SERIES UNIFORMES1. CONCEPTOS BSICOSLas series uniformes son conjuntos de pagos o cuotas iguales efectuados a intervalos iguales de pago. Las series uniformes deben tener dos condiciones necesarias: pagos o cuotas iguales, efectuados con la misma periodicidad.Valor presente, P: El valor presente de una serie uniforme equivale a un pago nico ahora, el cual es equivalente a N cuotas o pagos de valor R cada uno efectuado al principio o al final de cada intervalo de pago. Si los pagos ocurren al final de cada intervalo de pago se llama la serie, serie uniforme ordinaria o vencida y si ocurren al principio de cada intervalo, serie uniforme anticipada o debida.Tasa de inters peridica, i: A cada intervalo de pago le corresponde una tasa de inters. Es la misma tasa peridica de enteres a la cual nos hemos referido en los temas anteriores.Valor de los pagos o cuotas iguales, R: La caracterstica de las series uniformes es la ocurrencia de los pagos iguales en cada intervalo de pago.Numero de cuotas o pagos iguales durante el plazo o termino de la serie uniforme, N: En el esquema de los pagos nicos de valor presente y valor futuro, N se refiere a los periodos de conversin. En las series uniformes, N hace alusin al numero de pagos o cuotas iguales.Valor futuro, F: Constituye un pago nico futuro al final del plazo de la serie y el cual es equivalente a las N cuotas o pagos que ocurren en cada intervalo de pago.6.2 FORMA GENERAL DE LA SERIE UNIFORME ORDINARIAEn el siguiente diagrama de flujo de caja representaremos los conceptos bsicos y fundamentales para el estudio de la serie uniforme, en la cual los pagos ocurren al final de cada intervalo por ser ordinaria o vencida.

3. VALOR PRESENTE DE LA SERIE UNIFORME ORDINARIAYa se defini el valor presente como un pago nico de valor P que esta precisamente en el momento 0, exactamente un periodo antes de que ocurra el primer pago de valor R y el cual es equivalente a los N pagos o cuotas.Para hallar el valor presente se debe establecer una ecuacin de valor con fecha focal 0 por facilidad, aunque podra haberse escogido cualquiera y el resultado seria exactamente el mismo.P= R(1+i)-1+..+R(1+i)-n.Si factorizamos el valor de R, tenemos que:P= R((1+i)-1+(1+i)-n)La expresin entre los parntesis, constituye una suma de los trminos de una progresin geomtrica de la siguiente forma:Suma = a + ar +ar2 + ar3 + .... + arN-1En dondea = Primer trminor = razn de la progresinN = Nmero de trminos

En nuestra suma a = (1+i)-1y r = (1 + i)-1Adems tenemos N trminos. Si reemplazamos en la ecuacin de valor:

Simplificando:

Esta frmula sirve para hallar el valor presente de una serie uniforme.NOTA: Hay que tener presente en esta frmula que tanto R, i y N deben estar expresados para el mismo perodo de tiempo.6.4 VALOR FUTURO DE LA SERIE UNIFORME ORDINARIAEl valor futuro de la serie uniforme ordinaria es un pago nico futuro, el cual est ubicado al final del plazo o termino de la serie, exactamente donde ocurre el ltimo pago y adems es equivalente a las N cuotas de valor R cada una y situadas al final de cada intervalo de pago.

Para determinar el valor futuro F, se establece una ecuacin de valor con fecha focal N, por facilidad, de la siguiente forma:

F = R + R (1+i) + R(1+i)2 + ... + R(1+i)N-1Factorizamos R:

La suma de los trminos dentro del corchete, conforman otra progresin geomtrica donde a = 1, r = (1+i) y tiene N trminos.Reemplazando en la ecuacin de valor:

Simplificando:

Esta frmula sirve para hallar el valor futuro de la serie uniforme ordinaria.6.5 EQUIVALENCIA ENTRE EL VALOR PRESENTE Y EL VALOR FUTURO DE UNA SERIE UNIFORME ORDINARIASi se tiene que el valor presente P de una serie uniforme es equivalente a las N cuotas o pagos de valor R y si el valor futuro F es equivalente a la misma serie uniforme de cuotas, concluimos entonces que el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme son equivalentes entre s.Demostremos la anterior afirmacin. Si tenemos que:

De P despejamos R:

Reemplazamos el valor de R en F:.

