Analisis de Inestabilidad en Sistemas Eléctricos

8/18/2019 Analisis de Inestabilidad en Sistemas Eléctricos

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INSTITUTO TECNOLÓGICO de moreliaDEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

PROGRAMA DE GRADUADOS E INVESTIGACIÓN EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

Análisis de Inestabilidades en Sistemas

Eléctricos de Potencia por Medio de la Teoría

de Bifurcación

T E S I S

que para obtener el grado de

Maestro en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

Presenta

Raúl García Kasusky

Morelia, Mich., Octubre 2002


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Dedicatoria

Dedico esta tesis:

A mis Padres, porque siempre me han brindado su apoyo y comprensión incondicionalmente

A mi hermana por su cariño y comprensión

A Dios por todo lo que me ha dado y me ha permitido hacer.


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i

RESUMEN

En esta tesis se estudia las inestabilidades no lineales, incluyendo colapso de voltaje, que

ocurren en los sistemas de potencia debido a cambios cuasiestáticos en sus parámetros. El

análisis está basado en la dinámica no lineal y teoría de bifurcaciones. La presencia de

bifurcaciones estáticas y dinámicas está determinada por el análisis de estabilidad de los

puntos de equilibrio de los sistemas de potencia. También se muestra la relación entre las

bifurcaciones Hopf y la dinámica del colapso de voltaje. Además, se muestra que la aplicación

tanto de controles de excitación del generador como de compensadores estáticos de VAR

(CEV) amortiguan oscilaciones sostenidas de voltaje para cierto nivel de demanda de potencia

reactiva así como incrementan el punto máximo de cargabilidad del sistema.


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ii

ABSTRACT

Non-linear instabilities, including voltage collapse, occurring in a power system due to quasi-

static changes in its parameters are studied in this thesis. The analysis is based on the

nonlinear dynamical theory of bifurcations. The presence of static and dynamic bifurcations is

determined by the stability analysis of the power system equilibrium points. It is shown the

relation between Hopf bifurcations and the dynamics of voltage collapse. In addition, it is

shown the application of both generator’s excitation control and Static VAR Compensator

(SVC) to damp out sustained voltage oscillations for a given level of reactive power demand

as well as increasing the maximum point of system’s loadability.


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iii

Índice de contenido

Pagina

Abstract…………………………………………………………………………………………i

Resumen………………………………………………………………………………………..ii Índice de contenido…………………………………………………………………………...iii

Glosario de términos…………………………………………………………………………vii

Índice de figuras……………………………………………………………………………. xiii

Índice de tablas………………………………………………………………………………..i x

Objetivo………………………………………………………………………………………. xx

Justificación………………………………………………………………………………….. xx

Capítulo 1 ...................................................................................................................................1

Introducción...............................................................................................................................1

1.1 Introducción.........................................................................................................1

1.2 Inestabilidades en sistemas eléctricos de potencia ..............................................3

1.2.1 Inestabilidad angular ..........................................................................................4

1.2.2 Inestabilidad de voltaje .......................................................................................5

1.3 Herramientas para el análisis de inestabilidades de voltaje.................................6

1.3.1 Aproximación estática .........................................................................................7

1.3.1.1 Sensibilidad V-Q .............................................................................................71.3.1.2 Descomposición del valor singular .................................................................7

1.3.1.3 Análisis modal .................................................................................................8

1.3.1.4 Método de continuación de flujos de potencia ..............................................10

1.3.2 Aproximación de dinámica de pequeñas señales ..............................................10

1.3.3 Aproximación de dinámica de gran señal .........................................................11

1.4 Planteamiento del problema ..............................................................................11

1.5 Contenido de la tesis..........................................................................................12

Capítulo 2 .................................................................................................................................14

Modelado de sistemas eléctricos de potencia para análisis dinámico de gran señal .........14

2.1 Introducción.......................................................................................................14

2.2 Modelado de Componentes ...............................................................................15


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iv

2.2.1 Generador síncrono...........................................................................................15

2.2.1.1 Ejes de referencia...........................................................................................17

2.2.1.2 Ecuación de oscilación ..................................................................................19

2.2.2 Sistemas de excitación .......................................................................................25

2.2.3 Red de transmisión ............................................................................................28

2.2.4 Cargas ...............................................................................................................29

2.2.5 Compensador estático de VAR (CEV) ...............................................................32

2.3 Modelado de un sistema multimáquina.............................................................37

2.3.1 Ecuaciones Diferencial-Algebraicas (EDA) .....................................................38

2.3.2 Puntos de equilibrio y su estabilidad ................................................................43

2.3.3 Relación entre estabilidad de puntos de equilibrio y bifurcaciones .................45

2.4 Modelado equivalente de un sistema multimáquina .........................................462.4.1 Teorema de Schur ..............................................................................................46

2.4.2 Modelo equivalente de un sistema por ecuaciones algebraicas........................48

2.4.3 Modelo equivalente de un sistema por ecuaciones diferenciales......................48

Capítulo 3 .................................................................................................................................50

Conceptos de la teoría de bifurcación....................................................................................50

3.1 Introducción.......................................................................................................50

3.2 Definición de un sistema dinámico ...................................................................50

3.3 Puntos de equilibrio y su estabilidad .................................................................53

3.4 Ciclos límite y su estabilidad.............................................................................59

3.5 Planos de fase y flujo.........................................................................................61

3.6 Estabilidad estructural .......................................................................................63

3.7 Bifurcación ........................................................................................................64

3.8 Bifurcaciones Locales........................................................................................65

3.8.1 Bifurcación Saddle-Node (SNB) ........................................................................66

3.8.2 Bifurcación Transcrítica (TCB) ........................................................................68

3.8.3 Bifurcación Pitchfork (PFB) .............................................................................69

3.8.4 Bifurcación Hopf (HB) ......................................................................................72

3.9 Bifurcaciones Globales......................................................................................76

3.9.1 Bifurcación de Doblez de Ciclos (CFB) ............................................................76


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v

3.9.2 Bifurcación de Periodo Infinito (IPB) ...............................................................77

3.9.3 Bifurcación Homoclínica (HCB) o (BSKY) .......................................................78

3.9.4 Bifurcación de Toroide (TRB) ...........................................................................79

3.9.5 Bifurcación de Doble Periodo (PDB) y Caos ...................................................80

Capítulo 4 .................................................................................................................................89

Simulación de modelos dinámicos..........................................................................................89

4.1 Introducción.......................................................................................................89

4.2 Metodología de simulación ...............................................................................89

4.3 Software para simulación de sistemas dinámicos .............................................90

4.4 Simulación de modelos......................................................................................91

4.4.1 Modelo 1: Sistema eléctrico de potencia con carga dinámica tipo II (1) .........91

4.4.2 Modelo 2: Máquina bus - infinito con excitación fija .....................................1104.4.3 Modelo 3: Máquina bus - infinito con sistema de excitación automático.......113

4.4.4 Modelo 4: Máquina bus – infinito con sistema de excitación automático y alto

coeficiente de amortiguamiento en el generador ............................................120

4.4.5 Modelo 5: Sistema de dos máquinas y línea de transmisión larga .................128

4.4.6 Modelo 6: Sistema de dos máquinas-bus infinito............................................133

4.4.7 Modelo 7: Sistema de dos generadores y carga tipo exponencial ..................144

4.4.8 Modelo 8: Sistema Carga-Generador con sistema de control de voltaje .......150

4.4.9 Modelo 9: Sistema eléctrico de potencia con carga dinámica tipo II (2) .......153

4.4.10 Modelo 10: Control de las bifurcaciones variando la potencia mecánica y el

coeficiente de amortiguamiento.......................................................................160

4.4.11 Modelo 11: Sistema compensado con un dispositivo estático de VAR............164

4.4.12 Modelo 12: Sistema de potencia utilizando generador con sistemas de

excitación lento y rápido .................................................................................166

4.4.12.1 Generador con sistema de excitación lento .............................................167

4.4.12.2 Generador con sistema de excitación rápido ...........................................170

4.4.13 Modelo 13: Sistema de potencia de 4 nodos compensado con un CEV más

complejo ..........................................................................................................174

Capítulo 5 ...............................................................................................................................182

Conclusiones, aportaciones y trabajos futuros ...................................................................182


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vi

5.1 Conclusiones....................................................................................................182

5.2 Aportaciones....................................................................................................184

5.3 Trabajos futuros...............................................................................................184

Referencias…………………………………………………………………………………..186

Apéndices

Apéndice A…………………………………………………………………………...190

Apéndice B…………………………………………………………………………...197

Apéndice C…………………………………………………………………………...207


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vii

Glosario de términos

ER P Potencia activa transmitida desde el nodo de envío al nodo de recepción.

