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PROFESOR DANNY PERICH C.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS RESUELTOS
GUIAS DE EJERCICIOS
VIDEOS DE CONTENIDOS
VIDEOS DE EJERCICIOS
ALTERNATIVAS CORRECTAS
PRUEBA DE TRANSICIÓN
MATEMÁTICA 2021
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 2
Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 3
Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURALES (lN)
Corresponde al conjunto lN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}
Números Pares: Corresponde al conjunto {2, 4, 6, 8, 10...} y
su representación algebraica es 2n, siendo n número natural.
Números Impares: Corresponde al conjunto {1, 3, 5, 7, 9...}
y su representación algebraica es 2n+1 o 2n-1, con n natural.
Números Primos: Números que tienen sólo dos divisores distintos.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…
Números Compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son
primos.
Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,
22,…
Orden de Operación: Al efectuar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el
siguiente orden:
1º) Resolver los paréntesis.
2º) Realizar las potencias.
3º) Realizar multiplicaciones y/o divisiones. Cuando aparecen multiplicaciones y
divisiones, a la vez, se debe operar de izquierda a derecha.
4º) Realizar adiciones y/o sustracciones.
Ejercicio viral en redes sociales: 6 : 2(1 + 2 ) = ? (Respuesta: 9)
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 4
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NÚMEROS CARDINALES (lN0)
Corresponde al conjunto lN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
Números Dígitos: D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
División por 0: la división por cero, en que el divisor
corresponde a cero, NO ESTÁ DEFINIDA.
NÚMEROS ENTEROS (Z)
Corresponde al conjunto Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2…}
Divisibilidad: Un número entero es divisor de otro entero,
cuando al dividirlos el resultado es un número entero y el resto
de la división es cero.
Algunas reglas de la divisibilidad: Un número es divisible
Por 2: Cuando termina en cifra par.
Por 3: Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de tres.
Por 4: Cuando las dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4.
Por 5: Cuando termina en 0 o 5.
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m): Es el menor entero positivo que es múltiplo
común de dos o más enteros.
Ejemplo: La señora Clara tiene que tomar tres medicamentos, el primero cada 6 horas,
el segundo cada 8 horas y el tercero cada 12 horas. Si la primera toma de los tres
medicamentos la hace al mismo tiempo, ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que
vuelva a tomar los tres medicamentos juntos?
Máximo Común Divisor (M.C.D): Es el mayor entero positivo que es divisor común
de dos o más enteros.
Ejemplo: Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en
pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son todos aquellos números de la
forma a
b con a (numerador) y b (denominador) números
enteros y b ≠ 0.
En una fracción si a es menor que b la fracción es propia.
Toda fracción propia se encuentra entre 0 y 1.
Si a es mayor que b la fracción es impropia. Toda fracción
impropia es mayor o igual a 1.
Relación de orden en Q
Un método es a través del producto cruzado de las fracciones comparadas.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 5
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Ejercicio. El orden de los números a =3
2, b =
6
5 y c =
8
3de menor a mayor es
A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a
NÚMEROS DECIMALES
Se obtienen de la división entre el numerador y el denominador de una fracción. Su
desarrollo decimal, puede ser finito (exacto), infinito periódico o infinito semiperiódico.
Operatoria con números decimales
Ejercicio.
Al resolver (0,012 + 0,5 – 0,01) ∙ (0,005 : 0,05) se obtiene
A) 0,0502 B) 0,502 C) 5,02
D) 50,2 E) 502
Transformación de decimal a fracción.
Decimal exacto.
0,287 = 1,72 = 4,3 =
Decimal infinito periódico.
0, 7̅ = 0, 53̅̅̅̅ =
0, 103̅̅ ̅̅ ̅ = 2, 7̅ =
Decimal infinito semiperiódico:
0,52̅ = 3,17̅ = 0,372̅̅̅̅ =
Ejercicios Adicionales.
1. =
−
+
4
11
2
3
1
A) 2
3 B)
3
1 C)
6
11 D) 1 E) 3
2. El orden de los números a =2
5, b =
5
9 y c =
3
7 de menor a mayor es
A) a < b < c B) b < c < a C) a < c < b D) c < a < b E) b < c < a
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 6
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3. Sea n un número entero positivo, ¿cuál de las afirmaciones siguientes es (son)
siempre verdadera(s)?
I) n+2
n−1 es racional. II)
n+2
n+1 es una fracción impropia. III)
n+2
n+1 = 2
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III
4. Si A = 0,69̅ ; B = 0,694̅ y C =0,692, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
A) B < A < C B) B < C < A C) C < B < A
D) A < B < C E) A < C < B
5. Al resolver 0, 2̅ + 0,12̅ se obtiene
A) 0, 32̅̅̅̅ B) 32
90 C)
31
90 D) 0,32̅ E)
32
100
GUIA A - 01
1. El resultado al efectuar 5⋅
5,0
05,0 es
A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500
2. El orden de los números a =3
2, b =
6
5 y c =
8
3 de menor a mayor es
A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a
3. Si r y s son dos números impares consecutivos tales que r < s, entonces r − s es
A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2
4.
25,08
3
1
75,08
3
1
−
+
−
=
A) 3
15 B)
3
16 C)
3
16− D) 4 E)
3
8
5. Si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre los
números 30, 54, 18 y 12; se obtiene
A) 5 B) 15 C) 30 D) 45 E) 90
6. Al dividir un número por 2
3, se obtuvo 12 como cociente. ¿Cuál es el número?
A) 8 B) 9 C) 18 D) 30 E) 36
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 7
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7. Cuatro niños compran D dulces cada uno. Si llegan 3 niños más, sin dulces, y el total
se reparte entre todos en partes iguales, cada niño recibe
A) D
7 B)
4D
7 C) 4D – 3 D) 4 – 3D E)
4D−3
7
8. Si p = 6,0 , ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
I. 3p
2 es un número decimal periódico infinito
II. p + 1 es un decimal periódico infinito
III. p +1
p es un número decimal finito
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III
9. Un hotel de cuatro pisos tiene 48 habitaciones. En el segundo piso hay una
habitación más que en el primero y en el tercero hay una habitación más que en el
cuarto. Si en el cuarto piso hay 13 habitaciones, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) FALSA(S)?
I. Hay tantas habitaciones en el segundo piso como en el tercero.
II. Hay tantas habitaciones en el cuarto piso como en el primero.
III. En el primer piso hay 10 habitaciones.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
10. Una persona viaja desde La Serena a Los Vilos, ciudades que se encuentran a una
distancia de 210 km. Si en los tres primeros días recorre 3
7,
2
21 y
7
30 de esa
distancia, respectivamente, ¿a cuántos kilómetros de Los Vilos se encuentra al
término del tercer día de iniciado el viaje?
A) A 49 km B) A 51 km C) A 100 km D) A 110 km E) A 159 km
11. =
−
+
4
11
2
3
1
A) 2
3 B)
3
1 C)
6
11 D) 1 E) 3
12. Se puede determinar el numerador de cierta fracción, si:
(1) El valor de la fracción es 0,8.
(2) El denominador de la fracción es 15.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 8
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13. Si a = 0,017; b = 0, 017 y c = 0,017, la relación correcta es
A) a < b < c B) b > c > a C) c < a < b D) a < b = c E) a = b = c
14. Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, el cual contiene 3
12 litros, ¿cuántos
litros faltan para llenarlo completamente?
A) 3
12 B)
3
22 C)
2
32 D)
3
13 E)
3
21
15. Si n es un número entero positivo, entonces la expresión 2n+1
2n es siempre
A) un número impar B) un número par C) una fracción impropia.
D) una fracción propia. E) 1
16. En la recta numérica de la figura se ubican los puntos a, b, c y d. ¿En cuál de las
siguientes operaciones el resultado es siempre menor que 1?
A) a b B) d + a C) a c
D) d – c E) c + b
17. =
++
+
11
11
11
2
A) 6
5 B)
3
10 C) 1 D)
5
6 E)
10
3
18. En un viaje Pedro se traslada 800 km. La cuarta parte del viaje lo realiza en bus.
Las tres quintas partes del resto lo hace en avión y lo que queda en tren. ¿Cuántos
kilómetros anduvo Pedro en tren?
A) 120 km B) 240 km C) 320 km D) 360 km E) 480 km
19. Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las
unidades es n, entonces a + 1 =
A) m+n+1 B) 10m+n+1 C) 100m+n+1 D) 100m+10n+1 E) 10(m+1)+n
20. Si a y b son números enteros positivos tales que a > b, entonces el orden
creciente de las fracciones a
b,
b
a,
−a
b y
−b
a es
A) −a
b,
−b
a,
b
a,
a
b B)
−a
b,
−b
a,
a
b,
b
a C)
a
b,
b
a,
−b
a,−a
b
D) −b
a,
−a
b,
b
a,
a
b E)
−b
a,
−a
b,
a
b,
b
a
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 9
Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl
21. Se define a # b = -2a + 2b, para a y b números racionales, el valor de 2
1 # (-
2
1)
es
A) 0 B) 2 C) -1 D) 1 E) -2
22. Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero positivo
múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número divisor de 12. ¿Cuál de las
siguientes expresiones tiene por resultado siempre un número racional NO
entero?
A) p
s B)
r
q C)
q
p D)
s
r E)
s
q
23. Se define baba b += y a # b = 2a - 4b, para a y b números racionales, el valor
de (2
1 2) # (-
2
1) es
A) 2
13 B)
2
5 C) 1 D)
2
11 E) Otro valor
24. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un racional?
A) -1 B) 0 C) 0,2 D) E) √−83
25. Si M = 1,4 + 4,05; P = 5,6̅ − 0,21̅ y Q = 3,21̅̅̅̅ + 2,24̅̅̅̅ , ¿cuál de las siguientes
relaciones es verdadera?
A) P > Q > M B) M = Q > P C) Q > P > M
D) P > M > Q E) Q > M > P
26. El 20% del 333
1% de
5
3 es
A) 25
9 B)
5
6 C)
25
1 D)
5
12 E) Otro valor
27. Un bidón está con jugo hasta la tercera parte de su capacidad. Si se saca 4 litros,
entonces queda sólo hasta la quinta parte de su capacidad, ¿cuál es la capacidad
del bidón?
A) 5,625 litros B) 8,571 litros C) 16,5 litros
D) 23,8 litros E) 30,00 litros
28. El mayor de los números fraccionarios 4
3,
2
1,
9
1 es
A) 9
1 B)5 C)
2
1 D) 4 E)
4
3
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 10
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29. El valor de 4,13
2− es
A) 2, 2̅ B) −0, 7̅ C) 2, 1̅ D) −0, 8̅
30. Si a = 2
1 y b =
3
1, entonces
ba
1
+=
A) B) 5 C) 6
1 D) 6 E)
5
6
31. Dadas las fracciones a = 4
3, b =
3
2 y c =
6
4. ¿Qué afirmación es falsa?
A) a > b B) b = c C) c > a D) b < a E) a > c
32. Si m = 2
1, n =
4
1 y p =
6
1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) m > n > p B) m < n < p C) m < n = p
D) p > m > n E) n > p > m
33. Dados lo racionales a = -0,2; b = -0,01 y c = -0,1; el orden creciente de ellos
será:
A) a, b, c B) a, c, b C) b, a, c D) b, c, a E) c, a, b
34. Si
=99
26
99
25x/RxM , entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes
es(son) verdadera(s)?
I) 520, M II) 0,252 M III) 620, M
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III
35. ¿Qué afirmación es correcta?
A) 0,099 > 0,2 B) –0,28 > -0,35 C) 0,2·0,2 = 2·0,2
D) 0,4 : 0,2 = 0,2 E) –0,1 – (-0,01) = -0,9
36. De tres números racionales: 750 milésimas, 50 centésimas y 4 décimas, al mayor
de ellos réstele el menor y el resultado divídalo por el número racional restante;
simplifique el resultado si es posible.
A) 4
1 B)
32
5 C)
16
1 D)
5
3 E)
10
7
2
1
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 11
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37. Un tambor contiene 30 litros que equivalen a 1
3 de su capacidad. Entonces, para
llegar, a los 7
10 de su capacidad hay que agregar
A) 27 litros B) 9 litros C) 33 litros D) 60 litros E) 63 litros
38. A es el funcionario más antiguo en una oficina. En la misma oficina C es más
antiguo que B y menos antiguo que D. De acuerdo con esta información es FALSO
que:
A) A es más antiguo que B B) D es más antiguo que C
C) C es más antiguo que B
D) A es más antiguo que C E) B es más antiguo que D
39. En un curso de 100 alumnos, 12 aprobaron sólo Matemáticas, 13 aprobaron sólo
Química, 60 aprobaron Matemáticas y Química y el resto reprobó ambas
asignaturas. ¿Cuántos alumnos, en total, aprobaron Matemáticas?
A) 72 B) 60 C) 48 D) 45 E) 12
40. Entre 100 personas se reparte un cierto número de fichas azules, blancas y rojas.
45 personas reciben fichas rojas, otras 45 reciben fichas blancas, 60 personas
reciben fichas azules, 15 reciben tanto rojas como blancas, 25 reciben blancas y
azules, 20 reciben rojas y azules y 5 reciben de los tres colores. ¿Cuántas
personas no reciben fichas?
A) 5 B) 8 C) 15 D) 30 E) 50
41. El agua que hay en un estanque en estos momentos ocupa la mitad de su
capacidad. Si a este estanque le agregasen 120 litros más de agua, entonces ésta
ocuparía 5
8 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del estanque?
A) 180 litros B) 195 litros C) 375 litros D) 480 litros E) 960 litros
42. Un comerciante vende la mitad de una pieza de género y luego la mitad del resto,
sobrándole 4 m. ¿Cuántos metros medía las 3
4 partes de la pieza de género antes
de comenzar a venderla?
A) 8 m. B) 12 m. C) 16 m. D) 20 m. E) 24 m.
43. Una sala de cine rotativo con capacidad para 400 espectadores está completo. Si
terminada la función se retiran 3
10 de los espectadores y entran a la sala
3
20 de la
capacidad, entonces ¿cuántas personas faltan para que la sala esté nuevamente
completa?
A) 60 B) 120 C) 280 D) 317 E) 340
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 12
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VIDEOS GUIA A – 01
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12 Ejercicios 21-22-23-27
Ejercicios 34-36-40-42
Ejercicios 25-26-37-41
APROXIMACIONES Y PORCENTAJES
Truncamiento. Para efectuar esta aproximación, se eliminan,
sin más, las cifras a partir de un orden considerado.
Ejercicio. El resultado de (1
3+
1
6+
2
7) truncado a la décima
es
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,8 E) 0,7
Redondeo. En esta aproximación se eliminan las cifras a partir
de un orden considerado, pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es
5 o más de 5 a la última cifra decimal que se deja se le añade uno. Si la primera cifra
eliminada es menor que 5 no se añade uno.
Ejercicio. Al aproximar por redondeo el número 4,2451 a las centésimas y a las
milésimas resulta respectivamente
A) 4,24 y 4,245 B) 4,25 y 4,245 C) 4,24 y 4,246
D) 4,25 y 4,246 E) 4,25 y 4,250
Aproximación por defecto: Una aproximación es por defecto si la aproximación es
menor que el número inicial. Por ejemplo, el truncamiento es siempre una
aproximación por defecto.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 13
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Ejercicio. Al aproximar por defecto a la milésima el número el número 18,56̅̅ ̅, resulta
A) 18,560 B) 18,565 C) 18,566 D) 18,570 E) 18,565̅̅ ̅̅ ̅
Aproximación por exceso: Una aproximación es por exceso si la aproximación es
mayor que el número inicial.
Ejercicio. Al aproximar por exceso a la milésima el número el número 18,56̅̅ ̅, resulta
A) 18,560 B) 18,565 C) 18,566 D) 18,570 E) 18,56̅
Cifras significativas.
Todas las cifras de un número son significativas, a excepción de los ceros a la izquierda
de él.
Ejemplo: 9615 tiene cuatro cifras significativas, 105 tiene tres cifras significativas;
8,00 tiene tres cifras significativas, 7,0 · 102 tiene dos cifras significativas.
El número 0,005 tiene solamente una cifra significativa
PORCENTAJE
Expresión matemática que representa una fracción de
denominador 100. Así a% es a
100.
Tabla de equivalencias: Equivalencias entre fracciones,
decimales y porcentajes.
Fracción Decimal Porcentaje Fracción Decimal Porcentaje
1
100 0,01 1%
1
4 0,25 25%
1
10 0,1 10%
1
3 0, 3̅ 33
1
3 %
1
8 0,125 12,5%
1
2 0,5 50%
1
5 0,2 20%
3
4 0,75 75%
1. Expresa en fracción:
a) 60% b) 1
2%
2. Expresa en porcentaje:
a) 0,12 b) 3 c) 3
10 d) 0,5 ̅
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 14
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3. Calcula el 12% de descuento por un artículo que vale $5.400.
4. Determina qué porcentaje es 35 alumnos de un colegio de 700 alumnos.
5. Calcula cuál es el total de una deuda, sabiendo que el 8% de ella es $56.000
Interés simple: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un
período n, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de
tiempo es fijo. La cantidad final Cf después de cumplido el período n, está dada por:
)in1(CCF +=
Ejercicio. Un capital de $ 300.000 se deposita en un banco que ofrece un 5% de
interés mensual. Al cabo de 3 meses, en un régimen de interés simple. ¿Cuánto es el
nuevo capital?
A) $ 301.500 B) $ 304.523 C) $ 345.000 D) $ 450.000 E) $ 750.000
Interés compuesto: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en
un período n, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento obtenido en
cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una
nueva cantidad. La cantidad final Cf después de cumplido el período n, está dad por:
nF iCC += 1
Ejercicio. Mario invierte $ 1.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto
es el capital final de Mario, luego de 3 años?
A) $ 331.000 B) $ 1.030.301 C) $ 1.100.000
D) $ 1.300.000 E) $ 1.331.000
EJERCICIOS
1. El 5% de 1
5 es
A) 5 B) 1 C) 1
5 D) 100 E)
1
100
2. El 15% del 25% de 160 es
A) 1,6 B) 2,5 C) 4 D) 6 E) 8
3. Si al 20% de cierta cantidad se le suma 30, se obtiene el 40% de ella. La cantidad
es
A) 150 B) 75,5 C) 30 D) 28
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 15
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4. Pedro deposita $ 1.800.000 en el banco Sandy Point a un interés simple mensual de
un 0,7%. ¿Qué ganancia obtendrá en un periodo de 5 meses?
A) $ 1.863.000 B) $ 186.300 C) $ 126.000 D) $ 630.000 E) $ 63.000
5. Paulina deposita $ 5.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto
semestral del 2,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que dispondrá
Paulina, al cabo de 24 meses?
A) $ 5.000.000 (1,025)4 B) $ 5.000.000 (1,25)4
C) $ 5.000.000 (0,025)4
D) $ 5.000.000 (1,025)24 E) $ 5.000.000 (1,25)24
GUIA A - 02
1. Al aproximar a la centésima por exceso el número 4,372 resulta
A) 4,37 B) 4,36 C) 4,38 D) 4,30 E) 4,373
2. El número de cifras significativas de 0,001030 es
A) 7 B) 6 C) 4 D) 3 E) 2
3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la
expresión decimal de 3
11?
I) El dígito de la milésima es un número par.
II) Es un número decimal periódico.
III) El número truncado al dígito de la cienmilésima es 0,27273.
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
4. El número 439,915587 redondeado a la centésima es
A) 43 B) 44 C) 439,91 D) 439,92 E) 439,9156
5. ¿Cuánto se obtiene al aproximar por defecto a la centésima el número 5,2359?
A) 5,23 B) 5,24 C) 5,25 D) 5,235 E) 5,236
6. En una calculadora, cada vez que se suman números decimales, el resultado final
que muestra el visor está truncado a la centésima. Si se efectúa la suma 0,1666 +
0,164 + 0,167, ¿cuál de los siguientes valores será el resultado que mostrará el
visor de esta calculadora?
A) 0,49 B) 0,497 C) 0,50 D) 0,48 E) 0,498
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 16
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7. Sea P = 4,24264068 una aproximación de √18 . Si L es el redondeo a la milésima de
P y M es el redondeo a la diez milésima de P, ¿cuál de las siguientes relaciones es
verdadera?
A) L - M < 0 B) 3 < (L - M)104 < 5 C) M = L + 10-4
D) (L - M)103 = 3 E) Ninguna de las anteriores
8. Si n = 2,04 y p = 2,03, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) n es la aproximación por redondeo a la milésima de 2,03851.
B) n es la aproximación por redondeo a la centésima de 2,03851.
C) p es la aproximación por truncamiento a la milésima de 2,03851.
D) p es la aproximación por redondeo a la centésima de 2,03851.
E) n es la aproximación por truncamiento a la centésima de 2,03851.
9. ¿De qué número 48 es el 20%?
A) 480 B) 240 C) 120 D) 96 E) Otro valor
10. ¿Qué porcentaje es 1
2 de
1
4?
A) 50% B) 25% C) 33,6% D) 20% E) 200%
11. ¿Qué tanto por ciento de 72 es 3
5 de 80?
A) 150% B) 37,5% C) 40% D) 50% E) 66,6̅%
12. El 20% del 10% del 60% de 1.000 es:
A) 120 B) 12 C) 240 D) 60 E) 30
13. ¿Cuál es el 331
3 % de 33
1
3?
A) 1 B) 331
3 C) 11
1
9 D) 11
1
3 E) 11
14. El 15% del 25% de 160 es
A) 1,6 B) 2,5 C) 4 D) 6 E) 8
15. El 331
3% del 66
2
3 % del cuádruplo de 90 es
A) 9 B) 8 C) 91
3 D) 9
2
3 E) 80
16. Si al 20% de cierta cantidad se le suma 30, se obtiene el 40% de ella. La cantidad
es
A) 150 B) 75,5 C) 30 D) 28
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 17
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17. La tercera parte del 20% de la mitad del 25% de 120 es
A) 30 B) 15 C) 3 D) 1 E) 1
3
18. ¿En qué porcentaje debe aumentar el numerador de la fracción 5
8, para que esta
sea igual a 0,75?
A) 10% B) 20% C) 25% D) 30% E) 40%
19. El 60% de (5−10x2) es
A) 3x2 −3 B) 6−3x2 C) 6x3 −3 D) 5x2 −1 E) 3−6x2
20. El 80% de 800 milésimos es
A) 6.400 B) 640 C) 64 D) 0,64 E) 0,064
21. La diferencia entre el 75% de z y el 12,5 % de z equivale a
A) 52,5% de z B) 62,5% de z C) 63% de z
D) 67,5% de z E) 85,5% de z
22. El 20% de 60xy más el 55% de 60xy es
A) 35xy B) 75xy C) 45xy D) 55xy E) 78xy
23. A un estudiante de 4° medio le ofrecen 3 alternativas A, B y C de preuniversitario.
Él tiene un 25% de posibilidades de elegir el plan A, un tercio de elegir el B y lo
restante de optar por el C. ¿cuál es la posibilidad, aproximada, de elegir la
alternativa C?
A) 30% B) 38% C) 40% D) 42% E) 44%
24. Daniela desea vender un artículo A con un 15% de ganancia. ¿Cuál será el precio
de venta, si el costo fue de $210.000?
A) $221.500 B) $231.500 C) $241.500 D) $251.500 E) $341.500
25. Andrea compró un artículo en una oferta. Si su precio sin rebaja era $380.000 y se
le hizo un 20% de descuento, ¿cuánto pagó por este artículo?
A) $314.000 B) $308.800 C) $308.500 D) $304.500 E) $304.000
26. Mario invierte $ 1.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto es el
capital final de Mario, luego de 3 años?
A) $ 331.000 B) $ 1.030.301 C) $ 1.100.000
D) $ 1.300.000 E) $ 1.331.000
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 18
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27. Paulina deposita $ 5.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto
semestral del 2,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que dispondrá
Paulina, al cabo de 24 meses?
A) $ 5.000.000 (1,025)4 B) $ 5.000.000 (1,25)4
C) $ 5.000.000
(0,025)4
D) $ 5.000.000 (1,025)24 E) $ 5.000.000 (1,25)24
28. Según el censo del año 1992 la ciudad de Quillota tenía aproximadamente 200.000
habitantes. Si en los siguientes 10 años creció a una tasa del 2% anual, para el
censo del año 2002, los habitantes de Quillota debieron ser aproximadamente
A) 200.000 (1,2)10 habitantes B) 200.000 (0,2)10
habitantes
C) 200.000 (1,02)10 habitantes D) 200.000 (0,02)10
habitantes
E) 200.000 10 · 1,02 habitantes
29. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 15% anual de interés
simple, para obtener $2.400.000 de utilidad en 4 años?
A) $400.000 B) $460.000 C) $4.000.000
D) $4.500.000 E) $6.000.00
30. ¿Qué interés simple anual se aplicó a un capital de $8.000.000 depositado durante
8 años, si se obtiene una ganancia de $80.000?
A) 125% B) 12,5% C) 1,25% D) 0,125% E) 0,00125%
31. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 6% anual de interés
simple, para obtener $6.000.000 de utilidades en 2 años?
A) $ 10.000.000 B) $ 36.000.000 C) $ 50.000.000
D) $ 60.000.000 E) $ 72.000.000
32. Al depositar $C durante dos años a un régimen de interés compuesto con una tasa
de un 5% anual, se obtuvo una ganancia de $512.500. ¿Cuál fue el capital final
obtenido?
A) $5.515.500 B) $5.515.000 C) $5.513.500
d) $5.000.000 E) $5.512.500
33. ¿Cuál es el valor de un libro?
(1) El vendedor gana el 18% del valor del libro.
(2) El 10% del valor del libro es $1.800
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 19
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34. ¿Qué porcentaje de x es y?
(1) x= 3/4y
(2) y = 4/3x
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.
VIDEOS GUIA A – 02
Ejercicios 1 a 8
Ejercicios 9 a 16
Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 22
Ejercicios 23 a 25
Ejercicios 26 a 29
POTENCIAS Y RAÍCES
POTENCIAS
Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada
por la base (el factor que se repite) y el exponente (veces
que se repite el factor).
Signos de una potencia
(+)par = + (+)impar = + (-)par = + (-)impar = -
Multiplicación y división de potencias de igual base
Para multiplicar (dividir) potencias de igual base, se suman (restan) los exponentes y
se conserva la base.
an = a • a • a • ...
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 20
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Potencias de exponente cero
Toda potencia de exponente cero es igual a 1, con excepción de 00, la cual no está
definida.
a0 = 1
Potencia de exponente negativo
Se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.
Potencia elevada a potencia
Se conserva la base y se multiplican los exponentes.
Multiplicación (División) de potencias de igual
exponente
Se multiplican (dividen) las bases y se conserva el
exponente.
Ejercicios.
1. =−+ −−− 432 224
A) 8
1 B)
4
1 C)
6
1 D) -8 E) -6
2. Si P33 xx =+ − , entonces xx 99 −+ es igual a:
A) P2 B) P2 + 2 C) P2 – 2 D) P2 – 1 E) 3P
NÚMEROS IRRACIONALES (Q*): Son aquellos números
decimales infinitos no periódicos. Los números =
3,141592…, √2 = 1,414213… son ejemplos de números
irracionales.
RAÍCES: Potencias de exponente fraccionario.
Suma y resta de raíces. Solamente pueden sumarse (o
restarse) dos o más raíces cuando son raíces semejantes; es
decir, si son raíces con el mismo índice e igual cantidad subradical.
Por ejemplo 3√2 + 5√2.
Multiplicación de raíces del mismo índice. Se multiplican las cantidades
subradicales y se conserva el índice
√a ∙ √b = √ab
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 21
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Ejercicio. = ++ 3 1x3 2x2 aa
A) 3x3a + B) 6 3x3a + C) x3a D) 3xa + E) 1xa +
Multiplicación de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y
luego se multiplican. Otra posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz
en potencia y resolver de este modo.
Ejercicio. Si a, b, n y p son números reales positivos, entonces √a2m ∙ √a3n
es igual a
A) √a2n+3mmn B) 𝑎
𝑚𝑛
5 C) √a5mn D) √𝑎6mn
E) a5
División de raíces del mismo índice. Se dividen las
cantidades subradicales y se conserva el índice de la raíz.
√an
√bn = √
a
b
n
Ejercicios.
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) Si P y Q son números irracionales, entonces P Q es un número
irracional.
II) Si P y Q son números irracionales, entonces (P + Q) es un número
irracional.
III) Si P es un número irracional y Q es un número entero positivo, entonces P
Q es un número irracional.
A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguna de ellas.
2. Al simplificar la expresión 7
1472 + resulta:
A) 32 B) 142 + C) 22 + D) 272 + E) 4
División de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se
dividen. Otra posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz en potencia y
dividir de ese modo.
Raíz de una raíz. Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las
raíces y se conserva la cantidad subradical.
√ √amn
= √anm
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 22
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Ejercicio. 3 2
2=
A) 3 4 B) 3 2 C) 6 8 D) 6 2 E) 1
Simplificación de una raíz. Al simplificar una raíz debe considerarse si n es par o
impar.
Si n es par, √𝑥𝑛𝑛= |𝑥|
Si n es impar, √𝑥𝑛𝑛= 𝑥
Ejercicio. Si x es un número real mayor que 1, entonces (√𝑥 + 1 − √𝑥 − 1)2 es igual
a
A) 0 B) 2 C) 2x - √𝑥2 − 1 D) 2x - 2√𝑥2 − 1 E) 2x
Racionalización. Consiste en eliminar las raíces que se
encuentran en el denominador de una fracción. Esta se realiza,
si el denominador es un monomio, amplificando la fracción
irracional por este monomio, y se amplifica por su binomio
conjugado en caso de que el denominador sea un binomio
irracional.
En caso en que la raíz del denominador sea del tipo √𝑎𝑚𝑛 , la
fracción dada se amplifica por el irracional √𝑎𝑛−𝑚𝑛.
Ejercicio. √2
√2+√3 =
A) √6 − 2 B) √3 − 2 C) 2 − √6 D) 2 − √3 E) √3
3
GUIA A - 03
1. x465x3 cc −− = ?
A) c B) cx C) c-x D) c2 E) c1 - x
2. 1110 22 + =
A) 212 B) 222 C) 214 D) 106 E) 1023
3. ?22
2276
54
=+
+
A) 2-4 B) 2-2 C) 2-1 D) 22 E) 23
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 23
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4. El valor de 64 −− n:n es:
A) n-10 B) n-2 C) n2 D) n10 E) 3
2
n
5. ¿Cuál es el valor de 1111111111 55555 ++++ ?
A) 555 B) 115 C) 165 D) 5525 E) 125
6. Al resolver (0,125)–2
se obtiene
A) -0,25 B) 16 C) 64 D) 64
1 E)
1
16
7. ¿Cuál es el valor de 2
21
3
33−
−− −?
A) -3 B) 3
1 C) 3 D) 2
8. Si 3-x
= 0,25; entonces 92x
=
A) 36 B) 64 C) 81 D) 243 E) 256
9. La cifra de las unidades de 1063 es
A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) 2
10. El valor de ( )2
2
12
a es:
A) a B) a0 C) a2 D) a4 E) a5
11. =
−
−
32a
2
1
A) 8a6 B) 8a-5 C) 5a2
1 − D) 6a8
1 − E) 6a2
1
12. Al resolver la expresión 1x 2793 − se tiene:
A) 127 −x B) x3 C) 13 −x D) 33 −x E) 293 x
13. Si 1833 xx1 =−+ , entonces x + 1 =
A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 24
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14. Si 153 1x =+ , entonces x3 =
A) 45 B) 18 C) 12 D) 5 E) 14
15. Si n es un número natural, al desarrollar la expresión ( )22n3n 33 −− − resulta
A) )3n(232 − B) )3n(32 −− C) )3n(234 −
D) )3n(2316 − E) )3n(238 −−
16. Se puede determinar que P es un número irracional, si se sabe que:
(1) (P + 1)2 − (P − 1)2 es un número irracional.
(2) (P + 1)2 + (P − 1)2 es un número racional.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional
17. Sea r un número racional positivo. De las siguientes expresiones, ¿cuál(es)
representa(n) siempre a un número irracional?
I) √r II) 3r2 III) r√2
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III
18. El valor de 2
83250 −+ es
A) 7 B) 8 C) 28 D) 210 E) 78
19. Al racionalizar la expresión 7
5 se obtiene
A) 75 B) 2
75 C)
5
77 D)
5
72 E)
7
75
20. Sean a = √2 y b = √18. Si el resultado de (a + b) truncado a la cuarta cifra
decimal es 5,6568, entonces el resultado de (a – b) truncado a la décima es
A) 4,2 B) 2,8 C) –2,8 D) –4,2 E) –5,6
21. Sean m y n números enteros, se puede determinar que 3n2−m2 es igual a 81, si se
sabe que:
(1) n - m = 2 (2) 3n
3−m = 9
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 25
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22. (√5 + 2√6 + √5 − 2√6)2
=
A) 10√6 B) 10 + 4√6 C) 10 D) 24 E) 12
23. ¿En cuál(es) de las siguientes opciones la expresión puede representar un número
racional?
