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7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
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1 Prueba de ASEP 2
Pregunta 1.
En el SEP de la figura se han medido los valores que se indican en la tabla. Los parmetros
de las lneas son todos iguales a pujzL 1.!= "en base 1!!#$A
#edidas % $arian&as en p.u.
$1 $2 $' P1(2 )2(1 P1(' )'(1 P'(2!.*+ 1.!2 1.!' 1.! (!., !.- (!.2 !.21
!.!!1 !.!!1 !.!!1 !.!1 !.!1 !.!1 !.!1 !.!1
a ) Considerando el modelo lineal, estime el estado de operacin del SEP aplicando
mnimos cuadrados ponderados y evalu la calidad de la informacin disponibledetectar la posible presencia de medidas errneas)!
onsiderando el modelo lineal se definen las potencias medidas en funci/n de losngulos de barra 0luo 3 solo considera Potencia Activa4" considerando conocido516! 07arra de referencia48
( )2''2
2''2
'
1'
'11'
2
12
2112
1!
1!
1!
==
==
==
"P
"P
"P
9 vector de medidas es8
=
=
21.!
-.!
!.1
'2
1'
12
P
P
P
z
A continuaci/n se muestran las ecuaciones de las mediciones que caracteri&an la lecturade los medidores al a:adir los t;rminos de error al modelo del sistema8
''2'2
2'1'
1212
1!1!
1!
1!
eP
eP
eP
++=
+=
+=
#ediciones $alores verdaderos delmodelo sistema
Errores
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Si los coeficientes de las ecuaciones anteriores de denominan de manera obvia" seobtiene8
+
=
=
'
2
1
'
2
'''2
2'22
1'12
'
2
1
e
e
e
##
##
##
z
z
z
z
$zverdadero=
Escribiendo de una manera compacta sera8ezzverdadero = 0a.1
Para representar los errores entre las medidas reales & % los valores verdaderos &verdadero0pero desconocidos4 se tiene8
$zzze verdadero == 0a.2. ?na ve& ponderados los erroresse seleccionan los meores estimados de las variables de estado" que dan como resultadoque la funci/n obetivo%0=4 tenga su valor mnimo. La funci/n obetivo esta compuesta
con el cuadrado de los residuos 0
== $zre 4 % ponderada 0&4 de acuerdo a los
errores de los instrumentos de medici/n.
3e acuerdo con las condiciones usuales que son necesarias para minimi&ar la funci/nobetivo" los estimados son aquellos que satisfacen la siguiente ecuaci/n8
!=
=
$z&$e&$ tt 0a.,
Si se resuelven las multiplicaciones de esta ecuaci/n % se despea el valor de
=
'2 "
" se obtiene8
ErroresEstimados
Estimado de & 6
z
@ 5
#ediciones
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( ) z&$'z&$$&$ ((( ==
=
11
'
2
0a.+
3onde
=
'2 " son los estimados obtenidos de los mnimos cuadrados ponderados
de las variables de estado.
3ebido a que @ es una matri& rectangular" la matri& sim;trica @>@ 0recuentementedenominada matri& de ganancia B4 se debe invertir como una Cnica identidad para as
obtener ( ) 11 = $&$' ( " que es tambi;n sim;trica.
Para nuestro eercicio las ponderaciones de las mediciones son iguales" de manera que sepuede obviar su efecto" obteniendo8
z$' ( =
=
1
'
2
on ello obtenemos los valores estimados de las variables de estado son8
=
=
!D*EE.!
1!!''.!
'
2
F el valor estimado de las medidas reales es8
=
==
2!EE.!
D*EE.!
!!''.1
G
'2
1'
12
P
P
P
$z
eteccin de datos errneos
El anlisis de los residuos se pueden usar para evaluar la calidad del conunto demedidas 0decidir si se debe sospechar de la e=istencia de datos err/neos4.
Para nuestro problema identificaremos los errores a trav;s del est de 2 puesto que los
residuos de las medidas siguen una distribuci/n 2con m(n grados de libertad" siendo n
% m el nCmero de variables de estado % medida respectivamente" el est se reali&a comosigue8
Hesolver el estimador de mnimos cuadrados % calcular la funci/n obetivo dondees el estimado.
=
=
'
2
'''2
2'22
1'12
'
2
1
'
2
1
##
##
##
z
z
z
e
e
e
r 6
!D*EE.!
1!!''.!
1!1!
1!!
!1!
21.!
-.!
!.1
6
!!''.!
!!',.!
!!''.!
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unci/n obetivo8%0
4 6 [ ] '2ED.!1
2
2
12
2
==
==
m
i i
im
i i
iii r$z
0a.
7uscar en la taba de distribuci/n 2
para m(n grados de libertad el valorcorrespondiente a la probabilidad. Sea 20m(n4"peste valor" donde8
=
pnm%p 4"02
40Pr0 0a.D
on grados de libertad6 n medidas I n variables 6 ' I 2 6 1. 3e la tabla de distribuci/n2 con un grado de libertad % una probabilidad de **J.
