00Derivación_Integración

PreliminaresMétodos de Derivación Numérica

DERIVACIÓN NUMÉRICA



Contenido

1 PreliminaresIntroducción

2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton



Introducción

Contenido





Introducción

Introducción

Las fórmulas de derivación numérica son importantes en eldesarrollo de algoritmos para resolver problemas de contornode ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones enderivadas parciales.



El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Contenido






El Límite del Cociente Incremental

Se busca aproximar numéricamente la derivada de f (x):

f ′(x) =lim

h→0f (x + h)− f (x)

h





Método:

Se elige una sucesión {hk} tal que hk → 0 y se calcula el límitede la sucesión

Dk =f (x + hk )− f (x)

hk;

para k = 1, 2.......





Los términos de la sucesión {Dk}se calculan hasta que

|DN+1 − DN | ≥ |DN − DN−1| ;

la intención es tratar de determinar la mejor aproximaciónantes de que los términos empiecen a alejarse del límite.




Contenido






Fórmulas de Diferencias Centradas

Son fórmulas de aproximación a f ′(x) que requieren que lafunción se pueda evaluar en abcisas situadas simétricamente aambos lados del punto x0 (donde se desea hallar la derivada).





Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)

(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h

(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2

(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3

(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4

fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2





Cuando se hacen los cálculos con un computador, no esaconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x) con un error de truncamiento de orden O(h4).

Se logra la misma precisión con un incremento mayor.





Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)

(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h

(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2

(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3

(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4

fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3




Contenido






Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas

Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x0, entonces la Fórmulas de DiferenciasCentradas no pueden usarse.

Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x0 se llamanFórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).





Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)

(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h

(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2

(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3

(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4

fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5





Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)

(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h

(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2

(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3

(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5

h4

fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0




Contenido






Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Se mostrará la relación que existe entre las fórmulas deorden O(h2) para aproximar f ′(x) y un algoritmo generalque permite calcular derivadas numéricamente.





Recordar que el Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P(t)de grado N = 2 que aproxima f (t) usando los nodos t0, t1 y t2,viene dado por

P(t) = a0 + a1(t − t0) + a2(t − t0)(t − t1), (1)

siendo

a0 = f (t0)

a1 =f (t1)− f (t0)

t1 − t0

a2 =

f (t2)−f (t1)t2−t1

− f (t1)−f (t0)t1−t0

t2 − t0





La derivada de P(t) es

P′(t) = a1 + [a2(t − t1) + a2(t − t0)] = a1 + a2 [(t − t1) + (t − t0)] (2)

que evaluada en t = t0, produce

P ′(t0) = a1 + a2(t0 − t1) ≈ f ′(t0). (3)

En (a), (b) y (c) no hace falta que los nodos {tk} esténequiespaciados. Ordenando los nodos de maneras distintasobtendremos fórmulas de aproximación a f ′(x) distintas.





Caso 1:

Si t0 = x , t1 = x + h, t2 = x + 2h , entonces

a1 =f (x + h)− f (x)

h

a2 =f (x+2h)−f (x+h)

h − f (x+h)−f (x)h

2h=

f (x)− 2f (x + h) + f (x + 2h)

2h2





y al sustituir estos valores en (c), obtenemos

P ′(x) =f (x + h)− f (x)

h+

(−h) [f (x)− 2f (x + h) + f (x + 2h)]

2h2

=f (x + h)− f (x)

h+−f (x) + 2f (x + h)− f (x + 2h)

2h

=2f (x + h)− 2f (x)− f (x) + 2f (x + h)− f (x + 2h)

2h

=−3f (x) + 4f (x + h)− f (x + 2h)

2h≈ f (x),

que es la fórmula (9).





Caso 2:

Si t0 = x , t1 = x + h, t2 = x − h , entonces

a1 =f (x + h)− f (x)

h

a2 =

f (x−h)−f (x+h)−2h − f (x+h)−f (x)

h

−h=

f (x−h)−f (x+h)+2f (x+h)−2f (x)−2h

−h

=f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

2h2






P ′(x) =f (x + h)− f (x)

h+−f (x + h) + 2f (x)− f (x − h)

2h

=2f (x + h)− 2f (x)− f (x + h) + 2f (x)− f (x − h)

2h

=f (x + h)− f (x − h)

2h≈ f ′(x),






Caso 3:

Si t0 = x , t1 = x − h, t2 = x − 2h , entonces

a1 =f (x − h)− f (x)

−h=

f (x)− f (x − h)

h

a2 =

f (x−2h)−f (x−h)−h − f (x)−f (x−h)

h

−2h=

−f (x−h)+f (x−2h)+f (x)−f (x−h)−h

−2h

=f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)

2h2






P ′(x) =f (x)− f (x − h)

h+

f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)

2h

=2f (x)− 2f (x − h) + f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)

2h

=3f (x)− 4f (x − h) + f (x − 2h)

2h≈ f ′(x),






Generalización:

El Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P(t) de grado N queaproxima f (t) usando los nodos t0, t1, ...., tN viene dado por

P(t) = a0 + a1(t − t0) + a2(t − t0)(t − t1) + a3(t − t0)(t − t1)(t − t2)+........ + aN(t − t0).....(t − tN−1).

La derivada de P(t) es

P′(t) = a1 + a2 [(t − t0) + (t − t1)] + a3 [(t − t0)(t − t1) + (t − t0)(t − t2) + (t − t1)(t − t2)]

+........ + aN

N−1Xk=0

N−1Yj=0

(t − tj ) para j 6= k.





Evaluando P ′(t) en t = t0,

P ′(t0) = a1 + a2(t0 − t1) + a3(t0 − t1)(t0 − t2) + ........

+aN(t0 − t1)(t0 − t2)(t0 − t3).....(t0 − tN−1) ' f ′(t0). (4)

Si|t0 − t1| ≤ |t0 − t2| ≤ ...... ≤ |t0 − tN |

y si {tj}Nj=0 es un conjunto equiespaciado (quizá

reordenándolos) de N + 1 nodos, entonces la suma parcialN-ésima de (*) es una aproximación a f ′(t0) de orden O(hN).


Apéndice

Bibliografía

MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB.Prentice Hall, 2000.


PreliminaresLas Reglas compuestas del trapecio y de Simpson

INTEGRACIÓN NUMÉRICA



Contenido

1 PreliminaresIntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes

2 Las Reglas compuestas del trapecio y de SimpsonRegla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson



IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes

Contenido






Introducción

Herramienta que se usa en la ciencia y la ingeniería paraobtener valores aproximados de las integrales definidasque no pueden calcularse analíticamente.

Las fórmulas de integración numérica se usarán paraconstruir los métodos de predicción y corrección utilizadosen al resolución numérica de ecuaciones diferenciales.

El objetivo es aproximar la integral definida de una funciónf (x) en un intervalo [a, b] evaluando f (x) en un númerofinito de puntos.




Contenido






Definiciones

DefiniciónSean a = x0 < x1 < ....... < xM = b. Una fórmula del tipo

Q[f ] =M∑

k=0

wk f (xk ) = w0f (x0) + w1f (x1) + ........... + wM f (xM)




Definiciones

de manera que ∫ b

af (x)dx = Q[f ] + E [f ]

se llama fórmula de Integración Numérica o de Cuadratura;E [f ] se llama Error de truncamiento de la fórmula; los valores{xk}M

k=0 se llaman Nodos de integración o Nodos deCuadratura y los valores {wk}M

k=0 se llaman pesos de lafórmula.




Contenido






Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes

Teorema: Fórmulas de Cuadratura de Newton-CotesSean xk = x0 + kh (k = 0, 1, ....., M) nodos equiespaciados ysea fk = f (xk ) para k = 0, 1, .....M. Las cuatro primerasfórmulas cerradas de Newton-Cotes son:∫ x1

x0f (x)dx ≈ h

2 (f0 + f1) (Regla del Trapecio)

∫ x2

x0f (x)dx ≈ h

3 (f0 + 4f1 + f2) (Regla de Simpson)

∫ x3

x0f (x)dx ≈ 3h

8 (f0 + 3f1 + 3f2 + f3) (Regla 38 de Simpson)

∫ x4

x0f (x)dx ≈ 2h

45 (7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4) (Regla de Boole)





Demostración Regla de Simpson:

El Polinomio Interpolador de Lagrange PM(x) para los nodosx0, x1, ......., xM que se usa para aproximar f (x) es:

f (x) ≈ PM(x) =M∑

k=0

fkLM,k (x),

con fk = f (xk ) para k = 0, 1, .......M.





