14 Preguntas - fisicachevere.files.wordpress.com · 4.50 cm de radio. La masa de la segunda esfera...

14 Capítulo 1 Física y medición

1. Suponga que los tres estándares fundamentales del sistema métrico fuesen longitud, densidad y tiempo en lugar de longi-tud, masa y tiempo. El estándar de densidad en este sistema se debe definir como el propio del agua. ¿Qué consideraciones acerca del agua necesitaría abordar para asegurar que el están-dar de densidad es tan preciso como sea posible?

2. Exprese las siguientes cantidades usando los prefijos dados en la tabla 1.4: a) 3 10 4 m, b) 5 10 5 s, c) 72 102 g.

3. O Ordene las siguientes cinco cantidades de la más grande a la más pequeña: a) 0.032 kg, b) 15 g, c) 2.7 105 mg, d) 4.1 10 8 Gg, e) 2.7 108 g. Si dos de las masas son iguales, déles igual lugar en su lista.

4. O Si una ecuación es dimensionalmente correcta, ¿esto signi-fica que la ecuación debe ser verdadera? Si una ecuación no es dimensionalmente correcta, ¿esto significa que la ecuación no puede ser verdadera?

5. O Responda cada pregunta con sí o no. Dos cantidades deben tener las mismas dimensiones a) ¿si las suma?, b) ¿si las multi-plica?, c) ¿si las resta?, d) ¿si las divide?, e) ¿si usa una cantidad

como exponente al elevar la otra a una potencia?, f) ¿si las iguala?

6. O El precio de la gasolina en una estación es de 1.3 euros por litro. Una estudiante usa 41 euros para comprar gasolina. Si sabe que 4 cuartos hacen un galón y que 1 litro es casi 1 cuar- to, de inmediato razona que puede comprar (elija una) a) menos de 1 galón de gasolina, b) aproximadamente 5 galones de gasolina, c) cerca de 8 galones de gasolina, d) más de 10 galones de gasolina.

7. O Un estudiante usa una regleta para medir el grosor de un libro de texto y encuentra que es de 4.3 cm 0.1 cm. Otros estudiantes miden el grosor con calibradores vernier y obtie-nen a) 4.32 cm 0.01 cm, b) 4.31 cm 0.01 cm, c) 4.24 cm 0.01 cm y d) 4.43 cm 0.01 cm. ¿Cuál de estas cuatro mediciones, si hay alguna, concuerda con la obtenida por el primer estudiante?

8. O Una calculadora despliega un resultado como 1.365 248 0 107 kg. La incertidumbre estimada en el resultado es 2%.

¿Cuántos dígitos debe incluir como significativos cuando es-criba el resultado? Elija una: a) cero, b) uno, c) dos, d) tres, e) cuatro, f) cinco, g) no se puede determinar el número.

1. Use la información que aparece al final de este libro para calcular la densidad promedio de la Tierra. ¿Dónde encaja el valor entre los que se mencionan en la tabla 14.1? Busque la densidad de una roca superficial típica, como el granito, en otra fuente y compare la densidad de la Tierra con ella.

2. El kilogramo estándar es un cilindro de platino–iridio de 39.0 mm de alto y 39.0 mm de diámetro. ¿Cuál es la densidad del material?

3. Una importante compañía automotriz muestra un molde de su primer automóvil, hecho de 9.35 kg de hierro. Para celebrar sus 100 años en el negocio, un trabajador fundirá el molde en oro a partir del original. ¿Qué masa de oro se necesita para hacer el nuevo modelo?

4. Un protón, que es el núcleo de un átomo de hidrógeno, se representa como una esfera con un diámetro de 2.4 fm y una masa de 1.67 10 27 kg. Determine la densidad del protón y establezca cómo se compara con la densidad del plomo, que está dada en la tabla 14.1.

5. De cierta roca uniforme son cortadas dos esferas. Una tiene 4.50 cm de radio. La masa de la segunda esfera es cinco veces mayor. Encuentre el radio de la segunda esfera.

6. Un sólido cristalino consiste de átomos apilados en una estruc-tura reticular repetitiva. Considere un cristal como el que se muestra en la figura P1.6a. Los átomos residen en las esquinas de cubos de lado L 0.200 nm. Una pieza de evidencia para el ordenamiento regular de átomos proviene de las superficies

PreguntasO indica pregunta complementaria.

Problemas

Figura P1.6

Nota: Consulte al final del libro, apéndices y tablas en el texto siempre que sea necesario para resolver problemas. En este capítulo la tabla 14.1 y el apéndice B.3 son de mucha utilidad. Las respuestas a los problemas con número impar aparecen al final del libro.

2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo

L

b)

a) d

www.FreeLibros.org

planas a lo largo de las cuales se separa un cristal, o fractu-ra, cuando se rompe. Suponga que este cristal se fractura a lo largo de una cara diagonal, como se muestra en la figura P1.6b. Calcule el espaciamiento d entre dos planos atómicos adyacentes que se separan cuando el cristal se fractura.

7. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas? a) vf vi ax, b) y (2 m) cos (kx), donde k 2 m 1.

8. La figura P1.8 muestra el tronco de un cono. De las siguientes expresiones de medición (geométrica), ¿cuál describe i) la cir-cunferencia total de las caras circulares planas, ii) el volumen y iii) el área de la superficie curva? a) (r 1 r 2) [h2 (r 2 r 1)

2]1/2, b) 2 (r 1 r 2), c) h(r 12 r 1r 2 r 2

2)/3.

16. Un cargador de mineral mueve 1 200 tons/h de una mina a la superficie. Convierta esta relación a libras por segundo, 1 ton 2 000 lb.

17. Cuando se imprimió este libro, la deuda nacional estadouni-dense era de aproximadamente $8 billones. a) Si se hicieran pagos con una rapidez de $1 000 por segundo, ¿cuántos años tardaría en ser pagada la deuda, si supone que no se cargan in- tereses? b) Un billete de dólar mide aproximadamente 15.5 cm de largo. Si ocho billones de billetes de dólar se pusiesen extremo con extremo alrededor del ecuador de la Tierra, ¿cuántas veces darían la vuelta al planeta? Considere que el radio de la Tierra en el ecuador es de 6 378 km. Nota: Antes de hacer algún cálculo, intente adivinar las respuestas. Se sor-prenderá.

18. Una pirámide tiene una altura de 481 ft y su base cubre una área de 13.0 acres (figura P1.18). El volumen de una pirámide está dado por la expresión V 1

3 Bh, donde B es el área de la base y h es la altura. Encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos. (1 acre 43 560 ft2)

9. La ley de gravitación universal de Newton se representa por

FGMm

r2

Aquí F es la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida por un objeto pequeño sobre otro, M y m son las masas de los objetos y r es una distancia. La fuerza tiene las unidades del SI kg · m/s2. ¿Cuáles son las unidades del SI de la constante de proporcionalidad G ?

10. Suponga que su cabello crece a una proporción de 1/32 pul-gada por cada día. Encuentre la proporción a la que crece en nanómetros por segundo. Dado que la distancia entre átomos en una molécula es del orden de 0.1 nm, su respuesta sugiere cuán rápidamente se ensamblan las capas de átomos en esta síntesis de proteínas.

11. Un lote rectangular mide 100 ft por 150 ft. Determine el área de este lote en metros cuadrados.

12. Un auditorio mide 40.0 m 20.0 m 12.0 m. La densidad del aire es 1.20 kg/m3. ¿Cuáles son a) el volumen de la ha-bitación en pies cúbicos y b) el peso en libras del aire en la habitación?

13. Una habitación mide 3.8 m por 3.6 m y su techo está a 2.5 m de altura. ¿Es posible empapelar por completo las pare-des de esta habitación con las páginas de este libro? Explique su respuesta.

14. Suponga que llenar un tanque de gasolina de 30.0 galones tarda 7.00 min. a) Calcule la rapidez a la cual el tanque se llena en galones por segundo. b) Calcule la rapidez a la cual el tanque se llena en metros cúbicos por segundo. c) Determine el intervalo, en horas, que se requiere para llenar un volumen de 1.00 m3 a la misma rapidez (1 galón 231 pulg3).

15. Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un vo-lumen de 2.10 cm3. A partir de estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI (kg/m3).

h

r1

r2

Figura P1.8

19. La pirámide descrita en el problema 18 contiene aproxima-damente 2 millones de bloques de piedra que en promedio pesan 2.50 toneladas cada uno. Encuentre el peso de esta pi-rámide en libras.

20. Un átomo de hidrógeno tiene un diámetro de 1.06 10 10 m según se deduce del diámetro de la nube esférica de electrones que rodea al núcleo. El núcleo de hidrógeno tiene un diá-metro de aproximadamente 2.40 10 15 m. a) Para un mo-delo a escala, represente el diámetro del átomo de hidrógeno por la longitud de un campo de futbol americano (100 yardas

300 ft) y determine el diámetro del núcleo en milímetros. b) ¿Cuántas veces el átomo es más grande en volumen que su núcleo?

21. Un galón de pintura (volumen 3.78 10 3 m3) cubre un área de 25.0 m2. ¿Cuál es el grosor de la pintura fresca sobre la pared?

22. El radio medio de la Tierra es de 6.37 106 m y el de la Luna es de 1.74 108 cm. A partir de estos datos calcule a) la ra-zón del área superficial de la Tierra con la de la Luna y b) la relación del volumen de la Tierra con la de la Luna. Recuer- de que el área superficial de una esfera es 4 r 2 y el volumen de una esfera es 43 r 3.

23. Un metro cúbico (1.00 m3) de aluminio tiene una masa de 2.70 103 kg, y el mismo volumen de hierro tiene una masa de 7.86 103 kg. Encuentre el radio de una esfera de aluminio sólida que equilibraría una esfera de hierro sólida de 2.00 cm de radio sobre una balanza de brazos iguales.

24. Sea Al la representación de la densidad del aluminio y Fe la del hierro. Encuentre el radio de una esfera de aluminio sólida que equilibra una esfera de hierro sólida de radio r Fe en una balanza de brazos iguales.

Figura P1.18 Problemas 18 y 19.Sy

lvai

n Gr

anda

dam

/Pho

to R

esea

rche

rs, I

nc.

Problemas 15

2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativowww.FreeLibros.org


25. Encuentre el orden de magnitud del número de pelotas de tenis de mesa que entrarían en una habitación de tamaño tí-pico (sin estrujarse). En su solución, establezca las cantidades que midió o estimó y los valores que tomó para ellas.

26. La llanta de un automóvil dura 50 000 millas. En un orden de magnitud, ¿a través de cuántas revoluciones girará? En su solución, establezca las cantidades que midió o estimó y los valores que tomó para ellas.

27. Calcule el orden de magnitud de la masa de una bañera medio llena de agua. Calcule el orden de magnitud de la masa de una bañera medio llena de monedas. En su solución, mencione las cantidades que tomó como datos y los valores que midió o estimó para cada una.

28. Suponga que Bill Gates le ofrece $1 000 millones si es capaz de terminar de contarlos usando sólo billetes de un dólar. ¿Debe aceptar su oferta? Explique su respuesta. Suponga que cuenta un billete cada segundo y advierta que necesita al menos 8 horas al día para dormir y comer.

29. En un orden de magnitud, ¿cuántos afinadores de piano hay en la ciudad de Nueva York? El físico Enrico Fermi fue famoso por plantear preguntas como ésta en los exámenes orales para calificar candidatos a doctorado. La facilidad que él tenía para realizar cálculos del orden de magnitud se ejemplifica en el problema 48 del capítulo 45.

Nota: El apéndice B.8, acerca de la propagación de incertidum-bre, es útil para resolver los problemas de esta sección.

30. Una placa rectangular tiene una longitud de (21.3 0.2) cm y un ancho de (9.8 0.1) cm. Calcule el área de la placa, incluida su incertidumbre.

31. ¿Cuántas cifras significativas hay en los siguientes números: a) 78.9 0.2 b) 3.788 109 c) 2.46 10 6 d) 0.005 3?

32. El radio de una esfera sólida uniforme mide (6.50 0.20) cm y su masa es de (1.85 0.02) kg. Determine la densidad de la esfera en kilogramos por metro cúbico y la incertidumbre en la densidad.

33. Realice las siguientes operaciones aritméticas: a) la suma de los valores medidos 756, 37.2, 0.83 y 2, b) el producto de 0.003 2 356.3, c) el producto 5.620 .

34. El año tropical, el intervalo desde un equinoccio de primavera hasta el siguiente equinoccio de primavera, es la base para el calendario. Contiene 365.242 199 días. Encuentre el número de segundos en un año tropical.

Nota: Los siguientes 11 problemas requieren habilidades mate-máticas que serán útiles a lo largo del curso.

35. Problema de repaso. Una niña se sorprende de que debe pagar $1.36 por un juguete marcado con $1.25 debido a los impuestos. ¿Cuál es la tasa de impuesto efectiva sobre esta com-pra, expresada como porcentaje?

36. Problema de repaso. A un estudiante se le proporcionan una pila de papel para copiadora, regla, compás, tijeras y una báscula de precisión. El estudiante corta varias formas de varios tamaños, calcula sus áreas, mide sus masas y prepara la gráfi-ca de la figura P1.36. Considere el cuarto punto experimen-tal desde la parte superior. ¿Qué tan lejos está de la recta de mejor ajuste? a) Exprese su respuesta como una diferencia en la coordenada del eje vertical. b) Formule su respuesta como

una diferencia en la coordenada del eje horizontal. c) Exprese las respuestas de los incisos a) y b) como un porcentaje. d) Calcule la pendiente de la línea. e) Establezca lo que demues-tra la gráfica, en referencia con la pendiente de la gráfica y los resultados de los incisos c) y d). f) Describa si este resultado debe anticiparse teóricamente. Describa el significado físico de la pendiente.

37. Problema de repaso. Un joven inmigrante trabaja tiempo extra y gana dinero para comprar reproductores MP3 portátiles que envía a su casa como regalos a la familia. Por cada turno extra que trabaja, él calcula que comprará un reproductor y dos tercios de otro. Un correo electrónico de su madre le informa que los reproductores son tan populares que cada uno de los 15 jóvenes amigos del vecindario quiere uno. ¿Cuántos tur- nos más tendrá que trabajar?

38. Problema de repaso. En un estacionamiento universitario, el número de automóviles ordinarios es mayor que el de vehícu- los deportivos por 94.7%. La diferencia entre el número de automóviles y el número de vehículos deportivos es 18. En-cuentre el número de vehículos deportivos en el estaciona-miento.

39. Problema de repaso. La relación del número de pericos que visita un comedero de aves al número de aves más interesantes es de 2.25. Una mañana, cuando 91 aves visitan el comedero, ¿cuál es el número de pericos?

40. Problema de repaso. Pruebe que una solución de la ecua-ción

2.00x4 3.00x3 5.00x 70.0

es x 2.22. 41. Problema de repaso. Encuentre todo ángulo entre 0 y 360°

para el cual la relación de sen a cos sea 3.00. 42. Problema de repaso. Una curva en la autopista forma una

sección de círculo. Un automóvil entra a la curva. La brúju- la de su tablero muestra que el automóvil al inicio se dirige hacia el este. Después de recorrer 840 m, se dirige 35.0° al sureste. Encuentre el radio de curvatura de su trayectoria. Suge-rencia: Encontrará útil aprender un teorema geométrico citado en el apéndice B.3.

