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IES “Los Colegiales” Matemáticas 2º ESO Tema: Estadística

1. Definición de Estadística

La Estadística es la parte de las Matemáticas que estudia una serie de datos, los recuenta, losordena y los clasifica, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

En el proceso estadístico se siguen estos pasos:

1. Elaboración de la encuesta. El encuestado tiene que tener claro que se le pregunta y cuales son las posibles respuestas.

2. Recogida de datos: Se pasa la encuesta y se anotan las respuestas.

3. Recuento, organización y clasificación de los datos.

4. Elaboración de tablas de frecuencias.

5. Construcción de las gráficas estadísticas.

6. Obtención de conclusiones.

Fco. Javier Sánchez García Pág. 1/23


2. Conceptos estadísticos

a) Población y muestra

La población es el conjunto de todos los individuos u objetos sobre los que se quiereestudiar unos datos determinados. Si, por ejemplo, queremos estudiar el nivel de estudios que tienen los españoles, la población será todos los españoles. Si queremos saber cuántos alumnos del IES Los Colegiales aprueban Matemáticas, la población la forman todos los alumnos del IES Los Colegiales.

Muestra: cuando la población es muy grande o difícil de estudiar, se elige una parte de la población representativa de la misma a la que llamamos muestra. Ha de elegirse al azar.

Cada elemento que cogemos de la población o muestra se llama individuo.

El número total de individuos que forman la población o muestra se llama tamaño de la población o muestra.

b) Variable estadística

Llamamos variable estadística a cada una de las propiedades o características que podemos observar en los individuos de una población, es decir, la información que nos aportan los datos ( estatura, peso, equipo preferido, edad, color de ojos, música que le gusta...).

Las variables estadísticas pueden ser de dos clases:

• Variables cualitativas: no se pueden expresar mediante números. Por ejemplo, deporte favorito, razas de perros, color de los ojos, serie que más te gusta...

• Variables cuantitativas: Se expresan mediante números. Por ejemplo, número de hermanos, nota del examen de matemáticas, estatura, paga semanal...

En las variables cuantitativas, los números se pueden tomar aislados o en un intervalo. Así tenemos que las variables cuantitativas pueden ser:

Variable cuantitativa discreta: Cuando solo puede tomar valores aislados. Por ejemplo, número de hermanos, libros leídos en un año, goles marcados por vario equipos de fútbol...

Variable cuantitativa continua: Los valores se agrupan en intervalos. Por ejemplo, la estatura, el peso, el tiempo que tardan en hacer un recorrido...



3. Tablas de frecuencias

Una vez obtenidos los datos hay que recontarlos, ordenarlos y clasificarlos. Para ello los colocamos en unas tablas a las que vamos a llamar tablas de frecuencias. En ellas aparecerán:

– Los datos estadísticos: Son los valores que se obtienen al realizar la encuesta, la medición... Se representa por xi El número total de datos se representa por N

– La frecuencia absoluta de un dato estadístico: Es el número de veces que se repite ese dato. Se representa por fi

– La frecuencia absoluta acumulada de un dato estadístico: Es la suma de su frecuencia absoluta con las frecuencias de los datos menores que él. Se representa por Fi

– La frecuencia relativa de un dato estadístico: Es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos ( N ). Se representa por hi

– La frecuencia relativa en tanto por ciento ( % ) de un dato estadístico: Multiplicamos la frecuencia relativa por 100 y la tendremos en forma de porcentaje. Se representa por hi %

En la tabla también se añaden otras columnas que nos ayudan a calcular otras medidas estadísticas. Aquí tenemos algunas que iremos viendo a lo largo del tema:

– El producto de los datos estadísticos por la frecuencia absoluta: Estos valores nos servirán para calcular la media aritmética. Se representa por xi · fi

– Amplitud de sectores: Esta columna es necesaria para la construcción de la gráfica: diagrama de sectores. Dividimos 360º : N , el resultado lo vamos multiplicando porcada frecuencia absoluta (fi) y nos dará la amplitud en grados de cada dato estadístico.

