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PROYECTO DE ESTRUCTURA III
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMCAMPUS DR. VCTOR LEVI SASSOFACULTAD DE INGENIERIA CIVILLICENCIATURA EN INGENIERIA CIVIL
PROYECTO DE ESTRUCTURAS IIIREPORTE PARA EL PROGRAMA DE RESOLVER MARCOS MEDIANTE MTODO DE RIGIDEZ
PREPARADO POR:Corts, Nilda 4-769-539Cubilla, Kiria 4-770-352Zambrano, Csar 7-708-1985
PROFESOR: ING. NELSON CEDEO
Grupo:11C141
Fecha de Entrega:Jueves 9 de Julio de 2015.
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NDICEContenido del ReporteNDICEiINTRODUCCINiiiDescripcin Matemtica del Mtodo de Rigidez1A.Teora y Procedimiento1B.Algoritmos y Ecuaciones6Consolidacin de la Matriz de Rigidez Global8Vector de Reacciones9Cargas del Sistema10Solucin del Sistema F=KD+P con remplazo y reordenamiento matricial.11Cortantes y Momentos de cada extremo12Diagrama de Flujo13A.Diccionario de Variables13B.Flujograma14Diccionario del Flujograma14Flujograma15Uso del Programa16A.Formato de Datos16B.Formularios16C.Formato de Resultados19Originalidad del programa19Problema 1 Resuelto a mano con excel20A.Planteamiento20Matrices de Rigidez por Elemento20Matriz de Rigidez Global24Vector de Fuerzas Nodales, Reacciones, Desplazamiento y Particular26B.Soluciones27Desplazamientos27Reacciones27Problema 2 Resuelto a mano con excel28A.Planteamiento28Matrices de Rigidez por Elemento28Matriz de Rigidez Global32Vector de Fuerzas Nodales, Reacciones, Desplazamiento y Particular35B.Soluciones36Desplazamientos36Reacciones36Procedimiento y Resultados Obtenidos con el programa37A.Procedimiento de Ejemplo 1 (Acero)37Introduccin de Propiedades del Marco37Insertar Cargas38B.Resultados38Conclusiones40A.Comparaciones de Resultados y Discusin de los mismos40B.Limitaciones del programa40C.Reflexiones40Bibliografa41
1. INTRODUCCIN
En la lnea de vida de un proyecto estructural, siempre existir entre los primeros pasos, el anlisis estructural de los modelos propuestos. Hoy en da, el tamao de las estructuras que son usualmente construidas en el mundo no permite que el proceso de clculo, anlisis y posteriormente, diseo, sea realizado manualmente. Producto de esto han salido al mercado programas que, utilizando como pininos el mtodo de rigidez, analizar la estructura de forma finita. No es la intencin del programa desarrollado, Proyecto Marco, competir con SABLE, SAP2000, PROKON, pero si es un programa ligero con la capacidad de resolver efectivamente el marco especificado, el cual es un prtico tpico en la construccin de apartamentos de baja altura. El mtodo de rigidez tiene la ventaja de plantear para un sistema de ecuaciones global de la estructura, con el cual no se considera si la estructura es determinada o indeterminada. De hecho, incluso colocando apoyos simples en todos los nudos con restricciones, el prtico planteado es indeterminado. Proyecto Marco, cumple con el objetivo de encontrar soluciones de desplazamiento y reacciones para sistemas indeterminados. Dicho esto, nos damos cuenta que en realidad no es necesario delimitar las condiciones de equilibrio, para escoger el tipo de metodologa necesaria para resolver el sistema sino para resolver el sistema de ecuaciones en base a las condiciones de compatibilidad, reacciones fuerza-deformacin de cada elemento del marco para obtener resultados apropiados.Para desarrollar el programa se utiliz el programa Visual Studio Versin Comunnity 2013. Esto fue de gran ayuda ya que utiliza el lenguaje de programacin Basic, desarrollado previamente en el curso de programacin. Con certeza se puede decir que no todos los comandos y herramientas son conocidas, pero el programa visual studio tiene la ventaja de que brinda al usuario manuales en lnea para cada herramienta que exista en l.
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Descripcin Matemtica del Mtodo de Rigidez
Teora y ProcedimientoEn la introduccin se mencion algo sobre los grados de libertad de la estructura cuando se trajo a colacin la indeterminacin de las estructuras. Por este motivo es importante describir cuales son los grados de libertad en los marcos 2D. Los grados de libertad son los desplazamientos a los cuales puede estar sometido un nodo; traslacin en el eje horizontal, traslacin en el eje vertical y rotacin. Si no se considera asentamiento, la deflexin o traslacin perpendicular al eje de la viga original, es cero. Si a este efecto agregamos la condicin de empotramiento en nodos extremos, como fue requerido en el proyecto, las rotaciones son iguales a cero tambin; de otra forma, entonces sern incgnitas en el sistema de ecuaciones.Si consideramos un elemento con nodo inicial N y nodo final F (Del ingls Near: cerca; y Far: Lejano) y sometemos a traslacin y rotaciones cada nudo por separado. La respuesta de la estructura, con convencin asumida positiva por este diagrama, es la siguiente:
El desplazamiento en la direccin y ha generado respuestas qNYdNY y qFYdFY. El desplazamiento en x; qNXdNX y qFXdFX. Mientras que las rotaciones alrededor del eje perpendicular a esta hoja (Z) han generado las respuestas qNZdNZ Y qFZdFZ. En base a la aplicacin del mtodo de pendiente deflexin se pueden obtener las respuestas a cada movimiento nodal en y y z individualmente como plantean los siguientes diagramas:
La condicin axial se estudia con el anlisis de barras utilizado para cerchas.