43. Problema de repaso. Durante cierto periodo, mientras crece un cocodrilo, su masa es proporcional al cubo de su longitud. Cuando la longitud del cocodrilo cambia en 15.8%, su masa aumenta 17.3 kg. Encuentre su masa al final de este proceso.

CuadradosRectángulos Triángulos

Círculos Mejor ajuste

0.3

0.2

0.1

0

Área (cm2)

Dependencia de la masa en el áreapara formas de papel

Masa (g)

200 400 600

Figura P1.36


44. Problema de repaso. A partir del conjunto de ecuaciones

12 pr 2 1

2 qs2 12 qt 2

pr qs

p 3q

que involucran las incógnitas p, q, r, s y t, encuentre el valor de la relación de t a r.

45. Problema de repaso. En un conjunto particular de ensayos experimentales, los estudiantes examinan un sistema descrito por la ecuación

Q

¢t

kp d2 1Th Tc 24L

En el capítulo 20 se verá esta ecuación y las diversas cantida-des en ella. Para control experimental, en estos ensayos todas las cantidades, excepto d y t, son constantes. a) Si d se hace tres veces más grande, ¿la ecuación predice que t se hará más grande o más pequeña? ¿En qué factor? b) ¿Qué patrón de proporcionalidad de t a d predice la ecuación? c) Para mostrar esta proporcionalidad como una línea recta en una gráfica, ¿qué cantidades debe graficar en los ejes horizontal y vertical? d) ¿Qué expresión representa la pendiente teórica de esta gráfica?

46. En una situación en que los datos se conocen a tres cifras sig-nificativas, se escribe 6.379 m 6.38 m y 6.374 m 6.37 m. Cuando un número termina en 5, arbitrariamente se elige escribir 6.375 m 6.38 m. Igual se podría escribir 6.375 m 6.37 m, “redondeando hacia abajo” en lugar de “redondear hacia arriba”, porque el número 6.375 se cambiaría por iguales incrementos en ambos casos. Ahora considere una estimación del orden de magnitud en la cual los factores de cambio, más que los incrementos, son importantes. Se escribe 500 m 103 m porque 500 difiere de 100 por un factor de 5, mientras difie-re de 1 000 sólo por un factor de 2. Escriba 437 m 103 m y 305 m 102 m. ¿Qué distancia difiere de 100 m y de 1 000 m por iguales factores de modo que lo mismo se podría esco-ger representar su orden de magnitud como 102 m o como

103 m? 47. Un cascarón esférico tiene un radio externo de 2.60 cm y

uno interno de a. La pared del cascarón tiene grosor uniforme y está hecho de un material con densidad de 4.70 g/cm3. El espacio interior del cascarón está lleno con un líquido que tiene una densidad de 1.23 g/cm3. a) Encuentre la masa m de la esfera, incluidos sus contenidos, como función de a. b) En la respuesta a la parte a), si a se considera variable, ¿para qué valor de a tiene m su máximo valor posible? c) ¿Cuál es esta masa máxima? d) ¿El valor de la parte b) concuerda con el resultado de un cálculo directo de la masa de una esfera de densidad uniforme? e) ¿Para qué valor de a la respuesta al inciso a) tiene su valor mínimo posible? f) ¿Cuál es esta masa mínima? g) ¿El valor del inciso f) concuerda con el resultado de un cálculo directo de la masa de una esfera uniforme? h) ¿Qué valor de m está a la mitad entre los valores máximo y mínimo posibles? i) ¿Esta masa concuerda con el resultado del inciso a) evaluada para a 2.60 cm/2 1.30 cm? j) Explique si debe esperar concordancia en cada uno de los incisos d), g) e i). k) ¿Qué pasaría si? En el inciso a), ¿la respuesta cambiaría si la pared interior del cascarón no fuese concéntrica con la pared exterior?

48. Una barra que se extiende entre x 0 y x 14.0 cm tiene área de sección transversal uniforme A 9.00 cm2. Se fabrica de una aleación de metales que cambia continuamente de modo que, a lo largo de su longitud, su densidad cambia de mane-ra uniforme de 2.70 g/cm3 a 19.3 g/cm3. a) Identifique las constantes B y C requeridas en la expresión B Cx para describir la densidad variable. b) La masa de la barra se conoce mediante

m

todo el material

rdV

toda x

rAdx14 cm

0

1B Cx 2 19.00 cm2 2 dx

Realice la integración para encontrar la masa de la barra.

49. El diámetro de la galaxia con forma de disco, la Vía Láctea, es de aproximadamente 1.0 105 años luz (a–l). La distancia a Andrómeda, que es la galaxia espiral más cercana a la Vía Láctea, es de alrededor de 2.0 millones de a–l. Si un modelo a escala representa las galaxias Vía Láctea y Andrómeda como platos soperos de 25 cm de diámetro, determine la distancia entre los centros de los dos platos.

50. Se sopla aire hacia dentro de un globo esférico de modo que, cuando su radio es de 6.50 cm, éste aumenta en una proporción de 0.900 cm/s. a) Encuentre la rapidez a la que aumenta el volumen del globo. b) Si dicha relación de flujo volumétrico de aire que entra al globo es constante, ¿en qué proporción aumentará el radio cuando el radio es de 13.0 cm? c) Explique físicamente por qué la respuesta del inciso b) es mayor o menor que 0.9 cm/s, si es diferente.

51. El consumo de gas natural por una compañía satisface la ecua-ción empírica V 1.50t 0.008 00t 2, donde V es el volumen en millones de pies cúbicos y t es el tiempo en meses. Exprese esta ecuación en unidades de pies cúbicos y segundos. Asigne las unidades adecuadas a los coeficientes. Suponga un mes de 30.0 días.

52. En física es importante usar aproximaciones matemáticas. De-muestre que, para ángulos pequeños ( 20°),

tan a sen a apa

180° donde está en radianes y en grados. Use una calculado-

ra para encontrar el ángulo más grande para el que tan se pueda aproximar a con un error menor de 10.0 por ciento.

53. Un chorro de agua elevado se ubica en el centro de una fuen-te, como se muestra en la figura P1.53. Un estudiante camina alrededor de la fuente, evitando mojar sus pies, y mide su cir-cunferencia en 15.0 m. A continuación, el estudiante se para en el borde de la fuente y usa un transportador para medir el ángulo de elevación de la fuente que es de 55.0°. ¿Cuál es la altura del chorro?

Problemas 17

55.0

Figura P1.53

54. Las monedas de colección a veces se recubren con oro para mejorar su belleza y valor. Considere un cuarto de dólar con-memorativo que se anuncia a la venta en $4.98. Tiene un diá-



metro de 24.1 mm y un grosor de 1.78 mm, y está cubierto por completo con una capa de oro puro de 0.180 m de grueso. El volumen del recubrimiento es igual al grosor de la capa por el área a la que se aplica. Los patrones en las caras de la moneda y los surcos en sus bordes tienen un efecto despreciable sobre su área. Suponga que el precio del oro es de $10.0 por cada gramo. Encuentre el costo del oro agregado a la moneda. ¿El costo del oro aumenta significativamente el valor de la mone-da? Explique su respuesta.

55. Un año es casi 107 s. Encuentre el error porcentual en esta aproximación, donde “error porcentual” se define como

Errorporcentual

0valor supuesto valor verdadero 0valor verdadero

100%

56. Una criatura se mueve con una rapidez de 5.00 furlongs por dos semanas (una unidad de rapidez no muy común). Dado que 1 furlong 220 yardas, y 2 semanas 14 días, determine la rapidez de la criatura en metros por segundo. Explique qué tipo de criatura cree que podría ser.

57. Un niño adora ver cómo llena una botella de plástico trans-parente con champú. Las secciones transversales horizontales de la botella son círculos con diámetros variables porque la botella es mucho más ancha en algunos lugares que en otros. Usted vierte champú verde brillante con una relación de flujo volumétrico constante de 16.5 cm3/s. ¿En qué cantidad el nivel de la botella se eleva a) a un punto donde el diámetro de la botella es de 6.30 cm y b) a un punto donde el diámetro es de 1.35 cm?

58. En la siguiente tabla la información representa observacio-nes de las masas y dimensiones de cilindros sólidos de alumi-nio, cobre, latón, estaño y hierro. Use tales datos para calcular las densidades de dichas sustancias. Establezca cómo sus re-sultados para aluminio, cobre y hierro se comparan con los conocidos en la tabla 14.1.

Sustancia

Masa (g)

Diámetro (cm)

Longitud (cm)

Aluminio 51.5 2.52 3.75Cobre 56.3 1.23 5.06Latón 94.4 1.54 5.69Estaño 69.1 1.75 3.74Hierro 216.1 1.89 9.77

59. Suponga que hay 100 millones de automóviles de pasajeros en Estados Unidos y que el consumo promedio de combustible es de 20 mi/gal de gasolina. Si la distancia promedio que recorre cada automóvil es de 10 000 mi/año, ¿cuánta gasolina se aho- rraría al año si el consumo promedio de combustible pudiera aumentar a 25 mi/gal?

60. La distancia del Sol a la estrella más cercana es casi de 4 1016 m. La galaxia Vía Láctea es en términos aproximados un disco de 1021 m de diámetro y 1019 m de grosor. Encuentre el orden de magnitud del número de estrellas en la Vía Láctea. Considere representativa la distancia entre el Sol y el vecino más cercano.

1.1 a). Ya que la densidad del aluminio es más pequeña que la del hierro, es necesario un mayor volumen de aluminio que de hierro para una determinada masa.

1.2 Falso. El análisis dimensional aporta las unidades de la constante de proporcionalidad pero no da información acerca de su valor numérico. Para determinar su valor nu-

mérico, se requiere información experimental o razonamiento geométrico. Por ejemplo, en la generación de la ecuación x 12at 2, puesto que el factor 12 es adimensional, no hay forma de determinarlo usando análisis dimensional.

1.3 b). Puesto que hay 1.609 km en 1 mi, se requiere un mayor número de kilómetros que de millas para una cierta distancia.

Respuestas a preguntas rápidas


dad que apunta desde el origen en el cuarto cuadrante. c) ¿Su componente x es positiva, negativa o cero? d) ¿Su componente y es positiva, negativa o cero? e) Considere el vector A

S B

S.

¿Qué concluye acerca de los cuadrantes en los que puede o no estar? f ) Ahora considere el vector B

S A

S. ¿Qué concluye

acerca de los cuadrantes en los que puede o no estar?

6. O i) ¿Cuál es la magnitud del vector (10 i 10k) m/s) a) 0, b) 10 m/s, c) 10 m/s, d) 10, e) 10, f ) 14.1 m/s, g) indefinido. ii) ¿Cuál es la componente y de este vector? (Elija de entre las mismas respuestas.)

7. O Un submarino se sumerge desde la superficie del agua en un ángulo de 30° bajo la horizontal, siguiendo una trayecto-ria recta de 50 m de largo. ¿Por tanto, a qué distancia está el submarino de la superficie del agua? a) 50 m, b) sen 30°, c) cos 30°, d) tan 30°, e) (50 m)/sen 30°, f) (50 m)/cos 30°, g) (50 m)/tan 30°, h) (50 m) sen 30°, i) (50 m)cos 30°, j) (50 m)tan 30°, k) (sen 30°)/50 m, l) (cos 30°)/50 m, m) (tan 30°)/50 m, n) 30 m, o) 0, p) ninguna de estas res-puestas.

8. O i) ¿Cuál es la componente x del vector que se muestra en la figura P3.8? a) 1 cm, b) 2 cm, c) 3 cm, d) 4 cm, e) 6 cm, f) 1 cm, g) 2 cm, h) 3 cm, i) 4 cm, j) 6 cm, k) ninguna de estas respuestas. ii) ¿Cuál es la componente y de este vector? (Elija de entre las mismas respuestas.)

1. Las coordenadas polares de un punto son r 5.50 m y 240°. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este

punto? 2. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.50 m,

30.0°) y (3.80 m, 120.0°). Determine a) las coordenadas car-tesianas de estos puntos y b) la distancia entre ellos.

3. Una mosca aterriza en la pared de una habitación. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema coordenado cartesiano bidimensional. Si la mosca se ubica en el punto que tiene coordenadas (2.00, 1.00) m, a) ¿A qué distancia está de la esquina de la habita-ción? b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?

4. Las coordenadas rectangulares de un punto están dadas por (2, y), y sus coordenadas polares son (r, 30°). Determine y y r.

5. Sean (r, ) las coordenadas polares del punto (x, y). Determine las coordenadas polares para los puntos a) ( x, y), b) ( 2x,

2y) y c) (3x, 3y).

6. Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km de dis-tancia en la dirección 20.0° al noreste. Después de soltar sumi-nistros vuela al lago B, que está a 190 km a 30.0° al noroeste del lago A. Determine gráficamente la distancia y dirección desde el lago B al campo base.

7. Una topógrafa mide la distancia a través de un río recto con el siguiente método: partiendo directamente a través de un árbol en la orilla opuesta, camina 100 m a lo largo del margen del río para establecer una línea base. Luego observa hacia el árbol. El ángulo de su línea base al árbol es de 35.0°. ¿Qué tan ancho es el río?

8. Una fuerza FS

1 de 6.00 unidades de magnitud actúa sobre un objeto en el origen en una dirección 30.0° sobre el eje x positi-vo. Una segunda fuerza F

S

2 de 5.00 unidades de magnitud actúa sobre el objeto en la dirección del eje y positivo. Encuentre gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante FS

1 FS

2. 9. Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular

de 5.00 m de radio. Si realiza medio círculo, encuentre a) la magnitud del vector desplazamiento y b) que distancia ha patinado. c) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si patina alrededor de todo el círculo?

10. Defina arbitrariamente el “vector instantáneo altura” de una persona como el vector desplazamiento desde el punto medio entre sus pies y lo alto de su cabeza. Realice una estimación del orden de magnitud del vector total altura de todas las personas en una ciudad de 100 000 habitantes a) a las 10 en punto de la mañana del martes y b) a las 5 en punto de la mañana del sábado. Explique sus razonamientos.

11. Cada uno de los vectores desplazamientos AS

y BS

que se muestran en la figura P3.11 tiene una magnitud de 3.00 m. Encuentre gráficamente a) A

S B

S, b) A

S B

S, c) B

S A

S y

d) AS

2BS

. Reporte todos los ángulos en sentido contrario de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

Problemas 65

Figura P3.8

y, cm

x, cm

2

2

224 0

9. O El vector AS

se encuentra en el plano xy. i) ¿Sus dos compo-nentes serán negativas si se encuentra en cuál(es) cuadrante(s)? elija todo lo que aplique. a) el primer cuadrante, b) el segundo cuadrante, c) el tercer cuadrante, d) el cuarto cuadrante. ii) ¿Hacia qué orientación sus componentes ten-drán signos opuestos? Elija de entre las mismas posibilidades.

10. Si el componente del vector AS

a lo largo de la dirección del vector B

S es cero, ¿qué puede concluir acerca de los dos vecto-

res?

11. ¿La magnitud de un vector puede tener un valor negativo? Explique.

12. ¿Es posible sumar una cantidad vectorial a una cantidad esca-lar? Explique.


Problemas

www.FreeLibros.org

66 Capítulo 3 Vectores


21. Mientras explora una cueva, un espeleólogo comienza en la entrada y se mueve las siguientes distancias. Va 75.0 m al norte, 250 m al este, 125 m a un ángulo de 30.0° al noreste y 150 m al sur. Encuentre su desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.

