Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en

componentes

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§ 1.3 Algebra tensorial en componentesa) Bases diádicas y componentes tensoriales en (2)

1. Teorema de las bases diádicas.

2. Definición y cálculo de componentes de tensores de 2º orden.

3. Escritura matricial e interpretación de las columnas en los casos usuales. Ejemplos

b) Relación entre las componentes generales: fórmulas de subida y bajada de índices en (2)

1. A partir de las componentes t i j y de las componentes t i j obtener las restantes en cada caso

2. Ejercicio: lo mismo a partir de las componentes t i j y t i j

c) Bases triádicas y componentes tensoriales en (3) y en (p)

1. Teorema de las bases triádicas. Generalización: bases p-íádicas en (p)

2. Definición y cálculo de las componentes de tensores de orden 3. Ejemplos.

3. Escritura matricial e interpretación de los casos usuales.

4. Fórmulas de subida y bajada de índices.

d) Operaciones con tensores mediante algoritmos matriciales1. Suma y múltiplo escalar

2. Contracción tensorial. Estudio de casos habituales.

e) Cambios de base generales.1. Formas matriciales de transformación de componentes homónimas para tensores de

orden 1, 2 o 3.2. Caso particular de bases canónicas: matrices ortogonales.

1.3 a) Bases diádicas y componentes tensoriales en (2)

�Definición: Se llama forma diádica a toda combinación lineal de díadas del

tipo 1(a1b1) + 2(a2b2) + … + m(ambm) Î (2), con iÎ, mÎ�Teorema: Si {ai} y {bi} son bases de , entonces {aibj} es base de (2);

luego todo tensor de segundo orden es una forma diádica.

demostración: bastará ver que las 9 díadas {aibj} son lin. independientes:…

�Bases usuales: {eiej}: canónica; generales: {gigj}: cova-contra; {gigj}:

contra-contra; {gigj}:…;{gigj}:…

�Desarrollos diádicos: T = Tij eiej = t ij gigj = tij g

igj = t ijgigj = t ijgigj.

las componentes se denominan: canónicas, mixtas contra-covas, cova-covas

(o covas puras), contras puras y mixtas cova-contras (respectivamente).

�Cálculo de componentes: i) canónicas: Tij = ei·T·ej = ei·(T·ej); Ejemplos: 1) Si {i, j, k}{ei} es una base de , describir los tensores 1 , ab como forma

diádica con díadas eiej., siendo a = 2i – k, b = 3j + 2 k. ¿Escritura matricial?

ii) generales: tij = gi·(T·gj) , tij = gi·(T·gj) ; ti

j = gi·T·gj , tij = gi·T·gj .

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�Escritura matricial de las componentes e interpretación

1º) Componentes canónicas: Tij = ei·T·ej = i-ésima compte. canónica de T·ej.

Luego, escritura matricial: [Tij]i=fil,j=col =

Ejemplos de comptes. ortonormales: escritura matricial de las componentes canónicas de:díada ab, tensor axial a, tensor unidad 1, tensor proy. al eje e , tens. proy. al plano {e} .

2º) Componentes generales: t ij = gi·T·gj = i-ésima compte. contra de T·gj ; tij = gi·T·gj = ...

Luego: [t i j]i=fil, j=col = análogo: [t ij]i=fil, j=col =

Resto de componentes generales: ejercicio análogo.

Ejemplos: 1) Componentes generales de la díada: ab = aibjgigj = aibjgigj = aib

jgigj = aibjgigj. Cálculo matricial en los 4 casos

2) Componentes generales del tensor unidad 1: porqué se llama también el tensor métrico.

1 = ijgigj = i

jgigj = gijgigj = gijgigj , pq.: Ii

j = gi·gj ; Iij = gi·g

j ; Iij = gi·gj ; Iij = gi·gj

3) tensor axial a ; 4) proy.-vect. al eje e , tensor proy. al plano {e}, … y su escritura matricial

Ejemplo: Si {gi} = {a, b, a×b} es una base de , con a b, calcular el tensor T := ab + ba

+ a× + b× como forma diádica con díadas gigj y escribir su matriz cova-cova correspondiente.

1.3 b) Relación entre componentes generales: fórmulas de subida y bajada de índicesSe trata de deducir los tipos restantes de componentes a partir de un tipo dado. Se trata de cambios de base entre una base y su recíproca. En (2) hay 4 casos:

1.- dadas las componentes mixtas contra-covas de un tensor T, t ij , deducir las demás

�cova-covas: tij = gihth

j [tij] = G·[thj] bajada de pre-índice.