I) √2𝑥, siendo x un número entero impar y positivo.
II) (𝑥 + √2)2, siendo x un número racional positivo.
III) 𝑥 + √2, siendo x un número irracional.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
24. Al resolver √𝑥2 − 2𝑥 + 1 , sabiendo que x < 0, se obtiene
A) –x + 1 B) –x - 1 C) x + 1 D) x – 1 E) x - √2𝑥 + 1
25. La expresión 4 aa es equivalente a
A) 6 a B) 5 a C) 4 3a D) 8 a E) 4 2a
26. Al resolver √x2 , sabiendo que x < 0, se obtiene
A) x B) –x C) x
2 D) x
1
2 E) x2
27. Si se considera que el valor aproximado de √10 como 3,16227766, n es √10
aproximado por exceso a la milésima, m es √10 aproximado por defecto a la
milésima y r = √(m − √10)2 + √(√10 − n)2, entonces r es igual a
A) -0,001 B) 0,001 C) 0,002 D) -0,0001 E) 0
28. 2)2332( − =
A) 0 B) -6 C) 61230 − D) 61230 + E) 30
29. Al resolver √𝑥2 − 4𝑥 + 4 , sabiendo que x < 0, se obtiene
A) x - 2 B) –x – 2 C) -x + 2 D) x + 2 E) x - √4𝑥 + 4
30. ¿Cuál es el valor de ( ) ( )229191 −− ?
A) -16 B) 4 C) 64 D) -4 E) 16
31. El valor de 125,0 es
A) 22 B) 2 C) 2
2 D)
4
2 E) 0,5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 26
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32. Si t3232 =−−+ , entonces el valor de t2 – 2 es
A) 2√3 − 2 B) 0 C) 2√3 D) 2 E) -2
33. Al desarrollar la expresión xx2x
15
44 −+
se obtiene
A) x
15
14 B) x
15
1 C) x4 D) 4 E)
15
4
34. Dadas las siguientes afirmaciones, es(son) verdadera(s)
I. b
ba
b
a 3
3= II. 15
14
5 33 aaa = III. 2
3
3
21
=
−
A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
35. 3 6n6a − =
A) a2n-6 B) a2n-2 C) 2n2
1
a − D) 6n2
1
a − E) a6n-2
36. Si a = √3, b = √43
y c = √54
, el orden correcto entre ellos es
A) c < b < a B) b < c < a C) a < b < c D) c < a < b E) a < c < b
37. Si 508 +=x , entonces 14
x vale
A) 2
2 B) 2 C) 8 D) 7 E) 14
38. ¿Cuál es el valor de 33 ?
A) 4 27 B) 4 33 C) 4 9 D) 33 E) 63
39. El quíntuplo de 5
2 es
A) 2 B) 10 C) 2 D) 5
7 E)
5
2
40. Al desarrollar la expresión ( ) ( )222112 +−− se obtiene
A) 24− B) 22 C) 2 D) 2 E) 0
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 27
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41. Si 21 =+ x , entonces 5−x =
A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 52
42. Al resolver 3 4
2 se obtiene
A) 2
23
B) 2 C) 3 2 D) 3 4 E) 2
43
43. Al ordenar las siguientes expresiones 12
1
−=a ;
12
2
+=b ;
2
3=c en forma
ascendente, resulta
A) a, c, b B) b, a, c C) c, a, b D) b, c, a E) c, b, a
44. =−++−+25
48
16
15
4
16
A) 20
61 B)
5
2
4
6
2
7+− C)
20
151 D)
20
7856 ++−
45. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x
toma los tres valores 0, 1, –1?
xx)IIIxx)IIxx)I 222 ==−=
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas.
46. 3443 )22()22()22()22( +−++− es un número
A) Racional positivo B) Racional negativo C) Irracional positivo
D) Irracional negativo E) No real
47. =
++++
++++
3 55555
55555
55555
55555
A) 5 B) 55
6 C) 1 D) 52
3 E) 53
2
48. Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
xx)A xx
1)B x
x
1)C 1x)D xx)E
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 28
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49. Dados los números reales 23− ,3
11− , 7− , 32− ,
3
14− , al ordenarlos de menor
a mayor, el término que queda en el centro es
32)A − 23)B − 7)C − 3
11)D −
3
14)E −
50. √3 − 2√2 =
A) √24
B) 1 + √2 C) 1 - √2 D) √2 - 1 E) √3 − √2√2
VIDEOS GUIA A – 03
Ejercicios 1 a 8
Ejercicios 9 a 15
Ejercicios 16 a 21
Ejercicios 22 a 26
Ejercicios 27 a 32
Ejercicios 33 a 38
Ejercicios 39 a 42
Ejercicios 43 a 45
Ejercicios 46 a 49
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 29
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Ejercicio 50
LOGARITMOS
De la expresión bn = c, obtenemos
Potencias (no se conoce c)
bn = x, para calcular x,
basta con calcular el
resultado de la potencia.
Ej. 34 = x
81 = x
Raíces (no se conoce b)
xn = c, para calcular x,
basta con calcular la raíz
enésima de c.
Ej. x4 = 16
x = 4 16
x = 2
Logaritmos (no se
conoce n)
bx = c, para calcular el
valor de x necesitamos
saber el exponente al
que se debe elevar la
base b para obtener c.
x = cblog
con b>0 y distinto de 1.
Ejercicios. 1. El log2a = 3 se expresa como:
A) 2a = 3 B) 23 = a C) 3a = 2 D) a3 = 2
2. Si logb81 = -4, entonces la base es
A) 1
3 B) 3 C) -3 D) −
1
3 E) −
81
4
La base 10 no se escribe y algunos de los logaritmos más utilizados en base 10 son:
log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3
log 0,1 = -1 log 0,01 = -2 log 0,001 = -3
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 30
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Propiedades de los logaritmos
Logaritmo del producto de dos números. El logaritmo de
un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores.
logc(a∙b) = logca + logcb
Ejercicio. Al determinar el log 500 se obtiene
A) 5 B) log 5 C) log 105
D) log 25 E) 2 + log 5
Logaritmo del cociente de dos números. El logaritmo de un cociente es igual al
logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
Logc𝑎
𝑏 = logca – logcb
Ejercicios.
1. Si a3
1log = , entonces log 9 es igual a
A) -3a B) -2a C) 3
a D) 2a E) 3ª
2. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) igualdades es(son) verdadera(s)?
I. 3103 logloglog = II. 15log30log2
1log =+ III.
20201 logloglog =
A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es
igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
logcan =n∙logca
Ejercicio. El log 5x-1 es igual a
A) log (5x – 5) B) x C) xlog 5 – log 5
D) log (x – 1) ∙ log 5
Logaritmo de una raíz. El logaritmo de una raíz es igual al
cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz
logc √𝑎𝑚𝑛 =
𝑚
𝑛∙logca
Ejercicio. El log √253
es igual a
A) log 25
3 B) log
3
25 C) 3 log 25 D)
2
3 log 5 E) 1,5 log5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 31
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Cambio de base. logbx =logax
logab
Ejercicio. La expresión 8log
4log
4
4 es igual a:
A) 4
3 B)
3
2 C)
2
1 D)
3
1− E)
3
2−
Desafíos.
1. Desarrolla y calcula el valor numérico de:
3 2
3 2
5
625
25·5·125log
2. Calcula el valor numérico de: 2 243log6125log732log
3
1
5
1
4
1 −+
Video: Desafíos y errores comunes en logaritmos.
GUIA A - 04
1. El valor de 10log2 8−log3 27 es
A) 0 B) 1 C) 10 D) 0,1 E) -1
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a log 105?
A) log 100 + log 5 B) log 21 · log 5 C) 3 log 35
D) 3 log 5 + log 15 E) log 7 + log 3 + log 5
3. El valor de x = −21−log3 81 es
A) 1
8 B) 0,25 C) – 0,25 D) – 0,125 E) - 8
4. Si log 2 = 0,30 y log 3 = 0,48, calcular log348.
A) 3,5 B) 1,2 C) 2,2 D) 2,5 E) −7
2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 32
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5. ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A) log3 + log5 = log8 B) log10
log2 = log5 C) log216 = 8
D) log√73
=1
3log7 E) log515 ∙ log53 = log545
6. Si log 1
3 = a, entonces log
1
9 es igual a
A) -3a B) -2a C) a
3 D) 2a E) a2
7. Si log b = 20 y log c = 2, es correcto que
I) log (b
c) = 18 II) log(b + c) = 22 III) log b2 + log c2 = 44
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III
8. Si logb81 = -4, entonces la base es
A) 1
3 B) 3 C) -3 D) −
1
3 E) −
81
4
9. Marca la alternativa FALSA
A) logn n = 1 B) logn 1 0 = 1 C) log2 8 = 3
D) logn 1 = 0 E) logn nb = b
10. Para que logx1
64= −6, el valor de x debe ser
A) 16 B) 8 C) 4 D) 2 E) Otro valor
11. La expresión log6
7− log
2
3 equivale a
A) log4
21 B) 2log 3 – log 7 C) 2 log
3
7
D) – log 7 E) 2log 2 – 2log 3 – log 7
12. El valor de log √−325
es
A) -2 B) 2 C) 0,2 D) 0 E) no está definido en los reales
13. El valor de log27 3 + log2 32 es
A) 16
3 B) 8 C) log29 35 D) log54 96 E) Otro valor
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 33
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14. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) log 5 · log 3 = log 5 + log 3
II) log (5 · 3) = log 5 + log 3
III) log8
log2= log82
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
15. El valor de x, si log1,5 x = 2 es
A) 3 B) -3 C) 0,75 D) -0,75 E) 2,25
16. El valor de log216−1 es
A) 1
4 B) 4 C) 8 D)
1
8 E) -4
17. Si logx125 = −3, entonces x vale
A) 125
3 B)
−3
125 C) -5 D)
1
5 E) -0,2
18. La expresión log4 4
log4 8 es igual a
A) 3
4 B)
2
3 C)
1
2 D) -
1
3 E) -
2
3
19. log2 9 log3 8 =
A) 6 log2 8 B) 6 log3 9 C) 6 log 8 D) 6 log9 E) 6
20. Si log3 2 +log3 (b + 1) = 1, entonces b es igual a
A) 0 B) 1
3 C)
1
2 D) 2 E) 3
21. Si log 2 = 0,3 y log 3 = 0,48; calcular log36.
A) 0,78 B) 0,48 C) 1,625 D) 0,3 E) Otro valor
22. La expresión log6
7+ log
2
3 equivale a
A) log4 + log 7 B) 2log 3 – log 7 C) 2log2 – log 7 + 2log3
D) 2log 2 – log 7 E) 2log 2 + 2log 3 + 2log 7
23. Si log x = 2 – 3log 5 + 2log 3, el valor de x es
A) 2:15
6 B) 7,2 C) 62 − √25 D) 2 – 32 – 53 E) Otro valor
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 34
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24. Si log 16−log 8
log 4= p, entonces log p =
A) log 2 B) log 4 – log 2 C) 0,5 D) –log2 E) 2log 2
25. El valor de x en la expresión 21x = 20 es
A) log21 + log20 B) log21 – log20 C) log4 + log5
D) log21
log3 + log 4 E)
log 4+log 5
log 3+log 7
26. Si log 210 = 3; entonces log2 √5 =
A) 0,35 B) 0,15 C) 1,25 D) 25
3 E)
7
6
27. logx xx + log2 2log x equivale a
A) x + log x B) log x2 C) log 11x
D) log2x xx ⋅ 2log x E) xlog x
28. logx x2 + log3 3log x = log 5 0, entonces x =
A) 50 B) 2 C) 48 D) 0,5 E) Indeterminado
29. Si log 16−log 8
log 4= p, entonces p =
A) log 2 B) log 4 – log 2 C) 2 D) 0,5 E) 2log 2
30. 2log 9 + log 27 – log 2187 equivale a
A) log 3 B) 2 log 3 C) 0 D) 3 log 3 E) Otro valor
31. El valor de x en la expresión 21x = 20 es
A) log 21 + log 20 B) log 21 – log 20 C) log 4 + log
D) log21
log3+ log 4 E)
log 4+log 5
log 3+log 7
32. El valor de x en la expresión log3( 92x+1) = 2x es
A) 3 B) -1 C) -3 D) 0 E) 2
33. Al calcularse el valor de log√5+2√6+√5−2√6
√5+2√6−√5−2√6 se obtiene
A) 1
2log 6 B)
1
2log √6 C) log 2 + log 3 D)
1
2(log 3 − log 2) E) 1
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 35
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34. Si log 2 = 0,3 y log 3 = 0,48, entonces la raíz de la ecuación 2x+1 = 3x−1 es
A) 13
3 B)
√3
2 C) 1,5 D) 0,73 E) Otro valor
35. Si a
b=
1
2, entonces log2ax − log2bx =
A) -x B) 1
x C) -
1
x D) 1 E) -1
36. Si log 25 = p, entonces log 2 es
A) 2−p
2 B)
2+p
2 C)
p
2 D)
2p
25 E)
5p
22
37. logba = c si
(1) b > 0 y b ≠ 1
(2) bc=a
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
38. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real log a – log b, si se
conoce:
(1) log(a·b)
(2) log √ab3
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
VIDEOS GUIA A – 03
Ejercicios 1 a 6
Ejercicios 7 a 13
Ejercicios 14 a 20
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 36
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Ejercicios 21 a 25
Ejercicios 26 a 30
Ejercicios 32 a 34
Ejercicios 35 a 38
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PRODUCTOS NOTABLES
1. Cuadrado de un Binomio: (a b)2 = a2 2ab + b2
Ejercicio. Si a · b = 10 y a2 + b2 = 29, entonces el valor de
(a – b)2 es
A) 9 B) 19 C) 29
D) 49 E) no se puede determinar el valor.
2. Suma por su Diferencia: (x + y)(x – y) = x2 – y2
Ejercicio. Si a +1
b= 9 y
a2b2−1
b2= 36, entonces a −
1
b =
A) -9 B) 6 C) 4 D) 3 E) 1
3. Producto de binomios con término común:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejercicio. Al resolver el producto (x + √2)∙(x - √8) se obtiene
A) x2 - 4 B) x2 - √10 x - 4
C) x2 - √2 x - 4 D) x2 + √2 x - 4
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 37
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4. Cubo de un binomio. Si (a b)3 = a3
3a2b + 3ab2 b3
Ejercicio. Al desarrollar la expresión (a3 – b2)3 se obtiene:
A) a9 – b6 B) a6 – b5 C) a9 – 3a6b2 – 3a3b4 – b6
D) a9 – 3a6b2 + 3a3b4– b6 E) a9 - 3a6b2 + 3a3b4+ b6
FACTORIZACIÓN: Factorizar es el proceso de escribir un
polinomio como producto de sus factores
Factorizar: 1) 6x – 18y + 24
2) a5 + a7
3) x2 + 3x – 10
4) 25x2 – 49 5) x2 - 2
Ejercicio. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)
divisor(es) de la expresión algebraica
2x2 − 6x − 20?
I) 2 II) x − 5 III) x + 2
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
Factorización de una suma y diferencia de cubos
𝐚𝟑 + 𝐛𝟑 = (𝐚 + 𝐛)(𝐚𝟐 − 𝐚𝐛 + 𝐛𝟐) 𝐚𝟑 − 𝐛𝟑 = (𝐚 − 𝐛)(𝐚𝟐 + 𝐚𝐛 + 𝐛𝟐)
Ejercicio. Si a y b son números reales positivos, P = a2 + b2, Q = (a + b)2 y
R = a3+b3
a+b , ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
A) P = Q = R B) R < P = Q C) R = P < Q
D) R < P < Q E) P < Q < R
OPERATORIA CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Resolvamos: 1) a
a+b+
b
a−b−
2ab
a2−b2 =
2) a2−b2
x2−y2∶
a+b
x+y =
3) x2−x−2
x ∙
5x2
x2−5x+6 =
ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
La ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen
elementos desconocidos llamados incógnitas. Para resolver una ecuación se debe
despejar la incógnita, cuyo valor reemplazado en la ecuación hace que la igualdad sea
verdadera.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 38
Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl
Ejercicio. La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55
años. La edad de la madre es el doble de la edad de la hija mayor y la suma de las
edades de las dos hermanas es 25 años. ¿Cuál es la edad de la hija menor?
A) 5 años B) 10 años C) 15 años D) 20 años E) 30 años
En el número de soluciones de una ecuación se pueden dar que la ecuación tenga
infinitas soluciones. Por ejemplo, 2x + 4 – 2(x + 2) = 0.
Como también ecuaciones que no tienen solución. Por ejemplo, 5x + 7 = 4 + 5x.
SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 2
INCÓGNITAS.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado
es:
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
donde a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par de valores que satisfaga
simultáneamente ambas ecuaciones. Para resolver algebraicamente un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos, entre ellos, el de
sustitución, el de igualación y el de reducción.
El sistema tiene solución única si 2
1
2
1
b
b
a
a . Por ejemplo,
2x–5y=33x+2y=1
El sistema tiene infinitas soluciones si: 2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a== . Por ejemplo,
3x−2y=56x−4y=10
El sistema no tiene solución si: 2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a= . Por ejemplo,
x–4y=33x–12y=2
Ejercicios.
1. Si 2A – B = 1 y A + 3B = 11, entonces A + B es
A) 12 B) 5 C) 3 D) 2 E) 4
2. ¿Para qué valor de k el sistema 5x–ky=23x+2y=3
no tiene solución?
A) - 4
3 B) -
10
3 C) 2 D)
10
3 E) 5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 39
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PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS
En los siguientes ejercicios, sólo escribe la ecuación o sistema de ecuaciones
correspondiente al enunciado, sin resolverlos.
1. A una persona le aumentan el sueldo en 7
20 de lo que
ganaba. Si su nuevo sueldo es $216.000, ¿en cuánto fue
aumentado?
2. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al
menor en 8. ¿Cuáles son los números?
3. Se repartirá un premio entre Ingrid, Gerardo y Jaime. Ingrid
recibe 3
8 del total, Gerardo recibe
2
3 de lo que quedará y Jaime
$130.000. ¿Cuánto reciben Ingrid y Gerardo, respectivamente?
4. Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta
en partes iguales. Si cada uno pone $5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si
cada uno pone $6.500 sobran $500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?
5. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de
las edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en
la actualidad?
6. Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los
resultados están en la razón 3:2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es
5:2.
7. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de
$10 y de $50 tiene?
8. La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta
de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?
9. Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el
doble que la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.
10. Descomponer 895 en dos partes, de modo que al dividir la mayor por la menor se
obtenga 6 de cociente y 5 de resto.
GUIA A - 05
1. Sea la ecuación 0,16̅x + 0,25x + 2 = 0, 3̅. Entonces, el recíproco de x es
A) -4 B) 1
4 C)
−1
4 D)
1
15 E) 4
2. Si 4 −2t−1
2= 0, entonces t =
A) 5 B) 3 C) 3
2 D)
9
2 E)
7
2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 40
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3. En un viaje Pedro se traslada 800 km. La cuarta parte del viaje lo realiza en bus.
Las tres quintas partes del resto lo hace en avión y lo que queda en tren. ¿Cuántos
kilómetros anduvo Pedro en tren?
A) 120 km B) 240 km C) 320 km D) 360 km E) 480 km
4. Sean x e y dos reales positivos, tal que x2 + y2 = 2
9, además xy =
1
9,
entonces x + y =
A) 3
4 B)
9
16 C)
2
3 D)
1
8 E)
√3
3
5. Juan ahorró dinero juntando en total 65 monedas entre monedas de $ 100 y de
$ 500. Si en total ahorró $ 7.300, ¿cuál de los siguientes sistemas permite
encontrar la cantidad (y) de monedas de $ 500 que ahorró, sabiendo que x es la
cantidad de monedas de $ 100?
A) 500x+100y = 65; x+y = 7.300
B) x+y = 65; 100x+500y = 7.300
C) x+y = 65; x+y = 7.300
D) xy = 65; x + y = 7.300
E) x + y = 65; xy = 7.300
6. Si p – q = 7 y r – s = 8, entonces p – q – 2r + 2s es
A) -9 B) -3 C) -1 D) 15 E) 23
7. Si a y b son números reales, positivos y distintos, tales que ab = 1, entonces el
valor de la expresión a
1+a+
b
1+b es
A) 0 B) 1 C) a D) b E) a + b
8. Sean x e y dos reales positivos, tal que x2 + y2 = 6xy, con x > y, ¿cuál es el valor
de la expresión x−y
x+y?
A) 2√2 B) 1
2 C)
√2
2
D) √2 E) 2
9. En el sistema 3𝑥 − 𝑚𝑦 = 9 𝑛𝑥 + 4𝑦 = −11 ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente,
para que la solución del sistema sea el par (1, -3)?
A) -2 y 1 B) -2 y -1 C) 2 y 1
D) 4 y -23 E) Ninguno de los valores anteriores
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 41
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10. La expresión xy−x
y:
ay−a
y2 es igual a
A) 0 B) a
xy C)
ax
y D)
xa(y−1)2
y3
E) xy
a
11. Un vehículo ha recorrido pq kilómetros, donde p es el dígito de las decenas y q el
dígito de las unidades. La suma de los dígitos que componen dicho número es
ocho. Dieciocho kilómetros más adelante ha recorrido qp kilómetros, donde q es el
dígito de las decenas y p el dígito de las unidades. ¿Cuál de los siguientes sistemas
permite determinar los kilómetros recorridos?
A) p+q = 8; p+q = 10q+p-18 B) p+q = 8; 10q+p = 10p+q+18
C) p + q = 8; p+q-18 = 10p+q
D) p+q = 8; 10q+p+18 = 10p+q E) p+q = 8; p+q+18 = 10p+q
12. Al reducir la expresión (x
y+
y
x) (x + y): (
1
x+
1
y) resulta
A) x+y B) 3x+2y C) x-y D) x2+y2 E) (𝑥 + 𝑦)2
13. (p + q) + (p + q)2 =
A) 3(p + q) B) (p + q)3 C) p + q + p2 + q2
D) (p + q)(1 + p + q) E) 2(p + q)2
14. Al reducir la siguiente expresión n2−1
a+b⋅
a2−b2
n+1, se tiene
A) (n+1)(a-b) B) 1 C) 𝑎2+𝑏2
𝑎+𝑏⋅ (𝑛 − 1) D) (n-1)(a-b) E) (a+b)(n-1)
15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a a2−2ab+b2
a2−b2?
A) -2ab B) 2
a+b C)
1
a−b D)
a−b
a+b E) a + b
16. Se tienen $ 16.000 en monedas de $ 500 y de $ 50. Si el total de monedas es 50,
entonces la cantidad de monedas de $ 500 es
A) 32 B) 30 C) 27 D) 20 E) 18
17. ¿Para qué valor de x la expresión x−2
2x+3 NO está definida?
A) −3
2 B) -2 C) 0 D) 2 E) -3
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 42
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18. Si a = b
b1−, ¿cuánto vale b, en función de a?
A) aa
−1
B) a
a1+ C)
a
a1− D) a
a+
1 E) a
19. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 8x3 – 1?
A) (2x – 1)3 B) 8(x – 1)3 C) (2x - 1)(4x2 + 2x + 1)
D) 4(2x + 1)(2x – 1) E) (4x - 1)(2x + 1)
20. Si A – B – C = 2 y A⋅B + A⋅C = BC, entonces A2 + B
2 + C
2 =
A) 2 B) 4 C) 8
D) 16 E) Ninguno de los anteriores
21. Si bx + b = a + ax, entonces x + a =
A) -1 B) –a C) -1 – a
D) -1 + a E) 1 + a
22. Una persona viaja desde La Serena a Los Vilos, ciudades que se encuentran a una
distancia de 210 km. Si en los tres primeros días recorre 3
7,
2
21 y
7
30 de esa
distancia, respectivamente, ¿a cuántos kilómetros de Los Vilos se encuentra al
término del tercer día de iniciado el viaje?
A) A 49 km B) A 51 km C) A 100 km
D) A 110 km E) A 159 km
23. Sean a, b y p números reales, tales que a > b y p = a2−b2
a2−2ab+b2 . ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) p = 1 B) p = 0 C) p > 1
D) Si b > 0, entonces p < 1 E) Si b < 0, entonces p < 1
24. El perímetro de un triángulo de lados a, b, c es 2(3p + q) cm. Si el lado
a mide (p + q) cm. y el lado b mide (7p – 2q) cm., ¿cuántos centímetros mide
el lado c?
A) 14p + q B) 14p - q C) 5p – 2q D) 3q – 2p E) 2p + 3q
25. Un sitio rectangular de s metros de frente por t metros de fondo fue comprado
por 3 amigos en partes iguales. Si costó $p el metro cuadrado, ¿cuánto pagó cada
uno de los compradores?
A) $3stp B) $3p
st C) $
stp
3 D) $
st
3p E) $
(s−t)p
3
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 43
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26. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al recíproco de (𝑎
𝑏 +
𝑏
𝑎)?
A) ab
a+b B)
ab
a2+b2 C) ab-1 + ba-1 D)
1
a2+b2 E)
a2+b2
a+b
27. Leonardo tiene una cierta cantidad de dinero en monedas de $ 500. Si le regalaran
otras 5 de estas monedas tendría menos de $ 50.000, pero si gastara $ 10.000 le
quedarían más de 20 monedas de $500. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera, con respecto al dinero que tiene Leonardo?
A) Tiene $ 20.000. B) Tiene $ 47.500. C) Tiene más de $ 47.500.
D) Tiene menos de $ 20.000. E) Tiene más de $ 20.000 y menos de $ 47.500.
28. La expresión x2 - (x + a)2 es igual a
A) a(2x + a) B) 2x2 + a2 C) -a2 D) -x E) -a(2x + a)
29. Sean x e y distintos de cero, entonces
1+x
y
x2
y−y
=
A) x - y B) 1 C) 1
x+y D)
1
x−y E) x + y
30. ¿Qué condición debe cumplir p para que la ecuación en x, px – 1 = 4x + p, NO
tenga solución?
A) p = -4 B) p = -1 C) p ≠ -1 D) p = 4 E) p ≠ 4
31. El perímetro de un rectángulo es de 46 cm. Si el largo disminuye en 3 cm. y el ancho
aumenta en 2 cm., el área del rectángulo no cambia. En estas condiciones, la
diferencia de las medidas originales entre el largo y el ancho es
A) 15 cm. B) 12 cm. C) 8 cm. D) 7 cm. E) 5 cm.
32. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?
I) 25x2 - 10x + 22
II) 36x2 – 12x – 1
III) 4x2 – 8x + 1
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I, II y III E) Ninguna
33. La superficie de un cuadrado está dada por 4x2 – 12x + 9. Si el lado del cuadrado
aumenta en 2 unidades, ¿cuánto aumenta la superficie del cuadrado?
A) 8x + 8 B) 8x - 8 C) 8x + 16 D) 8x - 16 E) 4
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 44
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34. Alberto entra a una librería con el objetivo de gastar exactamente $ 100.000 en
comprar 70 lápices. En la librería tienen solo dos tipos de lápices, uno vale $ 1.500
y el otro vale $ 1.200. ¿Cuántos lápices de cada tipo debe comprar en la librería,
para cumplir su objetivo?
A) 53 y 17 B) 54 y 16 C) 53 y 16
D) Otras cantidades. E) Alberto no puede cumplir su objetivo.
35. Si x + y = a ; y + z = b ; z + x = c, entonces x + y + z =
A) a+b−c
2 B)
a−b+c
2 C)
−a+b+c
2 D)
a+b+c
2 E) 2a+2b+2c
36. La expresión x−2+y−2
x−1−y−1 es equivalente a
A) x2+y2
xy(y−x) B)
x2+y2
xy C)
xy(y−x)
x+y D)
xy
y−x E)
x2−y2
xy
37. En un cajón solo hay fichas blancas y rojas. De estas, m son blancas y 4n son
rojas. Si se saca la mitad de las fichas blancas, entonces el cajón queda con un
total de 110 fichas. En cambio, si se agrega un 75% del total de fichas blancas y
se quitan 10 fichas rojas, entonces el cajón queda con un total de 175 fichas.
¿Cuál es el total de fichas que había inicialmente en el cajón?
A) 80 B) 101 C) 73
D) 140 E) Ninguno de los valores anteriores.
38. ¿Para qué valor de k el sistema formado por las ecuaciones 5x–ky=2; 3x+2y=3,
no tiene solución?
A) −4
3 B) −
10
3 C) 2 D)
10
3 E) 5
39. Si A + B = 120, B + C = 100 y C + D = 160, entonces A + D =
A) 120 B) 140 C) 160 D) 180 E) 200
40. Si a +1
b= 9 y
a2b2−1
b2 = 36, entonces (a − 1
b)2 =
A) 81 B) 36 C) 16 D) 9 E) 1
41. ¿Cuál de las expresiones no puede ser el cuadrado de un binomio, siendo A, B y C
números enteros?
I. A2 + 2AB + B2
II. Ax2 + Bx – C
III. A2 + B2 – 2AB
A) Sólo I y II B) Sólo II y III C) Sólo I y III D) Todas E) Ninguna
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 45
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42. Al simplificar (ab + a
-b)(a
b – a
-b)(a
4b + 1 + a
-4b) se obtiene
A) (a-b
– ab)
6 B) (a
b – a
b)6 C) a
-6b – a
6b
D) a6b
– a-6b
E) a6b
+ a-6b
VIDEOS GUIA A – 05
Ejercicios 1 a 6
Ejercicios 7 a 10
Ejercicios 11 a 16
Ejercicios 17 a 21
Ejercicios 22 a 26
Ejercicios 27 a 32
Ejercicios 33 a 36
Ejercicios 37 a 42
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 46
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INECUACIONES DE PRIMER GRADO
DESIGUALDADES Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a
< b, a ≥ b o a ≤ b. Las desigualdades cumplen con las
siguientes propiedades:
1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma, se resta
un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia.
2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o
dividen por un mismo número positivo, el sentido de la
desigualdad no cambia.
3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo
número negativo,
el sentido de la desigualdad cambia.
4. Si de los miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos negativos, se
consideran sus recíprocos la desigualdad cambia.
Ejercicio. 1. Si a < 1, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I. a2 ≥ a II. a3 ≥ a2 III. a4 ≥ a2
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas
2. Si a > b > c, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) positiva(s)?
I) a−b
b−c II)
b−c
c−a III)
b−a
c−a
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
INTERVALOS
Intervalo cerrado desde a hasta b, inclusive.
[a , b] = {x lR / a x b}
Intervalo abierto entre a y b.
]a , b[ = {x lR / a < x < b}
Intervalo semiabierto o semicerrado.
]a , b] = {x lR / a < x b}
[a , b[ = {x lR / a x < b}
Intervalo infinito
[a, +∞[ = {x ∈ R / x ≥ a}
]a, +∞[ = {x ∈ R / x > a}
]–∞, b] = {x ∈ R / x ≤ b}
]–∞, b[ = {x ∈ R / x < b}
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 47
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Ejercicios.
1. Si -3 < 2x – 1 < 3, entonces ¿entre que valores está 3x + 1?
A) ]-3, 3[ B) ]-2, 2[ C) ]-4, 2[ D) ]-4, 7[ E) ]-2, 7[
2. ¿En cuál de los siguientes intervalos están solo los números reales que pertenecen a
−3, 5 y no pertenecen a −1, 7?
A) − 3,−1 B) − 3,−1 C) −1, 5 D) − 3,7 E) 5, 7
3. Todos los números que se encuentran a más de 10 unidades de 6 y a menos de 16
unidades de 8 están representadas por
A) ]16, 24[ B) ]-8, -4[ C) ]-4, 16[ D) ]-8, 24[ E) ]-8, -4[ U ]16,24[
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son desigualdades verdaderas para un conjunto de valores de
la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la
inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la
notación de conjunto, intervalo o gráfica.
Ejercicios.
1. El intervalo solución de la inecuación 3x – 14 < 7x – 2 es:
A) [−3, +∞[ B) ]−∞, −3[ C) ]−∞, −3] D) ]−3, +∞[ E) ]3, +∞[
2. La solución de la inecuación x
2+ 2 >
3
4x − 1 es el conjunto de números reales x que
cumplen con que:
A) 𝑥 < 12 B) 𝑥 > 12 C) 𝑥 < 4 D) 𝑥 > 4 E) 𝑥 < 6
3. ¿Para cuál de los siguientes intervalos la expresión √2x − 1 está definida en los
números reales?