Simplificando:F = P (1+i)NF = P(1+i)N: Es la expresin que demuestra la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme ordinaria.Nota: En todos los sistemas de amortizacin equivalentes de pago, ocurre la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro. Esto significa, que independientemente cmo se amortice una deuda, el valor presente de los pagos debe ser igual a P y el valor futuro de esos mismos pagos igual a F. Lo anterior ya lo mencionamos y ms adelante tambin lo enfatizaremos.ILUSTRACIN DEL CONCEPTO DE SERIE UNIFORME ORDINARIAA continuacin, ilustraremos a travs de un ejercicio todas las posibles preguntas o dudas que puedan surgir en la comprensin del esquema de series uniformes.Ejemplo.Supongamos un prstamo para adquirir vivienda (estimaremos todas las preguntas para cada milln de pesos), contratado a una tasa nominal del 24% mes vencida, para ser amortizado en cuotas mensuales iguales vencidas y durante un plazo de 15 aos.* 1. Determinar el valor de las cuotas mensuales iguales:Despejamos el valor de la cuota de la ecuacin para hallar el valor presente:

R = $20.582.741 milln de pesos ahora, equivale a 180 cuotas mensuales iguales y vencidas de $20.582.74 cada una.* 2. Determinar contenido de inters y amortizacin a capital de cada una de las cuotas. Plan de pagos.Para hallar el plan de pagos. Elaboramos una tabla de amortizacin, como se ilustra a continuacin

Para hallar por ejemplo, el contenido de inters de la primera cuota se calcul los intereses devengados por la deuda inicial a una tasa peridica mensual del 2% y el contenido de amortizacin, estableciendo la diferencia entre el valor de la cuota y el monto de los intereses. El saldo adeudado despus de pagar esta cuota, simplemente se le resta al saldo anterior el contenido de amortizacin y as sucesivamente. Es bueno resaltar, que los intereses se calculan sobre el saldo anterior.A continuacin haremos una tabla de amortizacin genrica, que la explique y que permita elaborarla en una hoja de clculo.

La tabla se explica por si sola, pero es pertinente aclarar algunos elementos en ella:Hemos denominado por K cualquier cuota, entre la primera y la ultima.Ik= Contenido de inters de la cuota K.Ak= Contenido de amortizacin a capital de la cuota K.Pk= Saldo adeudado inmediatamente despus de pagar la cuota K.PN= Saldo adeudado inmediatamente despus de pagar la ultima cuota, la N. El valor de PN debe ser igual a cero, para cumplir con la condicin necesaria de los sistemas de amortizacin equivalentes de pago.Si se observa las anteriores tablas, se deduce que el monto de los intereses siempre desciende, el del capital asciende y esto siempre suceder en las series uniformes.(sumatoria) de capital: Si se establece la suma de la columna del contenido de amortizacin, esta siempre deber ser igual a P, el valor del prstamo. Por lo tanto, ?A=P. Otra condicin necesaria del sistema de amortizacin equivalente de pago.intereses:La suma de los intereses pagados en las N cuotas de valor R, corresponde a la suma de las N cuotas de valor Rmenos lo que se ha destinado a cancelar totalmente el prstamo que es P. Por lo tanto, ?I=R*N-P. No nos preocupemos por la cantidad, a veces asombrosa, de los intereses pagados, porque debemos recordar que la forma como se amortice el crdito no afecta la tasa.En un sistema de amortizacin puede que paguemos mas intereses que otro o lo contrario, pues el monto de los intereses se ve afectado por lo rpido o lento del sistema de amortizacin escogido. Naturalmente, si la amortizacin a capital es lenta la suma de los intereses es mayor y si la amortizacin es rpida el monto de estos es menor.La razn valida para la escogencia del sistema de amortizacin, depende de la aceptacin de la tasa de inters, del flujo de caja o tesorera y de las condiciones de pago de la entidad de crdito. Mas adelante, en la evaluacin de alternativas de inversin, veremos como tambin la tasa de inters de oportunidad afectara la decisin en la escogencia del sistema de amortizacin. Por ahora digamos, que si el inters de oportunidad es alto (mayor que la tasa del crdito) es preferible escoger un sistema en el cual la amortizacin a capital sea lenta, para tener entonces la oportunidad de invertir a una tasa alta y lgicamente no invertir a una tasa menor aunque el monto de los intereses sean relativamente mas altos. En casi todos los casos, se toma de decisin de endeudarse, cuando la alternativa de inversin identificada obtenga una tasa mayor de rendimiento.* 3. Hallar el valor futuro de las cuotas:El valor futuro de las 180 cuotas de R = 20.582,74. corresponde a un pago nico futuro de valor F, el cual se determina con la ecuacin del valor futuro de la serie uniforme.