�(lectura: se baja un preíndice premultiplicando por la matriz de Gram, G = [gij])

�motivo: T = tij gigj = ti

j ghighgj := thjg

hgj thj = ghitij tij = giht

hj

�contra-contras: tij = tihg

hj [tij] = [tih]·G1 subida de post-índice

�lectura práctica: se sube un post-índice post-multiplicando por G-1 = [gij]

�motivo: T = tij gigj = ti

j gigjhgh := tihgigh tih = tij g

jh [tih] = [tij ]·G

1

�cova-contras: tij = giht

hkg

kj [tij] = G·[th

k]·G

�lectura práctica: forma mnemotécnica de proceder

2.- dadas las componentes puras covariantes, tij , deducir las otras tres.

�Ejercicio de teoría: Completar los dos casos, 3 y 4, de componentes-dato que faltan.

�Ejemplo: Calcular las componentes contra-covas de u× siendo u = 2g1 – 3g2 + 2g3, donde {gi} es una base general cuya matriz de Gram es [2, 1, 0; 1, 2, 0; 0, 0, 1]

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1.3c) Componentes tensoriales en (3) y (p)

�Definición: Se llama forma triádica a toda combinación lineal de tríadas de la forma

1(a1b1c1) + 2(a2b2c2) + … + m(ambmcm)Î(3), mÎ.

�Teorema.: si {ai}, {bi} y {ci} son bases de , entonces {aibjck} es base de (3). Así,

todo tensor de tercer orden es una forma triádica.�dem: análoga al caso de segundo orden: basta ver que las 33 = 27 (ó 23 = 8) tríadas son lin. Indep.

�Bases habituales: tríadas canónicas: {eiejek}; tríadas generales: {gigjgk}, {gigjgk}.., (8 tipos)

�Componentes tensoriales en (3): si BÎ(3) hay 23 c. gen.: notación, cálculo e interpretación: …

� bijk = [(B·gk)·gj]·gi, o también bijk = [(B·gk)·gj]·gi, etc…

�Escritura matricial: Dos formas útiles: B ~ [[bijk]i=f, j=c, k=m] ó [[bijk]i=m, j=f , k=c ],

�Relaciones de subida o bajada de índices: análogas en (3), como: aijk = aijhghk ; o: ai

jk = aihkghj ..

�Ejemplos: 1) Componentes generales del tensor permutación E�cálculo: las c . puras son los símbolos de permutación tridimensionales:…

�escrituras matricial: E ~ [eijk]i=f, j=c, k=m =

�2) Componentes de una tríada

�cálculo: abc := B = bi jk gigjgk bi

jk = aibjck

�escr. matr.: [[t i jk]i=m, j=f, k=c] = [ai[bjck]j=f, k=c]i=m ; [t i

jk]i=f, j=c, k=m = [ck[aibj]i=f,j=c]k=m

�Caso numérico: Si a = i – k, b = i + 2j – k, c = 3i + 2j, escribir matricialmente abc.

�3) B = i(kj 2jk) + 3k(2ij ji). Escritura matr. [[Bijk]]

�Generalización: Se habla de tétra-ídas y formas tetra-iádicas, p-íadas y formas p-iádicas.

1.3 d) Álgebra tensorial en componentes•d1) SUMA: Sólo pueden sumarse tensores del mismo orden tensorial y componentes en la misma base poliádica. Se tiene: compntes. del tensor suma = suma de compntes. homólogas de los sumandos. Pq.:

U :=(1) S + T →{eiej}(2) Uijeiej = Sijeiej + Tijeiej = (Sij + Tij)eiej (3) Uij = Sij + Tij

(i = fil., j = col.) (4) [Uij] = [Sij] + [Tij].

El mismo razonamiento se aplica en base general si se suman componentes del mismo tipo.

�obs. el sistema seguido: (1) U = valor nominal intríns. de la suma; (2) base y desarrollos cart., operando en not. indic.; (3) separar por componentes la ec. indic. resultante (se aplica unicidad de desarrollo); (4) interpretar matricialmte. la ec. indicial con algoritmos conocidos (suma matricial, producto matricial con algoritmo fila × columna, determinante, etc...) según proceda.