A) ]−∞,1
2] B) ]−∞, −
1
2] C) [
1
2, ∞[ D) [−
1
2, ∞[
4. Si |x – 1| ≤ 5, entonces la solución es
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 48
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PROBLEMAS VERBALES CON INECUACIONES
Expresiones que habitualmente aparecen en estos problemas,
que hay que traducir: “a lo menos” (≥), “cuando mucho” (≤),
“como mínimo” (≥), “como máximo” (≤), “a lo sumo” (≤),
“sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), “entre a y b” (a<x<b), etc.
Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se
determina el conjunto solución.
Ejercicios.
1. En un triángulo ABC cualquiera, AB̅̅ ̅̅ = 6 cm. y BC̅̅̅̅ = 9 cm. ¿Cuál de las siguientes
desigualdades debe verificarse para el tercer lado?
A) 6 cm < AC̅̅̅̅ < 9 cm B) 0 cm < AC̅̅̅̅ <15 cm C) 3 cm < AC̅̅̅̅ < 9 cm
D) 3 cm < AC̅̅̅̅ < 15 cm E) 4 cm < AC̅̅̅̅ < 14 cm
2. La suma de tres números consecutivos es a lo sumo 39, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones con respecto al mayor de los números es siempre verdadera?
A) es menor que 12 B) es a lo sumo 12 C) es menor que 14
D) es a lo sumo 14 E) es menor que 13
3. Lo que falta a un número para ser 27 es mayor o igual de lo que falta a su doble
para ser 30, por lo tanto el número es necesariamente:
A) mayor que 19 B) a lo menos 19 C) mayor que 3
D) a lo menos 57 E) a lo menos 3
4. A lo más, ¿cuántos pepinos a $200 cada uno, más una sandía de $1.800 se pueden
comprar con un billete de $20.000?
A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92
5. Un artesano fabrica x collares, vende 60 y le quedan más de la mitad. Tras esta
venta, fabrica 5 collares más, vende 27 y le quedan menos de 40 collares. ¿Cuántos
collares fabricó en total?
A) 120 B) 121 C) 125 D) 126 E) 127
6. Hace 5 años Mónica no alcanzaba a tener 30 años y en 6 años más tendrá a lo
menos 37 años. ¿Cuántos años tiene, a lo más, Mónica?
A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35
GUIA A - 06
1. Si 𝑎 − 1 > 5 y b + 2 > −6, entonces a + b es
A) mayor que -4 B) mayor que 2 C) mayor que -2
D) menor que 2 E) menor que -2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 49
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2. Si x es un número real que pertenece al intervalo ]−2,3], entonces
I) el menor valor que puede tomar x es – 1.
II) (x – 1) es mayor que – 3 y menor o igual que 2.
III) (– x) es mayor o igual que – 3 y menor que 2.
Es (son) verdadera(s)
A) solo I B) solo II C) solo I y III D) solo II y III E) I, II y III
3. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos contiene algún(os) elemento(s) que satisfacen
la inecuación 2x + 7 ≤ 12 + x?
I) El conjunto de los números reales menores que 5.
II) El conjunto de los números reales mayores que 5.
III) El conjunto formado solo por el número 5.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III
4. La edad de Juan está comprendida entre 12 y 15 años y la de Andrés es mayor que
16 y a lo sumo 28, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La suma de las edades es mayor que 28.
II. La suma de las edades es menor que 43.
III. La diferencia positiva de sus edades es menor que 16.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
5. ¿Cuántos números naturales cumplen la condición: “el exceso del quíntuplo de un
número sobre 4 es menor que 31”?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
6. Si x<5 la solución de la inecuación 1 −x−5
9< 9 + x
A) ]−67
10, +∞[ B) ]
−77
10, +∞[ C) ]−∞, 5[ D) ]
−67
10, 5[ E) ]
−77
10, 5[
7. Si a los números mayores que 1 y menores que 3 se les resta -p y luego se divide
por el número entero negativo b, entonces los números que se obtienen son
siempre mayores que
A) 1 B) 3+p
b C)
3−p
b D)
1−p
b E)
1+p
b
8. Si a·b > b·c, entonces si b>0, siempre se cumple que
I) a > c II) 1
a<
1
c III) -3ab > -3bc
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II
D) Sólo I y III E) I, II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 50
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9. Si a < 0 y a > -b; a, b IR, entonces, es correcto afirmar que siempre es(son)
verdadera(s)
I. –a < b II. –a > -b III. b < 0
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo I y II E) Sólo II y III
10. La solución gráfica de la inecuación (x – 1)2 – 7 ≥ (x – 2)2 es
11. Si a2 > b y b > 0, con a y b números reales y a ≠ b, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) a < b
II) a ≠ 0
III) b < a
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III
12. Si a ⋅ b > 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. a
b> 0 II.
b
a> 0 III. a3b > 0
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
13. Felipe resuelve la inecuación −2𝑥 − 2 ≤ 3𝑥 − 4, de la siguiente forma:
I. −2x − 3x ≤ −4 + 2 II. −5x ≤ −2 III. 5x ≤ 2 IV. 𝑥 ≤2
5
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) cometió un error del paso I al II.
B) cometió un error del paso II al III.
C) cometió un error del paso III al IV.
D) no hay error en la resolución.
E) cometió más de un error.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 51
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14. La señora Macarena pesa 20kg más que su esposo Arturo y el doble que su hijo
Ernesto. Si entre los tres pesan a lo menos 180kg. ¿cuál es el peso mínimo del
señor Arturo?
A) 20 Kg B) 30 Kg C) 40 Kg D) 50 Kg E) 60 Kg
15. Si 3 ≥ a ≥ 0 y −3 ≤ b ≤ 0, ¿qué valor(es) puede tomar (a + b)?
A) Los valores entre −3 y 3, ambos incluidos.
B) Sólo los valores entre −3 y 0, ambos incluidos.
C) Sólo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos.
D) Sólo el 0.
E) Ninguno de los anteriores.
16. ¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones
siguientes, el triple del número no supera su mitad, aumentada en 25 unidades y
el exceso del cuádruplo del número sobre 2 supera las 6 unidades?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
17. Se desea confeccionar un marco rectangular cuyo perímetro sea menor a 120 cm.,
pero no menor que 90 cm. Si el largo es el doble del ancho, ¿entre qué valores, en
cm., variará el ancho k?
A) 15 ≤ k < 20 B) 15 ≤ k ≤ 20 C) 30 ≤ k ≤ 40
D) 30 ≤ k < 40 E) 45 ≤ k < 60
18. El IMC es la razón entre la masa corporal y el cuadrado de la estatura de una
persona, respectivamente. Diversos estudios realizados, han concluido que el
grupo de mejor salud corresponde a un IMC comprendido entre 20 y 25 𝐾𝑔
𝑚2. Si una
persona mide 1,5 m, para ser considerada saludable, su masa corporal deberá
estar entre
A) 30 y 37,5 kg. B) 30 y 56,25 kg. C) 40 y 50 kg.
D) 45 y 56,25 kg. E) 45 y 55 kg.
19. Un comerciante compra una partida de 130 camisas por un total de $500.000.
Vende al detalle 50 de estas camisas a $6.000 cada una. ¿Cuál es el menor precio
al que debe vender cada una de las camisas restantes si quiere obtener, como
mínimo, un 30% de ganancia?
A) $ 2.500 B) $ 3.250 C) $ 3.750 D) $ 4.325 E) $ 4.375
20. Si 0 < x < 1; entonces ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son)
verdadera(s)?
I) 2 – x2 < 2 + x2
II) 3 – x2 < 3 – x
III) 1 + x2 < (1 + x)2
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 52
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21. ¿Cuál es el conjunto de todos los números que están a una distancia mayor que 6
de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?
A) ]6,8[ B) ]6,28[ C) ]−∞, −12[ ∪ ]−6,6[ ∪ ]28, ∞[
D) ]−∞, 28[ E) ]−12, −6[ ∪ ]6,28[
22. Se puede saber con exactitud el número de asistentes a una reunión, si
(1) Al retirarse 15 personas los presentes son a lo menos tres docenas.
(2) Al retirarse 11 personas los presenten son a lo más 4 decenas.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
23. En una empresa el costo de fabricación de chocolates está dado por C = 25000 +
250x, donde x es la cantidad de chocolates. Si cada chocolate se vende a $ 500,
¿cuál es la cantidad mínima de chocolates que se debe vender para tener
utilidades?
A) 56 B) 77 C) 101 D) 150 E) 181
24. Una persona tiene $ p y quiere comprar ciertos artículos, los cuales tienen un valor
de $ a cada uno. Si del total del dinero que tiene, la persona gasta $ q en
locomoción, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la inecuación que
permite conocer la mayor cantidad x posible de artículos que puede comprar la
persona?
A) xp > aq B) ax ≤ p – q C) x + q ≤ ap
D) ax > p – q E) x ≤ a(p – q)
25. Si -3 < 2x – 1 < 3, entonces ¿entre que valores está 3x + 1?
A) ]-3, 3[ B) ]-2, 2[ C) ]-4, 2[ D) ]-4, 7[ E) ]-2, 7[
26. Para que la expresión
1−x+y
x−y
1+x+y
x−y
sea positiva, se debe cumplir necesariamente que
A) xy < 0 B) x < 0 C) xy > 0 D) y < 0 E) x > y
27. ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una distancia mayor
que 4 de 0 y a una distancia menor que 10 de 8?
A) ]−4,18[ B) ]4,18[ C) ]−4, −2[ ∪ ]4,18[ D) ]−∞, 18[ E) ]−∞, −4[ ∪ ]−2,18[ ∪ ]18, ∞[
28. Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47,
entonces el número debe ser menor que
A) 42 B) 49 C) 52 D) 82
7 E)
52
7
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 53
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29. Si 𝑥 − 2𝑦 ≤ −2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. 𝑥 − 2𝑦 + 2 ≤ 0 II. x−2y
−2≥ 1 III. 2𝑦 − 𝑥 ≥ −2
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
30. El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación –6 – 4x 0 es
VIDEOS GUIA A – 06
Ejercicios 1 a 5
Ejercicios 6 a 9
Ejercicios 10 a 13
Ejercicios 14 a 18
Ejercicios 19 a 22
Ejercicios 23 a 30
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ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o cuadrática es una
ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0,
con a, b y c coeficientes reales y a ≠ 0.
Por ejemplo: 4x2 – 5x + 1 = 0
Si a = 1, se denomina Completa Particular y es de la forma
ax2 + bx + c = 0.
Por ejemplo: x2 + 7x + 12 = 0
El cálculo de las soluciones o raíces de estas ecuaciones, x1 y
x2, se determina por factorización o por la fórmula general:
𝐱 =−𝐛 ± √𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
Ejercicios.
1. Las raíces x1 y x2 de la ecuación 2(x2 – 6) = -2x son
A) x1 = √6, x2 = 0 B) x1 =2, x2 = √6
C) x1 =3, x2 =-2
D) x1 =2, x2 = -3 E) x1 =-2, x2 = -3
2. Las raíces de la ecuación x(x – 1) = 20 son
A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5
D) 4 y -5 E) -4 y 5
3. De la ecuación 6x-2 + x-1
= 1, se puede deducir que
A) las soluciones se diferencian en 4 unidades.
B) las soluciones son números impares consecutivos.
C) la razón entre las soluciones es 2 : 3.
D) el producto de las soluciones es -28.
E) la diferencia positiva entre las soluciones es cinco.
Si b = 0, la ecuación se llama Incompleta Pura y es de la
forma ax2 + c = 0.
Por ejemplo: 4x2 - 36 = 0
Y aunque también se pueden determinar sus raíces por la
fórmula general vista, resulta más fácil simplemente despejar
x.
Ejercicio.
Las raíces de la ecuación 2x2 - 18 = 0 son
A) 9 y -9 B) 3 y -3 C) 4 y -4 D) Sólo 3
Si c = 0, se denomina Incompleta Binomia y es de la forma ax2 + bx = 0.
Por ejemplo: 5x2 – 10x = 0
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 55
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Estas ecuaciones se resuelven principalmente por medio de factorización, aunque la
fórmula general igual podría utilizarse.
Ejercicio.
Las raíces de la ecuación 3x2 + 12x = 0 son
A) 0 y -4 B) 0 y 4 C) 4 y -4 D) 0 y 9
Naturaleza de las raíces
El discriminante, b2 – 4ac, determina la naturaleza de las
raíces de la ecuación cuadrática. Por lo tanto:
Si b2 – 4ac > 0, tiene 2 soluciones, siendo estas raíces
reales y distintas.
Si b2 – 4ac = 0, tiene sus soluciones idénticas, o sea, una
única solución real.
Si b2 – 4ac < 0, no tiene solución real. Sus soluciones son
imaginarias, complejas conjugadas.
Ejercicios.
1. Las raíces de la ecuación 3x2 – 4x + k = 0 son complejas, entonces
A) k > 4
3 B) k = 0 C) k ≤
4
3 D) k < −
3
4 E) k =
2
3
2. Para que la ecuación 5x(x + 2) = k, NO tenga raíces reales, deberá cumplirse que
A) k > – 5 B) k < – 5 C) k > 5 D) k < 5 E) k < 100
3. ¿Cuál es el conjunto de todos los valores de p, para que la ecuación en x, (x - p)2 +
8p = 0 tenga dos soluciones reales y distintas?
A) 0, B) − , 0 C) − , 0 D) 0, E)
Propiedades de las Raíces de una ecuación cuadrática.
Las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado
cumplen con las siguientes propiedades:
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 = −𝐛
𝐚
𝐱𝟏 ∙ 𝐱𝟐 =𝐜
𝐚
Ejercicios.
1. Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son 2 + √5 y 2 – √5, es
A) x2 – 4x – 1 = 0 B) x2 – 4x + 1 = 0 C) x2 – 5x + 1 = 0
D) x2 – 5x – 1 = 0 E) Ninguna de las anteriores
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 56
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2. Respecto a la ecuación 7x – 12 – x2 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) La suma de las raíces es 7.
II) El producto de sus raíces es 12.
III) Ambas raíces son positivas.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III
Problemas verbales.
1. Un cuadro rectangular de 30 m2 de superficie tiene un
metro más de largo que de alto. Si x es la medida del alto,
¿cuál de las siguientes ecuaciones permite calcular las
dimensiones del cuadro?
A) x2 – x – 30 = 0
B) x2 – 28 = 0
C) x2 + x – 30 = 0
D) x2 – x + 30 = 0
2. Un sitio rectangular tiene un área igual a 75 metros cuadrados. Si su ancho mide 10
metros menos que su largo, ¿cuánto mide el ancho?
A) 5 m. B) 25 m. C) 7,5 m. D) 15 m.
3. Un jardín rectangular tiene área igual a 24 metros cuadrados. Si su largo mide 2
metros más que su ancho, entonces su largo mide
A) 4 metros B) 6,7 metros C) 4,7 metros D) 6 metros
4. Se puede determinar el largo de una cancha rectangular de área 1.600 metros
cuadrados, si:
(1) El largo de la cancha mide 60 metros más que el ancho.
(2) El perímetro de la cancha es 200 metros, sabiendo que el largo es
mayor que el ancho.
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.
GUIA A – 07
1. Si una de las raíces de la ecuación 2kxx2 =− es -1, la otra raíz es
A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) -1
2. Si -2 es una de las raíces de la ecuación 02kx2 =+−− , el valor de k es
A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 4
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 57
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3. Si el discriminante de 02xax2 =−+ es 0, entonces a =
A) 8
1− B) 0 C)
8
1 D) 2
4. Si el producto de las raíces de la ecuación 0k3xx2 2 =+− es 12, entonces k2 =
A) 4
1 B) 8 C) 9 D) 64 E) 144
5. El producto de las raíces de la ecuación 02xx4 2 =+− corresponde a un número
I. Racional
II. Irracional
III. Entero
De estas afirmaciones son verdaderas
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
6. Al resolver la ecuación 4x 2 =− se obtiene
A) 2
1 B) -2 C) 2 D)
4
1 E)
4
1−
7. En un terreno rectangular, el largo tiene 2 metros más que su ancho. Si su área es
de 24 m2, ¿cuánto mide su largo?
A) 3 m. B) 4 m. C) 6 m. D) 8 m. E) 12 m.
8. El valor del discriminante en la ecuación –x2 – 1 = 0 es:
A) -4 B) -3 C) 1 D) 4 E) 1−
9. El producto de las raíces de la ecuación x2 + 2x – 1 = 0 es:
A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2
10. La ecuación cuadrática que tiene como raíces 1 y -1 es:
A) 01x2 =+ B) 0xx2 =+ C) 0xx2 =− D) x2 − 1 = 0
11. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 3x2 – 2x – 5 = 0?
A) 3
10− y 2 B) -5 y 3 C) -2 y
3
10
D) 3
5− y 1 E) -1 y
3
5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 58
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12. ¿Qué valor debe tener k en 5x2 – 10x + 2k + 6 = 0 para que una de las soluciones
de esta ecuación sea 0?
A) -6 B) -5 C) -3 D) -1 E) 0
13. Si el discriminante de la ecuación 01kxx2 =+− es 4, entonces el valor de k es
A) 2 B) -2 C) 0 D) 22 E) 2
14. En la ecuación (x – 5)(x + 2) = 0, el conjunto solución es
A) 2,5− B) 2,5 − C) 3,10 −− D) 10,10 − E) 10,0
15. El producto de las raíces de la ecuación 2(x – 1)(x + 2) = 0 es
A) -2 B) 0 C) 2 D) 4 E) -4
16. El conjunto de soluciones de la ecuación 06xx2 2 =−+ está formada por dos raíces
A) racionales de igual signo
B) racionales de distinto signo
C) irracionales de igual signo
D) irracionales de distinto signo
E) naturales de distinto signo
17. El cuadrado del producto de las raíces de la ecuación 01x2x2 =−+ es
A) 0 B) 1 C) -1 D) -2
18. Las soluciones de la ecuación 1x3x +=+ son
A) 1 y -2 B) 1 y 2 C) -1 y 2 D) -1 y -2 E) 1 y -1
19. Las raíces de la ecuación 1xx
1=+− son
A) 2
51 +− y
2
51 +− B)
2
51 +− y
2
51 −− C)
2
51 −− y
2
51 −−
D) 2
51 + y
2
51 − E)
2
51 + y
2
51 −−
20. Las raíces de la ecuación 0xax2 =− , con a 0, son
A) 0 y –a B) 0 y a
1 C) 0 y
a
1− D) 0 y a E) a y
a
1−
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 59
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21. Una de las raíces de la ecuación 0cx3x2 =++ es 1, ¿cuál es la otra?
A) 1 B) -1 C) 4 D) -4
22. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en el conjunto de los números
reales?
A) x2 + 8x + 9 = 0 B) x2 − 2x + 9 = 0
C) x2 + 6x + 9 = 0 D) x2 − x − 9 = 0
23. Si k4x2 = , entonces las raíces de la ecuación son
A) 2k y -2k B) k2 y k2− C) k2 y k2−
D) 2k y 2k− E) 4k y – 4k
24. “La suma de dos números es 5 y su producto -14”. La ecuación que permite resolver
este enunciado es
A) 014x5x2 =++ B) 014x5x2 =−+ C) 014x5x2 =+−
D) 014x5x2 =−− E) 05x14x2 =+−
25. Una de las raíces de una ecuación cuadrática es 3 y el término independiente es 15.
La ecuación es
A) (3 – x)(x – 5) B) (x – 3)(x + 5) C) (x + 3)(x – 5)
D) (x + 3)(x + 5) E) (x – 3)(x – 5)
26. “El cuadrado de un número aumentado en 6, equivale al doble del exceso del triple
del número sobre 1”. Un posible número que cumple este enunciado es
A) 1 B) -1 C) 6 D) -6 E) 4
27. Al aumentar en 4 metros el largo y el ancho de una sala, su área aumenta al doble.
¿Cuál es el largo original de la sala, sabiendo que excede en 4 metros a su ancho?
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 32
28. Determinar la edad actual de Alicia si hace 5 años era la raíz cuadrada de la edad
que tendrá en un año más.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
29. El largo de un rectángulo es (x + 3) y su ancho (x + 5). Determinar su perímetro,
sabiendo que su área es 24 2m .
A) 16m. B) 20 m. C) 22 m. D) 28 m.
30. Al resolver la ecuación 1x3x4 +=+ , se obtiene que el menor valor de x es
A) -4 B) -3 C) -2 D) -1 E) 1
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 60
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31. La ecuación de segundo grado cuyas raíces son y β - es:
A) x2 - βx + (β - ) = 0 B) x2 + βx + (β - ) = 0
C) x2 -βx + (β + ) = 0 D) x2 - βx - (β + ) =0
32. La ecuación de segundo grado que tiene como raíces 1
a+b y
1
a−b corresponde a:
A) (a2 – b2)x2 – 2ax + 1 = 0
B) (a – b)2x2 – 2ax + 1 = 0
C) (a2 – b2)x2 + 2ax + 1 = 0
D) (a – b)2x2 + 2ax + 1 = 0
33. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm. y 1 cm. menos que la
hipotenusa. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
A) Sólo 5 cm. B) Sólo 13 cm. C) 2
5 y
2
13 cm. D) 5 y 13
34. ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números enteros distinto de 0, es una ecuación de
segundo grado cuyo discriminante es igual a 25. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones con respecto a las raíces de esta ecuación es (son) siempre
verdadera(s)?
I. Son números racionales.
II. Son números positivos.
III. Son números reales y distintos.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III
35. Las raíces de la ecuación x-2 – 2x–1 = 8 son
A) 2 y 4 B) 2 y 2 C) 0 y 8 D) -4 y -2 E) 2
1y
4
1−
36. Si la ecuación (p - 1)x2 + 2(p - 3)x + p - 3 = 0, en x, con p un número real
distinto de 1, tiene dos soluciones reales distintas, entonces
A) p > 1 B) p = 3 C) p < 3 D) p > 3 E) p < 1
37. Observa la siguiente secuencia de ecuaciones de 2° grado: x2 – x – 1 = 0;
x2 – 8x – 8 = 0; x
2 – 27x – 27 = 0... ¿Cuál es el producto de las raíces de la décima
ecuación?
A) 1.000 B) -729 C) 729
D) 812 E) -1.000
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 61
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38. En la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, una de las raíces es la mitad de la otra.
¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
A) 2b2 = 9ac B) 4b
2 = 9c C) 2b
2 = 9a
D) b2 = 8ac E) 9b
2 = 2ac
39. La ecuación kx(x + 4) = -4, tiene una solución, entonces dicha solución es
A) -2 B) - 1
2 C) 1 + √2
D) 1
2 E) 1
40. En la ecuación x2 – px + 12 = 0 sus raíces x1, x2 cumplen que x1
x2+
x2
x1=
1
12. El
valor de p es
I) 0
II) 5
III) -5
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo I y II E) Sólo II y III
41. En un Concurso de Matemática, existe un problema sobre ecuación de segundo
grado. Un estudiante lo resuelve, pero se equivoca en el término independiente y
obtiene como soluciones 9 y 3. Otro estudiante se equivoca en el coeficiente del
término de primer grado y obtiene como soluciones -7 y -5. ¿Cuál fue la ecuación
planteada del problema?
A) x2 – 12x + 27 = 0 B) x2 - 12x - 35 = 0 C) x2 + 12x + 35 = 0
D) x2 - 12x + 35 = 0 E) x2 + 12x - 35 = 0
42. Sea m un número real, tal que las raíces x1 y x2 de la ecuación
x2 + (m-2)x + m2 - 2m = 0 son reales. El valor de m para los cuales (𝑥1)2 + (𝑥2)2 = 6 es
A) −2
3 B) 2 C) -1 - √5
D) √5 – 1 E) 1 + √5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 62
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VIDEOS GUIA A – 07
Ejercicios 1 a 6
Ejercicios 7 a 12
Ejercicios 13 a 18
Ejercicios 19 a 24
Ejercicios 25 a 31
Ejercicios 32 a 34
Ejercicios 35 a 37
Ejercicios 38 a 39
Ejercicios 40 a 41
FUNCIONES
Una función de A en B, f: A B, es una relación que
asigna a cada elemento x del conjunto A (Dominio) UNO Y
SÓLO UN ELEMENTO y del conjunto B (Codominio).
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 63
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Por ejemplo
El elemento y es la imagen de x, y se denota f(x). El elemento x se denomina
preimagen.
El recorrido es el conjunto de todos los valores posibles de f(x). En general, el
recorrido es un subconjunto del codominio.
En la figura, por ejemplo, el 5 tiene imagen 3, o sea f(5) = 3. Otro ejemplo, la
preimagen de 5 es 6.
La Prueba de la Recta Vertical, consiste en trazar una recta de modo vertical y verificar
que esta recta corta a la gráfica en un único punto si es una función.
Codominio
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 64
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Ejercicios.
1. Sea f: lR → lR, una función definida por f(x) = 2x – 1. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f(0) = -1
II) f(3
5) =
1
5
III) f(a + 1) = 2a + 1
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
2. El dominio de la función f(x) = x
3x+5 es
A) IR – {0} B) IR – {3
5} C) IR – {
5
3} D) IR – {-
5
3}
3. El recorrido de la función f(x) = 2x
5x−1 corresponde a
A) IR – {0} B) IR – {2
5} C) IR – {
5
2 } D) IR – {-
2
5}
Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente (x),
también aumenta la variable dependiente (y).
Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la
variable dependiente disminuye.
Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable
independiente, la variable dependiente toma un único valor.
Ejercicio. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, ¿cuál de las siguientes
alternativas es falsa?
A) f(2)= f(4)
B) f(0) > f(2)
C) f(1)> f(3)
D) f es decreciente en el intervalo [0, 2]
E) f es decreciente en el intervalo [2, 3]
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 65
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FUNCIÓN AFÍN Y FUNCIÓN LINEAL
Se denomina función afín a aquella de la forma: f(x) = mx + n, donde m y n
son números reales distintos de cero.
La gráfica de una función afín corresponde a una línea recta, donde m
determina la inclinación de la recta (pendiente) y n la intersección de la recta con el
eje de las ordenadas (coeficiente de posición).
Si n=0 la función se denomina función lineal y es de la forma f(x) = mx y
gráficamente, corresponde a una recta que pasa por el origen. Si m = 1, entonces f(x)
= x, se denomina función identidad.
La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades:
1. Para todo a y b pertenecientes al dominio de la función, se cumple que
f(a + b) = f(a) + f(b)
2. Para todo a perteneciente al dominio de la función y p lR se cumple que
f(p · a) = p∙f(a)
Ejercicios.
1. La recta de función f(x) = x
5 gráficamente corresponde a
A) Una recta paralela al eje Y
B) Una recta paralela al eje X
C) Una recta que pasa por el origen
D) Una recta que intersecta al eje Y en (0, 3)
E) Una recta de pendiente -3
2. ¿Cuál de las siguientes funciones cumple que f(a + b) = f(a) + f(b)?
A) f(x) = 1 - x B) f(x) = 3x – 1 C) f(x) = 3x D) f(x) = 5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 66
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Puntos de cortes con los ejes. Para determinar los puntos donde la gráfica
intersecta al eje x, se hace y = 0 en la función dada y se resuelve la ecuación
resultante.
Para determinar los puntos donde la gráfica intersecta al eje y, se hace x = 0 en la
función dada y se resuelve la ecuación resultante.
Ejemplo: La intersección de la gráfica de f(x) = 5x – 2 con el eje y es y = 5∙0 – 2;
y = -2. Por lo tanto, el punto de intersección es (0, -2)
Ejercicio.
1. El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la gráfica de la función
f(x) = 3
8x + 3 es
A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36
2. Si f(x) = mx + n es una función afín, se puede determinar el punto de intersección
de la gráfica de f(x) y el eje de las abscisas, si:
(1) f(0) = 2
(2) f(1) = 0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
GUIA A - 08
1. Si f(x) = 1
x 3−, entonces f(-3) + f(-1) =
A) 1
12 B)
−1
5 C)
−5
12 D)
5
12 E) Otro valor
2. De los siguientes gráficos, ¿cuál(es) de ellas NO es(son) función(es)?
I) II) III)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III
y
x
y
x
y
x
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 67
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2𝑥 + 1 ; si x>1
3. Si f(x)=
x - 4 ; si x 1 Entonces se afirma que
I) f(2) = 5 II) f(0) = 1 III) f(-1) = -5
De estas afirmaciones, es(son) verdadera(s)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
4. Sea la función f(x) = {(–8, 1), (–6, 2), (3, 4), (7, 7)}, entonces es verdadero que
I) f-1 = {(1, –8), (2, –6), (4, 3), (7, 7)}.
II) El dominio de la función f es {–8, –6, 3, 7}. III) El codominio y el recorrido son iguales.
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
5. Sea f: lR – {-1} → lR, una función definida por f(x) = 1 +1
1+x. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f(-3
5) > 3,5
II) f(√2) = √2
III) f(a - 1) = a+1
a con a ≠ 0
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
6. El dominio de la función f(x) = 3x
2x+7 es
A) IR – {0} B) IR – {2
7} C) IR – {
7
2} D) IR – {-
7
2}
7. El recorrido de la función f(x) = −x+1
3x−1 corresponde a
A) IR – {0} B) IR – {1} C) IR – {1
3 } D) IR – {-
1
3}
8. El recorrido de la función f(x) = x−3
2−x es
A) IR B) IR – {2} C) IR – {3} D) IR – {-3
2} E) IR – {-1}
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 68
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9. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, ¿cuál de las siguientes
alternativas es FALSA?
A) Dom(f) = [-2, 3]
B) Rec(f) = [-2, 2]
C) f es decreciente en [1, 2]
D) f es creciente en [-2, -1]
E) f no es creciente ni decreciente en [-1, 1]
10. Para que f: IR →IR, donde f(x) = x2 − sea función, el dominio debe ser
A) x ≥ -2 B) x 2 C) x 2 D) x 2 E) x ≤ -2
11. Si f(5x – 1) = – (a + 1) x + 3, entonces el valor de f(-1) es
A) 0 B) 3 C) 1
5 D) a + 5
12. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, ¿cuál de las siguientes
alternativas es FALSA?
A) f es decreciente en el intervalo [0, 2]
B) f(1) > f(3)
C) f(4) < f(1)
D) f(2) + f(3) = 1
E) f es constante en el intervalo [2, 3]
13. Sea f(x) una función tal que f(x) = (a + 1)x – a2, entonces el valor de f(a) es
A) 2a + 1 B) a + 1 C) a D) a - 1
14. Si f(x) = x+3
x−3 , con x ≠3, y f(a + 2) = 3, el valor de “a” es
4)A B) 1 C) -4 D) -1
15. La recta de función f(x) = 4 gráficamente corresponde a
A) Una recta paralela al eje Y B) Una recta que intersecta al eje Y en (0,
4)
C) Una recta que pasa por el origen D) Una recta paralela al eje X
E) Una recta de pendiente 4
16. ¿Cuál de las siguientes funciones cumple que f(a + b) = f(a) + f(b)?
A) f(x) = 1 - x B) f(x) = x + 1 C) f(x) = x D) f(x) = 1
17. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = √−𝑥 − 1 en los números reales?
A) ]−∞, −1] B) ]−∞, −1[ C) [−1, ∞[ D) ]−1, −∞[
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 69
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18. Sea p un número real distinto de cero y f la función definida por f(x) = px, con
dominio los números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA, con
respecto a f, para algún valor de p?
A) La imagen de la suma de dos números reales es la suma de sus imágenes.
B) La preimagen de un número entero es un número entero.
C) La preimagen del cero es el cero.
D) La imagen del doble de un número es el doble de la imagen del número.
E) La imagen de p es un número real no negativo.
19. Un plan telefónico cobra un cargo fijo de $ 2.000 más $ 100 por minuto hablado,
¿cuál de las siguientes funciones modela el cobro en pesos por un gasto de t
minutos con dicho plan?
A) f(t) = 2.100t B) f(t) = 2.100t + 100 C) f(t) = 100t
D) f(t) = 1.900t E) f(t) = 2.000 + 100t
20. Una fábrica de coches durante su segundo año, vendió 4.700 coches y en el quinto
año, vendió 5.315. Si el comportamiento es lineal, ¿cuál es la función que
representa la cantidad de coches que se venderán en el año x?
A) f(x) = 205x + 4.720 B) m(x) = 205x + 4.290 C) g(x) = 205x + 4.698
D) n(x) = 123x + 4.700 E) h(x) = 205x + 4.650
21. El área, en unidades cuadradas, del triángulo formado por los ejes coordenados y
la gráfica de la función f(x) = −1
5x − 4 es
A) -40 B) 20 C) 40 D) 80
22. Se puede determinar la pendiente del gráfico de una función lineal, si se sabe que:
(1) Las variables son directamente proporcionales con constante 4.
