PROBLEMES D’OPTIMITZACIÓ

AMB BOMBOLLES DE SABÓ

Per Mònica Orpí i Mañé

Un problema es diu que es de màxims o mínims o, en general, d’extrems, sempre que es vulgui resoldre una situació en la qual una determinada magnitud M depèn d’una altra magnitud x, de manera que M = f(x), i s’hagi de trobar un màxim o un mínim de M.

En el cas d’un problema de màxims, es tractarà de trobar un màxim de f(x) i, per tant, s’haurà de buscar x=a tal que f ’(a) = 0 i, a més, f ’’(a) < 0.

En canvi, en el cas d’un problema de mínims, es tractarà de trobar un mínim de f(x) i, per tant, s'haurà de buscar x=a tal que f ’(a) = 0 i, a mes, f ’’(a) > 0.

LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ESTALVIAR :

MINIMITZANT EL MATERIAL

Problema per utilitzar el mínim alumini :

Quines dimensions ha de tenir un cassó en forma de cilindre d’un litre de capacitat perquè la superfície total d’alumini sigui

mínima ?

Com ho fem perquè ens càpiga el màxim nombre d’objectes si fem una capsa amb una planxa quadrada de cartró de 10

dm de costat? Com hem de tallar les puntes per aconseguir el màxim

volum ?

LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER MAXIMITZAR EL RENDIMENT :

QUINES DIMENSIONS HA DE TENIR UN CASSÓ EN FORMA DE CILINDRE d’ 1 LITRE DE CAPACITAT PERQUÈ LA SUPERFÍCIE TOTAL SIGUI MÍNIMA. CALCULEU LA SUPERFÍCIE MÍNIMA

⇒Com que volem un mínim, hem de imposar que la derivada és 0

•El cassó que té una capacitat de volum fixat i la superfície del qual és mínima, és aquell que l’alçada és igual al radi.

Qualsevol altra opció és més costosa en material !!

HTTPS://TUBE.GEOGEBRA.ORG/MATERIAL/SIMPLE/ID/2801863

https://tube.geogebra.org/material/simple/id/2802389

1564-1642. Físic i astrònom italià

“Les matemàtiques són l’alfabet amb el qual Déu ha

escrit l’univers”

La il·lusió és el gest desmesurat,sorprenentment amable i ple de vida,

que no vulnera límits ni malmetocells ni flors, i crea meravelles

que esclaten com bombolles de sabópassat el temps molt breu de l´encanteri,

però perduren sense fer remoral fons amorosit de la mirada.

Miquel Martí i Pol

Yo amo los mundos sutiles, ingrávidos y gentiles como

pompas de jabón.

Antonio Machado.

I bombolles dalinianes, són font d’inspiració

Bombolles repetides

Bombolles per viure-hi

Bombolles encantades

Bombolles encantadores

Bombolles matemàtiques

Són els habitants d’un món amb lleis matemàtiques,

On els angles i les longituds regeixen les relacions socials entre elles,

I on la bellesa amaga regles numèriques, on les formes són, al mateix temps,

seductores i racionals.

Aquestes existències efímeres de gran bellesa amaguen un magnífic entramat matemàtic

Objectiu:

Constatar les possibilitats que ofereix la Matemàtica per descriure,

explicar i predir el món que ens envolta.

Fórmula sabonosa :65% d’aigua

25% de sabó i10% de glicerina

Qui no ha jugat alguna vegada amb bombolles de sabó?

Tot sembla molt simple …

...darrera aquestes divertides figures s’hi amaga un formidable entramat matemàtic!

Però també, s’hi amaga un interminable entramat de treball per fer possible la construcció

d’unes bombolles ben especials, que per mi, són, de totes les bombolles, les més belles !!

Les bombolles mestres!!!Les que ens ensenyen !!

Gràcies a elles podem aprendre molt !!

Però sobretot el millor que ens donen les bombolles és

oferir-nos la oportunitat de ...

Crear emocions

...i que les matemàtiques

poden ser emocionants!

Si ens apropem a una bresca d’abelles, les seves cel·les tenen seccions hexagonals;

Les ales de certs insectes, per exemple les libèl·lules, presenten un enreixat igualment, gairebé hexagonal i, si seguim buscant hexàgons els trobarem

en situacions que han de recobrir un pla sense deixar forats. Però, per què la natura opta per aquestes formes ??