E'+.E2
1 =
omprobarpnm% 4"0
240
. Si la respuesta es afirmativa" se sospecha que puede
e=istir algCn dato err/neo. En caso contrario" las medidas son consideradas e=entasde errores gruesos" validando la estimaci/n.
Para nuestro casopnm% 4"0
240
. Entonces podemos concluir que nuestras
estimaciones estn libres de errores gruesos.
b ) Con la solucin del estimador C, usando las ecuaciones de flujo de potencia *C,
calcule los flujos de potencia activa y reactiva en las lneas!
Las medidas de fluo a trav;s de una lnea o transformador del nudo ialj8
( )
( ) ( )pijijiijijijijjiij
iijijijijijjiij
b+,+sen',,-
,'sen+',,P
+=
+=2
2
4cos040
404cos0
p
ij
jiij
b
=
Para nuestro problema !=ij' % por lo tanto8
ijiijijjiij
ijijjiij
+,+,,-
sen+,,P
24cos0
40
+=
=
Hempla&ando los valores obtenidos anteriormente para G % con 1!=ij+ 8
luo de potencia activa luo de potencia reactiva
Ponderaci/n delinstrumento de
medici/n.
8 3esfase entre nudos i%j
8 Admitancia paralelo del modelo Klnea que une iconj!
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1221
12
12122112
PP
.)u.p(9706.0P
)(senBVVP
=
=
=
4pu0E1E'.!)
7$412cos07$$)
.4u.p0DE2D.!)
7$4cos07$$)
12
12
2
1122112
21
21
2
221211221
=
+=
=
+=
1331
13
13133113
PP
.)u.p(7786.0P
)(senBVVP
=
=
=
D2*!.!)
7$4cos07$$)
.4u.p0-++!.!)
7$4cos07$$)
1'
1'
2
11'1''11'
'1
'1
2
''1'11''1
=
+=
=
+=
3223
32
32322332
PP
.)u.p(2171.0P
)(senBVVP
=
=
=
!**D.!)
7$4cos07$2$)
.4u.p01!+2.!)
7$4cos07$$)
2'
12
2
11212'2'
'2
'2
2
''2'22''2
=
+=
=
+=
c ) Considerando el modelo *C, estime el estado de operacin del SEP aplicando mnimos
cuadrados ponderados y evalu la calidad de la informacin disponible!
El estado estimado del circuito simple de 3 del planteamiento anterior 0pregunta 1a4 estadado por la soluci/n en forma cerrada de la Ec. a.+" porque las ecuaciones del circuito sonlineales. Para un sistema de potencia de A" las ecuaciones de mediciones no son lineales %se requieren soluciones iterativas como el procedimiento de fluos de potencia de
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,. Obtener @ % calcular @>@B t =@ se define como8
.
.#.$
= 40
40 6
'
'2
2
'2
1
'2
'
'2
2
'2
'
'1
2
'1
1
'1
'
'1
2
'1
'
1'
2
1'
1
1'
'
1'
2
1'
'
21
2
21
1
21
'
21
2
21
'
12
2
12
1
12
'
12
2
12
'
2
'
1
'
'
'
2
'
'
2
2
2
1
2
'
2
2
2
'
1
2
1
1
1
'
1
2
1
'
,
P
,
P
,
PPP
,
-
,
-
,
---
,
P
,
P
,
PPP
,
-
,
-
,
---
,
P
,
P
,
PPP
,
,
,
,
,
,,,
,,
,,
,,,,
,
,
,
,
,
,,,
+. resolver /t/ 0$'. = 1
. Actuali&ar el vector de estado /// ... +=+1 % hacer M6M1 0Actuali&ar los valores de
ngulo % m/dulos de voltae4.
D. si . Q!.!!!1 detener el proceso" en caso contrario volver al paso 2.
El resultado obtenido aplicando este proceso iterativo es el siguiente8
Estimador
=
=
!!+-.1
**!'.!
!!,D.1
!DD1.!
!*D*.!
'
2
1
'
2
,
,
,.
F el valor estimado de las medidas reales es8
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=
==
2!D2.!
!,12.!
DD-E.!
!*,D.!
*D2-.!
!!+-.1
**!'.!
!!,D.1
40
'2
'1
1'
21
12
'
2
1
P
-
P
-
P
,
,
,
.#z
Para evaluar la calidad de la informaci/n utili&aremos el mismo test utili&ado enPregunta 1a8
Hesolver el estimador de mnimos cuadrados % calcular la funci/n obetivo donde
. es el estimado.
=
==
!!2-.!
2,12.!
!21,.!
'!+'.!
!2D2.!
!2,2.!
!2*D.!
!+,D.!
2!D2.!
!,12.!
