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El Solucionario de Matemáticas para 4.º ESOes una obra colectiva concebida, diseñaday creada en el departamento de EdicionesEducativas de Santillana, dirigidopor Enric Juan Redal.
En su realización han intervenido:Ana María Gaztelu
Augusto González
EDICIÓNAngélica Escoredo
Mercedes de Lucas
Carlos Pérez
Rafael Nevado
DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa
Santillana
Matemáticas 4 ESO
Biblioteca del profesorado
SOLUCIONARIO
opción B
Presentación
2
80
Polinomios y fracciones algebraicas3
DIVISORES DE UN POLINOMIO
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
POTENCIAS DIVISIÓNSUMA, RESTA
Y MULTIPLICACIÓN
POLINOMIOS
REGLA DE RUFFINI
TEOREMA DEL RESTO
RAÍCES DE UN POLINOMIO
VALOR NUMÉRICODE UN POLINOMIO
SIMPLIFICACIÓN OPERACIONES
FRACCIONESALGEBRAICAS
Un hombre de principios
Días negros y noches largas, estas últimas semanas habían sido especialmentedifíciles para Paolo Ruffini.
Mientras caminaba en dirección a su casa, pensaba en lo duro que le había sidotomar la decisión de no jurar fidelidad a la bandera de los invasores franceses.
Un golpecito en el hombro y la voz amiga de Luigi lo devolvieron a la realidad:
–¡Paolo! ¿Qué has hecho? En la universidad no se comenta otra cosa. El responsable político ha asegurado que nunca volverás a sentarte en tu cátedra y que has marcado tu destino; se le veía terriblemente enfadado.
–Lo pensé durante mucho tiempo y cuando comuniqué mi decisión me he sentido aliviado –argumentó Ruffini, plenamente convencido.
–Pero ¿no has pensado en tu familia o en tu posición? –Luigi mostró la preocupación que parecía haber abandonado a Ruffini.
–Luigi, ¿cuánto darías por un puesto de funcionario? –Estaban llegando al mercado y Ruffini se paró en seco–. Yo no estoy dispuesto a pagar tanto por la cátedra; si hiciera el juramento, habría traicionado mis principios y mutilado mi alma, mantendría mi cátedra pero el Paolo Ruffini que conoces habría muerto.
Ruffini se dedicó por entero a su oficio de médico en los años en que estuvo alejado de la docencia.
En la división de polinomios P(x) : (x − a), calcula el grado del cociente y del resto.
El grado del cociente es un grado menorque el grado del polinomio P(x), y el grado del resto es cero, pues es siempre un número (un número es un polinomio de grado cero).
El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento de
presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los
contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la
vida real. El saber matemático, dentro de la etapa obligatoria de la ense-
ñanza, debe garantizar no solo la interpretación y la descripción de la rea-
lidad, sino también la actuación sobre ella.
En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una
materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la reso-
lución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alum-
no. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que
pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisi-
ción de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el
libro del alumno.
113
3
Al recoger el correo,
Ana ha recibido la factura
de su consumo de luz
en los dos últimos meses.
Ana le pide ayuda a su hermano y ambos se disponen a analizar la factura
con detalle.
Con esta información, escriben un polinomio:
1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z]
siendo x el importe de la potencia al mes, y el importe de la energía consumida
y z el importe mensual del alquiler.
Ahora comprenden por qué la factura ha sido de 49,84 €.
a) Comprueba el importe.
b) Deciden bajar la potencia a 3,5 kW y el consumo aumenta a 315 kWh.