22. Un mapa sugiere que Atlanta está a 730 millas en una direc-ción de 5.00° al noreste desde Dallas. El mismo mapa muestra que Chicago está a 560 millas en una dirección de 21.0° al noroeste desde Atlanta. Represente la Tierra como plana y use esta información para encontrar el desplazamiento de Dallas a Chicago.

23. Un hombre que empuja una podadora por el suelo hace que experimente dos desplazamientos. El primero tiene una magni-tud de 150 cm y forma un ángulo de 120° con el eje x positivo. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm y se dirige a un ángulo de 35.0° con el eje x positivo. Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.

24. Dados los vectores AS

2.00 i 6.00 j y BS

3.00 i 2.00 j, a) dibuje la suma vectorial C

S A

S B

S y la diferencia vectorial

DS

AS

BS

. b) Calcule CS

y DS

, primero en términos de vectores unitarios y luego en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto del eje x.

25. Considere los dos vectores AS

3 i 2 j y BS

i 4 j. Calcule a) A

S B

S, b) A

S B

S, c) A

S B

S , d) A

S B

S , y e) las direcciones

de AS

BS

y AS

BS

. 26. Una pendiente de esquiar cubierta de nieve forma un ángulo

de 35.0° con la horizontal. Cuando un esquiador cae a plomo por la colina, una porción de nieve salpicada se proyecta a una posición máxima de 5.00 m a 20.0° de la vertical en direc-ción arriba de la colina, como se muestra en la figura P3.26. Encuentre las componentes de su posición máxima a) parale-la a la superficie y b) perpendicular a la superficie.

12. Tres desplazamientos son AS

200 m al sur, BS

250 m al oeste y C

S 150 m a 30.0° al noreste. Construya un diagrama

separado para cada una de las siguientes posibles formas de sumar estos vectores: R

S

1 AS

BS

CS

; RS

2 BS

CS

AS

; RS

3 CS

BS

AS

. Explique qué puede concluir al comparar los diagramas.

13. Un carro de montaña rusa se mueve 200 pies horizontalmente y luego se eleva 135 pies a un ángulo de 30.0° sobre la horizon-tal. A continuación viaja 135 pies a un ángulo de 40.0° hacia abajo. ¿Cuál es su desplazamiento desde su punto de partida? Use técnicas gráficas.

14. Un comprador que empuja un carrito a lo largo de una tienda se mueve 40.0 m por un pasillo, luego da una vuelta de 90.0° y se mueve 15.0 m. Luego da otra vuelta de 90.0° y se mueve 20.0 m. a) ¿A qué distancia está el comprador de su posición original? b) ¿Qué ángulo forma su desplazamiento total con su dirección original? Advierta que no se especifi-có si el comprador da vuelta a derecha o izquierda. Explique cuántas respuestas son posibles para los incisos a) y b) y dé las posibles respuestas.

15. Un vector tiene una componente x de 25.0 unidades y otra componente y de 40.0 unidades. Encuentre la magnitud y di-rección de este vector.

16. Una persona camina 25.0° al noreste durante 3.10 km. ¿Qué distancia tendría que caminar hacia el norte y hacia el este para llegar a la misma posición?

17. Una minivan viaja recto al norte en el carril derecho de una autopista a 28.0 m/s. Un camper pasa a la minivan y luego cambia del carril izquierdo al derecho. Mientras lo hace, la trayectoria del camper sobre el camino es un desplazamiento recto a 8.50° al noreste. Para evitar chocar con la minivan, la distancia norte–sur entre la defensa trasera del camper y la de-fensa delantera de la minivan no deben disminuir. ¿El camper puede conducirse para satisfacer este requisito? Explique su respuesta.

18. Una chica que entrega periódicos cubre su ruta al viajar 3.00 cuadras al oeste, 4.00 cuadras al norte y luego 6.00 cuadras al este. a) ¿Cuál es su desplazamiento resultante? b) ¿Cuál es la distancia total que recorre?

19. Obtenga expresiones en forma de componentes para los vecto-res de posición que tienen las siguientes coordenadas polares: a) 12.8 m, 150°, b) 3.30 cm, 60.0°, c) 22.0 pulg, 215°.

20. Un vector desplazamiento que se encuentra en el plano xy tiene una magnitud de 50.0 m y se dirige en un ángulo de 120° al eje x positivo. ¿Cuáles son las componentes rectangulares de este vector?

27. Una partícula se somete a los siguientes desplazamientos con-secutivos: 3.50 m al sur, 8.20 m al noreste y 15.0 m al oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?

28. En un juego de futbol americano, un mariscal de campo toma el balón desde la línea de golpeo, corre hacia atrás una dis-tancia de 10.0 yardas y luego corre de manera lateral paralelo a la línea de golpeo 15.0 yardas. En este punto, lanza un pase recto hacia adelante 50.0 yardas perpendicular a la línea de golpeo. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento resultante del balón?

29. Un golfista novato necesita tres golpes para meter la bola. Los desplazamientos sucesivos de la bola son: 4.00 m al norte,

Figura P3.11 Problemas 11 y 32.

y

B

3.00 m A

3.00 m

30.0O

x

Figura P3.26

20.0°

35.0°

www.FreeLibros.org

Problemas 67


2.00 m al noreste y 1.00 m a 30.0° al suroeste. Si parte del mismo punto inicial, ¿cuál sería el desplazamiento más sencillo que un golfista experto necesitaría para hacer el hoyo?

30. El vector AS

tiene componentes x y y de 8.70 cm y 15.0 cm, respectivamente; el vector B

S tiene componentes x y y de

13.2 cm y 6.60 cm, respectivamente. Si AS

BS

3CS

0, ¿cuáles son las componentes de C

S?

31. La vista desde el helicóptero en la figura P3.31 muestra a dos personas jalando una mula terca. Encuentre a) la fuerza única que es equivalente a las dos fuerzas que se muestran y b) la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza resultante igual a cero. Las fuerzas se miden en unidades de newtons (representada por N).

sión en vectores unitarios para un vector BS

de un cuarto de longitud de A

S que apunte en la misma dirección que A

S. c)

Obtenga una expresión en vectores unitarios para un vector CS

tres veces la longitud de A

S que apunte en la dirección opuesta

a la dirección de AS

. 38. Usted está de pie sobre el suelo en el origen de un sis-

tema coordenado. Un avión vuela sobre usted con velo-cidad constante paralela al eje x y a una altura fija de 7.60

103 m. En el tiempo t 0 el avión está directamente arriba de usted de modo que el vector que va de usted a él es P

S

0 (7.60 103 m) j. En t 30.0 s, el vector de posición que va de usted al avión es P

S

30 (8.04 103 m) i (7.60 103 m) j. Determine la magnitud y orientación del vector de posición del avión en t 45.0 s.

39. Una estación de radar ubica un barco hundido en un intervalo de 17.3 km y orientación 136° en sentido de las manecillas del reloj desde el norte. Desde la misma estación, un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19.6 km, 153° en sen-tido de las manecillas del reloj desde el norte, con elevación de 2.20 km. a) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión, con i que representa el este, j el norte y k hacia arriba. b) ¿Qué tan separados están el avión y el barco?

40. a) El vector ES

tiene 17.0 cm de magnitud y se dirige 27.0° contra las manecillas el reloj desde el eje x. Expréselo en notación de vectores unitarios. b) El vector F

S tiene 17.0 cm

de magnitud y se dirige 27.0° contra las manecillas del reloj desde el eje y. Expréselo en notación de vectores unitarios. c) El vector G

S tiene 17.0 cm de magnitud y se dirige 27.0° en

sentido de las manecillas del reloj desde el eje y. Expréselo en notación de vectores unitarios.

41. El vector AS

tiene un componente x negativo de 3.00 unidades de longitud y un componente y positivo de 2.00 unidades de longitud. a) Determine una expresión para A

S en notación

de vectores unitarios. b) Determine la magnitud y dirección de AS

. c) ¿Qué vector BS

, cuando se suma a AS

, da un vector resul-tante sin componente x y una componente y negativa de 4.00 unidades de longitud?

42. Conforme pasa sobre la isla Gran Bahamas, el ojo de un hura-cán se mueve en una dirección 60.0° al noroeste con una rapidez de 41.0 km/h. Tres horas después el curso del huracán cambia súbitamente al norte y su rapidez baja a 25.0 km/h. ¿A qué distancia de Gran Bahamas está el ojo 4.50 h después de que pasa sobre la isla?

43. En la figura P3.43 se muestran tres vectores desplazamiento de una pelota de croquet, donde A

S 20.0 unidades, B

S 40.0

unidades y CS

30.0 unidades. Encuentre a) el resultante en

32. Use el método de componentes para sumar los vectores AS

y BS

que se muestran en la figura P3.11. Exprese la resultante A

S

BS

en notación de vector unitario. 33. El vector B

S tiene componentes x, y y z de 4.00, 6.00 y 3.00 uni-

dades, respectivamente. Calcule la magnitud de BS

y los ángulos que B

S forma con los ejes coordenados.

34. Considere los tres vectores desplazamiento AS

(3 i 3 j ) m, BS

( i 4 j ) m y CS

( 2 i 5 j ) m. Use el método de componentes para determinar a) la magnitud y dirección del vector D

S A

S B

S C

S y b) la magnitud y dirección de

ES

AS

BS

CS

. 35. Dados los vectores desplazamiento A

S (3 i 4 j 4 k) m y

BS

(2 i 3 j 7 k) m, encuentre las magnitudes de los vec-tores a) C

S A

S B

S y b) D

S 2A

S B

S, y también exprese cada

uno en términos de sus componentes rectangulares. 36. En la operación de ensamblado que se ilustra en la figura P3.36,

un robot primero mueve un objeto en recta hacia arriba con esto también al este, alrededor de un arco que forma un cuarto de círculo de 4.80 cm de radio que se encuentra en un plano vertical este–oeste. Luego el robot mueve el objeto hacia arriba y al norte, a través de un cuarto de círculo de 3.70 cm de radio que se encuentra en un plano vertical norte–sur. Encuentre a) la magnitud del desplazamiento total del objeto y b) el ángulo que el desplazamiento total forma con la vertical.

37. El vector AS

tiene componentes x, y y z de 8.00, 12.0 y 4.00 unidades, respectivamente. a) Escriba una expresión vectorial para A

S en notación de vector unitario. b) Obtenga una expre-

Figura P3.31

y

x75.0 60.0

F1 120 N

F2 80.0 N

Figura P3.36

www.FreeLibros.org



notación de vectores unitarios y b) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante.

norte. a) Dibuje un mapa de los desplazamientos sucesivos. b) ¿Qué distancia total recorrió? c) Calcule la magnitud y direc-ción de su desplazamiento total. La estructura lógica de este problema y de muchos problemas en capítulos posteriores la sugirieron Alan van Heuvelen y David Maloney, American Jour-nal of Physics, 67(3) pp. 252–256, marzo de 1999.

47. Dos vectores AS

y BS

tienen magnitudes exactamente iguales. Para que la magnitud de A

S B

S sea 100 veces mayor que la

magnitud de AS

BS

, ¿cuál debe ser el ángulo entre ellos? 48. Dos vectores A

S y B

S tienen magnitudes exactamente iguales.

Para que la magnitud de AS

BS

sea mayor que la magnitud de AS

BS

por el factor n, ¿cuál debe ser el ángulo entre ellos? 49. Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la

pantalla de su radar. La primera está a una altitud de 800 m, 19.2 km de distancia horizontal y 25.0° al suroeste. La segunda está a una altitud de 1 100 m, 17.6 km de distancia horizontal y 20.0° al suroeste. ¿Cuál es la distancia entre las dos aeronaves? (Coloque el eje x al oeste, el eje y al sur y el eje z vertical.)

50. El animal de peluche más grande del mundo es una víbora de 420 m de largo, construida por niños noruegos. Suponga que la víbora se encuentra en un parque, como se muestra en la figura P3.50, y forma dos lados rectos de un ángulo de 105°, con un lado de 240 m de largo. Olaf e Inge corren una com-petencia que inventan. Inge corre directamente desde la cola de la víbora a su cabeza, y Olaf parte del mismo lugar en el mismo momento pero corre a lo largo de la víbora. Si ambos niños corren uniformemente a 12.0 km/h, ¿cuánto tiempo antes que Olaf, Inge llega a la cabeza de la víbora?

51. Un barco transbordador lleva turistas entre tres islas. Navega de la primera isla a la segunda isla, a 4.76 km de distancia, en una dirección 37.0° al noreste. Luego navega de la segunda isla a la tercera en una dirección de 69.0° al noroeste. Por último, regresa a la primera isla y navega en una dirección 28.0° al sureste. Calcule la distancia entre a) la segunda y tercera islas y b) la primera y tercera islas.

52. Un vector está dado por RS

2 i j 3 k. Encuentre a) las magnitudes de los componentes x, y y z, b) la magnitud de R

S

y c) los ángulos entre RS

y los ejes x, y y z. 53. Un avión jet, que al inicio se mueve a 300 mi/h al este, súbi-

tamente entra a una región donde el viento sopla a 100 mi/h hacia la dirección de 30.0° al noreste. ¿Cuáles son la nueva rapidez y dirección del avión en relación con el nivel de la tierra?

54. Sea AS

60.0 cm a 270° medido desde la horizontal. Sea BS

80.0 cm a cierto ángulo . a) Encuentre la magnitud de AS

BS

como función de . b) De la respuesta del inciso a), ¿para qué valor de A

S B

S toma su valor máximo? ¿Cuál es

dicho valor máximo? c) A partir de la respuesta del inciso a), ¿para qué valor de A

S B

S toma su valor mínimo? ¿Cuál es

44. a) Con AS

(6.00 i 8.00 j ) unidades, BS

( 8.00 i 3.00 j ) unidades y C

S (26.0 i 19.0 j ) unidades, determine a y b

tal que a AS

b BS

CS

. b) Un estudiante aprendió que una sola ecuación no se puede resolver para determinar valores para más de una incógnita en ella. ¿Cómo podría explicarle que tanto a como b se pueden determinar a partir de la ecuación que se usó en el inciso a)?

45. ¿Todavía está ahí? En la figura P3.45, el segmento de línea representa una trayectoria desde el punto con vector de po-sición (5 i 3 j ) m al punto con posición (16 i 12 j ) m. El punto A está en dicha trayectoria, a una fracción f del camino hacia el destino. a) Encuentre el vector de posición del punto A en términos de f. b) Evalúe la expresión del inciso a) en el caso f 0. Explique si el resultado es razonable. c) Evalúe la expresión para f 1. Explique si el resultado es razonable.

46. El 1 de diciembre de 1955, Rosa Parks (1913–2005), un icono del inicio del movimiento de los derechos civiles, permane-ció sentada en su asiento de autobús cuando un hombre blanco la demandó. La policía de Montgomery, Alabama, la arrestó. El 5 de diciembre, los afroamericanos comenzaron a rechazar el uso de todos los autobuses de la ciudad. Bajo el liderazgo de la Montgomery Improvement Association, surgió de inmediato un eficiente sistema de transporte al-ternativo, proporcionado por afroamericanos con aproxi-madamente 35 000 viajes por día mediante voluntarios, taxis privados, uso compartido del automóvil y de viajes. Los au-tobuses permanecieron vacíos hasta que se integraron bajo orden de la corte del 21 de diciembre de 1956. Al recoger a sus pasajeros, suponga que un conductor en el centro de Montgomery pasa por cuatro desplazamientos sucesivos re-presentados por la expresión

( 6.30b) i (4.00b cos 40°) i (4.00b sen 40°) j

(3.00b cos 50°) i (3.00b sen 50°) j (5.00b) j

Aquí b representa una cuadra de la ciudad, una convenien-te unidad de distancia de tamaño uniforme; i es este y j es

Figura P3.43

AB

C

45.0

45.0

Ox

y

Figura P3.45 El punto A está a una fracción f de la distancia desde el punto inicial (5, 3) al punto final (16, 12).