DD-E.!
!*,D.!
*D2-.!
!!+-.1
**!'.!
!!,D.1
21.!
2.!
-.!
,.!
1
!'.1
!2.1
*+.!
-
D
E
+
,
'
2
1
zz
r
r
r
r
r
r
r
r
unci/n obetivo8%0
. 4 6[ ] '
12
2
1!+"1
=
=m
i i
ir
0a.
7uscar en la taba de distribuci/n 2 para m(n grados de libertad el valor
correspondiente a la probabilidad. Sea 20m(n4"peste valor" donde8
=
pnm.%p 4"0240Pr0 0a.D
on grados de libertad6 n medidas I n variables 6 - I + 6 '. 3e la tabla de distribuci/n2 con un grado de libertad % una probabilidad de **J.
',+.112
1 =
omprobarpnm.% 4"0
240
. Si la respuesta es afirmativa" se sospecha que puede
e=istir algCn dato err/neo. En caso contrario" las medidas son consideradas e=entasde errores gruesos" validando la estimaci/n.
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Para nuestro casopnm.% 4"0
240
. Entonces podemos concluir que nuestras
estimaciones estn libres de errores gruesos.
d ) 1dentifi2ue la o las) medidas errneas del conjunto de informaciones!
La identificaci/n de datos err/neos se refiere al proceso que permite seleccionar o aislarla medida incorrecta 0o varias medidas incorrectas4 entre un conunto de medidasdisponibles cuando se sospecha que e=isten tales datos" para ello utili&aremos el est delma%or residuo normali&ado 0r3)!
Algoritmo De Residuos Normalizados
1.( resolver el estimador de mnimos cuadrados % obtener los elementos del vector de
residuos8
=
=
!!2-.!
2,12.!
!21,.!
'!+'.!
!2D2.!
!2,2.!
!2*D.!
+,D.!
.#zr iii
2.( calcular los residuos normali&ados8
iiii
i3
iS4
rr
= 6
=
,-'*.!
+,*!.'*
D'E1.'
'2+1.,*
EE,'.,
'D,,.'*
1-,*.,*
12D,.DD
'2
'1
1'
21
12
'
2
1
-
D
E
+
,
'
2
1
P
-
P
-
P
,
,
,
r
r
r
r
r
r
r
r
3onde8
& 6 H(1
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( ) &$$&$$5 (( = 1
R 6#atri& identidad
S 6 0R(4 Sensibilidad residual
'.( Encontrar el ma%or residuo normali&ado3/r % definir una constante para el umbral
de identificaci/n 0tpicamente 6 '4.
,.( si3/r T c" entonces la medida M(esima se considera err/nea. En caso contrario" parar 0no
ha% datos err/neos4.
+.( eliminar la medida sospechosa del conunto de datos 0limpiar los datos de entrada4 %volver al paso 1.Hesiduos Obtenidos
=
,-'*.!
+,*!.'*
D'E1.'
'2+1.,*
EE,'.,
'D,,.'*
1-,*.,*
12D,.DD
'2
'1
1'
21
12
'
2
1
-
D
E
+
,
'
2
1
P
-
P
-
P
,
,
,
r
r
r
r
r
r
r
r
e ) 4ealice nuevamente el proceso de estimacin estimador 6 procesamiento deerrores) descartando las medidas identificadas como errneas! Comparare
soluciones con resultados de parte a, b y c!
3e acuerdo al anlisis anterior las medidas err/neas" son las relacionadas a los m/dulosde voltae de barra % los fluos de potencia reactiva. 3ebido a esto se eliminar la medida$1 % )21%a que son las que tienen ma%or residuo normali&ado.
?na ve& descartado las mediciones antes mencionadas 0$1 % )214 se obtiene8
Puede demostrarse 2ue si #ay una medida errnea no crticael mayor residuo normalizado corresponde precisamente a
dic#a medida! En nuestro caso La medida de 7 se debeconsiderar como una medida errnea no critica! Este
resultado tambin se aplica a m8ltiples medidas errneas
siempre 2ue la interaccin entre las misma sea despreciable!Para el resultado obtenido podemos observar 2ue debido a
2ue los modulo del voltaje de barra depende mayormente de
la potencia reactiva 2ue se inyecta a las barras, esto #ace 2uelas medidas errneas no criticas se pueden considerar los
modulo del voltaje de barra y los flujos de potencia reactiva
del sistema!
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=
',E-.!
',E-.!
',E-.!
',E-.!
',E-.!
',E-.!
'2
'1
1'
12
'
2
-
D
E
,
'
2
P
-
P
P
,
,
r
r
r
r
r
r
?na ve& eliminado las medidas err/neas no critica" se obtiene los residuos normali&adosmenores a '. on esto podemos resolver que los valores obtenidos con estas medicionesson confiables8
=
=
!'!!.1
!2!!.1
!+2'.1
!D'D.!