E E Voltaje del nodo de envío.

R E Voltaje del nodo de recepción.

ER Reactancia conectada entre los nodos de envío y recepción.

ERδ Diferencia angular entre los nodos de envío y recepción.

P Potencia activa.

Q Potencia reactiva.

θ Ángulo del voltaje en nodos de carga.

V Magnitud del voltaje nodal.

J Matriz Jacobiana o Jacobiano.

U ,W Matrices ortogonales del Jacobiano.

iµ , iω Columnas de U y W respectivamente.

∑ Matriz diagonal del Jacobiano.

iσ Elementos de la matriz diagonal del Jacobiano (valores singulares).

R J Jacobiano reducido.

R , L Matrices eigenvector derecha e izquierda del Jacobiano reducido.

Λ Matriz diagonal de eigenvalores del Jacobiano reducido.

i R , i L i-ésimos eigenvectores derecho e izquierdo del Jacobiano reducido.

iλ Eigenvalor del i-ésimo voltaje modal.

( , , ) L x u N Matriz del sistema linealizada.

( , , ) H x u N Matriz de entradas linealizada.

Variables de estado dinámicas.

u Señal de entrada al sistema.

N Red de transmisión.

y Variables instantáneas o algebraicas del sistema.


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viii

λ Parámetros del sistema que se pueden variar cuasiestáticamente.

XPPAUT Software de simulación de sistemas dinámicos (X-Windows Phase Plane Plus

Auto).

EDA Sistema de ecuaciones diferencial-algebraico.

mT Par mecánico.

Rmω Velocidad angular del rotor.

eT Par eléctrico.

fmm Fuerza magnetomotriz.

0mω , 0ω Velocidad síncrona (mecánica y eléctrica).

, ,a b c Devanados estáticos representando las fases del estator.

, , A B C Ejes de referencia estacionarios en el estator.

,d q Devanados giratorios representando los ejes directo y de cuadratura en el rotor.

mθ Ángulo mecánico del rotor medido con respecto al eje de referencia

estacionario A del estator.

0θ Valor inicial de mθ .

mα Ángulo del eje de referencia Bus con respecto al eje A.

0α Valor inicial de mα .

mδ Desplazamiento angular del rotor con respecto al eje de referencia Bus

J Momento de inercia de la masa del rotor en Kg-m2

aT Par de aceleración.

d T Par de amortiguamiento.

m P Potencia mecánica de entrada.

ge P Potencia eléctrica de salida.

d P Potencia de amortiguamiento.

a P Potencia de aceleración.

Rm J ω Momento angular del rotor en J-s.

Momento de inercia.


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ix

H Constante de inercia del rotor en seg.

k W Energía cinética almacenada en el generador a velocidad síncrona en MJ/seg.

(3 ) BS φ Capacidad nominal del generador síncrono.

t Tiempo en segundos.ω Es la velocidad relativa de la velocidad angular del rotor con respecto a la

velocidad síncrona.

m D Par de fricción.

a D Par asíncrono.

D Coeficiente de amortiguamiento en seg/rad.

L P Potencia real de carga en el nodo de generación.

δ Ángulo del voltaje en terminales de generador.

ijG Conductancia de la línea de transmisión.

ij B Susceptancia de la línea de transmisión.

0d T Constante de tiempo transitoria del generador en el eje directo.

E ′ Voltaje interno de cuadratura del generador.

d Reactancia de eje directo.

d

′ Reactancia transitoria de eje directo.

Reactancia de la línea de transmisión.

fd E Voltaje de campo del generador.

t V Voltaje de terminales del generador.

E S Función de saturación del excitador.

, , A E F K K K Ganancias del sistema del sistema de excitación IEEE tipo-1.

, , A E F T T T Constantes de tiempo del sistema de excitación IEEE tipo-1.

ref V Voltaje de referencia.

3V Voltaje de retroalimentación estabilizador.

RV Voltaje del regulador.

0 fd E Punto de operación inicial de fd E .


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x

, fdmin fdmax E E Límites mínimo y máximo en el voltaje de campo del sistema de excitación.

fdr E Voltaje de campo del generador controlado por el excitador rápido.

fdrlim E Constante para el modelado de los límites del voltaje de campo del excitador.

ijY Magnitud de la admitancia de la línea de transmisión.

1 6,...,a a Constantes del modelo polinomial para la potencia real y reactiva.

0 0, P Q Potencias real y reactiva nominales.

0V Voltaje nominal.

0 , f f Frecuencia nominal y frecuencia del voltaje de bus.

f a Parámetro de sensibilidad de la frecuencia.

ZIP Modelo de carga que combina los modelos de impedancia, corriente y potenciaconstantes

( )t z Vector de variables de estado del bus de carga.

d L Demanda nominal en MVA en el bus de carga.

pf Factor de potencia.

, , , D a b k Coeficientes del modelo de carga dinámica tipo I.

0 , pw P K Coeficientes del modelo de carga dinámica tipo II.

0, , pv K T Q Coeficientes del modelo de carga dinámica tipo II.

2, ,qw qv qv K K K Coeficientes del modelo de carga dinámica tipo II.

1 1, P Q Potencias constantes real y reactiva del modelo de carga dinámica tipo II.

( )CEV SVC Compensador estático de VAR (Static VAR’s Compensator).

,SVC SVC K T Ganancia y constante de tiempo del CEV.

B Susceptancia del compensador no limitada.

SVC B Susceptancia limitada de salida del compensador.

lim B Constante para modelar la capacidad del compensador.

,min max B B Límites mínimo y máximo para modelar la capacidad del compensador.

K Pendiente característica del CEV.


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xii

T Periodo en segundos.

(SNB) Bifurcación Punto de Silla (Saddle-Node Bifurcation).

(TCB) Bifurcación Transcrítica (Transcritical Bifurcation).

(SPFB) Bifurcación de Horquilla Supercrítica (Supercritical Pitchfork Bifurcation).

(UPFB) Bifurcación de Horquilla Subcrítica (Unstable Pitchfork Bifurcation).

(SHB) Bifurcación Hopo Supercrítica (Supercritical Hopf Bifurcation).

(UHB) Bifurcación Hopo Subcrítica (Unstable Hopf Bifurcation).

(CFB) Bifurcación de Doblez de Ciclos (Cyclic Fold Bifurcation).

(IPB) Bifurcación de Periodo Infinito (Infinite Period Bifurcation).

(HCB) Bifurcación Homoclínica (Homoclinic Bifurcation).

(BSKY) Bifurcación Cielo Azul (Blue Sky Bifurcation = HCB).

(TRB) Bifurcación de Toroide (Torus Bifurcation).(PDB) Bifurcación de Doble Periodo (Period Doubling Bifurcation).

µ Exponente de Lyapunov.


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xiii

Índice de figuras

Figura 1.1 Curva Potencia-Ángulo en un generador síncrono. ...................................................4

Figura 2.1 Pares mecánicos y eléctricos en una unidad generadora..........................................16Figura 2.2 Diagrama esquemático de los devanados de un generador......................................17

Figura 2.3 Ángulos y referencias para la máquina síncrona......................................................17

Figura 2.4 Generador conectado a un nodo que no es referencia..............................................25

Figura 2.5 Diagrama de bloques del excitador lento (IEEE tipo-1)..........................................26

Figura 2.6 Diagrama de bloques del excitador rápido limitado. ...............................................27

Figura 2.7 Modelado del voltaje del devanado de campo con 5pu fdrlim E = . ...........................27

Figura 2.8 Diagrama de bloques del CEV.................................................................................33

Figura 2.9 Modelado de los límites del la susceptancia B . ...................................................... 33

Figura 2.10 Diagrama simplificado del CEV............................................................................34

Figura 2.11 Característica de control del CEV..........................................................................35

Figura 2.12 Diagrama de bloques del CEV...............................................................................36

Figura 2.13 Sistema multimáquina............................................................................................37

Figura 3.1 Órbita y trayectoria de un sistema dinámico............................................................53

Figura 3.2 Definición de estabilidad. ........................................................................................55

Figura 3.3 Región de atracción..................................................................................................55

Figura 3.4 Ciclo límite estable...................................................................................................60

Figura 3.5 Ciclo límite inestable. .............................................................................................. 61

Figura 3.6 Plano de fase. ........................................................................................................... 62

Figura 3.7 Plano de fase con dirección de flujo y nullclines.....................................................63

Figura 3.8 Destrucción de los puntos de equilibrio...................................................................66

Figura 3.9 Diagrama de una bifurcación Saddle-Node. ............................................................67

