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2º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA

MATEMÁTICAS

UNIDAD 2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

¿Álgebra y grillos? ¿Qué relación puede existir entre ellos?

a) Presentaciónb) Evaluación Inicialc) Conceptosd) Actividadese) Autoevaluación/reflexiónf) Otros recursos: bibliografía y recursos en redg) Refuerzos Educativosh) Ampliaciones / Propuesta de investigación

A/ PRESENTACIÓN

El llenguatge algebraic ha evolucionat al llarg de la història. En un principi, els matemàtics no utilitzaven cap símbol en els seus escrits. A poc a poc van anar introduint les lletres per representar quantitats i signes en les operacions. Així, l’alemany Johann Widmann d’Edger va idear l’any 1489 els símbols “+” i “-“ per substituir les lletres p i m, que eren les inicials de les paraules llatines plus, “suma”, i minus, resta.

El diàleg i les relacions humanes es faciliten amb la trobada entre les persones. Per això és convenient que hi hagi unes vies de transport i una circulació fluida.El càlcul dels fluxos de mòbils per les diferents carreteres i autopistes demana un llenguatge comú a tots els professionals implicats en la regulació del transport i en la seguretat vial. El llenguatge algebraic permet expressar mitjançant fórmules les magnituds relacionades amb la circulació.Per exemple, L’Autovia del Mediterrani o AP-7 és un eix que comunica tota la costa mediterrània des de la frontera amb França fins a Algesires. Aquesta autopista forma part de la Xarxa de carreteres Europees coneguda com a E-15 i sobretot té trams de peatge i també alguns de lliures.Si la distància entre la frontera amb França i la Jonquera és x, segur que pots expressar algebraicament altres distàncies, mesurades sobre l’autopista:

· Distància entre la Jonquera i Girona: el quadrat de x· Distància entre Girona i Granollers: 11 vegades x.· Distància entre Granollers i Tarragona: el quadrat de la suma de x més 4,

disminuït en 8.

“El alumno será capaz de…”1. Reconocer los componentes de una expresión algebraica2. Sumar, restar y multiplicar monomios y polinomios3. Conocer y utilizar las igualdades notables4. Utilizar modelos geométrico apara explicar relaciones algebraicas.Criterios de Evaluación P.A.I.:

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemáticas 2º ESO Unidad 2

Criterio PuntuaciónConocimiento y comprensión 0-8

Investigación de patrones 0-8Comunicación en matemáticas 0-6

Reflexión en matemáticas 0-6

2

B/ EVALUACIÓN INICIAL

Como ya el curso pasado trabajaste algo con expresiones algebraicas, intenta resolver ahora las siguientes actividades antes de comenzar con el trabajo de la unidad:

1º.- Para hallar el área de un triángulo si nos dan la medida de la base y de la altura tendremos que hacer:

a) b) b · a c) 2 · (b + a) d)

2º.- Si quiero hallar el quíntuplo de 8 haré:a) 8 : 5 b) 8 · 5 c) 8 + 5 d) 85

3º.- Y para calcular el quíntuplo de un número cualquiera escribiré:a) x : 5 b) 5 · x c) x + 5 d) ninguna de ellas

4º.- Si sustituimos en la expresión algebraica a por 2 y b por 3 y

luego calculamos el resultado, obtendremos:

a) b) c) d) ninguna de ellas

5º.- Y si en la expresión 2x2 - 3x + 5 cambiamos x por -1 nos da:a) 10 b) 4 c) 6 d) ninguna de ellas

6º.- ¿Podemos sumar 3x4 + 5y2?a) sí b) no c) depende de los valores

7º.- Si sumamos 6a + 3a + a obtenemos:a) 9a b) 9a3 c) 10a d)18a

8º.- Cuando tenemos dos expresiones algebraicas cualesquiera, ¿las podemos multiplicar?a) sí b) no c) depende de como sean

