1 Estadística

1

Estadística

Alberto Vega Hernández

Consultoría de Servicios para Gobiernos y Estudios Legislativos

Apuntes de Investigación y divulgación científica

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Estadística.

Apuntes de investigación y divulgación científica.

© Consultoría de Servicios para Gobiernos y Estudios Legislativos.

Prolongación Paseo de la Reforma No. 530, 2º piso,

Delegación Álvaro Obregón, C.P. 01219.

Ciudad de México, Distrito Federal.

Primera edición: marzo de 2007.

Autor: Alberto Vega Hernández.

Las opiniones vertidas de estos apuntes son responsabilidad del autor.

Manual de distribución gratuita, prohibida su venta.

Impreso en México.

5

Contenido

UNIDAD I

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

1.1 Definición de Estadística ....................................................................................................................... 8

1.1.1 La Estadística Descritiva ........................................................................................................... 8

1.1.2 La Estadística Inferencial ......................................................................................................... 8

1.2 La encuesta .................................................................................................................................................. 8

1.3 La población ................................................................................................................................................ 8

1.4 La muestra.................................................................................................................................................... 9

1.5 La variable .................................................................................................................................................... 9

1.6 La variable discreta ................................................................................................................................10

1.7 La variable continua ..............................................................................................................................10

1.8 El dato y los datos ...................................................................................................................................10

1.9 El experimento .........................................................................................................................................10

1.10 El parámetro ...........................................................................................................................................10

UNIDAD II

REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS DE DATOS

2.1 La gráfica .....................................................................................................................................................11

2.2 Diagramas de pastel ..............................................................................................................................11

2.3 Graficas de barras ...................................................................................................................................11

2.4 Diagramas de Pareto .............................................................................................................................12

2.5 Distribución de frecuencias. ..............................................................................................................13

a) Método simple ...................................................................................................................................13

b) Método complejo..............................................................................................................................14

6

UNIDAD III

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

3.1 La Media ......................................................................................................................................................17

a) Datos simples .....................................................................................................................................17

b) Datos de frecuencia .........................................................................................................................18

c) Datos agrupados ...............................................................................................................................19

3.2 La Mediana .................................................................................................................................................21

a) Datos simples .....................................................................................................................................21



3.3 La Moda .......................................................................................................................................................25

a) Datos simples .....................................................................................................................................25



3.3 Relación entre las medidas de tendencia central ....................................................................28

UNIDAD IV

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

4.1 La Desviación Media ..............................................................................................................................29

a) Datos simples .....................................................................................................................................29



4.2 La Varianza ................................................................................................................................................33

a) Datos simples .....................................................................................................................................33



4.3 La Desviación Estandar ........................................................................................................................37

a) Datos simples .....................................................................................................................................37


7


4.4 Coeficiente de Variación ......................................................................................................................41

UNIDAD V

MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRAL

5.1 Deciles ..........................................................................................................................................................43

5.2 Cuartiles ......................................................................................................................................................43

5.3 Percentiles ..................................................................................................................................................43

5.4 Cuartil medio ............................................................................................................................................45

UNIDAD VI

MEDIDAS DE FORMA

6.1 Concentración...........................................................................................................................................46

6.2 Asimetría .....................................................................................................................................................47

6.3 Curtosis ........................................................................................................................................................49

6.4 El Teorema de Chebyshev ..................................................................................................................51

UNIDAD VII

LA CORRELACIÓN LINEAL

7.1 La Correlación Lineal ............................................................................................................................53

7.2 El coeficinete de correlación lineal ................................................................................................55

7.3 Coeficinete de correlación de Pearson .........................................................................................56

7.4 La Regresión Lineal................................................................................................................................59

Bibliografía ............................................................................................................................ 66

8

UNIDAD I

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

1.1 Definición de Estadística

Ciencia que se encarga de la recolección, descripción e interpretación datos. Nos

permite realizar gráficas y su fin es el análisis para tomar decisiones.

1.1.1 La Estadística Descriptiva

Conjunto de procedimientos secuenciales, recolección, organización y análisis de

información cuya finalidad es la presentación simplificada cuya mejor interpretación

ayude a tomar decisiones. La estadística descriptiva utiliza el método deductivo, que

va de la población a la muestra.

1.1.2 La Estadística Inferencial

Conjunto de procedimientos basados en la Teoría de la probabilidad permite hacer

inferencia sobre características de la población tomando en ella una muestra y así

ayuda a tomar decisiones en sistemas de incertidumbre. La estadística inferencial

utiliza el método deductivo.- Que va de la muestra a la población.

1.2 La encuesta

Es un cuestionario elaborado para obtener información, que se puede expresar

mediante números tabulares.

1.3 La población

Conjunto de individuos, objetos o medidas que tiene alguna característica.

9

1.4 La muestra

Subconjunto de la población.

Marco muestral.- Es una lista de elementos que pertenecen a la población de

la cual se obtendrá una muestra.

Muestra probabilística.- Son muestras en que los elementos a seleccionar se

obtienen con base en la probabilidad. Cada elemento de una población tiene

cierta probabilidad de ser elegido como parte importante.

Muestra aleatoria simple.- Muestra seleccionada de modo que todos los

elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

Muestra sistemática.- Muestra en la cual se seleccionada todo k-ésimo

elemento del marco muestral, empezando como primer elemento que se elige

de manera aleatoria.

Muestra aleatoria estratificada.- Muestra que se obtiene al estratificar el

marco muestral, y luego se selecciona un número fijo de elementos de cada uno

de los estratos por medio de una técnica de muestreo aleatorio simple.

1.5 La variable

Característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar

diferentes valores. Existen diferentes tipos de variables:

La variable cualitativa.- Variable que clasifica o describe un elemento de una

población. En esta no se pude medir numéricamente (color de un coche,

nacionalidad, color de la piel, sexo).