Figura 3.10 Intercambio de tipo de estabilidad entre los puntos de equilibrio.........................68Figura 3.11 Diagrama de una bifurcación Transcrítica.............................................................69

Figura 3.12 Creación de dos puntos fijos estables a partir de otro estable................................70

Figura 3.13 Diagrama de una bifurcación Pitchfork supercrítica..............................................70

Figura 3.14 Diagrama de una bifurcación Pitchfork subcrítica.................................................71


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xiv

Figura 3.15 Planos de fase de la bifurcación supercrítica. ........................................................73

Figura 3.16 Diagrama de una bifurcación supercrítica..............................................................74

Figura 3.17 Planos de fase de la bifurcación subcrítica. ...........................................................74

Figura 3.18 Diagrama de una bifurcación subcrítica.................................................................75

Figura 3.19 Movimiento de los eigenvalores complejos conjugados........................................75

Figura 3.20 Planos de fase de la bifurcación de Doblez de Ciclos............................................76

Figura 3.21 Diagrama de una bifurcación de doblez.................................................................77

Figura 3.22 Planos de fase de una bifurcación de periodo infinito. ..........................................78

Figura 3.23 Planos de fase de una bifurcación Homoclínica. ................................................... 78

Figura 3.24 Diagrama de una bifurcación Homoclínica............................................................79

Figura 3.25 Bifurcación de Toroide. .........................................................................................80

Figura 3.26 Bifurcación de Doble Periodo del sistema de Rössler. ..........................................81Figura 3.27 Atractor extraño del sistema de Lorenz. ................................................................82

Figura 3.28 Dependencia sobre las condiciones iniciales en estados caóticos..........................83

Figura 3.29 ( )t δ Crece exponencialmente rápido al transcurrir el tiempo...............................84

Figura 3.30 Mapa de Poincaré...................................................................................................85

Figura 3.31 Comportamiento del exponente de Lyapunov al variar un parámetro...................86

Figura 3.32 Puntos periódicos de periodo 1, 2,4,6 en el mapa de Poincaré. ............................86

Figura 3.33 Diagrama de bifurcación de las ecuaciones de Lorenz. .........................................87Figura 3.34 Caos transitorio observado en 13.92 24.06λ < < ..................................................88

Figura 4.1 Sistema eléctrico de potencia con carga dinámica...................................................91

Figura 4.2 Diagrama de bifurcación mostrando las regiones estables e inestables...................94

Figura 4.3 Comportamiento de las variables del sistema en 1 10Q = pu. ..................................95

Figura 4.4 Diagrama de bifurcación del sistema de potencia....................................................95

Figura 4.5 Soluciones periódicas inestables surgiendo de la bifurcación Hopf subcrítica........96

Figura 4.6 Ciclo límite creado en la bifurcación Hopf subcrítica. ............................................97

Figura 4.7 Oscilaciones de voltaje en 1 11Q = pu. .....................................................................97

Figura 4.8 Colapso de voltaje en 1 11.19Q = pu........................................................................98

Figura 4.9 Variables del sistema en 1 10Q = pu. ........................................................................98

Figura 4.10 Oscilaciones del sistema en 1 11.84Q = pu. ............................................................99


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xv

Figura 4.11 Voltaje del sistema en una bifurcación de doblez................................................100

Figura 4.12 Ciclos límite en 1 10.872, 10.876, 10.885 10.886Q y= pu. ..................................101

Figura 4.13 Voltaje en el nodo de carga al sufrir bifurcaciones de doble periodo en cascada.

.........................................................................................................................................102

Figura 4.14 Atractor extraño generado en 1 10.886Q = pu. .....................................................102

Figura 4.15 Variables del sistema durante el colapso en 1 10.887Q = pu. ...............................103

Figura 4.16 Oscilación estable en 1 11.39Q = pu.....................................................................103

Figura 4.17 Soluciones periódicas estables surgiendo de la bifurcación Hopf supercrítica....104

Figura 4.18 Órbitas de oscilación en 1 11.387957, 11.387, 11.386 11.379Q y= pu. ..............105

Figura 4.19 Voltaje en la carga al sufrir bifurcaciones de doble periodo en cascada. ............105

Figura 4.20 Atractor extraño generado en 1 11.377Q = pu. .....................................................106Figura 4.21 Atractores extraños en diferentes puntos de operación del sistema.....................106

Figura 4.22 Variables del sistema durante el colapso en 1 11.3759Q = pu. .............................107

Figura 4.23 Voltaje en el nodo de carga después de la bifurcación SHB................................108

Figura 4.24 Colapso del sistema en la bifurcación Saddle-Node............................................108

Figura 4.25 Movimiento de los eigenvalores complejos conjugados para cada bifurcación,

respectivamente. ..............................................................................................................109

Figura 4.26 Sistema máquina – bus infinito............................................................................110Figura 4.27 Diagrama de bifurcación sin control automático de voltaje.................................111

Figura 4.28 El sistema es estable en 0.868t P = pu..................................................................112

Figura 4.29 Pérdida de sincronismo del sistema en la bifurcación Saddle-Node en 1.4t P = pu.

.........................................................................................................................................112

Figura 4.30 Diagrama de bifurcación utilizando un control de excitación automática...........114

Figura 4.31 Creación de ciclos límite y bifurcaciones de doble periodo al variar t P . ............115

Figura 4.32 Variables de estado y plano de fase en 1.2715t P = pu.........................................116

Figura 4.33 Variables de estado y plano de fase en 1.3737t P = pu.........................................117

Figura 4.34 Comportamiento caótico del ángulo de carga en 1.474t P = pu. ..........................117

Figura 4.35 Atractor extraño presentado por el sistema en 1.474 . .t P p u= .............................118


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xvi

Figura 4.36 Pérdida de sincronismo por medio de una Crisis en 1.4917t P = pu. ...................119

Figura 4.37 Movimiento de los eigenvalores complejos conjugados......................................119

Figura 4.38 Diagrama de bifurcación del sistema con 148.812 D = pu. .................................121

Figura 4.39 Diagrama de bifurcación mostrando las soluciones periódicas. ..........................122

Figura 4.40 Bifurcación de Toroide (TRB) cerca de la bifurcación (SNHB).........................123

Figura 4.41 Oscilaciones estables del sistema en 2.0512t P = pu............................................124

Figura 4.42 Oscilaciones de doble periodo en 1.9716t P = pu.................................................125

Figura 4.43 Caos y pérdida de sincronismo en 1.97t P = pu y 1.9695t P = pu......................... 125

Figura 4.44 Oscilaciones de doble frecuencia en 2.06t P = pu................................................126

Figura 4.45 Toroide descrito por las variables del sistema en 2.06t P = pu. ...........................126

Figura 4.46 El sistema se estabiliza en 2.0618504t P = pu......................................................127

Figura 4.47 El sistema pierde el sincronismo en 2.0618506t P = pu.......................................127

Figura 4.48 Sistema de dos máquinas y línea de transmisión larga. ....................................... 128

Figura 4.49 Diagrama de bifurcación del sistema. ..................................................................129

Figura 4.50 Variables de estado y plano de fase para 1 L = pu. ..............................................130

Figura 4.51 Variables de estado y plano de fase para 2.88 L = pu..........................................131

Figura 4.52 Variables de estado y plano de fase para 2.8919 L = pu......................................131

Figura 4.53 Variables de estado y plano de fase para 2.893 L = pu........................................132

Figura 4.54 Pérdida de sincronismo del sistema en 2.893 L = pu...........................................133


Figura 4.56 Sistema de dos máquinas-bus infinito..................................................................134

Figura 4.57 Diagrama de bifurcación del sistema de dos máquinas bus-infinito....................135

Figura 4.58 Diagrama de bifurcación del sistema de dos máquinas-bus infinito....................136

Figura 4.59 Acercamiento del diagrama de bifurcación en la región inestable. .....................136

Figura 4.60 Variables de estado y plano de fase para 1 2.26 P = pu. ........................................137

Figura 4.61 Variables de estado y plano de fase para 1 2.398 P = pu. ......................................138

Figura 4.62 Condiciones iniciales que tienden hacia el ciclo límite en 1 2.434 P = pu. ...........138

Figura 4.63 El sistema se estabiliza en 1 2.437 P = pu..............................................................139


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xvii

Figura 4.64 Bifurcación de doble periodo en 1 2.37524 P = pu................................................139

Figura 4.65 Planos de fase en 1 1 12.37524, 2.3751, 2.37088, P P P = = = 1 2.3707 P = pu. .......140

Figura 4.66 Atractor extraño en 1 2.37 P = pu. .........................................................................140

