TEMA 1 Estadística Descriptiva

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TEMA 1Estadística Descriptiva

IntroducciónComparativos gráficosMedidas de tendencia

centralMedidas de dispersión

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¿Haz escuchado el término de estadística?

•A diario recibimos muchos datos ó información… en conversaciones, libros y televisión, acerca de estadísticas.

•Casi cualquier estudio científico usa la estadística como herramienta para reportar resultados.

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Importancia de la Estadística La estadística es una herramienta muy útil

que nos ayuda a tomar decisiones en un ambiente de incertidumbre, es decir, dónde esta presente la variabilidad.

Ejemplos: En Planeación de la producción, saber cuánto

voy a comprar de materiales de acuerdo a lo que se espera sean las ventas (pronóstico estadístico).

En la naturaleza hay variabilidad. Un animador digital es capaz de “imitar” la variabilidad de la naturaleza en sus diseños.

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Población y Muestra

MuestraPoblación

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¿Qué tienen en común estos objetivos? El valor de la característica de interés cambia de individuo a

individuo (la inflación, el número de glóbulos rojos, la puntuación en matemáticas, la evaluación a los profesores de cursos en el área de las matemáticas, el clima organizacional, el nivel de desempeño laboral).

A estas características les llamaremos variables. Se representan con letras mayúsculas, y los valores que toma con letras minúsculas

X = Número de estudiantes que llegan tarde x=0, 1, 2,…, 15 El individuo puede ser una persona, un país, un producto de la

línea de producción, etc. Dato: Es el valor de la variable observado en un individuo Ejemplo de variable: temperatura en Monterrey en un día

de Enero 0°C, 17°C representan dos datos diferentes.

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Estadística inferencial

(se apoya en la probabilidad)

Estadística descriptiva

Ramas de la Estadística

La estadística es la rama de la investigación científica que proporciona

métodos para organizar y resumir información

y usar ésta para obtener diversas conclusiones

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Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva

Distribuciones de frecuencias(tabulación de

datos)

Representaciones gráficas

Medidas descriptivas

Tendencia central

Dispersión

Histograma

Diagrama de barras

Diagrama de pastel

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¿Cuál es la finalidad de un gráfico?

Por medio de un gráfico se puede visualizar el comportamiento de un conjunto de datos. Un gráfico habla más que mil palabras. Dependiendo si la variable es cualitativa ó cuantitativa, se selecciona el tipo de gráfico.

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Resúmenes gráficosReflexión

Observa la escala en cada gráfica.

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Nivel Educativo Número de casos (frecuencia absoluta)

Frecuencia Relativa

Número ACUMULADO de casos (frecuencia ACUMULADA)

Frecuencia Relativa ACUMULADA

Primaria o menos 12 0.12 12 0.12Secundaria 26 0.26 38 0.38Preparatoria 45 0.45 83 0.83Profesional o postgrado 17 0.17 100 1.00

Total 100 1.00

¿Qué información brinda una tabla de frecuencias?¿Para qué tipos de variables, cualitativas ó cuantitativas, se puede usar una tabla de frecuencias?¿Qué es frecuencia absoluta?, ¿Qué es frecuencia relativa? ¿Qué es frecuenciaAcumulada?Para la siguiente tabla, distingue qué tipo de variable es el nivel educativo. ¿Qué proporción de individuos tiene al menos estudios de preparatoria?

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Histograma El objetivo de un

histograma es resumir la información de una variable cuantitativa.

Pasos: Se secciona la

información en clases ó intervalos

Se cuenta el número de datos en cada clase. Esta se llama frecuencia

Se puede calcular la frecuencia relativa

Se grafica un histograma, teniendo como eje “x” las clases, como eje “y” las frecuencias ó frecuencias relativas. En cada clase se dibuja un rectángulo que tiene como altura su frecuencia ó frecuencia relativa.

Sesgo a la derecha

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¿Cómo construir un histograma?