(2) Pasa por el punto (–2, –8).
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.
23. En la función f(x) = 3mx + 5, en los reales, se puede determinar el valor de m si:
(1) g(x) = x + 1 y f(1) = g(2)
(2) f(–4) = –11
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
24. Si f(x) = mx + n es una función afín, se puede determinar el punto de intersección
de la gráfica de f(x) y el eje de las abscisas, si:
(1) f(0) = 2
(2) f(1) = 0
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 70
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25. Se puede determinar que la función f(x) = ax + b es creciente si:
(1) a > 0
(2) b = 3
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
VIDEOS GUIA A – 08
Ejercicios 1 a 4
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12
Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 20
Ejercicios 21 a 25
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Se denomina función cuadrática a la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx +
c, con a, b, c números reales y a≠0.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 71
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Ejemplo: f(x) = x2 f(x) = -x2 + 3
Con respecto al coeficiente “a”: Si a > 0, la concavidad de la parábola está orientada
hacia arriba.
Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo.
Un cambio en el valor del coeficiente “a” hace que las ramas de la parábola estén más
o menos abiertas.
Observemos esta situación en el siguiente gráfico:
Con respecto al coeficiente “b”:
Si a > 0 y b > 0, el eje de simetría de la parábola está a la izquierda del eje y.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 72
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Si a > 0 y b < 0, el eje de simetría está a la derecha del eje y.
Si a < 0 y b > 0, el eje de simetría está a la derecha del eje y.
Si a < 0 y b < 0, el eje de simetría está a la izquierda del eje y.
Si b=0, el eje de simetría de la parábola coincide con el eje de las ordenadas.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 73
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Con respecto al coeficiente “c”: La parábola siempre intersecta al eje de las ordenadas
en el punto (0, c).
Por ejemplo: f(x) = x2 – x – 2
Se denomina discriminante a la expresión b2 – 4ac, cuyo valor nos permite saber en
cuántos puntos intersecta la parábola al eje de las abscisas.
Si b2 – 4ac > 0, la parábola intersecta al eje de las abscisas en dos puntos. Estos
puntos son las raíces (o ceros) de la ecuación respectiva, x1 y x2.
Si b2 – 4ac = 0, la parábola intersecta en un único punto al eje de las abscisas. En
este caso, las raíces (o ceros) de la ecuación son iguales, o sea x1 = x2.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 74
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Si b2 – 4ac < 0, la parábola no intersecta al eje de las abscisas. Las raíces (o
ceros) de la ecuación son números imaginarios.
Ejercicio: Determinar en cuántos puntos intersecta la parábola f(x) = x2 – 4x – 4, al
eje de las abscisas.
El Eje de Simetría de la parábola se puede determinar por la expresión x = −𝐛
𝟐𝐚
Ejercicio: Determinar el eje de simetría de la parábola f(x) = 3x2 – 2x +1
El Vértice de una parábola tiene como coordenadas V(x, f(x)). En la función f(x) = x2,
el vértice corresponde al origen (0, 0).
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 75
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Cuando no se encuentra en el origen lo podemos determinar por
𝐕 = (−𝐛
𝟐𝐚, 𝐟 (
−𝐛
𝟐𝐚)) o también como 𝐕 = (
−𝐛
𝟐𝐚,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂)
Ejercicio: Determinar el vértice de la parábola asociada a la función
f(x) = -2x2 + 3x - 5
Si a>0, el vértice corresponde a un mínimo. Si a<0, el vértice corresponde a un
máximo.
Ejercicio: Determinar el valor máximo de la función y = -x2 + 2x – 1.
Ejercicios.
1. Con respecto a la función f(x) = 3x2 + 12x – 10, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Su concavidad está orientada hacia arriba.
II) El punto de intersección con el eje y es (0, -10).
III) Su vértice es (-2, -22)
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Todas ellas
2. Dada la función f(x) = x2 + 2x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es(son) verdadera(s)?
I) x = 1 es un cero de la función.
II) La ecuación del eje de simetría es x = -1.
III) El vértice de la parábola es (-1, -4).
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Todas ellas
3. Respecto a la parábola f(x) = x2 – 9x + 14, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es(son) verdadera(s)?
I) Sus ceros son x1 = 7 y x2 = 2.
II) Intersecta al eje y en (0, 14).
III) Su eje de simetría es x = −9
2.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 76
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FUNCIONES DE LA FORMA f(x) = a(x – h)2 + k
La función cuadrática dada de esta forma, nos permite determinar inmediatamente las
coordenadas del vértice de la parábola V(h, k)
Por ejemplo, comparada con la función cuadrática original, la parábola f(x) = (x – 2)2
+ 3, se traslada h unidades en el eje x (sentido opuesto) y k unidades en el eje y.
Ejercicio: Escribir de la forma a(x – h)2 + k la función cuadrática f(x) = 2x2 – 4x + 3.
Ejercicios.
1. Respecto a la función f(x) = (x − 3)2 + 2 es FALSO que
I) Su vértice es el punto (–3,2).
II) Su concavidad está orientada hacia arriba.
III) Sus ceros de la función no son reales.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III
2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto a la
función f(x) = ax2 + bx + c?
I) Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia
abajo.
II) La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, c)
III) Si a = 0, b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces f es una función afín.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 77
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-5 5
3. Si consideramos la parábola de ecuación y = 3x2 + 6x + 3. ¿Cuál(es) de las
conclusiones siguientes es(son) verdadera(s)?
I. tiene al eje y como eje de simetría.
II. es tangente al eje x.
III. sus ramas se abren hacia arriba
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y II E) I, II y III
4. Considere la parábola 5)1x(2
1y 2 +−= ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) La parábola se abre hacia arriba
II) Su vértice se encuentra en (-1,5)
III) Su eje de simetría es x = 1
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
5. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c.
Entonces, el valor de a, y su vértice son
A) 1; (-8, 15) B) 1; (8, 15) C) 1; (4, -1)
D) -1; (4, -1) E) -1; (-4, -1)
GUIA A - 09
1. La abscisa del vértice de la parábola y = 2x2 + 5x – 3 es:
A) 4
5− B)
4
5 C)
5
1− D)
4
3 E)
2
5−
2. ¿Cuál de las siguientes funciones representa a la gráfica de la figura?
A) f(x) = x2 + 10x - 25
B) f(x) = x2 – 10x + 25
C) f(x) = x2 + 25
D) f(x) = x2 – 25
3. Determine cuál de las siguientes parábolas NO corta al eje de las abscisas:
A) y = x2 + 9x + 18 B) y = -x2 – 8x + 20 C) y = x2 – 15x + 54
D) y = 2x2 + 8x + 7 E) y = x2 – x + 2
x
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 78
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4. Determinar la ecuación de la parábola que muestra la figura.
A) y = x2 – 16 B) y = 4x2 – 16x C) y = x2 + 4x + 4
D) y = x2 + 4 E) y = 4x2 + 16x
5. Con respecto a la función f(x) = 3x2 + 13x – 10, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Su concavidad está orientada hacia arriba.
II) El punto de intersección con el eje y es (0, -10).
III) f(-5) = 0
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
6. Con respecto al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es(son) verdadera(s)?
I) Tiene 2 soluciones.
II) El discriminante es mayor a cero.
III) f(0) = -2
A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
7. Dada la función cuadrática f(x) = x2 + 2x – m, es correcto afirmar que:
I) Si m > -1, existen 2 intersecciones con el eje x.
II) Si m = -1, existe una intersección con el eje x.
III) Si m < -1, no hay intersección con el eje x.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
8. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función
f(x) = x2 – 1?
9. Dada la función f(x) = x2 + 2x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es(son) verdadera(s)?
I) x = 1 es un cero de la función.
II) La ecuación del eje de simetría es x = 1.
III) El vértice de la parábola es (1, 0).
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 79
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10. Determinar A y C, de modo que la parábola f(x)=Ax2 – 3x + C intercepte el eje y,
en el punto (0, -4), e intercepte al eje x en el punto (4, 0).
A) -1 y -4 B) -1 y 0 C) 3 y -4 D) 1 y -4 E) 1 y 4
11. ¿Cuál es el valor de k, si la parábola y = 7x2 – 4x + 2k – 10 pasa por el origen?
A) 10 B) 5 C) 0 D) -5 E) -10
12. La ecuación y = x2 – 2x – 8 representa una parábola. Su vértice tiene
coordenadas:
A) (1, -9) B) (9, 1) C) (0, -8) D) (-1, 9) E) (2, -8)
13. Al desplazar la parábola y = (x - 3)2 + 2, cinco unidades hacia abajo se obtiene la
función
A) y = (x - 8)2 + 2 B) y = (x - 8)2 - 3 C) y = (x - 3)2 – 3
D) y = (x + 2)2 + 2 E) y = (x - 3)2 + 7
14. El vértice de la parábola representado por la función y = 2(3x – 6)2 - 3, es
A) (6, 3) B) (-6, 3) C) (6, -3) D) (-6, -3) E) (2, -3)
15. ¿Cuál debe ser el valor de k para que la parábola y = x2 + kx + 3 tenga su vértice
en el punto (2, -1)?
A) -6 B) -4 C) -3 D) 2 E) 4
16. ¿Cuál es el punto mínimo de la parábola y = x2 + 4x – 5?
A) (-2, -9) B) (2, 9) C) (-2, 9)
D) (2, -9) E) (-2, 18)
17. El vértice de la parábola y = 2x2 – 6x + c, se encuentra en el eje x, luego el valor
de c es
A) 3 B) 0 C) 9
2
D) 2 E) 7
2
18. Las temperaturas registradas durante un día en el norte de Chile, se ajustan a la
función T(x) = -x2 + 24x – 106, donde T es la temperatura en grados Celsius (ºC)
y x es la hora del día en que se registró esta temperatura. ¿A qué hora se registró
la máxima temperatura?
A) 12 AM B) 13 PM C) 10 AM D) 15 PM
19. En una empresa agrícola, la utilidad (en miles de dólares) al vender x repuestos
para tractores agrícolas está dada por la función, U(x)=-6x2 + 132x. La cantidad
de repuestos que se deben vender para obtener la máxima utilidad es
A) 132 B) 11 C) 6 D) 1
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 80
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20. Un granjero dispone de 1.000 metros de cerca para construir tres corrales
rectangulares, paralelos e idénticos, como muestra el dibujo. ¿Cuál es la mayor
área total que puede cercar?
A) 250 m2 B) 31.250 m2 C) 62.500 m2 D) 46.875 m2
VIDEOS GUIA A – 09
Ejercicios 1 a 4
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12
Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 20
FUNCION INVERSA
Función Inyectiva: Son aquellas en que ningún elemento del
recorrido es imagen de más de un elemento del dominio.
Formalmente, sea f: A → B una función, para todo x1, x2
perteneciente a A,
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
Ejercicio: Determinar si la función f(x) = 4x – 1 es inyectiva.
Para saber gráficamente si se trata de una función inyectiva, se
traza una línea recta horizontal sobre la misma, y si ésta la
intersecta solamente en un punto, entonces se dice que la función es inyectiva.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 81
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Función inyectiva Función no inyectiva
Función Epiyectiva (Sobreyectiva): son aquellas en que todos los elementos del
recorrido son imágenes de a lo menos un elemento del dominio. Formalmente, sea f: A
→ B una función, para todo y perteneciente a B, existe un x perteneciente a A tal que
f(x) = y.
Ejercicio: Determinar si la función f(x) = x2 – 1 es epiyectiva (sobreyectiva).
Función Biyectiva: Corresponde a la función que es inyectiva y epiyectiva a la vez.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 82
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Ejercicio: Determinar si la función f(x) = x3 – 2 es biyectiva.
Función Inversa: Esta existe sólo para las funciones biyectivas. Si f : A → B entonces
la función inversa f−1 : B → A.
La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para
números reales. Únicamente se usa como notación de la función inversa.
f-1(x) ≠ 1
f(x) pero (f(x))-1 =
1
f(x)
En general, las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la recta de ecuación y = x.
Función inversa de una función afín y lineal.
Para la función afín, biyectiva, definida de IR en IR como f(x) = mx + n, con m y n
distintos de 0, se tiene que su función inversa, de IR en IR, es f-1(x) = x−n
m.
Para la función lineal, biyectiva, definida de IR en IR como f(x) = mx, con m distinto
de 0, se tiene que su función inversa, de IR en IR, es f-1(x) = x
m.
Ejercicios:
1. Determinar la inversa de la función f(x) = 2x – 1 y graficar ambas.
2. Determinar la inversa de la función f(x) = 3x y graficar ambas.
Función inversa de una función cuadrática
Para que una función cuadrática tenga función inversa se deben restringir su dominio y
su recorrido de manera que resulte una función biyectiva. Para realizar esta restricción
nos basaremos en el vértice de la parábola correspondiente, a no ser que el ejercicio
platee otra situación.
Ejercicios:
1. Determinar la inversa de la función f(x) = x2 + 2 y graficar ambas.
2. Determinar la inversa de la función f(x) = (x+1)2 y graficar ambas.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 83
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Respuestas gráficas:
3. ¿Cuál es la función inversa de la función cuadrática f: A ⊂ IR B ⊂ IR, definida por
f(x) = x2 + 6x + 8.
4. Determinar la inversa de la función f: ]−∞, 3] → [−8,+∞[, definida en por
f(x) = x2 − 8x + 7.
5. Sea f: − , 3 → B, definida por f(x) = (x - 3)2. Si f es biyectiva, entonces su inversa
es f-1(x) = -√𝑥 + 3, con x en B.
GUIA A - 10
1. Para la función con dominio en los números reales f(x) = 3x + 7, se define g(x)
como su función inversa. A partir de esto, ¿cuál de las siguientes alternativas
representa a la función g(x)?
A) g(x) = x – 7
3 B) g(x) =
x + 7
3 C) g(x) =
x – 3
7 D) g(x) =
x + 3
7
2. De los siguientes gráficos, ¿cuál(es) de ellas NO es(son) función(es) inyectiva(s)?
I) II) III)
A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
3. De las siguientes funciones definidas en el conjunto de los números reales, ¿cuál es
una función inyectiva?
A) f(x) = x2 + 1 B) g(x) = 4 C) h(x) = 5x – 3
D) m(x) = x(x + 2) E) p(x) = (x – 4)(x + 1)
y
x
y
x
y
x
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 84
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4. Sea f: A → B, donde A = {1,2,5,6} y B = {4,7,8}, ¿cuál de las siguientes funciones
f es epiyectiva?
A) f = {(1,4), (2,7), (6,8)}
B) f = {(1,4), (2,4), (5,7)}
C) f = {(1,4), (2,7), (5,7), (6,8)}
D) f = {(2,4), (5,7)}
E) f = {(1,4), (2,4), (5,8), (6,8)}
5. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones definidas de lR → lR es (son) biyectiva(s)?
I) f(x) = 5x
II) f(x) = x + 7
III) f(x) = x2
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
6. Sea la función biyectiva f(x) = 3x3 – 4, entonces f–1(20) es
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
7. En la función f(x) = 2x + a, el valor de f(2) es 5, entonces f-1(3) es
A) -7 B) -2 C) 1 D) 7
8. Se define la función f(x) = 2𝑥+4
𝑥+1, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es
(son) verdaderas?
I. Dom f = IR
II. Rec f = y ∈ IR / y ≠ 2}
III. f es inyectiva
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III
9. ¿Cuál es la función inversa de f(x) = 3x + 1?
A) f–1(x) = -x + 3 B) f–1(x) = x – 3 C) f–1(x) = –3x – 1
D) f–1(x) = x + 3 E) f–1(x) = 𝑥−1
3
10. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones definidas de lR → lR es (son) epiyectiva(s)?
I) f(x) = x II) f(x) = 7 III) f(x) = x2
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
11. Sea la función f(x) = (x – 3)2 definida en lR, ¿cuál debe ser su dominio y recorrido
para que la función tenga función inversa?
A) f : IR+→ R B) f : [3, [ → R+ C) f : IR - {3} → R+ U {0}
D) f : [3, [→ R+ U {0} E) f : [-3, [→ R+
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 85
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12. Sea f: − , 3 → B, definida por f(x) = (x - 3)2, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f no es inyectiva.
II) Si B es 0, , entonces f es epiyectiva.
III) Si f es biyectiva, entonces su inversa es f-1(x) = -√𝑥 + 3, con x en B.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) Solo II y III E) I, II y III
13. ¿Cuál debe ser el codominio de la función f(x) = √𝑥 para que sea una función
sobreyectiva?
A) Todos los reales
B) Sólo los reales positivos
C) Sólo los reales positivos, incluido el 0
D) Sólo los reales negativos
E) Sólo los reales negativos, incluido el cero.
14. Si f(x) = 2x2 – 7x + 6, ¿cuál deberá ser el dominio de esta función para que sea
inyectiva?
A) IR B) IR - {3
2, 2} C) ]−∞,
7
4] D) [
3
2, 2]
15. Sea f, función definida en IR, f(x) = 2x – 144 ¿Cuál es el dominio de f -1(x)?
A) IR B) IN C) Z D) IR – {0} E) IR – {72}
16. Si f: [−3,3] → [−2,3] es una función, cuyo gráfico se muestra
en la figura adjunta, ¿cuál de los gráficos, en las siguientes
opciones, representa mejor al gráfico de la función inversa de
f?
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 86
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17. Sea f una función afin, tal que f : IR → IR y f-1 es su función inversa. Si f(2) = 4 y
f-1(3) = 5. ¿Cuál es el valor de f-1(4) + f(5) + f-1(f(4))?
A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13
18. Dada la función f: IR − {−3
7} → IR − {
2
7}, donde f(x) =
2x − 7
7x + 3, entonces es
verdadero que
I) f(x) es inyectiva
II) f(x) es sobreyectiva
III) f −1(x) =3x + 7
2 − 7x
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
19. Con respecto a la función f(x) = x + 3, definida en el conjunto de los números
reales. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) f(x) es inyectiva.
II) f(x) es epiyectiva.
III) La gráfica de f(x) es paralela con la gráfica de f-1(x).
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II
D) Solo II y III E) I, II y III
20. Dada la función f ∶ IR − {−3} → IR − {3}, definida por f(x) =3x − 1
x + 3 , su inversa f-1(x) es
A) 3x+1
x−3 B)
x+3
3x−1 C)
3x+1
3−x D)
3x−1
3−x
21. Sea f: [2, +∞[ → B una función real tal que f(x) = – x2 + 4x + 12. Se puede
afirmar que existe la función inversa de f, si:
(1) f es epiyectiva.
(2) B = ]–∞, 16]
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
VIDEOS GUIA A – 10
Ejercicios 1 a 4
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 87
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Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 21
FUNCION POTENCIA
Función Potencia: Son aquellas de la forma f(x) = axn,
donde a es un número real, distinto de 0 y n es un número
entero, distinto de 0 y 1. Veamos los siguientes casos que se
pueden dar, de acuerdo con los valores que tomen a y n.
CUANDO n ES UN NÚMERO PAR POSITIVO
Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par
positivo, su grafica es simétrica respecto del eje y (Función Par).
Ejemplo:
f(x) = 2x4 g(x) = -3x2
a > 0 a < 0
Dom f = Dom f =
Rec f = Rec f =
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CUANDO n ES UN NÚMERO IMPAR POSITIVO
Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar positivo, su grafica es
simétrica respecto al origen (Función Impar).
Ejemplo:
f(x)= 5x7 g(x) = -2x3
a > 0 a < 0
Dom f = Dom f =
Rec f = Rec f =
CUANDO n ES UN NÚMERO PAR NEGATIVO
Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par negativo, su grafica es
simétrica respecto del eje y.
Ejemplo: f(x) = 4x-2 g(x) = -5x-4
a > 0 a < 0
Dom f = Dom f =
Rec f = Rec f =
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CUANDO n ES UN NÚMERO IMPAR NEGATIVO
Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar negativo, su grafica es
simétrica respecto al origen.
Ejemplo: f(x) = 3x-3 g(x) = -4x-7
a > 0 a < 0
Dom f = Dom f =
Rec f = Rec f =
Regla nemotécnica de Perich para la función potencia.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 90
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Ejercicio: Completar la siguiente tabla con los valores de n, a, gráfico, dominio y
recorrido de las funciones potencias dadas.
Función n a Gráfico Dominio Recorrido
g(x) = 2x3
f(x) = -5x4
h(x) = 3x-3
i(x) = 3x4
j(x) = -2x-4
k(x) = -x-5
l(x) = 4x-2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 91
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m(x) = -2x3
GUIA A - 11
1. El dominio de la función f(x) = -2x-3 es
A) IR B) IR – {0} C) IR+
D) IR- E) IR+ U {0}
2. El recorrido de la función f(x) = 3x-2
A) IR B) IR – {0} C) IR+
D) IR- E) IR+ U {0}
3. ¿En cuál(es) de las siguientes funciones reales el dominio es igual al recorrido?
I) f(x) = 3x4
II) g(x) = –2x3
III) h(x) = x2
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) I, II y III
4. ¿Cuál de las siguientes funciones al graficarla tiene asíntotas?
A) f(x) = 2x2 B) g(x) = -x2 C) h(x) = -3x3
D) i(x) = 5x-3 E) j(x) = -x7
5. Si a es un número real negativo y n es un número entero mayor que 2, ¿cuál(es) de
los siguientes gráficos podría(n) representar a una función de la forma f(x) = (ax)n?
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 92
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6. ¿Cuál de las siguientes funciones se puede representar por el gráfico dado?
A) 2x4 B) 5x3
C) -2x-2 D) 3x-4
7. ¿Cuál de las siguientes funciones se puede representar por el gráfico dado?
A) -x-7 B) -4x3
C) -5x-4 D) 2x-3
8. ¿Cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen su grafica en el segundo y cuarto
cuadrante?
I) f(x) = x7
II) g(x) -5x5
III) h(x) = 4x-3
A) Solo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III
9. Respecto de la función f(x) = axn, de la figura, ¿cuál o
cuáles de las siguientes afirmaciones es o son correcta(s)?
I) a > 0
II) n es un impar negativo
III) El eje x es una asíntota de la función
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo II y III E) I, II y III
10. Un tipo de bacteria se reproduce al doble cada hora que pasa. Si se hace un
cultivo en el que inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuántas bacterias habrá al cabo
de 5 horas?
A) 32.000 B) 10.000 C) 16.000 D) 64.000
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 93
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11. Considere la función f(x) = x3 con dominio el conjunto de los números reales.
¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s), para todo número
real?
I) f(-x) = f(x)
II) f(-x) = -f(x)
III) f(-2) < f(-1)
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) Solo I y III E) Solo II y III
12. ¿Cuál de las siguientes funciones, definidas en los números reales, es una función
inyectiva?
I) f(x) = -2x6
II) g(x) = 5x-4
III) h(x) = -3x-5
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo I y II E) Sólo II y III
13. Sean p(x) = x3 y m(x) = x4 funciones en los reales. Considerando el plano
cartesiano, NO es correcto afirmar que el gráfico de
A) p(x) tiene simetría central con respecto al origen.
B) h(x) = – x4 y el grafico de m(x) son simétricos con respecto al eje X.
C) p(x) tiene simetría axial con respecto al eje Y.
D) m(x) no tiene simetría axial con respecto al eje X.
14. En un laboratorio se trabaja con tres tipos de bacterias, las cuales se reproducen
de tal manera que en un día la cantidad de microorganismos de uno de los tipos se
duplica, del otro tipo se triplica y los terceros se cuadruplican, dependiendo de las
condiciones ambientales que existen. Si inicialmente había dos bacterias de cada
tipo, ¿cuántas bacterias en total habrán después de una semana?
A) 2(27 + 37 + 47) B) 76 C) 7∙27 D) 2∙97
15. En una hora, cierto tipo de bacteria duplica su número. En el mismo periodo de
tiempo la cantidad de otro tipo de bacterias aumenta 3 veces. Si en un
determinado momento hay 2 bacterias de cada tipo, ¿cuántas habrá luego de 3
horas?
A) 35 B) 70 C) 54 D) 125
16. Al anestesiar a un paciente, se debe monitorear la concentración de anestesia en
el torrente sanguíneo. En el tiempo t > 0, en horas, desde que se aplicó la droga,
la concentración fue modelada por c(t) = 25
t2. Si la anestesia se debe volver a
inyectar cuando su concentracion baje a 1 mg/L, ¿en cuánto tiempo se debe volver
a inyectar a la persona?
A) 5 horas B) 1 hora C) 2,5 horas D) 2 horas
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 94
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17. Sea f(x) una función con dominio del conjunto de los números reales definida por
f(x) = mxn, con m un número real distinto de cero y n un número entero positivo
tal qué 0 < n ≤ 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Para cualquier m y n las gráficas de las funciones tienen un eje de simetría.
B) Si f(a) = f(b) entonces a = b, para todo n y m.
C) La función f no puede ser decreciente.
D) Sí para n = 1 se tiene que f se denota por g, para n = 2, se tiene que f se
denota por h y para
n = 3 se tiene que f se denota por t, entonces hay al menos un punto donde
se intersectan las gráficas de g, h y t.
E) Para m < 0 y para n un número par, el recorrido de f es el conjunto de los
números reales positivos.
18. Si una función real de la forma f(x) = axn. Se puede determinar los valores de "a"
y "n", si se sabe que:
(1) f(1) = 1
(2) f(2) = 8
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
19. Se puede determinar cuál es el dominio de la función f(x) = axn si se sabe que
(1) a = 4
(2) n = 3
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
20. Se puede concluir que el grafico de la figura, que
representa a la función de tipo f(x) = axn, se puede
obtener sabiendo que
(1) a es un número real negativo.
(b) n es un número entero negativo.
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 95
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VIDEOS GUIA A – 11
Ejercicios 1 a 4
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12
Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 20
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Se llaman Transformaciones Isométricas de una figura a las
transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de ella, sólo cambian su
posición.
Entre las transformaciones isométricas están las Traslaciones, las
Rotaciones (o giros) y las Simetrías (o reflexiones).
TRASLACIONES
Las traslaciones son aquellas isometrías que
permiten desplazar en línea recta todos los puntos del
plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una
determinada dirección (Horizontal, vertical u oblicua),
sentido (Derecha, izquierda, arriba, abajo) y distancia,
por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama
su “vector de traslación”.
En un sistema de coordenadas, el vector de
traslación está representado por el par ordenado (x, y)
donde x representa el desplazamiento horizontal e y el desplazamiento
vertical.
(+, +) (+, -) (-, +) (-, -)
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 96
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Ejercicios.
1. En la figura, ¿cuál es el vector de traslación que se
aplicó al triángulo A para obtener el triángulo B?
A) (8, -4) B) (8, 4) C) (4, -10)
D) (10, 4) E) (10, -4)
2. Si al triángulo ABC de coordenadas A(1, 1); B(4, 2) y C(2, 3), se le aplica una
traslación vertical de modo que el vértice C queda en el eje x, ¿cuáles serían las nuevas
coordenadas de B?
A) (1, -2) B) (4, -2) C) (3, -1) D) (3, -2) E) (4, -1)
ROTACIONES O GIROS
Las rotaciones, son aquellas isometrías que
permiten girar todos los puntos del plano. Toda rotación
queda definida por su centro de rotación y por su ángulo
de giro. El punto o centro de rotación puede formar parte
de la figura, del interior o ser un punto exterior de ella.
Si la rotación se efectúa en sentido contrario a como
giran las manecillas del reloj, se dice que la rotación es
positiva o antihoraria; en caso contrario, se dice que la
rotación es negativa u horaria.
Si en un sistema de coordenadas se rota el punto (x, y) con respecto al
origen (0, 0), en un ángulo de giro de 90º, 180º, 270º ó 360º, las coordenadas de
los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla:
Punto inicial R(O, 90º) R(O, 180º) R(O, 270º) R(O, 360º)
(x, y)
Ejercicios.
1. Al aplicar una rotación de centro en el origen y ángulo de
giro de 270º, en sentido horario, al punto
A = (3, 1), se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son
A) (1, -3) B) (-3, -1) C) (1, 3)
D) (-3, 1) E) (-1, 3)
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 97
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2. Si al triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(-3, 1), se le aplica la rotación con
respecto al origen R(0, 90º) se transforma en el triángulo A’B’C’, y a éste se le
aplica la traslación T(2, 1), se obtiene el triángulo A’’B’’C’’, cuyos vértices son
A) A’’ (-1, 1); B’’ (-4, 1); C’’ (-1, -3) B) A’’(-1, 1); B’’(-4, 1); C’’(-1, 3)
C) A’’(1, 2); B’’(-2, 2); C’’(-1, -2) D) A’’(-3, 2); B’’(-2, 0); C’’(-1, 0)
E) A’’(1, 2); B’’(-2, 2); C’’(1, -2)
SIMETRÍAS
Las simetrías o reflexiones son aquellas
transformaciones isométricas que invierten los puntos y
figuras del plano. Las simetrías pueden ser Central y
Axial.
Simetría Central, con respecto a un punto O, llamado
centro de simetría y los puntos obtenidos por la
reflexión, puntos correspondientes u homólogos.
o.
Una simetría central respecto de un punto O equivale a una rotación de 180º
de centro O.
Simetría Axial, con respecto de un eje de simetría. Donde cada punto P
de la figura y su imagen P’ equidistan de este eje y el segmento PP’ es perpendicular
a dicho eje.
Ejercicios.
¿Cuál es el punto simétrico del punto A(-1, -3) con respecto a la recta x = 4?
(Explicación: recta x = 4 es la recta paralela al eje y e intercepta al eje x en el
punto (4, 0))
A) (-1, 3) B) (8, 3) C) (8, -3) D) (9, 3) E) (9, -3)
El eje de simetría de una figura divide a la figura en dos partes
simétricas, de modo tal que si dobláramos la figura, una de sus partes calzaría
exactamente con la otra parte. Una figura puede no tener eje de simetría, o tener
un eje, o más de un eje, o infinitos ejes.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 98
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Ejercicio: Determinar los ejes de simetría que tiene un
triángulo equilátero, un triángulo isósceles, un triángulo
escaleno, un cuadrado, un rectángulo, un trapecio
cualquiera, un trapecio isósceles, un deltoide, un
pentágono regular, un hexágono y un círculo.
TESELACIONES: Teselar una superficie consiste en
cubrirla completamente con figuras, de modo que estas
encajen perfectamente sin dejar espacios (huecos) por
cubrir.
- Todos los triángulos y todos los cuadriláteros teselan por sí mismo el plano.
- Los únicos polígonos regulares que teselan por si mismo el plano son: el
triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
- Si queremos teselar el plano utilizando dos o más polígonos, es necesario que en
cada vértice la suma de todos los ángulos sea 360º.
Maurits Cornelis Escher, fue un artista holandés conocido por sus
grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles,
teselados y mundos imaginarios.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 99
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GUIA G - 01
1. ¿Cuál es el vector traslación que transforma el triángulo
ABC en el triángulo DEF?
A) (5, 1) B) (5, 2) C) (2, 5)
D) (-5, 2) E) (-5, -2)
2. El punto simétrico de (-3, 5) respecto al eje de las
ordenadas, es:
A) (3, -5) B) (5, -3) C) (-5, -3) D) (3, 5) E) (5, 3)
3. El punto homólogo del punto (3, 2), al girarlo en 90º en torno al origen, es
A) (2, -3) B) (3, -2) C) (-2, -3) D) (2, 3) E) (-2, 3)
4. El punto (2, 5) se traslada quedando en el punto (-3, 2), ¿cuál es el vector de
traslación?
A) (-3, -5) B) (3, 5) C) (-5, -3)
D) (-1, 7) E) (7, -1)
5. ¿Cuál(es) de las siguientes transformaciones permite(n) que el punto (2, 2) quede
en el punto (-2, 2)?
I. Reflexión respecto al eje de las abscisas
II. Reflexión respecto al eje de las ordenadas
III. Rotación en torno al origen en 90º
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
6. Los puntos (a, b) y (x, y) son simétricos respecto al eje y, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. a = x II. y = b III. b = x
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Sólo I y III
7. La ilustración de la figura muestra un detalle de una de las obras del artista gráfico
Maurits Cornelius Escher. Esta figura puede considerarse:
A) Teselación de dos figuras base, que han sido
transformadas por simetrías.
B) Teselación de dos figuras base, con isometrías de
traslación.
C) Teselación de dos figuras base, con rotaciones de 60º
D) Teselación de una sola figura base, que ha sido
transformada por traslaciones.