¿Cuánto tendrán que pagar en la factura de los dos próximos meses?
a) Importe = 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z] =
= 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2 ⋅ 4,4 ⋅ 158,19 + 8,99 ⋅ 272) + 2 ⋅ 57] =
= 4.984,18 céntimos = 49,84 €
b) El importe de la factura de los dos próximos meses es:
1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z] =
= 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2 ⋅ 3,5 ⋅ 158,19 + 8,99 ⋅ 315) + 2 ⋅ 57] =
= 5.112,93 céntimos = 51,13 €
098
lll
FACTURACIÓN
Potencia... 158,19 cent. €Consumo..... 8,99 cent. €Alquiler .......... 57 cent. €Impto. electricidadIVA
No olvides los precios de cada variable y los impuestos.
Aparecen varias variables: la potencia, p, contratada, 4,4 kW cada mes;
el consumo, c, 272 kWh.
¿Cómo han hecho las cuentas en esta factura?
SOLUCIONARIO
112
EN LA VIDA COTIDIANA
Dentro de los proyectos
de conservación de zonas
verdes de un municipio,
se ha decidido instalar
un parque en el solar
que ocupaba una
antigua fábrica.
El parque tendrá tres áreas delimitadas: la zona de juego, la zona de lectura,
que rodeará a la zona de juego, y el resto, que se dedicará a la zona de paseo.
Aún no han hecho mediciones, pero los técnicos han determinado que la zona
dedicada a los juegos sea cuadrada y su lado medirá 40 metros.
a) ¿Qué expresión nos da el área de la zona para pasear? ¿Y el área de la zona
de lectura?
b) Si deciden que la zona de paseo tenga un ancho de 40 metros, ¿cuáles serán
las áreas de cada zona?
a) A juego = 402= 1.600 m2
A lectura = (100 − x)2− 402
= 8.400 − 200x + x2
Apaseo = 1002− (100 − x)2
= 200x − x2
b) A juego = 402= 1.600 m2
A lectura = (100 − 40)2− 402
= 2.000 m2
Apaseo = 1002− 602
= 6.400 m2
097
lll
Disponemos de una superficiecuadrada de 100 metros de lado.
Podríamos dividir el parque en tres zonas.
Polinomios y fracciones algebraicas
3
Índice
Unidad 0 Repaso 4-11
Unidad 1 Números reales 12-47
Unidad 2 Potencias y radicales 48-79
Unidad 3 Polinomios y fracciones
algebraicas 80-113
Unidad 4 Ecuaciones e inecuaciones 114-149
Unidad 5 Sistemas de ecuaciones 150-185
Unidad 6 Semejanza 186-209
Unidad 7 Trigonometría 210-243
Unidad 8 Vectores y rectas 244-273
Unidad 9 Funciones 274-299
Unidad 10 Funciones polinómicas
y racionales 300-345
Unidad 11 Funciones exponenciales
y logarítmicas 346-377
Unidad 12 Estadística 378-405
Unidad 13 Combinatoria 406-429
Unidad 14 Probabilidad 430-455
4
NÚMEROS
Expresa en forma decimal estas fracciones. ¿Qué tipo de decimal obtienes?
a) c)
b) d)
a) = 0,875 → Decimal exacto
b) = 1,83333… → Decimal periódico mixto
c) = 0,18888… → Decimal periódico mixto
d) = 0,0121212… → Decimal periódico mixto
Calcula.
a) b) c)
a) =
=
b)
c) =
=
Opera y simplifica, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.
a)
b)
c) 24
3
1
2
2
5
4
32
1
5− ⋅ +
− +
⋅
−+ ⋅ − − − ⋅ −
2
3
1
3
7
32
1
43( )
3
6
4
5
4
12
3
6−
⋅ −
003
− = −342
189
38
21
6
7
8
27
1
9
6
7
72
27
162 504
189− = − =
−=:
6
7
2
3
1
9
3
−
:
6
7
3
4
7
10
2
5
6
7
30
28
2
5
120 150 56
140
26
140− + = − + =
− +=: ==
13
70
32 25
100
7
100
−=
2
5
8
10
1
4
16
50
1
4
8
25
1
4⋅ − = − = − =
2
5
3
2
7
10
1
4⋅ −
−
6
7
2
3
1
9
3
−
:6
7
3
4
7
10
2
5− +:
2
5
3
2
7
10
1
4⋅ −
−
002
4
330
17
90
11
6
7
8
4
330
11
6
17
90
7
8
001
Repaso0
5
0
a)
b)
c)
Indica a qué conjunto numérico pertenece cada número.