•d2) MÚLTIPLO ESCALAR y COMB. LINEALES: Para multipl. por un escalar un tensor de cualquier orden, basta multipl. todas las componentes del tensor en cualquier base por dicho escalar. Del mismo modo pueden efectuarse comb. lineales con tens. del mismo orden tensorial. Pq.:

P := S + T pij gigj = si

j gigj + tij gigj = (si

j+ tij)gigj pi

j = sij+ti

j [pi

j] = [si j] + [ti

j]. Análogo con cualquier tipo de componentes (las mismas en los dos sumandos)

�obs.: se ha seguido el mismo sistema y se sigue en el resto de operaciones con tensores.

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d3) CONTRACCIÓN tensorial en componentes (1.3 d))d3.1.- Con tensores de orden 2 (resultados conocidos)

En base canónica {ei}: resto, análogos:

T·x = u Uiei = (Tijeiej)·(Xkek) = TijXjei Ui = Tij Xj

[Ui]i=f = [Tih]i=f,h=c·[Xh]h=f

x·T = w ... Wj = Xh Thj [Wj]j=c = [Xh]·[Thj]h=f,j=c .

u·T·v = ... = Ui Tij Vj = [Ui]i=c · [Tij]i=f,j=c·[Vj]j=f

S·T = P ... Pij = Sih Thj [Pij]i=f,j=c = [Sih]i=f,h=c·[Thj]h=f,j=c .

En base general, {gi}, de recíproca {gi}: se obtienen formas parecidas:

T·x = u ... ui = tih xh = tih xh ui = tih xh = ti

h xh ejerc : expr. matriciales.

x·T = w ... wi = xhth

i = xhthi wi = xhthi = xhth

i

u·T·v = ... = ui tij vj = ui ti

j vj = ui tij v

j = ui tij vj

S·T = P ... pij = si

hth

j = sihthj pij = sihth

j = sihthj ...

Ejercicio: Probar las ecuaciones indiciales anteriores ( predecir las dos expresiones

posibles para obtener un tipo determinado de componentes del resultado).

Siendo T (3), x , U(2):

En base cartesiana {ei}: i) Contracción T·x := W (2) [valor nominal y orden tens. 2º (= 3+12) del result.]

W := T·x = (Tijk eiejek)·(Xheh) = … = Tijk Xk eiej := Wij eiej Wij = Tijk Xk

Si T está con {i=fil., j=col., k=matr.}:

[es un algoritmo nuevo: algoritmo fila de cajas por vector columna combinación lineal de cajas]

Alternativa: con i = matr, j = fil, k = col.: [Wij]i=f,j=c = [ [Tijk]·[Xk] ]t : [alg. prod. de cada

caja por vc. col.]

Ejemplo: Obtener las componentes canónicas de x× utilizando el tensor permutación.

d3.2 Contracción tensorial en componentes en (3) (§1.3 d))

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�ii) Contracción x·T con tensores de tercer orden

x·T := V (2) V = …= Xi Tijk ejek := Vjk ejek Vjk = Xi Tijk discusión

1ª) asignamos los papeles a los índices para el resultado: j = fil., k = col.

(en este caso) para usar el algoritmo matricial comb. lin. de cajas:

Si esto exige rescribir los Tijk en la disposición: i = matr., j = fil., k = col.

supuesto que se tiene la disposición original i=f, j=c, k=m: (n=2)

el algoritmo hace comb. lin. de las cajas de esta 2ª disposición.

Como norma general: al expresar matricialmente una igualdad indicial (entre

escalares) respetar el papel de los índices libres en los dos miembros.

2ª) otra alternativa: aprovechar la disposición previa de los Tijk , lo que exigirá rescribir

el resultado una vez obtenidos los Vjk: en dimensión n = 2, se tiene:

N.: En dim. del contexto n = 3, todos los índices tomas un tercer valor (3 matrices, 3 fil., 3 col.)

En bases generales se tienen resultados totalmente análogos, respetando la alternancia de

posición en índices mudos o contraídos (criterio de corrección)

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iii) Tensor de orden 2 por (contracción) tensor de orden 3

En cartes.:

�rel. indicial: U := T·B =...= TihBhjk eiejek := Uijk eiejek TihBhjk = Uijk

�escr.matr.: i = f, j = c, k = m [[Uijk]i=f,j=c]k=m = [ [Tih] i=f,h=c·[Bhjk]h=f,j=c ]k=m

En generales: análogos ejercicio personal.

Ejemplo: Componentes mixtas eijk del tensor de permutación E, con la matriz de Gram ya usada: =

[2, 1, 0; 1, 2, 0; 0, 0, 1].

