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Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 1 de 10
REPASO DE CÁLCULO I INTEGRAL
Repaso General sobre Métodos de Integración Indefinida
Guía Complementaria No.03 Como se ha visto, claramente la integración es más desafiante que la derivación. Para hallar la derivada de una función, resulta evidente cual fórmula de derivación se debe aplicar. Pero podría no ser obvio con la técnica que se debe usar para integrar una función dada. Hasta ahora se han aplicado técnicas individuales en cada sección, bien definida la integración por parte o el cambio trigonométrico. Pero éste capítulo presenta una colección de diversas integrales en orden aleatorio y la dificultad principal es reconocer que técnica o fórmula usar. Ninguna regla invariable se puede dar en cuanto a qué método se aplica en una determinada situación, pero se da cierta orientación sobre la estrategia que podría resultar útil. Un prerrequisito para la selección de estrategia es conocer las fórmulas básicas de integración. En la siguiente tabla se han reunido las integrales de lista básica (formulario de James Stewart) junto con varias fórmulas adicionales que se han aprendido posteriormente. La mayor parte se deben memorizar para entender el esqueleto conceptual de los métodos estudiados.
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Una vez que se cuenta con éstas fórmulas de integración básica, si no se ve de inmediato cómo proceder a resolver una determinada integral, se podría probar la siguiente estrategia de tres pasos:
1. Simplifique el integrando si es posible. A veces el uso de operaciones algebraicas o identidades trigonométricas simplifica el integrando y hace evidente el método de integración. A continuación se dan algunos ejemplos:
dxxxdxx1x
d2sen21dcossen
dcoscossend
sectan 2
2
dxxcosxsen21
dxxcosxcosxsen2xsendxxcosxsen 222
2. Busque una sustitución obvia. Intente hallar alguna función u = g(x) en el integrando cuya diferencial du = g’(x) también aparece, además de un factor constante. Por ejemplo, en la integral
dx
1x
x2
Se observa que si u = x2 – 1, en seguida du = 2xdx. Por lo tanto, se usa la sustitución u = x2 – 1 en lugar del método de fracciones parciales.
3. Clasifique el integrando de acuerdo con su forma. Si los pasos 1 y 2 no han llevado a la solución, en tal caso se echa un vistazo a la forma del integrando f(x).
a) Funciones Trigonométricas. Si f(x) es un producto de potencias de sen(x) y cos(x), de
tan(x) y sec(x), o de cot(x) y csc(x), después se usan las sustituciones recomendadas en la teoría de dicho método.
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b) Funciones Racionales. Si f(x) es una función racional, se usa el procedimiento relacionado
con Fracciones Parciales.
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c) Integración Por Partes. Si f(x) en un producto de una potencia de x (o un polinomio) y una función trascendental (como una función trigonométrica, exponencial o logarítmica), por lo tanto se prueba la integración por partes, y se eligen “u” y “dv” de acuerdo a las recomendaciones comentadas durante el desarrollo de las clases. Como por ejemplo, para elegir “u” podemos tomar como referencia no obligatoria, la regla empírica de prioridad como se muestra a continuación: I – Inversas Trigonométricas L – Logarítmicas A – Algebraicas T – Trigonométricas E – Exponenciales
d) Radicales. Los tipos particulares de sustituciones se recomiendan cuando aparecen ciertos radicales, como ser:
dxax 22
Y aplicando los siguientes cambios de variable:
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A.-) En los problemas de 1 al 24, determine la expresión de la antiderivada requerida, aplicando el método estudiado que corresponda de acuerdo a su criterio.
1.-)
dx
2x3x1x
12
2.-)
dx
xtan1
xsecxtan23
22
3.-)
dxxln4x
xln2
4.-)
dx
101
1010x2
x2x
5.-)
2
32 27x24x4
dx
6.-) xsen4xcos3dx
7.-)
dx
8x12x6x
6x12x6x23
234
8.-) dx1x1xxln
9.-) dxx3secx3tan3
10.-)
dx
2xsen
xtan4
23
11.-) dxbxax 2223
12.-)
dxxsen2xcos23
1xsenx2cosxcos 22
13.-) dx
8x1x
x33
5
14.-) dxx2xarcsen 2
15.-)
dx
e3e61
e2ex2x
x2x
16.-) dxxarcsen
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17.-)
dx
1xxx
1x3xx2x423
234
18.-)
dx
xcosxsen57
xcosx2sen2
19.-)
dx
x4x21
1elnxeln3
2
22
20.-)
dx
2xx1x
4x3x2x232
24
21.-)
dxx1
xxarcsen3
2
22.-) dx3xcsc3
xcot 43
23.-) dx
1x2x
x24
4
24.-)
dx
xsenxsen
xsen3
2
Bibliografía Utilizada en el Desarrollo de ésta Guía Complementaria de Estudio 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning
Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de
Chile. Santiago de Chile. 11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. CengageLearning Editores. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República
Bolivariana de Venezuela. 13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio
Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. 14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001.
Santiago de Chile, Chile. 15. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores. JUCELO1209® D.R.2016
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Repaso Métodos de Integración Indefinida
Guía Complementaria No.03 Respuestas De Todos Los Ejercicios
Repaso General sobre Métodos de Integración
1. R/= C2x3x
23x
22x3x
21
222
2. R/= C
31xtan2
arctan3
2xtan1ln
3. R/= C4xln2
4. R/= C110ln10ln1 x
5. R/= C
427x6x
3x181
2
6. R/= C
12xtan3
92xtan3
ln51
7. R/=
C2x
112x
82x
2
2
8. R/= C1x1xxlnx 22
9. R/= Cx3sec31
x3sec91 3
10. R/= Cxtan92
xtan52 2
92
5
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11. R/= Cb
bxa51
bbxa
31
ab
5222
3222
4
5
12. R/= C22x
tanarctan2
13. R/= C4x2xln218
1xxln211
2xln218
1xln211 22
14. R/= Cx4141
x2arcsen2x 42
2
15. R/= C
241e3
1e23
ln3
141e3
32
2xx2x
16. R/= Cxx121
x1arcsen21
xxarcsen
17. R/= C1xln45
1x23
1xln431
x6x2 2
18. R/= Cxsen2ln3xsen3ln5
19. R/=
C
43
41x42
41x4
43
41x42
122
20. R/=
C1xarctan12583
2x2xln25019
1x
153
1x1
259
1xln125106 2
2
21. R/=
Cx1x1
ln21
x1
xarcsen2
22. R/= C3x
cot21
3x
cot43 64
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23. R/= C1x2
xxarctan
23
x2
24. R/= C
832xtan
832xtan
ln8
12
2
----------------------------------última línea---------------------------------------------------------------------------