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Tema 2: Ondas
Oscilaciones y OndasOscilaciones y Ondas
Fundamentos físicos de la ingeniería
Ingeniería Industrial
Primer CursoPrimer Curso
Joaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010
Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
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ÍÍndiceI t d ió Introducción
Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas linealesVelocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondasJoaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010
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p p
ÍÍndice (I)I t d ió Introducción Ondas mecánicas
O d t l l it di l Ondas transversales y longitudinales
Función de onda
Ondas sinusoidales Descripción y representación
Ecuación de onda lineal
Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda
Onda de sonido
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ÍÍndice (II)O d d í t itid Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido Onda de desplazamiento y onda de presión
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas Reflexión total
Transmisión
Superposición de ondas Principio de superposición
Interferencia de ondas armónicas
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Introducción: ondas mecánicas
Onda: perturbación que viaja sin transferencia de materia transmiten energíatransferencia de materia Ondas en el agua, ondas de sonido…
Clasificación según el medio de propagación:
transmiten energía
Clasificación según el medio de propagación: Mecánicas: perturbación de un medio. Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una
cuerda…
El t éti i di Electromagnéticas: no requieren un medio. Luz, rayos X, ondas de radio…
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Ondas mecánicas
La formación y propagación de una onda mecánica requiere: Una fuente de perturbación Ej: Piedra que cae en el agua
Un medio que pueda ser perturbado Ej: El agua
M i fí i d i t ió t tí l Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio Ej: Fuerzas de atracción repulsión entre las moléculas Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas
de agua
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Ondas transversales y longitudinales
Cl ifi ió d l d ú l di ió Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:medio: Transversales: perpendicular a la dirección de
propagación (Ej: ondas en cuerdas ondas en elpropagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)
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Ondas transversales y longitudinales
Cl ifi ió d l d ú l di ió Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio: Transversales: perpendicular a la dirección de p p
propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)
Longitudinales: paralela a la dirección de propagación (Ej: ondas de sonido, ondas en un muelle)
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ÍÍndiceI t d ió Introducción
Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas linealesVelocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondasJoaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010
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p p
Función de onda
Pulso que viaja en una cuerda:
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Función de ondaPulso que viaja en una cuerda: Pulso que viaja en una cuerda:
y
0t ( , 0) ( )y x t f x
P v
yx
( ) ( )y x t f x vtPxy ( , ) ( )y x t f x vt
t
vt
P Función de onda
x
t P
x x vt ( ) ( )f x vt f x
Función de onda
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P Px x vt ( ) ( )P Pf x vt f x
Función de onda
Representa el alor de la coordenada en
( , ) ( )y x t f x vt
Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante tEl i iti i di d i j d h i El signo positivo indica onda viajando hacia x decreciente (la izquierda en nuestro di )diagrama)
Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso
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ÍÍndice Introducción Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Ondas sinusoidales Descripción y representación Ecuación de onda lineal
Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida
O d d id Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Ondas sinusoidales
Unimos el extremo de una cuerda a un objeto que describe un MAS (diapasón):que describe un MAS (diapasón):
Tren de ondas sinusoidales o armónicas
Cada partícula de la cuerda describe un MAS
Todas las ondas pueden representarse como suma de ondas armónicas
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Ondas sinusoidales: longitud de onda y amplitud
Longitud de onda (): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y p p (y) yvelocidad (vy):
y y
x
A
Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición decada partícula respecto a su posición de equilibrio
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Ondas sinusoidales:
F i (f) f i d l MAS d d
frecuencia y velocidad Frecuencia (f): frecuencia del MAS de cada
partícula del medio: 1f
y Tf
T
t
Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha recorrido una distancia
vT
CUIDADO: No confundir v con vy
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T
Ondas sinusoidales: representación matemática
y
x
y
x
( ,0) seny x A kx • En t=0: 2
k
Número de onda (m-1) Constante de fase