E) Teselación de una sola figura, con rotaciones y traslaciones.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 100
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8. El punto (-2, 3) se refleja en torno al origen quedando en el punto (a, b); entonces
el valor de (a – b) es
A) -5 B) -1 C) 1 D) 2 E) 5
9. La figura adjunta puede ser obtenida por
I. Traslación II. Rotación III. Simetría
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III
10. Al triángulo de vértices A, B y C, cuyas coordenadas son (-1, -2); (2, -2) y (2, 2),
respectivamente, se le aplica una rotación de 90° con centro en A, ¿cuál será la
coordenada del vértice C del triángulo en la nueva posición?
A) (1, -5) B) (-5, 1) C) (3, -5) D) (-5, 3) E) (3, 5)
11. Si a una circunferencia cuyo diámetro tiene extremos A(3, 7) y B(5, -1) se le
aplica una traslación según un vector de traslación (-3, 3), las coordenadas de su
nuevo centro son
A) (1, 6) B) (7, 0) C) (0, 10) D) (2, 2) E) (-4, 7)
12. El triángulo que resulta al rotar, con centro en el origen, en sentido horario y ángulo
de 90º, el triángulo de vértices: A = (2, 3), B = (7, -2) y C = (5, 8), tiene
coordenadas
A) A = (-3, 2); B = (2, 7); C = (-8, 5)
B) A = (3, -2); B = (-2, -7); C = (8, -5)
C) A = (3, 2); B = (-2, 7); C = (8, 5)
D) A = (-2, -3); B = (-7, 2); C = (-5, -8)
E) A = (-2, 3); B = (-7, -2); C = (-5, 8)
13. Con respecto a la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) Al rotar el punto A en 90° con respecto al
origen, sus nuevas coordenadas serán b
, a3
− −
.
II) El punto simétrico axial de A con respecto al eje de las
abscisas tiene por coordenadas ba,
3
−
.
III) Al rotar el punto A en –180° con respecto al origen, sus nuevas coordenadas
serán ba,
3
− −
.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
-a
y
A
x
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 101
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14. A todos los puntos del plano cartesiano, se les
aplica una simetría central con respecto al punto
P. ¿Cuál(es) son las coordenadas del punto
homólogo de T?
A) (0, -8) B) (-1, 1) C) (-1, -9)
D) (0, 8) E) (-1, 8)
15. Las isometrías mostradas en los cuadros I, II y III corresponden respectivamente a
A) reflexión – simetría axial – traslación B) simetría central – rotación – traslación
C) reflexión – rotación – traslación D) simetría central – rotación – reflexión
E) reflexión – traslación – rotación
16. Las coordenadas del punto (x, y), perteneciente al segundo cuadrante, después de
una simetría central con respecto al origen del sistema cartesiano está representado
por
A) (x, y) B) (x, -y) C) (-x, y) D) (-x, -y) E) x y
,2 2
17. El punto P’’ se obtiene por simetría axial del punto P’ con respecto a la recta x = 1
y P’ es el punto homólogo a P(-1, -3) respecto al eje X. ¿Cuáles son las
coordenadas del punto P’’?
A) (1, 3) B) (3, 3) C) (1, -3) D) (-1, 3) E) (-3, 3)
18. ¿Cuál de las siguientes figuras carece de simetría central?
A) Circunferencia B) Hexágono regular C) Romboide
D) Cuadrado E) Triángulo equilátero
19. En el plano cartesiano, luego de aplicar la traslación T1(-8, 1) al triángulo ABC de
vértices A(14, 3), B(16, 3) y C(16, 0) se transforma en el triángulo A’B’C’; y a éste
se le aplica la traslación T2(-5, 1), obteniéndose el triángulo A’’B’’C’’ cuyo vértice
C’’ es:
A) (8, 1) B) (11, 1) C) (24, 1) D) (29, 2) E) (3, 2)
• 10
y T
x
P
3 6
0
1
I) II) III)
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 102
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20. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras al rotarlas por el punto indicado, coinciden con la
figura original?
I) El cuadrado rotado en 90° con respecto a la intersección de sus diagonales.
II) La circunferencia rotada en torno a su centro.
III) El triángulo equilátero rotado en 60° en torno a uno de sus vértices.
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
21. Dado el eje L y el punto M de la figura 4, ¿qué
trasformación isométrica hay que aplicar a la mitad
izquierda para obtener la mitad derecha del dibujo?
A) Una rotación en 90º y centro M.
B) Una simetría con respecto al eje L.
C) Una traslación.
D) Una simetría con respecto a M.
E) Una rotación en 180º y centro M.
22. Al aplicar una rotación de centro en el origen y
ángulo de giro de 270º, en sentido antihorario, al
punto A de la figura 1, se obtiene el punto A’ cuyas
coordenadas son
A) (2, 7) B) (-2, -7) C) (7, -2)
D) (7, 2) E) (-7, -2)
23. En la figura, ¿cuáles de los cuadriláteros numerados son una
traslación del cuadrilátero sombreado?
A) 4, 14 y 10 B) 6, 8 y 12 C) 6, 10 y 12
D) 10, 12 y 14 E) 1, 6 y 14
24. En la figura, al punto B se la aplica una rotación en 90º
con respecto al punto A, en sentido horario. Las nuevas
coordenadas del B son
A) (6, 2) B) (6, -3) C) (6, -7)
D) (-3, 6) E) (6, -5)
25. Un triángulo ABC tiene coordenadas
A(3, -4), B(3, 5) y C(-2, 5). Si se aplica una traslación
según el vector (p, q) y las nuevas coordenadas de A son A’(7, 5), ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) (p, q) = (4, 9)
II) B’ = (7, 14)
III) C’ = (2, 13)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 103
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26. Las siguientes figuras están construidas a partir de un cuadrado. Si los sacados y
agregados son congruentes en cada figura, ¿con la repetición de cual(es) de ellas
es posible teselar el plano?
A) Sólo con I B) Sólo con II C) Sólo con I o con II
D) Sólo con I o con III E) Con I, con II o con III
27. Al romboide ABCD de la figura se le ha trazado las diagonales
y numerado los cuatro triángulos que se generan. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El Δ1 es una simetría de centro en P del Δ3.
II) El Δ2 es una rotación de 180º y centro P del Δ4.
III) El ΔABC es una reflexión del ΔCDA cuyo eje de simetría pasa por AC.
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
28. Al aplicar una rotación de centro en el origen y ángulo de giro de 270º, en sentido
horario, al punto A(-2, 7), se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son
A) (2, 7) B) (-2, -7) C) (7, -2)
D) (7, 2) E) (-7, -2)
29. Sobre los segmentos AB, CD y EF se han construido rectángulos congruentes, como
se muestra en las figuras que aparecen en (I), en (II) y en (III). ¿Cuáles de estas
figuras tienen sólo un eje de simetría?
A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III
D) I, II y III E) Ninguna de ellas
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 104
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30. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura en -90º
con centro p?
31. Al segmento AB de la figura, se le aplica una simetría
(reflexión) con respecto al punto P, resultando un
segmento A’B’, entonces las coordenadas de B’ son
A) (2, 2)
B) (2, 5)
C) (5, 2)
D) (2, 3)
E) (2, -1)
32. Si al triángulo de vértices M(1, 2), N(2, 5) y P(3, 3) se le aplica una rotación con
centro en el origen del sistema de ejes coordenados, se obtiene un triángulo de tal
forma que el vértice homólogo a M es
M’(-2, 1). ¿Cuáles de los siguientes puntos corresponden a los otros dos vértices
del triángulo homólogo?
A) (-1, 4) y (0, 2) B) (5, -2) y (3, -3) C) (-1, -2) y (-3, -1)
D) (-5, 2) y (-3, 3) E) (-2, -5) y (-3, -3)
33. Considere el triángulo ABC, donde dos de sus vértices son A(-1, 2) y B(-3, 6). Si a
este triángulo se le aplica una traslación de modo que la imagen del punto A
pertenece al eje de las ordenadas y está a la misma distancia del origen que se
encuentra A, ¿cuál de las siguientes coordenadas podrían corresponder a la
imagen del punto B?
A) (1, √5 - 2) B) (-2, 4 + √5) C) ( √5 - 2, 4)
D) (√5 + 1, -2) E) (-2 - √5, 4)
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 105
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34. El triángulo rectángulo de la figura adjunta, se rota sucesivamente con centro en
el origen del sistema de ejes coordenados, en 60º y en sentido antihorario. ¿En
cuál de las opciones se muestra mejor la posición en que queda el triángulo
después de 90 rotaciones?
VIDEOS GUIA G – 01
Ejercicios 1 a 6
Ejercicios 7 a 10
Ejercicios 11 a 14
Ejercicios 14 a 18
Ejercicios 20 a 25
Ejercicios 26 a 29
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 106
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Ejercicios 30 a 32
Ejercicios 33 y 34
SEMEJANZA, TEOREMA DE THALES Y HOMOTECIA
FIGURAS SEMEJANTES. Dos figuras son semejantes si sus
segmentos correspondientes, u homólogos, son proporcionales
y sus ángulos iguales. Es decir, tienen "la misma forma" y sólo
se diferencian en su tamaño.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: Dos triángulos son
semejantes si:
1º) dos de los ángulos de uno de ellos son congruentes a dos
ángulos respectivos del otro. (AA)
2º) tienen un ángulo congruente comprendido entre lados
proporcionales. (LAL)
3º) tienen sus lados respectivos proporcionales. (LLL)
Ejercicios
1. En la figura, ABCD es paralelogramo. Si E está en la prolongación de CD̅̅ ̅̅ , entonces,
es(son) FALSA(S) las siguientes afirmaciones:
I. ABF semejante al DEF
II. EFD semejante al EBC
III. ABF semejante al CEB
A) Sólo III B) Sólo I Y II
C) Sólo I y III D) I, II y III
E) Ninguna
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 107
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2. En el ΔABC de la figura, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I. ΔAHD~ΔCHE
II. ΔADC~ΔBDC
III. ΔAEB~ΔCDB
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
Teorema: En triángulos semejantes, dos
lados homólogos están en la misma razón que
dos trazos homólogos cualesquiera y también
están en la misma razón que sus perímetros.
a
a′=
b
b′=
c
c′=
h
h′=
t
t′=
p∆ABC
p∆A′B′C′= k
Teorema: Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al
cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera.
á∆ABC
á∆A′B′C′= k2
Estos teoremas también son válidos en polígonos semejantes. Ejercicio.
Las alturas homólogas de dos triángulos semejantes miden 4√2 y 10√2 . Entonces, la
razón de sus perímetros, respectivamente, es
A) 16 : 10 B) 10 : 4 C) 4 : √2 D) 2 : √2 E) 2 : 5
TEOREMA DE THALES: Si dos rectas secantes se cortan por
dos o más paralelas, los segmentos determinados en una de
ellas son, respectivamente, proporcionales a los segmentos
determinados en la otra.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 108
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En las figuras, DE̅̅ ̅̅ // BC̅̅̅̅ , por lo tanto, algunas proporciones que se pueden formar son
AB̅̅ ̅̅
AD̅̅ ̅̅=
AC̅̅̅̅
AE
AD̅̅ ̅̅
DE̅̅ ̅̅=
AB̅̅ ̅̅
BC̅̅̅̅
AD̅̅ ̅̅
DB̅̅ ̅̅=
AE̅̅̅̅
EC̅̅̅̅
Ejercicios.
1. En el ΔABC rectángulo en C de la fig., DE̅̅ ̅̅ ⊥ BC̅̅̅̅ . Si ED̅̅ ̅̅ = 8,
BD̅̅ ̅̅ = 10 y
DA̅̅ ̅̅ = 20, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio CADE?
A) 56 B) 62 C) 64 D) 70 E) 192
2. El perímetro del triángulo ABC, con L1//L2, es:
A) 9
B) 12
C) 18
D) 36
E) 48
LA ESCALA COMO RAZÓN DE SEMEJANZA
La escala es la razón de semejanza entre un dibujo, un plano,
mapa y el objeto real.
PLANO : REALIDAD
Existen tres escalas: Escala Natural 1:1, Escala de Ampliación,
por ejemplo 2:1 y la Escala de Reducción, por ejemplo, 1:2.
Ejercicios.
1. ¿Cómo representar en un plano a escala 1:320 una longitud medida en el terreno de
54,32 metros?
1 : 320 = plano : realidad
1 : 320 = x : 54,32 metros
320x = 54,32 m
X = 54,32 m/320 = 0,16975 m = 16,975 cm
Aproximadamente 17 cm. en el plano, para representar los 54,32 m medidos en el
terreno.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 109
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2. En un plano a escala 1:320 se ha representado una distancia dada con un valor de
17 cm. ¿Cómo calcular el valor real de la distancia representada?
1 : 320 = plano : realidad
1 : 320 = 17 cm : x
x = 17 cm x 320
x = 5.440 cm = 54,40 m
El valor real de la distancia representada es de 54,40 m.
3. En un plano, un segmento mide 12 cm. Si su medida equivale a 48 m. reales. ¿Cuál
es la escala del plano?
x : y = plano : realidad
x : y = 12 cm : 48 m
x : y = 12 cm : 4.800 cm
Se simplifica, entonces x : y = 1 : 400
La escala del plano es 1:400.
HOMOTECIA: Se llama homotecia de centro O y razón k≠0, a
la transformación del plano que hace corresponder a un punto
P un punto homólogo P’, alineado con O y con P, tal que cada
punto P’ cumple que
OP′̅̅ ̅̅ ̅
OP̅̅ ̅̅ = k.
HOMOTECIA DIRECTA: Si k > 0, la homotecia se denomina Directa
En la figura se representa la homotecia directa del polígono ABCDE.
Si k > 1, resulta el polígono homólogo A’B’C’D’E’. (Más grande)
Si 0 < k < 1, resulta el polígono A’’B’’C’’D’’E’’. (Más pequeño)
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 110
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HOMOTECIA INVERSA: Si k<0, la homotecia se denomina Inversa. Por ejemplo, en la figura se representa una homotecia de centro O y razón -2 al
triángulo ABC:
Ejercicios.
1. Si al triángulo ABC de vértices A(0, 2), B(2, 1) y C(1, 1) se le aplica una homotecia
de centro (4, 4) y razón de homotecia -2, ¿cuál es la imagen de A?
A) (-8, -6) B) (12, 8) C) (8, 10) D) (-8, -4) E) (-4, 0)
2. En la figura se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2
que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5
que transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) Si BQ̅̅ ̅̅ es igual a 5 cm, entonces BF̅̅̅̅ es igual a
2,5 cm.
II) OH̅̅ ̅̅ = 1
3 de SH̅̅̅̅
III) EH̅̅ ̅̅ //PS̅̅ ̅
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II
D) Sólo I y III E) I, II y III
GUIA G - 02
1. El ancho real de una autopista es de 24 metros. Si el plano en el que se encuentra
dibujada está a escala 1:200, ¿cuántos milímetros tendrá de ancho en el dibujo?
A) 0,012 mm B) 0,12 mm C) 1,2 mm D) 12 mm E) 120 mm
2. En un plano a escala 1:300 se ha representado una distancia dada con un valor de
15 cm. ¿Cuál es el valor real de la distancia representada?
A) 5 m B) 15 m C) 45 m D) 50 m E) 500 m
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 111
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3. A qué escala estará dibujado el plano de un colegio, si sabemos que la puerta
principal de entrada tiene de ancho 3,40 m, y en el plano hemos medido con la
regla 68 mm.
A) 20:1 B) 2:1 C) 1:10 D) 1:20 E) 1:50
4. Si una mosca real tiene una longitud de 9 mm y su maqueta mide 18 cm ¿A qué
escala se realizó la maqueta?
A) 2:1 B) 10: 1 C) 20:1 D) 1:20 E) 1:2
5. Un mapa utiliza una escala de 1 : 20.000. Si en el mapa la distancia entre dos
ciudades es de 5,4 cm; entonces en la realidad la distancia es
A) 0,108 km B) 10,8 km C) 1,18 km D) 1,8 km E) 1,08 km
6. Las dimensiones de una fotografía son 6,5 cm y 2,5 cm. Esta se quiere ampliar de
manera que el lado mayor mida 26 cm, ¿cuánto medirá el lado menor?
A) 13 cm B) 25 cm C) 15 cm D) 10 cm E) Otro valor
7. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados
del primero son 18, 21 y 30, determina el perímetro del segundo triángulo.
A) 69 cm B) 23 cm C) 92 cm D) 51,75 cm E) Otro valor
8. Dos triángulos equiláteros son semejantes con razón de semejanza 3 : 2. Si el lado
del triángulo menor es de 30 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo mayor?
A) 135 cm B) 45 cm C) 50 cm
D) 60 cm E) No se puede determinar
9. En la figura, sean el ∆ABC ~ ∆PQR, si los perímetros respectivos, están en la razón
3 : 1 y AD = 15 cm, entonces PS mide
A) 1 cm
B) 3 cm
C) 5 cm
D) 10 cm
E) 15 cm
10. En la figura, el área del ∆ABC es 48 cm2. Si
DE//BC, ¿cuál es el área del ∆ADE?
A) 32 cm2 B) 52 cm2 C) 60 cm2
D) 72 cm2 E) 108 cm2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 112
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11. Si en la figura, L1//L2//L3, entonces x - y =
A) 8 B) 10 C) 12
D) 16 E) 18
12. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que L1//L2?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
13. En el ∆ABC rectángulo en C de la figura, DE ⊥ BC. Si ED = 4, BD = 5 y
DA = 10, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio CADE?
A) 28
B) 31
C) 32
D) 35
E) 96
14. Determinar la medida de DB si AD = 20 cm.,
AC = 6 cm. y ED = 18 cm.
A) 9 cm. B) 11 cm. C) 12,6 cm.
D) 54 cm. E) Otro valor
15. Si al triángulo ABC de vértices A(0, 2), B(2, 3) y C(3, 0) se le aplica una
homotecia de centro (5, 4) y razón de homotecia 2, ¿cuál es la imagen de C?
A) (1, -4) B) (2, -6) C) (-1, -4) D) (0, -4) E) (-2, -6)
16. A un cuadrado de vértices A(2,2) ; B(2,-2) ; C(-2,-2) y D(-2,2) se le aplica una
homotecia cuyo factor de homotecia es 3, con centro en el origen. Entonces es
cierto que la figura resultante:
I) Es un cuadrado
II) Es una ampliación de la original
III) Contiene el vértice A'(3,3)
A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III
D) I, II, III E) Ninguna de las anteriores.
C D A
B
E
58° 58
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 113
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17. En la figura se muestran dos homotecias: una de centro
O y razón de homotecia 2 que transforma a ABCD en PQRS
y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que
transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si BQ̅̅ ̅̅ es igual a 5 cm, entonces BF̅̅̅̅ es igual
a 2,5 cm.
II) OH̅̅ ̅̅ = 1
3 de SH̅̅̅̅
III) EH̅̅ ̅̅ //PS̅̅ ̅
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
18. Un triángulo ABC es homotético al triángulo A’B’C’, respecto a O, con razón k=2.
Si el área del triángulo ABC es 12 cm2, entonces el área del triángulo A’B’C’ es:
A) 6 cm2 B) 12 cm2 C) 24 cm2
D) 48 cm2 E) No se puede determinar.
19. En la figura, el triángulo ABC es homotético a A’B’C’, respecto a O, con razón k. La
altura del triángulo ABC, desde el vértice C, es
A) 3 B) 4 C) 12
D) 5
12 E) No se puede determinar
20. ABCD es paralelogramo, DE = 15, EF = 4, FB = 20.
Determinar CF.
A) 100 B) 6 C) 4
D) 5 E) No se puede determinar
21. En la figura, AB = a, BC = b, CE = c. Si BD//CE, entonces DB queda determinado
por la expresión:
A) c
)ba(a + B)
ba
ac
+ C)
a
bc
D) b
ac E)
c
ab
22. En la figura, L1 // L2. Si EC = 36 cm. y CB = 81 cm.,
entonces =
CABárea
CDEárea
A) 9
4 B)
3
2 C)
81
16 D)
4
9 E)
2
3
D
E
C B A
C
F
D
E
A B
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 114
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23. Los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura 3, son semejantes. S y S’ representan las
áreas del primer y segundo triángulo respectivamente. Si S : S’ = 1 : 4, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?
I) a : a’ = 1 : 2
II) hc : hc’ = 1 : 4
III) hc : hc’ = tc : tc’
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III E) I, II y III
24. La razón entre las áreas de dos rectángulos semejantes es 1 : 4. Si el perímetro
del rectángulo más pequeño es 12, ¿cuál es el perímetro del mayor de los
rectángulos?
A) 12 cm B) 16 cm C) 24 cm
D) 32 cm E) 48 cm
25. En la figura, ABCD es un paralelogramo en el cual FE//DB, ¿cuál(es) de las
siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) ∆ABD ~ ∆CFE
II) ∆BDC ~ ∆FEC
III) ∆ABD ~ ∆CDB
A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
26. En el triángulo ABC de la figura, PQ es tal que el CPQ es
congruente con el CBA. Si AB = 45 cm, AC = 54 cm y
PQ = 15 cm, entonces CQ mide
A) 6 cm B) 9 cm C) 12 cm
D) 15 cm E) 18 cm
27. En la figura, AC es diagonal del romboide ABCD. Si E, D y C son colineales,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Δ ABG ~ Δ CEG
II) Δ CGB ~ Δ AGF
III) Δ EDF ~ Δ ECB
A) Solo III B) Solo I y II C) Solo II y III
D) I, II y III E) Ninguna de ellas.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 115
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28. En un triángulo isósceles, su base mide 15 cm y cada uno de sus lados
congruentes mide 10 cm. Si en un triángulo semejante al anterior el perímetro mide
20 cm, entonces la suma entre sus lados congruentes mide
A) 80
7 cm B)
80
3 cm C) 16 cm
D) 35 cm E) ninguna de las medidas anteriores.
29. En el triángulo ABC de la figura, DE = 3 cm, DC = 2 cm y EC = 4 cm. Si ΔAED ~
ΔBEC, ¿cuánto mide CB?
A) 9 cm
B) 8 cm
C) 7 cm
D) 6 cm
E) 5 cm
30. AC//DE; AC = 15 cm., DE = 5 cm., BE = 3 cm., CE =
A) 13 cm. B) 10 cm. C) 9 cm.
D) 6 cm. E) 1 cm.
31. En el trapecio ABCD de la figura, E y F son puntos medios de AD y BC,
respectivamente. Si BG = 12 cm, FG = 6√3 cm y EG = √6 cm, ¿cuánto mide AG?
A) 36√2 cm
B) 12√2 cm
C) 9√2 cm
D) 2√2 cm
E) 1,5√2 cm
32. En la figura, ST//QR, si SQ = 2x + 1, QP = x + 2,
TR = 3x + 5, RP = x + 6. La expresión que permite
determinar x es
A) 6x
5x3
2x
1x2
+
+=
+
+ B)
1x2
5x3
6x
2x
+
+=
+
+ C)
6x
11x4
3x3
2x
+
+=
+
+
D) 11x4
5x3
1x2
3x3
+
+=
+
+ E) 11x43x3 +=+
A D
B
E C
S
T R
Q
P
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 116
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33. ABMN trapecio. NC = 8 cm, MC = 12 cm, BC = 15 cm. El segmento AC mide:
A) 22,5 cm. B) 11 cm. C) 10 cm.
D) 6,4 cm. E) Otro valor
34. En la figura, AC̅̅̅̅ es bisectriz del ángulo BAD y el triángulo BCD es isósceles en C.
¿Cuál(es) de las siguientes semejanzas es (son)
verdadera(s)?
I) EAD ~ EBC
II) CED ~ BEA
III) ACD ~ BDC
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III
D) I, II y III E) Ninguna de ellas.
35. En la diagonal BD de un cuadrado ABCD (fig. 1) se establece
un punto P tal que en el rectángulo AQPR, AR : RP = 3 : 1.
Entonces, DP : AP =
A) √2 : 2
B) √2 : 5
C) 1 : 2
D) √5 : 5
E) 4 : 5
36. En el triángulo ABC de la figura adjunta, D pertenece a AC, E pertenece a BC y DE
// AB. Si AB = 24 cm, BC = 16 cm, CE = 12 cm y CD = 9 cm, entonces el
perímetro del trapecio ABED es
A) 50 cm B) 47 cm C) 49 cm
D) 45 cm E) 103 cm
C
N M
B A
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 117
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VIDEOS GUIA G – 02
Ejercicios 1 a 8
Ejercicios 9 a 14
Ejercicios 15 y 16
Ejercicios 18 a 21
Ejercicios 22 a 24
Ejercicios 25 a 28
Ejercicios 29 a 32
Ejercicios 33 a 36
GEOMETRÍA ANALÍTICA 2D: LA RECTA
Sistema de coordenadas cartesianas: El sistema de coordenadas cartesianas en el
plano está constituido por dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto
llamado origen.
A la recta horizontal se le da el nombre de eje X o eje de las abscisas; a la otra recta,
vertical, se le denomina eje Y o eje de las ordenadas, y ambas constituyen los dos
ejes de coordenadas rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes llamadas
cuadrantes.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 118
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En este sistema de coordenadas, la posición de un punto P en el plano queda
determinada mediante una pareja de números reales (x, y).
El nombre de “cartesiano” es en honor del filósofo francés René Descartes (1596-1650)
ya que fue él quien planteó de manera formal la idea de resolver problemas geométricos
por medio del álgebra, a partir de un sistema de coordenadas rectangulares.
La Recta: Si graficamos expresiones como y = 2x; y = 3x – 1;
y = -2x + 2; vemos que todas ellas corresponden a líneas rectas.
Por lo tanto, se concluye que toda recta es de la forma y = mx
+ n, donde m y n son números reales distintos de cero. El valor
m recibe el nombre de pendiente y el de n, coeficiente de
posición. Si n=0 la recta es de la forma y = mx.
La pendiente m determina la inclinación de la recta y el
coeficiente de posición n la intersección de la recta con el eje
de las ordenadas.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 119
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Cuando un punto pertenece a una recta, se dice que ese punto (x, y) satisface la
ecuación. Por ejemplo, el punto (3, 4) satisface la ecuación y = x + 1, ya que al
reemplazarlo se verifica la igualdad 4 = 3 + 1.
Ejercicios.
1. La recta y = 3x gráficamente corresponde a
A) Una recta paralela al eje Y B) Una recta paralela al eje X
C) Una recta que pasa por el origen D) Una recta que intersecta al eje Y en (0,
3)
E) Una recta de pendiente -3
2. ¿Qué valor debe tener k para que la recta (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 pase por el
punto (2, 1)?
A) 2 B) 0,5 C) 0 D) -0,5 E) -2
3. Si la ecuación de una recta es 10x - 2y = 20, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La pendiente de la recta es 10.
II) La gráfica de la recta intersecta al eje y en el punto (0, 20).
III) La gráfica de la recta intersecta al eje x en el punto (2, 0).
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos, A(x1, y1) y B(x2, y2), se
determina mediante la expresión
dAB̅̅ ̅̅ = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Para verificar esta fórmula lo podemos hacer aplicando el
teorema de Pitágoras.
El punto medio de un segmento AB̅̅ ̅̅ corresponde al punto P que se encuentra a igual
distancia de los extremos del trazo o segmento. Así
P = (x1+x2
2,
y1+y2
2)
Ejercicio. La distancia entre los puntos P(3, -5) y el punto medio del segmento de
extremos A(-10, 2) y B(-8, -2) es
A) 11 B) 12 C) 13 D) 41 E) 11
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 120
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Pendiente de la recta que pasa por dos puntos.
La pendiente de una recta que pasa por los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), corresponde a
la inclinación de esa recta y se determina por m =y2−y1
x2−x1. Para determinar la medida
del ángulo de inclinación se debe utilizar trigonometría.
Ejercicio. Si los puntos A(2, 3), B(3, -2) y C(a, 8) son colineales, entonces el valor de
a es
A) 5 B) 3 C) 1
D) -3 E) -7
Ecuación de la recta. La ecuación de una recta se puede expresar en forma
principal, o sea de la forma y = mx + n, o en forma general que corresponde a la
forma ax + by + c = 0. Para determinarla debemos conocer los valores de su
pendiente y del coeficiente de posición.
Ejercicios.
1. La ecuación general de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y que tiene pendiente
3 es
A) 3x + y – 9 = 0 B) 3x – y – 9 = 0 C) 3x – y + 9 = 0
D) 3x – y - 3 = 0 E) 3x + y + 3 = 0
2. La ecuación principal de la recta que pasa por los puntos A(4, -3) y B(2, 1) es
A) y = -2x + 3 B) y = 2
x + 2 C) y = -2x + 5
D) y = 2x + 3 E) y = 2x + 5
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales
y sus coeficientes de posición distintos.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 121
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Por ejemplo, la recta y = 2x + 1 con y = 2x + 3.
Ejercicios.
1. El valor de k en la ecuación de la recta 1x5
ky −= para que sea paralela a la recta
de ecuación 2x – y – 7 = 0 es
A) -10 B) - 1
10 C) 2
D) 10 E) 20
2. La recta paralela a L: 3x – 7y + 2 = 0 y que además pase por el origen es
A) L1: 3x – 7y = 0 B) L2: 3x – 7y – 2 = 0 C) L3: 7x + 3y = 0
D) L4: 7x – 3y = 0 E) L5: 3x = -2
Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Por
ejemplo, la recta y = 3x - 2 con y = −13x+ 1.
Ejercicios.
1. ¿Para qué valor de k la recta L1: 3x + 2y – 5 = 0 es perpendicular a la recta
L2: kx – 5y + 8 = 0?
A) 2
15 B)
15
2− C)
10
3− D)
3
10 E) otro valor
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 122
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2. Si L1: 10y – 8x + 3 = 0. L2: 5y – 4x – 15 = 0 y L3: 4y + 5x – 8 = 0. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) L1 // L2.
II) L2 ⊥ L3.
III) L1 ⊥ L3.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) I, II y III
GUIA G - 03
1. La pendiente de la recta determinada por los puntos A(2, 3) y B(-1, 2) es
A) 3
1 B)
3
1− C) 3 D) -3 E) 5
2. La pendiente de la recta pasa por los puntos A(1, -1) y B(-6, a) es 1
4, el valor de a es
A) −6
5 B) −
6
7 C) −
3
4 D)
11
4 E) −
11
4
3. La ecuación de la recta cuya pendiente es -1 y su coeficiente de posición es 1, se
representa por
A) y = x + 1 B) y = x -1 C) y = -x – 1 D) y = - x + 1
4. El punto (1, -1) pertenece a la recta
A) y = x B) y + x = 1 C) x – y = 1 D) y + x = 0
5. ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una función cuyo coeficiente de posición es
0?
6. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y tiene pendiente 3?
A) y + 3x + 7 = 0 B) y = 3x - 7 C) y + 3x – 7 = 0
D) 3x – y + 7 = 0 E) y = 3x + 5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 123
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7. El punto de coordenadas (a, 2) pertenece a la recta y = 2x – 1, entonces el valor de
a es
A) 2
3 B)
3
2 C) 3 D) 1 E) 2
8. La pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 3x – 2 es
A) 2
1 B)
3
1− C)
2
1− D)
3
1 E) 3
9. El coeficiente de posición de la recta 3
1x2y
+−= es
A) 3
2− B) 3 C) -2 D) 1 E)
3
1
10. Una recta paralela al eje x tiene pendiente
A) 1 B) -1 C) 0 D) Infinita
11. La pendiente de la ecuación y = kx – 1 es 2
1, entonces el coeficiente de posición de
la ecuación 4x – 2y + 3k = 0 es
A) 4
3 B)
2
3 C) 2 D)
2
1 E) -3
12. El coeficiente de posición de la recta 5x – 2y = -1
A) 5 B) -2 C) -1 D) 2
5 E)
2
1
13. ¿Cuál(es) de las siguientes rectas es(son) paralela a la recta x + y = 3?
I. x + y = 6
II. 42
yx=
+
III. 5x + 5y = 15
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II
D) Sólo I y III E) Sólo II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 124
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14. Una recta perpendicular a la recta y = 3 es
I. x = y
II. x = 3
III. x = 3
1−
A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
15. Si 4 es la pendiente de la función 3kx – 2y = -1, entonces el valor de k es:
A) 12 B) 3
4 C)
3
8 D)
4
3 E)
3
8
16. En la función 1 = 2x, la pendiente es
A) 1 B) 2 C) 2
1 D) 0 E) Infinita
17. El coeficiente de posición de la recta que pasa por los puntos A(-1, 3) y B(-2, 4) es
A) -1 B) -2 C) -3 D) 1 E) 2
18. La pendiente de la recta perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y = 1 es
A) 3
2 B)
2
3 C)
3
2− D)
2
3− E) -1
19. La recta que pasa por el origen y tiene pendiente -1 es
A) y = -x B) y = x C) y = 0 D) y = -1 E) x = -1
20. Un alumno para determinar la pendiente m de la recta 5x + 2y – 1 = 0, efectúa los
siguientes pasos
I. 5x + 2y = 1
II. 2y = 1 – 5x
III. 2
x51y
−=
IV. y =1
2−
5x
2
V. 2
1m =
¿En qué paso cometió un error?
