Post on 26-Sep-2015
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Matemticas Superiores
Prof.: Carvajal G. Luis G.
INECUACIONES
Problemas resueltos de inecuaciones Cuadrticas:
Problema Justificacin
2 2 2( 6) ( 2) ( 4)2
4 3
x x xx
Desarrollo de los productos notables.
2 2 212 36 4 4 8 1( ) 62
4 3
x x x x x xx
Eliminar de parntesis.
2 2 2 8 162
4 3
36 412 4x xx
x xx x
Suma algebraica.
28 32
4
8 162
3
x xx
x
Suma de fracciones
28 32 16
4
6
3
8x x x x Suma algebraica.
28 32 2
4 3
16x x x Despejar.
2(8 32) ( 2 13 4 6)x x x Propiedad distributiva.
224 96 8 64x x x Despeje.
20 8 64 24 96x x x Suma algebraica.
2 160 32x x Simplificar por 4 y ordenar la desigualdad.
2 4 8 0 1 4 8x x a b c Aplicar la resolvente.
2
1,2
1,2
( 4) ( 4) 4(1)( 8) 4 16 32
2(1) 2
4 48 122 12
4 2
22
x
x
En esta parte puede usar su calculadora y obtener esos
resultados sin ningn tipo de problema.
Aclaratoria:
1,2
4 4
2
4 48 32 2 3 2 12
2x
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1 22 1 2 22 1x x
Sol: Grfica
Como el problema nos pide los valores de x menores a
cero, entonces tomamos la parte interna, por ser una
inecuacin cuadrtica.
2 12,2 12x
Grado Superior:
Problema Justificacin
8 7 6 5 4 3 213 58 82 119 491 516 180 0x x x x x x x x
Ntese que es un polinomio de grado 8 y que no posee trmino independiente, lo que implica que debemos factorizar usando factor comn.
7 6 5 4 3 213 58 82 119 491 516 180 0x x x x x x x x Ahora al resto del polinomio le aplicamos Ruffini.
1 13 58 82 119 491 516 180
1 1 12 46 36 155 336 180
1 12 46 36 155 336 180 0
1 1 11 35 1 156 180
1 11 35 1 156 180 0
2 2 18 34 66 180
1 9 17 33 90 0
2 2 22 78 90
1 11 39 45 0
3 3 24 45
1 8 15 0
3 3 15
1 5 0
5 5
1 0
Reescribir la nueva inecuacin a partir de los resultados obtenidos en el proceso de Ruffini.
Matemticas Superiores
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2 2( 1) ( 2)( 3) ( 5)( 2) 0x x x x x x Construimos la recta con los valores obtenidos.
Ahora realizamos el anlisis de los intervalos por signos.
2
2
2,0 2,3 3,5, 2 0,1 1,2 5,
( 1)
2
( 3)
5
2
x
x
x
x
x
x
Resultado
Ahora tomamos los intervalos para los cuales el resultado fue negativo, ya que el problema nos seala los menores e iguales.
2,0 2,5x
Racionales:
Problema Justificacin
2
12 6 3 3
8 2 48 6
x x x
x x x x
Vamos a trasladar todos los trminos a la
izquierda y factorizamos la segunda
fraccin.
8 ( 8)
12 6 3 3
( 60
6)x
x x x
x xx
Ntese que el mnimo comn mltiplo
entre los polinomios denominadores es
( 8)( 6)x x ya que se encuentra
incluido en el resto
( 6) ( ( 8)
( 8
6)
( 6)
( 12) (30
)
3)x xx x
x
x
x
Desarrollamos los productos notables del
denominador, teniendo cuidado con los
signos negativos.
2 26 72 6 (3 24 3 24)0
( 8)( 6)
x x x x x x
x x
Terminamos de desarrollar todo el
numerador.
2 272 6 240
( 8)( 6)
6 3 24 3x x x
x x
xx x
Suma algebraica de todos los trminos del
numerador.
Sacamos factor comn 2.
3
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22
2 42 ( 8 21)0 0
( 8)( 6) ( 8)(
2
6)
16 2factor comn x x
x x
x
x
x
x
Despejamos al 2 y cambiamos la
desigualdad ya que el signo cambia cuando
despejamos un nmero negativo.
2 2( 8 21) 0 8 210
( 8)( 6) 2 ( 8)( 6)
1 8 21
x x x x
x x x x
a b c
Aplicamos Ruffini al numerador.
2
1,2
8 (8) 4(1)(21) 8 64 84 8 20
2(1) 2 2x
Ahora acabamos de obtener una raz que
no pertenece a los nmeros reales; Lo que
implica que slo vamos a analizar los
nmeros que tenemos en dicha inecuacin.
2
8 6
8 210
( 8)( 6)
No posee races
x x
x x
Nota: Como el numerador no posee races
reales y el coeficiente que acompaa a la
variable de mayor grado es positivo,
entonces el numerador siempre es positivo.
Realizamos el anlisis de los intervalos por
signos.
2
8,, 8 6,
8
6
21
8
6
x x
x
x
Resultado
Ahora tomamos los intervalos para los
cuales el resultado fue negativo, ya que el
problema nos seala los menores e iguales.
8,6x
Observe que la solucin al problema es abierta, aunque el problema el problema dice que son los menores o iguales
Esto se debe a que el denominador no puede valer cero Lo que obliga a retirar de la solucin a dichos valores.
La sabidura es un adorno en la prosperidad y un refugio en la adversidad. Aristteles (384 AC - 322 AC) Filsofo griego.
Es mejor saber despus de haber pensado y discutido, que aceptar los saberes que nadie discute para no tener que pensar.
Fernando Savater (1947-?) Filsofo espaol.