáticas30alumnoshanobtenido las siguientes calificaciones.Determinalamedia,medianaymoda.

Calificaciónx

frecuenciaf

fx fa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 N= 𝑓𝑥 =

Calificaciónx

Nodealumnos

f

fx fa

1 2 2 2 3 3 4 6 5 7 6 6 7 1 8 1 9 1 10 1 N= 𝑓𝑥 =

2. En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de unambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año. ¿Cuál es la media,medianaymodadedichasituación?

OBTENCIÓNDELASMEDIDASDETENDENCIACENTRALDEUNADISTRIBUCIÓNDEFRECUENCIASDEDATOSAGRUPADOS.EJEMPLODeterminalasmedidasdetendenciacentraldelasiguientedistribucióndefrecuenciasdedatosagrupados.

Intervalodeclase

frecuenciaf

20-29 1030-39 1640-49 2750-59 3260-69 15

N=50

a)mediaParaobtenerlamediadeunadistribucióndefrecuenciasdedatosagrupadosseutilizalafórmula.:

𝑥 =𝑓𝑥𝑖𝑁

Para esto, se agrega la columnamarcade clase xi y semultiplicapor la frecuenciaparaobtenerfxi

Nodevisitasalmédico

x

No.depersonas

f

fx fa

1 10 3 25 5 43 7 31 10 12 12 4 N= 𝑓𝑥 =

Eldato50estáaquí

Intervalodeclase

frecuenciaf

Marcadeclasexi 𝑓𝑥!

20-29 10 20 + 292

= 24.5 24.5x10=245

30-39 16 30 + 392

= 34.5 34.5x16=552

40-49 27 44.5 1201.550-59 32 54.5 174460-69 15 64.5 967.5

N=100 𝑓𝑥𝑖=4710

𝑥 =4710100

𝑥 = 47.1b)medianaSe agrega primero a la tabla la columna de frecuencias acumuladas (fa). Se utiliza laformula:

𝑀𝑒 = 𝐿!! +𝑁2 − 𝑓!𝑓!"

𝐶!"

PuestoqueN=100,entoncessebuscaeldato!

!= !""

!= 50.Seobservaqueestedatocae

dentrodelintervalo40–49.Eneste caso tenemosqueel límite inferiordel intervalodeclasedondeseencuentra lamediana(𝐿!")es𝐿!" = 40..La suma de las frecuencias anteriores a la clase donde se localiza la mediana 𝑓! es𝑓! = 26Lafrecuenciadelaclasedondeseencuentralamediana 𝑓!" es𝑓!" = 27Laamplituddelaclasedondeseencuentralamediana 𝐶!! .Dentrodelintervalo40–49hay10valores,porlotanto𝐶!"=10.

Intervalodeclase

frecuenciaf

Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa

20-29 10 24.5 245 1030-39 16 34.5 552 2640-49 27 44.5 1201.5 5350-59 32 54.5 1744 8560-69 15 64.5 967.5 100

N=100 𝑓𝑥𝑖=4710

𝑀𝑒 = 𝐿!" +𝑁2 − 𝑓!𝑓!"

𝐶!"

𝑀𝑒 = 40 +50 − 2627

10

𝑀𝑒 = 48.9

c)modaPara determinar el valor de la moda de una distribución de frecuencias de datosagrupadosseemplealafórmulasiguiente:

𝑀𝑜 = 𝐿!" +∆!

∆! + ∆!𝐶!"

Laclasemodales50–59,pueseslaquetienelafrecuenciamásalta(con32).Ellímiteinferiordelaclasemodal 𝐿!" es𝐿!" = 50∆!esunadiferenciaentrelafrecuenciadeclasemodalmenoslafrecuenciadelaclasequeleantecede,esdecir∆!= 32 − 27 = 5∆!esunadiferenciaentrelafrecuenciadeclasemodalmenoslafrecuenciadelaclasequelesigue,esdecir∆!= 32 − 15 = 17𝐶!"eselanchodelaclasedelaclasemodal.Dentrodelintervalo50–59hay10valores,porlotanto𝐶!"=10.

𝑀𝑜 = 𝐿!" +∆!

∆! + ∆!𝐶!"

𝑀𝑜 = 50 +5

5 + 1710

𝑀𝑜 = 52.27

Intervalodeclase

frecuenciaf

Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa

20-29 10 24.5 245 1030-39 16 34.5 552 2640-49 27 44.5 1201.5 5350-59 32 54.5 1744 8560-69 15 64.5 967.5 100

N=100 𝑓𝑥𝑖=4710

ACTIVIDAD3

1. “Comida sobre ruedas” es un programa que consiste en llevar comida caliente aenfermos confinados en casa y se desea evaluar sus servicios. El número de comidasdiariasque suministra apareceen la siguientedistribuciónde frecuencias.Determina lamedia,medianaymoda.

2.Elausentismodiariodeunaempresapareceirenaumento.Elañopasadounpromediode40.2empleadosestuvoausentealgunosdías.Serecolectóunamuestradelañoencursoy los resultados se ubicaron en la distribución de frecuencias que se muestra acontinuación.Conbaseenelladeterminalamedia,medianaymoda.

3. Determina la media, mediana y moda de la siguiente distribución de frecuencias dedatosagrupados.

Númerodecomidasdiarias

Númerodedías(frecuencia)

f

Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa

0-6 4 7-13 6 14-20 10 21-27 8 28-34 2

N=30 𝑓𝑥𝑖=

Númerodeempleadosausentes

Díasenlosqueesenumero

estuvoausente(frecuencia)

f

Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa

20-28 3 29-37 9 38-46 8 47-55 10 56-64 9 65-73 6

N=45 𝑓𝑥𝑖=

Intervalos (frecuencia)f

Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa

5-7 1 8-10 5 11-13 6 14-16 3 17-19 2

N=17 𝑓𝑥𝑖=