A(5, 3)

(16, 12)

Ox

y

Figura P3.50

www.FreeLibros.org

Problemas 69


este valor mínimo? d) Sin referencia a la respuesta del inciso a), argumente si las respuestas a los incisos b) y c) tienen o no sentido.

55. Después de que una pelota rueda por el borde de una mesa horizontal en el tiempo t = 0, su velocidad como función del tiempo se conoce por

vS 1.2 i m>s 9.8t j m>s2

El desplazamiento de la bola al caer del borde de la mesa, mientras el intervalo de tiempo de 0.380 s durante el cual está en vuelo, se proporciona por

¢rS0.380 s

0

vS dt

Para realizar la integral, puede usar el teorema del cálculo

1A Bf 1x 2 2 dx A dx B f 1x 2 dx

Considere las unidades y los vectores unitarios como constan-tes, representados por A y B. Haga la integración para calcular el desplazamiento de la pelota.

56. Encuentre la suma de estas cuatro fuerzas vectoriales: 12.0 N a la derecha a 35.0° sobre la horizontal, 31.0 N a la iz-quierda a 55.0° arriba de la horizontal, 8.40 N a la izquierda a 35.0° abajo de la horizontal y 24.0 N a la derecha a 55.0° abajo de la horizontal. Siga estos pasos. Como guía haga un bos-quejo de esta situación, explique cómo puede simplificar los cálculos al realizar una elección particular para las direcciones de los ejes x y y. ¿Cuál es su elección? Después sume los vecto-res por el método de componentes.

57. Una persona que sale a caminar sigue la trayectoria que se muestra en la figura P3.57. El viaje total consiste en cuatro trayectorias en línea recta. Al final de la caminata, ¿cuál es el desplazamiento resultante de la persona, medido desde el punto de partida?

y ( 70.0 m, 60.0 m), todos medidos en relación con algún origen, como se muestra en la figura P3.59. La bitácora del barco indica comenzar en el árbol A y moverse hacia el árbol B, pero sólo cubrir la mitad de la distancia entre A y B. Luego moverse hacia el árbol C, cubrir un tercio de la distancia entre su ubicación actual y C. A continuación debe moverse hacia el árbol D y cubrir un cuarto de la distancia entre donde está y D. Por último, moverse hacia el árbol E y cubrir un quinto de la distancia entre usted y E, detenerse y cavar. a) Suponga que determinó correctamente el orden en que el pirata etiquetó los árboles como A, B, C, D y E, como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde está enterrado su tesoro? b) ¿Qué pasaría si?, ¿Y si no sabe la forma en que el pirata marcó los árboles? ¿Qué ocurriría con la respuesta si reordena los árboles, por ejemplo a B(30 m, 20 m), A(60 m, 80 m), E( 10 m, 10 m), C(40 m, 30 m) y D( 70 m, 60 m)? Establezca su razonamiento para mostrar que la respuesta no depende del orden en el que los árboles se marcaron.

60. Considere un juego en el que N niños se colocan a distancias iguales alrededor de un círculo. En el centro del círculo hay una llanta de hule. Cada niño sostiene una cuerda unida a la llanta y, a una señal, jalan su cuerda. Todos los niños ejercen fuerzas de la misma magnitud F. En el caso N 2, es fácil ver que la fuerza neta sobre la llanta será cero porque los dos vectores fuerza dirigidos en sentidos opuestos suman cero. De igual modo, si N 4, 6 o cualquier entero par, la fuerza resul-tante sobre la llanta debe ser cero porque las fuerzas ejercidas por cada par de niños ubicados en posiciones opuestas se can-celarán. Cuando alrededor del círculo hay un número impar de niños, no es tan obvio si la fuerza total sobre la llanta central será cero. a) Calcule la fuerza neta sobre la llanta en el caso N 3 al sumar las componentes de los tres vectores fuerza. Elija el eje x sobre una de las cuerdas. b) ¿Qué pasaría si? Esta-blezca el razonamiento que determinará la fuerza neta para el caso general donde N es cualquier entero, par o impar, mayor que uno. Proceda del modo siguiente. Suponga que la fuerza total no es cero. Luego debe apuntar en alguna dirección particular. Haga que cada niño se mueva una posición en sentido de las manecillas del reloj. Dé una razón de que la fuerza total debe tener una dirección girada en sentido de las manecillas del reloj por 360°/N. No obstante argumente que la fuerza total debe ser la misma que antes. Explique qué prueba la contra-dicción acerca de la magnitud de la fuerza. Este problema ilus-tra una técnica muy útil de probar un resultado “por simetría”, al usar un poco de matemáticas de teoría de grupos. La situación particular en realidad se encuentra en física y química cuando

58. La posición instantánea de un objeto se especifica por su vector de posición rS dirigido desde un origen fijo a la posición del objeto, representado como partícula. Suponga para cierto objeto que el vector de posición es una función de tiempo dado por rS 4 i 3 j 2 t k, donde r está en metros y t en segundos. Evalúe d r/dt. ¿Qué representa respecto al objeto?

59. Long John Silver, un pirata, enterró su tesoro en una isla con cinco árboles, ubicados en los puntos (30.0 m, 20.0 m), (60.0 m, 80.0 m), ( 10 m, 10 m), (40.0 m, 30.0 m)

Figura P3.57

Fin

x

y

200 m

60.030.0

150 m

300 m

100 mInicio

Figura P3.59

E

y

x

A

B

C

D

www.FreeLibros.org



un arreglo de cargas eléctricas (iones) ejerce fuerzas eléctricas sobre un átomo en una posición central en una molécula o en un cristal.

61. Los vectores AS

y BS

tienen iguales magnitudes de 5.00. La suma de A

S y B

S es el vector 6.00 j . Determine el ángulo entre A

S y B

S.

62. Un paralelepípedo rectangular tiene dimensiones a, b y c como se muestra en la figura P3.62. a) Obtenga una expresión vecto-rial para el vector de la cara diagonal R

S

1. ¿Cuál es la magnitud de este vector? b) Obtenga una expresión vectorial para el vector de cuerpo diagonal R

S

2. Advierta que RS

1, c k y RS

2 forman un triángulo rectángulo. Pruebe que la magnitud de R

S

2 es a2 b 2 c 2.

3.1 Escalares: a), d), e). Ninguna de estas cantidades tiene una dirección. Vectores: b), c). Para estas cantidades, es necesaria la dirección para especificar completamente la cantidad.

3.2 c). El resultante tiene su magnitud máxima A B 12 8 20 unidades cuando el vector A

S se orienta en la misma direc-

ción que el vector BS

. El vector resultante tiene su magnitud mínima A B 12 8 4 unidades cuando el vector A

S se

orienta en la dirección opuesta al vector BS

.3.3 b) y c). Para que sumen cero, los vectores deben apuntar en

direcciones opuestas y tener la misma magnitud.

3.4 b). Del teorema de Pitágoras, la magnitud de un vector siem-pre es mayor que el valor absoluto de cada componente, a menos que sólo haya un componente distinto de cero, en cuyo caso la magnitud del vector es igual al valor absoluto de dicho componente.

3.5 c). La magnitud de CS

es 5 unidades, la misma que la compo-nente z. La respuesta b) no es correcta porque la magnitud de cualquier vector siempre es un número positivo, mientras que la componente y de B

S es negativa.

Respuestas a preguntas rápidas

Figura P3.62

y

c

b

z

a

x

OR2

R1

www.FreeLibros.org

CAPÍTULO 1

1. 5.52 103 kg/m3, entre la densidad del aluminio y la del hie-rro, y mayor que las densidades de rocas superficiales represen-tativas

3. 23.0 kg 5. 7.69 cm 7. b) sólo 9. Las unidades de G son m3/kg s2

11. 1.39 103 m2

13. No con las páginas del volumen 1, pero sí con las páginas de la versión completa. Cada página tiene un área de 0.059 m2. La habitación tiene 37 m2 de área de pared, lo que requiere 630 hojas, que se contarían como 1 260 páginas.

15. 11.4 103 kg/m3

17. a) 250 años b) 3.09 104 veces19. 1.00 1010 lb21. 151 mm23. 2.86 cm25. 106 pelotas27. 102 kg; 103 kg29. 102 afinadores31. a) 3 b) 4 c) 3 d) 233. a) 797 b) 1.1 c) 17.6635. 8.80%37. 939. 6341. 108° y 288°43. 48.6 kg45. a) menor en nueve veces b) t es inversamente proporcional

a d 2 c) Grafique t en el eje vertical y 1/d 2 en el eje horizon-tal d) 4QL/[k (Th – Tc)]

47. a) m 346 g (14.5 g/cm3)a3 b) a 0 c) 346 g d) sí e) a 2.60 cm f) 90.6 g g) sí h) 218 g i) No; 218 g no es igual a 314 g. j) Los incisos b), c) y d) describen una esfera sólida uniforme con 4.70 g/cm3 conforme a tiende a cero. Los incisos e), f) y g) describen una gota líquida uniforme con 1.23 g/cm3 conforme a tiende a 2.60 cm. La función m(a)

no es una función lineal, así que a a la mitad entre 0 y 2.60 cm no da un valor para m a la mitad entre los valores mínimo y máximo. La gráfica de m en función de a comienza en a 0 con una tangente horizontal. Luego se curva hacia abajo cada vez más pronunciada conforme a aumenta. La gota líquida de 1.30 cm de radio tiene sólo un octavo del volumen de toda la esfera, así que su presencia reduce la masa sólo por una peque-ña cantidad, de 346 g a 314 g. k) La respuesta no cambiaría en tanto la pared del cascarón no esté rota.

49. 5.0 m51. 0.579t pies3/s (1.19 10 9)t2 pies3/s2

53. 3.41 m55. 0.449%57. a) 0.529 cm/s b) 11.5 cm/s59. 1 1010 gal/años

CAPÍTULO 2

1. a) 5 m/s b) 1.2 m/s c) 2.5 m/s d) 3.3 m/se) 0

3. a) 3.75 m/s b) 05. a) 2.4 m/s b) 3.8 m/s c) 4.0 s

7. a) y c)

Re

spu

est

as a

pro

ble

mas

co

n n

úm

ero

imp

ar

A-25

b) vt 5.0 s 23 m/s, vt 4.0 s 18 m/s, vt 3.0 s 14 m/s,vt 2.0 s 9.0 m/s c) 4.6 m/s2 d) 0

9. 5.00 m11. a) 20.0 m/s, 5.00 m/s (b) 262 m13. a) 2.00 m b) 3.00 m/s c) 2.00 m/s2

15. a) 13.0 m/s b) 10.0 m/s, 16.0 m/s c) 6.00 m/s2

d) 6.00 m/s2

17.

19. a) 9.00 m/s b) 5.00 m/s c) 3.00 m/s d) 3.00 m/s e) 17.0 m/s f) La gráfica de velocidad en función del tiempo es una línea recta que pasa a través de 13 m/s a las 10:05 a.m., y se inclina hacia abajo, reduciendo 4 m/s cada segundo de ahí en adelante. g) Si y solo si se conoce la velocidad del ob-jeto en un instante de tiempo, conocer su aceleración dice su velocidad en cualquier otro momento, en tanto la aceleración sea constante.

21. 16.0 cm/s2

23. a) 20.0 s b) No puede; necesitaría una pista más larga.25. 3.10 m/s27. a) 202 m/s2 b) 198 m29. a) 4.98 10 9 s b) 1.20 1015 m/s2

31. a) Falso a menos que la aceleración sea cero. La aceleración constante se define de modo que la velocidad cambia de ma-nera estable en el tiempo. Después la velocidad no puede cam-biar de manera estable en el espacio. b) Verdadero. Ya que la velocidad cambia de manera estable en el tiempo, la velocidad a la mitad de un intervalo es igual al promedio de sus valores inicial y final.

33. a) 3.45 s b) 10.0 pies35. a) 19.7 cm/s b) 4.70 cm/s2 c) El intervalo de tiem-

po requerido para que la rapidez cambie entre y es

t (s)

v (m/s)

420

20

c)

t (s)

x (m)

420

20

40

60

a)

t0a

t0x

t0v

b)

t0a

t0x

t0v

c)

t0a

t0x

t0v

a)

www.FreeLibros.org

A-26 Respuestas a problemas con número impar

45. a) (5 11f ) i (3 9f ) j m, b) (5 i 3 j) m es razonable porque es el punto de partida. c) (16 i 12 j)m es razonable porque es el punto final.

47. 1.15°49. 2.29 km51. a) 7.17 km b) 6.15 km53. 390 mi/h a 7.37° NE55.57. 240 m a 237°

10.456 i 0.708 j 2 m59. a) (10.0 m, 16.0 m) b) Llegará al tesoro si toma los árboles

en cualquier orden. Las instrucciones lo llevan a la posición promedio de los árboles.

61. a)106°

CAPÍTULO 4

1. a) 4.87 km a 209° desde E b) 23.3 m/sc) 13.5 m/s a 209°

3. 2.50 m/s5. a) m/s2 b) 339°

c) m, 15.2°7. a) b) 9. a) m/s b) 50.9°

11. (7.23 103 m, 1.68 103 m)13. 53.1°15. a) 22.6 m b) 52.3 m c) 1.18 s17. a) La bola libra por 0.889 m b) mientras desciende19. a) 18.1 m/s b) 1.13 m c) 2.79 m21. 9.91 m/s23. tan 1[(2gh)1/2/v]25. 377 m/s2

27. a) 6.00 rev/s b) 1.52 km/s2 c) 1.28 km/s2

29. 1.48 m/s hacia adentro y 29.9° hacia atrás2

31. a) 13.0 m/s 2 b) 5.70 m/s c) 7.50 m/s2

33. a) 57.7 km/h a 60.0° O de la vertical b) 28.9 km/h hacia abajo

35. 2.02 103 s; 21.0% más largo

37. . Beth regresa primero.

39. 15.3 m41. 27.7° NE43. a) 9.80 m/s2 abajo b) 3.72 m45. a) 41.7 m/s b) 3.81 s

c) m/s; 36.7 m/s47. a) 25.0 m/s2; 9.80 m/s2

b)

134.1 i 13.4 j 2

tAlan

2L>c1 v 2>c 2, t Beth

2L>c1 v 2>c 2

3.34 irS 5t i 1.6t 5>2 jvS 5 i 4t 3>2 j

1360 i 72.7 j 210.800 i 0.300 j 2

suficiente para encontrar la aceleración, más directamente de lo que podría encontrarla a partir de la distancia entre los puntos.

37. Ignore la resistencia del aire. Suponga que el tiempo de vuelo del trabajador, “una milla”, y “un dólar” se midieron a tres cifras de precisión. Se interpretó “en el cielo permaneció” como refe-rencia al tiempo de caída libre, no a los tiempos de lanzamiento y aterrizaje. Por lo tanto, el salario fue de $99.3/h.

