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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJOPrograma De Reforzamiento y Adelanto Universitario
AVANZA
Curso: TRIGONOMETRIA
Tema: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Aula : 4
ANGULO EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.
Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.
Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.
Ejemplos:
I
II
III
90º a ningún cuadrante
no está en posición normal
ÁNGULO CUADRANTAL
Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.
Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.
1. PropiedadSi es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:
Si I 0 < <90º
Si II 90º < < 180º
Si III 180º < < 270º
Si IV 270º < < 360º
ÁNGULO COTERMINALES
Dos ángulos en posición normal se
llamarán COTERMINALES o COFINALES
si tienen el mismo lado final y el
mismo lado inicial (así sea en sentido
contrario).
Ejemplos:
SON
COTERMINALES
NO SON
COTERMINALES
1. PropiedadLa diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número positivo entero de vueltas.
Lic. Gudelia Padilla Virhuez
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Si son coterminales tal que > entonces se cumple:
. – = k(360º). K Z+
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
r=√x2+ y2
{x=Abcsisa ¿ {Y=ordenada ¿ ¿¿¿
Si es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:
senθ= yr= ORDENADARADIO VECTOR
csc θ= ry=RADIO VECTOR
ORDENADA
cosθ= xr= ABCSISARADIO VECTOR
secθ= rx= RADIO VECTOR
ABSCISA
tgθ= yx=ORDENADA
ABSCISA
ctg θ= xy= ABSCISAORDENADA
OBSERVACIONES:
1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP. POR CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A “r” COMO VECTOR.2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO:
CATETO OPUESTO = ORDENADACATETO ADYACENTE= ABSCISARADIO VECTOR = HIPOTENUSA
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
Como ejemplo modelo vamos a calcular las razones trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular las otras razones trigonométricas de 0º, 180º, 270º y 360º.
Aplicando las razones trigonométricas de ángulos en posición normal, tenemos:
∢
R.T.0º 90º 180º 270º 360º
Sen 0 1 0 –1 0
Cos 1 0 –1 0 1
Tg 0 ND 0 ND 0
Ctg ND 0 ND 0 ND
Sec 1 ND –1 ND 1
Csc ND 1 ND –1 ND
1. Si el punto (6; – 8) pertenece al lado final del ángulo en posición normal, calcular: 5cos + 6tgRpta.
2. Calcular: csc + cos
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Rpta.
3. Si sen>0 cos<0, hallar el signo de la expresión: (tg+ctg) sen
Rpta.
4. Si sen√cosα < 0, halla el signo de
la expresión:
cos αsen α+tg α
Rpta.
5. Si: IIIC además tg=1,5; calcular √13(sen – cos)Rpta.
6. Si IIC, además:sec=tg245º–sec260º, calcular: 3 sen+ tg
Rpta.
7. Calcular:2sen90º + 3cos180º + 4tg360º + 5ctg270º
Rpta.
8. Reducir:
(a+b )2 cos360 º+ (a−b )2 sen270 ºasen180 º+absen270 º+bsen 360ºRpta.
9. Del la figura hallar:
sen αsen β
+cosαcos β
+ tgαtg β
Rpta.
10. De la figura,Hallar “sen”, sabiendo que tg+tg=–6
Rpta.
11. Del gráfico, calcular:2tg+3tg
Rpta.
12. De la figura hallar: a–8ctg
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13. Si:tg>0 sen = tg230 – tg245º
Calcular: cos
Rpta.
14. Si: 8tg+1=4, además: cos>0,Calcular senRpta.
15. Si:
tgθ−2= 1
4+1
4+1
√5+2 , calcular:
√5cscθ , sabiendo que IIICRpta.
16. Si: sen(5+10º)=cos(2+10º), Calcular:cos . cos2......,cos10.
Rpta.
17. Reducir:
(a+b )2sen 90º+4ab cos180 ºasen90 º−bcos180 º
Rpta.
18. Si: 2tg+2 = 3ctg+3
Además: IIQ IVQ
Calcular: √2 . cos . cos
Rpta.
19. Si ABCD es un cuadrado, hallar tg
Rpta.
20. Si tg = 1 +
23+ 49+ 827
+. .. . ... Además
IIIC, calcular: √10cosα+tg αRpta.
1. En el esquema mostrado, calcular “sec”
a) −√5b)
−√52 c)
−√53
d)−√32 e)
−√62
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2. El punto (3; –4) pertenece al lado final del ángulo en posición normal; calcule:M = 5 cos + 6 tga) –3 b) –4 c) –5d) –10 e) –11
3. Del gráfico mostrado, calcule el valor de:
E=4tg+3
a) –3 b) –1 c) –5d) 9 e) –6
4. Siendo “” un ángulo en posición normal del segundo cuadrante, donde tg=–3/2; calcule el valor del
E=3+√13 (senθ+cosθ )a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Si se tiene que cos > 0 y además: 8tg+1=4; calcule el valor de “sen ”
a)− 1
√10 b)
−3√10
c)
− 2
√10
d)
1
√10 e)
3
√10
6. Siendo “” un ángulo en posición estándar del tercer cuadrante, para lo
cual se tiene que ctg=2,4, calcule el valor de:
E=tg – sec
a) 0 b) 1 c) 1,5d) 2,5 e) 1,25
7. Del gráfico mostrado calcule el valor de: M = csc + cos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. A partir del gráfico, hallar:cos – cos
a) 1 b) 0 c) –1d) 2 e) ½
9. Indicar el signo de la expresión:
( sen 220º . cos370 º .tg 275ºsec 45 º .cos 120º . sec240 º )a) + b) – c) + ó –d) – y + e) F.D.
10. Si el punto (–1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica ””, calcular:R = sen . ctg
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a) −1/√10 b) −1/√10c) −1/√10 d) −4/√10e) √10
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