– La desviación de cada dato con respecto a la media aritmética en valor absoluto:

– | xi - x |

– La desviación de cada dato con respecto a la media aritmética en valor absoluto porsu frecuencia absoluta: | xi - x | · fi

Al final de la tabla añadiremos otra fila en la que pondremos los resultados de las sumas de las siguientes columnas:

– Suma de las frecuencias absolutas ( fi ) : Nos dará el total de datos N

– Suma de la columna xi · fi : Esta suma nos servirá para calcular la media aritmética.

– Suma de la columna | xi - x | · fi Esta suma nos servirá para calcular la desviación media.



4. Ejemplos de construcción de tablas de frecuencias dependiendo del tipo devariable estadística

4.1 Variable estadística cualitativa

Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 2º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido éstos: P, V, V, P, O, O, V, V, I, P, I, P, I, O, V, V, V, I, O, P, P, V, V, O, O, P, V, V, V, P.

Ordena los datos en una tabla de frecuencias.

Variable estadística(Estaciones)

xi

Frecuencia absoluta(Nº Alumnos)

fi

Frecuencia absolutaacumulada

Fi

Frecuencia relativa

hi = fi : N

Frecuencia relativa%

hi % = hi x 100

Primavera 8 8 0,27 27 %

Verano 12 20 0,40 40 %

Otoño 6 26 0,20 20 %

Invierno 4 30 0,13 13 %

N = 30

Cuando la variable estadística es cualitativa no se calcula la media aritmética, por lo que en la tablano aparece la columna xi · fi

Observando la tabla de frecuencias la estación preferida por los alumnos es el verano (12 alumnos) que representan el 40 % del total. Si intentamos explicar el por qué de esta elección, lo más seguro sea asociar el verano con las vacaciones.



4.2 Variable estadística cuantitativa

Cuando la variable estadística es cuantitativa, ésta puede ser discreta (cuando toma valores aislados) y continua (cuando los valores se agrupan en intervalos).

4.2.1 Variable estadística cuantitativa discreta

Aquí tenemos un ejemplo con valores aislados:

Las notas de un examen de matemáticas realizado a 40 alumnos han sido las siguientes:

2, 3, 5, 5, 6, 5, 8, 9, 1, 6, 9, 7, 7, 4, 3, 8, 7, 10, 4, 5, 6, 3, 8, 9, 2, 5, 1, 7, 5, 5, 4, 7, 6, 6, 3, 2, 7, 6, 7, 7.


Variable est.(Notas)

xi

Frecuencia abs.(Nº Alumnos)

fi

Frecuencia abs.acumulada

Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frecuencia rel. %

hi % = hi x 100 xi · fi

1 2 2 0,05 5 % 1 · 2 = 2

2 3 5 0,075 7,5 % 2 · 3 = 6

3 4 9 0,10 10 % 3 · 4 = 12

4 3 12 0,075 7,5 % 4 · 3 = 12

5 7 19 0,175 17,5 % 5 · 7 = 35

6 6 25 0,15 15 % 6 · 6 = 36

7 8 33 0,20 20 % 7 · 8 = 56

8 3 36 0,075 7,5 % 8 · 3 = 24

9 3 39 0,075 7,5 % 9 · 3 = 27

10 1 40 0,025 2,5 % 10 · 1 = 10

N = 40 220

Cuando la variable estadística es cuantitativa podemos calcular la media aritmética y para ello es necesaria la columna xi · fi ( más adelante veremos como se calcula la media aritmética).

En la columna Frecuencia absoluta acumulada podemos ver que el nº de alumnos suspensos ( notas 1, 2, 3 y 4) son 12 que si sumamos los porcentajes correspondientes ( 5 % +7,5 % + 10 % + 7,5 % ) nos dan un 30 % del total. Como consecuencia el nº de aprobados es 28 que representa el 70 % . La nota más repetida es 7, con un total de 8 alumnos. Si seguimos observando la tabla podemos sacar mas información y posibles conclusiones.



4.2.2 Variable estadística cuantitativa contínua

La variable estadística cuantitativa contínua es aquella que puede tomar valores entre dos números. Estos datos conviene agruparlos en intervalos o clases. Estos intervalos o clases tienenque tener siempre la misma medida o amplitud.

El valor que representa a toda la clase o intervalo es el punto medio de cada una y se llama marca de clase: xi y se incluye siempre en la tabla.