39. a) 10.0 m/s arriba b) 4.68 m/s abajo41. a) 29.4 m/s b) 44.1 m43. a) 7.82 m b) 0.782 s45. 38.2 m47. a) ax(t) axi Jt, vx(t) vxi axit Jt2,

x(t) xi vxit axit2 Jt3

49. a) 0 b) 6.0 m/s2 c) 3.6 m/s2 d) 6 s y 18 se) 18 s f) 84 m g) 204 m

51. a) 41.0 s b) 1.73 km c) 184 m/s53. a) 5.43 m/s 2 y 3.83 m/s2 b) 10.9 m/s y 11.5 m/s

c) Maggie por 2.62 m55. 155 s, 129 s57. a) 3.00 s b) 15.3 m/s c) 31.4 m/s abajo y

34.8 m/s abajo59. a) 5.46 s b) 73.0 m c) vStan 22.6 m/s,

vKathy 26.7 m/s

16

12

12

61. a) sí, a dos cifras significativas b) 0.742 s c) Sí; la distancia de frenado es proporcionar al cuadrado de la rapidez original. d) 19.7 pies/s2 6.01 m/s2

63. 0.577 v

CAPÍTULO 3

1. ( 2.75, 4.76) m3. a) 2.24 m b) 2.24 m a 26.6°5. a) r, 180° u b) 2 r, 180° u c) 3 r, u7. 70.0 m9. a) 10.0 m b) 15.7 m c) 0

11. a) 5.2 m a 60° b) 3.0 m a 330° c) 3.0 m a 150°d) 5.2 m a 300°

13. aproximadamente 420 pies a 3°

19. a) b) c)

21. 358 m a 2.00° SE23. 196 cm a 345°25. a) b) c) 6.32

d) 4.47 e) 288°, 26.6°27. 9.48 m a 166°29. 4.64 m a 78.6° NE31. a) 185 N a 77.8° desde el eje x

b) 33. , ux 59.2°, uy 39.8°, uz 67.4°35. a) 5.92 m es la magnitud de

b) 19.0 m es la magnitud de

37. a) b) c)

39. a) b) 6.31 km41. a) b) 3.61 a 146°

c) 43. a) b) 56.4 unidades a 28.7°49.5 i 27.1 j

3.00 i 6.00 j3.00 i 2.00 j13.12 i 5.02 j 2.20k 2 km

24.0 i 36.0 j 12.0k2.00 i 3.00 j 1.00k8.00 i 12.0 j 4.00k

14.00 i 11.0 j 15.0k 2 m15.00 i 1.00 j 3.00k 2 m0BS 0 7.811 39.3 i 181 j 2 N

4.00 i 2.00 j2.00 i 6.00 j

1 18.0 12.6 j2 pulg.1 1.65 i 2.86 j 2 cm1 11.1i 6.40 j2 m

15. 47.2 unidades a 122°17. Sí. La rapidez del remolque debería ser 28.3 m/s o mayor.

i

c) 26.8 m/s2 hacia adentro a 21.4° bajo la horizontal49. a)

t (s) 0 1 2 3 4 5

r (m) 0 45.7 82.0 109 127 136

t (s) 6 7 8 9 10

r (m) 138 133 124 117 120

9.80 m/s2

25.0 m/s2

a

www.FreeLibros.org

P1.26. Si para un vector en el plano xy, se concluye que Ax 52Ay? ¿Qué podría decir acerca de Ax y de Ay?

EjerciciosSección 1.3 Estándares y unidadesSección 1.4 Consistencia y conversiones de unidades1.1. A partir de la definición 1 in 5 2.54 cm, determine cuántos a) kilómetros hay en 1.00 milla y b) cuántos pies hay en 1.00 km.1.2. Según la etiqueta de un frasco de aderezo para ensalada, el volu-men del contenido es 0.473 litros (L). Use sólo las conversiones 1 L51,000 cm3 y 1 in 5 2.54 cm para expresar dicho volumen en pulgadascúbicas.1.3. ¿Cuántos nanosegundos tarda la luz en viajar 1.00 ft en el vacío?(Este resultado es una cantidad útil para recordar.)1.4. La densidad del plomo es 11.3 g>cm3. ¿Cuál es su equivalencia enkilogramos por metro cúbico?1.5. El motor más potente que había para el automóvil clásico ChevroletCorvette Sting Ray modelo 1963 desarrollaba 360 caballos de fuerza ytenía un desplazamiento de 327 pulgadas cúbicas. Exprese este despla-zamiento en litros (L) usando sólo las conversiones 1 L5 1,000 cm3 y 1 in 5 2.54 cm.1.6. Un campo cuadrado que mide 100.0 m por 100.0 m tiene un áreade 1.00 hectáreas. Un acre tiene un área de 43,600 ft2. Si un campotiene un área de 12.0 acres, ¿cuál es su equivalencia en hectáreas?1.7. ¿Cuántos años más viejo será usted dentro de 1.00 mil millones desegundos? (Suponga que un año tiene 365 días.)1.8. Mientras va conduciendo en un país extranjero, observa un letreroque indica el límite de velocidad en una carretera como 180,000 es-tadios (furlongs) por quincena. ¿Cuánto es esto en millas por hora?(Un estadio es y una quincena son 14 días. Originalmente el estadio se refería a la longitud de un surco arado.)1.9. Cierto automóvil híbrido que consume poco combustible tieneun rendimiento de gasolina de 55.0 mpg (millas por galón). a) Si us-ted va manejando dicho auto en Europa y quiere comparar su rendi-miento con el de otros automóviles europeos, exprese tal rendimientoen km>L (L 5 litro). Utilice los factores de conversión del ApéndiceE. b) ¿Si el depósito de gasolina de este automóvil tiene una capaci-dad de 45 L, cuántas veces deberá llenar el depósito de gasolina paraconducir 1,500 km?1.10. Las conversiones que siguen son comunes en física, además demuy útiles. a) Use 1 mi 5 5,280 ft y 1 h 5 3,600 s para convertir 60 mph a unidades de ft>s. b) La aceleración de un objeto en caídalibre es de 32 ft>s2. Use 1 ft 5 30.48 cm para expresar esta acelera-ción en unidades de m>s2. c) La densidad del agua es de 1.0 g>cm3.Convierta esta densidad a unidades de kg>m3.1.11. Neptunio. En el otoño de 2002, un grupo de científicos de LosAlamos National Laboratory determinó que la masa crítica del neptu-nio 237 es de unos 60 kg. La masa crítica de un material fisionable esla cantidad mínima que debe juntarse para iniciar una reacción encadena. Este elemento tiene una densidad de 19.5 g>cm3. ¿Cuál será elradio de una esfera de este material que tiene dicha masa crítica?

Sección 1.5 Incertidumbre y cifras significativas1.12. Un valor aproximado, útil y fácil de recordar del número de se-gundos que hay en un año es p 3 107. Determine el error de aproxi-mación en este valor aproximado. (Un año tiene 365.24 días.)1.13. La figura 1.7 muestra el resultado de un error inaceptable en elpunto de parada de un tren. a) Si un tren viaja 890 km de Berlín a París y luego rebasa el fin de la vía 10 m, ¿cuál será el error de apro-ximación en la distancia total recorrida? b) ¿Sería correcto escribir la distancia total cubierta por el tren como 890,010 m? Explique surespuesta.

18 de milla,

AS

5 0

Ejercicios 29

P1.9. La cantidad p 5 3.14159 . . . no tiene dimensiones, ya que es uncociente de dos longitudes. Describa otras dos o tres cantidades geo-métricas o físicas adimensionales.P1.10. ¿Cuáles son las unidades de volumen? Suponga que le dicenque un cilindro de radio r y altura h tiene un volumen dado por pr3h.Explique por qué esto no puede ser correcto.P1.11. Tres arqueros disparan cuatro flechas cada uno hacia un blanco.Las cuatro flechas de Juan quedan: 10 cm arriba, 10 cm abajo, 10 cm ala derecha y 10 cm a la izquierda del centro del blanco. Las cuatro fle-chas de Mario quedan a menos de 1 cm de un punto que está a 20 cmdel centro. Y las cuatro flechas de Felipe quedan a menos de 1 cm delcentro del blanco. El juez del concurso dice que uno de los arque-ros es preciso pero no exacto, otro es exacto pero no preciso, y el tercero es exacto y preciso. ¿Cuál descripción corresponde a cadaarquero? Explique su razonamiento.P1.12. Una pista de carreras circular tiene un radio de 500 m. ¿Cuál esel desplazamiento de una ciclista que sigue la pista del extremo norteal extremo sur? ¿Y cuando da una vuelta completa? Explique su ra-zonamiento.P1.13. ¿Puede usted encontrar dos vectores con diferente longitud quesumados den cero? ¿Qué restricciones de longitud son necesarias paraque tres vectores tengan una resultante cero? Explique su razonamiento.P1.14. A veces hablamos de la “dirección del tiempo”, del pasado alfuturo. ¿Eso significa que el tiempo es un vector? Explique su ra-zonamiento.P1.15. Los controladores de tráfico aéreo dan instrucciones a los pilotoscon respecto hacia dónde deben volar. Tales instrucciones se denomi-nan “vectores”. Si éstas son las únicas instrucciones dadas, ¿se estáusando correctamente el término “vector”? ¿Por qué?P1.16. ¿Puede encontrar un vector de magnitud cero cuyas componen-tes sean distintas de cero? Explique su respuesta. ¿La magnitud de unvector puede ser menor que la magnitud de cualquiera de sus compo-nentes? Explique su respuesta.P1.17. a) ¿Tiene sentido decir que un vector es negativo? ¿Por qué? b) ¿Tiene sentido decir que un vector es el negativo de otro? ¿Por qué? ¿Esta respuesta contradice lo que dijo en el inciso a)?

P1.18. Si es la suma vectorial de y ¿qué deberá ser

cierto si ¿Qué deberá ser cierto si

P1.19. Si y son vectores distintos de cero, ¿es posible que tanto

y sean cero? Explique su respuesta.

P1.20. ¿Qué resulta de el producto escalar de un vector consigo

mismo? ¿Y el producto vectorial de un vector consigo mismo?

P1.21. Sea cualquier vector distinto de cero. ¿Por qué es un vec-

tor unitario y qué dirección tiene? Si u es el ángulo entre y el eje 1x,

explique por qué se llama el coseno director de dicho eje.

P1.22. Indique cuáles de las siguientes son operaciones matemáticas

correctas: a) b) c)

d) e) En cada caso, justifique sus

respuestas.

P1.23. Considere los dos productos vectoriales sucesivos

y Dé un ejemplo que ilustre la regla general de que

estos dos productos vectoriales no tienen la misma magnitud o direc-

ción. ¿Puede elegir los vectores y de modo que esos dos pro-

ductos vectoriales sí sean iguales? Si puede, dé un ejemplo.

P1.24. Demuestre que, sin importar lo que sean y ,

(Sugerencia: no busque una demostración ma-

temática compleja. Más bien, revise la definición de la dirección

del producto cruz.)

P1.25. a) Si necesariamente se concluye que A 5 0 o que

B 5 0? Explique su respuesta. b) Si necesariamente se

concluye que A 5 0 o que B 5 0? Explique su respuesta.

AS

3 BS

5 0,AS # BS 5 0,

AS # 1AS 3 B

S 2 5 0.

BS

AS

CS

BS

AS

,

1AS 3 BS 2 3 C

S.

AS

3 1BS 3 CS 2

AS

3 1BS # CS 2 ?AS

3 1BS 3 CS 2 ;

AS # 1BS 3 C

S 2 ;1AS 2 BS 2 3 C

S;A

S # 1BS 2 CS 2 ;

1AS /A 2 # dAS

AS

/AASAS

3 AS

,

AS # AS,

AS

3 BS

AS # BS

BS

AS

C 5 0?C 5 A 1 B?

CS

5 AS

1 BS

,BS

,AS

CS

30 C APÍTU LO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

1.14. Con una regla graduada de madera, usted determina que un ladode un trozo rectangular de lámina mide 12 mm, y usa un micrómetropara medir el ancho del trozo, obteniendo 5.98 mm. Conteste las si-guientes preguntas con las cifras significativas correctas. a) ¿Qué áreatiene el rectángulo? b) ¿Qué razón ancho/largo tiene el rectángulo? c) ¿Qué perímetro tiene el rectángulo? d) ¿Qué diferencia hay entre la longitud y la anchura?1.15. Estime el error de aproximación al medir a) una distancia apro-ximada de 75 cm con una cinta métrica; b) una masa de unos 12 g conuna balanza analítica; c) un lapso de aproximadamente 6 min con uncronómetro.1.16. Un trozo rectangular de aluminio mide 5.10 6 0.01 cm de longi-tud y 1.90 6 0.01 cm de anchura. a) Calcule su área y la incertidum-bre del área. b) Verifique que la incertidumbre fraccionaria del área sea igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud y la anchura. (Éste es un resultado general; véase el problema de desa-fío 1.98.)1.17. Al comer una bolsa de galletas con chispas de chocolate, usted ob-serva que cada una es un disco circular con diámetro de 8.50 6 0.02 cmy espesor de 0.050 6 0.005 cm. a) Calcule el volumen promedio deuna galleta y la incertidumbre del volumen. b) Obtenga la razón diá-metro>espesor y la incertidumbre de dicha razón.

Sección 1.6 Estimaciones y órdenes de magnitud1.18. ¿Cuántos galones de gasolina se consumen en Estados Unidos enun día? Suponga que hay dos automóviles por cada tres personas, quecada auto recorre en promedio 10,000 millas por año, y que el autopromedio rinde 20 millas por galón.1.19. Un hombre más bien ordinario de mediana edad está en el hos-pital para realizarse un chequeo de rutina. La enfermera escribe la can-tidad de 200 en el expediente médico pero olvida anotar las unidades.¿Cuál de las siguientes cantidades sería posible que representaranesos 200? a) Su masa en kilogramos; b) su estatura en metros; c) suestatura en centímetros; d) su estatura en milímetros; e) su edad enmeses.1.20. ¿Cuántas semillas de maíz se necesitan para llenar una botella de bebida gaseosa de 2 L?1.21. ¿Cuántas palabras hay en este libro?1.22. Cuatro astronautas están en una estación espacial esférica. a) Si,como suele ocurrir, cada uno de ellos inhala cerca de 500 cm3 de aireen cada respiración, aproximadamente qué volumen de aire (en me-tros cúbicos) respiran estos astronautas en un año? b) ¿Qué diámetro(en metros) debería tener la estación espacial para contener todo esteaire?1.23. ¿Cuántas veces parpadea un ser humano común durante toda suvida?1.24. ¿Cuántas veces late el corazón de una persona en su vida?¿Cuántos galones de sangre bombea? (Estime que el corazón bombea50 cm3 de sangre en cada latido.)1.25. En la ópera El anillo de los Nibelungos de Wagner, la diosaFreya es rescatada con una pila de oro con la altura y anchura sufi-cientes para ocultarla. Estime el valor monetario de esta pila. La den-sidad del oro es de 19.3 g>cm3, y su valor es aproximadamente de $10 por gramo (aunque esto varía).1.26. Usted utiliza agua para diluir cantidades pequeñas de sustanciasquímicas en el laboratorio, gota a gota. ¿Cuántas gotas de agua hay enuna botella de 1.0 L? (Sugerencia: comience por calcular el diámetrode una gota de agua.)1.27. ¿Cuántas pizzas consumen los estudiantes de su escuela cada añoescolar?1.28. ¿Cuántos billetes de un dólar tendría que apilar para llegar hastala Luna? ¿Eso sería más barato que construir y enviar ahí una nave

espacial? (Sugerencia: comience doblando un billete de un dólar parasaber cuantos de sus espesores hacen 1.0 mm.)1.29. ¿Cuánto costaría tapizar todo Estados Unidos (incluyendoAlaska y Hawai) con billetes de un dólar? ¿Cuánto tendría que apor-tar cada estadounidense?