1. Ordenar los datos2. Obtener el Rango: Max-Min3. Definer el número de clases.

4. Definir la amplitud de clase

5. Generar la tabla de Frecuencia6. Dibujar el histograma

MinMaxA nclasesn .

nMinMaxAmplitud

DatoHemoglobina

(gr/cm3)

1 18.5

2 8.2

3 10.6

4 16.7

5 6.2

6 16.9

7 13

8 10.1

9 9.1

10 11.9

11 14.1

12 15.8

13 14.4

14 10.7

15 11.6

16 11.9

17 9.3

18 12.1

19 15

20 14.7

Paso 1. Determine la cantidad de datos (n)

n=20

Distribución de Frecuencias

Paso 2. Ordene los datos de menor a mayor

Distribución de FrecuenciasDato

Hemoglobina (gr/cm3)

Hemoglobina (ordenados)

1 18.5 6.2

2 8.2 8.2

3 10.6 9.1

4 16.7 9.3

5 6.2 10.1

6 16.9 10.6

7 13 10.7

8 10.1 11.6

9 9.1 11.9

10 11.9 11.9

11 14.1 12.1

12 15.8 13

13 14.4 14.1

14 10.7 14.4

15 11.6 14.7

16 11.9 15

17 9.3 15.8

18 12.1 16.7

19 15 16.9

20 14.7 18.5

Paso 3. Identifique el Valor Mayor (VM) y el Valor menor (Vm)

VM =18.5Vm = 6.2




1 18.5 6.2

2 8.2 8.2

3 10.6 9.1

4 16.7 9.3

5 6.2 10.1

6 16.9 10.6

7 13 10.7

8 10.1 11.6

9 9.1 11.9

10 11.9 11.9

11 14.1 12.1

12 15.8 13

13 14.4 14.1

14 10.7 14.4

15 11.6 14.7

16 11.9 15

17 9.3 15.8

18 12.1 16.7

19 15 16.9

20 14.7 18.5

Distribución de Frecuencias Representación Gráfica

Se establecen los límites entre los que se encuentran todos los datos de la muestra.

6.2 VM=18.5Vm=

Paso 4. Obtenga el Rango (R)

R = VM - Vm R = 18.5 - 6.2

R = 12.3




1 18.5 6.2

2 8.2 8.2

3 10.6 9.1

4 16.7 9.3

5 6.2 10.1

6 16.9 10.6

7 13 10.7

8 10.1 11.6

9 9.1 11.9

10 11.9 11.9

11 14.1 12.1

12 15.8 13

13 14.4 14.1

14 10.7 14.4

15 11.6 14.7

16 11.9 15

17 9.3 15.8

18 12.1 16.7

19 15 16.9

20 14.7 18.5


Se obtiene la distancia que hay entre el límite inferior y el límite superior.

6.2 VM=18.5Vm=

R= VM – Vm

R= 18.5 - 6.2R= 12.3

Paso 5. Obtenga el número aproximado de intervalos (k)

k = sqrt(n)

Tenemos que n=20 por lo tanto

k = sqrt(20)

k = 4.47

Redondeandok ≈ 5




1 18.5 6.2

2 8.2 8.2

3 10.6 9.1

4 16.7 9.3

5 6.2 10.1

6 16.9 10.6

7 13 10.7

8 10.1 11.6

9 9.1 11.9

10 11.9 11.9

11 14.1 12.1

12 15.8 13

13 14.4 14.1

14 10.7 14.4

15 11.6 14.7

16 11.9 15

17 9.3 15.8

18 12.1 16.7

19 15 16.9

20 14.7 18.5


Se divide la sección que tenemos entre el número de grupos (clases) que se obtuvo con la fórmula (5 grupos)

6.2

1 2 43

18.5

5

R = 12.3

Paso 5. Obtenga la longitud de cada intervalo (W)

Distribución de FrecuenciasDato Hemoglobina

1 6.2

2 8.2

3 9.1

4 9.3

5 10.1

6 10.6

7 10.7

8 11.6

9 11.9

10 11.9

11 12.1

12 13

13 14.1

14 14.4

15 14.7

16 15

17 15.8

18 16.7

19 16.9

20 18.5

kRW

46.25

3.12 W

Dado que R = 12.3 y k ≈ 5


Se calcula el ancho que debe tener cada grupo (clase).

6.2

1 2 43

18.5

5

R=12.3

2.46 2.46 2.46 2.46 2.46

Paso 6. Construya los 5 intervalos con una longitud de 2.46.


1 6.2

2 8.2

3 9.1

4 9.3

5 10.1

6 10.6

7 10.7

8 11.6

9 11.9

10 11.9

11 12.1

12 13

13 14.1

14 14.4

15 14.7

16 15

17 15.8

18 16.7

19 16.9

20 18.5

[6.2,8.66)

[8.66,11.12)

[11.12,13.58)

[13.58,16.04)

[16.04,18.5]

Corchetes [ ]: Se incluye el valor en el Intervalo

Paréntesis (): No se Incluye el valor en el Intervalo


Se establecen los valores que separan un grupo (clase) de otro.