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemáticas 2º ESO Unidad 3 3

C/ CONCEPTOS

1. El lenguaje algebraico

2. Expresiones algebraicas2.1. Monomios2.2. Polinomios

3. Valor numérico de una expresión algebraica

4. Operaciones básicas con expresiones algebraicas4.1. Operaciones con monomios4.2. Operaciones con polinomios

4.2.1. Suma y resta de polinomios4.2.2. Multiplicación de polinomios

5. Expresiones algebraicas notables5.1. Cuadrado de una suma5.2. Cuadrado de una diferencia5.3. Suma por diferencia

6. Descomposición factorial de un polinomio


D/ ACTIVIDADES

1. EL LENGUAJE ALGEBRAICO

El Álgebra es la rama de las Matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la Aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de potencias y raíces. El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el Álgebra es el idioma de las Matemáticas.

Así, si tenemos un número multiplicado por sí mismo tres veces lo denominamos cubo, y si lo queremos escribir de forma abreviada representaremos el número con el superíndice 3. Por ejemplo, la notación de 4 × 4 x 4 sería 43; de manera similar, generalizando dicha expresión escribiríamos a × a x a y abreviadamente pondríamos a3. Razona tú ahora:

- Si quisieras calcular el triple de 12, ¿qué harías? ....................................................

- Si quisieras calcular el triple de a, ¿cómo lo expresarías?........................................

Fácil, ¿verdad?. Bien, entonces, compliquemos un poco más la cosa. Expresa de dos formas distintas:

1ª forma 2ª forma

El doble de un número b

El triple de un número c

El cuadrado de un número d

El cubo de un número x

De una forma similar si a un número cualquiera x le sumamos 14 tendremos x + 14, o si a un número cualquiera x le restamos 7 tendremos x - 7. También podemos expresar algebraicamente la siguiente expresión: “El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura”:

A = b · a

A dicha expresión le llamamos fórmula y nos permite averiguar el área de un rectángulo. Es decir, podemos traducir frases del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Veamos un ejemplo:“En una clase, el número de alumnas es el doble que el de alumnos menos cuatro”Es decir, si llamamos x al número de alumnos, el número de alumnas lo expresaremos como 2x - 4.


“Traduce” tú ahora: Un número aumentado en 6 unidades: ..................................................................

El triple de un número disminuido en 5 unidades: .................................................

La cuarta parte de un número: ...............................................................................

El cuadrado de un número más 6 unidades: ..........................................................

El número de canicas que tienes si has perdido la quinta parte: ...........................

Actividad 1. Completa:a) En la clase de 2º de ESO hay 50 alumnos. Si el número de niños es .................,

entonces el número de niñas será ..............................

b) Mi edad excede en cinco años la edad de mi hermana. Entonces, si mi edad la

expreso como .............., la edad de mi hermana será .............................

c) La mitad de la suma de dos números cualesquiera será ........................................

d) La diferencia entre los cuadrados de dos números es …………………….............

e) Si tengo que representar tres números consecutivos y al primero le llamo ..........,

el segundo será .......................... y el tercero ..................................

f) Pero si vamos a escribir tres números pares consecutivos, al primero lo nombraré

como .................., al segundo como ........................... y al tercero como ...................

Activitat 2. Traduce al lenguaje tradicional las siguientes expresiones algebraicas:a) x + y b) 3x + 5 c) x2 + y2

d) (x - y)2 e) 3a f) a – b 4 2

Actividad 3. Sea n un número cualquiera y expresa:a) El doble del número.b) Un tercio del número.c) El cuadrado del número.d) Que el número es más grande que 8.e) La suma del número y su cuadrado

Actividad 4. Sean a i b dos números cualesquiera, expresa utilizando a y b cada uno de los siguientes enunciadosa) La suma de a y el triple de b.b) La suma del doble de a menos la mitad de b.c) El cuadrado de la su suma.d) El cuadrado de su resultadoe) La suma de sus cuadrados.f) La diferencia de sus cuadrados.