Figura 4.67 Aceleración y frenado de los generadores 1 y 2, respectivamente. .....................141Figura 4.68 Ciclo límite y punto fijo estables en 1 2.388 P = pu. .............................................142

Figura 4.69 Pérdida de sincronismo en 1 2.468 P = pu. ............................................................142


Figura 4.71 Sistema de dos generadores con carga exponencial.............................................144

Figura 4.72 Puntos de equilibrio estables e inestables del sistema. ........................................146

Figura 4.73 Diagramas de bifurcación de los ángulos en los nodos de generación. ...............147

Figura 4.74 Soluciones periódicas estables e inestables..........................................................147Figura 4.75 Dinámica del sistema en los puntos de operación: 0 0.45 P = pu, 0 0.7 P = pu,

0 0.9 P = pu, 0 1.92 P = pu, 0 2.03 P = pu, 0 2.04 P = pu.......................................................148


Figura 4.77 Sistema Carga-Generador con sistema de excitación ..........................................150

Figura 4.78 Diagrama de bifurcación del sistema. ..................................................................151

Figura 4.79 Colapso del voltaje en 0.4435Q = pu. .................................................................152

Figura 4.80 Movimiento de los eigenvalores complejos conjugados......................................152Figura 4.81 Diagrama de bifurcación del sistema. ..................................................................154

Figura 4.82 Soluciones periódicas debidas a la bifurcación Hopf supercrítica.......................155

Figura 4.83 Variables de estado y plano de fase en 1 2.977Q = pu..........................................156

Figura 4.84 Oscilaciones en 1 29889, 2.9894, 2.98956, 2.98958Q = pu.................................157

Figura 4.85 Voltaje en el nodo de carga en 1 29889, 2.9894, 2.98956, 2.98958Q = pu. ........157

Figura 4.86 Atractor extraño en 1 2.989825Q = pu..................................................................158

Figura 4.87 Desaparición repentina del atractor extraño en 1 2.989826Q = pu. ......................158

Figura 4.88 Colapso de voltaje en el nodo de carga en 1 2.989826Q = pu. .............................159


Figura 4.90 Diagrama de bifurcación del sistema con 3C = pu..............................................160


21/245

xviii

Figura 4.91 Diagramas de bifurcación del sistema para 1, 0.8, 0.6, 0.4m P = pu.....................161

Figura 4.92 Movimiento de las bifurcaciones Hopf................................................................162

Figura 4.93 Diagramas de bifurcación para diferentes valores del coeficiente de

amortiguamiento 0.05, 0.1 0.114 D y= . ........................................................................163

Figura 4.94 Sistema compensado con un CEV. ......................................................................164

Figura 4.95 Posición de las bifurcaciones para diferentes límites del compensador. .............165

Figura 4.96 Diagrama del sistema con el generador conectado en el nodo de carga. .............167

Figura 4.97 Diagrama de bifurcación utilizando un sistema de excitación lento....................169

Figura 4.98 Diagramas de bifurcación utilizando un sistema de excitación rápido................172

Figura 4.99 Voltaje en la carga para diferentes límites en el sistema de excitación. ..............172

Figura 4.100 Sistemas de excitación lento y rápido limitados en 1 fdr E = pu..........................173

Figura 4.101 Sistema de potencia compensado con un CEV más completo...........................174

Figura 4.102 Diagramas de bifurcación sin el CEV variando 1Q y 1 P . ..................................176

Figura 4.103 Soluciones periódicas inestables que presenta el sistema..................................176

Figura 4.104 Diagrama de bifurcación del sistema compensado con un CEV. ......................178

Figura 4.105 Colapso de voltaje en 1 7.3Q = pu. .....................................................................178

Figura 4.106 Diagramas de bifurcación con diferentes capacidades del CEV........................179

Figura 4.107 Diagrama de bifurcación con diferentes capacidades del CEV variando 1 P . ....180

Figura 4.108 Diagrama de bifurcación del sistema de potencia con el compensador de

capacidad ilimitada..........................................................................................................181

Figura 4.109 Diagrama de bifurcación para la demanda de potencia real 1 P . ........................181


22/245

xix

Índice de tablas

Tabla 1.1 Clasificación de la estabilidad en sistemas de potencia. .............................................3

Tabla 4.1 Parámetros utilizados en el sistema de potencia con carga dinámica (1)..................93Tabla 4.2 Eigenvalores que se presentaron en la bifurcación Saddle-Node............................109

Tabla 4.3 Parámetros del sistema máquina-bus infinito con excitación fija. ..........................111

Tabla 4.4 Eigenvalores del sistema en la bifurcación Saddle-Node........................................113

Tabla 4.5 Parámetros utilizados en el sistema máquina-bus infinito y control de excitación. 114

Tabla 4.6 Parámetros del sistema máquina-bus infinito con alto coeficiente de

amortiguamiento en el generador. ...................................................................................121

Tabla 4.7 Eigenvalores en la bifurcación Saddle-Node-Hopf.................................................122

Tabla 4.8 Parámetros del sistema de dos máquinas y línea de transmisión larga. ..................129

Tabla 4.9 Parámetros del sistema de dos máquinas-bus infinito.............................................135

Tabla 4.10 Eigenvalores del sistema en la bifurcación Saddle-Node......................................143

Tabla 4.11Parámetros del sistema de dos generadores con carga exponencial.......................146

Tabla 4.12 Eigenvalores del sistema en la bifurcación Saddle-Node......................................150

Tabla 4.13 Parámetros del sistema Carga – Generador con sistema de excitación.................151

Tabla 4.14 Parámetros utilizados en el sistema de potencia con carga dinámica (2)..............154

Tabla 4.15 Ubicación exacta de las bifurcaciones Hopf. ........................................................166Tabla 4.16 Parámetros del sistema de potencia con sistema de excitación lento....................169

Tabla 4.17 Parámetros utilizados en el sistema de potencia con sistema de excitación rápido.

.........................................................................................................................................171

Tabla 4.18 Parámetros utilizados en el sistema de potencia de 4 nodos. ................................176


23/245

xx

Objetivo

El objetivo de esta tesis es el análisis de inestabilidades angular y de voltaje en sistemas

eléctricos de potencia. Este análisis se realiza con base al modelado dinámico del sistema de

potencia, considerando las restricciones de estado estable y la teoría de bifurcación. Mediante

esta teoría, es posible predecir la pérdida de sincronismo y el colapso de voltaje dinámico y

estático sin necesidad de realizar simulaciones en el tiempo.

Justificación

El retraso en la construcción de plantas de generación y de la expansión de la red de

transmisión ha obligado a operar el sistema eléctrico cada vez más cerca de sus límites de

estabilidad. Esto ha provocado una gran preocupación por parte de los ingenieros que

planifican y operan el sistema, con relación a la confiabilidad y seguridad con que se operan y

controlan las redes de transmisión y distribución, ya que en algunas ocasiones estas se

encuentran en estado de alerta. En este nuevo contexto operativo, para varios sistemas

eléctricos se han reportado comportamientos anormales de las variables eléctricas que definen

su estado. Tales comportamientos han puesto de manifiesto que algunos procesos dinámicos

no son bien entendidos y por ende, no son considerados en herramientas computacionales de

operación y control de redes eléctricas.

La teoría de bifurcaciones y caos proporcionan una posible herramienta para interpretar

fenómenos complejos dinámicos presentes en sistemas eléctricos, así como su control. Así, en

esta tesis se describe de manera fundamental esta teoría y su aplicación al estudio de sistemaseléctricos, con la finalidad de observar los fenómenos de pérdida de síncronismo y colapso de

voltaje.


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1

Capítulo 1

Introducción

1.1 Introducción

Los sistemas eléctricos de potencia son grandes interconexiones de dispositivos que

intervienen en la generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica. Estos tienen

como función principal mantener el voltaje y la frecuencia del sistema dentro de ciertos

márgenes operativos. Anteriormente, estos sistemas de potencia se diseñaban de manera que

los consumidores de energía se encontraran cerca de los puntos de generación, haciendo que la

operación de este tipo de sistemas fuera muy simple. Sin embargo, con el tiempo el contexto

operativo de los sistemas ha cambiado en forma radical, ahora los centros de generación están

cada vez más distantes de los centros de consumo, existe la apertura del sector eléctrico,

además de que presiones económicas, políticas y ambientales que han retrasado la expansión

del sistema.

Las condiciones anteriores han provocado que los sistemas eléctricos de potencia operen cada

vez más cerca de sus límites de estabilidad. El hecho de operar en estas regiones ha dado como

resultado el surgimiento de fenómenos dinámicos muy complejos no observados

anteriormente, provocando cambios significativos en la estabilidad del sistema, incluso

operando en regímenes normales.