La variable cuantitativa.- Variable que cuantifica un elemento de una

población. Tiene un valor numérico (como ejemplo: peso, longitud,

nacionalidad, etcétera).

La variable nominal.- Variable cualitativa que describe o identifica un

elemento de una población. Para datos resultantes de variable nominal, las

operaciones aritméticas no sólo carecen de sentido: tampoco es posible asignar

un orden a las categorías.

10

La variable ordinal.- Es una variable cualitativa que presenta una posición, o

clasificación ordenada.

1.6 La variable discreta

Sólo puede tomar valores enteros y exactos 1, 2, 3, 4. Ejemplo: número de hijos en una

familia, número de personas en una empresa.

1.7 La variable continua

Puede asumir cualquier valor. Sin importar el tamaño. Por ejemplo: ingreso, estaturas,

edades. La variable continua se divide en:

Variable numérica.- Cuando los valores son números.

Variable nominal.- Cuando los valores son palabras.

1.8 El dato y los datos

El dato se refiere al valor de la variable asociada a un elemento de una población o

muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo.

Los datos son el conjunto de valores recolectados para la variable de cada uno de los

elementos que pertenecen a la muestra.

1.9 El experimento

Actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos.

1.10 El parámetro

Valor numérico que resume todos los datos de una población.

11

UNIDAD II

REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS DE DATOS

2.1 La gráfica

Las gráficas son representaciones que producen los resultados de datos en estudio.

2.2 Diagramas de pastel

Gráficas que se utilizan para resumir datos cualitativos. El diagrama muestra la

cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como una parte proporcional de un

círculo.

Corazón

Piel

Hígado

Riñones

Ojos

2.3 Gráficas de barras

Muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como áreas

rectangulares.

12

0

2

4

6

operaciones

2.4 Diagrama de Pareto

El diagramad de Pareto se define como una gráfica a base de rectas que muestra los

porcentajes acumulados y la cantidad de datos representada por cada barra. El

diagrama puede ir de la más numerosa a la menos numerosa o viceversa.

.

4.3

2.53.5

4.5

2.4

4.4

1.82.8

2 23

5

13

2.5 Distribución de frecuencias

Distribución de frecuencias se define como el arreglo de datos en forma tabular,

donde una de las columnas representa la variable y la otra columna representa la

frecuencia absoluta o relativa. Listado, expresado en forma de diagrama que asocia

cada valor de una variable con la frecuencia.

a) Método simple

x1(f1) + x2(f2) + x3(f3) + … xn(fn)

Distribución de frecuencias = _______________________________________________

∑ f

Ejemplo:

De acuerdo con los siguientes datos:

X f

0 1

1 3

2 8

3 5

4 2

∑f = 20

D.f = 0(1) + 1(3) + 2(8) + 3(5) + 4(3)

_________________________________________

20

D.f = 2.3

14

b) Método complejo

Para este método se deben tener en cuenta las formulas siguientes:

Rango V máx – V mín

Amplitud = ________________ = ____________________

# Intervalos N

Li + Ls

Marca de clase (m) = ____________

2

f

Frecuencia relativa (f.r) = _____________

Total de f

Ejemplo:

De acuerdo con los siguientes datos:

Frecuencia relativa acumulada (f.r.a) = f.r + anterior

Dato Frecuencia

64 1

66 1

69 1

74 1

75 1

82 1

15

Rango V máx – V mín

Amplitud = --------------- = ----------------------

# Intervalos N

103 – 64 39

----------- = ---------- = 6.5 = 7

30 5.4772

Intervalo

Frecuencia

Marca de

clase

Frecuencia

relativa

Frecuencia

relativa

acumulada

64 – 70 3 67 0.1 0.1

71 – 77 2 74 0.06 0.16

78 - 84 3 81 0.1 0.26

85 – 91 7 88 0.23 0.49

92 – 98 2 95 0.06 0.55

83 1

84 1

85 2

86 1

88 1

89 1

90 2

98 2

100 3

101 3

102 4

103 3

16

99 - 105 13 102 0.43 0.98

Li Ls ∑f = 30 ∑fr = 1

Li + Ls 64 + 70

Marca de clase (m) = ____________ = _____________ = 67

2 2

f 3

Frecuencia relativa (f.r) = _____________ = ___________ = 0.1

∑ total de f 30

Frecuencia relativa acumulada (f.r.a) = f.r + anterior = 0.1 + 0.06 = 0.16

Frecuencia Frecuencia relativa acumulada

13 0.98

0.55

Histograma 0.49 Ojiva

7

0.26

3 0.16

2 0.1

64 70 77 84 91 98 105 Intervalos 67 74 81 88 95 102 Marca de clase

17

UNIDAD III

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

3.1 La Media

Media o Media Aritmética (x) es el promedio de la serie, se puede presentar de

manera simple, frecuencia y agrupada.

a) Datos simples

∑ x

= ________

n

Donde:

= media

∑ = Sumatoria

x = dato

n = tamaño de la muestra

Ejemplo:

Un estudiante de vocacional desea conocer el promedio de sus calificaciones de quinto

semestre.

Matemáticas 7 Química 6

Biología 5 Filosofía 8

Física 9 Inglés 10

∑ x

= ________

n

18

7 + 5 + 9 +6 + 8 + 10 45

= ____________________________ = _____ = 7.5.