2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

APRENDE:

Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. En una expresión algebraica a cada uno de los elementos separados por signos + o - se les llama términos. Los términos pueden estar formados por números, letras o combinaciones de letras y números. Así, en los tres ejemplos que ves seguidamente tenemos tres, cuatro y un término, respectivamente.

Ejemplos: 9xy + 6a - 5 6ab2 + 7cd - 8ef + b 4x 3 y b

APRENDE:

A su vez, debemos de tener en cuenta que en cada término de una expresión algebraica se distinguen dos partes: el coeficiente o parte numérica y las letras o parte literal. Si un término no tiene parte literal se le denomina término independiente. A cada una de las letras distintas que aparecen en la parte literal se le llama variable. En cada término, el coeficiente y la parte literal se están multiplicando entre sí, aunque por costumbre, no se indique el signo de dicha operación.

Si tomamos el primer ejemplo de antes: 9xy + 6a - 5

9 xy + 6 a -5

coeficiente parte literal

Actividad 5. Indica el número de términos y las variables de las siguientes expresiones algebraicas:a) 9yc + 7 b) 4x4 - 8x + 3 c) 6x + 73 + 4x2 - 6

d) 7 - 3a - 4b - 5c + 6m e) 5x7y8z f) 3m + 4n3 - 6z5

APRENDE:

Si en un término de una expresión algebraica sólo aparecen letras, el coeficiente es 1. Si en un término aparece una combinación de letras y números, el coeficiente de ese término será el producto de dichos números.

Actividad 6. En las siguientes expresiones algebraicas separa el coeficiente de la parte literal, indicando además el número de variables:


Tenemos 3 términos y tres

variables: x, y, a.

a) 9a3xy b) 7c4b c) mn2xd) 8pq e) 3c4vb f) ab 5 c 3 4

2.1. Monomios

APRENDE:

Un monomio es una expresión algebraica en la que sólo aparecen multiplicaciones y potencias, o dicho de otra forma, que tiene un único término. Llamamos grado de un término al mayor de los exponentes que aparecen en la parte literal. Si tiene varias variables el grado es la suma de los exponentes de las variables.

Siguiendo con el ejemplo anterior, el primer término (9xy) será de grado ......, el segundo (6a) de grado ........ y el último término (-5), que es un término independiente, será de grado 0.

APRENDE:

Llamamos monomios semejantes a aquellos que tienen la parte literal idéntica, es decir, las mismas letras con los mismos exponentes.

Por ejemplo, 9x3 y -12x3 son monomios semejantes, pero 5x3 y 5x4 no son monomios semejantes ya que la “x” aparece en un caso con exponente 3 y en otro con exponente 4.

Actividad 7. De los monomios que ves a continuación agrupa aquellos que sean semejantes entre sí:a) 9xy b) -3z c) 5x2y d) -6xy

e) -9x2y2 f) x2y g) 81z h) -2xy2

i) 8 j) 5xy2 k) xy l) 22

2.2. Polinomios

APRENDE:

Un polinomio es una expresión algebraica que tiene dos o más términos, o dicho de otra forma, es la suma de varios monomios. Los términos de un polinomio son cada uno de los monomios que lo forman, y los coeficientes de un polinomio, los coeficientes de cada uno de dichos monomios. Su grado es el del monomio de mayor grado, cuyo coeficiente será el coeficiente principal del polinomio.

3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA


En cualquier expresión algebraica podemos hallar su valor numérico simplemente sustituyendo las letras por números. Esto es algo que has hecho ya en varias ocasiones en cursos anteriores, por ejemplo, cuando aplicabas una fórmula para resolver un ejercicio de áreas.

Tomemos el primero de los ejemplos anteriores: 9xy + 6a - 5Si asignamos los valores: x = 2; y = 3; a = 1 y los sustituimos posteriormente en la expresión obtendremos:

9xy + 6a - 5 = 9·2·3 + 6·1 - 5 = 54 + 6 - 5 = 55

¡OJO! Una vez que hayas sustituido las letras por sus valores respectivos no debes olvidar que tienes que tener en cuenta el orden de preferencia de las operaciones para llegar al resultado correcto.