Veamos este ejemplo:

Hemos medido la estatura en cm de 30 jugadores de baloncesto y estos han sido los resultados:

195 – 206 – 187 – 209 – 186 – 200 – 203 – 188 – 181 – 192 – 204 – 206 – 193 – 183 – 189 194 – 197 – 203 – 208 – 196 – 197 – 202 – 191 – 195 – 199 – 198 – 192 – 196 – 198 - 201

Si observamos los datos la estatura más pequeña es 1,81 y la mayor es 2,09. Entre una y otrahay 28 cm de diferencia, es lo que llamamos rango. Tendríamos que construir una tabla con 28 filas lo que nos llevaría mucho tiempo y muchos cálculos. Es mejor agrupar los datos en intervalos o clases con una amplitud, por ejemplo, de 5 cm. Los intervalos los expresamos con un corchete al principio y un paréntesis al final. El corchete significa que esa medida entra en el intervalo mientrasque el paréntesis significa que esa medida no entra en el intervalo, entra en el intervalo siguiente.

Intervalo o clase(Estatura)

Marca de clase

xi

Frec. abs.(Jugadores)

fi

Frec. abs.acumulada

Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frec. rel. %hi %

hi x 100 xi · fi

[180 – 185) (180 + 185) : 2 =

182,52 2 2 : 30 = 0,07 7 % 182,5 · 2 = 365

[185 – 190) 187,5 4 6 4 : 30 = 0,13 13 % 187,5 · 4 = 750

[190 – 195) 192,5 5 11 5 : 30 = 0,17 17 % 192,5 · 5 = 962,5

[195 – 200) 197,5 9 20 9 : 30 = 0,30 30 % 197,5 · 9 = 1.777,5

[200 – 205) 202,5 6 26 6 : 30 = 0,20 20 % 202,5 · 6 = 1.215

[205 – 210) 207,5 4 30 4 : 30 = 0,13 13 % 207,5 · 4 = 830

N = 30 5.900

Si seguimos observando la tabla podemos sacar mas información y posibles conclusiones.



5. Gráficas Estadísticas

5.1 Diagrama de barras

Es una gráfica donde los datos se representan sobre unos ejes de coordenadas. Sobre el eje horizontal, llamado Eje de Abscisas ( eje X ) se representan las variables estadísticas o datos y sobre el eje vertical, llamado Eje de Ordenadas ( eje Y ) se representan las frecuencias absolutas de cada dato.

Vamos a representar en un diagrama de barras el ejemplo del apartado 4.1




xi


fi


Fi

Frecuencia relativa

hi = fi : N


hi % = hi x 100

Primavera 8 8 0,27 27 %

Verano 12 20 0,40 40 %

Otoño 6 26 0,20 20 %

Invierno 4 30 0,13 13 %

N = 30

Diagrama de barras


Primavera Verano Otoño Invierno0

2

4

6

8

10

12

14

Estación del año preferida

Estaciones

Nº

de

Alu

mn

os


El diagrama de barras lo podemos representar también en 3D

Si en vez de columnas utilizamos dibujos relacionados con los datos, en este ejemplo las estaciones del año, tenemos un Pictograma.



2

4

6

8

10

12

14


Estaciones

Nº

de

Alu

mn

os

0

2

4

6

8

10

12

14

Primavera Verano Otoño Invierno

Nº de Alumnos

Estaciones


Primavera

Verano

Otoño

Invierno


5.2 Polígono de frecuencias

Esta gráfica se construye a partir de un diagrama de barras. Con segmentos unimos los extremos de las barras.

Vamos a representar en un Polígono de frecuencias el ejemplo del apartado 4.1




xi


fi


Fi

Frecuencia relativa

hi = fi : N


hi % = hi x 100

Primavera 8 8 0,27 27 %

Verano 12 20 0,40 40 %

Otoño 6 26 0,20 20 %

Invierno 4 30 0,13 13 %

N = 30

Polígono de frecuencias



2

4

6

8

10

12

14


Estaciones

Nº

de

Alu

mn

os


5.3 Diagrama de Sectores

Es una gráfica circular cuya superficie se distribuye en sectores. Cada sector tiene un nº de grados proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato. Para determinar cada sector circular añadimos en la tabla de frecuencias una columna: En el encabezamiento de la columna calculamos 360º : N para saber los grados correspondientes a cada dato. A continuación vamos multiplicando ese resultado por la frecuencia absoluta de cada dato y obtendremos la amplitud del sector circular de dicho dato.