6 6

Interpretación.- El promedio del estudiante de vocacional en el quinto semestre es de 7.5

b) Datos de frecuencia

∑ f x

= _________

N

Donde:

= media

∑ = Sumatoria

x f = dato por frecuencia

N = tamaño de la frecuencia

Ejemplo:

Las calificaciones de inglés de 20 alumnos son:

1, 7, 9, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 2, 6, 8, 6, 5, 4, 5, 2, 4, 3

Calificaciones Frecuencia

1 1

2 3

3 1

4 3

5 4

6 4

19

∑ f = 20

∑ f x

= _________

N

1(1) + 2(3) + 3(1) + 4(3) + 5(4) + 6(4) + 7(2) + 8(1) + 9(1)

= _________________________________________________________________________

20

97

= _________ = 4.85

20

Interpretación.- 4.85 es el promedio de calificaciones de inglés de 20 alumnos. Es un

grupo con bajo aprovechamiento.

c) Datos agrupados

∑ f m

= ___________

N

7 2

8 1

9 1

20

Donde:

= media

∑ = Sumatoria

f m = frecuencia de la marca de clase

N = tamaño de los datos

Ejemplo:

Determina el promedio de calificaciones del grupo 3103 e interpreta los resultados.

Calificación Frecuencia (f) Marca de clase (m) f * m

7 – 7.6 1 7.3 7.3

7.7 – 8.3 9 8 72

8.4 – 9.0 12 8.7 104.4

9.1 – 9.8 11 9.47 103.95

∑ f = 33 ∑ fm = 287.65

∑ f m

= ___________

N

287.65

= ___________ = 8.71

33

Interpretación.- En un grupo de 33 personas con calificación de 7 a 9.8, el promedio del

semestre es de 8.71, lo que corresponde a un nivel considerable.

21

3.2 La Mediana

Mediana (x).- Datos que ocupan la posición central de la serie ya sea simple,

frecuencia o agrupada.

a) Datos simples

mitad de los 2 números de en medio

= ____________________________________________

2

Donde:

= mediana

Ejemplo:

En la siguiente numeración encuentre la media.

5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11

mitad de los 2 números de en medio

= ____________________________________________

2

7 + 8

= ___________ = 7.5

2

Interpretación.- 7.5 es la mediana.

22


N + 1

= ___________

2

Donde:

= mediana

N + 1 = suma total de la frecuencia

Ejemplo:

En la siguiente tabla se muestra el número de hijos de 51 familias, por favor encuentre

la mediana.

Hijo (x) Número de familias (f) Frecuencia acumulada (fa)

0 7 7

1 10 17

2 15 32

3 10 42

4 7 49

5 2 51

∑ f = 51

N + 1 51 + 1

= ___________ = __________ = 26

2 2

Interpretación.- 26 corresponde a la mediana de los hijos de 51 familias.

23

c) Datos agrupados

= L1 + _(N+1/2 – S) C

f m

Donde:

= mediana

L1 = limite real inferior de la clase mediana

N = total de datos o frecuencia

f m = frecuencia de la clase mediana

C = longitud del intervalo de la clase

Ejemplo:

En la siguiente tabla, se muestran los coeficientes de 70 niños intelectuales, en una

escuela publica, por favor calcular la mediana.

Cociente intelectual (x) Frecuencia (f) Frecuencia acumulada (fa)

94 – 98 13 13

99 – 103 20 33

104 – 108 18 51

109 – 113 3 54

114 – 118 16 70

∑ f = 70

= 104 + 103 = 104 + 103 = 103.5

2 2

24

N + 1 = 70 + 1 = 71 = 35.5

2 2 2

S = 33

fm = 18

C = 4

= L1 + (N+1/2 – S) C

f m

= 103.5 + (35.5 – 33) 4

18

= 103.5 + (0.1388)4

= 104.2

Interpretación.- De los coeficientes intelectuales de 70 niños en una escuela pública, la

mediana corresponde a 104.2.

25

3.3 La Moda

Moda (x).- Número que más se repite de la serie ya sea simple, frecuencia o agrupada.

a) Datos simples

= número que más

veces se repite

Donde:

= moda

Ejemplo:

Encuentre la moda de un grupo de adolescentes, según el color de su camisa favorita.

Color de la camisa azul gris café verde

No, de

adolescentes

2 1 15 2

= número que más veces se repite

= Café 15 veces

Interpretación.- 15 es el número que más veces se repite, lo que significa que le color

favorito de 15 adolescentes es el café.

26


= número que más

veces se repite

Donde:

= moda

Ejemplo:

Encuentre la moda de los datos de las estaturas de un grupo de 10 personas:

1.9, 1.9, 1.4, 1.5, 1.3, 1.4, 1.6, 1.2, 1.4, 1.9

∑ f = 10

= número que más veces se repite

= 1.4 y 1.9 Interpretación.- La moda de datos en las estaturas de un grupo de 10 personas es

binominal, porque se presentan dos modas 1.4 y 1.9

Calificaciones Frecuencia

1.2 1

1.3 1

1.4 3

1.5 1

1.6 1

1.9 3

27

c) Datos agrupados

= L1 + _ ( d1 ) C

d1 + d2

Donde:

= moda

L1 = limite real inferior de la clase modal

d1 = frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior

d2 = frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente

C = intervalo de la clase

Ejemplo:

Encuentre la moda de un grupo de personas de la tercera edad.

Edades (x) Frecuencia (f)

60 – 64 5

65 – 69 18

70 – 74 42

75 – 79 27

80 - 84 8

L1 = 69 + 70 = 69.5

2

C = 5

d1 = 42 – 18 = 24

d2 = 72 – 27 = 15

= L1 + _ ( d1 ) C

d1 + d2

28

= 69.5 + ( 24 ) 5

24+15

= 69.5 + ( 24 ) 5

39

= 69.5 + (0.61) 5

= 72.55

Interpretación.- La moda de las edades de un grupo de la tercera edad oscilan entre

72.55

3.4 Relación entre las medidas de tendencia central

Se relacionan la media, la mediana y la moda, coincidiendo en una sola gráfica.

Sesgo.- Es una medida que indica la forma de la curva a través del grado de asimetría

que presenta un polígono de frecuencia.

Sesgo + Sesgo -

Si el polígono esta cargado a la izquierda,

media esta más alejada al cero, esto se

llama positivamente sesgada.

