2 El mundo de la Matemática

7/16/2019 2 El mundo de la Matemtica

1/194

Campo cuntico - X3Hiro Yamagata

Artista plstico japons (1948- )

Esta instalacin, situada al lado del Museo Guggenheim

de Bilbao (Espaa), pretende hacer lo invisible no slovisible sino extraordinario. Dos cubos construidos conpaneles hologrficos y recubiertos de un revestimientoespecial que descompone la luz, reflejan y refractanlas frecuencias de luz visible generando, a modo deprisma, una visin del espectro lumnico. El resultadoes un espectculo de luz brillante que danza entre loscubos. El complejo de luz y color siempre es diferente,haciendo las delicias del espectador con una miradade visiones que va cambiando en funcin del nguloo del momento.

Fotografa: Rogelio Chovet


2/194

Especialistas del rea

Walter BeyerAlberto CamardielIns Carrera de OrellanaAntonio DvilaMauricio J. Orellana ChacnSergio RivasSaulo RadaLuis Beltrn Salas

ColaboradoresLucila BlancoMarco FalcnMara Elena GuerraJorge Salazar

ValidadoresLaura Galindo AcevedoHenry MartnezRafael SnchezAntonio Acosta


3/194

El Mund o d e la Mate m tica, la coleccin de 23 fascculos que hoyiniciamos, da continuidad a un compromiso que han asumido FundacinPolar, Empresas Polar y el diariolt im as Not ic ias, para contribuir a mejorarla formacin de la poblacin estudiantil y la actualizacin permanente delos docentes.

Un calificado equipo de especialistas ha colaborado en esta nueva coleccin,siguiendo los mismos criterios metodolgicos que garantizaron el xito deMatemticas para Todos , editado en el primer semestre de este ao ydirigido a la segunda y tercera etapa de la escuela bsica. Los temas tratadosahora, orientados al ciclo diversificado y profesional (bachillerato), son mscomplejos, se incorpora el lenguaje formal de la matemtica, es decir,

smbolos y frmulas, algoritmos y teoremas, se acompaan los contenidoscon abundantes imgenes y grficos que facilitan la comprensin de losconceptos emitidos y, sobretodo, se encontrarn con mltiples aplicacionesde esta disciplina con la ciencia, la tecnologa, la ingeniera, la economa,el arte, la msica, etc.

Con los contenidos de El Mund o de la Matem tica los lectores conocernlas sucesiones numricas, descubrirn la capacidad de los modelosmatemticos para representar los fenmenos del mundo sensible, as comolas prcticas y tiles soluciones que aportan los sistemas de ecuaciones; seinteresarn por las mltiples aplicaciones del lgebra que nos ayudan aentender cmo se organizan los elementos de un Universo y sern atrados

por la potente herramienta de prediccin que es la estadstica, para luego,en una segunda etapa de esta coleccin, comprender y explorar el mundode las formas, sus propiedades, relaciones y, sobre todo, las aplicacionesde la trigonometra y la geometra en nuestras vidas y en todo lo que nosrodea.

El diariolt im as Not ic iasha confiado nuevamente en este proyecto y juntoa Fundacin Polar y Empresas Polar hace posible la publicacin y difusin,a todos los rincones del pas, de El Mun do d e la Matem tica. Al colocareste valioso material en las manos de las nuevas generaciones de venezolanos,esperamos que se convierta en una herramienta efectiva para abrir caminosseguros al porvenir.

P r e s e n t a c i n


4/194

Andrew Wiles, el matemticoque resolvi el ltimo teoremade Fermat.

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica 14

P o r q u e l m u n d o d e l a m a t e m t i c a ?La matemtica es una ciencia con mucha vitaIidad que durante el siglo XX desarrolly cre nuevas reas de gran impacto en otras ciencias, en la tecnologa, la ingeniera,la economa, la biologa, las finanzas y el mundo en general.