Este valor es un pago nico futuro, que equivale a los 180 pagos de valor R cada uno. Se puede interpretar, como el valor a pagar al final del plazo N, en este caso al final del mes 180, si no efectan los aludidos pagos. Naturalmente, no habr ninguna entidad de crdito que permita pagar el crdito nicamente con un pago nico futuro, pero este concepto permite, tericamente, demostrar las equivalencias de los sistemas de amortizacin, en donde estos debern tener siempre como frontera superior este pago nico futuro.Ya demostramos la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme y concluimos queF = P*(1+i)N.Comprobemos la equivalencia con nuestro ejemplo que estamos realizando:Si hayamos el valor futuro del prstamo de $1 milln, encontraremos que es equivalente a $35.320.831.36. Este pago nico futuro, contiene la amortizacin a capital de $1 milln y la diferencia son los intereses mximos posibles, sin importar el sistema con el cual se amortice el crdito, de $34.320.831.36. Por lo tanto es una falacia, suponer que el nmero de veces que se paga el crdito es oneroso, lo que definitivamente conduce a la decisin es la tasa de inters y el flujo de caja y en ningn evento la suma de los intereses. Sobre este tema habr oportunidad mas adelante de profundizar.* 4. Determinar el contenido de inters y amortizacin a capital comprendido entre la cuota numero 1 y la cuota nmero 180.El contenido de amortizacin a capital, como ya se menciono es el valor total del prstamo, en este caso P = 1.000.000.Adems porque es un sistema de amortizacin equivalente de pago, en el cual al cancelar todas los pagos se extingue totalmente la deuda. Tambin se pudo determinar as:

Capital (1..180) = P0 - P180 = 1.000.000-0 = 1.000.000La sumatoria de capital comprendida entre la cuota 1 (la primera) y la 180 (la ultima), corresponde a la diferencia entre el saldo adeudado a capital inicialmente y el saldo adeudado despus de cancelar la ultima cuota, que es exactamente igual a cero.El contenido de intereses comprendido entre la primera y la ultima es igual a la suma del valor de las 180 cuotas menos el valor amortizado por concepto de amortizacin a capital.Lo anterior lo podemos generalizar as: Inters (1..N)= N*R- Capital(1..N). Intereses(1..180)= 180*20.582.74-1.000.000= $2.704.887.32.Cuando efectuamos la amortizacin en serie uniforme se pagaron $2704.887.32 por concepto de intereses y cuando definimos la frontera superior de los sistemas de amortizacin equivalentes, se cancela $34.320.831.36 por concepto de inters. Lo anterior no es motivo de alegra ni de terror, simplemente son sistemas equivalentes en los cuales, en uno se amortiza capital relativamente rpido y en el otro ocurre muy tarde. La sugerencia cuando el monto de los intereses preocupan es comprar de contado, no endeudarse, pero se requiere disponer del dinero y adems a veces conduce a decisiones erradas.* 5. Determinar el saldo adeudado despus de pagar la cuota 100.En este caso se desea hallar el saldo adeudado despus de pagar cualquier cuota, que para nuestra ilustracin es el correspondiente a la cuota 100. Llamaremos Pk= El saldo adeudado inmediatamente despus de pagar la cuota K. Pk ser el valor presente de las cuotas que aun faltan por pagar y como se han cancelado K cuotas, las que hacen falta por pagar son N-K cuotas.Vemoslo en diagrama de flujo de caja:

De la ecuacin de valor presente de la serie uniforme y anlogamente se pueden establecer:

Tambin el valor de la PK se puede determinar de la siguiente forma:

Realmente se ha establecido una ecuacin de valor, con fecha focal en K, en donde: Po (1+i)K: Es el valor futuro del prstamo inicial en el perodo K. Sera el valor adeudado si no se hubiera efectuado el pago de ninguna cuota.

Corresponde al valor futuro de las K cuotas que ya han sido canceladas.Por lo tanto el saldo adeudado PK, es la diferencia entre lo que se debiera y lo efectivamente pagado.* 6. Determinar el contenido de amortizacin a capital e inters comprendido entre las primeras doce, entre las siguientes doce y as sucesivamente hasta las ultimas doce cuotas:Por analoga con lo calculado anteriormente, se puede determinar as: Capital(1..12)= P0-P12Intereses(1.:.12)=12* R-Capital(1..12).

Capital(13..24)= P12-P24Intereses(13..24)=12* R-Capital(13..24).

Capital(25..36)= P24-P36Intereses(25..26)=12* R-Capital(25..36).

Y as sucesivamente hasta las ultimas doce cuotas: Capital(169..180)=P168-P180, Intereses(169..180)=12*R-Capital(169..180)Si se establece la suma de todos los contenidos de amortizacin a capital deber ascender al valor de P = 1.000.000. La suma de los contenidos de intereses la misma cantidad hallada anteriormente de $2.704.887.32.* 7. Determinar el contenido de amortizacin a capital e intereses contenidos entre las cuotas, por ejemplo, 70 y 120.Este ejercicio es similar al anterior, solamente esperamos que anlogamente se pueda resolver muy fcilmente. Capital(70..120)=P69-P120.No podramos haber seleccionado P70, porque estaramos excluyendo el contenido de capital de la cuota 70 y por lo tantosera un error.Intereses(70..120)=51* R-?Capital(70..120).No hay que olvidar que entre 50 y 120 hay 51 cuotas.* 8. Hallar el contenido de capital e intereses de solamente una sola cuota, por ejemplo de la cuota 100.En este caso se quiere determinar el contenido de capital e intereses de la cuota K, cualquier cuota.Observando la tabla de amortizacin, se deduce que:Ak=Pk-1-Pk.Akes el contenido de amortizacin a capital de la cuota KPK-1Por analoga con PK:

Factorizando y simplificando:

Como todas las cuotas o pagos contienen capital e intereses:

IKes el contenido de inters de la cuota K. Por lo tanto, en nuestro ejercicio propuesto:

* 9. Para amortizar el prstamo de la ilustracin, adicionalmente a la serie uniforme, se desea efectuar abonos extras uniformes. Al final de cada semestre se desea pagar, por ejemplo $50.000, adicional a los pagos mensuales uniformes.El diagrama de flujo de caja, sera el siguiente:

El prstamo realmente se cancelar con dos series uniformes: una serie de pagos ordinarios mensuales y la otra con pagos uniformes semestrales extraordinarios.Definamos algunos conceptos:P = Valor presente del prstamoR = Valor de cada uno de los pagos iguales mensuales ordinariosi = Tasa de inters peridica correspondiente a los pagos ordinarios de valor RN = Nmero total de pagos ordinariosB = Valor de cada uno de los pagos iguales semestrales extraordinarios.IB = Tasa de inters peridica correspondiente a los pagos extraordinarios de valor B.M = Nmero total de pagos extraordinariosPara hallar la solucin, se establece una ecuacin de valor, con fecha focal 0:

De nuestro ejemplo, se conocen todas las variables excepto el valor R, el cual se despeja de la anterior ecuacin:P = 1.000.000R = ?B = 50.000i = 2% MensualN = 180 pagos mensualesM = 30 pagos semestrales en 15 aosR = 12.656.45El anterior resultado, indica que el prstamo se cancela con cuotas mensuales iguales de $12.656.45 durante los 15 aos y al final de cada semestre y durante los 15 aos se cancelan adicionalmente $50.000.El valor presente de ambas series uniformes, la mensual y la semestral en este caso, debe ser de $1.000.000 valor del prstamo inicial y el valor futuro debe ascender a la suma de $35.320.831,36. Lo anterior obedece a las condiciones de los sistemas de amortizacin equivalentes de pago, en donde el valor presente y el valor futuro deben ser equivalentes.La ecuacin anterior, permite estimar tambin el pago ordinario a realizar, conociendo el valor de los abonos extraordinarios. En cualquiera de los posibles eventos en los cuales se aplique la anterior ecuacin, la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro se dar, lo que cambiara ser el monto de los intereses pagado tal como se ha indicado.* 10. Similar al caso anterior, pero supngase que en vez de efectuar abonos extras semestrales, precisamente el pago al final de cada semestre sea de $50.000.El diagrama de flujo de caja, de la situacin planteada es el siguiente:

Para aplicar la ecuacin enunciada en el caso 9, descomponemos el flujo de caja anterior en la suma de dos series uniformes: una serie corresponde a la de N pagos ordinarios iguales de valor R cada uno y la otra serie de los M pagos extraordinarios iguales de valor B-R. la serie de los pagos extras es de B-R, porque a la serie de los pagos ordinarios se le agreg el pago R, exactamente donde ocurre el pago B-R y como B-R+R = B, entonces queda el pago B como se haba enunciado.

La ecuacin del valor presente se puede definir en este caso as:

R = 15.040.80Todos los meses se deben cancelar la suma de 15.040.80 y al final de cada semestre la suma de $50.000. este es el otro sistema de amortizacin en donde el valor presente y el valor futuro son equivalentes.* 11. El prstamo con el cual se ha venido trabajando se desea cancelar en cuotas iguales uniformes, pero con abonos extraordinarios programados pero de diferente valor y que ocurren en periodos no uniformes. Por ejemplo, supngase que se desea seguir cancelando con cuotas mensuales iguales durante el plazo convenido, pero con abonos extras predeterminados de $200.000 al final del ao 4 y de $150.000 al final del dcimo ao.Para la solucin del caso, como ha sido la regla general, se elabora el diagrama de flujo de caja y luego se establece la ecuacin de valor.Diagrama de flujo de caja:

En el flujo de caja se trat de representar la forma general y denominando:K1 = el perodo donde ocurre el primer abonoAE1 = El valor del primer abono extraK2 = El perodo donde ocurre el 2 abono.AE2 = El valor del segundo abono extra.Se pueden generalizar los abonos extras, siguiendo la nomenclatura elegida si se desea.Ecuacin de valor: por facilidad se escoge como fecha focal en 0.