Si el polígono esta cargada a la derecha, la

media está más cercana al cero, esto se

llama negativamente sesgada.

29

UNIDAD IV

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

4.1 La Desviación Media

Desviación Media (DM/DMA) es la distancia promedio de los elementos respecto a

una medida de tendencia central como la media. La desviación media es la aritmética

de las desviaciones de los valores individuales con respecto al promedio de los datos.

a) Datos simples

∑ /x – / DM = _______________

n

Donde:

DM = desviación media

∑ = sumatoria

/x – / = dato menos media (abs)

n = datos totales

Ejemplo:

Un comerciante compra cajas de dulces.

Chocolates 5 Chupirules 3

Tamarindos 7 Alegrías 2

Paletas 8 Cocadas 6

Dulces Cajas / x – /

Chocolates 5 5 – 5.16 =0.16

Tamarindos 7 7 – 5.16 = 1.84

30

Paletas 8 8 – 5.16 =2.84

Chupirules 3 3 – 5.16 = 2.16

Alegrías 2 2 – 5.16 = 3.16

cocadas 6 6 – 5.16 = 0.84

∑ = 11

5 + 7 + 8 + 3 + 2 + 6 11

= ____________________________ = _____ = 51.66

6 6

∑ /x – / 11 DM = _______________ = ___

N 6

DM = 1.83

Interpretación. La desviación media de un comerciante de cajas de dulces es de 1.83


∑ f /x – / DM = _________________

N

Donde:

DM = desviación media

∑ f = sumatoria de frecuencia

/x – / = dato menos media (abs)

N = datos totales de frecuencia

31

Ejemplo:

Las calificaciones de un número de estudiantes se presentan a continuación.

Calificación (x) No alumnos (f) f * x / x – / f / x – /

5 2 10 ( –6.96)= 1.96 3.92

6 10 60 0.96 9.60

7 8 56 0.04 0.32

8 9 72 1.04 9.36

9 2 18 2.04 4.08

∑ f = 31 ∑ fx = 216 ∑f/x– / = 27.28

= 215 = 6.96

31

∑ f /x – / DM = _________________

N

27.28 DM = _________

31

DM = 0.88

Interpretación.- La desviación media de las calificaciones de un número determinado de

alumnos es de 0.88

32

c) Datos agrupados

∑ f /m – / DMA = _______________

N

Donde:

DMA = desviación media


/m – / = marca de clase – media (abs)

N = datos totales de frecuencia

Ejemplo:

Encuentre la desviación media de las siguientes edades de un grupo de 180 personas

hospitalizadas por tener enfisema pulmonar.

Intervalos f m f * m / m – / f / x – /

42 – 46 2 44 88 (44-61.14) 17.14 34.28

47 – 51 9 49 441 12.14 109.26

52 – 56 31 54 1674 7.14 221.26

57 – 61 50 59 2950 2.14 107.00

62 – 66 51 64 3264 2.86 145.86

67 – 71 30 69 2070 7.86 235.80

72 - 76 7 74 518 12.86 90.02

∑f = 180 ∑fm = 11005 ∑f /x – / = 943.56

= 11005 = 61.14

180

33

∑ f /m – / DMA = _______________

N

943.56 DMA = __________

180

DMA = 5.24

Interpretación.- La desviación media absoluta de 180 personas hospitalizadas por

tener enfisema pulmonar es de 5.24

4.2 La Varianza

La varianza (s2 / G2) mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media.

Se usa s2 cuando se trabaja con la muestra. Se usa G2 cuando se trabaja con toda la

población.

a) Datos simples

∑ /x – /2

s2 = _______________

n

Donde:

s2 = Varianza

∑ = sumatoria

/x – /2 = (dato – media)2

n = datos totales

34

Ejemplo:

Hallar la varianza para el siguiente conjunto de datos.

30, 38, 59, 11, 15, 20, 21, 17, 12 y 22

∑ /x – /2

s2 = _______________

n

(30-245)2 + (38-245)2 + (59-245)2 + (11-245)2 + (15-245)2 + (20-245)2 +

(21-245)2 + (17-245)2

s2 = ____________________________________________________________________________________________

10

1926.5

s2 = _______________

10

s2 = 192.62

Interpretación.- La varianza de un conjunto de datos simples es de 192.62


∑ f /x – /2

s2 = _________________

N

Donde:

s2 = Varianza


35


N = datos totales de la frecuencia

Ejemplo:

Las edades de un grupo de 60 niños.

x f x * f x – /x – / /x – /2 f /x – /2

8 10 80 -3 3 9 90

10 16 160 -1 1 1 16

12 26 312 1 1 1 26

14 8 112 3 3 9 72

∑f = 60 ∑fx = 664 ∑ f /x – /2 = 204

= 664 = 11.06 = 11

60

∑ f /x – /2

s2 = _________________

N

204

s2 = ________

60

s2 = 3.4

Interpretación.- La varianza de un grupo de 60 niños es de 3.4

36

c) Datos agrupados

∑ f /x – /2

s2 = _______________

N

Donde:

s2 = Varianza


/m – /2 = (marca de la clase – media)2


Ejemplo:

Hallar la varianza de un conjunto de elementos.