Al sumar todas las respuestas planteadas con los diagramas presentados previamente se puede obtener una matriz de la siguiente forma:
Esto se conoce como el sistema Q=Kd, el cual de forma literal se lee como Respuestas o Reacciones nodales es igual a la Matriz de Rigidez por los Desplazamientos nodales La matriz de rigidez presentada es vlida para un solo elemento. Ahora, no todos los elementos de un marco se extienden sobre el mismo eje, por lo cual es necesario convertir estas fuerzas hacia un eje global de forma que se pueda hacer equilibrio de fuerzas en cada nodo para los elementos que concurran all.Para esto es necesario aplicar trigonometra en base al ngulo de rotacin que tenga el eje del elemento respecto al eje cartesiano.
Al hacer el proceso para el nodo F, todas las componentes de desplazamiento pueden ser expresadas matricialmente como
Ahora se repite el proceso para las fuerzas en cada nodo con lo cual se obtiene una matriz como la siguiente:
Mantenga en mente que ha analizado una situacin particular: 1 elemento sometido a desplazamientos nodales, que pasa si este elemento tiene cargas entre los nodos.En este caso, es necesario aplicar el resto de la ecuacin de pendiente deflexin e insertar las reacciones y momentos de empotramiento (se han incluido las reacciones ya que tambin se analiza la condicin de cortante y no solo la de flexin como era en el mtodo de pendiente deflexin).
De tal forma se plantea el mtodo de rigidez para una viga como QN=Kd+P donde P, es el vector particular donde se incluyen las reacciones y momentos de cada nodo.
Nuevamente, es necesario detenerse a analizar que tenemos otra situacin particular: un elemento sometido en sus nodos extremos a desplazamientos mientras soporta cargas entre los mismos. Hagamos nfasis en un. Ahora es necesario analizar individualmente tantos elementos como tenga el marco, y plantear equilibrio en cada Nudo de forma que las respuestas (axiales, cortantes y momentos de cada nudo) sean sumados o en programacin Consolidados, cuando se hace esto; entonces el sistema cambia de forma local a forma global para toda la estructura a:
Donde QN, que previamente eran las respuestas en cada nodo de la viga, ha pasado a ser Fn, las fuerzas externas aplicadas en los nodos de la estructura.Con esto hemos terminado de delimitar los pasos necesarios para plantear el sistema de ecuaciones que genera y resuelve Proyecto Marco.
Algoritmos y Ecuaciones
La variable de entrada requerida por el proyecto es la cantidad de miembros nv que tendr la viga continua. Una vez el usuario defina que tantos elementos quiere analizar entonces se automatiza una gran cantidad de clculos; por ejemplo:
VariableClculoJustificacin
Elementosm= 3*pisos+2*pisos=5*pisosExisten tantas columnas por hilera, como pisos y, el doble de vigas por cada piso.
Nmero de Nodosn=3*(pisos+1)En cada hilera de columnas existen pisos +1 nodos ya que las columnas son continuas.
Nodos con restriccionesNodo Izquierda : 1Nodo Intermedia: Pisos +2Nodo Derecha: 2*(Pisos+1)+1Estas deducciones fueron hechas analizando el marco propuesto.
Primera Viga3*Pisos + 1
Primer Elemento de cada Hilera de Columnas1, Pisos +1, 2*(Pisos)+1
Diferencia entre conteo de nodo inicial y final de cada vigaD=Pisos+1
VariableClculoJustificacin
Nudos iniciales (near) y finales (far) de columnas por hileranf(elemento)=ni(elemento) + 1Para esto es necesario asignar a la primera columna de cada hilera como nodo inicial los nudos con restricciones.
Nudos iniciales (near) y finales (far) de las vigas de la izquierdanf(elemento)=ni(elemento)+ Pisos + 1Para esto es necesario asignar los nmeros desde 2 hasta Pisos +1 a los elementos viga de la izquierda.
Nudos iniciales (near) y finales (far) de las vigas de la derecha.ni(elemento)=ni(elemento previo)
Tamao de Vectores y Matrices del sistema IndividualSize Vector = 6Size Matriz = 6,6El sistema planteado por QN=Kd+P toma en cuenta 2 grados de libertad por nudo
Tamao de Vectores y Matrices del sistema GlobalSize Vector = 3*nSize Matriz = 3*n,3*nEl sistema planteado por R=Kd+P toma en cuenta 2 grados de libertad por nudo
Tamao de Vectores de Propiedades de la VigaSize Vector=mHay que almacenar cada elemento con sus propiedades.