a) 18,6777… c) 18,6777 e) 0,246810… g) −1,333…
b) 63 d) −4 f) −2,25 h) π
a) 18,6777… → Decimal periódico mixto
b) 63 → Natural
c) 18,6777 → Decimal exacto
d) −4 → Entero
e) 0,246810… → Irracional
f) −2,25 → Decimal exacto
g) −1,333… → Decimal periódico puro
h) π → Irracional
Escribe tres números decimales periódicos puros y otros tres periódicos mixtos,
y trúncalos a las milésimas.
Periódicos puros: 1,º3; 21,º27; 3,142¼ → Truncamiento: 1,333; 21,272; 3,142
Periódicos mixtos: 1,1º3; 4,051º; 2,106º → Truncamiento: 1,133; 4,051; 2,106
Redondea y trunca los siguientes números irracionales a las décimas
y a las milésimas.
a) π = 3,141592… b) e = 2,718281… c) Φ = 1,618033…
006
005
004
= − ⋅ − ⋅ = − − = =24
3
9
10
10
3
1
52
36
30
10
15
4
30
2
15
24
3
1
2
2
5
4
32
1
52− ⋅ +
− +
⋅ = −
44
3
5 4
10
4 6
3
1
5⋅+
−+
⋅ =
=−
− =−12
18
47
18
59
18
=−+ ⋅
−−
=−+ ⋅
−
2
3
1
3
14
6
33
6
2
3
1
3
47
6
=−+−
=
2
3
47
18
=−+ ⋅ − − − ⋅
−
=−2
3
1
3
7
32
11
4
2( )
33
1
3
7
3
11
2+ ⋅ − −
=
−+ ⋅ − − − ⋅ −
=
2
3
1
3
7
32
1
43( )
3
6
4
5
4
12
3
6
15 24
30−
⋅ −
=
−⋅
44 6
12
9
30
2
12
18
360
1
20
−=−⋅−= =
SOLUCIONARIO
Redondeo
Aproximación a las décimasNúmero
π = 3,141592…
e = 2,718281…
φ = 1,618033…
3,1
2,7
1,6
3,142
2,718
1,618
Truncamiento Redondeo
Aproximación a las milésimas
Truncamiento
3,1
2,7
1,6
3,141
2,718
1,618
6
Juan quiere instalar un cable eléctrico a lo largo de las cuatro paredes
de una habitación cuadrada de 25 m2. Calcula la longitud, en cm,
y el coste, en €, del cable, si cada centímetro del cable cuesta 0,30 €.
Como la habitación es cuadrada y tiene 25 m2 de área, el lado de cada pared
mide 5 m de longitud.
Longitud del cable = 5 ⋅ 4 = 20 m = 2.000 cm
Coste del cable = 2.000 ⋅ 0,30 = 600 €
ECUACIONES
Escribe cuatro expresiones algebraicas.
2x + 4 −2 + 5y − 3z 3x − y + 1 −3z − 10
Expresa los enunciados en lenguaje algebraico.
a) El doble de un número.
b) Un número al cuadrado.
c) La mitad de un número menos 3.
d) Un número menos el doble de otro.
e) El cubo de un número menos el triple de su cuarta parte.
f) El cuádruple de un número.
g) La suma de dos números.
h) El cuadrado de la diferencia de dos números.
i) La quinta parte de un número más su triple.
a) 2x d) x − 2y g) x + y
b) x 2 e) h) (x − y )2
c) f) 4x i)
Determina si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones.