Sección 1.7 Vectores y suma de vectores1.30. Al oír el cascabel de una serpiente, usted realiza dos desplaza-mientos rápidos de 1.8 m y 2.4 m. Haga dibujos (a escala aproximada)que muestren cómo tales desplazamientos podrían dar una resultantede magnitud a) 4.2 m; b) 0.6 m; c) 3.0 m.1.31. Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura1.33. Determine la magnitud y la dirección del desplazamiento resul-

N

EO

S

4584.0 km

2.6

km

3.1 km

INICIO

FIN

Figura 1.33 Ejercicios 1.31 y 1.38.

tante dibujando un diagrama a escala. (En el ejercicio 1.38 se abordade otra manera este problema.)1.32. Con los vectores y de lafigura 1.34, use un dibujo a esca-la para obtener la magnitud y ladirección de a) la resultante

y b) la diferenciaCon base en sus respuestas, deter-mine la magnitud y la dirección dec) y d) (El ejer-cicio 1.39 enfoca el problema deotra manera.)1.33. Una espeleóloga está ex-plorando una cueva y sigue unpasadizo 180 m al oeste, luego210 m 458 al este del sur, ydespués 280 m 308 al este delnorte. Tras un cuarto desplaza-miento no medido, vuelve alpunto inicial. Con un diagra-ma a escala determine la magnitud y la dirección del cuarto des-plazamiento. (El problema 1.73 enfoca de manera distinta este problema.)

Sección 1.8 Componentes de vectores1.34. Use un dibujo a escala para obtener las componentes x y y de los siguientes vectores. Para cada vector se dan la magnitud y el án-gulo que forman, medido desde el eje 1x hacia el eje 1y. a) Mag-nitud 9.30 m, ángulo 60.08; b) magnitud 22.0 km, ángulo 135°; c) magnitud 6.35 cm, ángulo 3078.

BS

2 AS

.2AS

2 BS

AS

2 BS

.AS

1 BS

BS

AS

y

30.08

53.08

O25.08x

B (15.0 m)r

D (10.0 m)r

C (12.0 m)r

A (8.00 m)r

Figura 1.34 Ejercicios 1.32,1.35, 1.39, 1.47, 1.53 y 1.57 y problema 1.72.

Ejercicios 31

1.35. Calcule las componentes x y y de los vectores y de lafigura 1.34.1.36. Sea el ángulo u el que forma el vector con el eje 1x, medi-do en sentido antihorario a partir de ese eje. Obtenga el ángulo upara un vector que tiene las siguientes componentes: a)

b) c) Ay 5d)

1.37. Un cohete enciende dos motores simultáneamente. Uno produceun empuje de 725 N directamente hacia delante; mientras que el otroda un empuje de 513 N 32.48 arriba de la dirección hacia adelante.Obtenga la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia ade-lante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete.1.38. Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura1.33. Use el método de componentes para determinar la magnitud y ladirección de su desplazamiento resultante. En un diagrama de suma devectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resul-tante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenidocon el método de componentes.1.39. Para los vectores y de la figura 1.34, use el método de com-ponentes para obtener la magnitud y la dirección de a) la suma vecto-rial b) la suma vectorial c) la diferencia vectorial

d) la diferencia vectorial 1.40. Calcule la magnitud y la dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a)

b) c) Ay 5

1.41. Un profesor de física desorientado conduce 3.25 km al norte,4.75 km al oeste y 1.50 km al sur. Calcule la magnitud y la direccióndel desplazamiento resultante, usando el método de componentes. Enun diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), muestre queel desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualita-tivamente con el obtenido con el método de componentes.

1.42. El vector tiene componentes el

vector tiene componentes Calcule

a) las componentes de la resultante b) la magnitud y la direc-

ción de c) las componentes de la diferencia vectorial

d) la magnitud y la dirección de

1.43. El vector mide 2.80 cm y

está 60.08 sobre el eje x en el

primer cuadrante. El vector

mide 1.90 cm y está 60.0° bajo el

eje x en el cuarto cuadrante (figura

1.35). Utilice las componentes

para obtener la magnitud y la

dirección de a) b)

c) En cada caso, dibuje

la suma o resta de vectores, y de-

muestre que sus respuestas nu-

méricas concuerdan cualitativa-

mente con el dibujo.1.44. Un río fluye de sur a norte a5.0 km>h. En este río, una lanchava de este a oeste, perpendicular ala corriente, a 7.0 km>h. Vista poruna águila suspendida en repososobre la ribera, ¿qué tan rápido y en qué dirección viaja la lancha?1.45. Use componentes de vectores para determinar la magnitud y ladirección del vector necesario para equilibrar los dos vectores que semuestran en la figura 1.36. Considere que el vector de 625 N está a lolargo del eje 2y, y que el eje 1x es perpendicular a éste y va hacia laderecha.

BS

2 AS

.

AS

2 BS

;AS

1 BS

;

BS

AS

BS

2 AS

.

BS

2 AS

;AS

1 BS

;

AS

1 BS

;

By 5 23.75 cm.Bx 5 4.10 cm,BS

Ay 5 2.25 cm;Ax 5 1.30 cm,AS

22.70 km.Ax 5 7.75 km,Ay 5 22.45 m;Ax 5 29.70 m,Ay 5 5.20 cm;

Ax 5 28.60 cm,

BS

2 AS

.AS

2 BS

;BS

1 AS

;AS

1 BS

;

BS

AS

Ay 5 21.00 m.Ax 5 22.00 m,1.00 m;Ax 5 22.00 m,Ay 5 1.00 m;Ax 5 2.00 m,Ay 5 21.00 m;

Ax 5 2.00 m,

AS

DS

CS

BS

,AS

, 1.46. En un plano vertical, dos cuerdasejercen fuerzas de igual magnitud sobre unpeso colgante, pero tiran con un ángulo de86.08 entre sí. ¿Qué tirón ejerce cada cuerdasi el tirón resultante es de 372 N directa-mente hacia arriba?

Sección 1.9 Vectores unitarios1.47. Escriba cada uno de los vectores de lafigura 1.34 en términos de los vectores uni-tarios y

1.48. En cada caso, encuentre las componentes x y y del vector

a) b) c)

d) , donde

1.49. a) Escriba cada uno de los

vectores de la figura 1.37 en tér-

minos de los vectores unitarios

y b) Utilice vectores unitarios

para expresar el vector donde

c) Deter-

mine la magnitud y la dirección

de 1.50. Dados dos vectores

y a) calcule las magnitudes

de cada vector; b) escriba unaexpresión para usandovectores unitarios; c) obtenga lamagnitud y la dirección de d) Dibuje un diagrama vectorialque muestre y y demuestre que su diagrama coincidecualitativamente con su respuesta del inciso c).

1.51. a) ¿El vector es unitario? Justifique su respuesta.

b) ¿Un vector unitario puede tener una componente con magnitud

mayor a la unidad? ¿Puede tener alguna componente negativa? En

cada caso, justifique su respuesta. c) Si donde

a es una constante, determine el valor de a que convierte a en un

vector unitario.

Sección 1.10 Productos de vectores1.52. a) Use componentes de vectores para demostrar que dos vec-tores conmutan tanto para la suma como para el producto escalar. b) Demuestre que dos vectores no conmutan para el producto vecto-rial; es decir, demuestre que

1.53. Para los vectores y de la figura 1.34, obtenga los produc-

tos escalares a) b) c)

1.54. a) Obtenga el producto escalar de los dos vectores y dados

en el ejercicio 1.50. b) Obtenga el ángulo entre estos dos vectores.1.55. Calcule el ángulo entre estos pares de vectores:

a)

b)

c)

1.56. Haciendo dibujos sencillos de los productos de vectores adecua-

dos, demuestre que a) se puede interpretar como el producto de

la magnitud de por la componente de paralela a o bien, la mag-

nitud de por la componente de paralela a b) puede

interpretarse como el producto de la magnitud de por la componente

de perpendicular a o bien, la magnitud de por la componente de

perpendicular a BS

.AS

BS

AS

,BS

AS

0AS 3 BS 0B

S;A

SBS

AS

,BS

AS

AS # BS

AS

5 24.00d 1 2.00e y BS

5 7.00d 1 14.00e

AS

5 3.00d 1 5.00e y BS

5 10.00d 1 6.00e

AS

5 22.00d 1 6.00e y BS

5 2.00d 2 3.00e

BS

AS

AS # CS.B

S # CS;AS # BS;

CS

BS

AS

,

AS

3 BS

5 2BS

3 AS

.

AS

AS

5 a 13.0d 1 4.0e 2 ,

1 d 1 e 1 k 2AS

2 BS

,BS

,AS

,AS

2 BS

.

AS

2 BS

2.00e ,BS

5 5.00d 24.00d 1 3.00eAS

5

CS

.

CS

5 3.00AS

2 4.00BS

.

CS

,

e .

d

5 4d 2 6e .BS

BS

AS

5 5.0

22.4e ;AS

5 215.0d 111.2e 2 9.91d;AS

5AS

5 5.0d 2 6.3e ;

AS

:

e.d

y

xO

60.08

60.08

B (1.90 cm)S

A (2.80 cm)S

Figura 1.35 Ejercicios 1.43 y 1.59.

875 N

625 N

1208

Figura 1.36Ejercicio 1.45.

r

70.08

O30.08

y

x

B (2.4 m)

A (3.60 m)r

Figura 1.37 Ejercicio 1.49 y problema 1.86.


1.57. Para los vectores y de la figura 1.34, a) obtenga la magnitudy la dirección del producto vectorial b) calcule la magnitud yla dirección de 1.58. Obtenga el producto vectorial (expresado en vectoresunitarios) de los dos vectores dados en el ejercicio 1.50. ¿Cuál es lamagnitud del producto vectorial?1.59. Para los dos vectores de la figura 1.35, a) obtenga la magnitud yla dirección del producto vectorial b) obtenga la magnitud y la dirección de

Problemas1.60. Un acre, una unidad de agrimensura que todavía se empleamucho, tiene una longitud de un estadio y su anchura es undécimo de su longitud. a) ¿Cuántos acres hay en una milla cuadrada?b) ¿Cuántos pies cuadrados hay en un acre? Véase el Apéndice E. c) Un acre-pie es el volumen de agua que cubriría un acre de terrenoplano hasta 1 ft de profundidad. ¿Cuántos galones hay en 1 acre-pie?1.61. Un planeta similar a la Tierra. En enero de 2006, unosastrónomos informaron el descubrimiento de un planeta comparable entamaño a la Tierra, el cual orbita otra estrella y tiene una masa de casi5.5 veces la masa terrestre. Se cree que está compuesto por una mez-cla de piedra y hielo, parecido a Neptuno. Si este planeta tiene lamisma densidad que Neptuno (1.76 g>cm3), ¿cuál será su radio expre-sado en a) kilómetros y b) como múltiplo del radio terrestre? Consulteel Apéndice F para más datos astronómicos.1.62. El máser de hidrógeno. Las ondas de radio generadas por unmáser de hidrógeno pueden servir como estándar de frecuencia. La fre-cuencia de estas ondas es 1,420,405,751.786 hertz. (Un hertz es unciclo por segundo.) Un reloj controlado por un máser de hidrógenotiene un error de 1 s en 100,000 años. En las siguientes preguntas, usesólo tres cifras significativas. (El gran número de cifras significativasdadas para la frecuencia tan sólo ilustra la notable exactitud con que semidió.) a) ¿Cuánto dura un ciclo de la onda de radio? b) ¿Cuántos ciclos ocurren en 1 h? c) ¿Cuántos ciclos habrán pasado durante laedad de la Tierra, estimada en 4.6 3 109 años? d) ¿Qué error tendría un reloj de máser de hidrógeno después de un lapso semejante?1.63. Estime cuántos átomos hay en su cuerpo. (Sugerencia: con baseen sus conocimientos de biología y química, ¿cuáles son los tipos deátomos más comunes en su cuerpo? ¿Qué masa tiene cada tipo? ElApéndice D da la masa atómica de diversos elementos, medida enunidades de masa atómica; el valor de una unidad de masa atómica (1 u) se incluye en el Apéndice F.)1.64. Los tejidos biológicos normalmente contienen un 98% de agua.Dado que la densidad del agua es de 1.0 3 103 kg>m3, estime la masade a) el corazón de un ser humano adulto; b) una célula de 0.5 mm dediámetro; c) una abeja.1.65. El hierro tiene la propiedad de que un volumen de 1.00 m3 tieneuna masa de 7.86 3 103 kg (densidad 5 7.86 3 103 kg>m3). Se deseanformar cubos y esferas de hierro. Determine a) la longitud del lado deun cubo de hierro que tiene una masa de 200 g, y b) el radio de unaesfera sólida de hierro que tiene una masa de 200.0 g.1.66. Las estrellas en el Universo. Los astrónomos a menudodicen que hay más estrellas en el Universo, que granos de arena entodas las playas de la Tierra. a) Puesto que un grano de arena comúntiene un diámetro aproximado de 0.2 mm, estime el número de granosde arena en todas las playas de la Tierra y, por lo tanto, el númeroaproximado de estrellas en el Universo. Sería útil consultar un atlas yhacer mediciones. b) Como una galaxia ordinaria contiene aproxima-damente 100,000 millones de estrellas y hay más de 100,000 millones

A18 mi B

BS

3 AS

.AS

3 BS

;

AS

3 BS

D 3 AS

.AS

3 D;DA

S de galaxias en el Universo conocido, estime el número de estrellas enel Universo y compare este número con el resultado que obtuvo en elinciso a).1.67. Los físicos, matemáticos y otros con frecuencia utilizannúmeros grandes. Los matemáticos inventaron el curioso nombregoogol para el número 10100. Comparemos algunos números grandesde la física con el googol. (Nota: consulte los valores numéricos en los apéndices y familiarícese con ellos.) a) Aproximadamente, ¿cuántos átomos componen la Tierra? Por sencillez, suponga unamasa atómica media de 14 g>mol. El número de Avogadro da elnúmero de átomos en un mol. b) ¿Como cuántos neutrones hay en una estrella de neutrones? Tales estrellas contienen casi puros neu-trones y tienen aproximadamente dos veces la masa del Sol. c) Laprincipal teoría del origen del Universo dice que, hace mucho tiempo,todo el Universo observable ocupaba una esfera de radio aproxi-madamente igual a la distancia actual de la Tierra al Sol y tenía unadensidad (masa entre volumen) de 1015 g>cm3. Suponiendo que untercio de las partículas eran protones, un tercio de las partículas eranneutrones y el tercio restante eranelectrones, ¿cuántas partículas ha-bía en el Universo?1.68. Tres cuerdas horizontalestiran de una piedra grande ente-rrada en el suelo, produciendo losvectores de fuerza y que se muestran en la figura 1.38.Obtenga la magnitud y la direc-ción de una cuarta fuerza aplicadaa la piedra que haga que la sumavectorial de las cuatro fuerzas seacero.1.69. Dos trabajadores tiran hori-zontalmente de una caja pesada, aunque uno de ellos tira dos vecesmás fuerte que el otro. El tirón más fuerte es hacia 25.08 al oeste delnorte, y la resultante de estos dos tirones es de 350.0 N directamentehacia el norte. Use las componentes de vectores para calcular la mag-nitud de cada tirón y la dirección del tirón más débil.1.70. Aterrizaje de emergencia. Un avión sale del aeropuerto deGalisto y vuela 170 km en una dirección 688 al este del norte; luegocambia el rumbo y vuela 230 km a 488 al sur del este, para efectuarinmediatamente un aterrizaje de emergencia en un potrero. ¿En quédirección y qué distancia deberá volar una cuadrilla de rescate enviadapor el aeropuerto para llegar directamente al avión averiado?