R = $18.704.74El valor de la cuota mensual es de $18.704.74 realizando adicionalmente los abonos pactados. Este es otro ejemplo de un sistema de amortizacin equivalente de pago, como los anteriores, donde obligatoriamente la equivalencia entre valor presente y el valor futuro de las cuotas o pagos se tiene que dar.* 12. A veces, es frecuente realizar abonos a la deuda, con pagos no programados inicialmente. En este ejemplo, supngase que se realiza un pago extra no pactado previamente por la suma de $200.000, conjuntamente con la cuota numero 100.Cuando ocurre este evento hay dos alternativas: a) Aplicar el valor pagado a reducir el valor de las cuotas, pero continuar con el nmero de cuotas convenidas previamente. b) destinar el valor del pago extra a reducir el nmero de cuotas que aun quedaran faltando.De todas maneras, hay necesidad primero de definir si se efecta el pago adicional. Considero trivialmente, que si el inters de oportunidad es mayor que la tasa del crdito no se debe efectuar el pago y en este caso seria mas atractivo invertir a una tasa ms alta que a una tasa menor, como seria invertir cancelando la deuda.Resolvamos la primera alternativa: Reducir el valor de las cuotas.Se necesita determinar el saldo adeudado despus de pagar la cuota 100, es un valor de Pk.

Al valor adeudado despus de pagar la cuota 100 de $818.049.79, se le resta el valor del pago extra de $200.000 y se conforma un valor presente ahora, de P = 618.079.78 para ser amortizado en 80 cuotas iguales, las que an hacen falta del plazo fijado, de valor R cada una a la tasa peridica i = 2% mensual.

R = 15.550.57En resumen, el crdito por $1 milln se cancela con 100 cuotas de $20.582.74, un abono extra de $200.000 al final del mes 100 y con 80 cuotas adicionales de $15.550.57 mensuales iguales hasta el final del mes 180. A continuacin se ilustra en un flujo de caja.

Este es otro caso ms de los sistemas de amortizacin equivalentes de pago.Ahora solucionemos la segunda alternativa: Reducir el nmero de cuotas faltantes, pagando la misma cuota calculada inicialmente sin considerar el pago adicional.Para encontrar la solucin, es necesario determinar la formula para hallar de numero de pagos N, conocidos los valores del valor presente P, de la tasa de inters i y del valor del pago uniforme R

Volvamos a nuestro ejercicio de ilustracin:P = P100 = 618.049.78R = 20.582.74 mensuali = 2% mensual

El anterior resultado no tiene sentido. Por la definicin de serie uniforme, pagos iguales efectuados a intervalos iguales de pago, el valor del numero de pagos N, debe ser un numero entero. A continuacin, en otro ejercicio, solucionaremos el conflicto, por ahora aproximemos el resultado a 46 cuotas mensuales faltantes de $20.582.74 iguales para cancelar completamente el prstamo del milln de pesos. El plazo inicial se ha reducido en 34 cuotas, el resultado de la diferencia entre las 80 cuotas faltantes despus de efectuar el abono de $200.000 y las 46 cuotas que aun se deben.Las dos alternativas diseadas son equivalentes. El valor presente P de ambas es de $1 milln, pero si queremos demostrar la equivalencia del valor futuro F, el flujo de caja de la segunda alternativa debe ser trasladado al final del plazo, mes 180, para que sean comparables siempre en la misma fecha. Recordemos que estamos trabajando con un supuesto, puede ser errado o ilgico pero ser lo que tendremos que demostrar y es que la reinversion siempre se realiza a la misma tasa de inters.Hemos realizado la solucin a eventos relativamente comunes en las series uniformes ordinarias, a travs de un ejercicio ilustracin. En otros captulos de este documento lo retomaremos. A continuacin enfatizaremos en la solucin de otras variables y temas de las series uniformes ordinarias.7 DETERMINACIN DEL NUMERO DE PAGOS O CUOTAS N, EN UNA SERIE UNIFORME ORDINARIAEn una serie uniforme, siempre N debe ser numero entero. Comnmente este valor es decimal y por lo tanto debemos solucionar el conflicto. Vemoslo con un ejemplo:Un crdito por la suma de $1 milln, se desea cancelar con cuotas mensuales iguales de $200.000 cada una. Si la tasa de inters es del 36% nominal mes vencido, determinar el nmero de cuotas que cancela este crdito.Hallamos el valor de N, con la ecuacin vista anteriormente:P = $1.000.000 R = $200.000 mensuales i = 3% mensual. N = 5.50 pagos mensuales.Esta no es una solucin adecuada para una serie uniforme. La respuesta decimal induce a concluir que si solamente se efectan 5 pagos de $200.000 no se alcanza a pagar la totalidad adeudada, pero si se realizan 6 pagos iguales de este valor, la cantidad pagada excede lo adeudado.Se sugieren dos alternativas de solucin:a) Efectuar 5 pagos iguales de $200.000 cada uno y el saldo adeudado todava, cancelarlo conjuntamente con el ultimo pago.b) Realizar 5 pagos iguales de $200.000 cada uno y otro pago por el saldo que aun se adeuda al final del siguiente periodo.Solucin a). Vemosla en un diagrama de flujo de caja:

Hemos denominado el saldo a realizar conjuntamente con el ltimo pago S5. Para calcular este valor debemos de establecer una ecuacin de valor.Con fecha local en el perodo 0:

Aprovechemos la oportunidad y recordemos que en la ecuacin de valor, independientemente de la fecha local elegida, el resultado siempre ser el mismo.Con fecha focal en el perodo 5:

Al despejar S5 :S5 = $97.446.91El valor de $97.446.91 ser la cantidad que se debe cancelar con el ltimo pago de la serie uniforme de $200.000 para extinguir totalmente la deuda.Comprobemos el clculo anterior, a travs de la tabla de amortizacin:

Conociendo el resultado del saldo al final del perodo 5, simplemente lo podramos trasladar al perodo 6, multiplicando por el factor (1+0.03).S6 = S5 (1+0.03) = 97.446.91 (1+0.03) ) $100.370.928. DETERMINACIN DE LA TASA DE INTERS i, EN UNA SERIE UNIFORME ORDINARIAConocidos los valores de P, R y N deseamos calcular la tasa de inters peridica cobrada en el crdito.De la ecuacin del valor presente de la serie uniforme: P= R*[(1-(1+i)-n)/i], se conocen los valores de P, N, R y se desea establecer el valor de i que satisface esta ecuacin. Analticamente es imposible, por lo cual debemos de efectuar un proceso iterativo que nos acerque a la solucin. Pero lo anterior no es necesario y es preferible acudir a una calculadora financiera o una hoja electrnica.Ejemplo.Un crdito a 3 aos, debe ser cancelado en cuotas mensuales iguales de $40.000 por cada milln. Determinar la tasa de inters efectiva anual.De la ecuacin del valor presente de la serie uniforme, en donde:P= 1.000.000, N= 36 y R = 40.000 calculamos la tasa de inters peridica, la cual es i=2.12% mensual. La tasa peridica resultante esta referida al periodo mensual, ya que los pagos ocurren cada mes. Para calcular la tasa efectiva, debemos de aplicar la ecuacin: ie=(1+ip)p-1. En el ejemplo la tasa efectiva es del 28.64% anual.Ejemplo.En Colombia, en algunos establecimientos es usual la existencia de dos precios para los artculos: el precio a crdito y el precio de contado.Una propaganda exhiba mas o menos el siguiente mensaje: adquiera el articulo, sin financiacin. El objeto vale $70.000, desembolse hoy $10.000 de cuota inicial y cancele 6 cuotas mensuales por este mismo valor. Pero si lo adquiere de contado se le otorga un descuento del 25%, para un valor neto de $52.500.La pregunta obvia es si se estar pagando financiacin cuando se adquiere a crdito. El establecimiento comercial presta dos servicios en el evento de vender a crdito, por un lado la actividad comercial y por otro la actividad de financiacin. Cuando se acude a la entidad bancaria en bsqueda de crdito, se solicita $52.500 para adquirir el artculo, pero si esta exige un pago inmediato de $10.000, realmente el prstamo es de $42.500 que se debe cancelar con 6 cuotas mensuales iguales de $10.000 cada una. Por lo tanto calculemos la tasa de inters peridica mensual y la tasa efectiva anual equivalente.De la ecuacin del valor presente de la serie uniforme:P=$42.500, N=6, R=10.000.ip=10.84% mensual; ie= 243.87% efectiva anual.9 UNIDAD DE VALOR REAL U.V.R.: SISTEMA DE AMORTIZACIN EN SERIE UNIFORME ORDINARIAUno de los sistemas actualmente vigentes para amortizacin de crdito hipotecario en la adquisicin de vivienda en Colombia, es en serie uniforme ordinaria, cuotas iguales, en U.V.R. Veamos esta aplicacin de la serie con un ejercicio practico.Ejemplo.Calcular el valor de las cuotas iguales (serie uniforme) en UVR y en pesos por cada milln, de un crdito hipotecario contratado a 15 aos y a una tasa de inters del 14% y suponiendo tasa de inflacin del 10% anual.El sistema de crdito hipotecario, internamente solo conoce la existencia de U.V.R, por lo tanto, debemos de convertir el crdito en U.V.R, de acuerdo a la cotizacin de la unidad en el momento del desembolso. Para nuestro ejemplo, supongamos que el valor sea de $120 y as podemos estimar el valor presente del prstamo en unidades UVR (Pu). Luego de establecer el valor de Pu, determinamos el valor de la serie uniforme en U.V.R, teniendo en cuenta la tasa de inters a la cual se contrato el crdito.