a) 5(2x − 4) = 4(2x − 1) + 2x − 16
b) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8
c) 2x − 8 = 3x + 6 − x + 2
d) 4(x − 3) = 3(x + 4)
e) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x
f) (x + 2)2− x 2
− 4x = 4
a) Identidad d) Ecuación
b) Identidad e) Ecuación
c) Ecuación f) Identidad
010
xx
53+
x
23−
xy3 3
4−
009
008
007
Repaso
7
0
Indica los miembros y términos de estas ecuaciones señalando su coeficiente
y su incógnita.
a) 2x + 3 = 5
b) −x + 11x − 7 = 5x + x −9x
c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x
Resuelve estas ecuaciones.
a) 3(8x − 2) = 4(4x + 2) c)
b)
a) 3(8x − 2) = 4(4x + 2) → 24x − 6 = 16x + 8 → 8x = 14
→
b) 2(7x + 1) = → 14x + 2 = → 70x + 10 = 30 − 3x
→ 73x = 20 →
c) = 24(x + 1)
→ 4x − 20 − 9 + 9x = 24x + 24 → −11x = 53 → x = −53
11
245
6
3 3
8
x x−−
−
x xx
−−
−= +
5
6
3 1
81
( )→
x =20
73
63
5−
x3 2
5−
x
x = =14
8
7
4
2 7 1 3 25
( )xx
+ = −
x xx
−−
−= +
5
6
3 1
81
( )
012
011
Miembros Términos Coeficientes Incógnita
2x + 3
5
2x
3
5
2
3
5
x
Miembros
−x + 11x − 7
Términos
−x
11x
−7
Coeficientes Incógnita
−1
11
−7x
5x + x − 9x
5x
x
−9x
5
1
−9
Miembros
4x + 6 − x − 3x
Términos
4x
6
−x
−3x
Coeficientes Incógnita
4
6
−1
−3 x
5 + 2x − 3 − 2x
5
2x
−3
−2x
5
2
−3
−2
SOLUCIONARIO
a)
b)
c)
8
Dentro de 5 años la edad de Paloma será el triple de la que tenía hace 9 años.
¿Qué edad tiene Paloma?
x → edad actual de Paloma
x + 5 → edad de Paloma dentro de 5 años
x − 9 → edad de Paloma hace 9 años
x + 5 = 3 ⋅ (x − 9) → x + 5 = 3x − 27 → −2x = −32 → x = 16
Paloma tiene 16 años.
Cristina iba a pagar 7.800 € por los 150 menús de los invitados a su boda.
a) Si al final asistieron 40 invitados más, ¿cuánto pagó en total?
b) Si el coste del banquete hubiera sido de 8.736 €, ¿cuántos invitados más
asistieron respecto de los 150 iniciales?
a) Menús Coste-(€)
→ → 150 ⋅ x = 7.800 ⋅ 190
→
Si asistieron 40 invitados más, pagó 9.880 €.
b) Menús Coste-(€)
→ → 150 ⋅ 8.736 = 7.800 ⋅ x
→
Al banquete asistieron 18 invitados más.
En una peña quinielística de 120 socios, cada uno aporta 3 € a la semana.
a) En el caso de que fueran 60 socios más, ¿cuánto aportaría cada socio?
b) Si quisieran jugar 540 € a la semana, ¿cuánto tendría que aportar cada uno?
a) Socios Aportación-(€)
→ → 120 ⋅ 3 = 180 ⋅ x →
Si fueran 60 socios más, cada socio aportaría 2 €.
b) Apuesta-(€) Aportación-(€)
→ → 360 ⋅ x = 540 ⋅ 3
→
Si quisieran jugar 540 € a la semana, cada uno de los socios tendría
que aportar 4,50 €.
x = =1 620
3604 5
.,
360
540
3=
x
360 → 3
540 → x
x = =360
1802
120
180 3=
x
120 → 3
180 → x
015
x = =1 310 400
7 800168
. .
.
150 7 800
8 736x
=.
