Post on 26-Aug-2021
XIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICADELACOMUNITATVALENCIANA
INNOVACIÓITECNOLOGIAENEDUCACIÓMATEMÀTICA
Alacant,19-20d’octubrede2018
Universitatd’Alacant
COMITÉEDITOR-MAQUETACIÓ
JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)
FernandoArenasPlanelles(SEMCV)
ÒscarFornerGumbau(SEMCV)
JuliaMuñozMartínez(SEMCV)
COMITÉORGANITZADOR
FernandoArenasPlanelles(SEMCV)
ÒscarFornerGumbau(SEMCV)
JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)
FerranVerdúMonllor(UA)
JoséAntonioMoraSánchez(SEMCV)
COMITÉCIENTÍFICFernandoArenasPlanelles(SEMCV)
ÒscarFornerGumbau(SEMCV)
MaríaGarcíaMonera(SEMCV)
AmparoMonederoMira(SEMCV)
COMITÉTÈCNIC
Dissentdelcartell:JoséFernandoJuanGarcía
Pàginaweb:JuanFernandoLópezVillaescusa
Plataformad’inscripció:JuanManuelCouchoudPérez
REVISIÓDELTEXT
MariaTeresaNavarroMoncho
ISBN:978-84-09-14773-1
Primeraedició:setembrede2019
Editor:InstitutdeCiènciesdel’Educació(ICE)delaUniversitatd’Alacant
Qualsevolformadereproducció,distribució,comunicaciópúblicaotransformaciód’aquestaobranoméspotserrealitzadaambl’autoritzaciódelseustitulats,llevatdelesexcepcionsprevistesperlallei.Adreceu-vosaCEDRO(CentroEspañaoldeDerechosReprográficos,www.cedro.org)sinecessiteufotocopiaroescanejaralgunfragmentd’aquestaobra.
NOTAEDITORIAL:Lesopinionsicontingutsdelstextospublicatsenaquestaobrasónderesponsabilitatexclusivadelsautors.
COL·LABORADORS
XXIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICA
1
EDITORIAL 3
CONFERÈNCIES 7
CONFERÈNCIA:L’AVENTURAD’INNOVARENL’ENSEYAMENTDELESMATEMÀTIQUES. 7
TALLERS 21
T-01.LACALCULADORACIENTÍFICAAL’AULADEMATEMÀTIQUES. 21T-02.INVESTIGACIONESENCLASEDEMATEMÁTICASCONGEOGEBRA 41T-03.EDPUZZLE:UNRECURSOPARAELFLIPPEDCLASSROOM 55T-04.CREANDOVÍDEOSPARALAENSEÑANZAYELAPRENDIZAJEDELASMATEMÁTICAS. 63T-05.TEOREMA"DOBLARYCORTAR":UNEJEMPLODEINVESTIGACIÓNMATEMÁTICA. 79T-06.SUPERFICIESSECCIONADAS 89T-07.LACALCULADORACOMARECURSDIDÀCTICAL’EDUCACIÓPRIMÀRIA. 101T-08.LOSCALENDARIOSMAYAS. 113T-09.INNOVACIÓNSINPERDERLOSPAPELES 123T-10.MANIPULANDOZ. 135
COMUNICACIONS 155
C-01.ANÀLISIDELACOMPRENSIÓENESTUDIANTSDEBATXILLERATDELCONCEPTEDELÍMITD’UNAFUNCIÓENUNPUNT. 155C-02.EMMA,ESTÍMULDELTALENTMATEMÀTICCOMARCAL. 173C-03.JUGANTAMBGEOGEBRA. 181C-04.APRENDIZAJEBASADOENPROYECTOSEN2ºPMAR. 189C-05.TAULES,PARÀMETRESIGRÀFICSESTADÍSTICSRÀPIDSAMBGEOGEBRAPERAL'AULAD'ESO. 201C-06.APPRENDIENDOMATEMÁTICASCONJUEGOSMÓVILES. 241C-08.TRASLAPISTA.(A2/0B11). 257C-08.PROBLEMASRICOSENSECUNDARIACOMODETECTORDECAPACIDADMATEMÁTICAALTA. 273C-9ANÀLISID’UNOBSTACLEDIDÀCTIC:CONVEXITATICONCAVITATD’UNAFUNCIÓENUNINTERVAL. 287C-10.LASSIMETRÍASDELPLANOPARA6ºDEE.PRIMARIAENFORMATODEIBOOK. 301C-11.LAVÍDEOCONFERENCIAENTREESTUDIANTESDETALENTOENUNTALLERDEMATEMÁTICAS. 315
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C-08. PROBLEMAS RICOS EN SECUNDARIA COMO DETECTOR DE
CAPACIDADMATEMÁTICAALTA.