El prstamo del 8.33.33 UVR (equivalentes a $1 milln) se amortizan en 180 cuotas mensuales de 106.40 UVR. Elaboraremos sendas tablas de amortizacin en UVR y en pesos, para observar el comportamiento de las cuotas:

En la tabla de amortizacin en U.V.R, podemos destacar que se trata de una similar a las que ya se han realizado, con la nica diferencia que esta elaborada en unidades de valor real.Para la elaboracin de la tabla en pesos, hemos agregado una nueva columna al final, correspondiente al calculo del valor de la U.V.R (o tasa de cambio de la unidad frente a los pesos) a partir de la fecha y la hemos proyectado bajo el supuesto de que la tasa de inflacin permanecer en los niveles del 10% anual durante toda la vigencia del crdito. Recordemos que la tasa de inflacin anual, se comporta en forma anloga a la tasa efectiva anual y para realizar la proyeccin, requerimos encontrar la tasa de inflacin peridica mensual.Ip= (1+ie)1/p-1=(1+.10)1/12-1=.80% peridica mensual.Para efectuar la estimacin del valor de la unidad en los siguientes meses, encontramos los valores futuros respectivamente para el mes que se quiera calcular:Si queremos calcular el valor de la unidad para el mes 3, por citar el ejemplo para cualquier mes, hallamos el valor futuro del valor presente de $120, en tres meses, a una tasa del .80% mensual.F=P(1+i)N= 120(1+.008)3=$122.89.Devolvmonos a la tabla en pesos y observemos que el saldo en pesos asciende, pero no nos preocupemos, que en algn momento descender hasta llegar a cero. Nuestra preocupacin debe estar focalizada en las tasas de inters, independientemente de la forma como se amortice la deuda. Si queremos encontrar la tasa de inters, tenemos que construir el flujo de caja de la decisin de endeudamiento y calcularla. Sin embargo este procedimiento no se requiere, porque este es un caso de tasas mltiples, en el cual simplemente calculando la tasa con la formula respectiva la determinaremos:Tasa efectiva = Tasa de inflacin + Tasa en U.V.R + Tasa de inflacin x Tasa en UVR =0.10 + 0.14 + 0.10 ? 0.14 = 25.40% Efectiva anual.Para tomar realmente la decisin de endeudamiento nos debemos de preocupar por la tasa de inters primordialmente. Si se encuentran tasas ms baratas, por ejemplo en pesos, esta debe ser nuestra decisin. Para sorpresa de muchos, la tasa mas baja ha sido histricamente la del sistema de unidad de poder adquisitivo constante (UPAC) y actualmente el sistema de unida de valor real (U.V.R). Tomar la decisin por otros motivos, seria totalmente ilgico.10 SERIE UNIFORME ANTICIPADA: FORMA GENERALLa caracterstica de la serie uniforme anticipada es la ocurrencia de los pagos al principio de cada intervalo de pago. El primer pago ocurre al principio de cada intervalo de pago, el segundo pago ocurre al principio del segundo pago y as sucesivamente hasta el ltimo pago que ocurre al principio del ultimo intervalo de pago.Veamos la forma general de esta serie en un diagrama de flujo de caja:

En esta forma general hay que destacar algunos detalles tiles para la comprensin de esta serie: El valor presente esta en 0, exactamente donde ocurre el primer pago. El valor futuro esta en N, un periodo despus de efectuar el ltimo pago. El plazo o termino de la serie abarca desde el principio del primer intervalo de pago, hasta el final del ultimo intervalo de pago. La tasa de inters peridica i, siempre debe corresponde a la tasa de inters peridica vencida y en ningn evento se debe considerar la tasa de inters peridica anticipada, la serie anticipada se refiere a la ocurrencia de los pagos y no a la periodicidad de ocurrencia de la tasa. La equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme anticipada, como en todos los sistemas de amortizacin equivalentes de pago, tambin se da.6.11 VALOR PRESENTE DE LA SERIE UNIFORME ANTICIPADAEl valor presente de la serie uniforme anticipada es un pago nico presente de valor P, el cual esta en 0, exactamente donde ocurre el primer pago y el cual es equivalente a N cuotas de valor R cada una y efectuadas al principio de cada intervalo de pago. Para hallar el valor presente, se debe entonces establecer una ecuacin de valor como lo hemos venido realizado. Seleccionemos como fecha de comparacin el periodo 1 y observemos como la serie se asemeja a una serie vencida u ordinaria.