Vamos a representar en un Diagrama de sectores el ejemplo del apartado 4.1



Var. estadística(Estaciones)

xi

Frec. absoluta(Nº Alumnos)

fi

Frec. absolutaacumulada

Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frec. Relativa %

hi % = hi x 100

Amplitud de cada dato360 : N

360º : 30 = 12º

Primavera 8 8 0,27 27 % 12º · 8 = 96º

Verano 12 20 0,40 40 % 12º · 12 = 144º

Otoño 6 26 0,20 20 % 12º · 6 = 72º

Invierno 4 30 0,13 13 % 12º · 4 = 48º

N = 30

Para dibujar la gráfica necesitamos un compás y un transportador de ángulos.


Primavera27%

Verano40%

Otoño20%

Invierno13%



Otras variantes del Diagrama de Sectores:

a) Separando cada sector:

b) En 3D:


Primavera

Verano

Otoño

Invierno

Primavera

Verano

Otoño

Invierno


En televisión, cuando hay elecciones de partidos políticos, el número de diputados que corresponde a cada uno se representa en un diagrama de sectores utilizando sólo medio circulo, ya que esta es la forma de la sala donde se sientan los diputados: el hemiciclo (medio círculo). La única diferencia es que en vez de dividir 360º : N, dividimos 180º : N.

He aquí un ejemplo en las últimas elecciones celebradas en Andalucía en 2015



5.4 Histograma

Es la gráfica que se utiliza para representar los datos agrupados en intervalos o clases.

Dibujamos los ejes de coordenadas: En el eje horizontal ponemos los intervalos o clases y enel eje vertical el nº de individuos. Levantamos rectángulos hasta la frecuencia absoluta de cada dato.

Vamos a construir el Histograma que corresponde al ejemplo del apartado 4.2.1


195 – 206 – 187 – 209 – 186 – 200 – 203 – 188 – 181 – 192 – 204 – 206 – 193 – 183 – 189 194 – 197 – 203 – 208 – 196 – 197 – 202 – 191 – 195 – 199 – 198 – 192 – 196 – 198 - 201


Marca de clase

xi


fi

Frec. abs.acumulada

Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frec. rel. %hi %

hi x 100 xi · fi

[180 – 185) (180 + 185) : 2 =

182,52 2 2 : 30 = 0,07 7 % 182,5 · 2 = 365

[185 – 190) 187,5 4 6 4 : 30 = 0,13 13 % 187,5 · 4 = 750

[190 – 195) 192,5 5 11 5 : 30 = 0,17 17 % 192,5 · 5 = 962,5

[195 – 200) 197,5 9 20 9 : 30 = 0,30 30 % 197,5 · 9 = 1.777,5

[200 – 205) 202,5 6 26 6 : 30 = 0,20 20 % 202,5 · 6 = 1.215

[205 – 210) 207,5 4 30 4 : 30 = 0,13 13 % 207,5 · 4 = 830

N = 30 5.900


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

180 185 190 195 200 205 210 215

Nº de Jugadores

Altura (cm)

Estatura jugadores de baloncesto


6. Medidas de Centralización

Las medidas de posición central informan sobre los valores medios de la serie de datos.

Las principales medidas de posición central son:

6.1 Media Aritmética

La media aritmética se representa por x . Es el resultado de dividir la suma de todos los datos entre el número total de datos. Si el número de datos es muy grande la suma sería también pesada y larga. Para hacerlo más fácil añadimos una columna a la tabla de frecuencias: el producto de los datos (xi) por su frecuencia absoluta (fi) xi · fi Al final de la columna sumamos todos los

resultados y lo representamos así: Ʃ xi · fi . El resultado de esta suma lo dividimos entre el total de

datos N. ( Ʃ significa sumatorio )

Media aritmética: x = Σ x i · f i

N

Tenemos que tener en cuenta que la media aritmética solo se puede calcular cuando los datosson cuantitativos.

En el ejemplo del apartado 4.1 : Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 2º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido éstos: P, V, V, P, O, O, V, V, I, P, I, P, I, O, V, V, V, I, O, P, P, V, V, O, O, P, V, V, V, P.

