INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS TENSORIAL

Un tensor es un objeto matemático que tiene ciertas propiedades que la hacen invariante frente a un cambio en los sistemas de coordenadas. Una definición formal lo daremos más adelante.

Notación indicial:

Consideremos un espacio N-dimensional

Indica libre o flotante:

i=1,2,…, N

La expresión ui representa a ( u1⋮uN)

Si N=3, ui representa (u1u2u3)El cual es un tensor de orden uno

*una expresión sin índice es un tensor de orden cero o un escalar, así 𝛌 es un escalar.

Notación de Einstein:

Un índice repetido, dos veces, en cualquier termino indica una suma de 1 a N (un término en un índice repetido 3 o más veces se considera invalido).

Ejemplo:

1) A=A iU i=A1U 1+A2U 2+…+AN UN

Si N=3, A=A1U 1+A2U 2+A3U 3

Un índice repetido dos veces es mudo o muerto y se puede cambiar por otro cualquiera.

Así, son iguales uii=u j

j= jNN=u1

1+u22+…+uN

N

*AiB i=Bi A i

*AiB iC j=A1B1C j+A2B2C j+…AN BN C j=(∑i=1

N

A iBi)C j

*la expresión que tiene dos índices distintos, libres o flotantes, indica a un tensor de 2° orden.

En la siguiente tabla se muestra el orden y número de componentes de un tensor:

denominación orden

dimensión

Escalares vectores 0 1 2 3 … N

1234⋮

N

1 1 1 1 … 1N

1 2 4 8 ⋯ 2N

1 3 9 27 ⋯ 3N

1 4 16 64 ⋯ 4 N

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 N N2 N3 … N N

Una expresión como a ij representa a un tensor de 2° orden, en el espacio de dimensión N=3, se puede representar por una matriz de 9 elementos:

a ij=(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

)δ ij=(δ xx τ xy τ xz

τ yx δ yy τ yz

τ zx τ zy δ zz) , Tensor de esfuerzos.

Ejemplos:

1.- las expresiones en notación indicial representan en formas expandidas o simbólicas, suponga N=3.

(a ) mln xn

(b ) (xk )k

(c ) x j=C jkU k

Solución:

(a )mln xn=∑

n=1

3

mln xn=ml1 x

1+ml2 x2+ml3 x

3

(b ) (xk )k=(x1 )1+ (x2 )2+(x3 )3

(c ) x j=C j1u1+C j2u2+C J 3u3

(x1x2x3)=(C11u1 C12u2 C13u3C21u1 C22u2 C23u3C31u1 C32u2 C33u3

)=(C11 C12 C13

C21 C22 C23

C31 C32 C33)(u1u2u3)

2.-escribir en notación tensorial.

d∅= ∂∅∂x1

dx1+…+¿

∂∅∂ xN

d xN¿

A=(a11 … a1N⋮ ⋱ a2 N

a31 a32 aNN)

Solución: en un espacio de N-dimensional.

d∅=∂∅∂x i

dx i

A=aij

3.-sea xk, k=1 ,…N coordenadas rectangulares. Para N=2,3,4 Hallar el lugar geométrico que representa las siguientes expresiones.

a) ak xk=1

b) xk xk=1c) xk=xk (u )

Solución:

a) N=2 : a1 x1+a2 x

2=1 es una recta.

N=3 : a1 x1+a2 x

2+a3 x3=1 es un plano.

N ≥4 : a1 x1+…+a2 x

2=1 es un hiperplano.

b) N=2 : (x1 )2+(x2 )2=1 es una circunferencia.

N=3 : (x1 )2+(x2 )2+ (x3)2=1 es una esfera.

N ≥4 : (x1 )2+(x2 )2+…+(xN )2=1 es una hiperesfera

c) N=3: xk=xk (u ) →xk (u )=(x1 (u )

x2 (u )

x3 (u )) función vectorial de parámetro u, representa un curva en el

espacio tridimensional.

N=2 : xk (u )=( x1 (u )x2 (u )) es una curva bidimensional.

N ≥4 : xk (u )=( x1 (u )⋮

xN (u )) es una curva en el hiperplano.

Delta de kronecker

El símbolo ∂ij denota a la delta de kronecker y se define mediante:

∂ij={1 , si i= j0 , sii ≠ j

Es un tensor de 2do orden, que escrito en un arreglo matricial es

δ ij=(δ11 δ12 δ 13δ21 δ 22 δ 23δ31 δ32 δ 33

)=(1 0 00 1 00 0 1)

Ejemplo: Escribir explícitamente Ai δ ij , considere N=3

Solución: N=3

X j=Ai δ ij=A1δ1 j+A2δ 2 j+A3 δ 3 j

j=1 ,X 1=A1δ11+A2δ21+A3δ31=A1

j=2 , X2=A1δ12+A2δ22+A3δ 32=A2

j=3 , X3=A1δ 13+A2δ 23+A3δ33=A3

Propiedad: Cuando la delta de Kronecker aparece en un término, de una expresión con índices, en el cual uno o ambos de sus índices se repite en otro símbolo del mismo término, entonces la delta de Kronecker puede eliminarse si el índice repetido es reemplazado en el otro símbolo por el otro índice de la delta de Kronecker.