El funcionamiento tan complejo de los sistemas de potencia depende de sus inherentes

características no lineales, de manera que el modelado de los elementos que lo conforman

debe ser basado en ecuaciones diferencial-algebraicas no lineales [1]. Dentro del estudio de

sistemas no lineales existen diferentes teorías que ayudan a entender los complejos

comportamientos dinámicos propios de estos sistemas, siendo una de las principales la teoría


25/245

2

de bifurcación [2]. Esta teoría permite conocer de manera cualitativa la manera en que se

afecta la estabilidad de un sistema no lineal, cuando acontecen pequeños cambios en las

variables de estado que determinan su punto de operación o equilibrio. Estos cambios de

estabilidad se pueden manifestar como pequeñas oscilaciones en las variables de estado, o

como un comportamiento caótico del sistema, ocasionando daños irreparables a los equipos,

principalmente en los rotores de los generadores.

Hasta ahora, una gran mayoría de las investigaciones enfocadas al estudio de inestabilidades

no lineales se han basado en la teoría de bifurcación. Con el uso de esta teoría, los

investigadores del área de sistemas eléctricos de potencia han tratado de explicar los

mecanismos del colapso de voltaje y la dinámica de este fenómeno. De lo trabajos más

representativos, en [3-5] se estudia el mecanismo del cambio de estabilidad del sistema basándose en la estabilidad de los puntos de equilibrio. Cuando estos puntos de equilibrio son

inestables se les llama puntos de bifurcación y producen estados de operación inestables de la

red. Asimismo, en base a simulaciones numéricas se explica la dinámica del proceso de

colapso de voltaje por medio de la bifurcación Saddle-Node, considerando un pequeño sistema

de potencia de 3 nodos. Basándose en este sistema eléctrico comienzan a surgir otras

investigaciones [6], encontrándose la existencia de diferentes tipos de bifurcaciones y

demostrándose que la bifurcación Saddle-Node no es el único mecanismo a través del cual se

produce el fenómeno de colapso de voltaje [7][8]. Basándose en estos trabajos, se empieza a

experimentar la manera en que se puede controlar la aparición de las bifurcaciones por medio

de la ayuda de generadores equipados con diferentes sistemas de excitación [9] y el uso de

dispositivos de electrónica de potencia [10-12].

Con respecto a la inestabilidad angular en los sistemas de potencia, explicada con la teoría de

bifurcación, también existen algunas investigaciones. En [13] se muestra como un sistema

máquina-bus infinito puede llegar a presentar oscilaciones no lineales de tipo estable,

fenómenos caóticos y pérdida de sincronismo. También, en [14], se muestra como el mismo

sistema máquina-bus infinito puede llegar a presentar bifurcaciones Hopf de tipo secundario,

originando oscilaciones de tipo cuasiperiódico.


26/245

3

Con estas investigaciones, se observa que la teoría de bifurcación puede explicar los

fenómenos de colapso de voltaje y pérdida de sincronismo con base a la variación de

parámetros de los modelos dinámicos de sistemas de potencia.

1.2 Inestabilidades en sistemas eléctricos de potencia

Los primeros problemas de inestabilidad que fueron observados en los sistemas de potencia se

manifestaron en el ángulo de carga del rotor. Esta inestabilidad se puede presentar en forma de

oscilaciones electromecánicas no amortiguadas debidas a la falta de par de amortiguamiento o

en aceleramiento del rotor por falta de par de sincronización, perdiéndose el sincronismo. Las

oscilaciones electromecánicas que se presentan cuando se tiene pequeños disturbios, seclasifican como problemas de estabilidad de pequeña señal o de estado estable. La pérdida de

sincronismo del rotor se debe a grandes disturbios y se denomina estabilidad transitoria. Las

inestabilidades en sistemas de potencia pueden clasificarse de forma general en dos tipos: la

escala de tiempo y la causa de la inestabilidad [15], como lo muestra la Tabla 1.1. La escala de

tiempo de corto plazo se refiere a unos cuantos segundos, mientras que la escala de largo plazo

se refiere a varios minutos.

Tabla 1.1 Clasificación de la estabilidad en sistemas de potencia.

Escala de tiempo Generador Carga

Corto plazo(segundos)

Estabilidad angular del rotor:

Estado estable y Transitoria

Estabilidad de voltaje

Largo plazo(minutos)

Estabilidad de frecuencia Estabilidad de voltaje

La inestabilidad del ángulo del rotor se presenta en el corto plazo, debido a la dinámica

presente en el generador por algunos segundos. Con la finalidad de controlar una posible

inestabilidad, equipos tales como reguladores automáticos de voltaje y sistemas de excitación,

entre otros, actúan en este periodo de tiempo.


27/245

4

sen E R ER ER ER

E E P

xδ =

En el largo plazo, se presentan dos problemas de estabilidad: el de frecuencia y el de voltaje.

El primero está relacionado con el desbalance de potencia entre la generación y la carga. El

segundo, es debido a la distancia eléctrica entre estas últimas, en combinación con la

deficiencia de potencia reactiva en el sistema. Esto último, ocasiona que la estabilidad de

voltaje también se presente en el corto plazo debido a que cargas dinámicas, tales como

motores de inducción o cargas controladas electrónicamente, pueden tener un consumo de

potencia reactiva importante durante periodos de tiempo muy cortos [15].

1.2.1 Inestabilidad angular

La estabilidad angular consiste en mantener en sincronismo el rotor del generador. La potencia

que un generador síncrono puede entregar cuando está conectado a un bus infinito por mediode una reactancia está dada por la siguiente ecuación [1]:

( 1.1)

Si los voltajes E E , RV y la reactancia ER se mantienen constantes, la potencia de transmisión

está determinada por el ángulo de par ERδ . En la Figura 1.1 se muestra esta característica de

transmisión de potencia.

Figura 1.1 Curva Potencia-Ángulo en un generador síncrono.

ERδ

ER P


28/245

5

Conforme el ángulo ERδ se incrementa, se tiene una mayor transferencia de potencia activa

ER P , hasta llegar al punto de máxima transferencia de potencia en 90 ERδ = ° . Si en este punto

el ángulo ERδ se incrementa, la transferencia de potencia decrece ocasionando una aceleración

en el rotor del generador. Lo anterior puede producir una pérdida de sincronismo, es decir, la presencia de una inestabilidad angular. Este tipo de inestabilidad es la más común ya que

puede ser ocasionada por disturbios en el sistema.

1.2.2 Inestabilidad de voltaje

Este tipo de inestabilidad se caracteriza por el llamado “colapso de voltaje”, y es muy especial

debido a que es de tipo catastrófico y en ocasiones repentino. Este tipo de fenómeno ocurre

principalmente en sistemas muy sobrecargados en los que ocurre una falla o que tienen un

gran déficit de potencia reactiva, la cual está ampliamente relacionada con el control de

voltaje. Frecuentemente, este fenómeno involucra todo el sistema de potencia y en ocasiones

sólo porciones de este; además, se ha encontrado que el colapso de voltaje involucra también

los ángulos de los generadores [16]. El déficit de potencia reactiva se debe al incremento de

este tipo de potencia en la demanda o a que algunos límites de dispositivos, tales como

generadores, capacitores y CEVs ya se han alcanzado. El incremento de la demanda de

potencia reactiva es el principal requisito para la presencia del colapso, por lo que a estefenómeno se le llega a llamar inestabilidad de carga. Otros causantes del fenómeno son la

acción de cambiadores de derivación en transformadores y salida de líneas o generadores [16].

La inestabilidad de voltaje ha sido ampliamente discutida y se ha llegado a definiciones dadas

por el IEEE y CIGRE como la siguiente [15]:

“ La inestabilidad de voltaje proviene del intento de las cargas dinámicas de restablecer elconsumo de potencia más allá de la capacidad de la transmisión y generación combinadas. ”


29/245

6

Cuando un sistema es estable en cierto punto de operación y se llega a tener disturbios, el

sistema frecuentemente llega a un nuevo punto de operación. Si el cambio es de tipo gradual o

muy lento (cuasiestático), normalmente el nuevo punto de operación se mueve o varía de la

misma forma, siendo esto lo más normal en la operación del sistema. Pero como la teoría de

bifurcación señala, no siempre los pequeños cambios producen un nuevo punto de operación

normal, es decir, no existe punto de operación estable para los nuevos parámetros del sistema.

Esta característica permite relacionar inestabilidades angulares y de voltaje con la teoría de

bifurcaciones.

El colapso de voltaje también puede ser causado por cambios en cascada en el sistema, por

ejemplo: los límites de potencia reactiva de los generadores pueden ser alcanzados en forma

consecutiva o los rotores de grandes motores de inducción pueden llegar a detenersesucesivamente. Estos cambios en cascada incrementan en gran medida el consumo de potencia

reactiva, accionando los sistemas de cambiadores de derivación en los transformadores,

ocasionándose un déficit de esta potencia en el sistema. Las salidas de generadores o líneas de

transmisión también son factores de gran importancia en el colapso de voltaje, debido a que se

pierde reserva de potencia reactiva, reduciéndose el nivel de cargabilidad del sistema.

1.3 Herramientas para el análisis de inestabilidades de voltaje

Debido a la importancia de este tipo de inestabilidad, en este campo se han desarrollado

diversos tipos de análisis. Estos últimos se pueden clasificar en tres:

• Aproximación estática.

• Aproximación de dinámica de pequeña señal.

• Aproximación de dinámica de gran señal.


30/245

7

P PV

Q QV

J J P

J J Q V V

θ

θ

θ θ ∆ ∆ ∆ = = ∆ ∆ ∆

J

1.3.1 Aproximación estática

Este tipo de análisis se basa en la factibilidad del flujo de carga en el sistema de potencia. Las

ecuaciones utilizadas en este tipo de estudios son las ecuaciones algebraicas de flujos de

potencia. Existen cuatro técnicas o métodos de análisis basados en aproximaciones estáticas.

• Sensibilidad V-Q.

• Descomposición del valor singular.

• Análisis modal.

• Método continuación de flujos de potencia.

1.3.1.1 Sensibilidad V-Q

Esta técnica esta basada en las sensibilidades de voltajes nodales con respecto a inyecciones

de potencia reactiva nodales. Las sensibilidades positivas indican que el voltaje de bus se

incrementa con las inyecciones de potencias, tal que si todas las sensibilidades en todos los

buses son positivas se dice entonces que el voltaje del sistema es estable. Por el contrario, si al

menos una sensibilidad es negativa se dice que el sistema es inestable. Esta técnica es muy

limitada por el hecho de que no se pueden identificar los modos inestables del sistema y por lo

mismo no es muy utilizado en la valoración de la estabilidad de voltaje.

1.3.1.2 Descomposición del valor singular

Esta técnica parte de las ecuaciones de estado estable de flujos de potencia:

( 1.2)

de donde se toma la matriz Jacobiana, a la cual se le aplica la técnica de descomposición de

valor singular de la siguiente manera:


31/245

8

1

nT T

i i i

i

J U W uσ ω =

= =∑ ∑

{ }( ) ( ) 1,2,...,i J diag J i nσ = =∑

1 2 ... 0nσ σ σ ≥ ≥ ≥ ≥

( 1.3)

donde U y W son matrices ortogonales, iu y iω son las columnas de U y W

respectivamente. ∑ es una matriz diagonal definida por:

( 1.4)

donde 0iσ ≥ para todo i . Ordenando los elementos de esta matriz ∑ de la forma:

El mínimo valor singular ( )n J σ es la medida de qué tan cerca se está de la singularidad del

Jacobiano de flujos de potencia; en otras palabras, se puede entender como el límite de

estabilidad del estado estacionario. Cuando el mínimo valor singular es igual a cero la

solución de las ecuaciones de flujos de potencia no se puede obtener, esto es, la inversa de la

matriz Jacobiana no existe. Comúnmente, a este punto se le conoce como bifurcación estática.

1.3.1.3 Análisis modal

La técnica de análisis modal involucra algunos eigenvalores y sus eigenvectores asociados de

una matriz jacobiana de orden reducido. El método se basa principalmente en la magnitud de

estos eigenvalores como medida de inestabilidad y los eigenvectores proveen el mecanismo

por el cual se pierde la estabilidad de voltaje.

La teoría básica de la técnica consiste en evaluar la estabilidad del voltaje incrementando la

potencia reactiva, considerando que la potencia activa es constante en un punto de operación.

Partiendo de esto, en la ecuación ( 1.2) se considera 0 P ∆ = , de manera que:


32/245

9

1( )QV Q P PV RQ J J J J V J V θ θ −∆ = − ∆ = ∆

1 R QV Q P PV J J J J J θ θ

−= −

= Λ R J R L

1 RV J Q−∆ = ∆

i i

i i

R LV Qλ

∆ = ∆∑

( 1.5)

y,

( 1.6)

donde:

( 1.7)

R J se llama matriz jacobiana reducida del sistema. Esta última relaciona los cambios en

voltajes nodales debidos a incrementos en inyecciones de potencia reactiva.

Descomponiendo a R J de la forma:

( 1.8)

donde R y L son las matrices eigenvector derecha e izquierda de R J respectivamente. Λ es

la matriz diagonal de eigenvalores de R J . Así, la ecuación ( 1.6) se puede reescribir de la

siguiente forma:

( 1.9)

donde i R y i L son los i-ésimos eigenvectores derecho e izquierdo de R J . La magnitud de cada

eigenvalor iλ determina la debilidad del correspondiente voltaje modal. Entonces, cuando

0iλ = , el i-ésimo voltaje modal se colapsa.

Como se puede observar, la técnica de análisis modal así como la de descomposición del valor

singular son similares en la valoración de la estabilidad de voltaje.


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10

( , , ) x f x u t =

( , , ) 0h x u t =

( , , ) 0 g x u t ≤

( , , ) ( , , ) L x u N x H x u N u∆ = ∆ + ∆

1.3.1.4 Método de continuación de flujos de potencia

Este método es usado cuando las ecuaciones de flujos de potencia no pueden proveer

información acerca de la estabilidad del voltaje en sistemas sobrecargados. Esto se debe a que

los sistemas pueden presentar multiples soluciones en cualquier punto de operación, de modoque las ramas de soluciones son muy cercanas en condiciones de sobrecarga. El método de

continuación esta basado en el análisis del sistema original, de modo que al ir añadiendo la

complejidad en el sistema se obtiene la solución del sistema primitivo u original.

1.3.2 Aproximación de dinámica de pequeñas señales

Otro tipo de análisis de la estabilidad de voltaje, es cuando se consideran dispositivos

dinámicos. La dinámica de estos últimos es representada por ecuaciones diferenciales, las

cuales son linealizadas junto con las ecuaciones algebraicas o estáticas del sistema. Estas

ecuaciones linealizadas se utilizan para examinar la estabilidad del voltaje. Las ecuaciones de

un sistema no lineal, también llamado sistema de ecuaciones diferencial-algebraico (EDA),

son las siguientes:

Dinámica de generadores y cargas: ( 1.10)

Red de transmisión: ( 1.11)

Condiciones de operación: ( 1.12)

La forma general del modelo dinámico linealizado es la siguiente:

( 1.13)

donde ∆ y u∆ son perturbaciones alrededor del punto de operación. ( , , ) L x u N y ( , , ) H x u N

son las matrices del sistema y de la entrada linealizadas, las cuales dependen de las variables

de estado x y entradas u además de la red de transmisión N . La estabilidad del sistema se

mide a partir de los eigenvalores de ( , , ) L x u N .


34/245

11

( , , )

0 ( , , )

f x y

g x y

λ

λ

=

=

1.3.3 Aproximación de dinámica de gran señal

Esta técnica consiste en resolver la dinámica de un sistema multimáquina en un análisis en el

dominio del tiempo. Este análisis indica si para ciertas condiciones de operación, el sistema se

vuelve inestable conforme transcurre el tiempo. Las EDA a ser resueltas son de la forma:

( 1.14)

donde x es un grupo de variables de estado dinámicas, y es un grupo de variables

instantáneas del sistema y λ es un parámetro del sistema.

1.4 Planteamiento del problema

Para apreciar la dinámica de los sistemas de potencia y sus fenómenos de inestabilidad, el

primer paso es modelar en forma dinámica a los elementos que intervienen directamente en

estos fenómenos, haciendo uso del análisis de gran señal. Como resultado de este modelado,

se obtiene conjuntos de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones algebraicas. Estos sistemas

de ecuaciones son, en general, altamente no lineales, tal que la teoría de bifurcación encaja

perfectamente para este tipo de análisis. Esta teoría consiste básicamente en mostrar como las

soluciones del sistema de potencia relacionadas con el punto de operación, ganan o pierden

estabilidad con respecto a la variación de parámetros.