Consolidacin de la Matriz de Rigidez GlobalBasados en que el sistema de ecuaciones global de la matriz tendr como tamao 3n X 3n la coordenada inicial del sistema (1,1) es igual a [3*nn(1)-2] X [3*nn(1)-2] y la coordenada final (3n,3n); [3*nf(m)] X [3*nf(m)]. Con lo cual se pueden asignar coordenadas continuamente a lo largo del sistema global.En cada coordenada del sistema global deben ser superpuestos (consolidados) las contribuciones que hagan a la misma reaccin, por causa de los mismos desplazamientos a un nodo. En pocas palabras, si el sistema global tiene coordenadas X,Y entonces se debe acumular en esa posicin todos los miembros de las matrices individuales de tengan coordenadas X,Y.Para esto se calculan las coordenadas de cada elemento de la matriz de rigidez mediante la metodologa planteada anteriormente:Elemento i3nn(i)-23nn(i)-23nn(i)3nf(i)-23nf(i)-13nf(i)
3nn(i)-2XXXXXX
3nn(i)-2XXXXXX
3nn(i)XXXXXX
3nf(i)-2XXXXXX
3nf(i)-1XXXXXX
3nf(i)XXXXXX
Vector de ReaccionesEl vector R controla al vector desplazamientos ya que no se consideran asentamientos en los nudos. De tal forma donde R tiene incgnitas, el desplazamiento es cero, ya que hay una restriccin para rotacin o desplazamiento. Y por ende los apoyos articulados, que no soportan rotacin; se desplazan al girar alrededor de Z.Es importante controlar donde se establece cada reaccin a los grado de libertad.ComponenteNudo
X1
Y1
M1
X2
Y2
M2
X3
Y3
M3
X4
Y4
M4
VariableCalculoJustificacin
Vector R(3* nudo con restriccin-2)IncgnitaSiempre hay reaccin vertical en los apoyos.
Vector D(3* nudo con restriccin-2)0No se considera asentamiento en el programa.
Vector R(3* nudo con restriccin-1)IncgnitaSiempre hay reaccin horizontal en los apoyos.
Vector D(3*nudo con restriccin-1)0No se considera asentamiento en el programa.
Vector R(3*nudo con restriccin)Variable: 0 incgnitaSi se coloca empotramiento en el nudo restringido entonces puede haber un momento aplicado.
Vector D(3*nudo con restriccin)Variable: Incgnita 0Si se coloca empotramiento en el nudo restringido entonces puede haber una restriccin contra la rotacin.
Cargas del SistemaEs posible aplicar cargas puntuales en los nudos de la izquierda (1 a pisos +1) y cargas en las vigas (3*pisos +1 a 5*pisos).En el caso de las vigas, aquellas colocadas hacia la izquierda estn cargadas por W1 (el cual puede variar por piso en el programa) y las de la derecha por W2.Se especifica que El formulario aplicado permite la aplicacin de cargas diferentes por tramo de viga. Con lo cual se le agrega un poco de originalidad al programa, ya que este no era un requerimiento inicial.
Con lo cual para el elemento de viga 3*pisos + iElemento 3*pisos + i
3nn(i)-1R1 de cada carga incluida
3nn(i)M1 de cada carga incluida
3nf(i)-1R2 de cada carga incluida
3nf(i)M2 de cada carga incluida
Por otro lado, para permitir la posibilidad de incluir cargas en el nodo 1, se cambia el sistema F=Kd+P se ha programado la solucin de R + Fnodo=Kd+P.
Solucin del Sistema F=KD+P con remplazo y reordenamiento matricial.Durante la clase de mtodos numricos se dio este tema, al momento se mencion la importancia que tendra en el curso de Estructura III.En primer lugar utilizando los mtodos de algebra lineal para la solucin de sistemas lineales no se desarrollaron sistemas con cortes en el eje vertical (Y=ax+B). No se plantearon el mtodo de Gauss, Gauss-Jordan y Kramer para un sistema Y=axDe tal forma es necesario transformar el sistema F=KD+P en Y=KD donde Y es igual a R-P+FNODO. Se encuentran las soluciones para Y, al sumar P y restar FNODO (que son vectores de solo nmeros) se resuelve R.Ahora ya hemos resuelto un problema; el siguiente es que el mtodo plantea un sistema de ecuaciones Y=AX donde hay incgnitas tanto en Y como en X, por lo cual es necesario reordenar el sistema, y posteriormente reducirlo y resolverlo.
ProcesoJustificacin
Para reordenar DColocar incgnitas de D en la parte superior; por ende las primeras columnas de K debern ser las que correspondan a estas posiciones de D.