Datos f m f * m /m – / /m – /2 f /m – /2

1 – 20 17 10.5 178.5 34.88 1216.61 20682.37

21 – 40 7 30.5 213.5 14.88 221.41 1549.8

41 – 61 7 50.5 353.5 5.12 26.21 183.47

61 - 80 10 70.5 705 25.12 631.01 6310.1

81 - 100 9 90.5 814.5 45.12 2035.8 18322.2

∑f= 50 ∑fm=2269 ∑ f /m – /2 = 47,057.94

= 2269 = 45.38

50

∑ f /x – /2

s2 = _______________

N

37

47,057.94

s2 = _______________

50

s2 = 941.1588

Interpretación.- La varianza para datos agrupados es de 947.15

4.3 La Desviación Estándar

Desviación Media (S / G) es una medida de la fluctuación (dispersión). Es un tipo de

medida con la que se es posible comparar la variabilidad de un conjunto de datos con

otros.

a) Datos simples

√ ∑/x – /2 S = _______________

n

Donde:

S = desviación estándar

√ = raíz cuadrada

∑ = sumatoria


n = datos totales

Ejemplo:

Calcular la desviación estándar para el siguiente conjunto de elementos.

5, 9, 12, 7, 15 y 3

38

= 5 + 9 + 12 + 7 + 15 +3 = 8.5

6

√ ∑/x – /2 S = _______________

N

√ (5-8.5)2 + (9-8.5)2 + (12-8.5)2 + (7-8.5)2 + (15-8.5)2 + (3-8.5)2 S = _______________________________________________________________________________

6

S = √ 16.58

S= 4.07

Interpretación.- La desviación estándar de un conjunto de datos es de 4.07


√ ∑f /x – /2 S = _________________

N

Donde:



∑ f = sumatoria de la frecuencia



39

Ejemplo:

De los siguientes datos de estaturas de un grupo de 60 niños calcule la desviación

estándar.

x f x * f /x – / /x – /2 f /x – /2

8 10 80 3 9 90

10 16 160 1 1 16

12 26 312 1 1 26

14 8 112 3 9 72

∑f= 60 ∑fx=664 ∑f/x – /2 = 204

= 664 = 11.06 = 11

60

√ ∑f /x – /2 S = _________________

N

√ 204 S = _________

60

S = √3.4

S = 1.84

Interpretación.- La desviación estándar para un conjunto de datos en estaturas de 60

alumnos es de 1.84

40

c) Datos agrupados

√ ∑f /m – /2 S = _________________

N

Donde:



∑ f = sumatoria de la frecuencia

/m – /2 =(marca de la clase – media)2


Ejemplo:

Hallar la desviación estándar del siguiente conjunto de datos.

Datos f m f * m /m – / /m – /2 f /m – /2

1 – 20 17 10.5 178.5 34.88 1216.61 20682.37

21 – 40 7 30.5 213.5 14.88 221.41 1549.8

41 – 61 7 50.5 353.5 5.12 26.21 183.47

61 - 80 10 70.5 705 25.12 631.01 6310.1

81 - 100 9 90.5 814.5 45.12 2035.8 18322.2

∑f= 50 ∑fm=2269 ∑ f /m – /2 = 47,057.94

= 2269 = 45.38

50

√ ∑f /m – /2 S = ___________________

N

41

√ 47,057.94 S = _________________

50

S = √ 947.1588

S= 30.68

Interpretación.- La desviación estándar total de un conjunto de datos es 30.68

4.4 Coeficiente de Variación

Es un valor relativo de la desviación estándar con respecto a la medida aritmética y

nos dice que porcentaje de la media aritmética representa la desviación estándar.

S

V = ______ * 100

X

Ejemplo:

Calcular el coeficiente de variación para el siguiente conjunto de datos.

5, 9, 12, 7, 15, 3

= 5 + 9 + 12 + 7 + 15 + 3 = 8.5

6

√ (5-8.5)2 + (9-8.5)2 + (12-8.5)2 + (7-8.5)2 + (15-8.5)2 + (3-8.5)2 S = _______________________________________________________________________________

6

S = √16.58 = 4.07

S

42

V = ______ * 100

X

V = 4.07 * 100

8.5

V = 47.88 %

Interpretación.- La desviación estándar para este conjunto de datos representa el

47.88% de su media aritmética.

43

UNIDAD V

MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRAL

5.1 Deciles

Son 9 valores en cada uno de ellos concentra el 10%.

5.2 Cuartiles

Son 3 valores que cada uno de ellos concentra el 25%

Son los valores de la variable que dividen en cuartos a los datos ordenados, cada

conjunto de datos posee tres cuartiles.

El primer cuartil Q1 es un número tal que cuando mucho el 25% de los datos es

menor en valor que Q1 y cuando mucho el 75% de los datos es mayor que Q1.

El segundo cuartil Q2 es la mediana.

El tercer cuartil Q3 es un número tal que cuando mucho el 75% de los datos es

menor en valor que Q3 y cuando mucho el 25% de los datos es mayor de Q3.

Datos clasificados en orden decreciente

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

5.3 Percentiles

Son 99 el que cada uno de ellos concentra el 1%.

Son los valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en 100

subconjuntos iguales, cada conjunto de datos tiene 99 percentiles.

El k-ésimo percentil es un valor tal que cuando mucho k% de los datos son más

pequeños en valor que pk y cuando mucho (100 – k)% de los datos es mayor.

44

El primer cuartil y el 25avo percentil son iguales, es decir, Q1 = P25. También

Q3 = P75.

La mediana, el segundo cuartil y el 50avo percentil son iguales

Datos clasificados en orden creciente

1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1%

Mín P1 P2 P3 P4 P97 P98 P99 Máx

1. El primer cuartil y el 25vo percentil son iguales, es decir, Q1 = P25. También el

tercer cuartil y el 75vo percentil son iguales Q3 = P75.

2. La mediana, el segundo cuartil y el 50vo percentil son iguales, = Q2 = P50.

Así cuando se pida encontrar 50 o Q2 aplique el procedimiento de la mediana.

Ejemplo:

Con la muestra de 50 calificaciones del examen final del curso de estadística elemental que

se observa, determinar el primer cuartil Q1, el 58vo Percentil y el Tercer cuartil Q3, del

siguiente conjunto de datos.