Función sinusoidal de amplitud A que se repite cada y cuyo valor en x=0 es Asen()
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p y y ( )
Ondas sinusoidales: representación matemática
En un instante t:( ) ( 0)y x t y x vt senA kx kvt
Signo +: onda que viaja hacia x decreciente
Signo : onda que viaja hacia x creciente
( , ) ( ,0)y x t y x vt senA kx kvt
Signo -: onda que viaja hacia x creciente
Donde: 2 2k
Entonces:
kvT T
Frecuencia angular
Entonces:
( , ) sen( )y x t A kx t
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Ondas sinusoidales: resumen
( , ) sen( )y x t A kx t
• Amplitud:
L it d d d
A2
k
ú d d• Longitud de onda:
• Frecuencia:
2
k
número de onda
Frecuencia:1
fT
22 f
T
frecuencia angular
•Velocidad de la onda: v fT
k
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Ecuación de onda lineal( ) ( )A k ( , ) sen( )y x t A kx t
( )y
A k
2 21 1 cos( )y
yv A kx t
t
22y
2 2
2 2 2 2
1 1y y
k x t
2
2sen( )y
ya A kx t
t
y
2 2 2
2 2 2
y k y
t
cos( )y
kA kx tx
2
2 2 2x t
2 21y y 22
2sen( )
yk A kx t
x
2 2 2
1y y
x v t
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Ecuación de onda lineal
2 2
2 2 2
1y y
x v t
Ecuación diferencial que cumple una
x v t
q pperturbación que se propaga como una onda lineallineal
Ondas armónicas son una posible solución
Solución general: onda viajera( , ) ( )y x t f x vt
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Ecuación de onda lineal
Es solución de la ecuación de ondas li l
2 2
2 2 2
1y y
x v t
( , ) ( )y x t f x vt
lineal x v t
• Demostración: x vt Fase:
2 2 2
2 2 2
y f f
y f f
2 2 2x x x x
y f f
2 2 22y f f y f f
vt t
2
2 2 2
y f fv v
t t
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ÍÍndice Introducción Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda Onda de sonido
Onda en una cuerda: energía transmitidaO d d id Ondas de sonido
Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas
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Velocidad de las ondas
Las ondas mecánicas con amplitudes pequeñas frente a pueden considerarsepequeñas frente a pueden considerarse lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.
Ondas mecánicas lineales: Ondas mecánicas lineales: Su velocidad depende solamente de las
i d d d l di t é d lpropiedades del medio a través del que se mueven
O d d dif t f i l Ondas de diferente frecuencia se propagan con la misma velocidad
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Velocidad de las ondas: onda en una cuerda
Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidadtF
Si usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta
tFv
dm
dL densidad de masa lineal
Para una cuerda homogénea:
dL
m
L
L
m
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Velocidad de las ondas: ondas sonoras
Para muchos tipos de ondas mecánicas se cumple:p
v (propiedad elástica del medio)
(propiedad inercial del medio)
P Ondas de sonido en un fluido
(p p )
Bv
Módulo de compresibilidad:
Densidad de masa
PB
V V
Densidad de masa
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Velocidad de las ondas: ondas sonoras
B
Medio v (m/s)
Hidrógeno (0º C) 1286B
v
Aire (20º C) 343
Aire (0º C) 331
A (20ºC) 1482B
T
En un gas:
Agua (20ºC) 1482
Agua (0º C) 1402
T
Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago
83 10 m/s >>c v Desprecio el retraso de la luz3 10 m/s >> c v Desprecio el retraso de la luz
0.33 km/sv 0.333
kms km
s
xd vt x
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3s
Velocidad de las ondas: observaciones
La frecuencia de la onda la determina el agente causante de la misma
La velocidad de la onda depende del medio
La longitud de onda se obtiene de:v
La longitud de onda se obtiene de:f
Ejemplo: sonar de los delfines510 Hzf Ejemplo: sonar de los delfines 10 Hzf
Agua a 20º C
5
14821.5
10
m/scm
1/s
v
f
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f
ÍÍndiceI t d ió Introducción
Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas linealesVelocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondasJoaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010
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p p
Onda en una cuerda: energía transmitida
Una onda que se propaga en un medio transporta energía:p g Un trozo de corcho sube y baja en el agua Un pulso en una cuerda puede levantar una masap p
Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerdauna cuerda
Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realizafuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino
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Onda en una cuerda: energía transmitida
Potencia:
( , ) sen( )y x t A kx t
sent t t tP F v Fv
Ondas lineales A<< sen tan y y Válido para cualquier
tant t t
y yP Fv F
t x
Válido para cualquier forma de onda
( ) ( )P F kA k A k cos( ) cos( )tP F kA kx t A kx t 2 2 2( , ) cos ( )P x t v A kx t 2v
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( , ) cos ( )P x t v A kx t v v
Onda en una cuerda: energía transmitida
Potencia promedio:
1 1T T2 2 2
0 0
1 1( , ) cos ( )
T T
mP P x t dt v A kx t dtT T
1
2
2 21P v A
E l it d d l t i i t tá á i
2mP v A
Es la mitad de la potencia instantánea máxima
: general para ondas sinusoidales2 2,mP A
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Onda en una cuerda: energía transmitida
E í di fl t Energía media que fluye por un punto en un intervalo de tiempo:
La energía viaja a la velocidad de la onda
m m m
xE P t P
v
v
2 21E A x
2mE A x
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ÍÍndiceIntroducción Introducción
Función de ondaO d i id l Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas linealesO d d í t itid Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonidoO d d d l i t d d ió Onda de desplazamiento y onda de presión
Efecto DopplerReflexión y transmisión de ondas Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas
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Ondas de sonido
Ondas longitudinales
Ondas sonoras armónicas: desplazamiento Ondas sonoras armónicas: desplazamiento de las moléculas respecto a su posición de equilibrio:equilibrio:
0( , ) sen( )s x t s kx t
El desplazamiento de las moléculas provoca variaciones de la densidad y presión del aire:variaciones de la densidad y presión del aire: onda de presión y onda de densidad
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Ondas de sonidoDesplazamiento respecto alDesplazamiento respecto al equilibrio
M i i t d l tí lMovimiento de las partículas un instante T/4 antes
Posición de las partículas
• s=0: partícula en su posición de equilibrio (x1 y x3) p p q ( 1 y 3)
• s>0: desplazamiento a la derecha de la posición de equilibrioequilibrio
• s<0: desplazamiento a la izquierda de la posición de equilibrio
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de equilibrio
Ondas de sonidoDesplazamiento respecto alDesplazamiento respecto al equilibrio
i i t d l tí lmovimiento de las partículas un instante T/4 antes
Posición de las partículas
Densidad del aire
La onda de densidad está desfasada 90º respecto a la
onda de desplazamiento
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Ondas de sonidoDesplazamiento respecto alDesplazamiento respecto al equilibrio
i i t d l tí lmovimiento de las partículas un instante T/4 antes
Posición de las partículas
Densidad del aire
Onda de presión
0( , ) sen( )2
p x t p kx t
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Ondas de sonido
Relación entre las amplitudes de presión y de desplazamientodesplazamiento
0 0p v s
densidad de equilibrio
Donde elocidad de la onda
Donde: velocidad de la onda v 0 velocidad longitudinal máximas
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Ondas de sonido: aplicación
Frecuencias de sonido audible para el hombre: 20 Hz – 20000 Hz Frecuencias mayores: ultrasonidos
Frecuencias menores: infrasonidos
Máxima amplitud de presión que el oído humano puede tolerar: 28 Pa
¿De qué orden es la amplitud de desplazamiento máxima que puede soportar el oído humano?
0
0
2811
343 1.21 2 10003
Pa m
m/s kg/m Hz
ps
v
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ÍÍndiceI t d ió Introducción
Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas linealesVelocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondasJoaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010
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p p
Efecto Doppler
Cambio en la percepción del sonido cuando existe movimiento relativo entre emisor y receptor Ejemplo: Sirena de ambulancia o de coche de policía
Debe su nombre al físico austriaco Christian J. Doppler (1803-1853)
Causa: diferencia entre la frecuencia percibida por p pel receptor (fr) y la emitida por la fuente (ff)
Efecto asociado a todo tipo de ondasp
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Efecto Doppler
• Cuando el receptor y la fuente se acercan los frentes de onda se juntan: fr>ffr f
• Cuando el receptor y la fuente se alejan los frentes de onda se separan: fr<ff
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p r f
Efecto Doppler
F t t táti Fuente y receptor estáticos
• Tiempo emisión entre 1 pfrentes de onda:
• Velocidad de los frentes
1f
f
Tf v
F R
v
Velocidad de los frentes de onda:
• Distancia entre frentes:
v
• Distancia entre frentes:
• Tiempo entre frentes: rT
v
• Frecuencia recibida:1 v
f r ff f
v
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rr
fT
r ff f
Efecto Doppler
R t i i t Receptor en movimiento
• Tiempo entre frentes: rT
p
• Frecuencia recibida:
rrv v
F R
v
rr
v vf
r
r f
v vf f
v
rv• R se acerca a F ( ):
R se aleja de F ( ):
0rv
0
r ff f
f f• R se aleja de F ( ):
• Si :
0rv r ff f
0rv r ff f
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Efecto Doppler
Fuente en movimiento• Velocidad de los frentes: v
• Distancia entre frentes:
T RF fv
• Frecuencia recibida:
r f fv T vF
rf fv Tr f
f f f
v vf f
v T v v f f f
Si F se aleja de R: 0fv
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Efecto Doppler: ecuación general
Si receptor y fuente están en movimiento:
rr f
f
v vf f
v v
Cuando F se mueve hacia R: vf >0, en caso contrario v <0contrario vf<0
Cuando R se mueve hacia F: vr >0, en caso contrario v <0contrario vr<0
Las velocidades vf y vr se miden respecto al aire
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Efecto Doppler: ecuación general simplificada
1 rv
v v v
Si y f rv v v v
1
rr f f
ff
v v vf f fvv v
v
1 1 1f r frv v vv
f f f 1 1 1r f ff f f
v v v
r f
f
v vf
f v
r ff f f
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ff
Efecto Doppler: ondas de choque
v v rr f
f
v vf f
v v
Si
Esta ecuación no sirve para
f rv v f ó fv v v v Esta ecuación no sirve para
Si las ondast t l
ó r fv v v v
fv vse concentran tras el foco y forman una