!*'+.!
'
2
1
'
2
,
,
,.
%
=
==
2!-!.!
2!!!.!
!!2.1
*D2-.!
!'!!.1
!2!!.1
40
'2
'1
1'
12
'
2
P
-
P
P
,
,
.#z
A continuaci/n se muestra la comparaci/n de los resultados obtenidos en la parte a4"b4 % c48
$ector de Estado
$ariables a4 b4 c4
on luo 3 on luo A on luo Ameorado
52 (!.1!!'' (!.!*D* (!.!*,'
5' (!.!D*D (!.!DD1 (!.!D,!
$1 1.!! 1.!!,D 1.!+2'
$2 1.!! !.**!' 1.!2!!
$' 1.!! 1.!!+- 1.!'!!
luos de Potencia
$ariables
a4 b4 c4
on luo 3 on luo Aon luo A
meorado
P12 1.!!'! !.*D2- 1.!!2!
P1' !.D* !.DD- !.D*-!
P'2 !.2! !.2!D2 !.2!-!
)21 ! (!.!*,D (
)'1 ! !.!,12 (!.2!!!
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9&P:
9&P:
2!!2!
'!!'!
'
1
Pregunta 2)
En el SEP anterior, considere las si:uientes funciones de costo para los :eneradores;
4U0V!!1+.!'2!!40
4U0V!!1.!21+!40
2''''
21111
#rPPPC
#rPPPC
:::
:::
++=
++=
a ) Para una car:a total 2ue varia entre ?= 9&, obten:a el despac#oeconmico sin considerar prdidas!
Los costos marginales asociados son8
1
1
1 !!2.!2 P:P:
C+=
'
'
' !!'.!' P:P:
C+=
Aplicando el criterio de i:ualdad en los costos mar:inalesde cada generador" para elmnimo costo total de generaci/n" obtenemos nuestra primera ecuaci/n8
'1 !!'.!'!!2.!2 P:P: +=+Heordenando8
1!!'.!!!2.! '1 = P:P:
Para que la demanda del sistema sea abastecida por los generadores
)PP:P: =+ '1
Por lo tanto el sistema a resolver es8
)PP:
P: 1
11
!!'.!!!2.!
'
1 =
Para una demanda P36+! #>" Pg162'! #> % Pg'6(1-! #>.
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costo marginal es el generador Pg'"por lo tanto empe&amos abasteciendo la demanda conPg1 que presenta menor costo marginal.
9UV!E.2min1 =
9UV!E.'min' =
El ma%or costo marginal entre los generadores el costo marginal del sistema.
ostoVUh
sist
VU#>h1
VU#>h'
VU#>h
Pg1#> Pg'#> P3 #>
2+' 2"1! 2"1! !"!! +! ! +!
'! 2"2! 2"2! !"!! 1!! ! 1!!
+*! 2",! 2",! !"!! 2!! ! 2!!
-,! 2"! 2"! !"!! '!! ! '!!
3ebido a que la demanda aumenta por sobre el m=imo que puede entregar Pg1" se hacenecesario que entre a generar Pg' como apo%o en la generaci/n" debido a esto aumentabruscamente el costo marginal del sistema. uando la demanda sobre pase los '!! #> Pg1disminuir su generaci/n no menor a 2-! #> entrando simultneamente P g'. La reducci/nde Pg1es debido a que el mnimo de generaci/n de Pg' es de 2! #>.
Por lo tanto8
ostoVUh
sist
VU#>h1
VU#>h'
VU#>h
Pg1#>
Pg'#>
P3#>
1.!+2 '"! 2"+2 '"! 2-1 2! '!1
1.!2 '"! 2"+D '"! 2-+ 2! '!+
1.!D+ '"! 2"+- '"! 2*! 2! '1!
1.1!1 '"! 2" '"! '!! 2! '2!
1.1*, '"1+ 2" '"1+ '!! +! '+!
1.22+ '"1- 2" '"1- '!! ! '!
b ) Para el caso estudiado en el punto anterior se determina el despac#oeconmico considerando las prdidas!
La ecuaci/n que describe las p;rdidas del sistema es8
9&PPPPP ::::LE2
'21
2
1 1!4*D'.D+'-.-D+-.2E0 ++=
ostos marginales para rango mnimo degeneraci/n de cada generador.
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El despacho considerando las p;rdidas debe satisfacer a la demanda adicionando lasperdidas correspondientes. Es decir" las perdidas incrementan la demanda neta %modifica la relaci/n entre generadores % demanda de lineal a no lineal.Se usa proceso iterativo % como base el caso sin perdidas.
Sea el caso 7ase8
4U0V1.2
!
+!
2
1
9
9&P
9&P
===
Para 61
4U0V1!!1''-.2
40!40!EE-*+.+!
40!EE-*+.!