1º.- Averigua el valor numérico de las siguientes expresiones:a) 14 – x, siendo x = 5 Sol.:

b) 7y – x, siendo y = 2; x = 9 Sol.:

c) 5a - 4b si a = 15 y b = 12 Sol.:

d) siendo a = 6, b = 2 y c = 3 Sol.:

Actividad 8. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:a) 2x + 4y + 3z para x = 3, y = -2, z = -1b) 3x3 – y2 – 2z para x = 2, y = 1, z = 3

c) 5x2 – y + 3z para x = -2, y = 3, z = -1d) 2x – 3y3 + z2 para x = 5, y = -1, z = -2

4. OPERACIONES BÁSICAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4.1. Operaciones con monomios

Las operaciones que vamos a realizar con monomios son la suma, la resta, la multiplicación y la división de monomios, así como la potencia de un monomio. Consulta los procedimientos en la página 130 de tu libro de texto y fíjate en los ejemplos.

Actividad 9. Calcula las siguientes operaciones de monomios:a) 6a + 7a + 8a + a = b) 5x – 4x – 9x + 12x =c) 9y2 – 8y2 + 3y2 = d) 9bc – 6bc + 8bc – 10bc=

e) f)


Actividad 10. Reduce las siguientes expresiones algebraicas a otras más sencillas, agrupando aquellos términos que sean semejantes.a) 3a + 5 + 6a – 7 + 8a - 3a + 3 = b) 2x3 + 3x – 4x3 + 6x + 8x3 =c) 6c + 7a – 7b – 3c + a + 2c = d) x4 + 3x2 + 2x2 – 5x4 – 3x + 2 =

e) f)

4.2. Operaciones con polinomios

APRENDE:

Antes de realizar operaciones con polinomios es conveniente ordenarlos. Para ordenar un polinomio se hace en orden decreciente de los grados de los monomios que lo forman, de manera que el primer término sea el de mayor grado y el último el de menor grado (generalmente, el término independiente).

Ejemplo: Ordena el polinomio P(x) = 5x3 + 4x – 6x2 – 8 + 10x4.P(x) = 10x4 + 5x3 – 6x2 + 4x – 8

4.2.1. Suma y resta de polinomios

Para aprender a sumar y restar polinomios, consulta la página 132 de tu libro de texto, fijándote con mucha atención en los ejemplos. Aprende también como se obtiene el opuesto de un polinomio.

4.2.2. Multiplicación de polinomios

Estudiaremos tres casos, empezando por el más sencillo, que es multiplicar un polinomio por un número, después veremos la multiplicación de un polinomio por un monomio y por último, veremos como se multiplican dos polinomios.

a) Multiplicación de un polinomio por un número:Si tenemos, por ejemplo, 5 · (3x2 + 2x – 6), realmente esa expresión es la propiedad distributiva, que ya conocemos y por tanto, resolveremos multiplicando el número por cada uno de los sumandos de dentro del paréntesis:

5·(3x2 + 2x – 6) = 5 · 3x2 + 5 · 2x – 5 · 6 = 15x2 + 10x – 30

b) Multiplicación de un polinomio por un monomio: Al igual que antes, aplicamos la propiedad distributiva, y se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, de manera que hacemos varias multiplicaciones de monomios, que resolvemos como en el apartado anterior:

2x · (3x2 – 2x + 5) = 2x · 3x2 – 2x · 2x + 2x · 5 = 6x3 – 4x2 + 10x


Actividad 11. Resuelve las siguientes multiplicaciones:a) 2·(3x + 2) = b) 3x2·(2x + 5x2 – 3x3) =

c) a·(a2- 2a + 3) = d) 3ab·(2ab – 4a + 5b) =

e) f)

¡OJO! Como estoy aplicando la propiedad distributiva, puedo realizar también su operación inversa, es decir, sacar factor común. Observa los ejemplos:

Ejemplo 1.- 8x + 12y – 4z + 16 = 4·2x + 4·3y – 4·z + 4·4 = 4·(2x + 3y – z + 4)

En este caso, todos los términos contenían como factor al 4, un coeficiente.