.
150 → 7.800
x → 8.736
x = =1 482 000
1509 880
. ..
150
190
7 800=
.
x
150 → 7.800
190 → x
014
013
Repaso
Pedro compró 2 m de tubería de cobre por 5,20 €. Si tiene que comprar 5 m de la misma tubería, ¿cuánto le costará?
Tubería (m) Coste (€)
→
Los 5 metros de tubería le costarán 13 €.
Un tren que circula a 80 km/h tarda 3 horas en llegar a una ciudad. ¿Cuánto tardará circulando a 60 km/h?
Velocidad (km/h) Tiempo (h)
→
Circulando a 60 km/h, el tren tardará 4 horas.
En una escalada llevan agua para 5 excursionistas durante 8 horas. Si pasadas2 horas se marchan 2 excursionistas, ¿para cuántas horas tendrán agua?
Pasadas 2 horas, a los 5 excursionistas les quedaría agua para 6 horas.
Personas Tiempo (h)
→
Tendrán agua para 10 horas después de marcharse los 2 excursionistas.
GEOMETRÍA
Determina gráficamente el vector vW de la traslación que transforma F en F', y el vector wW de la traslación que transforma F' en F.
019
3
5
6 30
310= = =
x
x→
5 → 6
3 → x
018
60
80
3 80 3
604= =
⋅=
x
x→
80 → 3
60 → x
017
2
5
5 20 5 20 5
213= =
⋅=
, ,
x
x→
2 → 5,20
5 → x
016
F
F'
vW
wW
9
0SOLUCIONARIO
10
Determina la figura simétrica de F respecto del eje e.
Aplica a la figura F un giro de centro O y ángulo −135°. (Los ángulos negativos
van en el sentido de las agujas del reloj.)
Obtén la figura simétrica de F respecto del punto O.
FUNCIONES
Razona si las siguientes relaciones son funciones.
a) El peso de una persona y su edad.
b) El diámetro de una esfera y su volumen.
c) El número de DNI de una persona y la letra de su NIF.
d) El número de teléfono de una persona y su número de DNI.
a) No, por ejemplo, una persona puede pesar lo mismo en dos años distintos.
b) Sí, el volumen de una esfera depende de su radio.
c) No, pues solo se consideran funciones las relaciones entre variables
numéricas.
d) Sí, a cada teléfono le corresponde un único número de DNI.
023
022
021
020
Repaso
O
F'
F
F'
F
O
135°
e
F F'
11
0
Expresa algebraicamente, mediante una tabla y una gráfica, la función que:
a) Asocia a un número su mitad más 4 unidades.
b) Relaciona la cantidad de peras compradas en kilogramos y su precio
(1 kg cuesta 2,25 €).
a)
b)
Describe, mediante un enunciado, las siguientes funciones.
a) y = x 3− 1 c) e) y = 9x − 2
b) y = (x − 1)3 d) y = x (x + 1) f) y = x 2+ x
a) El cubo de un número menos 1.
b) El número anterior a un número al cubo.
c) La quinta parte de un número más 2.
d) El producto de un número por el siguiente número.
e) Un número multiplicado por 9 menos 2.
f) Un número más su cuadrado.
Expresa, mediante una fórmula,
la función que relaciona
el número de CD y su precio.
Después, construye una tabla
de valores y representa
los puntos que obtienes.
¿Puedes unirlos?
026
yx
= +
52
025
024
x yx
= +
24
0 4
1 9/2
2 5
4 6
x y = 2,25x
0
1
2
4
0
2,25
4,5
9
CD €
1
2
3
4
8,20
16,40
24,60
32,80
10
30
50
1 2 3 4
1
Y
Y
X
X
1
Y
X1
SOLUCIONARIO
1
Cada CD cuesta: 32,80 : 4 = 8,20 €
La función es: y = 8,2x
Los puntos no se pueden unir porque
no podemos comprar fracciones de CD.