PabloLlorensValverde1,AdelaJaimePastor2
1UniversitatdeValència-DepartamentodeDidácticadela
Matemática.palloval@alumni.uv.es
2UniversitatdeValència-DepartamentodeDidácticadela
Matemática.adela.jaime@uv.es.
Modalitat:Comunicació
Nivelleducatiu:Primària,Batxillerat
Paraulesclau:altacapacidadmatemática,secundaria,problemas.
Resum:
Losdocentestienenpocainformaciónacercadelascaracterísticasynecesidades
del alumnado de altas capacidades, y no existen estrategias fiables de
identificación, ypor tanto tampocodisponende recursospara su atención.En
este trabajomostramos cómo problemas bien seleccionados pueden ayudar a
discernirunaltodesempeñoenmatemáticas.
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Desarrollo
Estetrabajoserealizócomopartedeuntrabajofinaldeunmásterendidáctica
de las matemáticas. Gira en torno a las destrezas necesarias para razonar
deductivamente, detectar patrones, pensar de unmodo lógico y, en definitiva,
analizaryresolverproblemas.Porello,elpresentetrabajosebasaenelanálisis
delassolucionesyprocesosresolutivosdeunaseriedeproblemasmatemáticos,
resueltosporalumnosdesecundariaybachillerato,conelobjetivodedetectar
esa inteligencia lógico-matemática, no sólo calificando las soluciones, sino
tambiénvalorandolosprocesosparallegaraellas.
DesdeelmodelodelostresanillosdeRenzulli(Renzulli,1998),seprecisantres
componentes para que haya superdotación: Habilidad superior a la media,
compromisocon la tareay creatividad.Poresemotivo, sehavaloradoeneste
trabajotantolasnotascomoelinterésolacreatividadalresolverlosproblemas.
Porotraparte,variosestudios(Castro,E.,Benavides,M.ySegovia,I.,2006yDíaz
2008)muestranquelosproblemasmatemáticossonuninstrumentoeficazpara
identificarposibles talentosmatemáticos, tanbuenocomo los testpsicológicos
deaptitudes.Y,porotraparte,dichostestpuedendarfalsosnegativos,esdecir,
quepodemosdesecharsujetosqueposeenmuybuenacapacidadmatemática.
Conestaidea,desarrollamosunaprueba,cuyoobjetivo-yeldeltrabajofinalde
máster- era concienciar al profesorado de que una buena selección de
problemas ricos, planteados en clase, puede ayudar a detectar, e incluso a
promover,el talentomatemático,sinnecesidaddepasara losalumnosuntest
psicológico de aptitudes. Dichas pruebas de problemas ricos conformarían un
complementomuyútilalaevaluacióncontinuadelalumnadoyalosexámenes
y, además, en caso de poner de manifiesto resoluciones interesantes, puede
ayudar a detectar estudiantes conmayor nivel matemático que el reconocido
académicamente.
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Metodología
Lapruebaconsistióenlaresoluciónenunahorade4problemasricos.
P.1-Revueltomatemáticodesetas.
Casi es invierno, pero en el monte, el fin de semana aún encontramos, mis
amigos y yo, níscalos de excelente calidad: lactarius deliciosus, también
conocidoscomorebollones.Beatrizcogió11menosqueCésaryyojuntos.César
cogió9menosqueBeatrizyyo juntos.Yyocogí7menosqueellosdos juntos.
Revueltosconajosnosquedaronbuenísimos.¿Cuántosrebollonesrecogiócada
unodelosamigos?
P.2-Triángulos.
Siel triánguloequilátero inscrito(elpequeño)en lacircunferenciade la figura
tieneárea1,¿cuáleseláreadeltriánguloequiláterocircunscrito(elgrande)?
P.3-CompactDisc.
LauraregalólamitaddesusCDs,máslamitaddeunCDaLuis.Despuésprestó
lamitaddelosrestantes,máslamitaddeunCDaJulia.Alfinalsequedóconun
soloCD.¿CuántosCDsteníaalprincipio?
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P.4-Elhoteldeloslíos.
Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... Todas ellas
están abiertas. Pero llega alguien y, comenzando desde el principio, las cierra
ordenadamente de 2 en 2, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazaña se va a
dormir.