Ejemplo 2.- Si tenemos 4x – 6x2 – 10x4 lo primero que hacemos es descomponer cada término en producto de varios factores, descomponiendo los coeficientes y las partes literales de cada uno de ellos de la siguiente manera:

4x – 6x2 – 10x3 = 2·2·x – 2·3·x·x – 2·5·x·x·x = 2x·(2 – 3·x – 5·x·x) = 2x ·(2 - 3x - 5x2)

Actividad 12. Extrae factor común en las siguientes expresiones algebraicas:a) 3a + 6ab + 9a = b) 3x – 9x2 + 10x3 =c) 16a2 + 8a2b – 12a2b2 = d) 4x + 6y + 8z –12p =

e) 9x2y2 -12x3y2 + 6x2y4 = f)

c) Multiplicación de dos polinomios: Cuando tenemos que multiplicar dos polinomios, debemos tener en cuenta que hay que multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro. Así, si tenemos (3x + 5)·(2x + 7) haremos:

3x·2x + 3x·7 + 5·2x + 5·7 = 6x2 + 21x + 10x + 35 = 6x2 + 31x + 35

También se puede realizar en forma de multiplicación:3x + 52x + 76x2 + 10x 21x + 356x2 + 31x + 35


Siempre que haya términos semejantes debo sumarlos (o restarlos) hasta dejar la expresión lo más sencilla posible.

Vemos que en los tres términos se repiten un 2 y una x, por

tanto, sacamos factor común 2x.

Actividad 13. Realiza ahora las siguientes multiplicaciones de polinomios:a) (2x + 1) · (x - 3) = b) (x - 2) · (x + 1) =

c) (x - 3) · (x2 - x + 4) = d) (a - 2b) · (3a + 5b) =

e) (5x2 – 6x + 7) · (x2 -3x – 1) = f)

Actividad 14. Dados los polinomios P(x) = -3x2 – 4x + 8; Q(x) = 5x2 + 6x – 9; R(x) = x3 – 5x2 + + x – 8; S(x) = x3 – 6x2 – 9x + 13, calcula:

a) P(x) + Q(x)b) P(x) + R(x)c) R(x) + S(x)d) Q(x) +S(x)e) P(x) – Q(x)f) P(x) – R(x)g) P(x) –S(x)h) Q(x) – R(x)

Actividad 15. Para los polinomios siguientes: A(x)= -4x4 + 5x3-2x2+1 ; B(x)= 3x3

+ 2x ; C(x)= x+1; D(x)= -6x2 –2. Calcula:

a) A(x) + B(x)b) B(x) + C(x)c) C(x) + D(x)d) A(x) + B(x) + C(x) +D(x)e) A(x) – B(x)f) A(x) – C(x)g) B(x) – C(x)h) C(x) –D(x

5. EXPRESIONES ALGEBRAICAS NOTABLES

Llamamos expresiones algebraicas notables a una serie de expresiones que son muy útiles a la hora de hacer operaciones con polinomios. Y son:

5.1. Cuadrado de una suma

“El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término más el doble del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término”.

(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2

Ejemplo: (2x + 3)2 = (2x)2 + 2·2x·3 + 32 = 22·x2 + 12x + 9 = 4x2 + 12x + 9


En este caso, el primer término es 2x (por eso al elevar al cuadrado debo escribir 2x entre paréntesis, que me da 4x2, ya que para resolver la potencia de un producto, debo elevar cada factor a dicha potencia) y el segundo término es 3.

Si dicha potencia la resolvemos como una multiplicación de factores iguales, debemos llegar al mismo resultado:

2x + 32x + 3

4x2 + 6x

+ 6x + 9

4x2 +12x + 9

Actividad 16. Halla:a) (2y + 6)2 b) (3a + 4b)2 c) (x2 + 7)2

5.2. Cuadrado de una diferencia

“El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el doble del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término”.