Ejemplo:

Cqδrq=C r

M ij B j δ ik=M kjB j

Ar BsC t δ sq=Ar BqCt

Eijk δ kr=Eijr

δ ijδ jk=δ ik

Si ambos subíndices de la delta de Kronecker se repiten en un término, entonces uno o el otro (pero no ambos) pueden ser eliminados.

Ejemplo: Ar BsC t δ st=A rBtC t (eliminado s)

¿ Ar BsC s (eliminado t)

Resultados idénticos pues s y t son mudos.

Para N= 3: la expresión es

Ar (B1C1+B2C2+B3C3)

Ó A1(B1C1+B2C2+B3C3)

A2(B1C1+B2C2+B3C3)

A3(B1C1+B2C2+B3C3)

Un término puede contener más de una delta de Kronecker.

Ejemplo: A sB jC k δrj δ sk=A sB rCs

¿ Ak BrC k

B jC k A s δrk δ sj=B sC r A s=B jCr A j

Propiedades:

1. En un espacio N-dimensionalδ ii=δ11+…+δNN=N

2. Si X1, X2,….., XN son N variables independientes, se cumple que :

∂ X i

∂ X j=δij

3. δ ijδ jk=δ ik

∂ X i

∂ X j

∂ X j

∂ X k=∂ X i

∂ X k

4. Si S=ai Xi , entonces

∂S∂a j

= ∂∂a j

(ai Xi )=X i ∂ai

∂a j

=X i δ ij=X j

5. Si S=aαβ Xα X β=0 ,donde las X son variables en un espacio N- dimensional entonces

a ij+a ji=0

Prueba:

∂S∂ X i=

∂(aαβ Xα Xβ)

∂ X i =aαβ(∂ Xα

∂ X i Xβ+Xα ∂ X β

∂ X i )

¿aαβ (δ αi Xβ+Xα δ βi )=aαβ δ αi X

β+aαβ Xα δ βi

¿a iβ Xβ+aαi X

α=0

∂S∂ X j ∂ X i=

∂(aiβ Xβ+aαi X

α )∂ X j =aiβ

∂ X β

∂ X j +aαi∂ Xα

∂ X j

¿a iβδ βj+aαi δαj=aij+a ji=0

ÁLGEBRA VECTORIAL

Un vector se representa por una expresión de un solo índice flotante. Suponemos N=3, salvo se indique lo contrario.

ui (u1u2u3)Producto escalar

Si u(i) denota a los vectores unitarios cartesianos (i , j ,k ) . Entonces si A=A i u(i) y B=B j u( j)

Entonces

A .B=Ai u(i) .B j u( j)=Ai B j u(i )u( j)

¿ AiB j δij=A jB j=A iBi

Así en notación indicial:

A .B=AiB i=A1B1+A2B2+A3B3

Observaciones:

1. La expresión indicial Pr SrT qR r es incorrecta puesto que contiene más de dos índices iguales.

2. La ecuación vectorial AiB jC j=Rk S pT p es incorrecta puesto que el índice flotante del primer miembro es diferente al índice flotante del segundo miembro.

3. La expresión AiB jC j se escribe en notación simbólica vectorial como A(B .C) que es un vector.

4. La expresión AiB jCk D jEi se escribe en notación simbólica vectorial como:C ( A . E ) ( B .D )=( A .E ) ( B . D )C

5. La expresión ( R .S ) (U .V ) puede ser escrito en notación indicial como

RiS iU jV j

note los diferentes subíndices.

EL TENSOR UNITARIO ALTERNANTE O EL TENSOR DE LEVI – CIVITA

Orden cíclico y no cíclico

Se dice que los tres enteros positivos 1, 2, 3 (pueden elegirse otros objetos) están en orden cíclico si se produce el orden 123 siguiendo el camino anti horario, como se indica:

1 2 3 2 3 1 3 1 2 orden cíclico

El orden inverso se denomina no cíclico o anti-cíclico, ello puede encontrarse siguiendo los números 1,2 y 3 en sentido horario, así:

3 2 1 1 3 2 2 1 3 orden anti-cíclico

Ejemplo: Si abc está en orden cíclico, indicar cuales de las siguientes expresiones están en orden cíclico y no – cíclico. cba bca acb