. Si enfoquem la vista cap a les plantes, les llavors dels gira-sols es

distribueixen formant espirals que també les trobarem en la llengua de les papallones i en les closques dels cargols.

Veiem com la natura ha escollit l‘espiral logarítmica com a forma geomètrica en altres moltes configuracions naturals, però d’on surt aquesta forma espiral ??

EL PROBLEMA DELS CONILLS :“Certa persona va posar una parella de

conills en un corral tancat completament per un mur. Quants parells de conills hi haurà al corral en un any, si posem una

parella de conills no productius que, tardarà un mes a ser productiva i llavors engendrarà una nova parella de conills?”

Els conills es reprodueixen seguint també una pauta matemàtica, la de la SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

SUCCESSIÓ

1123581321345589

144233377610987

PROPORCIONS ENTRENOMBRES

CONSECUTIUS

12

1’51’66...

1’61’625

1’615384...1’619047...1’617647...

1’6188...1’617977...1’618055...1’618025...1’618037...1’618032...

I MOLTES FLORS TENEN UN NOMBRE DE PÈTALS QUE SÓN TERMES DE LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI.

Darrere de totes aquestes casualitats, hi ha el nombre d’or !!!

RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

n

n

fflím 1

EL RECTANGLE D’OR :El quocient entre els seus costats és Ф=1’61..

I d’aquí surt l’espiral logarítmica que hi ha en els cargols, en les Galàxies, en la nostra orella,…, fins i tot en les faccions

de les cares més boniques!!!

Serà un rectangle d’Or o rectangle auri si …

LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ

ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ

1 163 102 1’6

2 166 103 1’612

3 169 108 1’565

4 175 105 1’67

LE CORBUSIER

STEPHEN MARQUARDT

- La raó entre l’alçada total d’una persona i l’alçada fins al melic

- La raó de la longitud del braç i la longitud de la mà al colze

- La raó entre l’amplada i la llargada de la cara

- La raó entre la primera falange de la mà i la segona, i entre la segona i la tercera.

- La raó entre la longitud de la cama i la longitud del peu al genoll

- La raó entre la longitud del colze al canell i del canell a la punta dels dits de la mà.

El nombre Ф el trobem en diverses construccions arquitectòniques com

La piràmide de Keops, el Partenó d’Atenes,l¡ edifici de la ONU i l’escala de la

Sagrada Família

La natura estructura els seus objectes seguint unes lleis, però quines són aquestes lleis ?

Podem observar que molts dels objectes de la natura, com ara els planetes

són esfèrics, així com també ho són les gotes d’aigua i les bombolles de sabó.

La forma esfèrica no té cantons i és infinitament simètrica. Però per què prenen aquesta forma les bombolles de sabó ?

Què té la forma esfèrica que la fa tant especial ?

L’objectiu de les abelles és emmagatzemar la major quantitatde mel amb el mínim consum de la preuada cera

( fabricar ½ kg de cera equival, per a les abelles, a donar 12 voltes al món !!!)

L’HEXAGON és la forma plana que pren la natura, ja que és la de major eficiència: És la figura que recobreix tot el pla i que

donada una superfície, és la que té menys perímetre de totes elles.

Podem veure que dels tres polígons regulars que recobreixen el pla, el que té el mínim perímetre tot i tenint

tots tres la mateixa àrea és l’HEXÀGON !!

https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0B6E3Y6IFddu1NnhmQkpDN0Nfd2c

Les lleis de la natura actuen de manera que minimitza longituds i superfícies.

En 1744, Pierre-Luís Moreau de Maupertuis, va proposar el seu gran Esquema del Món: “La natura opera sempre amb la màxima economia”.

Per exemple, la línia recta per un raig de llum Geomètricament, els hexàgons omplen el pla sense deixar forats i les espirals estalvien espai. La circumferència i l’esfera tenen la màxima simetria i compleixen els principis d’optimització.Per això les bombolles de sabó són esfèriques, ja que és la forma més eficient, la que economitza sabó, és a dir la que donat un volum fixat és la que té la superfície mínima

•La tensió superficial és la força que existeix entre les molècules de qualsevol líquid que tendeix a reduir la superfície que presenta. Els líquids en estat lliure presenten una tendència a reduir la superfície exterior que mostren ja que la mínima superfície correspon al menor valor possible de l’energia potencial

deguda a la tensió superficial. I la natura estalvia energia !!

