Post on 30-Dec-2015
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BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Con el objetivo de iniciar al alumno en la utilización de la herramienta interactiva, en esta presentación se muestra (de forma animada) cómo se usaría para llevar a cabo la resolución gráfica de un PROBLEMA CON REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA Y SOLUCIÓN ÚNICA.Recordamos que la herramienta interactiva parte de un diagrama de árbol, en el que los diferentes nodos plantean al alumno una tarea que debe realizar y, a continuación, una pregunta a la que debe contestar en función de los resultados de la tarea realizada. La elección de cada una de las posibles respuestas resalta las ramas del diagrama de árbol correspondiente a la respuesta elegida y encamina al alumno hacia una nueva tarea y posterior pregunta. De esta manera, al completar todos los pasos planteados, el alumno llega finalmente a la solución del problema que quiere resolver.
AVISO: Para su correcta visualización es necesario tener instalada la opción Microsoft Editor de ecuaciones de Microsoft Office. Las presentaciones avanzan con sucesivos clicks de ratón y/o pulsando los eventuales botones (no deben usarse los cursores ni la rueda del ratón).
SI
NO
SI
NO
SI
Solución acotada
NOSolución acotada
SI
NO
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Región
-x1+ x2 ≤ 2
El punto (0,0) pertenece ya que
0 + 0 = 0 ≤ 2
(0,2)
(-2,0)
Recta
r1: -x1+ x2=2
Corte con el eje x1
x2=0 x1=-2
Corte con el eje x2
x1=0 x2=2
Representación de la región factibleMáx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
r1
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Recta
r2: x2=4
Corte con el eje x2
x1=0 x2=4
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
Región
x2 ≤ 4
El punto (0,0) pertenece ya que
0 ≤ 4
(0,2)
(-2,0)
r1
(0,4) r2
Representación de la región factible
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
(0,2)
(-2,0)
r1
r2
Representación de la región factible
(0,4)
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
(0,2)
(-2,0)
r1
r2
Región factible
Representación de la región factible
(0,4)
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
SI
NO
SI
NO
SI
Solución acotada
NOSolución acotada
SI
NO
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
NO
SI
NO
SI
Solución acotada
NOSolución acotada
SI
NO
SI
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
NO
NO
SI
NOSolución acotada
SI
NO
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Representación de una curva de nivel de la función objetivo y dirección de máxima optimización
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
(0,2)
(-2,0)
r1
r2
Región factible
-2x1+x2 = z
Dirección de máxima optimización:
(0,4)
Notemos que el vector (-2,1) es el gradiente de la función objetivo, que da la dirección de crecimiento más rápido. Al ser un problema de maximización, la dirección de máxima optimización coincide con este gradiente.
Vector (-2,1)
Curvas de nivel: aquellas generadas fijando el valor de la función objetivo
Perpendiculares a la dirección de máxima optimización
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NO
NO
SI
NOSolución acotada
SI
NO
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
NO
NO
NOSolución acotada
SI
NO
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
SI
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
(0,0)
Representación de puntos extremos candidatos a solución óptima
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
(0,2)
(-2,0)
r1
r2
Región factible
-2x1+x2= z
(0,4)
Puntos extremos de la región factible a la izquierda de la curva de nivel considerada
• Intersección de r1 y r2
r1: -x1+ x2=2
r2: x2=4(2, 4)
(2,4)
• (0,0)
• (0,2)
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NO
NO
NOSolución acotada
SI
NO
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
SI
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
(0,0)
Evaluación de la función objetivo en los puntos extremosMáx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
(0,2)
(-2,0)
r1
r2
Región factible
-2x1+x2= z
(0,4)
Puntos extremos de la región factible a la izquierda de la curva de nivel considerada
(2,4)
Z=0
Z=2
Z=0
• Intersección de r1 y r2
r1: -x1+ x2=2
r2: x2=4(2, 4)
• (0,0)
• (0,2)
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NO
NO
NOSolución acotada
SI
NO
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
SI
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
NO
NO
NOSolución acotada
SI
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
SI
NO
X1=0
X2=2Z=2
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
NO
NO
NOSolución acotada
SI
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
SI
NO
X1=0
X2=2Z=2
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
(0,0)
Análisis de cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible
en la dirección de máxima optimización
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
(0,2)
(-2,0)
r1
r2
Región factible
-2x1+x2= z
(0,4) (2,4)
Dirección de máxima optimización:
Notemos que el vector (-2,1) es el gradiente de la función objetivo, que da la dirección de crecimiento más rápido. Al ser un problema de maximización, la dirección de máxima optimización coincide con este gradiente.
Vector (-2,1)
Curvas de nivel: aquellas generadas fijando el valor de la función objetivo
Perpendiculares a la dirección de máxima optimización
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
NO
NO
NOSolución acotada
SI
NO
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
SI
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
NO
NO
NOSolución acotada
SI
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
NO
SI
X1=0
X2=2Z=2
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
NO
NO
NOSolución acotada
SI
Máx Z= -2x1+x2
s. a. -x1+x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
SI
Solución acotada
SI
NO
SI
X1=0
X2=2Z=2
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada