03 - Teoría de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata

Teoría Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Introducción

• Sistemas de Ecuaciones Lineales: Los problemas de sistemas de ecuaciones lineales se presentan de la forma:

.A x b= Donde A va a ser para nosotros una matriz cuadrada }{ *n n que se corresponde con los coeficientes del problema, y se puede representar de la siguiente forma:

11 1

1

n

n n

a a

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

…

n

x es el vector de las incógnitas y se representa como:

1

2

3

....

n

xxx

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y b es el vector solución o de los términos independientes y se escribe:

1

2

3

....

n

bbb

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Apunte creado por el Ing. Amiconi Diego Federico - 1 -


• Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: Los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales se dividen en dos grupos:

o Métodos exactos o directos: que son algoritmos que permiten obtener la

solución del sistema a base de un número finito de operaciones aritméticas. Entre estos métodos podemos mencionar la regla de Cramer para hallar la solución del sistema por medio de determinantes, el método de sustitución, el método de Gauss (de exclusiones) o el de Gauss – Jordan y las técnicas de factorización VL ⋅ ; tLL ⋅ (Cholesky). También existe un método llamado de Crout o LU que lo veremos en este mismo apunte.

o Métodos aproximados o iterativos: Un método iterativo es un método

que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada, es decir, se espera que lo obtenido sea una solución mas aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado mas reciente satisfaga ciertos requisitos. A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución. La idea sería entonces realizar estas aproximaciones sucesivas, reduciendo el error entre el vector solución obtenido en cada iteración y lo que debería ser la solución real del sistema. Algunos métodos iterativos que podemos mencionar son: Jacobi, Gauss – Seidel y Relajación. Los métodos iterativos precisan entonces de una combinación de valores iniciales (o vector arrancador) para poder comenzar a aplicar el método. Este vector se representa como:

1

2(0)

3

....

n

xx

x x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Los métodos directos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales nos permiten llegar a la solución exacta en un número finito de pasos. Lo que hacen estos métodos es transformar el Sistema de Ecuaciones en otro equivalente más fácil de resolver. bxA =⋅ dxC =⋅


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata En cambio, los métodos iterativos, como ser el de Jacobi; Gauss-Seidel y el de Relajación, son métodos que nos permiten llegar a la “solución” en forma de una sucesión de aproximaciones a la solución, dado un vector solución inicial.

datox =)0(

{ }k

nx 0= xxk

k=

∞→

)(lim (converge)

Dado el sistema: bxA =⋅ 1

El problema a resolver es determinar x tal que bxA =⋅ . La idea común de todos los métodos iterativos es descomponer a la matriz A , donde: SRA −= 2 donde R se define de manera tal que sea invertible y con inverso 1−R fácilmente calculable, esto ocurre si la matriz R es diagonal o triangular. Reemplazando 2 en 1: [ ] bxSR =⋅−

bxSxR =⋅−⋅

bxSxR +⋅=⋅ 3 Premultiplicando 3 por 1−R : bRxSRxRR ⋅+⋅⋅=⋅⋅ −−− 111 I donde [ ] ARIARRSR ⋅−=−⋅=⋅ −−− 111 Entonces: [ ] bRxARIx ⋅+⋅⋅−= −− 11

Por 2

haciendo ARIM ⋅−= −1 y bRc ⋅= −1 Reemplazando cxMx +⋅= , donde esta última forma define el esquema iterativo:



cxMxbb+⋅=

+ )()1( 5

que partiendo de un vector inicial se obtiene una sucesión de vectores que pueden converger a la solución del sistema bxA =⋅ El método iterativo será convergente si:

xxb

b=

∞→

)(lim

La fórmula 5 es una técnica de punto fijo, con la cual es posible establecer el paralelismo: Raíces Sistemas de ecuaciones ( ) 0=xf RR → 0=−⋅ bxA ≡ ( ) 0=xh nn RR → ( )xgx = cxMx +⋅=

( )nn xgx =+ )1( cxMxnn+⋅=

+ )()1(

{ }kxx 0)0( → { }k

xx 0

)0(→

Teorema El esquema iterativo

cxMxkk+⋅=

+ )()1(

es convergente si y sólo si el radio espectral de la matriz M es menor que la unidad. En

este caso, la sucesión { }k

nx 0= converge a la solución de la ecuación bxA =⋅ . Radio espectral: Es el mayor autovalor en valor absoluto. Demostración Para que el esquema iterativo cxMx

kk+⋅=

+ )()1( converja a un x que cumpla con

bxA =⋅ , es necesario y suficiente que el error en cada iteración xxekk−=

)()(

converja a cero. Definimos el error de la k+1 iteración por:

xxekk

−=++ )1()1(

1


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata y como

cxMxkk+⋅=

+ )()1( 2

cxMx +⋅= 3 Reemplazando 2,3 en 1 tenemos:

[ ]cxMcxMekk

+⋅−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅=

+ )()1(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

+xxMccxxMe

kkk )()()1(

)(k

e Entonces:

)()1( kk

eMe ⋅=+

haciendo k = 0, )0()1(

eMe ⋅=

haciendo k = 1, )0(2)1()2(

eMeMe ⋅=⋅= ………. y en general se tiene que

)0()(

eMe kk⋅= 4

Convergencia:

xxk

k=

∞→

)(lim ≡ 0lim

)(=−

∞→xx

k

k ≡ 0lim

)(=

∞→

k

ke 5

Dado 4 y 5:

0limlim)0()(=⋅=

∞→∞→eMe k

k

k

k

Si 0lim)0(=⋅

∞→eM k

k con 0

)0(≠e entonces 0lim =

∞→

k

kM (y por lo tanto converge)


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata Definición: Matriz Diagonalmente Dominante: Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada una de las filas del sistema a resolver, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes de la misma fila. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero puede suceder que reordenando las ecuaciones y las incógnitas, en el nuevo sistema generado se obtenga que la matriz de los coeficientes sea diagonalmente dominante. Se debe cumplir entonces que:

1

n

ii ijjj i

a a=≠

≥∑

Teorema

Si A es diagonalmente dominante, entonces con cualquier elección de )0(

x , tanto el

método de Jacobi como el de Gauss-Seidel dan sucesiones { }∞=0)(

kkx que convergen a la

solución única de bxA =⋅

Método de Jacobi:

Supongamos un sistema de ecuaciones como el que se propone a continuación:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

n n nn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + = n

Este es un sistema de ecuaciones y incógnitas, donde las variables son los coeficientes del sistema y las variables

n n ija

ix son las incógnitas. Supongamos además que

0iia ≠ , 1:i n∀ = Supongamos que tenemos una solución inicial (0)x , la cual no necesariamente debe ser la solución del sistema. La idea del método de Jacobi, es encontrar una nueva solución a partir de la solución inicial que se tenía. Para ello, lo que se hace es despejar cada incógnita del sistema, a partir de la ecuación correspondiente (para la i-ésima incógnita corresponde la i-ésima ecuación). De esta manera se obtiene una nueva solución (1)x , de la forma:



(1) 13 3 11 12 21

11 11 11 11

(1) 23 3 22 21 22

22 22 22 22

(1) 1 2 3 3 1 1

....

....

....

n n

n n

n nn n n nn

nn nn nn nn

a x a xb a xxa a a a

a x a xb a xxa a a a

b a x a x a xxa a a a

− −

= − − − −

= − − − −

= − − − −

Una vez que se obtiene la nueva solución (1)x se repite el paso anterior y se obtiene una nueva solución (2)x . Este proceso se repite hasta que la solución actual converja a la solución del sistema, cosa que se garantiza si el sistema es diagonalmente dominante (condición suficiente pero no necesaria para garantizar la convergencia) En resumen, para hallar una solución ( )kx (solución actual) se obtendrá a partir de la solución ( 1)kx − (solución anterior) mediante la siguiente fórmula:

( ) ( 1)

1

1 nk k

i i ij jjiiJ i

x b a xa

−

=≠

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ 1:i n∀ = 1:k n∀ =

Desarrollo matricial del método de Jacobi Sea el sistema de ecuaciones bxA =⋅ 1 Se descompone la matriz A de los coeficientes en ( )ADDA −−= 2 donde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

n

aaaaaaaaaa

A

21

3

22221

11211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nna

aa

D

0000000

22

11

Solo tiene los elementos de la diagonal principal de A .

La forma de la matriz D se elige de manera que su inverso exista y sea fácil de calcular.


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata Reemplazando 2 en 1:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nna

aa

D

0000000

22

11

( )[ ] bxADD =⋅−−

( ) bxADxD =⋅−−⋅

( ) bxADxD +⋅−=⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

nna

aa

D

/10000/1000/1

22

11

1

Premultiplicando por 1−D :

[ ] bDxADDxDD ⋅+⋅⋅=⋅⋅ −−− 111

( ) bDxADIx ⋅+⋅⋅−= −− 11 donde ADITs ⋅−= −1 matriz de Jacobi bDc ⋅= −1

ADDD ⋅−⋅ −− 11

I

Como (i =1,2,…,n) 0≠iiaD-1 existe:

I

Entonces la fórmula recursiva es:

cxTxk

sk

+⋅=+ )()1(

Método de Gauss - Seidel:

El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el método de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas de la iteración anterior (o del vector arrancador en la primera iteración) para determinar una nueva aproximación, en cambio en el método de Gauss-Seidel se van utilizando los valores de las incógnitas recién calculadas en la misma iteración combinados con valores de la iteración anterior en caso de necesitar el valor de alguna variable que todavía no se ha calculado en la iteración actual. Es decir, combina valores de la iteración anterior con los de la iteración actual. La ventaja que presenta esta combinación de valores de distintas iteraciones es que si el sistema es diagonalmente dominante, se garantiza la convergencia y este método es más rápido en convergencia a la solución que el método de Jacobi, es decir, que el método se acelera. Desarrollo Dado por ejemplo un sistema de 3x3: 1 1313212111 bxaxaxa =⋅⋅+⋅ +

2 2323222121 bxaxaxa =⋅⋅+⋅ +

3 3333232131 bxaxaxa =⋅⋅+⋅ +


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata Suponiendo los coeficientes , 011 ≠a 022 ≠a y 033 ≠a Despejando 1x de 1: ( )[ ]3132121

111 1 xaxabax ⋅+⋅−= 4

Despejando 2x de 2: ( )[ ]3231212

222 1 xaxabax ⋅+⋅−= 5

Despejando 3x de 3: ( )[ ]2321313

333 1 xaxabax ⋅+⋅−= 6

De las ecuaciones 4, 5 y 6 generamos el esquema iterativo: ( )( ) ( 1) ( 1)

1 1 12 2 13 311

1k kx b a x a xa− −⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅⎣ ⎦

k

( )( ) ( ) ( 1)

2 2 21 1 23 322

1k kx b a x a xa−⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅⎣ ⎦

k

( )( ) ( ) ( 1)

3 3 31 1 32 233

1k kx b a x a xa−⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅⎣ ⎦

k

La relación recursiva general para un sistema de es: *n n

1( ) ( ) ( 1)

1 1

1 i nk k k

i i ij j ij jj j iii

x b a x a xa

−−

= = +

⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ 1:i n = 1:k n∀ =∀


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata Desarrollo matricial del método de Gauss-Seidel Sea el sistema de ecuaciones bxA =⋅ 1 Se descompone la matriz A de los coeficientes en ( ) FEDA −−= 2 donde:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nna

aa

D

0000000

22

11

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

−

−−

000

0000000

1;2;1;

2;11;1

1;2

nnnn

nn

aaaaa

aE

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

−

−

−

0000000

000

;1

;21;1

;11;12;1

nn

nn

nn

a

aaaaa

F

Matriz Triangular Inferior con

elementos de la diagonal nulos Matriz Triangular Superior con elementos de la diagonal nulos

Matriz Diagonal Reemplazando 2 en 1: ( )[ ] bxFED =⋅−−

( ) bxFxED =⋅−⋅−

( ) bxFxED +⋅=⋅− Premultiplicando por ( ) 1−− ED :

( ) ( ) ( ) ( ) bEDxFEDxEDED ⋅−+⋅⋅−=⋅−⋅− −−− 111 4 Despejando F de 2: ( ) AEDF −−= 5 Reemplazando 5 en 4: ( ) ( )[ ] ( ) bEDxAEDEDx ⋅−+⋅−−⋅−= −− 11

I

F ( ) ( ) ( )[ ] ( ) bEDxAEDEDEDx ⋅−+⋅⋅−−−⋅−= −−− 111

( )[ ] ( ) bEDxAEDIx ⋅−+⋅⋅−−= −− 11

I


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata Donde ( )[ ]AEDITs ⋅−−= −1 es la matriz de Gauss-Seidel y ( ) bEDc ⋅−= −1 Entonces el esquema iterativo de Gauss-Seidel es: cxTsx

kk+⋅=

+ )()1(

=− ED

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nna

aa

0000000

22

11

+ ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 0

0000000

1;21

21

nnnn aaa

a

D

E−

Entonces ( )ED − es una matriz triangular Inferior. Por lo tanto, es mas fácil de invertir que A

Aclaración sobre la convergencia: En los métodos de Jacobi y Gauss – Seidel, si el sistema a resolver es diagonalmente dominante, podemos decir que es una condición suficiente para garantizar la convergencia y aplicamos los métodos. Sin embargo, puede ocurrir que dicha condición no se cumpla y el método resulte convergente igual (es decir que la condición es suficiente pero no necesaria). En este caso, nos conviene no aplicar estos métodos porque no sabemos efectivamente si tendrá convergencia o no. Criterios de Paro para Jacobi y Gauss - Seidel: En todos los métodos iterativos como hemos venido viendo en los temas anteriores se debe establecer algún criterio de paro válido que nos permita saber hasta cuando voy a tener que seguir realizando iteraciones y decidir cuando parar el método. En los dos métodos que hemos visto, podemos afirmar que las iteraciones terminarán al converger la solución actual a la solución del sistema; pero el problema que surge aquí es que no conocemos la solución del sistema, por lo tanto no hay manera de saber de antemano si la solución actual ha convergido a la solución real o no. Ante este problema, se tiene que adoptar algún criterio de paro. Podemos definir al menos dos criterios de paro válidos a saber:

a) Por el error absoluto: El criterio de paro por el error absoluto, indica que se debe parar el método cuando

( ) ( 1)k ki ix x ε−− < 1:ix n∀ =



b) Por el error relativo: El criterio de paro por el error absoluto, indica que se debe parar el método cuando

( ) ( 1)

( )

k ki i

ki

x x

xε

−−<

1:ix n∀ =

Donde el valor de ε es un valor de tolerancia muy pequeño (Por ejemplo 410ε −= ) definido de antemano por la persona que va a aplicar el método. Vale destacar que los dos criterios de paro definidos apuntan a cosas diferentes, el primero se fija en que la “distancia" entre la solución actual y la anterior no sobrepase cierta cota (cota que viene dada por ε ); esta condición se fija en que las soluciones no varíen mucho, suponiendo que una baja variación entre soluciones indicará un acercamiento a la solución real. El segundo criterio de paro toma el mismo supuesto que el primero, pero considerando la “distancia relativa” entre las soluciones.

Método de Relajación: El método de relajación consiste en resolver el sistema

.A x b=

Llevándolo a la forma

. 0A x b− =

Entonces, sea el Sistema bxA =⋅ (en este caso un ejemplo de 3*3) a 1 11212111 bxaxax nn =⋅⋅+⋅ ++

nn =⋅⋅+⋅ ++

nnnnn =⋅⋅+⋅ ++

a 2 22222121 bxaxax a 3 32211 bxaxax Definimos el sistema equivalente:

011

1

11

12

11

121 =+⋅−−⋅−−

abx

aax

aax n

n…

022

2

22

221

22

11=+⋅−−−⋅−

abx

aaxx

aa

nn…

021=+−−⋅−⋅−

nn

nnn

nn

nn

nn

n

abxx

aax

aa …

I

Divido 1 por 11a− a

Divido 2 por 22a− a

Divido 3 por nna− a

y hacemos que ii

ii

abc = ^

ii

ijij

aab con −= 0≠ii


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata El sistema anterior nos queda: 0112121 =+⋅++⋅+− cxbxbx nn… II 0222121 =+⋅++−⋅ cxbxxb nn… 012211 =+−+⋅+⋅ cxxbxb nnn … Los Sistemas Lineales I y II son equivalentes.

Si reemplazamos el vector x por el vector )0(

x que es distinto de la solución del sistema

( )tnxxxx )0()0(2

)0(1

)0(;; …=

nos queda:

)0(1

2

)0(1

)0(11 Rxbxc

n

j

jj =⋅+− ∑=

)0(2

21

)0(2

)0(22 Rxbxc

n

jj

jj =⋅+− ∑≠=

)0(1

1

)0()0(n

n

jjnjnn Rxbxc =⋅+− ∑

−

=

Los son los componentes del vector residuo )0(iR

( )tnRRRR )0()0(2

)0(1

)0(;;; …=

Si la componente del vector de los residuos mayor en valor absoluto en la (

)0(kR

)0()0(ik RR > con ),vamos a incrementar , de manera tal que

.

nkki …… ,1,1,1 +−= )0(kx

0)1( =kR

0)(01

)0()0()0()1( =⋅++−== ∑≠=

n

kjj

jxjkkkk xbxxcR δ )0(kxδ : incremento

01

)0()0()0( =−⋅+−= ∑≠=

n

kjj

kjxjkk xxbxc δ 0)0()0( =− kk xR δ )0()0(kk xR δ=

)0(

kR Por la ecuación anterior el incremento de la variable , que es )0(

kx )0(kxδ , es igual al

residuo . Entonces el nuevo vector )0(kR

)1(x está formado por:

( )tkkkkk xxxxxxxxxx )0()1()0()0()1()0(

2)1(

2)0(

1)1(

1)1(

;;;;; =+==== …… δ es decir, solamente varía la componente k.



Ahora con este nuevo vector de la solución aproximada )1(

x podemos calcular el vector de los residuos

)1(R .

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

+

−

)1(

)1(1

)1(

)1(1

)1(2

)1(1

)1(

0

n

k

k

k

R

R

R

R

R

R

R

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==⋅+−

=⋅+−

=⋅+−

=⋅+−

=⋅+−

∑

∑

∑

∑

∑

−

=

+

+≠=

+++

−

−≠=

−−−

≠=

=

)1(1

)1(1

1

)1()1(

)1(1

11

)1(1

)1(11

)1(1

11

)1(1

)1(11

)1(2

21

)1(2

)1(22

)1(1

2

)1(1

)1(11

RRxbxc

Rxbxc

Rxbxc

Rxbxc

Rxbxc

n

n

jjnjnn

k

n

kjj

jjkkk

k

n

kjj

jjkkk

n

jj

jj

n

jjj 4

5

6

7

8

9

Desarrollando 4:

( ) )1(1

1

)1(1

)0()0(1

2

)1(1

)1(11 Rxbxxbxbxc

n

j

jjkkk

k

j

jj =⋅++⋅+⋅+− ∑∑==

δ

( ))0(

1)0(

1)1(

1 kk xbRR δ⋅+= Con un razonamiento análogo para 5, 6, 7 y 8 se llega a: ( ))0(

2)0(

2)1(

2 kk xbRR δ⋅+= 10

( ))0(;1

)0(1

)1(1 kkkkk xbRR δ⋅+= −−−

11

( ))0(;1

)0(1

)1(1 kkkkk xbRR δ⋅+= +++ 12

( ))0()0()1(knknn xbRR δ⋅+= 13

De las ecuaciones 9, 10, 11, 12 y 13 tenemos que: ( ))0()0()1(

kikii xbRR δ⋅+= con ( nkki …… ,1,1,2,1 +−= ) 14

Seleccionamos de estos residuos el mayor en valor absoluto de los

()1(iR nkki …… ,1,1,2,1 +−= ), por ejemplo el e incrementamos la variable en

quedando el vector de la solución aproximado como:

)1(3R )1(

mx)1()1(

mm Rx =δ


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata ( )tkkkmm xxxxxxxxxx )1()2()1()1()2()1(

2)2(

2)1(

1)2(

1)2(

;;;;; =+==== …… δ y los residuos de esta iteración van a estar dado por: con ()1()1()2(

mimii xbRR δ⋅+= nmmmi −+−= …… ,1,1,2,1 ) y luego se repite el procedimiento. Resumen método de relajación

1. Para el método de relajación la convergencia está garantizada si los 1−=iia (debo llevar los coeficientes de la diagonal principal a -1)

2. Igualo las ecuaciones a cero y llamo Ri a cada una de las ecuaciones. (donde Ri está asociado a la variable xi). Ri:Residuos.