1.71. Le han pedido a usted programar un brazo robot de una línea de

ensamble que se mueve en el plano xy. Su primer desplazamiento es

el segundo es de magnitud 6.40 cm y dirección 63.08 medida en el

sentido del eje 1x al eje 2y. La resultante de los dos

desplazamientos también debería tener una magnitud de 6.40 cm,

pero una dirección de 22.08 medida en el sentido del eje 1x al eje 1y.

a) Dibuje el diagrama de la suma de estos vectores, aproximadamente

a escala. b) Obtenga las componentes de c) Obtenga la magnitud

y la dirección de

1.72. a) Obtenga la magnitud y la dirección del vector que es la

suma de los tres vectores y de la figura 1.34. En un diagrama,

muestre cómo se forma a partir de los tres vectores. b) Obtenga la

magnitud y la dirección del vector En un diagrama,

muestre cómo se forma a partir de los tres vectores.1.73. La espeleóloga del ejercicio 1.33 está explorando una cueva.Sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m en una dirección 458 aleste del sur, y después 280 m a 308 al este del norte. Tras un cuarto

SS

SS

5 CS

2 AS

2 BS

.

RS

CS

BS

AS

,

RS

AS

.

AS

.

CS

5 AS

1 BS

BS

,

AS

;

CS

BS

AS

,

S

S

S

A (100.0 N)30.08

30.08O53.08

B (80.0 N)

C (40.0 N)

y

x

Figura 1.38 Problema 1.68.

Problemas 33

desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial. Use el método decomponentes para determinar la magnitud y la dirección del cuartodesplazamiento. Dibuje el diagrama de la suma vectorial y demuestreque concuerda cualitativamente con su solución numérica.1.74. Una marinera en un velero pequeño se topa con vientos cam-biantes. Navega 2.00 km al este, luego 3.50 km al sureste y despuésotro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 5.80 kmdirectamente al este del punto inicial (figura 1.39). Determine la mag-

(210, 200). Quiere trazar una segunda línea que parta de (10, 20),tenga 250 pixeles de longitud y forme un ángulo de 308 medido en sentido horario a partir de la primera línea. ¿En qué punto debería terminar la segunda línea? Dé su respuesta con precisión de enteros. b) Ahora la diseñadora traza una flecha que conecta el extremo infe-rior derecho de la primera línea con el extremo inferior derecho de lasegunda. Determine la longitud y la dirección de esta flecha. Haga undiagrama que muestre las tres líneas.1.78. Regreso. Un explorador en las espesas junglas del África ecua-torial sale de su choza. Camina 40 pasos al noreste, 80 pasos a 608 alnorte del oeste y 50 pasos al sur. Suponga que todos sus pasos tienen lamisma longitud. a) Dibuje, aproximadamente a escala, los tres vec-tores y su resultante. b) Sálvelo de perderse irremediablemente en lajungla dándole el desplazamiento, calculado con el método de com-ponentes, que lo llevará de regreso a su choza.1.79. Un barco zarpa de la isla de Guam y navega 285 km con rumbode 40.08 al norte del oeste. ¿Qué rumbo deberá tomar ahora y qué dis-tancia deberá navegar para que su desplazamiento resultante sea de115 km directamente al este de Guam?1.80. Una roca con peso w des-cansa en una ladera que se elevacon un ángulo constante a sobrela horizontal, como se muestra en la figura 1.42. Su peso es unafuerza sobre la roca con direc-ción vertical hacia abajo. a) Entérminos de a y w, ¿qué compo-nente tiene el peso de la roca enla dirección paralela a la superfi-cie de la ladera? b) ¿Qué com-ponente tiene el peso en la dirección perpendicular a la superficie de la ladera? c) Una unidad de aire acondicionado está montada en un techo que tiene una pendiente de 35.08. Para que la unidad no se resbale, la componente del peso de la unidad, paralela al te-cho, no puede exceder 550 N. ¿Cuánto puede pesar la unidad como máximo?1.81. Huesos y músculos. El antebrazo de una paciente en terapiapesa 25.0 N y levanta una pesa de 112.0 N. Estas dos fuerzas estándirigidas verticalmente hacia abajo. Las únicas otras fuerzas aprecia-bles que actúan sobre el antebrazo provienen del músculo bíceps (queactúa perpendicular al antebrazo) y la fuerza en el codo. Si el bícepsproduce un empuje de 232 N cuando el antebrazo se alza 438 sobre lahorizontal, determine la magnitud y la dirección de la fuerza que elcodo ejerce sobre el antebrazo. (La suma de la fuerza del codo y la delbíceps debe equilibrar el peso del antebrazo y la pesa que carga, asíque su resultante debe ser 132.5 N hacia arriba.)1.82. Usted tiene hambre y decide visitar su restaurante de comidarápida preferido. Sale de su apartamento, baja 10 pisos en el elevador(cada piso tiene 3.0 m de altura) y camina 15 m al sur hacia la salidadel edificio. Luego camina 0.2 km al este, da vuelta al norte y camina0.1 km hasta la entrada del restaurante. a) Determine el desplaza-miento entre su departamento y el restaurante. Use notación con vec-tores unitarios en su respuesta, dejando bien en claro qué sistema decoordenadas eligió. b) ¿Qué distancia recorrió por el camino quesiguió de su departamento al restaurante y qué magnitud tiene eldesplazamiento que calculó en el inciso a)?1.83. Mientras sigue un mapa del tesoro, usted inicia en un viejoroble. Primero camina 825 m directamente al sur, luego da vuelta y camina 1.25 km a 30.08 al oeste del norte y, por último, camina 1.00km a 40.08 al norte del este, donde usted encuentra el tesoro: ¡unabiografía de Isaac Newton! a) Para regresar al viejo roble, ¿en quédirección debería usted seguir y qué distancia tendrá que caminar?Utilice componentes para resolver este problema. b) Para saber si su

45.08

N

EO

S

2.00 km

3.50km

Tercertramo

SALIDA

5.80 km

LLEGADA


nitud y la dirección del tercer tramo. Dibuje el diagrama de suma vec-torial y demuestre que concuerda cualitativamente con su soluciónnumérica.1.75. Equilibrio. Decimos queun objeto está en equilibriocuando todas las fuerzas sobre élse estabilizan (suman cero). Lafigura 1.40 muestra una viga quepesa 124 N y que está apoyada enequilibrio por un tirón de 100.0 Ny una fuerza en el piso. La ter-cera fuerza sobre la viga es el pesode 124 N que actúa verticalmente hacia abajo. a) Utilice componen-tes de vectores para encontrar la magnitud y la dirección de b) Veri-fique lo razonable de su respuesta en el inciso a) haciendo una solucióngráfica aproximadamente a escala.1.76. En un vuelo de entrena-miento, una piloto estudiante vuelade Lincoln, Nebraska, a Clarinda,Iowa; luego a St. Joseph, Missouriy después a Manhattan, Kansas(figura 1.41). Las direcciones semuestran relativas al norte: 08 esnorte, 908 es este, 1808 es sur y2708 es oeste. Use el método decomponentes para calcular a) ladistancia que debe volar pararegresar a Lincoln desde Man-hattan; y b) la dirección (relativa al norte) que debe seguir. Ilustre su solución con un diagrama vec-torial.1.77. Una diseñadora está creando un nuevo logotipo para el sitio Webde su empresa. En el programa que está usando, cada pixel de unarchivo de imagen tiene coordenadas (x, y), donde el origen (0, 0) estáen la esquina superior izquierda de la imagen, el eje 1x apunta a laderecha y el eje 1y apunta hacia abajo. Las distancias se miden en pixeles. a) La diseñadora traza una línea del punto (10, 20) al punto

FS

.

FS

100.0-N pull

30.08

40.08

FS


Lincoln Clarinda

St. JosephManhattan

166 km2358

106 km 1678NEBRASKA

IOWA

KANSAS MISSOURI

147 km858

N

EO

S


w

a



cálculo en el inciso a) es razonable, verifíquelo con una solución grá-fica elaborada aproximadamente a escala.1.84. Imagine que acampa con dos amigos, José y Carlos. Puesto que a los tres les gusta la privacidad, no levantan sus tiendas juntas. La de José está a 21.0 m de la suya, en dirección 23.08 al sur del este. La de Carlos está a 32.0 m de la suya, en dirección 37.08 al norte deleste. ¿Qué distancia hay entre las tiendas de Carlos y de José?

1.85. Los vectores y se dibujan desde un punto común. El vec-

tor tiene magnitud A y ángulo uA medido del eje 1x al eje 1y. Las

cantidades de son B y uB. Entonces,

y es el ángulo entre y

a) Deduzca la ecuación (1.18) a partir de la ecuación (1.21).

b) Deduzca la ecuación (1.22) de las ecuaciones (1.27).

1.86. Para los vectores y de la figura 1.37, a) obtenga el producto

escalar b) obtenga la magnitud y la dirección del producto vec-

torial

1.87. La figura 1.11c muestra un paralelogramo basado en los dos vec-

tores y a) Demuestre que la magnitud del producto cruz de estos

dos vectores es igual al área del paralelogramo. (Sugerencia: área 5

base 3 altura.) b) ¿Qué ángulo hay entre el producto cruz y el plano

del paralelogramo?

1.88. El vector tiene 3.50 cm de longitud y está dirigido hacia dentro

del plano de la página. El vector apunta de la esquina inferior derecha

a la esquina superior izquierda de esta página. Defina un sistema dere-

cho de coordenadas adecuado y obtenga las tres componentes del pro-

ducto vectorial medidas en cm2. En un diagrama, represente su

sistema de coordenadas y los vectores y

1.89. Dados dos vectores y

a) obtenga la magnitud de cada vector.

b) Escriba una expresión para la diferencia empleando vec-

tores unitarios. c) Calcule la magnitud de la diferencia ¿Es

igual que la magnitud de Explique su respuesta.1.90. Ángulo de enlace del metano. En la molécula de metano,CH4, cada átomo de hidrógeno está en la esquina de un tetraedro regu-lar, con el átomo de carbono en el centro. En coordenadas en las queuno de los enlaces esté en la dirección de un enlace

adyacente está en la dirección . Calcule el ánguloentre estos dos enlaces.1.91. Dos vectores y se dibujan desde un punto común,

a) Demuestre que si C 2 5 A2 1 B2 , el ángulo entre losvectores y es 908. b) Demuestre que si C 2 , A2 1 B2, el ánguloentre y es mayor que 908. c) Demuestre que si C 2 . A2 1 B2 , elángulo entre los vectores y está entre 0 y 90°.1.92. Si dibujamos dos vectores y desde un punto común, elángulo entre ellos es f. a) Con técnicas vectoriales, demuestre que lamagnitud de su suma es

b) Si y tienen la misma mag-nitud, ¿con qué valor de f susuma tendrá la misma magnitudque o 1.93. Un cubo se coloca de modoque una esquina esté en el origen ytres aristas estén en los ejes x, y y z de un sistema de coorde-nadas (figura 1.43). Use vectorespara calcular a) el ángulo entre laarista sobre el eje z (línea ab) y la diagonal que va del origen a la

BS

?AS

BS

AS

"A2 1 B2 1 2AB cos f

BS

AS

BS

AS

BS

AS

BS

AS

CS

5 AS

1 BS

.BS

AS

d 2 e 2 kCiHd 1 e 1 k,CiH

BS

2 AS

?

AS

2 BS

.

AS

2 BS

,

3.00d 1 1.00e 2 3.00k,

BS

5AS

5 22.00d 1 3.00e 1 4.00kAS

3 BS

.BS

AS

,

AS

3 BS

,

BS

AS

BS

.AS

AS

3 BS

.

AS # BS,

BS

AS

BS

.AS

f 5 0 uB 2 uA 0B sen uB e ,BS

5 B cos uB d 1

AS

5 A cos uA d 1 A sen uA e ,BS

AS

BS

AS

esquina opuesta (línea ad); y b) el ángulo entre las aristas ad y ac (ladiagonal de una cara).

1.94. Obtenga un vector unitario perpendicular a los dos vectores

dados en el problema 1.89.

1.95. Le dan los vectores y Un

tercer vector está en el plano xy y es perpendicular a y el pro-

ducto escalar de con es 15.0. Con esta información, obtenga las

componentes del vector

1.96. Dos vectores y tienen magnitudes A 5 3.00 y B 5 3.00. Su

producto cruz es ¿Qué ángulo forman

y

1.97. Más adelante encontraremos cantidades representadas por

a) Demuestre que, para cualesquiera y

b) Calcule para los tres

vectores tiene magnitud A 5 5.00 y ángulo uA 5 26.08 medido del

eje 1x al 1y, tiene B 5 4.00 y _B 5 63.08 y tiene magnitud 6.00

y sigue el eje 1z. y están en el plano xy.

Problemas de desafío1.98. La longitud de un rectángulo se da como L 6 l y su anchuracomo W 6 w. a) Demuestre que la incertidumbre de su área A es a 5 Lw 1 lW. Suponga que las incertidumbres l y w son peque-ñas, y como el producto lw es muy pequeño puede despreciarse. b) Demuestre que la incertidumbre fraccionaria del área es igual a lasuma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud y la anchura.c) Un cuerpo regular tiene dimensiones L 6 l, W 6 w y H 6 h.Obtenga la incertidumbre fraccionaria del volumen y demuestre quees igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud,la anchura y la altura.1.99. Pase completo. En la Universidad Autónoma de Inmensidad(UAI), el equipo de fútbol americano registra sus jugadas condesplazamientos vectoriales, siendo el origen la posición del balón aliniciar la jugada. En cierta jugada de pase, el receptor parte de

donde las unidades son yardas, es a la derecha y eshacia adelante. Los desplazamientos subsecuentes del receptor son

(en movimiento antes de salir la jugada), (sale haciaadelante), (a un lado), y (al otrolado). Mientras tanto, el mariscal de campo retrocedió ¿Quétan lejos y en qué dirección el mariscal debe lanzar el balón? (Al igualque al entrenador, le recomendamos diagramar la situación antes deresolverla numéricamente.)1.100. Navegación en el Sistema Solar. La nave Mars Polar Lander se lanzó al espacio el 3 de enero de 1999. El 3 de diciembre de 1999, el día en que la nave se posó en la superficie de Marte, las posiciones de la Tierra y Marte estaban dadas por estas coor-denadas:

x y z

Tierra 0.3182 UA 0.9329 UA 0.0000 UA

Marte 1.3087 UA 20.4423 UA 20.0414 UA

En estas coordenadas, el Sol está en el origen y el plano de la órbitade la Tierra es el plano xy. La Tierra pasa por el eje 1x una vez al añoen el equinoccio de otoño, el primer día de otoño en el hemisferionorte (cerca del 22 de septiembre). Una UA (unidad astronómica) es igual a 1.496 3 108 km, la distancia media de la Tierra al Sol. a) Dibuje un diagrama que muestre las posiciones del Sol, la Tierra yMarte el 3 de diciembre de 1999. b) Calcule las siguientes distanciasen UA el 3 de diciembre de 1999: i) del Sol a la Tierra; ii) del Sol aMarte; iii) de la Tierra a Marte. c) Visto desde la Tierra, ¿qué ángulo

27.0e .112.0d 1 18.0e26.0 d 1 4.0e

111.0e19.0d

ed11.0d 2 5.0e ,

BS

AS

CS

BS

AS

1AS 3 BS 2 # CSA

S # 1BS 3 CS 2 5 1AS 3 B

S 2 # CS.