60 47 82 95 88 72 67 66 68 98

90 77 86 58 84 95 74 72 88 74

77 39 90 63 68 97 70 64 70 70

58 78 89 44 55 85 82 83 72 77

72 86 50 94 920 80 91 75 76 78

Ordenación:

39 58 67 72 74 78 85 89 94

44 60 68 72 75 78 86 90 95

47 63 68 72 76 80 86 90 95

50 64 70 72 77 82 88 91 97

45

55 64 70 74 77 82 88 92 98

58 66 70 74 77 83

1) Primer cuartil

n= 50 y k=25; ya que Q1 = P25

n * k : (50)(25) = 12.5

100 100

2) Encontrar P58

n= 50 y k=58; P=58

n * k : (50)(58) = 29

100 100

3) Tercer cuartil

n= 50 y k=75; ya que Q3 = P75

Si k > 50 usar 100 – k

100-75 = 25

n * k : (50)(25) = 12.5

100 100

5.4 Cuartil medio

Es el valor numérico que está a la mitad del 1er y 3er cuartil.

Cuartil medio = Q1 + Q3 = 67 + 86 = 76.5

2 2

46

UNIDAD VI

MEDIDAS DE FORMA

6.1 Concentración

Mide si los valores de la variable están más o menos uniformemente repartidos a lo

largo de la muestra.

∑(p - q)

IG = ___________

∑ P

n1+n2+n3…

P = ___________ * 100

n

(x1n1)+(x2n2)

P = ___________________ * 100

(x1n1)+(x2n2)

El índice de Gini puede tomar valores de 0 y 1.

IG = 0 Concentración mínima. La muestra está uniformemente repartida a todo

un rango.

IG = 1 Concentración máxima. Un solo valor de la muestra acumulada es del

100% de los resultados.

Ejemplo:

Calcular el Índice de Gini de una serie de datos con los sueldos de una empresa en millones

de pesetas.

47

Sueldos

(x)

Frecuencia

absoluta

simple (n)

Frecuencia

acumulada

(f.a)

Frecuencia

relativa

simple (f.r)

Frecuencia

relativa

acumulada

x * n

q

p - q

3.5 10 10 25% 25% 35,0 13,6 10,83

4.5 12 22 30% 55% 89,0 34,6 18,97

6.0 8 30 20% 75% 147,0 57,2 19,53

8.0 5 35 12.5% 87.5% 187,0 74,8 15,84

10.0 3 38 7.5% 95% 217,0 84,4 11,19

15.0 1 39 2.5% 97.5% 232,0 90,3 7,62

20.0 1 40 2.5% 100% 257,0 100,0 0

∑ = 435,0 = 83,99

∑ (p - q)

IG = ___________

∑ P

83,99

IG = __________

435,0

IG = 0,19

Interpretación.- Indica que la muestra es bastante uniforme repartida en su nivel de

concentración no es excesivamente alto.

6.2 Asimetría

Mide si la curva tiene una forma simétrica, es decir, si respecto al centro de la misma

(centro de simetría) los segmentos de curva que quedan a la derecha e izquierda son

similares.

48

Eje de Eje de Eje de Simetría asimetría + asimetría - Curva simétrica Curva asimétrica negativa Curva asimétrica positiva

Para medir el nivel de asimetría utilizaos el coeficiente de Asimetría de Fisher.

(1/n) * ∑ (x – )3

P = _______________________

((1/n) * ∑ (x – )2 * n)3/2

g1 = 0 Distribución simétrica.- Existe la misma concentración de valores a la derecha y

a la izquierda de la media.

g1 > 0 Distribución asimétrica positiva.- Existe mayor concentración de valores a la

derecha de la media de la izquierda.

g1<0 Distribución asimétrica negativa.- Existe mayor concentración de valores a la

izquierda de la media que su derecha.

Ejemplo:

Calcular el coeficiente de Asimetría de Fisher en la serie de datos referidos a la estatura de

un grupo de alumnos.

x f.ab simple f.ab acumulada f.r simple f.r acumulada

1,20 1 1 3.3% 3.3%

1,21 4 5 13.3% 16.6%

1,22 4 9 13.3% 30.0%

1,23 2 11 6.6% 36.6%

49

1,24 1 12 3.3% 40.0%

1,25 2 14 6.6% 46.6%

1,26 3 17 10.0% 56.6%

1,27 3 20 10.0% 66.6%

1,28 4 24 13.3% 80.0%

1,29 3 27 10.0% 90.0%

1,30 3 30 10.0% 100.0%

Media= 1,253

(1/n) * ∑ (x – )3

P = ______________________________

((1/n) * ∑ (x – )2 * n)3/2

(1/30) * 0,000110

P = ______________________________

((1/30) * 0,030467))3/2

P = - 0,1586

Interpretación.- El coeficiente de Fisher muestra que el resultado -0,1586 representa la

distribución asimétrica negativa, lo que en la gráfica estará cargado a la izquierda.

6.3 Curtosis

Mide si los valores de distribución están más o menos concentrados alrededor.

Es el grado de alargamiento de una curva correspondiente a una distribución de

frecuencia (K). Existen 3 tipos de curva son:

1. Curva normal o curva de mesocúrtica.- Tiene um coeficiente de curtosis K igual

a 0.263.

50

2. Curva platicúrtica.- Tiene menor altura que la curva normal, su coeficiente de

curtosis es menor a 0.263.

3. Curva Leptocúrtica.- Tiene mayor altura que la altura normal, su coeficiente de

curtosis es mayor a 0.263.

Curva platicurtica Curva mesocurtica Curva leptocurtica

Reducida concentración Concentración media Concentración alta

Coeficiente de Curtosis.- Analiza el grado de concentración que representan los

valores alrededor de la zona central de distribución.