3. Calculo los Ri (Residuos) 4. Tomo el mayor Ri en valor absoluto y se lo sumo (con signo) a la variable que

corresponda y vuelvo al paso 3 con los nuevos valores obtenidos para mis variables.

Método exacto de Crout (o L*U): El método de Crout es un método exacto para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Conceptos Previos:

• Se dice que una matriz cuadrada es triangular si tiene todos sus elementos de la parte superior o inferior respecto de la diagonal principal iguales a cero.

• Una matriz es diagonal si es simultáneamente triangular superior e inferior. • La suma y el producto de 2 matrices triangulares de la misma estructura da como

resultado una nueva matriz con la mismo estructura que las 2 originales. • La inversa de una matriz triangular da otra matriz de la misma estructura. • El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de

la diagonal principal. El método de Crout se basa en la factorización de la matriz A

L: Matriz Triangular Inferior U: Matriz Triangular Superior

ULA ⋅= Para que la matriz cuadrada A admita la anterior factorización se tiene que aplicar el siguiente teorema.


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata Teorema Cualquier matriz cuadrada

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

…

……

21

22221

11211

con los números de la diagonal principal no nulos:

0

21

22221

11211

≠Δ==

nnnn

n

n

n

aaa

aaaaaa

…

……

Δ0111 ≠=Δ a 02221

12112 ≠=Δ

aaaa

0333231

232221

131211

3 ≠=Δaaaaaaaaa

…

Puede expresarse como un producto de dos matrices triangulares (una de estructura triangular inferior L y la otra de estructura triangular superior U ). Esta factorización será única si se han fijado de antemano los elementos diagonales de una de las matrices triangulares (por ejemplo lo hacemos igual a la unidad). Ejemplo Dado A {3x3} la factorización de la forma ULA ⋅= es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

33

2322

131211

333231

2221

11

0000

00

uuuuuu

lllll

l

Pero este sistema posee 9 ecuaciones con 12 incógnitas (l11, l21, l22, l31, l32, l33, u11, u12, u13, u22, u23, u33). Como las incógnitas son más que las ecuaciones, el sistema no tiene solución única. Entonces planteamos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

10010

1000

23

1312

333231

2221

11

uuu

lllll

l1ULA ⋅=

En este caso tenemos un sistema con 9 ecuaciones y 9 incógnitas; como el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas la solución es única.


Cátedras de Modelos Numéricos, Análisis Numérico y Cálculo Avanzado U.T.N. Facultad Regional La Plata Las ecuaciones son: (1era fila de 1111 al = L por 1era columna de U ) (2da fila de 2121 al = L por 1era columna de U ) (3era fila de3131 al = L por 1era columna de U ) (1era fila de121211 aul =⋅ L por 2da columna de U ) 22211221 alul =+⋅ (2da fila de L por 2da columna de U ) 32321231 alul =+⋅ (3era fila de L por 2da columna de U ) (1era fila de131311 aul =⋅ L por 3era columna de U ) 2323221321 aulul =⋅+⋅ (2da fila de L por 3era columna de U ) 333332321331 alulul =+⋅+⋅ (3era fila de L por 3era columna de U ) También podríamos haber planteado esto:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

33

2322

131211

3231

21

000

101001

uuuuuu

lll ULA ⋅= 1

Resolución del Sistema bxA =⋅ aplicando factorización Sea el sistema de ecuaciones lineales bxA =⋅ , y además la matriz de los coeficientes A admite una factorización del tipo UL ⋅ , entonces:

bxA =⋅

IbxUL ⋅ =⋅ULA ⋅=

Si hacemos que

xUy ⋅= Entonces el sistema I se puede expresar como dos sistemas de ecuaciones de la forma: byL =⋅

yxU =⋅

II

III

IV

donde tenemos que resolver:

1- Primero el sistema III que es un sistema triangular inferior con solución directa descendente.

2- Usando como vector de los términos independientes al vector obtenido en III, resolvemos el sistema triangular superior de IV con solución directa ascendente.


03 - Teoría de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Documents

Transcript of 03 - Teoría de Sistemas de Ecuaciones Lineales