'
1
!1
9
9&P:9&P:
PLP:P:
9&PL
===
+==
Para 62
4U0V1!!1''-.2
!
40!ED!D.+!
40!ED!D,+.!
'
1
!1
9
P:
9&P:
PLP:P:
9&PL
===
+==
Para 6'
4U0V1!!1',.2
!
40!ED!D,E.+!
40!ED!D,E.!
'
1
!1
9
P:
9&P:
PLP:P:
9&PL
===
+==
As para una demanda de +!#>" considerando las p;rdidas" la soluci/n es8
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4U0VE,.2+2
4U0V!
4U0VE,.2+2
4U0V1!!1',.2
!
40!ED!D,E.+!
40!ED!D,E.!
'
1
'
1
!1
#C
#C
#C
9
P:
9&P:
PLP:P:
9&PL
t===
===
+==
Para Pd6'!!#>" se asigna generaci/n mnima para Pg' % se reduce potencia a Pg1. Asel caso base es8
1+.'
4#>02!Pg
4#>02-!Pg
2
1
===
Las p;rdidas la asume Pg1 hasta que alcance su lmite m=imo de operaci/n.
Para 61
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01,--'.2-2Pg
PLPgPg
4#>01,--'.2PL
'
1
!1
===
+==
Para 62
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01-1+1-D.2-2Pg
PLPgPg
4#>01-1+1-D.2PL
'
1
!1
===
+==
Para 6'
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01-2!1D*-.2-2Pg
PLPgPg
4#>01-2!1D*-.2PL
'
1
!1
===
+==
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15/30
Para 6,
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01-2!2+.2-2Pg
PLPgPg
4#>01-2!2+.2PL
'
1
!1
===
+==
As el despacho /ptimo es8
4hU0V+*.1!+,
4hU0VE.2E!
4hU0V**.D*'
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01-2!2+.2-2Pg
PLPgPg
4#>01-2!2+.2PL
t
'
1
'
1
!1
===
===
+==
Para demanda 6'1!#>
aso base8
4#>02!Pg
4#>02*!Pg
2
1
==
Para 61
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>0'!'!.2-2Pg
PLPgPg
4#>0'!'!.2PL
'
1
!1
=
==
+==
Para 62
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
16/30
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01-'*.2-1Pg
PLPgPg
4#>01-'*.2PL
'
1
!1
===
+==
Para 6'
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01-2!.2-2Pg
PLPgPg
4#>01-2!.2PL
'
1
!1
===
+==
Para 6,
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01-2!2+.2-2PgPLPgPg
4#>01-2!2+.2PL
'
1
!1
===
+=
=
El despacho optimo de carga para Pd6'1! #> considerando las perdidas es8
4hU0V+,!D.1!+,
4hU0VE.2E!
4hU0V**!D.D*'
4#>hU0V1+.'
2!Pg4#>01-2!2+.2-2Pg
PLPgPg
4#>01-2!2+.2PL
t
'
1
'
1
!1
===
===
+==
Para demanda 6'!#>"el caso base es 8
1-.'
4#>0E!Pg4#>0'!!Pg
2
1
===
Para 61
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
17/30
4#>hU0V1-DD.'
+*!E.E2Pg
4#>0'!!Pg
PLPgPg
4#>0+*!E.2PL
'
1
!1
===
+==
Para 62
4#>hU0V1-DD.'
+**D.E2Pg
4#>0'!!Pg
PLPgPg
4#>0+**D.2PL
'
1
!1
===
+==
Para 6'
4#>hU0V1-DD.'
+**-.E2Pg
4#>0'!!Pg
PLPgPg
4#>0+**-.2PL
'
1
!1
===
+==
El despacho optimo de carga considerando las perdidas es8
4hU0VEDD.12''
4hU0VEDD.'*'
4hU0V-,!
4#>hU0V1-DD.'
+**-.E2Pg
4#>0'!!Pg
PLPgPg
4#>0+**-.2PL
t
'
1
'
1
!1
===
===
+==
En sntesis8
ostoVUh
sist
VU#>h1
VU#>h'
VU#>h
Pg1#>
Pg'#>
PL#>
P3#>
2+2., 2.1!!1 2.1!!1 ( +!.!D!D ! 2.1!!1', +!
1!+,.+, '.1+ '.1+ '.!' 2-2.1-2! 2! 2.1-2! '!!
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
18/30
1!+,.+, '.1+ '.1+ '.!' 2-2.1-2! 2! 2.1-2!2+ '1!
12''.DD '.1-DD '.1-DD '.!*'- '!! 2.+* 2.+**- '!
c ) Considere a#ora 2ue los consumos en barras @ y > son ;
S@A7?=6jB= 9&
S> A@==6j?= 9&
las impedancias de las lneas son i:uales a 0A=!=76j=!7 pu!
