1.7 Ecuaciones lineales
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Matemáticas V
- Ecuaciones Lineales.
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Ecuaciones diferenciales
Clasificación:
Ordinarias
Tipo
Parciales
Orden
Lineales
Grado
Parciales
1
1 Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), p. 23
La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.
Primer orden F(x, y, y’)= 0Segundo Orden F(x, y, y’, y’’)= 0Tercer orden F(x, y, y’’, y’’’)= 0 … …Orden n F(x, y, y’, …, yn)=0
a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de 1er grado.b) Cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente x (puede ser constante).
Las que no cumplen las propiedades anteriores.
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Definiciones Básicas
Ecuación diferencial. Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales.
Orden. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada mas alta contenida en ella.
Grado. El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.
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Según lo planteado por la autora Isabel Carmona en su libro de ecuaciones diferenciales, las condiciones para que una ecuación diferencial sea lineal son: a) la variable dependiente y y toda sus variables son de primer grado, y b) cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x (o constante).
Definición: La forma general de una ecuación lineal de 1er orden es: y '+f ( x ) y=r ( x ). Si r(x) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como el nombre que da el algebra lineal a las ecuaciones igualadas a cero); si r (x )≠0, entonces es lineal no homogénea.
Métodos de solución:
Si r ( x )=0→Es de variables separables
Si r ( x )≠0→ a) Método del factor integrante. b) Método de variación de parámetros
y la forma de la solución es: Para r ( x )=0 es y=ce−∫ f ( x )dx
Para r (x )≠0 es y=e−∫ f (x)dx [∫ e∫ f (x )dx r (x )dx+c ] Vamos a obtener la solución para r (x )≠0, usando el método del factor integrante y el de variación de parámetros.
a) Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta la ecuación diferencial y '+f ( x )=r (x) en exacta y la resolveremos por el método de las exactas.
2
2 Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), p. 103
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El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogénea correspondiente es y=e−∫ f (x)dx, sugiere la posibilidad de que un factor para la no
homogénea sea de la forma y=e∫ f (x)dx.
Vamos a probarlo. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos:
e∫f ( x )dx
y '+ f ( x ) y e∫ f ( x )dx=r (x)e∫ f (x )dx
Observando el primer miembro de la ecuación, vemos que está y en un término, su derivada y ' en otro y la exponencial que acompaña a la y es la derivada de la exponencial que acompaña a y ', realmente se puede expresar como la derivada de un producto de funciones:
ddx
(e∫ f ( x )dx y )
Entonces:
ddx
¿
Integrando con respecto a x:
e∫f ( x )dx
y=∫r ( x ) e∫ f ( x )dx+c
Despejando y : y=e−∫ f ( x )dx [∫ e∫ f ( x )dx r ( x )+c ], que es la solución general ya indicada y
satisface a la ecuación lineal.
Como e∫ f ( x )dx no llevo a la solución propuesta, es el factor de integración que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogénea. Por ello, no es necesario memorizar la formula de la solución, basta buscar el factor multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas.
Ejemplo 1
1. Dada la ecuación diferencial:dy+(3 x2 y−x2 )dx=0 , ver si es lineal y resolverla por medio del
factor integrante.
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Se acomoda según la forma indicada: y '+f ( x ) y=r (x ) , quedando:
dydx
+3 x2=x2
Sí es lineal, con f ( x )=3 x2 y r ( x )=x2
Su factor integrante tiene la forma:
F ( x )=e∫ f ( x )dx=e∫3 x2dx=ex
3
Multiplicando la ecuación, tenemos:
ex3
dy+ex3
(3x2 y−x2 )dx=0
M=ex3
(3 x2 y−x2 )N=ex3
M y=3 x2 ex
3
N x=3x2 ex
3
, ya es exacta,
Entonces:
f x=ex33 x2 y−ex
3
x2 f= yex3
−13ex
3
+ f ( y )
f y=ex3+ f ' ( y )=ex
3
f ' ( y )=0 y f ( y )=c
∴ y=13+c e−x
3
Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución:
y=e−∫3x2dx [∫ e∫ 3x2dx (x2 )dx+c ]
y=e−x3 [∫ ex3x2dx+c ]
y=e−x3[ 13 ex3+c ]
y=13+c e−x
3
b) Método de variación de parámetros. Es un procedimiento bastante usual en matemáticas introducir cambio de variables, hacer sustituciones o reemplazar
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funciones por otras más sencillas que faciliten el proceso operativo. Sabemos que la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden:
y '+f ( x ) y=0, es:y=ce−∫ f ( x )dx
Como nos interesa una solución general para la ecuación diferencial lineal no homogénea:
y '+f ( x ) y=r ( x )
Vamos a realizar la siguiente variación de parámetros en la solución general de la homogénea:
Sea c=u ( x ) y v=e−∫ f ( x )dx
Entonces y ( x )=u ( x ) v (x) sera una solución de la no homogénea, siempre y cuando podamos encontrar una función u(x ) tal que dicha solución satisfaga a la ecuación. Si es solución, lo cual vamos a suponer de momento, entonces derivándola y sustituyéndola en la ecuación homogénea, tenemos:
y '=u v'+u' v
uv '+u' v+ fuv=r
u' v+(v '+ fv )u=r
Como v es la solución de la homogénea el paréntesis se hace idénticamente cero, ya que siempre que sustituimos la raíz o la solución en una ecuación, esta se hace cero.
Obtenemos entonces u' v=r de donde u'=rv
.
Integrándola, u=∫ rvdx+c
La función u existe por que v≠0 es solución, entonces y=uv es solución de la lineal no homogénea y toma este aspecto:
y=e−∫ f ( x )dx [∫ r (x)
e−∫ f ( x )dx
dx+c ]O sea y=e−∫ f ( x )dx [f e∫ f ( x )dx r ( x )dx+c ], que es a donde queríamos llegar.
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Ejemplo 2:
2. Resolver por variación de parámetros: y '=2 y+xVemos que y '−2 y=x es lineal, donde f ( x )=−2,r ( x )=x
La ecuación diferencial homogénea correspondiente es y '−2 y=0 que tiene como solución:
y=ce2x
Tomando c=u ( x ) , v ( x )=e2x y sabiendo que la función u esta dada por:
u=∫ r (x )v (x)
dx+c
→u=∫ x
e2xdx+c=−x
2e−2x− 1
4e−2 x+c
Como la solución de la homogénea es y=uv , entonces:
y=(−x2 e−2x−14 e−2 x+c )e2 x y y=−x2
−14+c e2x
Aplicando directamente la formula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución.
y=e∫ 2dx [∫e∫−2dx xdx+c] y=e2 x [e−2x xdx+c ]
y=e2 x [−x2 e−2x−14 e−2 x+c]y=−x
2−14+c e2x
Ejemplo 3:
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3. Resolver por variación de parámetros:
(x2+16 ) y '−xy=x
y '− x
x2+16y= x
x2+16
La ecuación homogénea correspondiente es:
y '− x
x2+16y=0
Con solución: y=c√ x2+16
Sea v ( x )=√x2+16 y c=u ( x )=∫ x /¿ ¿¿
→u=∫ x
(x2+16 )32
dx+cu= −1
√ x2+16+c→ y=uv=( −1
√x2+16+c)√ x2+16 y=c√ x2+16−1
Que es la solución general de la ecuación dada.
Bibliografía
Zill, Dennis G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: International Thompson Editores.
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Carmona Jover, Isabel (1992). Ecuaciones diferenciales. México: Addison Wesley Longman.4
Rainville, Earl D. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: Prentice Hall. Rolando Castillo Caballero. Ecuaciones diferenciales