Para reordenar YColocar incgnitas de Y en la parte superior; por ende las primeras filas de K debern ser las que correspondan a estas posiciones de Y.
Para reducirTrabajar con un sistema que solo tenga tantas filas y tantas columnas como incgnitas en D.
Para resolver DUtilizar Gauss-Jordan y encontrar grados de libertad
Para resolver YVolver al sistema original y remplazar las incgnitas de D, multiplicar matricialmente y encontrar Y
Para resolver RSumar a Y la consolidacin del vector P y restar Fnodo.
Cortantes y Momentos de cada extremoCon los desplazamientos conocidos en cada nodo, basta con aplicar la ecuacin Q=Kd+P de cada elemento para encontrar los valores de Q que contienen cortante en el nodo N, momento en el nodo N, cortante en el nodo F y momento en el nodo F respectivamente.
Diagrama de Flujo1. Diccionario de VariablesLas variables ms representativas del proyecto se describen aqu.Variab. Del Marc.Descripcin
npiCantidad de pisos
nvCantidad de elementos
nCantidad de nodos
nn(nv)Nodo inicial de cada elemento
nf(nv)Nodo final de cada elemento
L(nv)Longitud de elementos
Em(nv)Elasticidad de los Elementos
Im(nv)Inercia de los Elementos
Am(nv)rea de los Elementos
Ds1(3n)Vector Desplazamiento
Rs1(3n)Vector de Reacciones
Mk(6,6)Matriz de Rigidez por Elemento
Mx( 3n, 3n )Matriz de Rigidez Global
M1,M2,R1,R2Momentos y Reacciones de Empotramiento en Nodos 1 y 2 de cada elemento
Pord(6*nv)Solucin particular de cada elemento.
Ps1(3*nv)Solucin particular de la viga continua
Ps2(3*nv)Vector de Fuerzas Laterales aplicadas
Ds2(3*n)Vector Desplazamiento con soluciones
Rs2()Vector Reacciones con soluciones
An(nv)Fuerza en X en nodo n de cada tramo
Af(nv)Fuerza en X en nodo f de cada tramo
Cn(nv)Fuerza en Y en nodo n de cada tramo
Cf(nv)Fuerza en Y en nodo f de cada tramo
Mn(nv)Momento en nodo n de cada tramo
Mf(nv)Momento en nodo f de cada tramo
Flujograma
Diccionario del Flujograma
Flujograma
Uso del Programa1. Formato de DatosSe han anexado etiquetas a lo largo del programa para controlar como el usuario debe insertar las unidades; bsicamente se ha trabajo con unidades comunes de cada sistema.Sistema InternacionalSistema Ingls
Distanciamft
FuerzakNKips
Carga DistribuidakN/mKips/ft
ElasticidadMPaKips/in2
Areamm2in2
Inerciamm4in4
Formularios1. Presentacin del Proyecto (Form5)
Presentacin del Proyecto donde se introduce el sistema de unidades a utilizar.
2. Elementos del Marco (Form1)
En este formulario es necesario dimensionar el marco, e insertar las propiedades de la seccin.
3. Cargas (Form3)
En este formulario el usuario introduce las cargas de las vigas y las cargas en los nodos.
Los datos sern procesados desde el datagridview por lo cual se pueden modificar los valores insertados.4. Resultados (Form4)
En este formulario se observan los vectores de reacciones, desplazamientos, axiales, cortantes y momentos en los extremos de cada elemento.
5. Mtodo de Rigidez para Marcos (Form2)
En este formulario se puede visualizar el sistema de ecuaciones por elemento y el sistema de ecuaciones global de la viga.Formato de ResultadosLos resultados son mostrados en conjunto con sus unidades en el programa. Las unidades de los resultados son los siguientes. Adicionalmente en el formulario de resultados se muestran las convenciones asumidas.Sistema InternacionalSistema Ingls
Traslacionesmft
FuerzakNKips
MomentokN-mKips-ft
Rotaciones--
Originalidad del programaCaractersticaDescripcin
Inercias y reas diferentes en cada elementoSe puede automatizar la insercin de datos con una sola inercia y rea, pero las mismas tambin puede ser modificada
Sistema de UnidadesSistema internacional e ingls para facilitar la insercin de datos
Etiquetas de formatoNotas recuerdan al usuario constantemente como insertar los datos y como observa los resultados
ElasticidadSe utilizan las formulas ACI para el clculo de la elasticidad del concreto.
Men de Navegacin Sencillo
Cargas DiferentesSe pueden insertar cargas diferentes por cada elemento de viga.