No podemos calcular la media aritmética porque los datos son cualitativos y no podemos sumarlos, multiplicarlos..

En el ejemplo del apartado 4.2.1 los valores son cuantitativos aislados:


2, 3, 5, 5, 6, 5, 8, 9, 1, 6, 9, 7, 7, 4, 3, 8, 7, 10, 4, 5, 6, 3, 8, 9, 2, 5, 1, 7, 5, 5, 4, 7, 6, 6, 3, 2, 7, 6, 7, 7.


xi


fi


Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frecuencia rel. %

hi % = hi x 100 xi · fi

1 2 2 0,05 5 % 1 · 2 = 2

2 3 5 0,075 7,5 % 2 · 3 = 6

3 4 9 0,10 10 % 3 · 4 = 12

4 3 12 0,075 7,5 % 4 · 3 = 12

5 7 19 0,175 17,5 % 5 · 7 = 35

6 6 25 0,15 15 % 6 · 6 = 36

7 8 33 0,20 20 % 7 · 8 = 56

8 3 36 0,075 7,5 % 8 · 3 = 24

9 3 39 0,075 7,5 % 9 · 3 = 27

10 1 40 0,025 2,5 % 10 · 1 = 10

N = 40 Ʃ xi · fi = 220



Calculamos la media aritmética;

x = Σ x i · f i

N=

22040 = 5,5

La nota media de la clase es de 5,5.

En el ejemplo del apartado 4.2.2 los valores son cuantitativos contínuos


195 – 206 – 187 – 209 – 186 – 200 – 203 – 188 – 181 – 192 – 204 – 206 – 193 – 183 – 189 194 – 197 – 203 – 208 – 196 – 197 – 202 – 191 – 195 – 199 – 198 – 192 – 196 – 198 - 201


Marca de clase

xi


fi

Frec. abs.acumulada

Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frec. rel. %hi %

hi x 100 xi · fi

[180 – 185) (180 + 185) : 2 =

182,52 2 2 : 30 = 0,07 7 % 182,5 · 2 = 365

[185 – 190) 187,5 4 6 4 : 30 = 0,13 13 % 187,5 · 4 = 750

[190 – 195) 192,5 5 11 5 : 30 = 0,17 17 % 192,5 · 5 = 962,5

[195 – 200) 197,5 9 20 9 : 30 = 0,30 30 % 197,5 · 9 = 1.777,5

[200 – 205) 202,5 6 26 6 : 30 = 0,20 20 % 202,5 · 6 = 1.215

[205 – 210) 207,5 4 30 4 : 30 = 0,13 13 % 207,5 · 4 = 830

N = 30 Ʃ xi · fi = 5900

Para hacer los cálculos cogemos la marca de clase.

Calculamos la media aritmética;

x = Σ xi · f i

N=

590030 = 196,67 cm

La altura media de los jugadores de baloncesto es 196,67 cm



6.2 Moda

La moda es el dato que más se repite, el que tiene mayor frecuencia absoluta.

Veamos la moda en los ejemplos vistos a lo largo del tema:


xi


fi


Fi

Frecuencia relativa

hi = fi : N


hi % = hi x 100

Primavera 8 8 0,27 27 %

Verano 12 20 0,40 40 %

Otoño 6 26 0,20 20 %

Invierno 4 30 0,13 13 %

N = 30

La moda es el verano, porque es la estación que más veces se repite en la encuesta.


xi


fi


Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frecuencia rel. %

hi % = hi x 100 xi · fi

1 2 2 0,05 5 % 1 · 2 = 2

2 3 5 0,075 7,5 % 2 · 3 = 6

3 4 9 0,10 10 % 3 · 4 = 12

4 3 12 0,075 7,5 % 4 · 3 = 12

5 7 19 0,175 17,5 % 5 · 7 = 35

6 6 25 0,15 15 % 6 · 6 = 36

7 8 33 0,20 20 % 7 · 8 = 56

8 3 36 0,075 7,5 % 8 · 3 = 24

9 3 39 0,075 7,5 % 9 · 3 = 27

10 1 40 0,025 2,5 % 10 · 1 = 10

N = 40 Ʃ xi · fi = 220

La moda es la nota 7, porque es la nota que más veces se repite en los exámenes.