A la ecuacin de valor presente de la serie anticipada, tambin podramos llegar, convirtiendo la serie anticipada en serie ordinaria, simplemente multiplicando el valor del pago de la serie anticipada por el factor (1+i), as los pagos tendran el valor de R?(1+i) pero estos ocurriran al final del intervalo de pago, la cual es la caracterstica de la serie ordinaria. Lo que realmente hemos realizado, es convertir la serie anticipada en ordinaria, de la siguiente forma:

Para hallar el valor presente de esta serie, multiplicamos el valor del pago R*(1+i) por el factor que convierte una serie ordinaria en un pago nico presente [(1-(1+i)-Ni].P=R*(1+I)*[(1-(1+i)-N)i]. Esta es la misma ecuacin a la cual se haba llegado, para hallar el valor presente de la serie anticipada.12 VALOR FUTURO DE LA SERIE UNIFORME ANTICIPADAEl valor futuro de la serie uniforme anticipada es un pago nico de valor F, el cual se encuentra en N exactamente un periodo despus de ocurrir el ltimo y el cual es equivalente a N pagos de valor R cada uno, efectuados al principio de cada intervalo de pago.Para hallar el valor futuro de la serie, multiplicamos el valor equivalente del pago vencido R*(1+i), por el factor que convierte una serie ordinaria en un pago nico futuro [((1+i)N-1)i].F= R*(1+i)*[((1+i)N-1)i].13 SERIE UNIFORME ORDINARIA VERSUS SERIE UNIFORME ANTICIPADARealicemos un ejercicio, donde se puedan observar similitudes y diferencias entre ambas series.Ejemplo.En el siguiente diagrama de flujo de caja, estimar el valor presente y el valor futuro de la serie de pagos, con enfoque de serie ordinaria y serie anticipada.

La intencin es hallar un pago nico presente, P0, y un pago nico futuro en el perodo 12, F12, equivalente a la serie uniforme de cuotas de valor R.Hallemos estos pagos nicos con los enfoques de series ordinarias y series anticipadas.SERIE UNIFORME ORDINARIAEl trmino de la serie ordinaria est definido entre el perodo 4 y el perodo 9 (un perodo antes del primero pago y el final del perodo donde ocurre el ltimo pago).

Con el valor futuro de la serie, el proceso es similar al que se utiliz para el valor presente. La serie de pagos se traslada con el factor serie uniforme valor futuro hasta cuando ocurre el ltimo pago (periodo 9) y luego se debe ubicar al final del perodo 12, con el factor pago nico valor futuro (1+i)3.SERIE UNIFORME ANTICIPADATal como lo hicimos para la serie ordinaria, el trmino de la serie anticipada est contemplado entre el periodo 5 y el perodo 10. El inicio del trmino coincide con el primer pago y el final de ste ocurre un perodo despus de haber realizado el ltimo pago.En forma anloga, determinaremos los valores Poy F12:

Observamos que los valores de Po y F12 son iguales, indiscutible y necesariamente, independiente del enfoque con el que se trabajen. Lo importante entonces, es definir exactamente el trmino de la serie y aplicar los factores correspondientes.14 SERIE UNIFORME INFINITA O RENTA PERPETUAPodemos definir la serie uniforme infinita, como el conjunto de pagos iguales efectuados a intervalos iguales que tiende a infinito. La anterior definicin, esta indicando que en esta serie el nmero de pagos N tiende a infinito .La aplicacin inmediata de esta serie aparece en los fondos de pensiones, en los cuales se puede garantizar a perpetuidad el cubrimiento de los pagos con la condicin de tener constituido un fondo o bono pensional.6.14.1 Valor presente de la Renta PerpetuaEl valor presente de la renta perpetua, se puede definir como un pago nico ahora de valor P, el cual es equivalente a infinitas cuotas de valor R cada una. El valor presente es un pago nico de valor P que al multiplicarlo por la tasa de inters peridica i, da como resultado el valor del pago peridico R: P*i= R.Despejando el valor de P: P= R*[1i].El factor [1i] convierte infinitas cuotas de valor R en un pago nico presente de valor P equivalente. Adems debe ser igual al factor [(1-(1+i)-n)i] que convierte N finitas cuotas o pagos de valor R, en un pago nico presente cuando N tiende a .Ejemplo.Se desea establecer un fondo (valor del bono pensional) que atienda a perpetuidad la pensin de $1.000.0000 al final de cada mes. El fondo reconoce una tasa del 19.56% efectiva anual.En el ejemplo los pagos ocurren cada mes, por lo tanto se debe convertir la tasa efectiva anual en la peridica mensual de la forma enunciada anteriormente.Ip= (1+ie)1p-1=(1+.1956)1/12-1=1.5% mensual.Ahora aplicamos la ecuacin de valor presente de la serie uniforme infinita:P= 1.000.000*[10.015]=$66.666.667.La anterior respuesta significa que un fondo ahora por la suma de $66.666.667, equivale a una serie garantizada a perpetuidad de $1.000.000 mensuales. Si el caso anterior fuera real, sera ilgico que alguien trate de poder atender sus necesidades a perpetuidad con pagos iguales del mismo monto. Por lo tanto hay necesidad de pensar en fondos que atiendan las pensiones con incrementos peridicos, que contrarresten la prdida del poder adquisitivo.