Problema 1 Resuelto a mano con excel
VariableValor
ApoyosSimples Todos
h14.0m
h23.20m
L14.0m
L24.5m
I40600000mm4
A303000mm2
EAcero=200GPa
W12kN/m
W23kN/m
P0,100,120,140kN
1. PlanteamientoMatrices de Rigidez por ElementoElemento #1
H11522.500.00-3045.00-1522.500.00-3045.0000
Y10.0015150000.000.000.00-15150000.000.0000
Y1=-3045.000.008120.003045.000.004060.00XO1+0
H2-1522.500.003045.001522.500.003045.00U20
Y20.00-15150000.000.000.0015150000.000.00V20
M2-3045.000.004060.003045.000.008120.00O20
Elemento #2
H22973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U20
Y20.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V20
Y2=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO2+0
H3-2973.630.004757.812973.630.004757.81U30
Y30.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V30
M3-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O30
Elemento #3
H32973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U30
Y30.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V30
Y3=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO3+0
H4-2973.630.004757.812973.630.004757.81U40
Y40.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V40
M4-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O40
Elemento #4
H51522.500.00-3045.00-1522.500.00-3045.0000
Y50.0015150000.000.000.00-15150000.000.0000
Y5=-3045.000.008120.003045.000.004060.00XO5+0
H6-1522.500.003045.001522.500.003045.00U60
Y60.00-15150000.000.000.0015150000.000.00V60
M6-3045.000.004060.003045.000.008120.00O60
Elemento #5
H62973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U60
Y60.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V60
Y6=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO6+0
H7-2973.630.004757.812973.630.004757.81U70
Y70.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V70
M7-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O70
Elemento #6
H72973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U70
Y70.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V70
Y7=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO7+0
H8-2973.630.004757.812973.630.004757.81U80
Y80.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V80
M8-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O80
Elemento #7
H91522.500.00-3045.00-1522.500.00-3045.0000
Y90.0015150000.000.000.00-15150000.000.0000
Y9=-3045.000.008120.003045.000.004060.00XO9+0
H10-1522.500.003045.001522.500.003045.00U100
Y100.00-15150000.000.000.0015150000.000.00V100
M10-3045.000.004060.003045.000.008120.00O100
Elemento #8
H102973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U100
Y100.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V100
Y10=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO10+0
H11-2973.630.004757.812973.630.004757.81U110
Y110.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V110
M11-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O110
Elemento #9
H112973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U110
Y110.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V110
Y11=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO11+0
H12-2973.630.004757.812973.630.004757.81U120
Y120.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V120
M12-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O120
Elemento #10
H215150000.000.000.00-15150000.000.000.00U20
Y20.001522.503045.000.00-1522.503045.00V24
Y2=0.003045.008120.000.00-3045.004060.00XO2+2.666666667
H6-15150000.000.000.0015150000.000.000.00U60
Y60.00-1522.50-3045.000.001522.50-3045.00V64
M60.003045.004060.000.00-3045.008120.00O6-2.666666667
Elemento #11
H613466666.670.000.00-13466666.670.000.00U60
Y60.001069.302405.930.00-1069.302405.93V66.75
Y6=0.002405.937217.780.00-2405.933608.89XO6+5.0625
H10-13466666.670.000.0013466666.670.000.00U100
Y100.00-1069.30-2405.930.001069.30-2405.93V106.75
M100.002405.933608.890.00-2405.937217.78O10-5.0625
Elemento #12
H315150000.000.000.00-15150000.000.000.00U30
Y30.001522.503045.000.00-1522.503045.00V34
Y3=0.003045.008120.000.00-3045.004060.00XO3+2.666666667
H7-15150000.000.000.0015150000.000.000.00U70
Y70.00-1522.50-3045.000.001522.50-3045.00V74
M70.003045.004060.000.00-3045.008120.00O7-2.666666667
Elemento #13
H713466666.670.000.00-13466666.670.000.00U70
Y70.001069.302405.930.00-1069.302405.93V76.75
Y7=0.002405.937217.780.00-2405.933608.89XO7+5.0625
H11-13466666.670.000.0013466666.670.000.00U110
Y110.00-1069.30-2405.930.001069.30-2405.93V116.75
M110.002405.933608.890.00-2405.937217.78O11-5.0625
Elemento #14
H415150000.000.000.00-15150000.000.000.00U40
Y40.001522.503045.000.00-1522.503045.00V44
Y4=0.003045.008120.000.00-3045.004060.00XO4+2.666666667
H8-15150000.000.000.0015150000.000.000.00U80