•Així doncs, si un volum de líquid es deixa lliure a l’aire prendrà una forma tal que tingui la mínima superfície exterior possible compatible amb el seu volum.

Tanmateix les gotes dels líquids són esfèriques per què, per a un volum donat fixat, l’esfera és la figura que presenta

menor superfície exterior.

Tensió superficial = Timidesa

Fonament físic

Propietat física Tensió superficial

Què fem quan tenim fred?

Ens esferifiquem?

I els iglús?

Els porquets de Sant Antoni : Un exemple d’esferificació en dimnesió3

La tensió superficial és la timidesa de les molècules

Volen ajuntar-se, ningú vol estar a fora i s’apreten: Si miressim dalt formarien un cercle : És la figura geométrica que donanda una superficie, és la que té menys perímetre.En 3 D, si els jugadors fossin mosques formarien una esfera, que és l’estructura geométrica que, donat un mateix volum, és la que té superficie mínima

Què passa quan en un líquid hi posem sabó?

La tensió superficial disminueix... però no s’elimina

Què passa quan en un líquid hi posem sabó?

La tensió superficial disminueix... però no s’elimina

Es deixa “laminar”... però manté la tendència a formar superfícies mínimes.

El sabó fa perdre la timidesa

A cada configuració correspon una tensió superficial que el líquid voldrà fer mínima

Propietat física Tensió superficial

Model matemàtic Superfícies d’àrea mínima

Hem passat de la propietat físicaa un model matemàtic

Per això les bombolles són esfèriques

Són petits móns efímers...

Éssers encantadors, suggeridors...

Segons la Universitat de Bordeus els moviments del líquid en les bombolles és un model del comportament

dels petits ciclons i de les turbulències que es produeixen en la nostra atmosfera.

Una bombolla congelant-se!

Universos a l’abast de les nostres mans

Però tornem de l’univers a les molècules i a la tensió superficial!

I què hi fa el sabó?

•El sabó té l’efecte de disminuir la tensió superficial dels líquids i de permetre la seva laminació en superfícies minimals (mínims relatius). •Un experiment per veure que fa disminuir la tensió superficial :

• Prenem dos gots d’aigua i en un hi afegim sabó. Després tirem pols de talc sobre un got i l’altre de manera abundant. Observarem que : - En el got que no hi ha sabó, el talc sura, ja que la tensió superficial impedeix que es trenqui la “pell del líquid” - En el got amb sabó, el talc s’enfonsa per què la tensió superficial ha disminuït i no el pot aguantar.

Què fa el sabó ?

Quan em rento les mans no sento cap força!

Uns especialistes en tensió superficial: Els sabaters (Gerris najas)

Stenus comma

Els devastadors efectes que,

per a aquests insectes, té la contaminació de l’aigua dels rius amb detergents.

Aquests animalons viuen gràcies a la tensió superficial

Depredadors a part...la natura crea formes boniques

I les bombolles també!

•Gràcies al sabó i a la seva laminació podrem observar quines seran les formes que donaran les superfícies mínimes, és a dir podrem visualitzar que, submergint una estructura dins d’un poal ple de sabó, la forma que prendrà serà aquella que tingui una menor superfície.

•Al introduir estructures tancades dins del sabó, obliguem a que s’ajusti a l’estructura, per exemple, que s’ajusti al perímetre del fil ferro, obligant a que passi per tots els contorns, però de manera òptima, és a dir, minimitzant la pel·lícula de sabó.

•Podem posar de manifest aquesta tendència mitjançant un petit però vistós experiment en el qual es tensa un fil unit a una estructura de filferro com mostra la fotografia següent:

•Podem sentir ara la força de la tensió superficial?

Sents la Força?

Al submergir un filferro semicircular amb un fil lligat en els extrems, aquest quedarà tensat cap a la part interior del fil

ferro en forma circular. Si, amb un dit mullat tirem del fil i el deixem novament lliure, el fil torna a retrocedir tornant a la

posició d’equilibri i de superfície mínima.

Amb el dit podem sentir la tensió superficial, la força !!!

