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UNIDAD 1
1
INSTITUTO TECNOLOGICO
DE LAZARO CARDENAS
ALGEBRA LINEAL
INVESTIGACION UNIDAD I
(NUMEROS COMPLEJOS)
NOMBRE DEL ALUMNO(A)
APELLIDO
PATERNO
APELLIDO
MATERNO
NOMBRE(S)
Díaz
Martínez
Katia
SEMESTRE: ENERO-JUNIO 2013
CARRERA: Ing. En sistemas computacionales
GRUPO: 21T
FECHA DE ENTREGA: 8 de febrero del 2013
UNIDAD 1
2
INDICE …………………………………..2 UNIDAD 1.- NUMEROS COMPLEJOS
1.1 Definición y origen de los números complejos. …………………………………..3
Ejercicios …………………………………..3
1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos. …………………………………..4
Ejercicios …………………………………..4 1.3 Potencias de “i”, modulo o valor absoluto de
un número complejo. …………………………………..6
Ejercicios …………………………………..7
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. …………………………………..8
Ejercicios ………………………………..…9 1.5 Teorema de Moivre, potencial y extracción
de raíces de un número complejo. …………………………………11
Ejercicios …………………………………..12
1.6 Ecuaciones polinómicas. …………………………………..12 Ejercicios …………………………………..14
UNIDAD 1
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1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una simple
ecuación como x2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los números reales.
Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto
de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos.
Para poder obtener una solución de la ecuación x2 + 1 = 0, utilizamos el número i,
tal que i2=1. Este número i no es un número real y se llama la unidad imaginaria,
pero i2 si es un número real. La unidad imaginaria se utiliza en la siguiente
definición de los números complejos.
Definición. Un número complejo z es una combinación lineal de la forma en donde a y b son números reales.
Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número o b la parte
imaginaria de z, b = Im(z). A la expresión a + b i de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z.
Ejemplos:
Z Re(z) Im(z)
7 + 5 i 7 5
-4 –3 i = -4 + (-3) i -4 -3
-9 i = 0 + (-9) i 0 -9
4 = 4 + 0 i 4 0
Ejercicios:
1.- 5-9i= real 5 e imaginario es 9
2.- 8-90i= real 8 imaginario es 90
3.- -34i= real 0 imaginario (-34)
UNIDAD 1
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1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
S uma y d i fe renc i a de números comp le jos : La suma y d i fe renc i a de números comp le jos se rea l i za sumando y res tando pa rtes rea les
entre s í y pa rtes i mag i na r i as entre s í .
( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
( a + b i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i
Mult i p l i cac i ón de números comp le jos : E l p roduc to de los números
comp le jos se rea l i za ap l i cando la p rop i edad d i s tr i but i va de l p roduc to respec to de la suma y teni endo en cuenta que i 2 = −1 .
( a + b i ) · ( c + d i ) = ( a c − bd ) + ( a d + bc ) i
D i vi s i ón de números comp le jos : E l coc i ente de números comp le jos se hace rac i ona l i zando e l denomi nador ; es to es , mult i p l i cando numerador y denomi nador po r e l conjugado de és te .
Ejercicios:
1.- Dado Z1=7+8i y Z2=6-9i
Calcular: Z=Z1+Z2
Z= (7+8i) + (6-9i) = (7+6) + (8-9)i = 13 + (-i)=13-i respuesta
2. - Dado Z1=2-9i y Z2=6-3i
Calcular: Z=Z1-Z2
Z= Z1-Z2= (2+9i) – (6-3i) = (2-6) + (9+3)i = -4 + 12i respuesta
UNIDAD 1
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3.-Dado Z1= 2+5i, Z2= 5 y Z3= 1-2i
Calcular: 𝑍 =𝑍1+𝑍3
𝑍2𝑍3
𝑍 =(2 + 5𝑖) + (1 − 2𝑖)
(5)(1 − 2𝑖)=
(2 + 1) + (5 − 2)𝑖
5 − 10𝑖=
3 + 3𝑖
5 − 10𝑖
𝑍 =3 + 3𝑖
5 − 10𝑖=
(3 + 3𝑖)(5 + 10𝑖)
(5 − 10𝑖)(5 + 10𝑖)=
15 + 30𝑖 + 15𝑖 + 30𝑖 2
25 − 100𝑖 2=
15 + 45𝑖 + 30(−1)
25 − 100(−1)
𝑍 =15 + 45𝑖 − 30
25 + 100=
−45 + 15𝑖
125=
−3 + 9𝑖
25 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎
UNIDAD 1
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1.3 POTENCIAS DE “I”, MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
COMPLEJO.
Potencias de la Unidad Imaginaria:
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA REPRESENTACIÓN
CARTESIANA:
Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la parte
imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real. Los números complejos
se pueden representar como puntos del par ordenado.
Z 1 = a + b i = (a,b)
MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO:
Sea “z” un número complejo, se define el módulo de “z”, y lo notamos por |z|,
como la raíz cuadrada positiva del producto de z por su conjugado, es decir:
El módulo de z= |z| =+ (z · z´)1/2
Si el número complejo en forma binómica viene dado por “z = a + bi”, se tiene que |z|2 = (a + b·i) · (a - b·i) = a2 - b2 i2 = a2 + b2, de la que se obtiene la llamada expresión analítica del módulo de un número complejo:
El módulo de z=|z| = (a2 + b2)1/2
UNIDAD 1
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Ejercicios:
1.- Dado Z=4+3i
Calcular:
a) Modulo y ángulo Ɵ
Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 =√(4)2 + (3)2 = √16 + 9 = √25 = 5
Ɵ=arc tan ¾=36°52°11.63°
2.- Dado Z=6+i
Calcular:
a) Modulo y ángulo Ɵ
Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 = √(6)2 + (𝑖)2 = √(6)2 + 𝑖 2 = √36 + (−1) = √36 − 1 = √35
Ɵ=arc tan -1/6=-9°27°44.36°
3.- Dado Z=3+2i
Calcular:
a) Modulo y ángulo Ɵ
Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 = √(3)2 + (2)2 = √9 + 4 = √13
Ɵ=arc tan 2/3=33°41°24.24°
UNIDAD 1
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1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
Forma Polar
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número
complejo no nulo z = x + iy. Como
x = r cos θ e y = r sen θ
z puede ser expresado en forma polar como
z = r(cosθ + i senθ).
En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.
Forma exponencial
La ecuación
eiθ = cos θ + i sen θ
que define el símbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar
z = r(cos θ + i sen θ),
la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:
z = reiθ
UNIDAD 1
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Ejercicios:
1.- Z = 3-2i
Determinar forma polar de Z:
a) Módulo de Z b) El ángulo Ɵ
Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 = √(3)2 + (−2)2 = √9 + 4 = √13
x y
3 2
Ɵ= arc tan -2/3 = -33°41°24.24°
Z=𝑟(cos Ɵ + isenƟ)
Z=√13(cos−33°41°24.24° + isen − 33°41°24.24°)
y
x=3
𝜃 = −33°41°24.24° x
y=-2
UNIDAD 1
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2.- Z=3 + 3√8𝑖
Determinar forma exponencial de Z:
a) Módulo de Z b) El ángulo Ɵ
Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 = √(3)2 + (3)2 = √9 + (9)(8) = √81 = 9
x y
3 3√8
Ɵ= arc tan 3√8)
3 = 70.5287°
𝑍 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 9𝑒70.5287𝑖
y
y=3√8
Ɵ=70.5287°
x=3 x
UNIDAD 1
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1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAL Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN
NÚMERO COMPLEJO
Fórmula para calcular las potencias z^n de un número complejo z. El teorema de Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x) , entonces z^n = r^n(cos nx + i sin nx), x= al ángulo, en donde n puede ser
enteros positivos, enteros negativos, y exponentes
fraccionarios.
Ejemplo:
Elevar el número √3 + 𝑖 a la quinta potencia.
El modulo del número es: 𝑟 = √3 + 1 = 2
El ángulo Ɵ: 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛1
3= 30
(√3 + 𝑖)5
= (2)2(cos(5)(30°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (5)(30°))
(√3 + 𝑖)5
= 32(cos 150 ° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 150°)
Ejercicios:
1.-𝑍 = (1 + 𝑖)6
El modulo
Z = |Z| = √(1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2
El ángulo Ɵ
Ɵ= arc tan 1/1 = 45°
Teorema Moivre: z^n = r^n(cos nx + i sin nx),
(1 + 𝑖)6 = (√2)6(cos(6)(45°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(6)(45°)) = 8(cos 270° + 𝑖𝑠𝑒𝑛270°)
UNIDAD 1
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2.- 𝑍 = (√3 + 4𝑖)4
El módulo de Z
Z = |Z| = √(3)2 + (4)2 = √3 + 16 = √19
El ángulo de Ɵ
Ɵ= arc tan 4
√3 =66.5867°
Teorema Moivre z^n = r^n(cos nx + i sin nx)
(√3 + 4𝑖)4
= (√19)4(cos(4)(66.5867°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(4)(66.5867°))
= 361(cos 266.3468° + 𝑖𝑠𝑒𝑛266.3468°)
1.6 ECUACIONES POLINÓMICAS.
La forma general de la ecuación polinómica de grado n
es: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0
Las ecuaciones de grado n tienen siempre n soluciones (o raíces). En casos particulares, algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre sí.
Si los coeficientes ai son números reales, entonces las soluciones pueden ser
números reales o complejos. (Cualquier combinación, con la siguiente restricción: si una de las soluciones es compleja, su conjugada también es solución. Esto implica que las soluciones complejas vienen por parejas y por tanto las ecuaciones
de grado impar tienen al menos una solución real).
Ecuaciones de primer grado:
ax + b = 0
Una solución:
Ecuaciones de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0
UNIDAD 1
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Dos soluciones:
y
Ecuaciones de tercer grado:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Primera solución (de tres):
Segunda solución (de tres):
Tercera solución (de tres):
Ecuaciones de cuarto grado:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
UNIDAD 1
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Ejercicios:
1.- 7x+9x-7+8 = 5x-2x+1
7x+9x-5x+2x = 1+7-8
16x-5x+2x = 8-8
11x+2x= 0
13x=0
x=-13
2.- 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
a b c
x =−b ± √b2 − 4ac
2a=
−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(2)
2(1)=
3 ± √9 − 8
2=
3 ± √1
2=
3 ± 1
2
𝑥1 =3 + 1
2=
4
2= 2
𝑥2 =3 − 1
2=
2
2= 1