Perootrovienedespuésquedecidecambiarlaposicióndelaspuertasde3en3;
empiezatambiénporelprincipioy,yendode3en3,laqueestáabiertalacierra
y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a
dormir.
Sinembargo,otrovienedespuésycomenzando tambiéndesdeelprincipio,va
cambiando la posición de las puertas de 4 en 4; de manera que la que está
abiertalacierraylaqueestácerradalaabre.
Cuandotermina,vieneotroquealteralaposicióndelaspuertasde5en5;abre
lascerradasycierralasabiertas.
Yluegootroquehacelopropioperode6en6.Yluegootrode7en7.Yasíhasta
el infinitoporqueenelhotelhabíainfinitosbromistas.Tú,queereselconserje
delhotel,estásdurmiendotantranquiloynotehasenteradodetodosestoslíos.
¿Quépuertascreesqueestaránabiertasyquépuertasestaráncerradascuando
tedespiertesporlamañana?
La muestra. La muestra escogida para administrar el conjunto de problemas
estabacompuestapor89alumnosde5gruposy3niveleseducativosdiferentes:
3º de ESO (2 grupos), 4º de ESO, 1º deBachillerato deHumanidades, y 1º de
BachilleratodeCiencias(1grupoporcurso).
En3ºESOhabíaunestudianteconsíndromedeAsperger,dealtacapacidad.
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En4ºESOhabíaunestudianteconsíndromedeAsperger,noidentificadocomo
dealtacapacidad,perosíeracreativo.
Requisitosdelosproblemas.Losproblemasdebíancumplirvariascondiciones,
algunasrequeridasporquequeríamosestablecerunacomparacióndeléxitoyde
lasestrategiasutilizadasendiversoscursos.
-Debíantenercontenidomatemático.
- Los conocimientos matemáticos necesarios para resolverlos debían estar al
alcancedetodos losgrupos,esdecir,que lamateriadebíapoderserabordada
por losalumnosdelcurso inferiorde losqueparticipabanen laprueba(3ºde
ESO).
- Todos los problemas debían poder resolverse de varias maneras, mediante
algún procedimiento enseñado en clase y también por otro creativo, ya que
interesaba ver si alguno de los alumnos desplegaba su creatividad, una de las
característicasfundamentalesdelasaltascapacidades.
- Cada problema debía pertenecer a un campo distinto de las matemáticas,
posibilitandolaexistenciaderesolucionesvisualesyanalíticasoalgebraicas,por
unaparte,yporotraparte,desdelaclasificaciónporbloquesdecontenidos,se
tuvoencuentaquefuerandebloquesdistintos,paraposibilitarquesepusieran
demanifiestoresolucionescreativasencontenidosvariadosdematemáticas.
Valoraciónde resoluciones. Se corrigieron las89pruebasy seasignóunvalor
numérico a cada pregunta, puntuando cada problema de -0.1 a 2 puntos,
teniendocomoescalaparalanotafinalelrango0-10:
-Problemabienplanteadoybienresuelto,2puntos;
-Problemamalplanteadoysinresolver,yelresolutornoescribenadaútilpara
llegaraunasolución,0puntos;
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-Problemamedianamentebienresueltoobienplanteadoperosinresolverocon
algúnindiciodepoderllegaraunresultadoválido,1punto;
-Problemaenblanco,-0.1puntosdepenalización.Estosehizoparaincitaralos
estudiantesaqueresolvieranlosproblemas.
Valoración de la nota media de clase de cada estudiante (docente usual):
Además, los docentes del IES dieron una valoración global de cada alumno a
partirdetresvariables,consideradasconigualpeso:
-notasenmatemáticas,
-interésenclasey
-capacidadmatemáticamostradaporeseestudiante.
Estas dos últimas variables fueron valoradas cualitativamente (bajo, medio,
alto), por lo que también las notas de la clase las tradujimos a esa escala
cualitativa.Despuéssehizounaconversióncuantitativaasignando.
-0sielinterés,capacidadorendimientoeranbajos,
-1sieranmediosy
-2sieranaltos.
Debidoaquelanotacorrespondientealavaloraciónglobaldelalumnoquedaba
muy por encima de la obtenida en la prueba, la gráfica de la nota global está
ajustadaenunaescalade0al8;deestamaneraesmáscómodocomparar las
dos gráficas, la de la nota global y la de las puntuaciones de la prueba de 4
problemas.