Para la simulación de los sistemas de potencia modelados como sistemas dinámicos, se

utilizará el software XPPAUT [17], diseñado específicamente para realizar análisis en el

dominio del tiempo de sistemas no lineales. Este software tiene la capacidad de esquematizar

los diagramas de bifurcación, indicando soluciones estables e inestables de puntos deequilibrio, y si son de tipo periódico u oscilatorio. Además, es posible simular la dinámica de

cualquier punto del diagrama de bifurcación, pudiéndose observar claramente diversos tipos

de operación propios de los sistemas no lineales. Entonces, extrapolando todas estas


35/245

12

características a los sistemas de potencia, se podrá observar los fenómenos de pérdida de

sincronismo y colapso de voltaje producidos por cambios de estabilidad en todo el sistema.

Con respecto a la estabilidad, esta se puede evaluar también por medio de eigenvalores en

cualquier punto de operación en el diagrama de bifurcación, el software también proporciona

de manera visual la estabilidad del sistema por medio de los multiplicadores de Floquet.

Además, con el diagrama de bifurcación se puede mostrar claramente qué tan estable es el

sistema por medio de los distintos atractores que se tienen en cada región de operación.

1.5 Contenido de la tesis

En este primer capítulo, se ha indicado la importancia del estudio de las inestabilidades en

sistemas de potencia, además se muestra la diferencia entre la inestabilidad angular y de

voltaje. En cuanto al colapso de voltaje, se ha descrito brevemente las diversas técnicas o

métodos que se utilizan para la evaluación de la estabilidad de voltaje. En los capítulos

posteriores se describe el contenido de la tesis como sigue.

El capítulo 2 contiene la descripción del modelado de todos los elementos que intervienen en

la dinámica de los sistemas de potencia. Además, considera el modelado multimáquina

descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas (EDA) y la forma de

evaluar la estabilidad de forma local en un punto de operación. También se presenta la forma

en que estos sistemas pueden ser linealizados para poder realizar un análisis de estabilidad

local.

El capítulo 3 describe la teoría de bifurcación como herramienta de análisis de los sistemas no

lineales, los conceptos de puntos de equilibrio y órbitas periódicas así como su estabilidad.Además, se incluye una breve descripción de los diversos tipos de bifurcaciones locales y

globales que presentan los sistemas no lineales.

El capítulo 4 contiene todos los resultados de las simulaciones de los modelos matemáticos

que representan algunos sistemas de potencia. Estos resultados contienen diagramas de


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13

bifurcación, dinámica del sistema en los puntos de operación más importantes y la posición o

movimiento de eigenvalores indicando los cambios en la estabilidad del sistema debida a la

variación de parámetros.

Por último, el capítulo 5 contiene las conclusiones a las que se ha llegado, las aportaciones que

se han hecho y los posibles trabajos futuros que esta tesis puede originar.


37/245

14

Capítulo 2

Modelado de sistemas eléctricos de potencia

para análisis dinámico de gran señal

2.1 Introducción

La precisión del análisis de fenómenos eléctricos depende en gran medida de la precisión con

que se modela matemáticamente las relaciones voltaje-corriente en terminales de los diversos

dispositivos que integran el sistema eléctrico. En el pasado, el análisis de sistemas eléctricos

ha utilizado modelos muy simples, pero que permiten capturar la esencia del fenómeno

eléctrico bajo estudio. Sin embargo, con el desarrollo de métodos numéricos, análisis

matemático y herramientas computacionales, se ha propuesto modelos matemáticos más

sofisticados, a fin de calcular de manera más precisa la compleja interacción entre los

componentes eléctricos en estudios a gran escala.

Una forma de conocer el punto de operación de un sistema eléctrico de potencia, es analizarlo

en forma dinámica. Entonces debido a que los dispositivos que integran al sistema tienen

constantes de tiempo muy diferentes, el modelado de cada elemento dependerá del tipo de

estudio a realizar. En particular, puesto que los problemas de oscilaciones no lineales y

colapso de voltaje, abordados en este trabajo, son de dinámica lenta, se requiere un modelado

detallado de generadores síncronos, sistemas de excitación, cargas y dispositivos de control.

Por el contrario, como la dinámica de la red de transmisión es mucho más rápida que la de

estos componentes, es posible considerar que las variables de estado asociadas a la red varían

de manera instantánea con respecto a la variación de las variables de estado de los dispositivos

eléctricos mencionados.


38/245

15

Esta característica física permite modelar las relaciones de voltaje-corriente en terminales de

las líneas de transmisión por medio de ecuaciones algebraicas no lineales. Basado en lo

anterior, el comportamiento global de oscilaciones no lineales y colapso de voltaje que

acontecen en un sistema eléctrico puede ser analizado mediante un conjunto de ecuaciones

diferencial algebraico (EDA).

En este capítulo se describe los modelos matemáticos de los dispositivos que tienen un mayor

impacto en el estudio de oscilaciones no lineales y colapso de voltaje. También, se presenta la

manera en que estos modelos se integran en una formulación unificada por medio de un

conjunto EDA y las condiciones que deben cumplirse para obtener una representación

equivalente dado solo por ecuaciones algebraicas o ecuaciones diferenciales. Asimismo, se

detalla la manera de obtener la estabilidad local del sistema, con base a su representaciónmatemática, tal que sea posible determinar cuantitativamente el tipo de oscilaciones no

lineales del sistema.

2.2 Modelado de Componentes

Para poder simular el comportamiento de un sistema de potencia es necesario modelar en

forma adecuada los elementos que lo conforman de manera que se puedan obtener resultados

más precisos acerca de la operación completa del sistema. A continuación, se hace una breve

revisión de los elementos que se utilizarán en las simulaciones.

2.2.1 Generador síncrono

El generador síncrono es la principal fuente de potencia reactiva teniendo un gran impacto en

la obtención de un perfil de voltaje apropiado en el sistema eléctrico de potencia. Entonces,sus características y limitaciones son de gran importancia para el análisis de estabilidad de

voltaje y oscilaciones no lineales.


39/245

16

Un generador puede ser representado como una gran masa rotatoria con dos pares actuando

sobre la rotación de manear opuesta, tal como se muestra en la Figura 2.1.En este caso, el par

mecánico, mT , tiende a acelerar o incrementar la velocidad de rotación, Rmω , mientras que eT ,

el par eléctrico, disminuye esta velocidad.

Figura 2.1 Pares mecánicos y eléctricos en una unidad generadora.

El par mecánico es producido por la acción de un sistema gobernador turbina, tal que puede

ser ajustado de acuerdo a la dinámica del gobernador, influyendo directamente en la velocidad

del rotor, Rmω . Cuando no se considera la acción del gobernador, el par mecánico permanece

constante.

El par eléctrico es producido por la interacción existente entre los campos magnéticos producidos por las corrientes circulantes entre el rotor y estator. La corriente en el devanado

de campo crea una fuerza magnetomotriz ( fmm ) en el eje directo del rotor. Si existe flujo de

corriente en los devanados amortiguadores situados en los ejes directo y de cuadratura del

rotor, esta producirá fmms en estos ejes, respectivamente. Estas tres fmms del rotor giran a la

misma velocidad del rotor. Debido a que el campo magnético asociado a estas fmms tiene una

distribución senoidal a lo largo del entrehierro del generador, y varía en el tiempo por la

rotación del rotor, se inducen voltajes en los devanados estáticos del estator dando lugar acorrientes de armadura que producen un campo magnético giratorio en el estator. En estado

estable, este campo magnético gira a la misma velocidad del rotor y se le llama velocidad

síncrona 0mω . La interacción de ambos campos magnéticos giratorios da lugar al par eléctrico

eT .

Turbina Generador

eT mT

Energia

Electrica

Energia

ecanica

´

´

´

´

Rmω


40/245

17

2.2.1.1 Ejes de referencia

Como se ilustra en la Figura 2.2, al tener un conjunto de devanados estáticos representado por

las fases a, b y c, y otros en el rotor, que se desplazan con respecto a los primeros en forma

angular, es pertinentemente describir las diversas referencias para medir dicho

desplazamiento.

Figura 2.2 Diagrama esquemático de los devanados de un generador.

La Figura 2.3 muestra los ángulos considerados en un instante de tiempo cualquiera.

Figura 2.3 Ángulos y referencias para la máquina síncrona.

eje A

eje d

eje qeje C

eje B

a

b′

c

a′

b

c′

d k

F

F ′

d k ′

θ

mδ mα

mθ eje A

eje d

eje de Referencia Bus

eje q


41/245

18

0 0m m t θ ω θ = +

0 0m m t α ω α = +

2m m mπ

θ δ α + = +

El eje de la fase de armadura a es considerado como el eje de referencia estacionario. El

movimiento angular del rotor, caracterizado por el ángulo mecánico mθ , es medido con

respecto al eje de referencia estacionario del estator. Consecuentemente, mθ se incrementa

continuamente con el tiempo y a la velocidad de sincronismo, tal que puede ser definidocomo:

( 2.1)

donde mθ es el ángulo instantáneo entre los ejes d y A . 0θ es el valor inicial de mθ .