Dbten:a la condicin de operacin de este caso usando el modelo lineal y lue:odetermine el despac#o econmico con prdidas utilizando los coeficientes de
penalizacin obtenidos a partir de las ecuaciones del sistema! Compare este resultado
con el calculado anteriormente!
onsiderando el despacho obtenido en a4 para una carga en el sistema de '! #> 0Pg16'!!#> % Pg'6! #>4" la potencia neta en las barras 2 % ' son8
P16 '!! 6 '!! #> 6 'puP26 (1! 6 (1! #> 6 (1.puP'6 !(2!! 6 (1,! #> 6 (1.,pu
onsiderando las tensiones planas" es decir 1pu % como referencia la barra 1" donde 51 6 !"se formula las siguientes ecuaciones para un fluo 38
2'
'2
21
122'212
""PPP +=+=
'2'22
2 1!2!1.!1.!1.!
=+=P on E.12 =P
'2
2'
'1
1'
'2'1'""
PPP +=+=
2'2''
' 1!2!1.!1.!1.!
=+=Pon
,.1' =P
Entonces
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
19/30
=
'
2
2!1!
1!2!
,.1
E.1
=
rad
rad
1,ED.!
1+''.!
'
2
=
,!+'.-
D-',.-
'
2
inalmente la condici/n de operaci/n del sistema es8
!11
=,
D-',.-12 =,
,!+'.-1'
=,
Para obtener los coeficientes de penali&aci/n del sistemas" usaremos la formula de Beorgequien reduce el sistema 0ecuaciones de corrientes4 a las barras de generaci/n" en la cual sepuede plantear la forma general de la ecuaci/n de potencia % con ello obtener los elementos
+ij0oeficientes de la ecuaci/n de p;rdidas4. La e=presi/n resultante depende del punto deoperaci/n del sistema 0caso base4" para el cual se determina los coeficientes+ij!
Beorge de basa en un sistema de WrX ramas 0corrientes conocidas4.
La cada de tensi/n en la rama WrX es8
omando como referencia la barra 18 $H6$1
Luego8
==
==r
i
iL
r
i
iL 1"-14P
1
2
1
1
2
1
=
=+=r
i
iLLL 10-PS1
2
1
=+=== iLLL1iRii ZQPSIZVVV
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
20/30
Empleando Y78
La e=presi/n para SL8 0forma lineal4
0forma cuadrtica4
O bien8
Las p;rdidas de potencia activa son8
Pero" para despacho econ/mico8
Para la soluci/n de nuestro problema seguiremos el siguiente planteamiento83ebido a que tenemos una barra con carga % generaci/n al mismo tiempo agregaremos unabarra ficticia que simulara ser solo barra de generaci/n 0barra ,4. Entonces" Y se e=pandepara incluir una fila % una columna para la barra '" con id;nticos elementos fuera de ladiagonal a los de la fila 2 % columna 2" % as Y ,, 6 Y''. ?saremos la barra 1 comoreferencia" es por esto que no se inclu%e en la matri& Y.
Ecuaci/n del Sistema8
orrientes in%ectadas a la red 0 para los generadores % I para las cargas4.
.4.0,1.-E.!,!+'.-1
E.!
.4.0-*.1+,!--.2,!+'.-1
4E.!20
.4.0+E.1+DE,*.1D-',.-1
4,.!E.10
.4.0!'!1
'
Z
,
,,
Z
'
''
Z
2
22
Z
1
11
up,
S1
upj
,
S1
upj
,
S1
up,
S1
=
=
=
=
+
=
=
=
+=
=
=
=
=
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
21/30
=
=
=
12,1+*'.!
12,1+*'.!
1'.1211E''.!
2*.-,!ED.!2*.-,!ED.!2*.-,!'+.!
2*.-,!ED.!2*.-,!ED.!2*.-,!'+.!
2*.-,!'+.!2*.-,!'+.!2*.-,!ED.!
,
'
2
,
'
2
,,,',2
','''2
2,2'22
,
'
2
1
1
1
1
1
1
000
000
000
EE
EE
EE
4
4
4
7! Eliminacin de variables de barra de car:a
Las corrientes de carga se pueden considerar como una fracci/n constante de la carga totaldel sistema" de la forma8
3onde RLcorresponde a la corriente de la carga total %
En forma general se define8 121
=+++
= in
ii donde
111
1
oncluido esto" se formula las ecuaciones para R[8
[ ]
=
=
,
'
2
,
'
2
1
1!
!
!
\1
1
1
1
1
1C1 L
@! eterminacin de un vector EF;
[ ]
=
=
=
12,1+*.!
1.12,1E1.!
1!!
!\
,
'
2
'2
,
Z
1
4
4
4
4
4Lt
EE
EE
EE
EE
EEECE
>! Dbtener una nueva matriz 0F para el sistema reducido;
.1+E.!+.1,,.! '''
2 =+====1
yi
L 1y1 ''22 ==
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
22/30
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
=
==
2*.-,1!D.E+-.-+1!2*.+
-'1!2*.+'.-,1!12.+\
1!