Comparaciónentrerendimientomedioenlaasignaturayresultadodelaprueba:
Con cadaunode estosdosvaloresnuméricos se realizóunagráficapara cada
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clase.Para cada clase se representaron lasdosgráficas sobre losmismosejes.
Comoejemplo,enlafigura1semuestralaclase4ºESO-B.
Resultados
Enlasfiguras1a5presentamossíntesisdelasdiferentesvariablesobservadas
enlosresultadosdelaadministracióndelosproblemas.
Figura1:Notaobtenidaenlapruebaylavaloraciónenmatemáticas
(Rendimiento + Interés + capacidad estimada) de cada alumno de la clase 3º
ESO-A.
Figura2:Notaobtenidaenlapruebaylavaloraciónenmatemáticas
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(Rendimiento + Interés + capacidad estimada) de cada alumno de la clase 3º
ESO-B.
Figura 3: Nota obtenida en la prueba y la valoración en matemáticas (Rendimiento +
Interés+capacidadestimada)decadaalumnodelaclase4ºESOB.
Figura 4: Nota obtenida en la prueba y la valoración en matemáticas (Rendimiento +
Interés + capacidad estimada) de cada alumno de la clase 1º Bachillerato de
Ciencias.
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Figura5:Notaobtenidaenlapruebaylavaloraciónenmatemáticas
(Rendimiento+Interés+capacidadestimada)decadaalumnodelaclase1º
BachilleratodeHumanidades.
Estadística. En la Tabla 1 presentamos un resumen estadístico, obtenido
mediante tablas cruzadas en PSPP podemos deducir ciertas conclusiones
interesantes:
•Hayunamoderadacorrelaciónentrelosresultadosdelprimerproblemaylas
notas del cursode los alumnos,muchomás alta que en los demásproblemas,
menosmecánicos.
•Tambiénhayunamoderadacorrelación,menorqueenelcasoanterior,entre
los resultados del primer problema y el interés quemuestran los alumnos en
clase.
•Lacorrelaciónmásaltasedaentrelacapacidaddelalumnoylosresultadosdel
cuartoproblema,dondesehapuntuadoelusodedestrezasheurísticas.
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Tabla1:Parámetrosestadísticosconrelacionesentreelresultadoobtenidoencadaproblema
ycadaunadelasvariablesempleadasenlavaloracióndelestudianteenlaclase(rendimiento,
interésycapacidadpotencial).
Análisisdelosresultados
Lagráficaquecorrespondealavaloracióndelosestudiantesenlaclase(noenla
pruebaespecíficadeesteestudio),dentrodecadacurso,sehahechotomando
laspuntuaciones enordendecreciente. Por lo tanto, los alumnos situados a la
izquierdasonlosmejorvaloradosenlaclaseylosdeladerechalosquetienen
las calificaciones inferiores. Consecuentemente, la gráfica tiene que ser
monótonadecreciente.
Si losvaloresde lapruebade los4problemasseajustarana lacalificacióndel
estudianteenlaclase,lagráficadedichapruebadeberíasertambiénmonótona
decreciente.
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Sibiensehaobtenidounamoderadacorrelaciónentrelanotadelapruebaylas
notas del curso, se presentan diferencias acusadas en la tendencia de ambas
gráficas, lo cual obliga a analizar con detalle el comportamiento de los
estudiantes en los que existen estas diferencias de forma acusada, tanto en
situacionesenlasquelapruebadeproblemashasidoalta,perolavaloraciónde
clasedelestudianteerabaja,comoalcontrario.
En esos casos, habría que comparar en detalle la valoración de la clase que
correspondealrendimiento(notasdeclase-exámenes,testsyotraspruebasde
contenido matemático) y la cualitativa (interés y capacidad estimada del
alumno). Así mismo, conviene ver en detalle la prueba de problemas (la
específica de este estudio), observando el comportamiento que ha tenido el
estudianteenlosdiferentesproblemas.
Losalumnosconvaloraciónde laclasemuybajayresultadoaltoen laprueba
hacen pensar en una posible capacidad matemática no identificada, pues los
problemas seleccionados requieren destrezas de las que se utilizan en
matemáticas,enresolucióndeproblemas.
Es muy llamativo, por ejemplo, el alumno 3A20, en 3º ESO A, el cual tiene
calificacióndeclasemuybaja,rozandoelmínimo,y,sinembargo,enlaprueba
deproblemasestáentrelosestudiantesconmayorpuntuación.Uncasosimilar
eselestudiante4B04,de4ºESOB.Perohayotrosalumnosconunrendimiento
superiorenlosproblemasaloesperadosisejuzgaporlavaloracióndelaclase.