Solución: eijk = gih ehjk [ei

jk]i=f,j=c,k=m = [[gih]·[ehjk]] = [·[ehj1] ·[ehj2] ·[ehj3]] =

iv) Tensor de orden 3 por tensor de orden 2

Análogo al caso anterior...

�rel. indic.: V := B·T = ... =

�escr. matr.:

Ejemplo(*): Componentes mixtas eijk del tensor de permutación E en el caso de la base anterior.

Componentes canónicas del tensor U := E·(ab), supuestos a y b vectores conocidos en la base {ei}

utilizada. (* se entrega resuekto para evaluación continua)

1.3 e) Cambios de base generales en esp. tens. (¡¡)·1) Relaciones entre las bases: (referencia fundamental)

�base { }, o antigua; base { }, o nueva matriz de cambio := C = [c ij]f,c,

con la b. nueva por columnas en contras antiguas (dato estándar)Relaciones indiciales del cambio de base y su lectura matricial:

�2) c. de comp. vec. contras : u = uigi = uiji

c. de c. vec. covas: u = uigi = uic

ij

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·3) Relaciones de c. de b. entre las comptes. gen. de un tensor

�1) Cambio patrón (de referencia): el de las comptes. mixtas contra-covas:

�2) Cambio de los otros tres tipos de componentes son análogos.

NOTAS: 1) Los apodos contravar. y covar. aplicados a los índices se basan en estas fórmulas

2) Las componentes antiguas pueden despejarse en función de las nuevas.

3) Las expr. del c. de b. se cumplen tb. de modo análogo para tens. de ord. sup. (PR1-27)

3)Caso partic. de c. de b.: c. entre b. ortonormales�Si las bases original y nueva son ortonormales, sean {ei} y {êj}, el c. de b. se

simplifica pq. la matriz del cambio Q es ortogonal, o sea Q1 = Qt porque:

Las fórmulas matr. de c. de b. ortonormales son un caso particular de las

generales cambiando C por Q y C1 = Qt.

N.: Si una base general {gi} es ortogonal, pero no ortonormal, la base normalizada asociada

será ortonormal. Es caso frecuente y se llama base física asociada, que suele denotarse {êi}

(si ya hay una base canónica preexistente). Los c. de b. ortonormales más frecuentes: de b.

ortonormal canónica previa, {ei}, a base física nueva, {êi}.

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Ejercicio de c. de b.- Sean g1 = e1, g2 = e1+e2, g3= e1+e2 +e3. Se da T =

1+e2e1 . Se piden: tij, por cambio de base y también tij , por c. de base y

bajando el pre-índice de las mixtas halladas.

solución: …

�Ejercicios: Con la base {gi} anterior calcular comp. contra-cova-contra de E

�Ejemplos: 1) Calcular las componentes de los tensores axiales básicos gi en

una base {gj} dada.

solución: g1 ~

Análogos los demás casos: g2, g3 (ejercicio *)

2) Se deducen las comp. covariantes puras del tensor axial a, de las componentes

contras del vector axial a :

a = aigi a = ai(gi) ~

3) Como ejercicio: las componentes contravariantes puras de a×

Ejercicios de PR1 que pueden hacerse

�PR1.11, 12, 13

�PR1.14: Agregar estos apartados nuevos para operar en (2): ´´Calcular las

componentes de los tensores que siguen en la base cartesiana:

iv. (i)·( jk kj )

v. (i)·(i)·(i)

vi. (i)·(j) – (j)·(i)

vii. a·(b)·a y en la base {a, b, ab} ´´

� Ejercicio: Forma matricial de la subida y bajada de índices en (3):

�Ej.: Obtener las componentes cova-contra-cova del tensor E en dim. 3.

sol: ei·j·

k = eihk ghj ... [[ei·j·

k]]i=f.,j=c.,k=m. = [[eih1]·G1 [eih2]·G

1 [eih3]·G1] #.

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Problemas de la Práctica 1 factibles con §1.2 y §1.3

�Ejercicios y cuestiones: PR1.8 a PR1.14 (todas)

�Problemas: PR1.23 (errata en apartado iii: cambiar v por w), PR1.24,

PR1.27, PR1.31 (cuestión, y apartados 1 y 2), PR1.32 (apartados 1 y 2)

�Problemas complementarios: PR1.33 y PR1.34

�NOTA: el resto de problemas y ejercicios de la Práctica 1, pueden hacerse

con la materia de la sección siguiente, o sea §1.4.

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