!
!
1!!
!\
22
22
'
2
'21
Z
1
0
0C0C0 t
3e esta forma obtenemos el valor del vector E]8
[ ] [ ]
=
==
,,
\\\\1
10
EE
EE10E
L
4
4L
B! introducir la barra de referencia y cambiar la referencia de G4H a GLH! *umentando la
matriz 0F en una lnea;
=
3
L
R
'
44
'
L4
'
4L
'
1L
R4
RL
RR
I
II
ZZ0
ZZ0000
EE
EEEE
40,
1114L
+=
?sando la matri& 2" solo para barras de generaci/n.
[ ]
=
==
,
,
2
1!
11
!1
\\\1
1
1
1
1
1C1 4
L
4
?! (ambin la transformacin de tensin;
=
=
L4
LR
R4
RL
RR
EE
EE
EE
EE
EE
110
011''E
As" la matri& Y]] transformada es8
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
23/30
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
=
==
2*.-,1!2,.1'D.E!1!!+.2
1.1'11!!+.2'.-,1!12.+\\
1!
11
!1
!
!
!!!
11!
!11\\\
2'
22
\
,,
\
,
\
,
\
12
Z
2
0
00
00C0C0
L
LL
t
3onde8
[ ]
=
=
98.200052.0
6.84153.0
I
I''Z
EE
EE
3
R
L4
LR
I! las transformaciones de tensin y corriente estJn basadas en la invariabilidad de lapotencia, por lo 2ue las prdidas de potencia son;
puPL !,+-.!=
Los ,. #> de potencia p;rdida solo es valida para este punto de operaci/n 0Pg16'!! #>% Pg'6! #>4.
K! Escribir PLen trminos de la potencia en barras de :eneracin, considerando, en
:eneral, el si:uiente dia:rama fasorial;
3onde representa al generador WiX en el $ector R]].
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
24/30
r!1468.041.898.20r!513.039.29
r!006.84r!477.16.84
344
111
=====
=====
Rnclu%endo todas las variables" e=cepto P en la matri& de la impedancia" resulta8
[ ]
[ ] [ ]
=
=
2
1
21
+1'.!
'
,DD.1
1+1'.!
'
,DD.1
1
'*.2*!1.1!
!E'.-,1\\
'*.2*!1.1!
!E'.-,1
4,*-.!cos01
4E+.1cos01\\
41,E-.!cos014!cos01
P
P0PPP
eP
eP
0ePeP
P
L
j
j
jj
L
?na ve& obtenido el valor de _7`" se rescatan los valores reales % obtenemos8
[ ]
[ ]
=
=
'
1
''
''
'1
''
''
1!2+.11!!+.2
1!!E.21!!*.+
1!2+.11!!+.2
1!!E.21!!*.+
P
PPPP
+
L
F finalmente obtenemos la ecuaci/n que describe las perdidas de acuerdo al despacho decarga de los generadores8
( '2''12
1 1!2+.1!1'.!!*.+ += PPPPPL
Para reali&ar los clculos se ingresan a la formula" los valores de potencia en 0pu4
Sea el caso 7ase8
4U0V1.2!
+!
2
1
9&P
9&P
==
=
Para 61
+
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
25/30
4#>hU0V1!!12+,+.2
4#>0!Pg
4#>012D2+.+!Pg
PLPgPg
4#>012D2+.!PL
'
1
!1
===
+==
Para 62
4#>hU0V1!!2++.2
!Pg
4#>012D+*.+!Pg
PLPgPg
4#>012D+*.!PL
'
1
!1
===
+==
Para 6'
4#>hU0V1!!2E.2
!Pg
4#>01'!E-E.+!PgPLPgPg
4#>01'!E-E.!PL
'
1
!1
===
+=
=
Para M6,
4#>hU0V1!!2+.2
!Pg
4#>012D*1.+!Pg
PLPgPg
4#>012D*1.!PL
'
1
!1
===
+==
As para una demanda de +!#>" considerando las p;rdidas" la soluci/n es8
4hU0VDE.2+2
4hU0V!
4hU0VDE.2+2
4#>hU0V1!!2+.2
!Pg
4#>012D*1.+!Pg
PLPgPg
4#>012D*1.!PL
t
'
1
'
1
!1
===
=
==
+==
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
26/30
Para Pd6'!!#>" se asigna generaci/n mnima para Pg' % se reduce potencia a Pg1. Asel caso base es8
1+.'
4#>02!Pg
4#>02-!Pg
2
1
=
==
Las p;rdidas la asume Pg1 hasta que alcance su lmite m=imo de operaci/n.