d d honda de choque
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Efecto Doppler: ondas de choque
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Efecto Doppler: ondas de choque
Tangente común de todos los frentes de
d
Cono de Mach
onda
Ángulo de Mach
Estampido sónico
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Efecto Doppler: ondas de choque
• t: tiempo desde la• t: tiempo desde la emisión del frente de ondas en P
fv t
• Espacio recorrido por el avión: vf t
E i idfv t
• Espacio recorrido por el frente de ondas: vt
P
v t
senv t v
v t v
f fv t v
Número de Machfvv
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v
Efecto Doppler: ondas de choque
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Efecto Doppler: ondas de choque
Vehículo THRUST SSC superando el récord de velocidad terrestre (Mach 1,020)
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velocidad terrestre (Mach 1,020)
Efecto Doppler: ondas de choque
Bala desplazándose con un número de Mach 2,45
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ÍÍndice Introducción Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitidaOnda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Dopplerpp Reflexión y transmisión de ondas Reflexión total
T i ió Transmisión Superposición de ondas
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Reflexión y transmisión de ondas
Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinito
Vamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios.
Fenómenos relacionados: Reflexión: onda que regresa Reflexión: onda que regresa Ejemplo: eco
Transmisión: onda se propaga a través del Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio Ejemplo: luz en el agua
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Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo fijo Cuerda con extremo fijo
Pulso reflejado con la misma forma que el pulso incidente, pero invertido
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incidente, pero invertido
Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo libre Cuerda con extremo libre
Pulso reflejado con la misma forma que el incidente
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Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión transmisión: onda en una cuerda Reflexión-transmisión: onda en una cuerda Cuerda pesada
id t áunida a otra másligera
Onda reflejada no se invierte
Cuerda ligera unida a otra máspesadaOnda reflejada es
invertidaJoaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010
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invertida
Reflexión y transmisión de ondas
Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de p j pseparación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente Si las velocidades son parecidas: transmisión es
dominante Ejemplo: oído interno de los peces
Si las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominantees dominante Ejemplo: radiocomunicación
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ÍÍndice Introducción Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitidaOnda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Dopplerpp Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas Principio de superposición Interferencia de ondas armónicas
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Superposición de ondasE di d i En un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente
Ej l i h bl d l Ejemplo: varias personas hablando a la vez
Principio de superposición:
Cuando dos o más ondas se combinan enun determinado punto la perturbaciónun determinado punto la perturbaciónresultante es la suma de las perturbacionesprovocadas por cada onda
Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas
provocadas por cada onda
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ondas
Superposición de ondas
Consecuencia del Principio de c p o deSuperposición: dos ondas pueden ppasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas
Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen
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cuando dos o más ondas se superponen
Superposición de ondas
Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas
Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen
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cuando dos o más ondas se superponen
Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas
1 sen( )y A kx t
2 sen( )y A kx t
1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t
2 ( ) ( ) )b bb
Onda resultante con la misma f y
2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( Donde hemos usado:
Onda resultante con la misma f y La amplitud depende de (diferencia de fase)
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Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
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Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas
1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t
Onda resultanteA Si =0, cos()=1 y A’=2A;
interferencia constructiva
Onda 2Onda resultante
interferencia constructivaOnda 1
Onda 2 Onda resultante Si = cos()=0 y A’=0;
interferencia destructivate e e c a dest uct a
Joaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010
Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
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Onda 1