Per efecte de la tensió superficial les superfícies que formarà l’aigua amb sabó sempre seran mínimes.

Observem que hem passat d’una idea física a una idea matemàtica, el de trobar mínims !!!!

Sense fer derivades i problemes d’optimització, simplement submergint estructures dins del sabó !!

Molts cops, els problemes de màxims i mínims són difícils de resoldre. Però, és suficient una dissolució sabonosa per a que puguem arribar a la

comprovació visual de quelcom que els matemàtics hem tardat molts segles en demostrar-ho.

Plateau en el segle XIX, va resoldre i enunciar les lleis que regeixen el comportament de minimitzar esforços que utilitza la natura, fent experiments

amb bombolles de sabó.

Una de las observacions que va fer i ha estat de gran importància per a les matemàtiques, és la que correspon a que “si introduïm una estructura

tancada en una dissolució sabonosa, sempre es formarà una pel·lícula de sabó, la superfície de la qual serà minimal”

Dues bombolles juntes minimitzen la pel·lícula de sabó compartint una cara i, deixant de tenir una forma esfèrica, optant altres formes geomètriques més econòmiques.

Així estalvien àrea superficial !!!

Si unim diferents bombolles, obtenim sempre formes geomètriques pures : Unint 4 bombolles, en el seu interior, hi haurà un Tetràedre, i amb 12.... Un dodecàedre !!

Les formes regulars són les triades per la natura, per què ??? Perquè són les més eficients, és a dir, són les que estalvien sabó!!

Les tres parets d’una bombolla sempre es trobaran formant un angle de 120º !! Així si fem moltes bombolles de mida similar

obtenim HEXÀGONS, com els de les abelles !!!

•Problema de Pierre Fermat (1601-1665): Donat un triangle d’angles aguts, trobar el punt P tal que la suma de les distàncies als vèrtexs sigui la més

petita possible. A aquest punt se l’anomena el punt de Fermat. •Problemes de Jacob Steiner (1796-1863):

•De totes les corbes de perímetre fixat, el cercle és el d’àrea màxima •Camins mínims : Trobar la xarxa de línies que connecti diferents punts i la longitud total d’aquesta

connexió sigui la mínima possible•Problema de Joseph A. Plateau (1801-1883):

•Determinar la superfície d’àrea mínima limitada en el espai per un contorn tancat.

Hi ha tres tipus de problemes que podem resoldre amb bombolles de sabó

Joseph A. F. Plateau (1801-1883)

Com demostrem matemàticament que el cercle és, de totes les corbes de perímetre fixat,

la que té una superfície més gran ?

De tots els polígons regulars d’igual perímetre, quin de

tots té l’àrea màxima?

Què voldrà dir que la solució de l’angle sigui 0º?

Equivaldrà a dir que el polígon buscat té infinits costats i, per tant,

Serà el cercle !!!

https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0B6E3Y6IFddu1NnhmQkpDN0Nfd2c

De tots els polígons regulars de perímetre P fixat, el cercle és el que té l’àrea màxima, ( cercle = polígon regular d’infinits costats )

Però les bombolles de sabó ho fan de manera natural, sense derivar !!!

El cercle és la solució al problema isoperimètric

1r Problema de Jacob Steiner (1796-1863) resolt:

Com que el sabó vol minimitzar la superfície que passi pel contorn, al tensar el fil interior en forma de cercle, observem que la tensió

superficial contrau a la pel·lícula sabonosa que queda al exterior del fil. El fil es tensa i adopta la forma d’una circumferència perfecta.

Dóna igual la manera en que es subjecti el fil, aconseguim una forma circular perfecta. Aquest fet demostra que la circumferència és la

figura amb màxima àrea donat un perímetre fixat

Donat un perímetre fixat, és el Cercle la figura que tanca la màxima àrea

2n Problema de Jacob Steiner (1796-1863):Trobar la xarxa de línies que connecti diferents punts i la longitud total d’aquesta connexió sigui la mínima possible

Camins mínims Problema de Steiner per 2 punts Comprovarem experimentalment que la línia més curta entre dos punts és la línia recta. Per fer-ho, submergirem una estructura transparent de dos claus. El sabó obliga a passar per aquests dos punts però utilitzant la mínima quantitat de sabó. El camí més curt que els unirà serà la línia recta

Problema de Steiner per 3 punts – Punt de FermatPosarem de manifest de l’existència i les propietats del punt de Fermat d’un triangle

Problema de Steiner per 4 puntsResoldrem el problema de Steiner per quatre punts situats en els vèrtexs d’un rectangle obtenint una estructura de camins que connecten els punts amb una longitud total mínima.