De igual manera, es conveniente definir un eje de referencia bus girando a la velocidad

síncrona 0m t ω . El movimiento angular de este eje con respecto al eje estacionario es definido

por la ecuación:

( 2.2)

donde mα es el ángulo instantáneo del eje de referencia bus con respecto al eje A . 0α es la

condición inicial dem

α .

Debido a que, durante procesos transitorios, el ángulo del rotor mθ no se incrementa

uniformemente con respecto al eje estacionario conforme transcurre el tiempo, es conveniente

expresar la posición angular del rotor con respecto al eje de referencia que gira a la velocidad

síncrona; es decir, la aceleración o desaceleración del rotor al ocurrir un evento transitorio.

Con base a la Figura 2.3, la relación entre ambas posiciones es dada por:

( 2.3)

Donde mδ es el desplazamiento angular del rotor, en radianes mecánicos, con respecto al eje

de referencia bus, girando a velocidad síncrona. Como se observa en la Figura 2.3, este ángulo


42/245

19

0 0

2

m

π θ δ α = + −

0 0 2m m mt

π θ ω δ α = + + −

0m m

m

d d

dt dt

θ δ

ω = +

2 2

2 2m md d

dt dt

θ δ =

del rotor se mide entre el eje de cuadratura de la máquina y el eje de referencia de Bus.

Substituyendo la ecuación ( 2.2) en ( 2.3) se obtiene:

( 2.4)

de tal manera que ( 2.1) se convierte en:

( 2.5)

Al derivar la ecuación ( 2.5) con respecto al tiempo se obtiene:

( 2.6)

donde md

dt

θ es la velocidad angular del rotor con respecto al eje estacionario A y m

d

dt

δ es la

velocidad angular del rotor con respecto al eje de referencia Bus. Es claro que md

dt

δ será

diferente de cero sólo en eventos transitorios; es decir, esta cantidad o término representa la

desviación de la velocidad del rotor con respecto a la velocidad síncrona. Por lo tanto, en

estado estable la velocidad del rotor es igual a la velocidad de sincronismo. La aceleración del

rotor se obtiene al derivar la ecuación ( 2.6) con respecto al tiempo, es decir:

( 2.7)

2.2.1.2 Ecuación de oscilación

De acuerdo a lo descrito en la sección anterior, cuando el sistema se encuentra operando en

estado estable, los generadores conectados en el sistema se encuentran girando a la velocidad

de sincronismo; esto es, el rotor gira a la misma velocidad que el campo del estator. Sin

embargo, cuando ocurre algún disturbio la velocidad del rotor es diferente a la velocidad


43/245

20

2 2

2 2m m

a

d d T J J

dt dt

θ δ = =

a m e d T T T T = − −

2 2

2 2m m

Rm Rm a m ge d

d d J J P P P P

dt dt

θ δ ω ω = = = − −

síncrona, produciéndose un cambio en la diferencia angular en los campos magnéticos del

rotor y estator. Lo anterior origina variaciones entre los pares mecánicos y eléctricos,

originándose oscilaciones de potencia eléctrica en el sistema. La ecuación que representa esta

dinámica del rotor, con respecto a la velocidad de sincronismo, es llamada ecuación de

oscilación. Esta ecuación es esencialmente la segunda ecuación de Newton, la cual establece

que el par de aceleración del rotor es el producto escalar de su momento de inercia y su

aceleración angular, es decir:

( 2.8)

Donde J es el momento de inercia de la masa del rotor en Kg-m2.

De manera análoga, el par de aceleración puede ser expresado como la diferencia entre el par

mecánico y el par eléctrico, así como el par de amortiguamiento d T debido al acoplamiento

entre la turbina y el rotor del generador. Entonces, una expresión alternativa para el par de

aceleración aT es:

( 2.9)

donde los pares actuando sobre el rotor están expresados en N-m.

Debido a que la potencia es igual al producto de la velocidad angular del rotor y el par, las

ecuaciones ( 2.8) y ( 2.9) pueden ser expresadas como:

( 2.10)

donde m P , ge P y d P son las potencias mecánica de entrada, eléctrica de salida y de

amortiguamiento, respectivamente, en Watts. a P es la potencia de aceleración y Rm J ω es el

momento angular del rotor en Joules-segundo por radianes mecánicos. Cuando el rotor está


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21

2 2

2 2m m

a m ge d

d d M P P P P

dt dt

θ δ = = = − −

20 0

(3 ) (3 ) (3 )

1 1

2 2 sm m

k

B B B

J M W

H S S S φ φ φ

ω ω

= = =

2

(3 ) 20

2MWm B a m ge d

m

d H S P P P P

dt φ

δ

ω = = − −

2

20 (3 ) (3 )

2 pum ge d m a

m B B

P P P d P H

dt S S φ φ

δ

ω

− −= =

girando a velocidad síncrona 0mω , el momento angular es denominado constante de inercia

.

En el sentido estricto de la palabra, no es constante debido a que depende de la velocidad

angular Rmω , la cual no es igual a la velocidad síncrona 0mω bajo condiciones de perturbación.

Sin embargo, en la práctica Rmω no difiere significativamente de 0mω hasta que la estabilidad

se pierde. Por lo tanto, la ecuación ( 2.10) puede ser escrita como:

( 2.11)

En estudios dinámicos, es factible encontrar como dato a la constante de inercia, H , la cual

relaciona la energía cinética almacenada en el generador con su capacidad nominal de

potencia. Matemáticamente se tiene:

( 2.12)

De tal manera, solucionando ( 2.12) para la constante de inercia y sustituyendo en ( 2.11) se

obtiene:

( 2.13)

Finalmente, dividiendo la ecuación ( 2.13) sobre (3 ) BS φ :

( 2.14)

De la ecuación anterior, se puede hacer las siguientes observaciones:

• mδ es expresado en radianes mecánicos en el numerador mientras que 0mω es

expresado en radianes mecánicos por segundo en el denominador. Esto implica que la

ecuación ( 2.14) es independiente de la manera en que esté definido el ángulo; es decir,


45/245

22

2

20

2 pua m ge d

H d P P P P

dt

δ

ω = = − −

0

0

2 a m ge d

R

H d P P P P dt

d

dt

ω ω

δ ω ω ω

= = − −

= − =

mδ y 0mω tienen unidades consistentes las cuales pueden ser expresadas en ángulos

mecánicos o eléctricos.

• La constante H tiene unidades en segundos, como es patente en la ecuación ( 2.12).

En este casok

W tiene unidades en megajoule por segundo, la cual es normalizada por

los MVA nominales de la máquina. Asimismo, la variable t está en segundos.

• Los términos de las potencias están normalizados sobre la misma base de H .

En base a las tres observaciones anteriores, la ecuación ( 2.14) puede expresarse como:

( 2.15)

donde δ denota el ángulo del rotor en radianes eléctricos y 0ω es la velocidad síncrona en

radianes eléctricos por segundo.

La ecuación ( 2.15) es llamada ecuación de oscilación de la máquina síncrona, y representa la

dinámica rotacional de la misma. Esta ecuación diferencial de segundo orden puede ser escrita

como dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

( 2.16)

donde ω es la velocidad relativa de la velocidad angular del rotor con respecto a la velocidad

síncrona.

Para propósitos de análisis, es común asumir que la potencia mecánica m P es constante. Las

potencias eléctrica y de amortiguamiento son obtenidas de la siguiente manera.


46/245

23

0( )d m ad d

P D Ddt dt

δ δ ω = + +

d

d P D

dt

δ =

2

1

1

( cos( ) sen( ))

( sen( ) cos( ))

i

n

gei i ii i j ij i j ij i j

j j i

m

i k ik i k ik i k

k k i

L

P V G VV G B

VV G B

P

δ δ δ δ

δ θ δ θ

=≠

=≠

= + − + −

+ − − −

+

∑

∑

La ecuación que describe a la potencia d P se basa en la suposición de que el amortiguamiento

está compuesto de dos partes: el amortiguamiento mecánico y el asíncrono. El primero se

considera proporcional a la velocidad del rotor, y el segundo se considera proporcional a la

desviación de la velocidad con respecto a la de sincronismo. Con base a estas consideraciones,

la ecuación de la potencia de amortiguamiento es:

( 2.17)

El término 0m D ω corresponde a las pérdidas de potencia por fricción. Es común restar este

término

Analisis de Inestabilidad en Sistemas Eléctricos

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