Para 61
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>0**,2.2-'Pg
PLPgPg
4#>0**,2.'PL
'
1
!1
===
+==
Para 62
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01!*,-.2-,Pg
PLPgPg
4#>01!*,-.,PL
'
1
!1
===
+==
Para 6'
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>0112-1D.2-,Pg
PLPgPg
4#>0112-1D.,PL
'
1
!1
===
+==
Para 6,
4#>hU0V1+.'2!Pg
4#>0112*.2-,Pg
PLPgPg
4#>0112*.,PL
'
1
!1
==
=+=
=
As el despacho /ptimo es8
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
27/30
4hU0V+,+*.1!+*
4hU0VE.2E!
4hU0V*,+*.D*-
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>0112*.2-,Pg
PLPgPg
4#>0112*.,PL
t
'
1
'
1
!1
===
===
+==
Para demanda 6'1!#>
aso base8
4#>02!Pg
4#>02*!Pg
2
1
=
=
Para 61
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>0'!,*.2-,Pg
PLPgPg
4#>0'!,*.,PL
'
1
!1
===
+==
Para 62
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>011-,.2-,Pg
PLPgPg4#>011-,D.,PL
'
1
!1
===
+==
Para 6'
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>011'!D.2-,Pg
PLPgPg
4#>011'!D.,PL
'
1
!1
===
+==
Para 6,
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
28/30
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01'2*2.2-,Pg
PLPgPg
4#>01'2*2.,PL
'
1
!1
===
+==
Para K=5
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01',*+.2-,Pg
PLPgPg
4#>01',*+.,PL
'
1
!1
===
+==
El despacho optimo de carga para Pd6'1! #> considerando las perdidas es8
4hU0VE!2,.1!+*
4hU0VE.2E!
4hU0V!!2,.D**
4#>hU0V1+.'
2!Pg
4#>01',*.2-,Pg
PLPgPg
4#>01',*+.,PL
t
'
1
'
1
!1
=
==
===
+==
Para demanda 6'!#>"el caso base es 8
1-.'
4#>0E!Pg
4#>0'!!Pg
2
1
===
Para 61
4#>hU0V1*'*.'
E+'EE.E,Pg
4#>0'!!Pg
PLPgPg
4#>0E+'EE.,PL
'
1
!1
===
+==
Para 62
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
29/30
4#>hU0V1*'-*.'
E'!D'.E,Pg
4#>0'!!Pg
PLPgPg
4#>0E'!D'.,PL
'
1
!1
=
==
+==
Para 6'
4#>hU0V1*E*E.'
E2+E+.E,Pg
4#>0'!!Pg
PLPgPg
4#>0E2+E+.,PL
'
1
!1
===
+==
El despacho optimo de carga considerando las perdidas es8
4hU0V1,1E.12,!
4hU0V1,1E.,!!
4hU0V-,!
4#>hU0V1*E*E.'
E2+E+.E,Pg
4#>0'!!Pg
PLPgPg
4#>0E2+E+.,PL
t
'
1
'
1
!1
=
==
===
+==
En sntesis8
ostoVUh
sist
VU#>h1
VU#>h'
VU#>h
Pg1#>
Pg'#>
PL#>
P3#>
2+2.D 2.1!!2+ 2.1!!2+ ( +!.12D*1 ! !.12D*1 +!
1!+*.+,* '.1+ '.1+ '.! 2-,.112* 2! ,.112* '!!
1!+*.+, '.1+ '.1+ '.! 2-,.1',* 2! ,.1',* '1!
12,!.1,2 '.1-DD '.1** '.!*'- '!! ,.2++ ,.2+ '!
omparaci/n de Hesultado.
Pg10Beorge4 Pg10Parte 74 Pg'0Beorge4 Pg'0Parte 74 PL0Beorge4 PL0Parte 74 Pd
+!.12D*1 +!.!D1 ( ( !.12D* !.!D1 +!
7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos
30/30
2-,.112* 2-2.1-2! 2! 2! ,.112* 2.1-2! '!!
'!! '!! ,.2+ 2.+* ,.2+ 2.+**- '!
Para la demanda de energa 0+! % '! #>4 podemos ver que el error entre las perdidas essignificativo pero en la generaci/n" el error no pasa los 2J.
sist
VU#>h0Parte 74
sist
VU#>h0 Beorge4
P3#>
2.1!!1 2.1!!2+ +!
'.1+ '.1+ '!!
'.1-DD '.1-DD '!
El costo marginal de este sistema se ve afectado principalmente por la maquina '" que es lams cara. omo es la maquina 1" la ms barata" que asume la potencia perdida % la otra quemarca costo marginal. omparando los dos casos" no presentan diferencia.
on este resultado podemos decir que ambos m;todos entregan un valor final correcto" %los coeficientes de perdidas calculados por el m;todo de Beorge dan una apro=imaci/n realal modelo del sistema.3ebemos considerar que el m;todo de Beorge contiene errores %a que la apro=imaci/ninicial del sistema fue reali&ado con luo lineal 3.