Punt de Fermat  d’un triangle és un punt tal que la distància total des dels tres vèrtexs del triangle al punt és la mínima.

Des d’aquest punt es veu cadascun dels costats del triangle sota un angle de 120 º

Özil ???

Özil ???

=17’32 m

http://www.geogebra.org/material/show/id/46701

Un nou problema que té per solució el punt de Fermat :“Donats tres pobles, on s’ha de construir un hospital de

manera que el camí total que hauria de recórrer les ambulàncies sigui mínim”.

El mètode de construcció del punt de Fermat d’un triangle acutangle amb regla i compàs :

construïm triangles equilàters sobre cada costat del triangle original i unim el vèrtex exterior de cadascun d’aquests triangles amb el vèrtex oposat

d’aquell. Els tres segments es tallaran en el punt de Fermat. Vegi’s l’esquema següent i observeu que no coincideix amb el baricentre

del triangle

Baricentre d’un triangle

El baricentre d’un triangle és el punt d’intersecció de les seves medianes.

És un punt la suma de les distàncies a tres punts donats és mínima. Des d’aquest punt es veu cadascun dels costats del triangle sota un angle de 120º

Observem que el que en l’estructura són parets de líquid, en projectar-la són segments de manera que la propietat que s’ha comentat de superfície total mínima,

en la imatge projectada, passa a ser de longitud total mínima.

Observarem també que els angles lliures entre les superfícies de sabó són tots de 120º (podem superposar-hi sectors de 120º retallats sobre transparències de

colors).

EL PUNT DE FERMAT amb BOMBOLLES DE SABÓ

EL PUNT DE FERMAT amb CORDES

?

120º

120º

120º

Un altre final per al conte dels tres mosqueters!

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

?

El problema de Steiner per a 4 punts : La “solució del sabó” minimitza la longitud total de la xarxa que

uneixen els quatre punts donats. De nou, surten els 120º !!!

Demostrar-ho matemàticament és bastant complicat !!!

I si en lloc de quatre punts, en volem unir 6 ?

Matemàticament

seria terriblement

difícil !!

Hexàgon regularTreballarem amb una estructura formada per dues plaques planes transparents unides per sis claus

metàl·lics situats en els vèrtexs d’un hexàgon regular (els angles interiors

ja són de 120º!). Què passarà?

El sabó no farà dreceres i, en aquest cas obtindrem el mateix

hexàgon.

Quan xucles l'hexàgon es fa petit i queda "suspès" per sis parets de sabó que l'uneixen a cadascun dels vèrtexs de l'hexàgon original. Si sumem la superfície d'aquestes sis parets més la dels "costadets" de l'hexàgon petit, surt la mateixa quantitat de paret.

Si ho imaginem projectat de manera que les parets seran segments, resulta que la suma de totes les longituds de l'hexàgon inicial són sis radis.

Quan passem a l'altra configuració amb l'hexàgon més petit tenim 6 "potetes" i 6 "costadets", però cada "costadet" és igual a un "radiet" (radi de l'hexàgon petit) i "poteta" més "radiet" és igual a radi gran de manera que les dues configuracions internes tenen la mateixa longitud total que la de l'hexàgon inicial !!!

Estructures tancades de fil ferro tridimensionals.

Catenoide : Superfície obtinguda per la revolució de la corba catenària

Una hèlix és un tipus de corba suau en l'espai tridimensional

que es caracteritza pel fet que la tangent en qualsevol punt produeixun angle constant amb una línia fixa

anomenada eix. Exemples d'hèlices són les molles i

les baranes de les escales de cargol.

Una hèlix "plena" s'anomena helicoide.