6.2 18.5

2.46 2.46 2.46 2.46 2.46

8.66 11.12 16.0413.58

R=12.3

Paso 7. Identifique y cuente los datos que caen dentro de cada Intervalo.


1 6.2

2 8.2

3 9.1

4 9.3

5 10.1

6 10.6

7 10.7

8 11.6

9 11.9

10 11.9

11 12.1

12 13

13 14.1

14 14.4

15 14.7

16 15

17 15.8

18 16.7

19 16.9

20 18.5

Intervalo Datos fi

[6.2,8.66) 6.2,8.2 2

[8.66,11.12) 9.1,9.3,10.1,10.6,10.7 5

[11.12,13.58) 11.6,11.9,11.9,12.9,13 5

[13.58,16.04) 14.1,14.4,14.7,15,15.8 5

[16.04,18.5] 16.7,16.9,18.5 3

fi : Frecuencia Absoluta

De esta manera se obtiene la distribución de Frecuencia Absolutas



Intervalo fi [6.2,8.66) 2

[8.66,11.12) 5

[11.12,13.58) 5

[13.58,16.04) 5

[16.04,18.5] 3

Total 20


A esta gráfica se le conoce como histograma de frecuencias absolutas.

6.2

1234567

8.66 11.12 16.0413.58 18.5

Frec

uenc

ia

Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm3)

Para obtener las frecuencia relativas (hi ) divida cada frecuencia absoluta entre el Total



Intervalo fi hi

[6.2,8.66) 2 2/20 0.1

[8.66,11.12) 5 5/20 0.25

[11.12,13.58) 5 5/20 0.25

[13.58,16.04) 5 5/20 0.25

[16.04,18.5] 3 3/20 0.15

Total 20 20/20 1


Cuando se grafican las frecuencias relativas se conoce como histograma de frecuencias relativas y se representan en porcentajes.

6.2

510152025

8.66 11.12 16.0413.58 18.5

Frec

uenc

iaR

elat

iva

(%)

Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm3)

3035

La frecuencia absoluta acumulada (fai) y la frecuencia relativa acumulada (hai ) es la suma de las frecuencias anteriores


Intervalo fi faihi hai

[6.2,8.66) 2 2 0.1 0.1

[8.66,11.12) 5 7 0.25 0.35

[11.12,13.58) 5 12 0.25 0.6

[13.58,16.04) 5 17 0.25 0.85

[16.04,18.5] 3 20 0.15 1

Total 20 1


6.2

1234567891011121314151617181920

8.66 11.12 16.0413.58 18.5Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm3)

Frec

uenc

ia A

bsol

uta

Acu

mul

adaCuando se

grafican las frecuencias absolutas

acumuladas se conoce como histograma de

frecuencias absolutas

acumuladas

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Completa los espacios en blanco en la siguiente tabla de frecuencias. La variable de estudios son los años de escolaridad de los adultos de cierta colonia.

frecuencia frecuencia acumulada

frecuencia relativa

frecuencia relativa

acumulada

0 - 6 años 36 10.7%

7 - 9 años 38.5%

10 - 12 años 72.5%

13 - 17 años 97.0%

18 - 22 años 100.0%

Total 335 -- 100% --

33

Solución:

frecuencia frecuencia acumulada

frecuencia relativa

frecuencia relativa

acumulada

0 - 6 años 36 36 10.7% 10.7%

7 - 9 años 93 129 27.8% 38.5%

10 - 12 años 114 243 34.0% 72.5%

13 - 17 años 82 325 24.5% 97.0%

18 - 22 años 10 335 3.0% 100.0%

Total 335 -- 100% --

Asociadas a ideas como: valor esperado, representante de los datos, punto de equilibrio.

Medidas de centralización

Media aritmética

Mediana

ModaTambién llamadas medidas de localización.

Media aritméticaSe representa por x y se calcula sumando todos los datos y dividiéndolos entre el total de ellos.

muestra para n

xx

Ejemplo, 2,2, 3, 3, 4, 5, 5, 7 su media es 31/8 = 3.875

suma dato x

datos de número N on aritmética Media o x

población para N

x

El Vaticano tiene un promedio de dos Papas por

kilómetro cuadrado.

Valor de los datos que ocupa la posición central cuando los datos se ordenan según su tamaño.