Cuando son varios los datos que más se repiten, no hay una sola moda, habrá tantas como datos coincidan en el mayor número de veces. En los dos ejemplos anteriores, en el de las estaciones la primavera la hubiesen elegido 12 personas, igual que el verano, las modas serian primavera y verano. En el ejemplo de las notas si con 5 hubiesen 8 alumnos y con 6 también 8 alumnos, las modas serian las notas 5, 6 y 7.

Podría ocurrir que todos los datos se repitiesen un mismo número de veces, entonces no existe moda.

En el siguiente ejemplo donde los valores están agrupados en intervalos o clases, hablamos de clase modal que es la clase que tiene mayor frecuencia. En este caso se toma como moda la marca de clase:


Marca de clase

xi


fi

Frec. abs.acumulada

Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frec. rel. %hi %

hi x 100 xi · fi

[180 – 185) (180 + 185) : 2 =

182,52 2 2 : 30 = 0,07 7 % 182,5 · 2 = 365

[185 – 190) 187,5 4 6 4 : 30 = 0,13 13 % 187,5 · 4 = 750

[190 – 195) 192,5 5 11 5 : 30 = 0,17 17 % 192,5 · 5 = 962,5

[195 – 200) 197,5 9 20 9 : 30 = 0,30 30 % 197,5 · 9 = 1.777,5

[200 – 205) 202,5 6 26 6 : 30 = 0,20 20 % 202,5 · 6 = 1.215

[205 – 210) 207,5 4 30 4 : 30 = 0,13 13 % 207,5 · 4 = 830

N = 30 Ʃ xi · fi = 5900

clase modal: [195 – 200)

moda: 197,5



6.3 Mediana

La mediana es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra.Tiene el mismo número de datos menores que él y el mismo número de datos mayores que él.

Para calcular la mediana se ordenan los datos de menor a mayor:

– Si el número de datos en impar, la mediana es el valor central.

– Si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales

También podemos averiguar la mediana en la tabla de frecuencias en la columna defrecuencias absolutas acumuladas. Para ello dividimos N : 2 , en las frecuencias absolutasbuscamos el primer resultado que sea superior a lo que nos ha dado N : 2. El dato correspondientea esa frecuencia absoluta acumulada es la mediana. Si encontramos en la frecuencia absolutaacumulada el mismo valor que N : 2, la mediana será la media aritmética de los valores que estánen esa frecuencia absoluta acumulada y la siguiente.

Cojamos de nuevo el ejemplo:


2, 3, 5, 5, 6, 5, 8, 9, 1, 6, 9, 7, 7, 4, 3, 8, 7, 10, 4, 5, 6, 3, 8, 9, 2, 5, 1, 7, 5, 5, 4, 7, 6, 6, 3, 2, 7, 6, 7, 7.

Ordena los datos de menor a mayor:

1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 3 – 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6

7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9 – 9 – 10

Como el número de datos es par (30), en el centro habrá dos datos, los que ocupan el lugar 15 y 16, que son los valores 5 y 5. Calculamos su media aritmética y tendremos la mediana:

5+52

= 102

= 5

La mediana es 5



Vamos a hacerlo ahora con la tabla de frecuencias:

Dividimos 30 : 2 = 15

Buscamos en las frecuencias absolutas acumuladas el valor inmediatamente mayor a 15, es el valor 19 al que le corresponde la nota 5 que será la mediana.


xi


fi


Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frecuencia rel. %

hi % = hi x 100 xi · fi

1 2 2 0,05 5 % 1 · 2 = 2

2 3 5 0,075 7,5 % 2 · 3 = 6

3 4 9 0,10 10 % 3 · 4 = 12

4 3 12 0,075 7,5 % 4 · 3 = 12

5 57 19 0,175 17,5 % 5 · 7 = 35

6 6 25 0,15 15 % 6 · 6 = 36

7 8 33 0,20 20 % 7 · 8 = 56

8 3 36 0,075 7,5 % 8 · 3 = 24

9 3 39 0,075 7,5 % 9 · 3 = 27

10 1 40 0,025 2,5 % 10 · 1 = 10

N = 40 Ʃ xi · fi = 220

La mediana es 5



7. Medidas de Dispersión

Las medidas de dispersión miden la separación de los datos respecto de la media. Dos deellas son el rango y la desviación media. Sólo se pueden calcular en las variables estadísticascuantitativas.