Les hèlices són importants en la biologia donat que la molècula de l‘

ADN està formada per una doble hèlix i

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Nonsymmetric_velocity_time_dilation.gif

Una cinta de Möbius o banda de Möbius és una superfiície d'una sola cara,un sol contorn i és topològicament no orientable

Fou descoberta de manera independent pels matemàtics alemanysAugust Ferdinand Möebius i Johann Benedict Listing l'any 1858

Què és la banda de Möebius ??

https://www.youtube.com/watch?v=pp7uevoCLZM

https://ztfnews.wordpress.com/2011/02/14/%C2%A1feliz-dia-de-san-valentin-matematico/

La banda de Möebius i l’amor Quina classe d’amor sents tu ??

Quina clase d’amor sents tu ??Amor 1 : Aquest és l’amor de les persones molt independents, cada una va per la seva banda, tot i que s’assemblen en molts aspectes i tenen coses en comú.

Amor 2 : Simbolitzen l’amor autèntic : Les dues persones conserven la seva independència, però tenen un lligam indestructible.

Amor 3 : És l’amor passional, els dos amants es fonen en un sol amor com si fossin un sol ésser i això no els permet diferenciar-se un de l’altre

Poliedres fets amb varilles

Làmines sabonoses que es tallen en arestes i arestes que es tallen en un punt

El punt de Fermat en 3D

Tetràedre (6 arestes – 4 cares – 4 vèrtexs)•Obtindrem, de cada aresta del tetràedre, una làmina, obtenim sis làmines planes i triangulars que es tallen en quatre arestes, i aquestes en un punt central, que convergiran en el baricentre del tetràedre, si és regular.

•L’angle díedre d’aquesta forma sabonosa, és a dir l’angle entre cara parell de les làmines és de 120º (com va postular Plateau)

•L’angle entre cada parell d’arestes que convergeixen en el baricentre és de 109º 28’ (com va postular Plateau)

•Si trenquem dues làmines obtindrem un bonic paraboloide hiperbòlic (sella de muntar )•Resulta interessant col·locar una bombolla sobre el baricentre i bufar amb l’ajut d’una palleta: apareix una figura tetraèdrica amb les cares lleugerament corbades sostinguda per sis làmines planes

La generalització d’unir 4 punts, però en dimensió 3

Cub ( 6 cares-12 arestes- 8 vèrtexs)

En el cas d’una estructura cúbica apareixerà :•Una làmina plana i quadrada en el centre sostinguda per dotze làmines planes en forma de trapezi (cada làmina surt d’una aresta del cub)•La simetria del cub ens permet observar que hi haurà tres solucions minimals que tindran la làmina central amb orientacions diferents. Passarem d’una a l’altra movent l’estructura, per tant, s’obtenen varies situacions de làmines en equilibri.

• A més, les arestes formen un nou cub en el interior (cub quadrimensional)

Hipercub:Un tesseractis o hipercub és una figura formada per dos cubs desplaçats en un quart eix dimensional (anomenem al primer

longitud, al segon alçada i al tercer profunditat).Es compon de 8 cel·les cúbiques, 24 cares quadrades, 32 arestes

i 16 vèrtexs

Projecció d'un hipercub, amb una transformació semblant a la que podem aplicar

a un cub de tridimensioal.

https://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:8-cell-simple.gif

Paraboloide hiperbòlic (sella de muntar): x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 2 z ,

La seva intersecció amb un pla que contingui l’eix de simetria és una

paràbola i la intersecció amb un pla perpendicular a l’anterior és una

hipèrbola

L’OctàedreEn aquest cas poden obtenir-se diferents formes.

Totes les figures que s’obtenen són molt maques però resulta especialment fascinant una rosa dels vents tridimensional d’extraordinària bellesa.I el reflexe de la llum sobre la pe´:lícula sabonosa que evoca la bellesa d’un diamant Tots els angles dièdrics són de 120º

És bonic pensar que darrere d’aquestes formes tan harmonioses hi ha la condició que la superfície total sigui la mínima que passa per les 12 arestes de l’octàedre

L’ús de les bombolles en l’arquitectura : Formes estables que semblen fràgils però no ho són. Posseixen una estilitzada i increïble bellesa,

formant arcs i corbes. La tensió superficial de les cordes crea una forma estable i económica (mínima superficie) que

l’home les ha utilitzat en el seu benefici fent …

El camp de Mart de Tarragona

Enginyer Frei Otto - 1972

Estadi Olímpic de Munic (1972)

Jocs Olímpics de Pequín 2008The National Aquatics Center o “Water Cube"