A) I B) II C) III D) IV E) V
21. La ecuación de la recta cuyo coeficiente de posición es -1, puede corresponder a
A) 1xy +−= B) xy −= C) 01yx =++ D) –y = x – 1 E) x = -1
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 125
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22. La pendiente de la recta paralela a la recta de ecuación x21y −= es
A) -2 B) 2 C) 2
1 D)
2
1− E) -1
23. Si la recta y = 3x – 1 es perpendicular a la recta y = ax + 1, el valor de a es
A) 3 B) -3 C) 3
1− D)
3
1 E) -1
24. La pendiente de la recta que intercepta al segmento AB en forma perpendicular,
donde A(-4, -5) y B(1, -6), es
A) 5
1− B) 5 C)
5
1 D) -5 E)
3
11
25. Las rectas 03kyx2 =++ y 01y2kx =−+ son paralelas, entonces el valor de k
puede ser
I) 2 II) -2 III) 0
De estas afirmaciones es(son) verdadera(s)
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III
26. ¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente igual a 7?
27. En el gráfico de la figura adjunta está representada la recta
de ecuación Px + Qy = R, con a y b números reales
positivos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se puede
deducir a partir de esta información?
A) P < 0 B) R > 0 C) P < Q
D) PR > 0 E) PQ < 0
28. La ecuación general de la recta que pasa por el punto (4, -3) y tiene pendiente −2
3
es
A) 2x + 3y + 17 = 0 B) 2x + 3y – 17 = 0 C) 2x + 3y – 6 = 0
D) 2x – 3y – 1 = 0 E) 2x + 3y + 1 = 0
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 126
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29. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,1
2) y (−2, −
3
2) es
A) 𝑦 =3
2𝑥 − 1 B) 𝑦 = −
3
2𝑥 + 2 C) 𝑦 = −
2
3𝑥 +
7
6 D) 𝑦 =
2
3𝑥 −
1
6 E) 𝑦 =
2
3𝑥 +
1
3
30. ¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 y 3x – 5y = 6 sean
perpendiculares?
A) −10
3 B) −
6
5 C)
6
5 D)
5
4 E)
10
3
31. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -1) y es paralela a la recta
2y – x + 8 = 0?
A) x – 2y – 2 = 0 B) 2x + y – 7 = 0 C) x – 2y + 6 = 0
D) x – 2y – 6 = 0 E) x – 2y + 9 = 0
32. Dos empresas A y B ofrecen las siguientes ofertas de conexión a Internet:
A: $ 9.000 por 40 horas + $ 900 por cada hora adicional.
B: $ 10.500 por 40 horas + $ 600 por cada hora adicional.
¿Al cabo de cuántas horas daría lo mismo usar cualquiera de los dos servicios?
A) 5 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60
33. ¿Cuál es el área del triángulo que forma la recta 2x - 3y + 6 = 0 con los ejes
coordenados?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
34. Sean L1: px + 2y = 1 y L2: 2x + py = -2 dos rectas del plano cartesiano, con p un
número real distinto de cero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I) Si p ≥ 2, entonces L1 y L2 se intersectan en un único punto.
II) Si p = -2, entonces L1 y L2 se intersectan en infinitos puntos.
III) Si p ∈ ]−2, 0[ U ]0, 2[, entonces L1 y L2 son paralelas.
A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas
35. Se tienen las rectas, L1: 5x – 4y = 4 y L2: kx + 4y = 12. ¿Qué valor debe tener
k para que ambas rectas sean paralelas?
A) 4
5 B) 5 C) -
5
4 D)
5
4 E) -5
36. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta que jamás se
intersecta con la recta de ecuación y = 8x - 1?
A) y + 8x = 1 B) y + 8x = -1 C) y - 1
8x = 1
D) y + 1
8x = 1 E) y - 8x = 1
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 127
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37. Un recipiente de 15 litros de capacidad pierde 0,125 litros cada hora. Si el recipiente
está lleno, entonces la relación entre los litros que quedan (y) con las horas (x) es
A) y 15 125x= − B)1
y 15 x4
= − C) y 15 12,5x= −
D)1
y 15 x8
= − E) y =125
15 x100
−
38. Con respecto a la ecuación de la recta x - y - 3 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes
aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) La recta tiene pendiente positiva.
II) La recta pasa por el punto (0,3).
III) La recta intersecta al eje x en el punto (3,0).
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
39. De las rectas 6x + 3y – 4 = 0 y 2x + y = -5, se puede decir que:
I. Son paralelas. II. Son perpendiculares. III. Se interceptan en un punto
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III
40. En la recta de la figura, el valor de p es
A) 4 B) 15
4 C) 7
D) 5 E) 5
12
41. La ecuación de la recta de pendiente 3 y cuyo coeficiente posicional es negativo y
que además forma con los ejes coordenados un triángulo de área 12, es
A) y = 3x + 2 B) y = 3x + 6 2 C) y = 3x + 2
D) y = 3x – 6 2 E) y = 26x3
1+
42. La recta 3x + my = 3m, forma un triángulo de área 6 con los ejes del primer
cuadrante, ¿cuál es el valor de m?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 128
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VIDEOS GUIA G – 03
Ejercicios 1 a 8
Ejercicios 9 a 14
Ejercicios 15 a 20
Ejercicios 21 a 25
Ejercicios 26 a 30
Ejercicios 31 a 33
Ejercicios 34 a 38
Ejercicios 39 a 41
Ejercicio 42
COMBINATORIA
Principio Aditivo: Se aplica cuando se realiza un evento, que
tiene m formas de realizarlo, o el otro evento con n formas de
realizarlo. El total de formas es m + n.
Ejercicios.
1. Un repuesto de automóvil se vende en 3 tiendas de Puerto
Natales y en 8 tiendas de Punta Arenas. ¿De cuántas formas se
puede adquirir el repuesto?
A) 38 B) 83 C) 11 D) 24
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 129
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2. Para viajar de Puerto Montt a Temuco se puede optar por avión, autobús o tren.
Existen 3 rutas para el avión, 4 para el autobús y 2 para el tren. ¿Cuántas rutas hay
para viajar?
A) 24 B) 12 C) 9 D) 4 E) 2
Principio Multiplicativo: Se aplica cuando se realiza un evento, que tiene m formas
de realizarlo, y luego se realiza el otro evento, con n formas de realizarlo. El total de
formas es m∙n.
Ejercicios.
1. Si Rodrigo dispone de 4 camisas diferentes y 3 pantalones, también diferentes,
entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede vestirse Rodrigo?
A) 3 B) 4 C) 7 D) 12 E) 24
2. ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos: 1; 2; 3; 4 y 5, si se pueden repetir los dígitos?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25
Entonces, ¿cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y
cuando del aditivo?
Es muy simple, si la actividad a desarrollar tiene varias alternativas para ser llevada a
cabo, haremos uso del principio aditivo. Cuando se trata de una sola actividad, la cual
requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del
principio multiplicativo.
Ejercicio. De la ciudad A a la ciudad B, se puede ir mediante 2 buses o 3 trenes. De la
ciudad B a la ciudad C se puede ir mediante 2 barcos, 2 trenes o 3 aviones. ¿De
cuántas formas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B?
A) 35 B) 12 C) 72 D) 5
Factorial: Sea n un número natural, entonces n! = 1∙2∙3∙∙∙∙∙(n-1)∙n. Definiéndose
0! = 1.
Ejemplo: 5! = 5∙4∙3∙2∙1 = 120
Fórmula de recurrencia. La expresión n! se puede expresar como n·(n − 1)! o como
n(n – 1)(n – 2)!, también n(n – 1)(n – 2)(n – 3)!, etc.
Ejemplo: 7! = 7∙6!
k! = k∙(k-1)∙(k-2)!
8! = 8∙7∙6∙5!
Esta fórmula de recurrencia nos será muy útil cuando tengamos que resolver ejercicios
de combinatoria.
Ejercicios. Calcular a) 7!∙4!
6! b)
12!
4!∙8!
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 130
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PERMUTACIÓN
Es la agrupación de n elementos en grupos de k elementos,
donde k = n. Los elementos de cada grupo pueden estar en
otro orden en algún otro grupo. Por lo tanto, importa el
orden.
P = n!
Ejercicios.
1. ¿Cuántos números de 4 cifras podemos escribir con los
dígitos 6, 7, 8, y 9, sin que ninguno se repita?
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 24
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse cinco personas en una fila de
butacas?
A) 5 B) 10 C) 20 D) 60 E) 120
Permutación con repetición: Son los distintos grupos de n elementos que se pueden
hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces
indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación.
𝐏𝐫 =𝐧!
𝐧𝟏! ∙ 𝐧𝟐! ∙∙∙ 𝐧𝐤!
Ejercicios.
1. En el mástil de señales de un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4
verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9
banderas?
A) 9 B) 24 C) 288 D) 9! E) 1.260
2. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la
palabra MATEMATICA?
A) 6! B) 10! C) 10!
2!∙3! D)
7!
10! E)
10!
2!∙2!∙3!
Permutación circular: Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en
círculo", no habiendo un primer o último elemento. Importa el orden y para calcular
sus permutaciones se considera fija la posición de uno de los elementos.
𝐏𝐜 = (𝐧 − 𝟏)!
Ejercicios.
1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 4 personas alrededor de una mesa
redonda?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 24 E) 64
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 131
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2. En un grupo de 6 amigos, hay una pareja de novios. ¿De cuántas maneras pueden
sentarse alrededor de una fogata, si los novios deben sentarse siempre juntos?
A) 6 B) 12 C) 24 D) 48 E) 64
VARIACIÓN
Es la agrupación de n elementos en grupos de k elementos,
donde k<n. Los elementos de cada grupo pueden estar en otro
orden en algún otro grupo. Por lo tanto, importa el orden.
V = 𝐧!
(𝐧−𝐤)!
Ejercicios.
1. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los
dígitos 1, 3, 5, 7 y 9, sin repetir ninguno de ellos?
A) 120 B) 60 C) 30 D) 15 E) 5
2. Marta, Raquel y Alejandro se han presentado a un concurso de pintura. El concurso
otorga $200.000 al primer lugar y $100.000 al segundo. ¿De cuántas formas se
pueden repartir los premios de primer y segundo lugar?
A) 2 B) 3 C) 6 D) 9
Variación con repetición: Es la agrupación de n elementos tomados de k en k a
todas a las agrupaciones que podemos formar con m elementos de A
independientemente de que se pueda repetir alguno.
𝐕𝐫 = 𝐧𝐤
Ejercicios.
1. Con un punto y una raya (símbolos clásicos del alfabeto Morse), ¿cuántas señales
distintas de 5 dígitos pueden hacerse?
A) 5 B) 16 C) 32 D) 64 E) 120
2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
A) 3 B) 10 C) 243 D) 120 E) 125
COMBINACIÓN
Es la agrupación de n elementos en grupos de k elementos,
con k<n, en que los elementos de cada grupo no pueden estar
en otro orden en algún otro grupo. O sea, no importa el
orden de los elementos.
C = 𝐧!
𝐤!(𝐧−𝐤)!
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 132
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Ejercicios.
1. En un curso de 20 alumnos se quiere formar una comisión de 3 alumnos. ¿De
cuántas maneras distintas se puede formar dicha comisión?
A) 3 B) 60 C) 20! D) 1.140
2. Para aprobar un examen de 5 preguntas hay que contestar bien 2 de ellas. ¿De
cuántas formas diferentes se pueden elegir las dos preguntas?
A) 2 B) 5 C) 10 D) 20
Combinación con repetición: La combinación se efectúa en grupos con repetición de
los elementos y donde no importa el orden de los elementos.
𝐂𝐫 =(𝐧 + 𝐤 − 𝟏)!
𝐤! (𝐧 − 𝟏)!
Ejercicios.
1. En una actividad deportiva, en la que participan 10 personas, se va a hacer entrega
de 3 diplomas a participantes que destacaron durante el primer semestre del año.
Determinar de cuántos modos puede hacerse, si los diplomas son iguales y un mismo
participante puede recibir más de uno.
A) 120 B) 1000 C) 720 D) 220
2. En un negocio se venden bebidas de 8 marcas diferentes. ¿De cuántas formas se
pueden elegir 5 bebidas?
A) 792 B) 495 C) 56 D) 40
En resumen: Para saber si un problema dado se trata de una permutación, variación o
combinación, te debes hacer las siguientes preguntas:
¿Importa el orden?
¿Intervienen todos los elementos?
¿Se repiten los elementos?
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 133
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GUIA G – 04
1. ¿De cuántas formas se puede cruzar un río una vez, si se cuenta con 1 bote y 2
barcos?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6
2. ¿De cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 2 pantalones y 3
camisas?
A) 5 B) 6 C) 8 D) 9
3. ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza un dado 2 veces?
A) 6 B) 12 C) 36 D) 66
4. Carlos, Pedro y Sandra correrán los 100 metros planos. ¿De cuántas formas puede
quedar el podio de primer y segundo lugar, si solo competirán ellos tres?
A) 2 B) 3 C) 6 D) 9
5. ¿De cuántas formas se puede preparar una ensalada de frutas con solo 2
ingredientes, si se cuenta con plátano, manzana y uva?
A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 134
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6. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden
elegir 4 pasteles?
A) 126 B) 360 C) 15 D) 24
7. ¿De cuántas formas se puede ordenar una pizza, si hay 2 opciones de masa
(tradicional y especial), y 4 sabores (hawaiana, carne, vegetariana y americana) y
solo se puede pedir una masa y un sabor?
A) 6 B) 8 C) 16 D) 1
8. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila?
A) 4 B) 16 C) 24 D) 64 E) 216
9. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la
palabra AMAMANTAR?
A) 9! B) 9!
4! C)
9!
2! D)
9!
4!∙2!
10. ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza una moneda o un dado?
A) 8 B) 12 C) 36 D) 64
11. ¿De cuántas formas pueden hacer fila 5 amigos para entrar al cine?
A) 120 B) 3.125 C) 24 E) 25
12. ¿De cuántas formas puede un juez otorgar el primero, segundo y tercer premio en
un concurso que tiene ocho concursantes?
A) 6.720 B) 336 C) 56 D) 8!
13. El capitán de un barco solicita 2 marineros para realizar un trabajo, sin embargo,
se presentan 10. ¿De cuántas formas podrá seleccionar a los 2 marineros?
A) 10!
2! B) 210 C) 100 D) 45
14. ¿De cuántas formas distintas puede cenar una persona en un restaurant, si hay 5
aperitivos, 3 entradas, 4 platos de fondo, 3 bebidas y 2 postres, y solo puede
elegir una opción de cada cosa?
A) 360 B) 17 C) 5 D) 17!
15. Un grupo de 5 amigos, suben a un automóvil. Si sólo uno de ellos sabe conducir,
¿de cuántas formas distintas se pueden distribuir en el interior del automóvil?
A) 5 B) 10 C) 24 D) 62 E) 120
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 135
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16. ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo
saluda una vez a cada una de las otras?
A) 11 B) 12 C) 24 D) 66 E) 144
17. De la ciudad A a la ciudad B, se puede ir mediante 2 buses o 3 trenes. De la
ciudad B a la ciudad C se puede ir mediante 2 barcos, 2 trenes o 3 aviones. ¿De
cuántas formas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B?
A) 5 B) 7 C) 12 D) 35
18. Eduardo tiene 7 libros, ¿de cuántas maneras puede acomodar cinco de ellos en un
estante?
A) 42 B) 7! C) 5! D) 2.520
19. En una directiva de curso de 6 alumnos, ¿de cuántas maneras se puede formar un
comité formado por 2 de ellos?
A) 120 B) 15 C) 36 D) 64
20. Cuando al menos una de cuatro banderas de colores rojo, verde, negro y azul es
acomodada verticalmente en un asta de bandera, el resultado indica una señal (o
mensaje). Arreglos diferentes proporcionan señales diferentes. ¿Cuántas señales
diferentes son posibles sí al menos una bandera es utilizada?
A) 64 B) 24 C) 15 D) 4
21. En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se
pueden elegir cuatro botellas?
A) 5 B) 20 C) 24 D) 70
22. Una comisión de 16 delegados de una sociedad debe escoger su directiva,
conformada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el
cargo de presidente es para el socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuantas
maneras se puede conformar tal directiva?
A) 16!
4! B)
16!
3! C)
15!
3! D)
15!
12! E)
16!
12!
23. ¿Cuántos números de tres cifras, sin importar el orden, se pueden formar con los
números naturales 1, 2, 3, 4, 5 y 6?
A) 720 B) 216 C) 120 D) 20 E) 18
24. Una sala de lectura tiene 5 puertas. ¿De cuántas maneras puede entrar a la sala
un estudiante y salir por una puerta diferente?
A) 5 B) 6 C) 20 D) 25
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 136
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25. ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos: 1; 2; 3; 4 y 5, si
se pueden repetir los dígitos?
A) 25 B) 3.025 C) 10 D) 32
26. Las n personas de un grupo salen al mismo tiempo y desde un mismo lugar hacia
un punto determinado. Al término del recorrido estas personas deben pasar, de
una en una, por una misma puerta. Si durante el trayecto se retira la décima parte
de las personas que salieron del lugar, no reintegrándose al grupo, ¿de cuántas
formas distintas se pueden ordenar para cruzar por la puerta las personas que
completan el recorrido?
A) n! - n
10 B) n! -
n
10! C) (n −
n
10)! D) (n −
1
10)! E) n! -
1
10
27. Un club de vóley tiene 12 jugadoras, una de ellas es la capitana Ximena. ¿Cuántos
equipos diferentes de 6 jugadoras se pueden formar, sabiendo que en todos ellos
siempre estará Ximena?
A) 11!
6! B) 924 C) 462 D) 792
28. Con 4 frutas diferentes, ¿cuántos jugos surtidos, con 2 frutas al menos, se pueden
preparar?
A) 11 B) 12 C) 6 D) 8
29. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en línea tres hombres y dos mujeres, si
una mujer debe estar en cada extremo?
A) 6 B) 12 C) 24 D) 120
30. Siete libros, todos con tapas de distintos colores, se deben ubicar uno al lado del
otro en un estante. Si el libro de tapa roja se debe colocar en uno de los extremos,
y el libro de tapa verde en el otro extremo, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar
los libros?
A) 35 B) 120 C) 240 D) 720 E) 1.440
31. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar sin dígitos repetidos?
A) 27 B) 9 C) 3 D) 720 E) 648
32. ¿Cuántos números pares de 3 cifras empiezan con 5 o 7?
A) 100 B) 180 C) 360 D) 72
33. El número de formas distintas en que se pueden sentar 6 concejales de un
municipio en los tres primeros asientos de la sala de reuniones, considerando que el
primer asiento está reservado para el Alcalde, es
A) 18 B) 30 C) 36 D) 72 E) 216
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 137
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34. Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se
han de enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24
35. En una pared se deben colocar 7 cuadros de distinto tamaño en línea, de modo
que el más grande debe ubicarse en el centro. ¿De cuántas maneras se puede
hacer esto?
A) 360 B) 720 C) 1.440
D) 2.520 E) 5.040
36. Un dado es tirado siete veces y el orden de los tiros es considerado. ¿De cuántas
maneras pueden ocurrir dos números 2, tres 3, un 4 y un 5?
A) 7! B) 2!∙2!∙3!∙3!∙3!∙4!∙5! C) 49 D) 420
37. Para una competencia internacional de fútbol, hay 25 comentaristas deportivos, de
los cuales sólo seis hablan español. ¿De cuántas maneras se pueden formar
grupos de cuatro, con la condición de que por lo menos se integren dos que hablen
español?
A) 1.526 B) 10.260 C) 10.668
D) 2.960 E) 186
38. ¿De cuántas formas se pueden sentar 6 amigos alrededor de una mesa circular?
A) 6 B) 720 C) 120 D) 36
39. Mario pertenece a un curso que tiene 15 alumnos. Si se deben escoger 3
representantes de este curso, pero uno de los elegidos debe ser Mario, ¿de
cuántas maneras se pueden escoger los 3 representantes?
A) 91 B) 182 C) 210 D) 364 E) 2.730
40. En una clase de 10 alumnos se va a hacer entrega de 3 diplomas a alumnos que
han destacado durante el primer semestre escolar. Determinar de cuántos modos
puede hacerse si los diplomas son diferentes y un mismo estudiante no puede
recibir más de uno.
A) 720 B) 220 C) 1.000 D) 120
41. En una clase de 10 alumnos se va a hacer entrega de 3 diplomas a alumnos que
han destacado durante el primer semestre escolar. Determinar de cuántos modos
puede hacerse si los diplomas son iguales y un mismo estudiante no puede recibir
más de uno.
A) 1.000 B) 120 C) 720 D) 220
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 138
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42. En una clase de 10 alumnos se va a hacer entrega de 3 diplomas a alumnos que
han destacado durante el primer semestre escolar. Determinar de cuántos modos
puede hacerse si los diplomas son diferentes y un mismo estudiante puede recibir
más de un premio.
A) 720 B) 220 C) 120 D) 1.000
43. En una clase de 10 alumnos se va a hacer entrega de 3 diplomas a alumnos que
han destacado durante el primer semestre escolar. Determinar de cuántos modos
puede hacerse si los diplomas son iguales y un mismo estudiante puede recibir
más de uno.
A) 120 B) 220 C) 720 D) 1.000
44. En un grupo de 6 amigos, hay una pareja de novios. ¿De cuántas maneras pueden
sentarse alrededor de una fogata, si los novios deben sentarse siempre juntos?
A) 48 B) 24 C) 120 D) 720
45. Se va a programar un torneo de ajedrez para los 10 integrantes de un club.
¿Cuántos partidos se deben programar sí cada integrante jugará con cada uno de
los demás sin partidos de revancha?
A) 45 B) 10! C) 10!
2! D) 90
46. Una empresa desea contratar 3 nuevos empleados, pero hay 8 candidatos, 6 de
los cuales son hombres y 2 son mujeres. Si la selección es al azar. ¿De cuántas
maneras distintas se puede elegir por lo menos a un candidato hombre?
A) 8!
3! B) 360 C) 56 D) 12
47. Las diagonales de un polígono se obtienen uniendo pares de vértices no
adyacentes. El número de diagonales del hexágono es
A) 6 B) 10 C) 18 D) 9
48. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres
ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?
A) 625 B) 2.880 C) 24 D) 5
49. ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el alfabeto Morse?
A) 12 B) 10 C) 36 D) 20
50. Ocho amigos van de viaje llevando para ello dos coches. Si deciden ir cuatro en
cada coche. ¿De cuántas formas pueden ir, si sólo tres tienen licencia de conducir?
A) 4.320 B) 2.160 C) 56 D) 336
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 139
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VIDEOS GUIA G – 04
Ejercicios 1 a 5
Ejercicios 6 a 10
Ejercicios 11 a 15
Ejercicios 16 a 20
Ejercicios 21 a 25
Ejercicios 26 a 30
Ejercicios 31 a 35
Ejercicios 36 a 40
Ejercicios 41 a 45
Ejercicios 46 a 50
ESTADISTICA I
Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se
emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y
comunicación de conjuntos de datos.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 140
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Población: totalidad de los individuos, objetos u observaciones que poseen al menos
una característica en común.
Muestra: Es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria.
Variable Cualitativa: Son aquellas cuando las observaciones realizadas se refieren a
un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etc.
Variable Cuantitativa: Son aquellas en que cada observación tiene un valor expresado
por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc.
Las variables cuantitativas pueden ser de 2 tipos:
Discretas: Que toman sólo valores enteros, por ejemplo: número de hijos,
número de departamentos en un edificio, etc.
Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la
estatura, etc.
TABLA DE FRECUENCIAS
Es importante ordenar la información utilizando diferentes herramientas, por
ejemplo, una tabla de frecuencias, discriminando la mejor opción según lo que se
quiere analizar.
Frecuencia absoluta (f): Número de veces que se repite un dato.
Frecuencia acumulada (F): Es la suma ordenada de las frecuencias absolutas.
Frecuencia relativa (h): Es el porcentaje de la frecuencia absoluta respecto del total
de frecuencias.
Frecuencia relativa acumulada (H): Es la suma ordenada de la frecuencia relativa.
Marca de clase (xi): Se define como el promedio de los lados extremo de un intervalo.
Ejercicio: Completar la siguiente tabla de frecuencias corresponde a las notas
obtenidas por un curso en una prueba de física, cuyos datos estén agrupados
en 6 intervalos de amplitud 1.
Intervalos xi fi Fi hi Hi
[1, 2) 2
[2, 3) 1
[3, 4) 4
[4, 5) 4
[5, 6) 3
[6, 7] 6
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 141
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Ejercicio. En la tabla adjunta se muestra la distribución de las edades, en años, de un
grupode personas.
Según los datos de la tabla, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) La marca de clase del intervalo de mayor frecuencia es 27 años.
B) Un 44% de las personas tiene menos de 24 años.
C) El grupo en total tiene 50 personas.
D) Exactamente, un 38% de las personas tiene menos de 30 años.
E) 28 personas tienen a lo menos 24 años.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
• Gráfico de barras
Utilizado en variables de tipo cualitativa y cuantitativa discreta, este gráfico
consiste en una serie de barras que indican a los datos, cuyas alturas representan la
frecuencia absoluta de éstos.
Por ejemplo, se puede representar el número de habitantes de una ciudad según el
rango de edad.
Intervalo Frecuencia Frecuencia
relativa porcentual
[12,18[ 8 16
[18,24[ 14
[24,30[
[30,36[ 18
[36,42] 3
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 142
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• Pictograma: representa mediante figuras o diagramas las frecuencias absolutas
de una variable cualitativa o discreta.
• Gráfico circular
Es utilizado en variables de tipo cualitativa y cuantitativa discreta. El gráfico
consiste en un círculo dividido en secciones proporcionales al tamaño de la muestra y
la frecuencia de los datos, generalmente se utiliza para representar frecuencias
relativas.
Por ejemplo, se puede representar el porcentaje de votos que sacó cada partido
político en una elección.
Los gráficos de datos agrupados en intervalos se pueden representar a través de:
• Histograma
Representación gráfica en forma de barras continúas y se elabora representando a los
datos en el eje horizontal y a las frecuencias en el eje vertical, trazando barras cuyas
bases equivalen a los intervalos de clase, y cuyas alturas corresponden a las
frecuencias de clase.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 143
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• Polígono de frecuencias
Línea poligonal, que se obtiene al unir los puntos
referidos a las marcas de clase y la frecuencia
absoluta de cada intervalo.
Para “completar” el polígono al eje horizontal, se
debe agregar un intervalo de frecuencia cero,
antes del primer y después del último intervalo.
• Ojiva
Se representa uniendo los puntos referidos al límite inferior o superior y la frecuencia
acumulada de cada intervalo. En ella se permite ver cuántas observaciones se
encuentran por encima o debajo de ciertos valores.
Ejercicios.
1. La distribución del número de horas que duraron
encendidas 200 ampolletas está dada en el gráfico
siguiente. La duración promedio de una ampolleta en
horas, aproximadamente, es
A) 1 B) 380 C) 400 D) 480 E) 580
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 144
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2. El gráfico circular de la figura adjunta muestra los resultados de una encuesta
aplicada a 300 estudiantes sobre su nivel de acuerdo sobre la implementación de salas
de computación en su colegio.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) La frecuencia relativa de los que contestan “Muy de acuerdo” es 3/10.
B) La frecuencia de los que contestaron “Ni de acuerdo ni en desacuerdo” supera
en 8 estudiantes a los que contestaron “Algo de acuerdo”.
C) El nivel de acuerdo de la encuesta es bimodal.
D) 2 estudiantes no contestan la encuesta.
GUIA G - 05
1. En la tabla siguiente se muestran los valores de la frecuencia (f), frecuencia relativa
(fr) y frecuencia relativa acumulada (Fr). ¿Cuáles son los valores de A, B, C, y D
respectivamente?
A) 8, 10%, 60%, y 40%
B) 40, 10%, 60% y 8
C) 8, 60%, 10% y 40%
D) 8, 40, 60 y 40
2. En el siguiente gráfico se muestran los puntajes obtenidos en una evaluación.
¿Qué porcentaje de alumnos, aproximadamente, obtuvo puntaje superior a 100
puntos?
A) 40% B) 48% C) 52% D) 54%
Puntajes
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 145
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3. El gráfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades
deportivas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?
I) La frecuencia absoluta del grupo de fútbol es de 40%.
II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de
30%.
III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II
D) Sólo II y III E) I, II y III
4. La tabla adjunta muestra algunos datos que corresponden
a una encuesta sobre el porcentaje de satisfacción por un producto, que manifestó
el total de personas encuestadas. ¿Cuál de
las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) Un 50% de los encuestados tiene una
satisfacción que pertenece al intervalo
.
B) Ninguna de las personas encuestadas
tiene un 100% de satisfacción por el
producto.
C) 50 personas contestaron la encuesta.
D) 18 personas expresaron menos del
75% de satisfacción por el producto.
5. En un estudio se registró en una tabla de datos
agrupados el tiempo de duración en horas de un lote
de ampolletas y con estos datos se construyó la ojiva
de la figura adjunta. De acuerdo a este gráfico se
puede deducir que
I) 97 ampolletas fueron registradas en el
estudio.
II) la mayor cantidad de ampolletas duró entre
300 y 400 horas.
III) la mediana del número de horas de duración
de las ampolletas se encuentra en el intervalo [200, 300[.
Es (son) verdadera(s)
A) solo I B) solo II C) solo III D) solo I y III E) Ninguna de ellas
Porcentajes Frecuencia Frecuencia
acumulada
[0,60[ 0
[60,65[ 5 5
[65,70[
[70,75[ 8 18
[75,80[ 7
[80,85[ 46
[85,90[ 4
[90,100] 0
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 146
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6. En una encuesta realizada a 1500 personas sobre su deporte favorito, se obtuvieron
los resultados que indica el gráfico adjunto.
¿Qué ángulo, aproximadamente, forma el sector de los que prefieren otro deporte?
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75°
7. El gráfico de la figura representa la distribución de las
notas obtenidas por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es)
de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5.
II) La nota más veces obtenidas es la nota 5.
III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a
4.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III
8. En un gráfico circular, el 45% del total de los casos queda representado por un
sector cuyo ángulo central mide
A) 155º B) 150º C) 160º
D) 165º E) 162º
9. En un estudio de salud bucal aplicado a 80 estudiantes de un colegio. ¿Cuántos
estudiantes tiene a lo más 2 caries?
A) 22
B) 63
C) 64
D) 79
F: Fútbol
B: Básquetbol
V: Voleibol
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 147
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10. El gráfico de la figura, representa la distribución
de los puntajes obtenidos por un curso en una
prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) El 40% de los alumnos obtuvo 30
puntos.
II) 30 alumnos obtuvieron más de 20
puntos.
III) 1
10 de los alumnos obtuvo 10 puntos.
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
11. La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
TRAMO NÚMERO DE PERSONAS SUELDO EN PESOS
DESDE – HASTA
A 3 5.000.000 – 7.000.000
B 2 2.000.000 – 3.000.000
C 5 800.000 - 1.200.000
D 15 500.000 - 700.000
E 13 300.000 - 400.000
F 7 150.000 - 250.000
I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $ 400.000 de sueldo.
II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D.
III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo más, $21.000.000.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III
12. El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos en distintos días de la
semana y uno de sus valores acumulados. ¿Cuántos artículos se han vendido en
total hasta el término del día miércoles?
A) 24
B) 20
C) 30
D) 8
Días Nº de
artículos
Total
acumulado
Lunes
Martes 12 16
Miércoles 8
Jueves 6
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 148
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13. La tabla adjunta muestra las frecuencias de las notas en la prueba de matemática,
obtenidas por los alumnos de 4º Medio de un liceo, ¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5
II) La moda corresponde a la nota 5,0
III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5
IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0
A) Sólo II y III
B) Sólo III y IV
C) Sólo I, II y III
D) Sólo I, II y IV
E) Sólo II, III y IV
14. Se pregunta a los alumnos de un curso acerca de lo que más les gusta hacer en
vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear.
II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar.
III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.
A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
15. El gráfico de la figura apareció en un periódico de
una ciudad. En él se indica la preferencia por el
noticiero central de cinco canales de televisión,
según una muestra aleatoria, en un año
determinado. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) De acuerdo a la muestra el noticiero
central con menor probabilidad de ser visto
es TV 5.
II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los
noticieros centrales de esta ciudad.