(1/n) * ∑ (x – )4 * n

P = _____________________________ -3

((1/n) * ∑ (x – )2 * n)3/2

gc = 0 Distribución mesocúrtica.

gc > 0 Distribución leptocúrtica.

gc < 0 Distribución platicúrtica.

x f.ab simple f.ab acumulada f.r simple f.r acumulada

1,20 1 1 3.3% 3.3%

1,21 4 5 13.3% 16.6%

1,22 4 9 13.3% 30.0%

1,23 2 11 6.6% 36.6%

51

1,24 1 12 3.3% 40.0%

1,25 2 14 6.6% 46.6%

1,26 3 17 10.0% 56.6%

1,27 3 20 10.0% 66.6%

1,28 4 24 13.3% 80.0%

1,29 3 27 10.0% 90.0%

1,30 3 30 10.0% 100.0%

(1/n) * ∑ (x – )4 * n

P = _____________________________ -3

((1/n) * ∑ (x – )2 * n)3/2

(1/30) * 0,00004967

P = _____________________________ -3

((1/30) * 0,3046667

P = -1,39

Interpretación.- Se trata de una distribución platicúrtica.

6.4 El Teorema de Chebyshev

Establece una relación entre el % mínimo de datos que se concentran alrededor de la

media tomando kG a la derecha y kG a la izquierda y se expresa:

Para cualquier serie de datos podemos establecer que el % mínimo de datos

comprendidos en el intervalo para cualquier serie de datos podemos establecer que el

% mínimo de datos comprendidos en el intervalo.

+ - KG

52

(1 – 1 ) %

K2

Para K = 2 este por ciento mínimo establecido es de 75%.

Para K = 3 este por ciento mínimo establecido es de 88%.

53

UNIDAD VII

LA CORRELACIÓN LINEAL

7.1 La Correlación lineal

El objetivo es medir la intensidad de una regresión lineal entre dos variables. Se

analizan algunos diagramas de dispersión que muestran diferentes relaciones entre

variables independientes (o de entrada) y variables dependientes (o de salida).

Si crece independiente (x), no cambia dependiente (y).- No hay correlación.

Si crece independiente (x), y crece dependiente (y).- Hay correlación.

Correlación Positiva.- Significa que los individuos que obtienen puntuaciones

altas en una variable, tienden a obtener puntuaciones altas en la otra.

Correlación Negativa.- Significa que los individuos que obtienen puntuación

baja en una variable tienden a obtener puntuación alta en la segunda variable.

No hay correlación Correlación positiva Correlación positiva alta

Correlación negativa Correlación negativa alta

54

Correlación positiva perfecta Correlación negativa perfecta

Horizontal: no hay correlación Vertical: no hay Correlación

No hay correlación lineal

55

Regresión curvilinea No hay relación

7.2 El coeficiente de correlación lineal

Es la medida numérica de la intensidad de la relación lineal entre dos variables.

El coeficiente refleja la consistencia del efecto que el cambio en una variable tiene

sobre la otra.

El valor del coeficiente de correlación lineal ayuda a responder a la pregunta ¿existe

una correlación lineal entre las dos variables en consideración?

El coeficiente de correlación lineal (r) siempre tiene un valor entre -1 y +1

Valor -1.- Indica una correlación negativa perfecta.

Valor +1.- Significa una correlación positiva perfecta.

Ejemplo:

Valor + de r.- Edad y altura de un niño, a medida que aumenta de edad se vuelve más

alto.

Valor – de r.- Antigüedad y valor de reventa de un automóvil, a media que envejece el

automóvil su reventa disminuye.

El valor de r está redefinido por la formula del coeficiente de Correlación de Pearson.

56

7.3 Coeficiente de correlación de Pearson

Se utiliza para medir la relación entre dos variables; se representa como r (para

muestras) y p (ro para la población).

Suma de cuadrados de XY

r = ______________________________________________________________

√(suma de cuadrados de X) (suma de cuadrados de Y)

(Suma de Y)2

Suma de cuadrados de y = ________________________________

n

(Suma de X) (Suma Y)

Suma de cuadrados de XY = suma de XY - ____________________________

n

El valor de r es un número que varia de -1 a 1

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra las utilidades de una compañía en millones de dólares en

siete años de existencia, por lo que desea saber la relación que existe entre las

utilidades dela compañía y los años de antigüedad de ésta.

Año (x) Utilidades (y)

1 6.7

2 7.5

3 8.3

4 10.2

57

5 11.1

6 12.5

7 14.6

X Y X * Y X2 Y2

1 6.7 6.7 1 44.89

2 7.5 15.0 4 56.25

3 8.3 24.9 9 68.89

4 10.2 40.8 16 104.04

5 11.1 55.5 25 123.21

6 12.5 75.0 36 156.25

7 14.6 102.2 49 213.16

∑X=28 ∑Y=70.9 ∑XY= 319.9 ∑X2= 140 ∑Y2= 7696.69

Utilidades

15

12

9

6

1 2 3 4 5 6 7 8 Año

SCX = ∑x2 – (∑(X))2

n

SCX = 140 – (28)2 = 28

7

58

SCY = ∑Y2 – (∑(Y))2

n

SCX = 766.69 – (70.9)2 = 48.57

7

SC(XY) = ∑XY – (∑X∑Y)

n

SC(XY) = 319.9 – (28)(70.9) = 28

7

r = _____________ Suma de cuadrados de XY _____________________

√(suma de cuadrados de X) (suma de cuadrados de Y)

r = ___________36.3 _______

√(28) (48.57)

r = ____ ____36.3 _____

√1,359.96

r = _____36.3 ____

36.88

r = 0.98

Interpretación.- Este valor al ser muy cercano a uno, indica que existe una fuerte

correlación lineal, lo que significa que la utilidad de la Cía, depende casi en un 100% de

la antigüedad de esta.

59

7.4 La Regresión Lineal

La regresión estudia la relación entre dos variables (X, Y) restringiendo una de la otra,

la cual lleva el nombre de variable dependiente. El valor de la otra variable se llama

independiente.