Y80.00-1522.50-3045.000.001522.50-3045.00V84
M80.003045.004060.000.00-3045.008120.00O8-2.666666667
Elemento #15
H813466666.670.000.00-13466666.670.000.00U80
Y80.001069.302405.930.00-1069.302405.93V86.75
Y8=0.002405.937217.780.00-2405.933608.89XO8+5.0625
H12-13466666.670.000.0013466666.670.000.00U120
Y120.00-1069.30-2405.930.001069.30-2405.93V126.75
M120.002405.933608.890.00-2405.937217.78O12-5.0625
Matriz de Rigidez Global
123456789101112131415161718
115230-3045-15230-3045000000000000
201515000000-151500000000000000000
3-304508120304504060000000000000
4-152303045151544960-1713-29740-4758000000-1515000000
50-15150000003408902330450-1893750000000000-15233045
6-304504060-17133045263904758050750000000-30454060
7000-2974047581515594700-29740-4758000000
80000-18937500003787652330450-189375000000000
9000-4758050750304528420475805075000000
10000000-2974047581515297404758000000
110000000-1893750000189390233045000000
12000000-4758050754758304518270000000
1300000000000015230-3045-15230-3045
1400000000000001515000000-151500000
15000000000000-304508120304504060
16000-1515000000000000-152303045286211630-1713
170000-1523-30450000000-151500000034090092-639
18000030454060000000-304504060-1713-63933608
19000000-1515000000000000-297404758
200000000-1523-30450000000-189375000
21000000030454060000000-475805075
22000000000-1515000000000000
230000000000-1523-3045000000
24000000000030454060000000
25000000000000000000
26000000000000000000
27000000000000000000
28000000000000000-1346666700
290000000000000000-1069-2406
30000000000000000024063609
31000000000000000000
32000000000000000000
33000000000000000000
34000000000000000000
35000000000000000000
192021222324252627282930313233343536
1000000000000000000
2000000000000000000
3000000000000000000
4000000000000000000
5000000000000000000
6000000000000000000
7-1515000000000000000000000
80-15233045000000000000000
90-30454060000000000000000
10000-1515000000000000000000
110000-15233045000000000000
120000-30454060000000000000
13000000000000000000
14000000000000000000
15000000000000000000
16-29740-4758000000-1346666700000000
170-1893750000000000-10692406000000
184758050750000000-24063609000000
192862261400-29740-4758000000-1346666700000
20037877592-6390-1893750000000000-10692406000
210-639356384758050750000000-24063609000
22-2974047582861964004758000000000-1346666700
230-189375000018940092-6390000000000-10692406
24-4758050754758-639254880000000000-24063609
2500000015230-3045-15230-3045000000
2600000001515000000-151500000000000
27000000-304508120304504060000000
28000000-152303045134711630-1713-29740-4758000
290000000-151500000034088569-24060-189375000000
30000000-304504060-1713-240625488475805075000
31-1346666700000000-2974047581347261400-29740-4758
320-1069-24060000000-189375000037876069-24060-189375000
33024063609000000-4758050750-240627518475805075
34000-1346666700000000-2974047581346964004758
350000-1069-24060000000-189375000018938569-2406
36000024063609000000-4758050754758-240617368
Vector de Fuerzas Nodales, Reacciones, Desplazamiento y Particular
RFnodalDP
Rx1000
Ry1000
00O10
0100U20
00V24
00O22.666666667
0120U30
00V34
00O32.666666667
0140U40
00V44
00O42.666666667
Rx5000
Ry5000
00O50
00U60
00V610.75
00O62.395833333
00U70
00V710.75
00O72.395833333
00U80
00V810.75
00O82.395833333
Rx9000
Ry9000
00O90
00U100
00V106.75
00O10-5.0625
00U110
00V116.75
00O11-5.0625
00U120
00V126.75
00O12-5.0625
Soluciones
Desplazamientos
NudoTraslacin X [m]Traslacin Y [m]Rotacin
10.0000000.000000-0.155259
20.4737400.000023-0.044787
30.5928330.000030-0.017421
40.6463690.000031-0.008218
50.0000000.000000-0.163953
60.473737-0.000007-0.027396
70.592826-0.000009-0.014785
80.646363-0.000010-0.004671
90.0000000.000000-0.154317
100.473732-0.000020-0.046666
110.592825-0.000027-0.017595
120.646360-0.000029-0.008264
Reacciones
NudoRx [kN]Ry[kN]M[kN-m]
1-112.12922-344.94250
2000
3000
4000
5-138.60569102.030270
6000
7000
8000
9-109.26509307.412230
10000
11000
12000
Problema 2 Resuelto a mano con excel
VariableValor
ApoyosEmpotrados todos
h114p
h211p
L115p
L214 p
I8748in4
A324in2
EConcreto, 5500psi
W120kip/ft
W230kip/ft
P0,10,12,14kN
1. PlanteamientoMatrices de Rigidez por ElementoElemento #1
H11123.0505360-7861.35375-1123.0505360-7861.3537500
Y1097830.1800-97830.18000
Y1=-7861.35375073372.6357861.35375036686.3175X0+0
H2-1123.05053607861.353751123.05053607861.35375U20
Y20-97830.180097830.180V20
M2-7861.35375036686.31757861.35375073372.635O20
Elemento #2
H22315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U20
Y20124511.138200-124511.13820V20
Y2=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO2+0
H3-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U30
Y30-124511.138200124511.13820V30