III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales
de estos cinco canales.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
Nota f
3,0 3
3,5 5
4,0 4
4,5 6
5,0 7
5,5 5
6,0 4
6,5 4
7,0 2
Total
alumnos
40
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 149
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16. En la siguiente tabla se muestran las horas de entrenamiento diario de un grupo
de futbolistas profesionales:
¿Cuántas horas como máximo entrena el 40%
de ellos?
A) 7 horas B) 8 horas
C) 9 horas
D) 10 horas E) Más de 10 horas
17. La tabla de frecuencias muestra el tiempo de reacción, en minutos, de 40 personas
luego de aplicarles un medicamento. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) FALSA(S)?
I. La marca de clase del tercer intervalo es 25.
II. El 30% de las personas reacciona entre 20 y 30 minutos.
III. El 42,5% de las personas reacciona antes de los 20 minutos.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
18. La tabla de frecuencias
siguiente muestra las notas
obtenidas por un curso en
una prueba de inglés.
De acuerdo con la tabla, los
alumnos que obtuvieron, a
lo menos, nota 4 son
A) 11
B) 8
C) 29
D) 37
E) 39
Horas Cantidad de
futbolistas
7 150
8 230
9 225
10 100
X f F fr %
[10,15[ 8 8 20
[15,20[ 9 17 22,5
[20,25[ 12 29 30
[25,30[ 11 40 27,5
X f F
[6,0; 7.0] 14 14
[5,0; 6,0[ 15 29
[4,0; 5,0[ 8 37
[3,0; 4,0[ 2 39
[2,0; 3,0[ 1 40
[1,0; 2,0[ 0 40
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 150
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19. El grafico circular de la figura, muestra el estudio estadístico hecho en una ciudad
respecto a la cantidad de televisores en los hogares.
Entonces es verdadero que el sector cuyo ángulo central es 72° corresponde a
los que tiene en su hogar:
A) 1 televisor B) 2 televisores C) 3 televisores
D) 4 televisores E) 5 televisores
20. La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la prueba de
matemática, obtenidas por los alumnos de 8º Básico de un colegio, ¿Cuáles de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5
II) La cuarta parte de los estudiantes obtuvo nota 6 o superior.
III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5
IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0
A) Sólo II y III
B) Sólo III y IV
C) Sólo I, II y III
D) Sólo I, II y IV
E) Sólo II, III y IV
Nota f
3,0 3
3,5 5
4,0 4
4,5 6
5,0 7
5,5 5
6,0 4
6,5 4
7,0 2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 151
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21. La figura muestra el consumo de gas de una
familia en todos los meses del año pasado. De
acuerdo al gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) FALSA(S)?
I) La mayor variación mensual en el
consumo, se produjo entre los meses de
febrero y marzo.
II) De abril a junio no hubo consumo.
III) El mayor consumo se produjo en
agosto.
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna es falsa.
22. El gráfico muestra el número de trajes y chaquetas vendidas en el transcurso de
un año. De acuerdo a la información entregada por el gráfico ¿Durante qué
bimestre hubo un mayor aumento en las ventas de chaquetas?
A) Diciembre – Enero
B) Mayo – Junio
C) Junio – Julio
D) Octubre – Noviembre
23. El gráfico muestra la humedad registrada en una sala en el transcurso de una
mañana. ¿Cuántas veces, entre las 8 y las 12 a.m. la humedad fue exactamente
de un 20%?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 152
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24. La tabla adjunta representa las notas obtenidas por los alumnos de un curso en
una prueba. Se puede determinar el valor de x si:
(1) La suma total de las notas del curso es 109.
(2) El curso está compuesto por 25 alumnos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
VIDEOS GUIA G – 05
Ejercicios 1 a 4
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12
Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 20
Ejercicios 21 a 24
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Denominadas también Medidas de Posición, son indicadores que representan
valores numéricos en torno a los cuales tienden a agruparse los valores de una variable
estadística.
Estos valores son la media aritmética, la moda y la mediana. Veamos cómo se
calcula cada uno de ellos.
MEDIA ARITMÉTICA (x̅) Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. Si se tienen n
datos; x1, x2, x3, …, xn, su media aritmética es
x̅ =x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn
n=
∑ xi
n
Notas frecuencia
6.0 5
5.0 6
4.0 7
3.0 x
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 153
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Ejercicios.
1. La media aritmética del siguiente conjunto de datos: 10; 8; 6; 0; 8; 3; 2; 2; 8; 0,
es
A) 8 B) 6 C) 5,9 D) 4,5 E) 4,7
2. La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son 8, 12,
13, 5 y 9. El elemento que falta es
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
La Media Aritmética para datos agrupados en una tabla de frecuencias donde
los datos son; x1, x2, x3, … xn, y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3, … fn, es
x̅ =xi ∙ fi + x2 ∙ f2 + x3 ∙ f3 + ⋯ + xn ∙ fn
f1 + f2 + f3 + ⋯ + fn=
∑(xi ∙ fi)
n
Ejercicios.
1. El promedio (o media aritmética) de la muestra presentada en la tabla adjunta es
A) 10
B) 10,6
C) 12,5
D) 13,25
E) 16
2. La tabla de frecuencia de la figura, corresponde a la estatura de 10 personas. ¿Cuál
es la media aritmética de las estaturas?
A) 1,60 m B) 1,62 m C) 1,65 m
D) 1,68 m E) 1,70 m
MODA (Mo)
Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite.
Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de
frecuencias
es Amodal, por ejemplo, {1, 2, 3, 4}
Si existe un solo dato que tenga mayor frecuencia, es Unimodal, por ejemplo, {1, 2, 2, 3,
4}
Dos con mayor frecuencia, es Bimodal, por ejemplo, {1, 2, 2, 3, 3, 4}
Dos o más datos con mayor frecuencia es Polimodal.
Dato fi
5 3
8 2
17 5
20 11
Altura (m) fi
1,45 – 1,55 3
1,55 – 1,65 2
1,65 – 1,75 5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 154
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Ejercicios.
1. De la muestra de datos 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8 se afirma que
I) Son moda el 5, 6 y 7.
II) La moda es sólo 7.
III) Es unimodal.
De estas afirmaciones es FALSA
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III
2. El intervalo modal en la tabla de frecuencias siguiente es
A) [10, 15[
B) [15, 20[
C) [20, 25[ D) [25, 30[ E) [30, 35]
MEDIANA (Me)
Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados
en forma creciente o decreciente. Para calcularla se determina el valor que ocupa el lugar n+1
2 . Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de
los dos términos centrales.
Ejercicio.
1. Se encuestaron 8 familias y el número de personas por familia dio los siguientes
resultados: 7, 3, 6, 2, 4, 6, 4, 6. Entonces, la mediana es
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
2. El intervalo donde se encuentra la mediana de la siguiente tabla de valores es
A) 10 – 14
B) 14 – 18
C) 18 – 22
D) 22 – 26
E) 26 – 30
RANGO
El rango es la diferencia entre el valor más grande y el valor más pequeño de los
datos. El rango representa el intervalo que contiene todos los valores de los datos.
El rango se utiliza para entender la cantidad de dispersión en los datos. Un valor de
rango grande indica mayor dispersión en los datos. Un valor de rango pequeño indica
que hay menos dispersión en los datos.
Clases fi
[10, 15[ 3
[15, 20[ 5
[20, 25[ 7
[25, 30[ 4
[30, 35] 2
Intervalos fi
10 - 14 10
14 – 18 2
18 – 22 1
22 – 26 1
26 – 30 3
30 – 34 2
34 - 38 1
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 155
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Ejercicio.
1. El gráfico de la figura muestra el resultado obtenido por un grupo de estudiantes en
una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La mediana se encuentra en el intervalo 4 – 5.
II) La moda es 20.
III) El valor del rango es 6.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
2. La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por un grupo de
alumnos en un
ensayo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El valor del rango es 26.
II) La mediana se encuentra en el intervalo 450 – 550.
III) El intervalo modal es 450 – 550.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Sólo II y III
3. La tabla adjunta muestra los puntajes de un curso obtenidos en una prueba.
Es correcto afirmar que
I) el intervalo modal es el intervalo [20,30[
II) la mediana se encuentra en el intervalo [30,40[
III) el valor del rango es 50.
Es (son) verdadera(s)
A) solo I
B) solo II
C) solo I y II
D) solo I y III
E) I, II y III
Intervalos fi
350 - 450 19
450 – 550 51
550 – 650 25
650 – 750 13
750 – 850 7
Puntajes fi
0 - 10 2
10 – 20 3
20 – 30 7
30 – 40 6
40 – 50 3
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 156
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4. En la tabla adjunta se muestran las notas por asignatura obtenidas por Rodrigo y
Mariel. Si P y Q representan los promedios de las notas de Rodrigo y Mariel,
respectivamente, R y S son las medianas de sus respectivas notas, ¿cuál de las
siguientes relaciones es verdadera?
A) P = Q y R S
B) P Q y R S
C) P = Q y R S
D) P Q y R S
E) P Q y R = S
GUIA G - 06
1. Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8, ¿qué se obtiene?
A) Mediana B) Media Aritmética C) Moda D) Rango E) Marca de clase
2. El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto si la suma
de los 4 primeros es 302 kg.?
A) 78 B) 68 C) 62 D) 58 E) 72
3. La tabla adjunta muestra las edades de 22 alumnos de un curso. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 17 años.
II) La mediana es 17 años.
III) La mitad de los alumnos del curso tiene 17 o 18 años.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
4. Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control
se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso del
niño al que le perdieron la ficha?
A) 39 kg B) 29 kg C) 21 kg D) 20 kg E) 19 kg
5. El intervalo modal en la siguiente tabla de frecuencias es
A) 10 – 15
B) 15 – 20
C) 20 – 25
D) 25 – 30
E) 30 – 35
Asignatura Rodrigo Mariel
Lenguaje 5,2 5,8
Matemática 4,8 5,2
Inglés 5,0 4,0
Ciencias Sociales 6,0 4,5
Ciencias Naturales 4,0 5,5
Edad (años) 15 16 17 18 19
Alumnos 5 4 6 5 2
Clases f
10 – 15 3
15 – 20 5
20 – 25 2
25 – 30 6
30 – 35 2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 157
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6. Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un
curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera?
A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso.
B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.
C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente.
D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente.
E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.
7. La tabla adjunta muestra la distribución de las calificaciones en una prueba de
Química. La mediana se encuentra en el intervalo
A) 2 – 3
B) 3 – 4
C) 4 – 5
D) 5 – 6
E) 6 – 7
8. La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de
un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40.
II) La mediana se encuentra en el intervalo
20 - 29.
III) El intervalo modal es 50 – 59.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo I y III E) I, II y III
9. Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados que se indican
en la tabla adjunta. ¿Cuál es el promedio total de la prueba?
A) 4,25
B) 5,00
C) 5,16
D) 5,25
E) 5,50
10. La mediana en la siguiente tabla se encuentra en el intervalo
A) [10, 14[ B) [18, 22[ C) [22, 26[ D) [26, 30[ E) [30, 34[
Notas Frecuencia
1 – 2 2
2 – 3 2
3 – 4 8
4 – 5 12
5 – 6 10
6 - 7 16
Puntaje Frecuencia
10 – 19 6
20 – 29 8
30 – 39 12
40 – 49 4
50 – 59 10
Curso Nº Alumnos Promedio
P 20 6
Q 18 5
R 12 4
Intervalos f [10, 14[ 1 [14, 18[ 3 [18, 22[ 4 [22, 26[ 5 [26, 30[ 3 [30, 34[ 2 [34, 38[ 2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 158
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11. Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6;
5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La mediana es 7
II) La moda es 5
III) La media aritmética es 5
A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
12. Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos, con 20
estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota
promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de
ambos cursos es
A) 5,7 B) 5,6 C) 5,5 D) 5,4 E) 5,3
13. Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La moda es $10.000.
II. La mediana es $10.000
III. El promedio es $9.600.
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
14. En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de
edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son
moda mediana
A) 16 17
B) 17 15
C) 15 17
D) 5 1
E) 17 16
15. Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Su media aritmética es 4,5.
II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia.
III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
16. Si las edades de tres personas son distintas, se puede concluir que la muestra es
A) Amodal B) Unimodal C) Bimodal D) Trimodal E) Continua
Edad Frecuencia
13 5
14 11
15 1
16 5
17 13
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 159
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17. La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Hay exactamente 20
personas que ganan
a lo menos $400.000
de sueldo.
II) La mediana de la
distribución se
encuentra en el
tramo D.
III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo más, $21.000.000.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II
D) Sólo I y III E) Sólo II y III
18. La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignatura de un curso
de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La mediana de las notas es 4
II) La moda de las notas es 5
III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
19. La tabla adjunta muestra los alumnos de un colegio y su distribución de edades.
¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos
de esta muestra?
4
NNNN)E
4
ENENENEN)D
NNNN
ENENENEN)C
NNNN
EEEE)B
4
EEEE)A
4321
44332211
4321
44332211
4321
4321
4321
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
20. La información sobre las notas obtenidas por 15 alumnos
de un curso está dada en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)
I) Dos tercios de los alumnos obtuvieron notas 4 ó 5
II) La mediana se encuentra en el intervalo 5 – 6.
III) El intervalo modal es 5 – 6.
A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
Tramo Número de
Personas
Sueldo en pesos
Desde – Hasta
A 3 5.000.000 – 7.000.000
B 2 2.000.000 – 3.000.000
C 5 800.000 - 1.200.000
D 15 500.000 - 700.000
E 13 300.000 - 400.000
F 7 150.000 - 250.000
Notas 1 2 3 4 5 6 7
Frecuencia 0 5 8 4 9 8 4
Edad Frecuencia
E1 N1
E2 N2
E3 N3
E4 N4
Notas Frecuencia
1 - 2 0
2 - 3 1
3 - 4 1
4 - 5 4
5 - 6 6
6 - 7 3
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 160
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21. ¿Cuál es la media aritmética entre los números 0,025; 0,035; 0,045 y 0,055?
A) 0,004 B) 0,08 C) 0,04
D) 0,4 E) 0,8
22. Si x es la media aritmética de los números r, s y t ¿cuál(es) de las
siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I) x = 3
tsr ++
II) (x–r) + (x–s) + (x–t) = 0
III) x + 10 = 3
10tsr +++
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
23. De 50 números que se encuentran en una bolsa, se distribuyen de la
Manera que indica la tabla adjunta.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La moda es 12.
II. La media aritmética es 12.
III. La mediana es 10,5.
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II
D) Sólo I y III E) Sólo II y III
24. La tabla adjunta muestra algunos
datos que corresponden a una
encuesta sobre el porcentaje de
satisfacción por un producto, que
manifestó el total de personas
encuestadas. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es FALSA?
A) Un 50% de los encuestados
tiene una satisfacción que
pertenece al intervalo 75, 80.
B) Ninguna de las personas encuestadas tiene un 100% de satisfacción por el
producto.
C) 50 personas contestaron la encuesta.
D) 18 personas expresaron menos del 75% de satisfacción por el producto.
E) El intervalo modal es 80, 85.
números frecuencia
5 7
8 9
10 10
12 16
15 5
17 3
Intervalos frecuencia Frecuencia
Acumulada [0, 60[ 0
[60, 65[ 5 5 [65, 70[ [70, 75[ 8 18 [75, 80[ 7 [80, 85[ 46 [85, 90[ 4
[90, 100[ 0
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 161
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VIDEOS GUIA G – 06
Ejercicios 1 a 4
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12
Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 20
Ejercicios 21 a 24
MEDIDAS DE POSICIÓN
Los cuantiles corresponden a medidas de posición no central
y permiten conocer la forma en que se distribuyen los datos
dentro del conjunto. Los cuantiles más usados son los cuartiles,
los quintiles, los deciles y los percentiles.
CUARTILES: En un conjunto de datos ordenados de forma
creciente, se llama cuartiles a los tres valores Q1, Q2 y Q3 que
dividen al conjunto en cuatro partes iguales.
El primer cuartil, Q1, es el valor bajo el cual se encuentra el
25% de las observaciones, y sobre el cual puede encontrarse el 75% restante. El
segundo cuartil, Q2, es justo la mitad de las observaciones y, por lo tanto, es lo mismo
que la mediana. El tercer cuartil, Q3, es el valor bajo el cual está el 75% de las
observaciones y sobre él, el 25% restante.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 162
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Dado un conjunto de n datos, la posición Pk del cuartil k-ésimo la obtenemos mediante
la siguiente
relación: Pk = k∙n
4 con k = 1; 2; 3.
Ejercicios.
1. Los cuartiles correspondientes a 10 niños de edades 5, 4, 4, 8, 14, 10, 9, 11, 13 y
11 años, son
A) 5; 9,5 y 11 B) 5; 9 y 11 C) 5,5; 9,5 y 11,5
D) 4,5; 9 y 10,5 E) 5,5; 9,5 y 11
2. Sea el conjunto de números {3; 7; 1; 4; 6; 5; 2}. El valor del tercer cuartil es
A) 5 B) 4 C) 6 D) 5,25
3. En la siguiente tabla, el intervalo donde se encuentra el
cuartil Q1, es
A) 10 - 15
B) 15 - 20
C) 20 - 25
D) 25 - 30
E) 30 - 35
PERCENTILES: Son los 99 valores que dividen a un
conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales.
La expresión que nos permite obtener la posición Pk del percentil k-ésimo está dada
por: Pk = k∙n
100.
Ejercicio. De los datos representados en la tabla, el intervalo en que se encuentra el
percentil 80 es
A) 1 - 6
B) 6 - 11
C) 11 - 16
D) 16 - 21
DIAGRAMAS DE CAJAS: Es un diagrama que muestra la distribución de los datos,
dividiendo estos en cuatro partes iguales mediante los cuartiles.
Para construir un Diagrama de Cajas se dibuja una caja que va desde Q1 hasta Q3.
Dentro de ella se traza una línea vertical correspondiente a la mediana (Q2). Luego,
se trazan líneas desde la caja a los valores mínimo y máximo.
X fi
10 – 15 3
15 – 20 5
20 – 25 7
25 – 30 4
30 – 35 2
X fi
1 – 6 20
6 – 11 30
11 – 16 10
16 – 21 10
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 163
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Se llama rango intercuartil a la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer
cuartil (Q1).
La longitud máxima de los bigotes es una vez y media la longitud de la caja, o sea 1,5
veces la medida del rango. Los valores sobre el valor máximo o bajo el valor mínimo
son llamados valores atípicos.
Ejercicio: Construir el diagrama de caja para la siguiente distribución:
47 52 52 57 58 58 60 65 66 66 71 71 72 73 96
TIPOS DE MUESTRA
Muestra Simétrica: Es simétrica cuando la media, mediana y moda de la distribución
coinciden y los datos se distribuyen de igual forma a ambos lados de esas medidas.
Asimétrica positiva o sesgada a la derecha: cuando los datos tienden a
concentrarse hacia la parte inferior de la distribución. La media se situaría a la derecha
de la mediana.
Asimétrica negativa o sesgada hacia la izquierda: cuando los datos tienden a
concentrarse hacia la parte superior de la distribución. La media se situaría a la
izquierda de la mediana.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 164
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Ejercicios.
1. En un liceo se realiza un registro de las masas de los estudiantes de cuarto medio.
Si los cuartiles de la distribución de los datos son 75 kg, 80 kg y 90 kg, ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones se puede(n) deducir de esta información?
I) La mayor cantidad de estudiantes de cuarto medio se concentra entre el
cuartil 2 y el cuartil 3.
II) Por lo menos un 50% de los estudiantes de cuarto medio tiene una
masa de a lo menos 75 kg y a lo más 90 kg.
III) La media aritmética de las masas de los estudiantes de cuarto medio es
de 81,6 kg, aproximadamente.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
2. La distribución de los sueldos, en pesos, de los trabajadores de una empresa se
muestra en el diagrama de caja de la figura adjunta.
Según este diagrama, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) El rango intercuartil de los sueldos de los trabajadores es $ 250.000.
B) El promedio de los sueldos de los trabajadores es $ 650.000.
C) La cantidad de trabajadores que ganan entre $ 300.000 y $ 500.000 es mayor
que la cantidad de trabajadores que gana entre $ 650.000 y $ 750.000.
D) Exactamente un 50% de los trabajadores gana $ 650.000.
E) Un 62,5% de los sueldos de los trabajadores es igual o menor a $ 700.000.
3. Se realizó el experimento de lanzar dos dados 200 veces, anotando la suma de los
puntos obtenidos. El resultado de la suma de los resultados en cada lanzamiento se
muestra en la tabla adjunta.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El primer cuartil de la suma de los puntos es 5 puntos.
II) El tercer quintil de la suma de los puntos es 8 puntos.
III) El percentil 54 de la suma de los puntos es 7 puntos.
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 165
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4. En la tabla adjunta se agrupan las estaturas, en cm, de un grupo de personas. Con
respecto a los datos de la tabla, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) La mediana de la estatura se encuentra en 150, 160.
B) El intervalo modal de la estatura es 160, 170.
C) El tercer decil de la estatura se encuentra en 150, 160.
D) El percentil 80 de la estatura se encuentra en 170, 180.
E) Al menos un 20% de la estatura no supera los 150 cm.
5. En un grupo de datos la mediana es m y la media es x̅ . ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es siempre verdadera?
A) El percentil 75 es mayor que x̅.
B) El percentil 25 es m
2
C) El percentil 15 es menor o igual a m.
D) La mitad de los datos es menor o igual a x̅.
E) El dato más repetido es m.
GUIA G - 07
1. Las edades de 10 niños son 7, 3, 9, 10, 8, 4, 6, 10, 3, 5. El valor del primer cuartil es
A) 4 B) 3,5 C) 3 D) 2,5 E) 4,5
2. En la siguiente tabla, el intervalo en el que se encuentra el percentil 40 es
A) 1 - 6
B) 6 - 11
C) 11 - 16
D) 16 - 21
3. El tercer cuartil de los números 3; 2; 5 y 6 es
A) 5 B) 5,5 C) 3 D) 6 E) Otro valor
Clases f
1 – 6 20
6 – 11 30
11 – 16 10
16 - 21 10
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 166
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4. Determinar el percentil 75 de un conjunto de datos es lo mismo que determinar
A) El quintil 4 B) El tercer cuartil C) La mediana
D) El decil 7 E) El cuartil 2
5. El tercer cuartil correspondientes a los datos
2, 2, 5, 8, 12, 12, 16, 18, 21, 21, 24, 30, 32, 32, 36, 40, 44, 58 es:
A) 5 B) 12 C) 21 D) 32 E) 34
6. Al construir el diagrama de caja para 47, 52, 52, 57, 58, 58, 60, 65, 66, 66, 71, 71,
72, 73, 96; el rango intercuartil es
A) 6 B) 14 C) 18 D) 31 E) 47
7. Una alumna de electivo matemática realiza un estudio
sobre el número de estudiantes que tiene cada curso del
colegio donde estudia, y para eso construye la tabla
adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s), respecto a los datos?
I) El colegio tiene en total 30 cursos.
II) El quintil 3 de los datos es 44.
III) El decil 3 de los datos es 42.
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
8. Los siguientes datos representan los días que han estado ingresado cada paciente
para recuperarse de una determinada enfermedad: 8, 20, 27, 30, 32, 35, 36, 40,
40, 40, 40, 41, 42, 45, 47, 50, 52, 61, 89, 108. El valor del primer cuartil es
A) 32 B) 33 C) 33,5 D) 34 E) 35
9. En la figura se muestra un gráfico de distribución
porcentual de una variable estadística X. El cuartil 3
de los datos es
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
10. Los cuartiles del conjunto {33; 5; 54; 12; 8; 8; 33; 4; 6; 5} son respectivamente:
A) 33, 8 y 5 B) 5, 8 y 33 C) 4, 8 y 54
D) 6, 12 y 54 E) 4, 8 y 33
Nº estudiantes Frecuencia
39 1
40 3
41 2
42 5
43 6
44 7
45 4
46 2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 167
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11. En la figura se muestra el diagrama de caja de un conjunto de datos. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es FALSA?
A) El valor mayor de la muestra es 17.
B) El rango intercuartil de la muestra es 6.
C) k es igual a 12.
D) El primer cuartil es 9.
E) El percentil 75 es 15.
12. En el diagrama de caja y bigotes que se muestra en la figura, se muestran las
estaturas de los alumnos de un determinado curso (en cm). ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. El 50% de los alumnos tienen estaturas entre 169 cm y 177 cm.
II. El rango de las estaturas es 20 cm.
III. La distribución de las estaturas es asimétrica positiva.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
13. Los datos {22, 22, 18, 15, 15, 19, 17, 19, 17, 15, 14, 18, 15, 23, 19, 17} se
representan en un diagrama de caja, tal como se muestra en la figura. El valor de
x es
A) 22
B) 19
C) 18
D) 17
E) 15
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 168
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14. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a un conjunto de datos con media igual
a 5 y primer cuartil igual a 2?
15. En un conjunto de datos ordenados de menor a mayor, el segundo quintil es
equivalente al
A) primer cuartil.
B) segundo decil.
C) cuarto decil.
D) segundo percentil.
E) cuarto percentil.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 169
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16. De acuerdo a los 100 datos de la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El primer cuartil se ubica en el intervalo 45, 50.
II) El intervalo donde se ubica el percentil 50 coincide
con el intervalo modal.
III) La cantidad de datos que se encuentran en el cuarto
intervalo corresponden a un 10% del total de los datos.
A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III
D) Solo II y III E) I, II y III
17. En una universidad hay dos grupos de porristas: uno conformado exclusivamente
por hombres (grupo H) y el otro exclusivamente por mujeres (grupo M), ambos
con la misma cantidad de integrantes. Se sabe que el primer cuartil de estaturas
para H y M es 1,58 m y 1,63 m respectivamente, el segundo cuartil para ambos
grupos es 1,70 m, y el tercer cuartil para H y M es 1,82 m y 1,75 m
respectivamente. Al respecto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) Al menos el 75 % de los porristas del grupo de varones mide 1,82 m o menos
II) Al menos el 25 % de las porristas del grupo de damas mide 1,75 m o más
III) Se espera que las estaturas de los hombres superen gradualmente las
estaturas de las mujeres
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
18. La siguiente tabla muestra la cantidad de jugadores de un equipo de futbol según
su edad en años.
Si al 25% de los jugadores de mayor edad del
equipo se le entrega un bono motivacional de
$35.000 por partido y se juegan 4 partidos al mes,
¿cuánto dinero invierte mensualmente en bonos el
club?
A) $700.000
B) $560.000
C) $840.000
D) $480.000
19. La siguiente tabla muestra una encuesta realizada aleatoriamente a 300 personas
de Santiago buscando recoger información acerca de la cantidad de monedas que
traen en el bolsillo en cierto instante del día. El percentil 40 está en la posición
A) 100
B) 322
C) 128
D) 500
E) 512
Edad en años Cantidad de jugadores
17 1
18 2
19 1
20 3
21 3
22 2
23 4
24 2
25 1
26 2
27 1
Moneda Número de personas
$1 1
$5 3
$10 70
$50 128
$100 512
$500 91
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 170
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20. La siguiente tabla muestra las estaturas, en metros, de un grupo de niñas:
Respecto a la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El primer cuartil es 1,54 m
II) La diferencia entre el segundo y el primer
cuartil es 3 cm
III) Exactamente la mitad del curso mide
entre 1,55 y 1,63 m
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
21. La edad de los participantes de un concurso de talentos oscila entre los 6 y los 55
años. Si los cuartiles de esta población son 18, 34 y 43 años, ¿en qué tramo etario
se concentra el 50% central de los participantes?
A) Entre los 18 y 34 años
B) Entre los 18 y 43 años
C) Entre los 34 y 43 años
D) Entre los 9 y 16 años
E) Entre los 16 y 25 años
22. Un conjunto está formado por números enteros de 1 al 10. El siguiente gráfico
muestra la distribución de los números:
¿Cuál es la suma de los cuartiles de la distribución anterior?
A) 20
B) 30
C) 60
D) 90
E) 150
Estatura en metros
Números de personas
1,52 2
1,53 4
1,54 4
1,55 7
1,56 3
1,58 6
1,60 4
1,61 4
1,63 2
1,66 3
1,67 3
1,73 2
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 171
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VIDEOS GUIA G – 07
Ejercicios 1 a 4
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12
Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 19
Ejercicios 20 a 22
PROBABILIDAD
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones
un número indefinido de veces.
Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un
conjunto de resultados posibles.
Ejemplo: lanzar una moneda al aire y observar su resultado, sacar una carta de una
baraja, el hacer girar la ruleta etc.
Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados
posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: Al lanzar dos dados el espacio muestral
será de 62 = 36 elementos, como se muestra en la
figura. Al lanzar tres dados, el espacio muestral
será de 63 = 216 elementos.
Evento o Suceso: Es un resultado particular de un
experimento aleatorio. En otras palabras, es un
subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo: Obtener 3 al lanzar un dado.
Tipos de eventos.
Evento o suceso seguro o cierto: Es el propio Espacio Muestral.
Ejemplo: Obtener un número menor que 7 al lanzar un dado.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 172
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Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Ejemplo: Obtener 8 al
lanzar un dado.
Eventos Mutuamente Excluyentes: Cuando dos o más eventos no tienen elementos
comunes. Ejemplo: Lanzar un dado y lanzar una moneda.
Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos
comunes y la unión de ellos es el espacio muestral. Ejemplo: A = Números pares al
lanzar un dado; B = Números impares al lanzar un dado.
PROBABILIDAD CLÁSICA O TEÓRICA
La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al
evento A por el número total de casos posibles. La probabilidad de A se denotará por
P(A).
P(A) = 𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬
𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬
Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1. La probabilidad de un evento seguro es 1 y la de un suceso
imposible es 0.
Ejercicio. ¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos
dados?
A) 1
6 B)
1
2 C)
7
12 D)
7
36 E)
7
2
La probabilidad de que un suceso A ocurra mas la probabilidad de que no ocurra es 1.
P(A) + P(�̅�) = 1 de donde
P(A) = 1 – P(�̅�).
Ejercicio. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad
de que el suceso NO ocurra?
A) 0 B) 0,55 C) 0,65 D) -0,45 E) -0,55
PROBABILIDADES DE EVENTOS
Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran A o B está dada por:
P(A o B) = P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A⋂B)
Ejercicio. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12.
Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 6 o múltiplo de 5 al sacar
una de ellas.
A) 1
2 B)
7
12 C)
5
6 D)
1
12
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 173
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Probabilidad de eventos independientes: A y B son eventos independientes
cuando la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B.
P(A y B) = P(A⋂B) = P(A)∙P(B)
Ejercicio. Al lanzar un dado dos veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de obtener
primero un divisor de 6 y luego un múltiplo de 3?
A) 1
3 B)
1
12 C)
2
9 D)
2
3
E) 1
Probabilidad de eventos dependientes: A y B son eventos dependientes cuando la
ocurrencia de A influye en la ocurrencia de B.
P(A⋂B) = P(A)∙P(B/A)
Ejercicio. Supongamos que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades,
de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se
separan de la caja uno después del otro sin reemplazar el primero, ¿cuál es la
probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?
A) 1
4 B)
1
16 C)
1
19 D)
1
6 E)
5
76
Probabilidad condicionada: De la fórmula anterior, despejando, obtenemos que
P(B/A) = 𝐏(𝐀∩𝐁)
𝐏(𝐀)
Ejercicio. En cierta población se ha logrado constatar que la probabilidad que una
persona este obesa y tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad que un individuo
sea obeso es 0,4. Si se escoge una persona que resulta estar obeso, entonces ¿cuál es
la probabilidad que tenga el colesterol alto?
A) 0,10 B) 0,25 C) 0,40 D) 0,60 E) 0,90
Ejercicio. Se muestra en la siguiente tabla de contingencia una encuesta sobre el
gusto del futbol en la TV, según los sexos, entre alumnos de 14 y 18 años.
1. Calcular la probabilidad de que siendo hombre le guste el fútbol.
A) 145
196 B)
145
334 C)
145
187 D)
187
334 E)
196
334
Hombres Mujeres
Le gusta el fútbol 145 42 187
No le gusta el fútbol 51 96 147
196 138 334
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 174
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2. Con la misma tabla anterior, calcular la probabilidad de que gustándole el fútbol sea
mujer.
A) 42
138 B)
42
334 C)
96
138 D)
42
187 E)
96
147
Diagrama de árbol: Representa de manera gráfica todos los resultados posibles de
un experimento aleatorio, facilitando la resolución de problemas probabilísticos.
Ejemplo: El 35% de los estudiantes de un centro docente practica el fútbol. El 70% de
los que practican el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25% de los que no practican
el fútbol.
