1En adelante las respectivas letras C,K,M,Ndenotaran las constantes de integracin.

1.dy

dx=

sin x

cosy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Se trata de una ecuacin devariable separable.

cosydy = sin xdxcosydy =

sin xdx

siny = cos x+ C

o bien siny+ cos x = C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. xydx (x+ 2)dy = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Ecuacin de variable sepa-rable.

1

ydy =

x

x+ 2dx

1

ydy =

x

x+ 2dx (1)

Comox

x+ 2dx = x ln(x+ 2)

ln(x+ 2)dx

= x ln(x+ 2) (x+ 2) ln(x+ 2)

+ (x+ 2) +M

= 2 ln(x+ 2) + (x+ 2) +M

pues para integrar por partes

f = x() df = dx ;

dg =1

x+ 2

g = ln(x+ 2)

luego (1) resulta

lny = 2 ln(x+ 2) + (x+ 2) +M+ C

como M y C son constantes de inte-gracin podemos tomar ln(K), con K =M + C, que tambin es una constantede integracin. As

lny+ 2 ln(x+ 2) = (x+ 2) + lnK

ln[y(x+ 2)2

]= (x+ 2) + lnK

y(x+ 2)2 = ex+2K

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.dy

dx= x2 + y 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: No es de variable separable,entonces hacemos un cambio de varia-ble

u = x2 + y 1() du

dx= 2x+

dy

dx

de dondedy

dx=du

dx 2x

reemplazando en la ecuacin original

du

dx 2x = u du

dx u = 2x

que es una ecuacin lineal, con P(x) =1, Q(x) = 2x, cuya solucin es

u = ex

{ex2xdx+ C

}por partes

= ex{ 2xex 2ex + C

}= 2x 2+ Cex

Juan Carlos Huayta S.

2pero u = x2 + y 1 luego

x2 + y 1 = 2x 2+ Cex

x2 + 2x+ 1+ y = Cex

As la solucin es (x+ 1)2 + y = Cex.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.dy

dx= sin(x+ y)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Sea u = x + y de dondedudx = 1 +

dydx luego

dudx = sinu + 1 es una

ecuacin de variable separable, donde

du

sinu+ 1= dx

du

sinu+ 1=

dx

2 sin(u/2)cos(u/2) + sin(u/2)

= x+ C

2

cos(u/2) + 1= x+ C

como u = x+ y resulta

2

cos((x+ y)/2

)+ 1

= x+ C

de donde

2 = (x+ C)(cos[x+ y

2

]+ 1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. (4x+ y)dy

dx= y 2x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: La ecuacin no es separabley la podemos escribir como

dy

dx=y 2x

4x+ y(2)

aplicamos el mtodo de sustitucin,sea y = xu derivando respecto a x dydx =u+ xdudx reemplazando en (2)

u+ xdu

dx=xu 2x

4x+ xu=u 2

u+ 4

de donde

xdu

dx=u 2

u+ 4 u =

(u+ 2)(u+ 1)

u+ 4

es una ecuacin de variable separable,u+ 4

(u+ 2)(u+ 1)du =

dx

x

3 ln(u+ 1) 2 ln(u+ 2) = ln x+ lnC

(u+ 1)3

(u+ 2)2=C

x

pero y = xu de donde haciendo opera-ciones

(x+ y)3 = (2x+ y)2C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. xydx (x2 + 2y2)dy = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Ahora te toca resolver staecuacin diferencial, es similar al an-terior la respuesta es

4y2 lny x2 = y2K con K = 4C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. (2x+ 3y)dx+ (y+ 2)dy = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Re escribimos la ecuacin

dy

dx=

2x+ 3y

y+ 2(3)

Juan Carlos Huayta S.

3Debes notar que (3) no es separable,que no se puede aplicar el mtodo desustitucin, pero utilizamos el mtodode cambio de coordenadas. Sean x =u+h e y = v+k donde dx = du y dy = dv,reemplazando en (3)

dv

du=

2(u+ h) + 3(v+ k)

(v+ k) + 2

=2u+ 3v+ 2h+ 3k

v+ k+ 2(4)

resolviendo la ecuacin

2h+ 3k = 0

k+ 2 = 0

} k = 2 y h = 3

reemplazando en (4) resultadv

du=

2u+ 3v

v(5)

donde se puede aplicar el mtodo desustitucin, sea v = ut ()

dvdu = t + u

dtdu

reemplazando en (5) y haciendo opera-ciones tenemos

udt

du=

t2 + 3t+ 2

t

que es una ecuacin de variable sepa-rable, luego

t

(t+ 2)(t+ 1)dt =

du

u

2 ln(t+ 2) ln(t+ 1) = lnu+ lnC

(t+ 2)2

t+ 1=C

u

pero v = ut de donde

( vu + 2)2

vu + 1

=C

u

(v+ 2u)2

v+ u= C

adems x = u+ 3 e y = v 2 de donde

(y+ 2+ 2(x 3)

)2(y+ 2) + (x 3)

= C

(2x+ y 4)2 = (x+ y 1)C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Listo esito seria, espero te ayude

Juan Carlos Huayta S.