Sibiennoeslasituaciónentodoslosestudiantes,algunosdeloscasosanómalos
con rendimiento en la prueba superior a la esperadamostraron su interés en
esta por el reto que les supuso la resolución de los problemas. Generó una
mayormotivaciónqueelseguimientodeunaexplicaciónenclaseylarealización
deproblemasrutinariosdeaplicación.
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La resolución de los problemas en conjunto causó en general interés. los
estudiantes quisieron saber cómo encontrar la solución de cada uno de los
problemas.
Esto hace reflexionar sobre la conveniencia de utilizar estos problemas no
rutinarios, que desarrollan habilidades matemáticas, motivan a algunos
estudiantes y permitendescubrir a alumnos conunpotencialmatemático que
pasa desapercibido con ejercicios de aplicación directa. No proponemos la
eliminación de este último tipo de ejercicios, pues es necesario saber aplicar
directamente los conocimientos matemáticos objetivo del tema que se esté
desarrollandoenelaula,perosíincluirproblemasmáscreativos,querequieran
enfoquesdiferentes, aplicacionesno inmediatasde conocimientosy relaciones
depropiedades.
Conclusiones
Lascalificacionesnuméricasdelapruebasehanquedadoconvaloresinferiores
a7puntos,enunaescalade0a10,exceptoenelcasodedosestudiantes.Esto
significa queno eranproblemas sencillos y todos requeríanponer enpráctica
conocimientos, destrezas matemáticas o procesos de resolución que
normalmentenosehandesarrolladoenelaula.
Conclusionesylimitacionesdelestudio
Como ya apuntaron otros estudios, se puede utilizar una selecta colección de
problemasparaidentificaraltascapacidadesenelalumnadodesecundaria.
Elanálisisdelasgráficasenbuscadedatosanómalosquepudieransersíntomas
decapacidadessuperioresalasdetectadasporlasnotasdelosexámenesolos
ejercicios de clase, ha permitido identificar estudiantes con mayor potencial
matemáticodelesperado.Alanalizaresoscasos,sehavistoque,engeneral,las
condiciones sociales o particulares del estudiante eran las que daban una
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informaciónequivocadaenelaulaordinariaenrelaciónasusposibilidadesen
matemáticas.
Es claro que este procedimiento no es infalible y puede ocurrir que un dato
anómaloseasimplementeeso,peroesinteresanteaveriguarsiloesono.
Por otra parte, si se utilizan problemas con contenido contemplado en el
currículo, se pueden resolver en horas de clase. De esta manera, además de
permitir la detección de estudiantes con un potencial matemático superior al
esperado,estosproblemastambiénsonespecialmenteadecuadoscomomaterial
paraatenderaestudiantesdeconaltacapacidadmatemática.
Usar problemas ricos en clase no sólo sirve a los docentes para detectar
estudiantes con potencial matemático, sino también para atender a los
estudiantesquedemandantareasmáscreativasoconmásprofundidad.Osea,
que la utilidad no es sólo detección, sino también atención, y no sólo si el
estudiante tiene alta capacidad matemática, sino también para el que quiere
problemas menos rutinarios. Asimismo, su resolución en la clase aporta
estrategiaspara abordar y solucionar losproblemas cuyo conocimientopuede
ser interesantepara todos losalumnos.Tambiénes interesanteresaltarque la
resolucióndeproblemascomocontenidoestácontempladaenelcurrículo,pero
notodosloslibrosdetextoloincluyen.
Porotraparte,somosconscientesdequeestosresultadosestánlimitadosalas
clases concretas en las que se realizó este trabajo. También, las formas de
calificarylasconversionesdevalorescualitativosencuantitativos,yviceversa,
pueden influir notablemente en los valores concretos que se manejan. Pero
creemosqueelmensajequeseintentatransmitirenestetrabajoseguiríasiendo
elmismo.
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Bibliografía
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niños con talento en resolución de problemas de estructura multiplicativa.
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Análisisdeunamuestra.FAISCA.RevistadeAltasCapacidades,13(15),30-39.
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Cerdán(pp.147-190).Valencia:PUV.
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Reis y L. R. Maxfield (Eds.), Nurturing the gifts and talents of primary grade
students.MansfieldCenter,CT:CreativeLearningPress.