Así, aproximando la integral de f (x) por la integral de PM(x)

∫ xM

x0

f (x)dx ≈∫ xM

x0

PM(x)dx =

∫ xM

x0

(M∑

k=0

fk LM,k (x)

)dx

=M∑

k=0

(∫ xM

x0

fk LM,k (x)dx)

=M∑

k=0

(∫ xM

x0

LM,k (x)dx)

fk =M∑

k=0

wk fk . (1)





Se determinan los pesos wk para el caso particular M = 2(Regla de Simpson):

P2(x) = f0(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)+f1

(x − x0)(x − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)+f2

(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)





De (1):

Z x2

x0f (x)dx ≈ f0

Z x2

x0

(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)dx + f1

Z x2

x0

(x − x0)(x − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)dx + f2

Z x2

x0

(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)dx.

(2)

Cambio de variable: x = x0 + ht ⇒ dx = h dt

Nuevos límites:x = x0 ⇒ ht = x0 − x0 = 0 ⇒ t = 0x = x2 ⇒ ht = x2 − x0 = 2h ⇒ t = 2

Como los nodos xk = x0 + kh están equiespaciados,podemos escribir xk − xj = (k − j)h y x − xk = h(t − k)





(2) se escribe entonces:

Z x2

x0f (x)dx ≈ f0

Z 2

0

h(t − 1)h(t − 2)

(−h)(−2h)h dt + f1

Z 2

0

h(t − 0)h(t − 2)

(h)(−h)h dt + f2

Z 2

0

h(t − 0)h(t − 1)

(2h)(h)h dt

= f0h

2

Z 2

0(t2 − 3t + 2)dt − f1h

Z 2

0(t2 − 2t)dt + f2

h

2

Z 2

0(t2 − t)dt

= f0h

2

"t3

3−

3t2

2+ 2t

#t=2

t=0

− f1h

"t3

3−

2t2

2

#t=2

t=0

+ f2h

2

"t3

3−

t2

2

#t=2

t=0

= f0h

2

„ 8

3−

12

2+ 4

«− f1h

„ 8

3− 4

«+ f2

h

2

„ 8

3− 2

«=

h

3(f0 + 4f1 + f2)



Regla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson

Contenido






Regla compuesta del trapecio

Teorema: Regla compuesta del trapecio

Supongamos que se divide el intervalo [a, b] en Msubintervalos [xk , xk+1] de ancho común h = (b−a)

M medianteuna partición cuyos nodos xk = a + kh, para k = 0, 1, ......, M,están equiespaciados.





La Regla compuesta del trapecio con M subintervalos seexpresa así:

T (f , h) =h2

MXk=1

(f (xk−1) + f (xk ))

o bien

T (f , h) =h2

(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + ......... + 2fM−2 + 2fM−1 + fM)

o bien

T (f , h) =h2

(f (a) + f (b)) + hM−1Xk=1

f (xk ).





Este valor es una aproximación a la integral de f (x)en [a, b]:∫ b

af (x)dx ≈ T (f , h).





Demostración:

Aplicando la Regla del trapecio sobre cada intervalo [xk−1, xk ] yusando la propiedad de aditividad de la integración,obtenemos:

Z b

af (x)dx =

MXk=1

Z xk

xk−1

f (x)dx ≈MX

k=1

h2

(f (xk−1) + f (xk )) =h2

MXk=1

(f (xk−1) + f (xk ))




Contenido






Regla compuesta de Simpson

Teorema: Regla compuesta de Simpson

Supongamos que se divide [a, b] en 2M subintervalos [xk , xk+1]

del mismo ancho xk = (b−a)2M mediante una partición de nodos

equiespaciados xk = a + kh, para k = 0, 1, .....,2M.





La Regla compuesta de Simpson con 2M subintervalos sepuede expresar así:

S(f , h) =h3

MXk=1

(f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k ))

o bien

S(f , h) =h3

(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + ........ + 2f2M−2 + 4f2M−1 + f2M)

o bien

S(f , h) =h3

(f (a) + f (b)) +2h3

M−1Xk=1

f (x2k ) +4h3

MXk=1

f (x2k−1).





Este valor es una aproximación a la integral de f (x) en [a, b]:∫ b

af (x)dx ≈ S(f , h).





Demostración:

Aplicando la regla de Simpson sobre cada [x2k−2, x2k ] y usandola propiedad de aditividad de la integración, obtenemos:

∫ b

af (x)dx =

M∑k=1

∫ x2k

x2k−2

f (x)dx

≈M∑

k=1

h3

(f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k ))

=h3

M∑k=1

(f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k )) .


Apéndice

Bibliografía

MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB.Prentice Hall, 2000.


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