Ejemplos, 2,2, 3, 3, 4, 5, 5, 7 su mediana es 3 ó 4, o bien 3.5 si tiene sentido, según el tipo de datos.A, A, A, A, B, B, B, C, C, C, C, D, D, D, F Su mediana es C

7 datos 7 datosMediana

Mediana

• Mediana Muestral: se obtiene al ordenar primeramente las n observaciones de menor a mayor, (incluyendo valores repetidos). Entonces:

• Si n es impar = (n + 1)/2 valor ordenado• Si n es par = promedio de (n/2)ésimo y (n/2 + 1)ésimo

valores ordenados

Ejemplo salarios en dolares30.70 34.1 33.8 32.50 32.90 34.5 36.0

• Moda: Es el valor que más se repite en conjunto de datos

Ejemplo, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7 en este caso es bimodal (hay dos modas) y son 3 y 5.

A, A, A, A, A, B, B, B, C, C, C, C, D, D, D, FLa moda es A

Moda

Una distribución simétrica es la que se puede dividir en dospartes iguales. En estas distribuciones el valor de la media, mediana y moda son iguales.

¿Qué es una distribución simétrica?

Distribución Normal

Características: Simetría alrededor

de Forma de campana La mayoría de los

datos se encuentran a una distancia de tres desviaciones estándar de la media.

¿Cómo es una distribución sesgada hacia la derecha ó con sesgo positivo?

En este caso, la media es mayor que la mediana.

La mediana divide a un conjunto de datos en dos. Pero en este caso, el 50% de los datos menores a la mediana están más concentrados y el 50% de los datos mayor a ella, están más alejados entre sí.

¿Cómo es una distribución sesgada hacia la izquierda ó con sesgo negativo?

En este caso, la media es menor que la mediana.

La mediana divide a un conjunto de datos en dos. Pero en este caso, el 50% de los datos menores a la mediana están más alejados entre sí y el 50% de los datos mayor a ella, están más concentrados.

Medidas de dispersión

Asociadas a ideas como: variación, dispersión entre los datos, distancia de los datos respecto a una medida de centralización, …

Rango

Varianza

Desviación estándar

Medidas de Dispersión

También se conocen como medidas de variabilidad.

Las medidas de tendencia central pueden no ser suficientes para describir totalmente un conjunto de datos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

• ¿Cuál es la diferencia?• ¿Qué se puede hacer

para describir mejor cada muestra?

1:

2:

3:

Estas 3 muestras son idénticas en su media y su mediana,

Rango

Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. Rango R = Max – Min

EjemploDe los datos 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7El rango es R=7 – 2 = 5

Varianza

1)( 2

2

n

xxs N

x

22 )(

muestra Población

s2 = varianzax = dato = media aritmética de la muestran = tamaño de la muestrax

= varianzax = dato = media aritmética de la poblaciónn = tamaño de la población

2

Desviación estándar

1)( 2

n

xxs N

x

2)(

muestra Población

s = desv. Estándar x = dato = media aritmética de la muestran = tamaño de la muestrax

= desv. estándarx = dato = media aritmética de la poblaciónn = tamaño de la población

48

1. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos:

2 4 3 5 2 2 0 1

R = Rango 5; Varianza 2.5536 y Desviación Estándar 1.5980


-2 -4 -3 -5 -2 -2 0 -1R = Rango 5; Varianza 2.5536 y Desviación Estándar 1.5980


6 12 9 15 6 6 0 3R = Rango 15; Varianza 22.9821 y Desviación Estándar 4.7940

Ejercicio:

49

1. La mitad de los datos están por debajo de la media.2. Cuando hay dos valores que se repiten más que los demás se dice que la

moda no existe.3. La mediana es el dato que se presenta en un 50% de las veces.4. Al comparar dos grupos de datos del mismo tipo de medición, el grupo que

tiene menor varianza es el que tiene una mayor concentración de datos cerca de su media.

5. En un tabla de frecuencias, la suma de las frecuencias relativas es 1.0.6. La media y la mediana son medidas de tendencia central e indican la

ubicación (locación) central de los datos.

Indica si las siguientes expresiones son siempre verdaderas (V) o no necesariamente verdaderas (F):

50

7. Si la media aritmética de un grupo de n datos es positiva, entonces los n datos son no-negativos.

8. La varianza de cualquier base de datos debe ser no negativa.9. La desviación estándar entre los datos: 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, es mayor a

cero. (Sin realizar cálculos).10. El rango no puede tomar valores negativos.

Indica si las siguientes expresiones son siempre verdaderas (V) o no necesariamente verdaderas (F):

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