La regresión lineal es un método estadístico que se emplea para predecir el valor de

una variable Y, en función de otra variable X o cuando X y Y están correlacionadas.

El análisis de la regresión lineal encuentra la ecuación de la recta que describe mejor

la relación entre dos variables, una aplicación de esta ecuación es hacer Predicciones.

El mejor ajuste, representa el valor estimado de Y corresponde a una partícula de X, el

método que se utiliza para obtener la recta de mejor ajuste es el de mínimos

cuadrados.

= mx + b

Suma de cuadrados de X-Y

m = ____________________________________________

Suma de cuadrados de X

SC (XY) SC (XY) ∑ XY - ∑(X) ∑(y)

n

60

m = __________ ______ = _______________ = _______________________

SC (X) SC (X) ∑X2 – (∑(n)2

n

(Suma de Y) - ((pendiente)(suma de x))

b = _________________________________________________

número

(S Y) – ((m) (S X))

b = __________________________________

#

Una manera para verificar el ejercicio, es trazando el diagrama de dispersión y

observar si los puntos en el diagrama sugerir si una relación lineal es procedente al

cálculo de la recta de mejor ajuste.

15

12

9

6

1 2 3 4 5 6 7 8

61

Recta de mejor ajuste.- Son los valores positivos que se encuentran en la línea azul y

los negativos en la verde, si la recta es la de mejor ajuste, la suma de los cuadrados de

estas y las diferencias, se minimizan, se hace lo más pequeña posible.

15

12

9

6

1 2 3 4 5 6 7 8

15

12

9

6

1 2 3 4 5 6 7 8

Recta de # del mejor ajuste.- Puntos distintivos

62

Ejemplo:

Con el fin de aplicar las formulas anteriores. A continuación se presentan los datos

correspondientes a las calificaciones obtenidas en un examen de ingreso

correspondiente a la universidad, en escala de cero al cien, y las calificaciones

promedio obtenidas en el primer semestre de la carrera de economía en la

universidad en una escala del cero al cuatro.

Examen de

ingreso (x)

Calificaciones

promedio (y)

x * y X2 (x * y)2

40 0.8 32.0 1600 1,024

48 1.2 57.6 2304 3,317.76

53 1.5 79.5 2809 6,320.25

55 1.6 88.0 3025 7,744

62 2.0 124.0 3844 15,376

65 2.7 175.5 4225 30,800.25

66 2.1 138.6 4356 19,209.96

68 2.4 163.2 4624 26,634.24

70 2.6 182.0 4900 33,124

72 2.0 144.0 5184 20,736

75 2.7 202.5 5625 41,006.25

75 3.2 240.0 5625 57,600

76 2.9 220.4 5776 48,576.16

80 3.0 240.0 6400 57,600

86 3.5 301.0 7396 90,601

∑x= 991 ∑y= 34.2 ∑xy= 2388.3 ∑xy= 67693

SC(XY) = ∑XY - ∑(X) ∑(Y)

n

SC(XY) = 2388.3 – (991)(34.2)

15

63

SC(XY) = 2388.3 – 2,259.48

SC(XY) = 128.82

SC(X) = ∑X2 - ∑(X)2

N

SC(X) = 67693 - (991)2

15

SC(X) = 67693 – 65,475.01

SC(X) = 2,220.93

SC (XY)

m = __________

S( X)

128.82

m = __________

2,220.93

m = 0.058 (TAMBIÉN SE CONOCE COMO PENDIENTE)

(S Y) – ((m) (S X))

b = _______________________

#

(34.2) – ((0.058) (991))

b = _____________________________

15

64

34.2 – 57.478

b = __________________

15

- 23.278

b = __________________

15

b = -1.55 (También se le conoce como Ordenada al origen o Intercepto).

= mx + b

= 0.058 X + (-1.55)

= 0.058 X - 1.55 recta del mejor ajuste

Supongamos que las calificaciones en el examen de ingreso fueron de 45, entonces:

= mx + b

= 0.058(45) + (-1.55)

= 2.61 – 1.55

= 1.06

Interpretación.- Se predice una calificación de 1.06, cualquier predicción basada en

rectas de mínimos cuadrados deberá considerarse promedio.

65

4

3 (85, 3.38)

(78, 2.97)

2

1 (45, 1.06)

40 45 55 60 65 70 75 80 85 90

66

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Anderson Sweeney, Williams (2005). Estadística para Administración y Economía.

Editorial Thomson. México.

Chistensen (1990). Estadística Paso a Paso. 3ra edición. Editorial Trillas. México.

Kuby, Johnson (2001). Estadística Elemental. Editorial Math.

Quesada López, Isidoro (1989). Curso de Ejercicios de Estadística. Editorial Alhambra.

México.

Robles Almeraya, Gloria (1995). Estadística Descriptiva e Inferencial I. Teoría y

Práctica. Editorial McGraw-Hill. México.

Ruíz Camacho, Morcillo y García Galisteo, Julio (2000. Curso de Probabilidad y

Estadística. Editorial la Malaga. Manuales de España.

Mate Jimenez, Sarabia (1993). Estadística Descriptiva. Elementos teóricos, cuestiones

y aplicaciones. Editorial CLAGSA.

Sote, Arturo (S.F). Principios de Estadística. Caracas: Panapo de Venezuela.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

Conceptos básicos de Estadística (S.F). Texto completo en

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/estadistica.h

tm

67

Estadística.

Apuntes de investigación y divulgación científica.

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Prolongación Paseo de la Reforma No. 530, 2º piso,

Delegación Álvaro Obregón, C.P. 01219.

Ciudad de México, Distrito Federal.

Primera edición: marzo de 2007.

Autor: Alberto Vega Hernández.

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Manual de distribución gratuita, prohibida su venta.

Impreso en México.

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