7.1 El rango

El rango o recorrido de un conjunto de datos es la diferencia entre el mayor y el menor delos datos.

Si los datos están agrupados, el rango es la diferencia entre el extremo superior del últimointervalo y el extremo inferior del primer intervalo.

De los ejemplos anteriores:


2, 3, 5, 5, 6, 5, 8, 9, 1, 6, 9, 7, 7, 4, 3, 8, 7, 10, 4, 5, 6, 3, 8, 9, 2, 5, 1, 7, 5, 5, 4, 7, 6, 6, 3, 2, 7, 6, 7, 7.


xi


fi


Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frecuencia rel. %

hi % = hi x 100 xi · fi

1 2 2 0,05 5 % 1 · 2 = 2

2 3 5 0,075 7,5 % 2 · 3 = 6

3 4 9 0,10 10 % 3 · 4 = 12

4 3 12 0,075 7,5 % 4 · 3 = 12

5 7 19 0,175 17,5 % 5 · 7 = 35

6 6 25 0,15 15 % 6 · 6 = 36

7 8 33 0,20 20 % 7 · 8 = 56

8 3 36 0,075 7,5 % 8 · 3 = 24

9 3 39 0,075 7,5 % 9 · 3 = 27

10 1 40 0,025 2,5 % 10 · 1 = 10

N = 40 Ʃ xi · fi = 220

El rango o recorrido es la diferencia entre la nota más alta y la más baja:

rango = 10 – 1 = 9




195 – 206 – 187 – 209 – 186 – 200 – 203 – 188 – 181 – 192 – 204 – 206 – 193 – 183 – 189 194 – 197 – 203 – 208 – 196 – 197 – 202 – 191 – 195 – 199 – 198 – 192 – 196 – 198 - 201


Marca de clase

xi


fi

Frec. abs.acumulada

Fi

Frecuenciarelativa

hi = fi : N

Frec. rel. %hi %

hi x 100 xi · fi

[180 – 185) (180 + 185) : 2 =

182,52 2 2 : 30 = 0,07 7 % 182,5 · 2 = 365

[185 – 190) 187,5 4 6 4 : 30 = 0,13 13 % 187,5 · 4 = 750

[190 – 195) 192,5 5 11 5 : 30 = 0,17 17 % 192,5 · 5 = 962,5

[195 – 200) 197,5 9 20 9 : 30 = 0,30 30 % 197,5 · 9 = 1.777,5

[200 – 205) 202,5 6 26 6 : 30 = 0,20 20 % 202,5 · 6 = 1.215

[205 – 210) 207,5 4 30 4 : 30 = 0,13 13 % 207,5 · 4 = 830

N = 30 Ʃ xi · fi = 5.900

El rango o recorrido es a diferencia entre el extremo superior del último intervalo y elextremo inferior del primer intervalo:

rango = 210 – 180 = 40 cm



7.2 Desviación media

Las diferencias entre cada valor de la variable xi y la media aritmética x se llamandesviaciones respecto a la media: xi - x

La desviación media de un conjunto de datos es la media aritmética de los valores absolutosde las desviaciones respecto a la media. Se representa por DM

DM = Ʃ | xi - x | · fi

N

Para calcular la desviación media vamos a añadir dos nueva columnas a la tabla defrecuencias: 1ª columna: | xi - x | 2ª columna: | xi - x | · fi Al final sumamos la 2ª columna:

Ʃ | xi - x | · fi Si dividimos este resultado entre el total de datos N tendremos la DM .


2, 3, 5, 5, 6, 5, 8, 9, 1, 6, 9, 7, 7, 4, 3, 8, 7, 10, 4, 5, 6, 3, 8, 9, 2, 5, 1, 7, 5, 5, 4, 7, 6, 6, 3, 2, 7, 6, 7,7.