M3-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O30
Elemento #3
H32315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U30
Y30124511.138200-124511.13820V30
Y3=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO3+0
H4-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U40
Y40-124511.138200124511.13820V40
M4-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O40
Elemento #4
H51123.0505360-7861.35375-1123.0505360-7861.3537500
Y5097830.1800-97830.18000
Y5=-7861.35375073372.6357861.35375036686.3175X0+0
H6-1123.05053607861.353751123.05053607861.35375U60
Y60-97830.180097830.180V60
M6-7861.35375036686.31757861.35375073372.635O60
Elemento #5
H62315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U60
Y60124511.138200-124511.13820V60
Y6=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO6+0
H7-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U70
Y70-124511.138200124511.13820V70
M7-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O70
Elemento #6
H72315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U70
Y70124511.138200-124511.13820V70
Y7=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO7+0
H8-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U80
Y80-124511.138200124511.13820V80
M8-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O80
Elemento #7
H91123.0505360-7861.35375-1123.0505360-7861.3537500
Y9097830.1800-97830.18000
Y9=-7861.35375073372.6357861.35375036686.3175X0+0
H10-1123.05053607861.353751123.05053607861.35375U100
Y100-97830.180097830.180V100
M10-7861.35375036686.31757861.35375073372.635O100
Elemento #8
H102315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U100
Y100124511.138200-124511.13820V100
Y10=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO10+0
H11-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U110
Y110-124511.138200124511.13820V110
M11-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O110
Elemento #9
H112315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U110
Y110124511.138200-124511.13820V110
Y11=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO11+0
H12-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U120
Y120-124511.138200124511.13820V120
M12-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O120
Elemento #10
H291308.16800-91308.16800U20
Y20913.081686848.11260-913.081686848.1126V2150
Y2=06848.112668481.1260-6848.112634240.563XO2+375
H6-91308.1680091308.16800U60
Y60-913.08168-6848.11260913.08168-6848.1126V6150
M606848.112634240.5630-6848.112668481.126O6-375
Elemento #11
H697830.1800-97830.1800U60
Y601123.0505367861.353750-1123.0505367861.35375V6210
Y6=07861.3537573372.6350-7861.3537536686.3175XO6+490
H10-97830.180097830.1800U100
Y100-1123.050536-7861.3537501123.050536-7861.35375V10210
M1007861.3537536686.31750-7861.3537573372.635O10-490
Elemento #12
H391308.16800-91308.16800U30
Y30913.081686848.11260-913.081686848.1126V3150
Y3=06848.112668481.1260-6848.112634240.563XO3+375
H7-91308.1680091308.16800U70
Y70-913.08168-6848.11260913.08168-6848.1126V7150
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Elemento #13
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Elemento #14
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Y4=06848.112668481.1260-6848.112634240.563XO4+375
H8-91308.1680091308.16800U80
Y80-913.08168-6848.11260913.08168-6848.1126V8150
M806848.112634240.5630-6848.112668481.126O8-375
Elemento #15
H897830.1800-97830.1800U80
Y801123.0505367861.353750-1123.0505367861.35375V8210
Y8=07861.3537573372.6350-7861.3537536686.3175XO8+490
H12-97830.180097830.1800U120
Y120-1123.050536-7861.3537501123.050536-7861.35375V12210
M1207861.3537536686.31750-7861.3537573372.635O12-490
Matriz de Rigidez Global123456789101112131415161718
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Vector de Fuerzas Nodales, Reacciones, Desplazamiento y ParticularRFnodalDP
Rx1000
Ry1000
M1000
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00O4375
Rx5000
Ry5000
M5000
00U60
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00O6115
00U70
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00O7115
00U80
00V8360
00O8115
Rx9000
Ry9000
M9000
00U100
00V10210
00O10-490
00U110
00V11210
00O11-490
00U120
00V12210
00O12-490
SolucionesDesplazamientos
NudoTraslacin X [ft]Traslacin Y [ft]Rotacin
10.0000000.0000000.000000
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50.0000000.0000000.000000
60.016321-0.011343-0.001032
70.027556-0.017262-0.000723
80.033882-0.020310-0.000818
90.0000000.0000000.000000
100.016536-0.0065110.001095
110.027663-0.0099010.000668
120.033282-0.0115340.002916
Reacciones
NudoRx [kip]Ry[kip]M[kip-ft]
11.396413.35035.835
20.0000.0000.000
30.0000.0000.000
40.0000.0000.000
5-10.2181109.66590.450
60.0000.0000.000