El diagrama de árbol asociado a este ejercicio y la probabilidad asignada a cada uno de
sus tramos es
Ejercicio. Se dispone de tres cajas con ampolletas. La primera contiene 10
ampolletas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay ocho ampolletas,
estando dos de ellas fundida, y la tercera caja hay cinco ampolletas fundidas de un
total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una ampolleta al azar de una
cualquiera de las cajas, NO esté fundida?
A) 69
40 B)
17
40 C)
41
120 D)
23
40
GUIA G - 08
1. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al lanzar 7 monedas?
A) 77 B) 49 C) 128 D) 7! E) 64
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 175
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2. Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de obtener primero
un 3 y luego un número primo?
A) 1
3 B)
1
12 C)
1
9 D)
2
3
E) 4
3. En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma.
Primero Segundo Tercero Cuarto
Niños 15 20 18 12
Niñas 30 25 27 33
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La probabilidad de que sea un niño es 180
65.
II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es 180
45.
III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es 45
25.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
4. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras;
mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una
urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída
sea blanca?
A) 6
5 B)
8
25 C)
2
5 D)
3
5 E)
4
5
5. La probabilidad que Tomás acierte en el blanco en un polígono de tiro es 0,6 y la de
Hugo es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad que al menos uno de ellos acierte en el
blanco, después de haber hecho un tiro cada uno?
A) 0,16 B) 0,24 C) 0,36 D) 0,60 E) 0,76
6. Se dispone de tres cajas con ampolletas. La primera contiene 10 ampolletas, de las
cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis ampolletas, estando la mitad de
ellas fundida, y en la tercera caja hay cuatro ampolletas fundidas de un total de
cinco. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una ampolleta al azar de una
cualquiera de las cajas, no esté fundida?
A) 13
30 B)
1
450 C)
17
30 D)
3
50
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 176
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7. Se hace rodar 2 veces un dado y se considera la suma de los puntos obtenidos en
ambos lanzamientos. La primera vez sale un número par. La probabilidad que la suma
sea mayor que 7 es:
A) 4
1 B)
6
1 C)
3
1 D)
2
1 E)
3
2
8. Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras numeradas del 1 al 6. La
probabilidad de que el número de tres cifras que se forme, empiece con 4 es:
A) 6
1 B)
216
25 C)
120
1 D)
256
1 E)
3
1
9. La probabilidad de que un feriante venda frutas un día determinado dado que está
lloviendo es 1
3. Si la probabilidad de que venda y llueva ese día es
1
5, ¿cuál es la
probabilidad de que NO llueva ese día?
A) 14
15 B)
1
15 C)
2
3 D)
4
5 E)
2
5
10. En el hexágono regular de la figura adjunta se marcan al
azar tres de sus vértices. ¿Cuál es la probabilidad de que
con estos vértices se forme un triángulo equilátero?
A) 1
10 B)
3
10 C)
1
2 D)
1
4 E)
1
3
11. Se muestra en la siguiente tabla una encuesta sobre el gusto por las novelas
turcas en la TV, según los sexos, entre alumnos de 14 y 18 años:
Calcular la probabilidad de que siendo hombre le gusten las novelas turcas.
A) 42
196 B)
42
334 C)
42
138 D)
187
334 E)
138
334
12. Un colegio ofrece a sus estudiantes varias actividades culturales, entre ellas teatro
y danza. El 10% de los estudiantes del colegio participa en danza, el 8% participa
en teatro y el 4% de los estudiantes del colegio participa en danza y teatro. Si se
escoge al azar un estudiante del colegio, ¿cuál es la probabilidad de que éste
participe en teatro si se sabe que participa en danza?
A) 2
9 B)
2
5 C)
4
5 D)
2
3 E)
1
2
Mujeres Hombres
Le gusta las novelas turcas 145 42 187
No le gustan las novelas turcas 51 96 147
196 138 334
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 177
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13. En una clase de 30 alumnos, 18 aprobaron matemática, 16 aprobaron inglés y 6
no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase
sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya
aprobado inglés?
A) 5
9 B)
1
3 C)
4
15 D)
4
5
14. En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. ¿Cuál es la
menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para que
al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea 4
3?
A) 1 blanca y 0 negra B) 0 blanca y 1 negra C) 0 blanca y 5 negras
D) 3 blancas y 5 negras E) 2 blancas y 2 negras
15. En una bolsa se echan 20 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 20. Calcular
la probabilidad de obtener un número par o múltiplo de 5 al sacar una de ellas.
A) 3
5 B)
7
10 C)
1
2 D)
1
4
16. Una persona tira tres veces una moneda y las tres veces obtiene cara. ¿Cuál es la
probabilidad de que la cuarta vez obtenga sello?
A) 1 B) 0 C) 2
1 D)
32
1 E)
16
1
17. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3
fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas.
A) 3
4 B)
2
7 C)
6
49 D)
1
7 E)
9
49
18. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer
y ver la televisión. Los resultados son: A 32 personas les gusta leer y ver la tele. A
92 personas les gusta leer. A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar
una de esas personas:
I) la probabilidad de que no le guste ver la tele es 73
120
II) La probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele es 32
47
III) La probabilidad de que le guste leer es 23
30
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 178
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19. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera
inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y
el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son hombres y de los que estudian
francés son hombres el 40%. Al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que sea mujer?
A) 0,63 B) 0,69 C) 0,60 D) 0,27 E) 0,40
20. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga
ningún 6.
A) 0 B) 1
1296 C)
10
3 D)
2
3 E)
625
1296
21. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de
que sean números distintos.
A) 1
64.000 B)
3
4 C)
1
59.280 D)
4
3.705 E)
192
247
22. Se tienen tres cajas con dos bolitas, una de color azul y otra de color blanco, en
cada una de ellas y todas las bolitas son del mismo tipo. Si se extrae al azar una
bolita de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que éstas sean dos azules y una
blanca?
A) 2
9 B)
3
8 C)
1
4 D)
1
8 E)
3
4
23. Se lanza una moneda y dos dados comunes, uno a continuación del otro. ¿Cuál es
la probabilidad de que en la moneda salga cara y de que el número del primer
dado sea menor que el número del segundo?
A) 1
4 B)
33
36 C)
21
72 D)
15
72 E)
1
24
24. Si se responde al azar una prueba de verdadero falso, de 4 preguntas. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de responder 3 correctas es 1
4
II) La probabilidad de responder a lo más 3 correctas es 15
16
III) La probabilidad de responder a lo menos 3 correctas es 5
16
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
25. Una moneda está cargada de tal forma que es cuatro veces más probable que se
obtenga una cara que un sello. Si la moneda se lanza dos veces, ¿cuál es la
probabilidad de obtener dos sellos?
A) 1
4 B)
1
25 C)
1
16 D)
1
5
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 179
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VIDEOS GUIA G – 08
Ejercicios 1 a 4
Ejercicios 5 a 8
Ejercicios 9 a 12
Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 20
Ejercicios 21 a 23
Ejercicios 24 y 25
EVALUACIÓN SUFICIENCIA DATOS
Las alternativas correspondientes a todas las preguntas que a
continuación se plantean son las siguientes:
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 180
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Ejercicios.
1. En una urna hay 200 bolitas, las cuales son de dos colores, blancas y rojas. ¿Cuántas
son las bolitas rojas?
(1) Hay tantas bolitas blancas como rojas.
(2) La probabilidad de extraer al azar una bolita roja es de un 50%
2. En la siguiente tabla se muestra la edad de un grupo de personas. Se puede
determinar x si:
(1) El promedio es 7
(2) La mediana es 7
.
3. De cinco alumnos: A, B, C, D y E. ¿Cuál es el más alto?
(1) A es más bajo que B, pero más alto que E.
(2) E es más alto que C, pero más bajo que D.
4. ¿Cuántas veces se lanzó un dado?
(1) la moda fue 4 y la mediana fue 4.
(2) la media aritmética fue 3,5
5. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una caja, sin mirar en su
interior?
(1) En la caja hay 4 bolitas azules y 3 verdes.
(2) La mitad de las bolitas que hay en la caja no son rojas.
6. ¿Cuál es el valor de A?
(1) log A + log B = 1,5
(2) log A - log B = 0,5
7. Sean p, q, s, t números reales, entonces p + q < s + t si:
(1) s > t y p < t
(2) q < s y s – t > q
8. Se puede determinar que la expresión a−b
c , con a, b y c números enteros y c ≠ 0,
representa un número entero positivo, si
(1) (a - b) es múltiplo de c.
(2) a = ck y b = cp, con p y k números enteros positivos.
9. ¿Cuántos litros de capacidad tiene un tambor?
(1) Cuando el tambor está vacío, una llave que arroja 0,5 litros de agua por minuto,
lo llena en una hora y 40 minutos.
(2) Con 10 baldes de 2,5 litros de agua cada uno, se puede llenar la mitad del
tambor.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 181
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10. Tres personas A, B y C forman una sociedad. Si A aporta el 50% del capital, ¿cuál
es el capital de la sociedad?
(1) B aporta el 20% del capital.
(2) B aporta $ 30.000 y C aporta $ 50.000
11. En la tabla de frecuencias adjunta se muestra la distribución de
una variable X. Es posible calcular la frecuencia faltante f3, si:
(1) La media aritmética de X es 4,4.
(2) La mediana de X es 5.
12. Es posible calcular la edad promedio de los integrantes de una familia constituida
por los padres y dos hijos, si:
(1) El padre y la madre tienen una edad promedio de 35 años.
(2) Los dos hijos tienen la misma edad.
13. Se puede conocer el valor de log 200 si:
(1) log 8 = 0,9.
(2) log 1 = 0.
14. Se desea calcular la edad promedio actual de 4 hermanos:
(1) Hace 5 años tenían 3, 5, 8 y 12 años, respectivamente.
(2) Hace 3 años su promedio de edad era de 9 años.
15. Se puede determinar el promedio de la serie de datos
representada en la tabla adjunta, si se sabe que:
(1) El total de datos de la serie es 20.
(2) La moda y la mediana de la serie de datos es 5,0
16. Si m es un número de dos cifras, ¿cuánto suman sus
cifras?
(1) La diferencia de sus cifras es 7.
(2) La diferencia entre el número m y el número que se obtiene con las cifras
invertidas de m es 63.
17. En la ecuación (ax - bx)(a - b) = a2 - b2, con a y b números reales tal que a ≠ b,
se puede determinar el valor numérico de x, si se sabe que:
(1) a = 2b
(2) El 20% de (a + b) es 2.
18. La expresión ab+5 : ab+8 > 0, si:
(1) a es un número positivo.
(2) a es un número par.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 182
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19. ¿Cuántos tercios le faltan a la fracción b
a para completar 3 unidades?
(1) a = 3
(2) a : b = 1 : 2
20. Se lanza un objeto hacia arriba y su altura, en metros, se modela mediante la
función f(t) = -t2 + bt + c, donde t es el tiempo transcurrido desde que es lanzado,
en segundos, y f(t) su altura. Se puede determinar la altura máxima alcanzada por
el objeto, si se sabe que:
(1) El objeto es lanzado desde 10 metros de altura con respecto al suelo.
(2) Toca el suelo por primera vez a los 10 segundos.
21. Se tiene una caja con fichas del mismo tipo. Al extraer al azar una ficha de la caja,
se puede determinar la probabilidad de que ésta sea roja, si se conoce:
(1) La cantidad total de fichas que hay en la caja.
(2) La cantidad de colores de fichas que hay en la caja.
22. Considerando a ≠ 0, ab
a es un número real si:
(1) ab es positivo
(2) b > 0
23. Un estudiante que rindió la PSU de matemática el año pasado obtuvo 667 puntos.
Se puede asegurar que su puntaje fue superior al 85% de los puntajes obtenidos
por el resto de los postulantes si
(1) Su puntaje se ubica en el percentil 87.
(2) Su puntaje es superior al que se ubica en el tercer cuartil
24. Se tienen los siguientes números: 3, 7, 9, 5, x. Se puede determinar el valor de
x si:
(1) El promedio de los números es 8.
(2) La mediana de los números es 7.
25. El consumo promedio de carne de vacuno en los últimos cinco años de la población
de Santiago se puede saber si:
(1) La moda fue 23 kilos al año.
(2) El consumo anual de carne de vacuno en los últimos cinco años fue: 22, 23,
23, 24 y 26 kilos.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 183
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26. Sean R y Q rotaciones con centro en el origen del sistema de ejes coordenados y
ángulos de rotación de 270º en sentido antihorario y 90º en sentido antihorario,
respectivamente. Se puede determinar las coordenadas de un punto A, si se sabe
que:
(1) Al aplicar la rotación R al punto A, se obtiene el punto (2, 3).
(2) Al aplicar una traslación según el vector (1, -5) al punto A y al punto
resultante la rotación Q, se obtiene el punto (3, -2).
27. Se tiene una bolsa con fichas blancas, azules y negras de igual tamaño y peso. Se
puede determinar la probabilidad de sacar una ficha negra si:
(1) El número de fichas negras duplica al número de fichas blancas.
(2) El número de fichas blancas es la tercera parte del número de fichas azules.
28. ¿Se puede afirmar que n es un número par?
(1) n2 es un número par.
(2) (n + 2)2 es un número impar
29. En una caja hay 25 fichas entre blancas y negras solamente. ¿Cuántas son las
fichas blancas?
(1) La probabilidad de extraer una ficha blanca es del 40%.
(2) El número de fichas negras excede en 5 al número de fichas blancas.
30. Sea un triángulo ABC al cual se le aplica una homotecia obteniéndose el triángulo
A’B’C’, donde A’ es la imagen de A, B’ es la imagen de B y C’ es la imagen de C. Se
puede determinar las coordenadas del centro de homotecia, si se sabe que:
(1) El punto A tiene coordenadas (0, 0) y la razón de homotecia es 3.
(2) La distancia entre A y A’ es cero.
31. ¿Cuál fue el promedio de notas de Jaime?
(1) La suma de las notas es 30
(2) Si se elimina una nota, su promedio es 6
32. La nota de aprobación en un examen es 4, ¿cuántos alumnos obtuvieron nota
superior o igual a 4?
(1) El curso tiene 30 alumnos y reprobaron 15.
(2) El promedio de las notas fue 4.
33. En una caja hay en total 20 bolitas del mismo tipo, unas de color rojo, otras de
color azul y otras de color negro. Al sacar una bolita al azar de la caja, se puede
determinar la probabilidad de que esta sea de color negro, si se sabe que:
(1) Al extraer al azar una bolita de la caja, la probabilidad de que sea negra es
igual a la probabilidad de que sea roja.
(2) La cantidad de bolitas azules que hay en la caja es la mitad de la cantidad de
bolitas rojas que hay en la caja.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 184
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34. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede
determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:
(1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes.
(2) El número total de fichas es 36.
35. Se sabe que la probabilidad de que ocurra el suceso A es 0,6 y la probabilidad de
que ocurra el suceso B es 0,8. Entonces para calcular la probabilidad de que
ocurran ambos sucesos A y B se efectúa el producto 0,6 × 0,8. El cálculo anterior
es válido si y solo si:
(1) A y B son sucesos independientes.
(2) A y B son sucesos mutuamente excluyentes.
36. Antonia salió a un restaurante a almorzar y debe elegir un menú consistente en a
lo menos una ensalada y a lo menos un tipo de carne. Se puede determinar la
cantidad de combinaciones distintas de este tipo de alimentos que puede elegir
Antonia, si se sabe que:
(1) Hay 9 ensaladas distintas y 3 tipos de carne.
(2) Antonia elige solo una ensalada y solo un tipo de carne.
37. El histograma de la figura muestra la distribución de las
edades de un grupo de personas, en donde no se han
indicado las edades de ellas. Se puede determinar la media
aritmética de las edades dadas en el gráfico, si se conoce:
(1) El valor de la mediana de la distribución.
(2) El valor de las marcas de clases de cada intervalo de
la distribución.
38. En una urna hay solo fichas de color rojo, verde y amarillo, todas del mismo tipo.
Si se saca una ficha al azar de la urna, se puede determinar la probabilidad de que
ésta sea roja, si se sabe que:
(1) En la urna hay 45 fichas.
(2) La razón entre la cantidad de fichas verdes y el total de fichas de la urna es 2
: 5.
39. Se puede determinar que Q es un número irracional, si se sabe que:
(1) (Q + 1)2 - (Q - 1)2 es un número irracional.
(2) (Q + 1)2 + (Q - 1)2 es un número racional.
40. Los sueldos de tres personas son distintos y su promedio es $ 410.000. Se puede
determinar el sueldo de estas personas, si se sabe que:
(1) La mediana es igual a la media aritmética.
(2) El sueldo menor es la mitad del sueldo mayor.
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 185
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41. Se sabe que m + n = 120. Se pueden determinar los valores de m y n si:
(1) m + t = 50
(2) m + n = 2t
42. ¿Cuánto mide el lado más corto de un pentágono?
(1) Los lados del pentágono están en la razón de 2:3:4:5:6 y el lado más largo
mide 18 cm.
(2) El perímetro del pentágono es 60 cm.
43. ¿Cuál es el valor de (-1)-k ?
(1) k > 0
(2) 2k – 1 = 9
44. Una pelota se deja caer desde una altura A. La altura que alcanza la pelota en el
primer rebote es equivalente a 2/3 de A. Después de cada rebote la pelota alcanza
una altura equivalente a 2/3 de la altura del rebote anterior. Se puede determinar el
valor de la altura que alcanza al décimo rebote la pelota, si se conoce:
(1) la altura inicial A.
(2) la altura que alcanza en el tercer rebote.
45. Se tienen los siguientes números: 3, 7, 9, 5, x. Se puede determinar el valor de
x si:
(1) El promedio de los números es 8.
(2) La mediana de los números es 7.
46. Considerando a ≠ 0, ab
a es un número real si:
(1) ab es positivo
(2) b > 0
47. Si x es un número comprendido entre 80 y 90, se puede determinar el valor exacto
de x si:
(1) x es múltiplo de 4.
(2) x es múltiplo de 7.
48. ¿En qué razón están a, b, c?
(1) a : b = 3 : 8, b : c = 12 : 5
(2) a + b + c = 43
49. Una recta de ecuación y = mx + n intersecta a los ejes coordenados en los puntos
R y S. Se puede determinar la distancia de R a S, si se conoce el valor de:
(1) m y las coordenadas de un punto de la recta.
(2) n y se sabe que la recta pasa por (2
3, 0).
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 186
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50. ¿Qué número real representa el número X?
(1) A = 2
5, B =
3
5
(2) AC =CD =DX =XB
51. La expresión ab+5 : ab+8 > 0, si:
(1) a es un número positivo.
(2) a es un número par negativo.
52. Considere la función f (x) = mx + n con dominio el conjunto de los números
reales. Se puede determinar el valor de n, si se conoce:
(1) el punto de intersección de la gráfica de f con el eje y.
(2) el valor de la pendiente de la gráfica de f y las coordenadas de un punto en
la gráfica de f.
53. Si m es un número de dos cifras, ¿cuánto suman sus cifras?
(1) La diferencia de sus cifras es 7.
(2) La diferencia entre el número m y el número que se obtiene con las cifras
invertidas de m es 63.
54. En el plano cartesiano un triángulo ABC isósceles tiene su base AB paralela al eje
de las abscisas, las coordenadas de A son (-1, 1) y la abscisa de B es 5. Se pueden
determinar exactamente las longitudes de los otros dos lados, si se sabe que:
(1) el perímetro del triángulo es 15 unidades.
(2) el punto C está en el primer cuadrante.
55. Sea a : b = 2 : 3. Se puede determinar los valores numéricos de a y b si:
(1) 2b : c = 6 : 5 y c = 15
(2) a + b = 15
56. Sean a, b y c tres números naturales. Se puede determinar el orden de ellos si:
(1) b no es el menor.
(2) 0 < a - b < a - c.
57. Se puede determinar la suma de las raíces de la ecuación: x2 + px + q = 0, si:
(1) el valor de p es el triple de q.
(2) el valor de q es 2.
A C D X B
L
R
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 187
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58. Se puede determinar la mesada de Raúl si:
(1) La mesada de Raúl es $10.000 menos que la de Víctor, cuya mesada es el
triple de la de Raúl.
(2) Al sumar la mesada de Raúl con la de Víctor se obtiene cuatro veces la mesada
de Raúl.
59. La cuarta parte de x es (6 + a). El valor de y es la mitad de x. Entonces, el valor
de a se puede determinar si:
(1) x : y = 2 : 1
(2) el valor de a es 39 unidades menor que el valor de x.
60. En una caja hay solo bolitas verdes y rojas, todas del mismo tipo. Se puede
determinar la cantidad de bolitas verdes que hay en la caja, si se sabe que:
(1) en la caja hay en total 40 bolitas.
(2) al elegir una bolita al azar de la caja, la probabilidad de que esta sea roja es
2/5.
61. Para la muestra {0, 1, 2, a, 4, 5}. Se puede determinar su promedio aritmético si
(1) La moda de la muestra es 4.
(2) La mediana de la muestra es 3.
62. Miguel y Fabiola se reparten una caja de pastillas. ¿Cuántas pastillas recibe Fabiola?
(1) Se reparten las pastillas en la razón de 3:5, respectivamente.
(2) Fabiola recibe 20 pastillas más que Miguel.
63. ¿Cuál es el valor de a
b?
(1) b es la mitad de a
(2) b = 0,5
64. ¿Cuántos litros de capacidad tiene un tambor?
(1) Cuando el tambor está vacío, una llave que arroja 0,5 litros de agua por minuto,
lo llena en una hora y 40 minutos.
(2) Con 10 baldes de 2,5 litros de agua cada uno, se puede llenar la mitad del tambor.
65. Se puede determinar en que razón se encuentran las áreas de dos hexágonos
regulares si:
(1) sus lados están en la razón 1 : 3
(2) el perímetro del hexágono más pequeño es 120 cm.
66. Sean p, q, s, t números reales, entonces p + q < s + t si:
(1) s > t y p < t
(2) q < s y s – t > q
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 188
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67. La ecuación x + b = mx + n, cuya incógnita es x, tiene una solución distinta de
cero, si:
(1) b ≠ n
(2) m ≠ 1
68. Sea la función f(x) = √px − 6, cuyo dominio es [6
p, ∞[, con p > 0. Se puede determinar
el valor de la constante p, si se sabe que:
(1) f(2.010) = 2
(2) la gráfica de f intersecta al eje x en el punto (1.206, 0).
69. Sean m y p números enteros positivos, se puede determinar el valor de ellos si:
(1) m : p = 11 : 19
(2) (m + p)2 = 22.500
70. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una caja sin mirar en su interior?
(1) En la caja hay 4 bolitas azules y 3 verdes.
(2) La mitad de las bolitas que hay en la caja no son rojas.
71. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se
sabe que:
(1) El 52% de la población del país son mujeres.
(2) El 0,5% de la población son médicos.
72. Si P es un punto ubicado en el segundo cuadrante de un sistema de coordenadas,
¿cuáles son las coordenadas del punto P?
(1) Si se le aplica una traslación de vector (4,-1) se obtiene (2,3).
(2) Al rotar P en 180º se obtiene el punto (2,-4)
73. Se puede determinar el precio de una lata de bebida si:
(1) La lata de bebida vale $300 menos que el
litro de leche.
(2) El valor del litro de leche es múltiplo de $300.
74. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar
perfectamente si:
(1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de lado 10 cm.
(2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de catetos 10 cm.
y 20 cm.
75. Sean m y n números enteros, se puede determinar que 3n2−m2 es igual a 81, si se
sabe que:
(1) n - m = 2
(2) 3n
3−m = 9
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 189
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76. Se puede determinar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 60
cm, si se sabe que:
(1) la medida del lado menor es un tercio de la medida del lado mayor.
(2) el doble, de la medida del lado menor aumentada en 2,5 cm, es igual a la
medida del lado mayor, disminuida en 2,5 cm.
77. En un taller de arte se selecciona al azar un estudiante. Se puede determinar la
probabilidad de que éste vista pantalones negros, si se sabe que:
(1) El 85% de los integrantes de este taller visten pantalones.
(2) En este taller, el 60% de los que visten pantalones, los llevan de color negro.
78. Se puede determinar el valor numérico de la abscisa del vértice de la parábola de
ecuación y = ax2 + bx + c, si se conoce:
(1) El valor numérico de c.
(2) Los valores numéricos de los ceros de la función asociados a dicha parábola.
79. Se puede determinar el valor central de tres números impares consecutivos, si se
sabe que la suma de ellos es:
(1) A lo más 75.
(2) A lo menos 63.
80. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se puede determinar el valor de H
si se sabe que:
(1) a = 10
(2) a + b = 30
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 190
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ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A - 01
1) A 11) E 21) E 31) C 41) E
2) D 12) C 22) B 32) A 42) B
3) E 13) A 23) A 33) B 43) A
4) B 14) B 24) D 34) A
5) E 15) C 25) A 35) B
6) A 16) A 26) C 36) E
7) B 17) D 27) E 37) C
8) B 18) B 28) E 38) E
9) D 19) B 29) B 39) A
10) B 20) A 30) E 40) A
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A - 02
1) C 11) A 21) B 31) C
2) C 12) B 22) C 32) E
3) B 13) C 23) D 33) B
4) D 14) D 24) C 34) D
5) A 15) E 25) E
6) A 16) A 26) E
7) B 17) D 27) A
8) B 18) B 28) C
9) B 19) E 29) C
10) E 20) D 30) C
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 191
Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A - 03
1) E 11) A 21) C 31) D 41) B
2) E 12) C 22) E 32) B 42) C
3) B 13) D 23) C 33) D 43) D
4) C 14) D 24) A 34) A 44) A
5) E 15) C 25) C 35) B 45) B
6) C 16) A 26) B 36) A 46) D
7) D 17) C 27) B 37) A 47) A
8) E 18) C 28) C 38) A 48) C
9) D 19) E 29) C 39) B 49) A
10) C 20) C 30) E 40) A 50) D
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A - 04
1) B 11) B 21) C 31) E
2) E 12) E 22) D 32) B
3) D 13) A 23) B 33) D
4) A 14) C 24) D 34) A
5) D 15) E 25) E 35) A
6) D 16) E 26) E 36) A
7) D 17) D 27) A 37) C
8) A 18) B 28) D 38) C
9) B 19) E 29) D
10) D 20) C 30) C
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 192
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ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A - 05
1) C 11) B 21) D 31) D 41) E
2) D 12) D 22) B 32) D 42) D
3) B 13) D 23) E 33) B
4) C 14) D 24) D 34) E
5) B 15) D 25) C 35) D
6) A 16) B 26) B 36) A
7) B 17) A 27) E 37) A
8) C 18) B 28) E 38) B
9) C 19) C 29) D 39) D
10) E 20) B 30) D 40) C
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A - 06
1) C 11) B 21) E
2) D 12) E 22) C
3) D 13) B 23) C
4) E 14) E 24) B
5) C 15) A 25) E
6) D 16) B 26) A
7) B 17) A 27) B
8) A 18) D 28) E
9) D 19) E 29) C
10) B 20) D 30) D
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 193
Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A – 07
1) A 11) E 21) D 31) A 41) D
2) B 12) C 22) B 32) A 42) D
3) A 13) D 23) B 33) B
4) D 14) B 24) D 34) D
5) A 15) A 25) E 35) E
6) A 16) B 26) E 36) C
7) C 17) B 27) C 37) E
8) A 18) A 28) E 38) A
9) D 19) D 29) B 39) A
10) D 20) B 30) C 40) E
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A – 08
1) C 11) B 21) C
2) C 12) D 22) B
3) D 13) A 23) D
4) E 14) A 24) B
5) D 15) D 25) A
6) D 16) C
7) D 17) A
8) E 18) B
9) C 19) E
10) D 20) B
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 194
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ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A – 9
1) A 11) B
2) D 12) A
3) E 13) C
4) B 14) E
5) E 15) B
6) B 16) A
7) E 17) C
8) A 18) A
9) A 19) B
10) D 20) B
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A – 10
1) A 11) D
2) E 12) D
3) C 13) C
4) C 14) C
5) D 15) A
6) B 16) B
7) C 17) C
8) E 18) E
9) E 19) E
10) A 20) C - 21) D
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 195
Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA A – 11
1) B 11) E
2) C 12) C
3) B 13) C
4) D 14) A
5) D 15) B
6) D 16) A
7) B 17) D
8) B 18) C
9) D 19) B
10) A 20) E
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G - 01
1) B 11) A 21) B 31) B
2) D 12) B 22) D 32) D
3) E 13) A 23) C 33) B
4) C 14) A 24) B 34) B
5) D 15) C 25) C
6) B 16) D 26) E
7) B 17) B 27) B
8) E 18) E 28) E
9) D 19) E 29) E
10) B 20) B 30) D
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 196
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ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G - 02
1) E 11) B 21) B 31) A
2) C 12) D 22) C 32) A
3) E 13) C 23) B 33) A
4) C 14) C 24) C 34) B
5) E 15) A 25) C 35) D
6) D 16) A 26) E 36) C
7) C 17) E 27) D
8) A 18) D 28) A
9) C 19) D 29) B
10) E 20) D 30) D
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G - 03
1) A 11) A 21) C 31) D 41) D
2) E 12) E 22) A 32) B 42) D
3) D 13) C 23) C 33) D
4) D 14) D 24) B 34) E
5) A 15) C 25) C 35) E
6) B 16) E 26) E 36) E
7) A 17) E 27) D 37) D
8) B 18) D 28) E 38) C
9) E 19) A 29) D 39) A
10) C 20) E 30) C 40) B
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 197
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ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G – 04
1) C 11) A 21) D 31) E 41) B
2) B 12) B 22) D 32) A 42) D
3) C 13) D 23) D 33) B 43) B
4) C 14) A 24) C 34) B 44) A
5) A 15) C 25) A 35) B 45) A
6) A 16) D 26) C 36) D 46) C
7) B 17) D 27) C 37) D 47) D
8) C 18) D 28) A 38) C 48) B
9) D 19) B 29) B 39) A 49) B
10) A 20) A 30) C 40) A 50) A
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G – 05
1) A 11) E 21) A
2) B 12) A 22) D
3) D 13) C 23) B
4) A 14) D 24) D
5) E 15) D
6) B 16) B
7) E 17) D
8) E 18) D
9) C 19) C
10) E 20) C
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 198
Danny Perich C. – www.sectormatematica.cl
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G – 06
1) B 11) D 21) C
2) A 12) D 22) D
3) E 13) E 23) A
4) B 14) E 24) A
5) D 15) C
6) E 16) A
7) D 17) E
8) D 18) D
9) C 19) C
10) C 20) E
ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G – 07
1) A 11) C 21) B
2) B 12) E 22) A
3) B 13) B
4) B 14) E
5) D 15) C
6) B 16) E
7) E 17) E
8) C 18) A
9) E 19) B
10) B 20) A
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 199
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ALTERNATIVAS CORRECTAS GUIA G – 08
1) C 11) C 21) E
2) B 12) B 22) B
3) C 13) A 23) D
4) D 14) E 24) E
5) E 15) A 25) B
6) A 16) C
7) A 17) E
8) A 18) E
9) E 19) B
10) A 20) E
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 200
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RESPUESTAS GUÍA ADICIONAL EVALUACION DE SUFICIENCIA DE DATOS
1. D 11. A 21. C 31. E 41. C 51. A 61. A 71. E 2. A 12. E 22. B 32. A 42. A 52. D 62. C 72. D 3. E 13. A 23. A 33. C 43. B 53. E 63. A 73. E 4. E 14. D 24. A 34. E 44. D 54. A 64. D 74. B 5. B 15. A 25. B 35. D 45. A 55. D 65. A 75. C 6. C 16. E 26. D 36. C 46. B 56. B 66. C 76. D 7. C 17. A 27. C 37. B 47. B 57. C 67. C 77. C 8. E 18. D 28. A 38. E 48. A 58. A 68. D 78. B 9. D 19. B 29. D 39. A 49. D 59. B 69. C 79. E 10. B 20. C 30. C 40. C 50. C 60. C 70. B 80. D
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 201
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TABLA DE REFERENCIA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE
Correctas Puntaje Correctas Puntaje
0 150 31 630
1 180 32 634
2 211 33 639
3 222 34 644
4 230 35 651
5 242 36 656
6 264 37 660
7 294 38 664
8 321 39 667
9 351 40 671
10 388 41 675
11 412 42 680
12 448 43 685
13 470 44 690
14 486 45 696
15 499 46 700
16 513 47 705
17 528 48 710
18 542 49 715
19 557 50 722
20 564 51 728
21 571 52 734
22 577 53 741
23 583 54 749
24 588 55 760
25 595 56 770
26 604 57 784
27 612 58 802
28 618 59 822
29 622 60 850
30 626
PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMATICA 2021 202
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