Var. est.(Notas)

xi

Frec. abs.(Nº Alumnos)

fi

Frec. abs.acumulada

Fi

Frec.relativa

hi = fi : N

Frecuencia rel. %

hi % = hi x 100 xi · f

x = 5,5

| xi - x | | xi - x | · fi

1 2 2 0,05 5 % 1 · 2 = 2 | 1 – 5,5 | = 4,5 4,5 · 2 = 9

2 3 5 0,075 7,5 % 2 · 3 = 6 | 2 – 5,5 | = 3,5 3,5 · 3 = 10,5

3 4 9 0,10 10 % 3 · 4 = 12 | 3 – 5,5 | = 2,5 2,5 · 4 = 10

4 3 12 0,075 7,5 % 4 · 3 = 12 | 4 – 5,5 | = 1,5 1,5 · 3 = 4,5

5 7 19 0,175 17,5 % 5 · 7 = 35 | 5 – 5,5 | = 0,5 0,5 · 7 = 3,5

6 6 25 0,15 15 % 6 · 6 = 36 | 6 – 5,5 | = 0,5 0,5 · 6 = 3

7 8 33 0,20 20 % 7 · 8 = 56 | 7 – 5,5 | = 1,5 1,5 · 8 = 12

8 3 36 0,075 7,5 % 8 · 3 = 24 | 8 – 5,5 | = 2,5 2,5 · 3 = 7,5

9 3 39 0,075 7,5 % 9 · 3 = 27 | 9 – 5,5 | = 3,5 3,5 · 3 = 10,5

10 1 40 0,025 2,5 % 10 · 1 = 10 | 10 – 5,5 | = 4,5 4,5 · 2 = 9

N = 40 Ʃ xi · fi =220

Ʃ | xi - x | · fi

= 79,5

DM = Ʃ | xi - x | · fi = 79,5 = 1,99 ~ 2 (redondeo) N 40

En este caso la DM = 2 que nos indica que la nota de la mayoría de alumnos está entre 2 puntospor debajo o por encima de la nota media x = 5,5



Si los valores están agrupados, los cálculos se hacen con la marca de clase:


195 – 206 – 187 – 209 – 186 – 200 – 203 – 188 – 181 – 192 – 204 – 206 – 193 – 183 – 189 194 – 197 – 203 – 208 – 196 – 197 – 202 – 191 – 195 – 199 – 198 – 192 – 196 – 198 - 201

Intervalo o clase

Estatura

Marca de clase

xi

Frec. abs.Jugadores

fi

Frec. abs.Acum.

Fi

Frec.relativa

hi = fi : N

Frec. rel. %hi %

hi x 100 xi · fi

x = 196,67

| xi - x | | xi - x | · fi

[180 – 185) 182,5 2 2 2 : 30 = 0,07 7 % 182,5 · 2 =365

| 182,5 – 196,67 | =14,17

14,17 · 2 = 28,34

[185 – 190) 187,5 4 6 4 : 30 = 0,13 13 % 187,5 · 4 =750

| 187,5 - 196,67 | =9,17

9,17 · 4 = 36,68

[190 – 195) 192,5 5 11 5 : 30 = 0,17 17 % 192,5 · 5 =962,5

| 192,5 - 196,67 | =4,17

4,17 · 5 = 20,85

[195 – 200) 197,5 9 20 9 : 30 = 0,30 30 % 197,5 · 9 =1.777,5

| 197,5 – 196,67| =0,83

0,83 · 9 = 7,47

[200 – 205) 202,5 6 26 6 : 30 = 0,20 20 % 202,5 · 6 =1.215

| 202,5 – 196,67| =5,83

5,83 · 6 = 34,98

[205 – 210) 207,5 4 30 4 : 30 = 0,13 13 % 207,5 · 4 =830

| 207,5 - 196,67 | =10,83

10,83 · 4 = 43,32

N = 30 Ʃ xi · fi =5.900

Ʃ | xi - x | · fi =171,64

DM = Ʃ | xi - x | · fi = 171,64 = 5,72 cm

N 30

En este caso la DM = 5,72 nos indica que la estatura de la mayoría de jugadores está entre5,72 cm por debajo o por encima de la estatura media x = 196,67 cm

Este dato es importante porque si la desviación media es grande significa que las estaturasestarían muy dispersas, habría muchos jugadores “muy bajos” y muchos jugadores “muy altos”, encambio si la desviación media es pequeña, significa que la mayoría de los jugadores tiene unaestatura muy parecida y cercana al estatura media. No hay ni muchos jugadores “muy bajos” ni“muy altos”


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