(a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2

Ejemplo: (3x - 5y)2 = (3x)2 - 2·3x·5y + (5y)2 =32·x2 - 30xy + 52·y2 = 9x2 - 30xy + 25y2

Es necesario aclarar que, en este caso, el primer término es 3x y el segundo término es 5y. También hay que tener en cuenta que al final el único término que aparece restando (o con signo menos) es el del “medio”. Al igual que en el caso anterior si hacemos la multiplicación, nos va a dar el mismo resultado. Hazlo tú como ejercicio:

Actividad 17. Calcula:a) (x - 6)2 b) (3x - 5)2 c) (4a - 3b)2

5.3. Suma por diferencia

“Para calcular el producto de la suma de una expresión algebraica por su diferencia se halla el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”.

(a + b) · (a - b) = a2 - b2

Ejemplo: (3a2 + 5b3) · (3a2 - 5b3) = (3a2)2 - (5b3)2 = ......a... - ......b...


Responde ahora a las siguientes preguntas:a) ¿Cuál es el coeficiente de a? ......... ¿Por qué? .....................................................

...................................................................................

b) ¿Y el de b? ............. ¿Por qué? .............................................................................

c) ¿Cuál es el exponente de a? ......... ¿Por qué? ......................................................

d) ¿Y el de b? .......... ¿Por qué? .................................................................................

Observa que en este caso, el signo que separa los dos términos de la solución es siempre menos. También en algunos casos aparecen cambiados el orden, siendo diferencia por suma, pero se resuelve exactamente igual. Al igual que en los casos anteriores podemos comprobar que si lo resolvemos en forma de multiplicación, obtenemos el mismo resultado. Hazlo tú a continuación:

Actividad 18. Resuelve:a) (4x + 9)·(4x - 9) b) (2y - 3z2)·(2y + 3z2) c) (7m + 3n)·(7m - 3n)

6. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO

APRENDE:

Al igual que un número se puede descomponer en factores primos, un polinomio, en algunos casos, se puede descomponer en un producto de polinomios (y/o monomios) más sencillos. Normalmente, aplicaremos el procedimiento de sacar factor común y usaremos las expresiones algebraicas notables.

Ejemplo 1: Haz la descomposición factorial de x2 + 4x + 4.

Para descomponer ese polinomio, nos fijamos que si ponemos 22 en lugar de 4, se parece al cuadrado de una suma:

x2 + 4x + 4 = x2 + 4x + 22

Si el término central lo podemos poner como el doble del primero por el segundo, ya lo tenemos:

x2 + 4x + 4 = x2 + 4x + 22 = x2 + 2·2·x + 22 = (x + 2)2

Ejemplo 2: Realiza la descomposición factorial de x2 - 16.

En este caso, al tener dos términos únicamente, nos recuerda a una diferencia de cuadrados, siempre y cuando el segundo término pueda ponerse en forma de cuadrado, cosa que en este caso es bastante sencilla. Observa:

x2 - 16 = x2 - 42

Ahora lo transformamos en suma por diferencia:x2 - 16 = x2 - 42 = (x + 2)·(x - 2)


ENTORNOPot semblar que l’àlgebra no té cap connexió amb el món real. Doncs bé, l’àlgebra apareix als contextos més insospitats que puguis imaginar. Per exemple, té una relació amb els grills i la seva forma peculiar de “cantar”. ¿Àlgebra y grills? ¿Quina relació pot existir entre ells? Segons distintes investigacions, es creu que el número de vegades que un grill fa sonar el seu so peculiar per minut depèn de la temperatura de l’aire. La relació entre ambdues magnituds s’ ha determinat de forma experimental y ve donada por l’ expressió algebraica C(t) = 7t – 30, on t es la temperatura en graus centígrads y C(t) és el numero de vegades que un grill llança el seu crit per minut.

a) Troba el número de vegades per minut que un grill llança el seu crit si la temperatura és de 35 ºC

b) ¿Y si la temperatura és de 20 ºC?c) ¿Quin és el valor de la temperatura quan el grillo llança el seu crit

105 cops por minut?