CS

,BS

AS

,1AS 3 BS 2 # CS.

BS

?

AS

AS

3 BS

5 25.00k 1 2.00d.

BS

AS

CS

.

BS

CS

AS

,CS

7.0e .BS

5 23.5d 1AS

5 5.0d 2 6.5e

x

y

z

b c

d

a


Problemas de desafío 35

había entre la dirección al Sol y la dirección a Marte el 3 de diciem-bre de 1999? d) Indique si Marte se veía desde donde usted estaba el3 de diciembre de 1999 a media noche. (Cuando es la media nocheen su posición, el Sol está en el lado opuesto de la Tierra.)1.101. Navegación en la Osa Mayor. Las estrellas de la Osa Ma-yor parecen estar todas a la misma distancia de la Tierra, pero en reali-dad están muy lejanas entre sí. La figura 1.44 muestra las distanciasdesde la Tierra a cada estrella en años luz (al), es decir, la distan-cia que la luz viaja en un año. Un año luz es igual a 9.461 3 1015 m.

Mizar73 al

Megrez81 al

Dubhe105 al

Merak77 al

Phad80 al

Alioth64 al

Alkaid138 al

Figura 1.44 Problema de desafío 1.101.

a) Alkaid y Merak están separadas 25.68 en el firmamento. Dibuje undiagrama que muestre las posiciones relativas de Alkaid, Merak y elSol. Calcule la distancia en años luz de Alkaid a Merak. b) Para unhabitante de un planeta en órbita alrededor de Merak, ¿cuántos gradosde separación en el cielo habría entre Alkaid y el Sol?1.102. El vector llamado vector de posición,apunta desde el origen (0, 0, 0) hasta un punto arbitrario en el espacio,cuyas coordenadas son (x, y, z). Use sus conocimientos de vectorespara demostrar que todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuaciónAx 1 By 1 Cz 5 0, donde A, B y C son constantes, están en un planoque pasa por el origen y es perpendicular al vector Dibuje este vector y el plano.

Ad 1 Be 1 Ck.

rS 5 xd 1 ye 1 z k,

A-9

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS CON NÚMERO IMPAR

Capítulo 11.1 a) 1.61 km b)1.3 1.02 ns1.5 5.36 L1.7 31.7 y1.9 a) 23.4 km/L b) 1.42 tanques1.11 9.0 cm1.13 a) b) no1.15 a) 0.1% b) 0.008% c) 0.03%1.17 a) b)1.19 a) no b) no c) no d) no e) no1.21 106

1.23 109

1.25 $70 millones1.29 aproximadamente 1.31 7.8 km, 38° al norte del este1.33 144 m, 41° al sur del oeste1.35

1.37 1190 N; 13.4° en dirección arriba y adelante1.39 a) 9.01 m, 33.7° b) 9.01 m, 33.7°

c) 22.3 m, 250.3° d) 22.3 m, 70.3°1.41 5.06 km, 20.2° al norte del oeste1.43 a) 2.48 cm, 18.3° b) 4.10 cm, 83.7°

c) 4.10 cm, 263.7°1.45 781 N, 166°

1.47

1.49 a)

b)

c) 19.17 m; 51.2°1.51 a) no b) no; sí c)1.53 a) b) c)1.55 a) 165° b) 28° c) 90°1.57 a) 63.9 ; b) 63.9 ; 1.59 a) b)1.61 a) b) 2.6 radios terrestres1.631.65 a) 2.94 cm b) 1.82 cm1.67 a) b) c)1.69 149 N; 32.2° al norte del este1.71 b) c) 8.65 cm;

a 69.5° del eje hacia el eje 1.73 144 m, 41° al sur del oeste1.75 a) 46 N, 139°1.77 a) b) 136 pixeles, 25° abajo en

línea recta hacia la izquierda1.79 380 km, 28.8° al sur del este1.81 160 N, 13° abajo de la horizontal1.83 a) 911 m; 8.9° al oeste del sur1.87 b) 90°1.89 a)

b) c) 8.83; sí1.93 a) 54.7° b) 35.3°1.951.97 b) 72.21.99 38.5 yd, 24.6° a la derecha del campo1.101 a) 76 ly b) 129°

Capítulo 22.1 a) 197 b) 169 2.3 1 h 10 min2.5 a) 17.1 s b) más rápido: 106 m; más lento: 94 m2.7 250 km2.9 a) 12.0 b) 0 , 15.0 , 12.0

c) 13.3 s2.11 a) 2.3 , 2.3 b) 2.3 , 0.33 2.13 a) no b) (i) 12.8 (ii) 3.5

(iii) 0.72 ; sí2.15 a) 50.0 cm,

b) 16.0 s c) 32.0 s d) 6.20 s, 25.8 s, 36.4 s, 22.55 cm/s21.22 cm/s;

1.22 cm/s;20.125 cm/s22.00 cm/s,

m/s2m/s2m/s2

m/sm/sm/sm/s

m/sm/sm/sm/s

m/sm/s

Cy 5 6.1Cx 5 8.0,

25.00 d 1 2.00e 1 7.00kB 5 4.36A 5 5.39,

(87, 258)

1y1xAy 5 8.10 cmAx 5 3.03 cm,

107910571050

10281.65 3 104 km

1z4.61 cm2;2z4.61 cm2;1km22km2

40.6 m22148 m22104 m260.20

CS

5 (12.01 m)d 1 (14.94 m)e

BS

5 (22.08 m)d 1 (21.20 m)e

AS

5 (1.23 m)d 1 (3.38 m)e;

DS

5 (27.99 m)d 1 (6.02 m)e

CS

5 2(10.9 m)d 1 (25.07 m)e;

BS

5 (7.50 m)d 1 (13.0 m)e;AS

5 2(8.00 m)e;

Dy 5 6.02 mDx 5 27.99 m,Cy 5 25.07 m;Cx 5 210.9 m,By 5 13.0 m;

Bx 5 7.50 m,Ay 5 28.00 m;Ax 5 0,

$3 3 106$9 3 1014;

170 6 202.8 6 0.3 cm3

1.1 3 1023%

3.28 3 103 ft

2.17 a) b) c) depende de ladirección de la coordenada positiva

2.21 a) 5.0 b)2.23 a) b) 0.067 s2.25 1.70 m2.27 a) (i) (ii)

b) (i) 179 m (ii) 12,800 m2.29 a) b)

c) 22.5 cm; 25.5 cm2.31 a) 0,

b) 100 m, 230 m, 320 m2.33 a) b) 0.957

c) 6 h 11 min2.35 b) 1 s, 3 s d) 2 s e) 3 s f) 1 s2.37 a) A: B: C:

b) 721 km2.39 a) 2.94 b) 0.599 s

2.41 a) b) 0.190 s2.43 a) 646 m b) 16.4 s, 112 2.45 a) 25.6 b) 31.6 m c) 15.2 2.47 a) b) 25.4 c) 101 m d) no2.492.51 a)

b) 39.1 2.53 a) 30.0 2.55 b) 0.627 s, 1.60 s c) negativa en 0.627 s,

positiva en 1.60 s d) 1.11 s e) 2.45 mf) 2.00 s, 0 s

2.57 a) 82 km/h b) 31 km/h2.59 a) b) 0 c)2.61 a) 92.0 m b) 92.0 m2.63 a) 464 b) c) 7.482.65 50.0 m2.672.69 a) 6.17 s b) 24.8 m

c)2.71 a) 7.85 b) horizontal de la

posición inicial a la posición final2.73 a) 15.9 s b) 393 m c) 29.5 2.75 a) b) 12.0 2.77 a) 2.64H b) 2.64T2.79 a) no b) sí; 14.4 ; no es físicamente

alcanzable2.81 a) b) 1.45 c)2.83 a) 7.59 b) 5.14 m c) 1.60 s2.85 a) 7.7 b) 0.78 s c) 0.59 s d) 1.3 m2.87 270 m2.89 a) 20.5 b) sí2.91 a) 947 m b) 393 m2.93 a) A b) 2.27 s, 5.73 s c) 1.00 s, 4.33 s

d) 2.67 s2.95 a) 9.55 s, 47.8 m b) 1.62 d) 8.38

e) no f) 3.69 , 21.7 s, 80.0 m2.97 a) 8.18 b) (i) 0.411 m (ii) 1.15 km

c) 9.80 d) 4.90

Capítulo 33.1 a)

b) 1.9 , 3.3 a) 45° b) 90°;

45°; 27°3.5 b)

c) 195°3.7 b)

c)d) acelerando y dando vuelta a la derecha

3.9 a) 0.600 m b) 0.385 m c)72.2° debajo

de la horizontal3.11 3.32 m3.13 a) 30.6 b) 36.3 3.153.17 a) 40.0 , 69.3 b) 7.07 s c) 245 m

d) 565 m e)vy 5 0vx 5 40.0 m/s,

ay 5 29.80 m/s2;ax 5 0,m/sm/s

1.29 m/s2m/sm/s

v 5 3.60 m/s,vy 5 23.43 m/s;vx 5 1.10 m/s,

290°a 5 2.4 m/s2,263°;v 5 5.4 m/s,aS 5 22bevS 5 ad 1 (22t)e;

8.98 m/s2,amed-y 5 22.33 m/s2amed-x 5 28.67 m/s2,

11 cm/s,7.1 cm/s;5.0 cm/s,7.1 cm/s,

243°m/svmed-y 5 21.3 m/svmed-x 5 1.4 m/s,

m/sm/sm/s

m/sm/sm/s

m/s

m/sm/s

H/4m/s6.79 3 104g

m/s

m/s24.00 m/sm/s

5.00 cm/s,cm/svauto 5 21.0 m/svcamión 5 13.0 m/s,

4.6 m/s2

2.99 3 104 m/sm/s

1.5 m/s23.5 m/s2

cm/sm/s

vx(t) 5 (0.750 m/s3)t2 2 (0.0400 m/s4)t3x(t) 5 (0.250 m/s3)t3 2 (0.0100 m/s4)t4;

0.0868 m/s2249 m/s2

m/sm/sm/s

t 5 "2d/gm/s

53 m/s23.8 m/s2;20.5 m/s2;

1.80 3 104 m/s

211.2 m/s26.3 m/s2,

21.3 cm/s221.3 cm/s12.7 cm/s,

7.74 m/s25.59 m/s2

675 m/s21.43 m/s2m/s

10 m/s23 m/s2 3.19 a) 0.682 s, 2.99 s b) 24.0 , 11.3 ;24.0 , c) 30.0 ,

3.21 a) 1.5 m b)3.23 a) 13.6 m b) 34.6 c) 103 m3.25 a) 296 m b) 176 m c) 198 m

(i) horizontal: 15 ; vertical: 58.8 (ii) horizontal: 15 ; vertical: 78.8

3.27 795 m3.29 a) 0.0034g b) 1.4 h3.31 a) 3.07 s b) 1.68 s3.33 a) hacia arriba b) hacia

abajo c) 12.6 s3.35 a) 32.9 b) c) 35.5 rpm3.37 a) 14 s b) 70 s3.39 0.36 , 38° al oeste del sur3.41 a) 4.7 , 25° al sur del este b) 190 s

c) 380 m3.43 b) c) 43 , 9.5° al

oeste del sur3.45 a)

b)c)c)

3.47 a) 124 m b) 280 m3.49 22 3.51 40 3.53 274 m3.55 a) b) 42.0 m

3.57 a) b) 30.0° c) 6.93h3.59 c) menor de 45°3.61 b) 15°, 75°3.63 a) 17.8 b) en el río, a 28.4 m de la ribera

cercana3.65 a) 81.6 m b) en el carro c) 245 m d) 53.1°3.67 a) 49 b) 50 m3.69 a) 2000 m b) 2180 m3.71 a) 38.5 b) (i) 25.0 , 0

(ii) 25.0 , 38.5 c) (i) 0°(ii) 57.0° d) 499 m

3.733.77 b)

c);

en la dirección d) no3.79 a) 2.50g b) 0.614n3.81 a) 26.6° al oeste del sur

b) 10.5° al norte del oeste3.83 a) 0.659 s b) (i) 9.10 (ii) 6.46

c) 3.00 m, 2.13 m3.85 7.39 , 12.4° al norte del este3.87 a) 80 m b) c) el efecto general

es reducir el radio

3.89 a)

b)

3.91 118.6°; 95.73°;

92.86°3.93 a) 1.5 km/h b) 3.5 km/h

Capítulo 44.1 a) 0° b) 90° c) 180°4.3 7.1 N a la derecha, 7.1 N hacia abajo4.5 494 N, 31.7°4.74.9 16.0 kg4.11 a) 3.13 m, 3.13 b) 21.9 m, 6.25 4.13 a) 45.0 N; a 4 s b) 2 s a 4 s

c) 0, 6 s4.15 a) b) (i) 21.6 N,

(ii) 134 N, c)

4.174.19 a) 4.49 kg b) 4.49 kg, 8.13 N4.21 825 N, los bloques

2.94 3 103 N26.6 m/s2

16.8 m/s22.70 m/s2B 5 12.5 N/s2A 5 100 N,

t 5 2 sm/sm/s

2.2 m/s2

9.996 m/s2,Dt 5 0.05 s:9.983 m/s2,Dt 5 0.1 s:9.589 m/s2,Dt 5 0.5 s:

p

42

u

2

1 2v0

2

g 2 3tan (u 1 f) 2 tan u 4 cos 2(u 1 f)

cos u

1.6 3 1023m/s

m/sm/s

44.7 km/h,

1ya 5 Rv2y 5 0;4pR, c;2pR,x 5 0,4p/v, c2p/v,

t 5 0,ay 5 Rv2 cos vtax 5 Rv2

sen vt,vy 5 Rv sen vt,vx 5 Rv(1 2 cos vt),

625.4°

m/sm/sm/sm/s

m/s

m/s

"2gh

42.8 m/s

m/sm/s

rS 5 (200 m)d 1 (550 m)ev 5 155 m/svy 5 150 m/s,vx 5 40.0 m/s,

v 5 0aS 5 (4.00 m/s2)d,D 5 0.50 m/s3C 5 50.0 m,B 5 2.00 m/s2,A 5 0,

m/s242 m/s27.1 m/s,

m/sm/s

27.7 m/s2m/s

3.50 m/s2,3.50 m/s2,

0.034 m/s2,

m/sm/sm/sm/s

m/s20.89 m/s

236.9°m/s211.3 m/sm/sm/sm/s

14 Preguntas - fisicachevere.files.wordpress.com · 4.50 cm de radio. La masa de la segunda esfera...

Documents

Transcript of 14 Preguntas - fisicachevere.files.wordpress.com · 4.50 cm de radio. La masa de la segunda esfera...