70.0000.0000.000
80.0000.0000.000
9-27.179636.985170.166
100.0000.0000.000
110.0000.0000.000
120.0000.0000.000
Procedimiento y Resultados Obtenidos con el programa
1. Procedimiento de Ejemplo 1 (Acero) Seleccin de Sistema de Unidades Internacional y Cantidad de Pisos
Introduccin de Propiedades del Marco
Insertar Cargas
Resultados Ejemplo 1
Ejemplo 2
Conclusiones1. Comparaciones de Resultados y Discusin de los mismosSi el procedimiento manual es hecho en Excel no hay errores ya que se consider utilizar variables double, las cuales tienen la mayor precisin en el lenguaje de programacin basic. La reduccin en tiempo al introducir datos, hacer conversiones y dems tambin mejora al comparar con los resultados manualesDesplazamientos (m)ManualProgramaErroresReacciones(KN), Momentos (KN*m)ManualProgramaErrores
U182.246782.24681E-04X1-30.5932-30.5955-0.0023
1-24.2356-24.2357-1E-04X2-38.8064-38.8090-0.0026
2-16.0221-16.02201E-04X3-30.6004-30.59540.005
3-24.2356-24.23560Y1-29.7754-29.77531E-04
U4162.2237162.22380.0001Y20.00040.00003-0.00037
4-13.6864-13.68640Y329.775029.77530.0003
5-8.0878-8.0879-1E-04M158.011258.0111-0.0001
6-13.6864-13.6865-1E-04M266.224566.22461E-04
M358.011058.0109-0.0001
EJEMPLO 1. CUADRO COMPARATIVO DESPLAZAMIENTOS
NudoResuelto a manoResuelto con el programa
Traslacin X [m]Traslacin Y [m]RotacinTraslacin X [m]Traslacin Y [m]Rotacin
10.0000000.000000-0.15525900-0.1639533484
20.4737400.000023-0.0447870.473739990.00002276848-0.0447904306
30.5928330.000030-0.0174210.5628328910.000029590417-0.01741655379
40.6463690.000031-0.0082180.646369410.000031448254-0.00821217078
50.0000000.000000-0.16395300-0.163969075948
60.473737-0.000007-0.0273960.47373695-0.00000673467-0.02739601771
70.592826-0.000009-0.0147850.59282635-0.00000935919-0.01469508035
80.646363-0.000010-0.0046710.64636262-0.00001035352-0.00467183022
90.0000000.000000-0.15431700-0.14785111538
100.473732-0.000020-0.0466660.47373224-0.00002091236-0.04666567298
110.592825-0.000027-0.0175950.59282544-0.00002675927-0.01671240491
120.646360-0.000029-0.0082640.64635994-0.0000287581-0.00826449187
Porcentajes de Error
Traslacin X [m]Traslacin YRotacin
000
2.1109E-061.01684434-0.00765923
5.330198271.384174480.02552864
-6.3431E-05-1.425370070.07098269
00-0.00980426
1.0554E-053.93976245-6.4644E-05
-5.9039E-05-3.837832120.61190308
5.8791E-05-3.41449092-0.01777077
004.37324034
-5.0662E-05-4.362778760.00070077
-7.4221E-050.899613485.28107771
9.2828E-060.84115432-0.00595161
EJEMPLO 1. CUADRO COMPARATIVO REACCIONES
NudoResuelto a manoResuelto con el programa
Rx [kN]Ry[kN]M[kN-m]Rx [kN]Ry[kN]M[kN-m]
1-112.12922-344.94250-112.12922-344.94250
2000000
3000000
4000000
5-138.60569102.030270-138.60569102.030270
6000000
7000000
8000000
9-109.26509307.412230-109.26509307.412230
10000000
11000000
12000000
Porcentajes de Error
Rx [kN]Ry[kN]M[kN-m]
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
Limitaciones del programaSe ha considerado un mximo de 200 pisos, puede ser excesivo pero los vectores y matrices se redimensionan en base a la cantidad de nudos por lo cual se reduce memoria.Adems solo se calculan los desplazamientos en los nudos extremos de cada elemento, lo cual no tiene un gran uso ya que las deflexiones mayores se ubican en otros puntos de las mismas. No se pueden insertar fuerzas nodales en otra parte que en los nodos de la izquierda, ni incluir efectos de temperatura y asentamientos en los apoyos, lo cual son efectos de inters en el diseo y anlisis estructural.ReflexionesEl programa es eficaz, prctico y amigable con el usuario pero se encuentra limitado a la configuracin solicitada. Para definir otros marcos el parmetro de entrada no tendra que ser la cantidad de pisos sino las coordenadas y los nudos iniciales y finales de cada elemento. Adicionalmente solo se incluye la carga uniformemente distribuida como caso de carga de gravedad. Es til para comprender el mtodo de rigidez a cabalidad pero en una situacin real, un diseador querr consultar con programas comerciales de alta confiabilidad.
Bibliografa
a) Jack McCormak, Anlisis de Estructuras, Mtodo Clsico y Matricial, 4ta Edicin. Editorial Alfayomega,2010b) R.C. Hibbeler, Anlisis Estructural Octava Edicin. Captulo 15. Editorial Prentice Hall, 2012.c) Chapra y Canale, Mtodos Numricos para Ingenieros Sexta Edicin. Editorial McGraw Hill Sexta Edicin, 2010 d) Visual Studio: https://www.visualstudio.com/get-started/overview-of-get-started-tasks-vse) Anlisis Matricial: Disponible en http://portales.puj.edu.co/wjfajardo/DIN%C3%81MICA%20ESTRUCTURAL/NOTAS%20DINAMICA%20ESTRUCTURAL/An%C3%A1lisis%20Matricial.pdff) Proyecto final de clase de Mtodos Numricos Docente: Ing. Elvis Castillo.