ENTORNO

S’ha determinat que la pressió dins del mar varia amb la profunditat (h) segons el següent polinomi. P(h) = 101300 + 10000h., on la pressió es mesura en Pascals i la profunditat en metres.Determina:a) Quina és la profunditat a la qual la pressió és de 131300 Pascals.b) Quina és la profunditat a la qual la pressió té un valor la meitat que la de

l’apartat a) .

3.- Si tenim un polinomi A(x)= 6x2 – 5x2 + 11 i un altre B(x)= ax2 – bx2 + ca) Quins han de ser els valors de a,b i c perquè els polinomis siguin semblants.b) Que donaria l’expressió: A(x) * [B(x) +1]


INGENIO HUMANOUn quadrat màgic és un quadre de números on totes les files, columnes i diagonals (anomenades línies del quadrat) sumen el mateix. La suma s’anomena número màgic del quadrat.Aquí teniu dos quadrats màgics algebraics, un 3x3 i l’altre 4x4, aquests són màgics per a un valor de x que heu de trobar.

X - 1 2X + 1 3(X – 1)5X - 6 X + 2 X - 2X + 1 X 2(X + 1)

X - 1 5(X + 1) 3X + 4 4X7X X + 2 2X + 1 5X + 1

X + 5 X + 7 10X - 4 X4X + 4 3X 2X - 1 4X + 5

Per fer-ho realitzeu les següents operacions:1. Escriviu les sumes de dos línies de cada quadrat màgic.2. Igualeu dos d’elles y aïlleu x. Quin valor té x al quadrat 3x3? I al

quadrat 4x4?Quin és el número màgic del quadrat 3x3? I del quadrat 4x4?


E/ AUTOEVALUACIÓN / REFLEXIÓN

Alumn@: ....................................................................................... Grupo: ....

Resuelve en una hoja aparte todas estas actividades. Recuerda que no debes consultar ni la unidad ni el libro. La autoevaluación debe servirte para ver si de verdad sabes los conceptos básicos de la unidad.

1º.- Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:a) 3x - 4y + 5z, para x = 2, y = -3, z = -1

b) , para b = 1, c = 0, d = 7

c) 9x3 - 2x2 + 7x - 9, para x = -2

2º.- En las siguientes expresiones algebraicas separa el coeficiente de la parte literal, indicando además el grado y el número de variables en cada caso:

a) b) 7x6y3z3 c) 12a3b5

3º.- Reduce las siguientes expresiones algebraicas a otras más sencillas, agrupando aquellos términos que sean semejantes.a) 3a + 4 + 6a – 7 + 9a - 3a + 3 =b) 2x3 + 3x – 4x3 + x + 4x3 =c) 8c + 7a – 5b + 2b + 4a – 3c + a + 2c =

4º.- Saca factor común:

a) 12x – 4x3 + 8x2 b) 32b – 24b + 16b c)

5º.- Dadas los siguientes polinomios:P(x) = 6x4 – 5x3 – 2x2 – 4x + 8; Q(x) = –5x3 + 6x2 + 20x – 7;M(x) = x2 + 4x – 2 N(x) = 2x - 5a) indica el grado y el número de términos de cada uno de ellosb) P(x) + Q(x) + M(x)c) P(x) – Q(x) d) M(x) · N(x)e) Q(x) · N(x)

6º.- Desarrolla y calcula:a) (2x + 6)2 =b) (3x - 4)2 =c) (8m5 + n2)·(8m5 - n2) =

7º.- Realiza la descomposición factorial de los siguientes polinomios:a) x3 - 2x2 + x b) 4x2 - 9


REFLEXIÓN FINAL

Grupo:………Profesor…………………………………………………………………..

Para realizar la reflexión final en grupo de esta Unidad, podéis contestar a estas cuestiones.

1. ¿La Unidad ha resultado motivadora?

2. Señala los aspectos que han sido más interesantes en todo el proceso.

3. ¿Qué preguntas surgieron durante el trabajo de esta Unidad?

4. ¿Se ha realizado algún trabajo interdisciplinar o en colaboración con otrosgrupos?

5. Anota las evidencias (trabajos, gráficas, murales etc.) que se deban conservar en un dossier de la asignatura.

6. Anotad entre todos una frase que condense la conclusión o moraleja quehayáis obtenido tras estudiar esta Unidad.

7. Otras conclusiones…………………………………………………………………...

8. ¿Estamos preparados para iniciar la siguiente?


F/ OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS EN RED

En esta unidad, puedes utilizar el programa WIRIS para realizar las siguientes actividades:

Apartado de la unidad Ejercicios3. Valor numérico de un polinomio 128 (pág. 143)4.2. Operaciones con polinomios 129, 130 y 131 (pág. 143)5. Expresiones algebraicas notables 132 (pág. 143)6. Descomposición factorial de ... 133 (pág. 143)

Además de tu libro de texto y de los libros de diversas editoriales que tienes en la biblioteca de aula, te ofrecemos algunas direcciones de interés para completar tu trabajo en la unidad:

- Anecdotario matemático.http://www-etsi2.ugr.es/profesores/jmaroza/ Anecdotario matemático ordenado alfabéticamente. Notas históricas y biografías. Historia. Enlaces.

- Biografías de matemáticos (en inglés)http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html Página de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de St Andrews en Escocia. En ella encontraremos breves biografías de la práctica totalidad de los matemáticos de la historia, así como la historia de los principales tópicos matemáticos y de las curvas más famosas de la historia.

- Los Matemáticos y su historia (en castellano)http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.htmlPágina de la Universidad de Santiago de Chile en la que se pueden encontrar una buena colección de matemáticos, pudiendo acceder a través de un índice alfabético o cronológico.

BIBLIOGRAFÍA:


http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

http://www-etsi2.ugr.es/profesores/jmaroza/

G/ REFUERZOS EDUCATIVOS

Alumn@: ................................................................................................... Grupo: ....

1º.- Realiza los ejercicios que te indique tu profesor de tu libro de texto.

2º.- Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:a) 3x - 5z, para x = 2, z = -2b) 5m2 – 3n, para m = -1, n = 2c) -3c + 4j, para c = 2, j = -6

3º.- Reduce las siguientes expresiones algebraicas a otras más sencillas, agrupando aquellos términos que sean semejantes.a) 3a + 4 + 6a – 7 + 9a - 3a + 3 =

b) 2x + 3y + 5x + 4y - 5x + 6y =

c) 8c + 9a - 7b + 2c + 4b - 3c + a + 2b =

d) 12x4 - 7x2 + 5x2 - 5x4 - 3x2 + 2x4 =

e)

4º.- Saca factor común:a) 12x – 4y + 8z b) 9c - 3c3 + 7c2 c) 12b - 18b - 6b d) 6x4 - 4x3 - 3x2 + x5

5º.- Desarrolla y calcula:a) (2x + 5)2 = b) (3a - 4)2 = c) (8z + 9n) · (8z - 9n) =


H/ AMPLIACIONES / PROPUESTA DE INVESTIGACIÓN

Alumn@: ................................................................................................... Grupo: ....

1º.- Resuelve los ejercicios que te indique tu profesor de tu libro de texto.

Te hacemos dos propuestas de investigación en esta unidad:a) la primera tiene que ver con los números poligonales de los que te hablan en la página 135 de tu libro de texto. Escribe los 10 primeros números triangulares y los 10 primeros números cuadrangulares y trata de establecer una relación entre ellos. Realiza después los ejercicios 107 y

108 de la página 140 de tu libro.

b) la segunda tiene que ver con los dos primeros polinomios de los números primos de Euler, que te aparecen en los ejercicios 105 y 112 de la página 140 de tu libro. Después de resolver

dichos ejercicios, investiga acerca de los otros polinomios de números primos de Euler, y de paso, busca la biografía de este genial matemático para hacer un trabajo monográfico.


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