As, la investigacin de operaciones, los fractaIes (la geometra de la naturaleza y suutilizacin en las artes), las ondculas (su uso para el reconocimiento de huellas -algoritrno adoptado por el FBI- y tcnicas de compresion de imgenes fijas), laborrosidad (el control borroso y su aplicacin en aparatos electrodomsticos de

refrigeracin, de aire acondicionado, en frenos, entre otros), los sistemas dinmicos,la teora de la informacin, los cdigos y la criptografa, la ecuacin de Black-Scholesque permite calcular el valor de la opcin de compra de acciones, la teora de juegosy dentro de sta la formulacin de J ohn Nash, utilizada en econometra, que Ie valiel premio Nobel (1994); el gran desarrollo de la probabilidad, la estadstica y del anlisisde datos, se encuentran entre los logros del siglo que recientemente finaliz.

Ese dinamismo de la matemtica, al igual que el crecimientoexplosivo de la ciencia y la tecnologa, genera un problemaclave para los ciudadanos de cualquier pas, cual es lanecesidad que stos tienen de estar informados de algunosaspectos centrales que les ataen en cuanto al desarrollo delas ciencias, entre stas la matemtica, puesto que repercuten

de alguna forma en el progreso de sus propios pases y enla sociedad en general.

La evolucin y el vigor de la matemtica no se detienen. Porel contrario, se plantean nuevos desafos y se resuelvenproblemas antiguos y recientes. Aunada a su estrecha relacincon la informtica, favorecindose mutuamente, lo que permiterealizar numerosos clculos con gran rapidez y precisin e,igualmente, hacer representaciones grficas en dos y tresdimensiones.

Adems de la variedad de teoras y reas desarrolladas durante el siglo XX, se hacenecesario sealar que ya han sido resueltos la mayor parte de los 23 problemasplanteados por Hilbert, uno de los grandes matemticos del siglo pasado, en suconferencia (Pars, agosto 1900), "Los problemas futuros de la matemtica", pronunciadadurante la celebracin del II Congreso Intemacional de Matemticos. Estos problemasconstituyeron un motor interno al espectacular progreso matemtico en el siglo querecin feneci. Otros grandes problemas no contemplados en esa lista, por ejemploel denominado "ltimo teorema de Fermat", que tard mas de tres siglos para suresolucin, fue finalmente resuelto en 1994 por el matemtico britnico Andrew Wiles,lo cual fue noticia de primera plana en muchos diarios del mundo: para cualquier enteron > 2 no existe solucin en nmeros enteros de la ecuacin xn + yn = zn.

"Quin de nosot ros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondidoel futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los prximosavances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior enlos siglos futu ros? Cules seran las metas particulares q ue tr atarn d ealcanzar los lderes d el pensam iento matemtico de las g eneracionesfutu ras? Qunuevos metodos y nuevos hechos nos depararn los siglospor venir en el ancho y rico c ampo del pensamiento m atemtico?

David Hilbert (alemn,1862-1943)en su famosa conferencia de 1900.

Proo f: Las matemticashecha emocionesObra escrita por elnorteamericano David Auburn(1971- ) ganadora de lospremiosPulitzer, Tonyy elDramadesk(2001) a la mejor obrateatral.

Una mente b rillantepelcula ganadora de 4 premiosOscaren 2002, dirigida por RonHoward basada en el libro deSylvia Nasar.

La vida de Nash fue llevada ala pantaIla en la pelcula Unamente brillante" (basada en laobra de Sylvia Nassar y con elrol estelar del actor RussellCrowe), siendo esta la pelcula

ms conocida en Venezuelapero no la nica que hay eneste ramo, as como existendiversas obras de teatro yobras literarias vinculadas conla matemtica o losmatemticos.


5/194

Visin interna de undodecaedro de Poincar.

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica 1 5

En el centenario (mayo 2000) del enunciado de esos 23 problemas de Hilbert, y nuevamente en Pars, el Clay MathematicsInstitute (CMI), con sede en Cambridge-Massachusetts, EEUU, anunci que recompensara con un milln de dolres lasolucin de cada uno de siete grandes problemas matemticos que consideran de relevancia en este siglo. De estos sieteproblemas, uno de ellos denominado la "Conjetura de Poincar" (1904), viene de ser resuelto (noviembre 2002) por elmatemtico ruso Gregory Perelman, quien as se convierte en el primer millonario, en dlares, por la solucin de un talproblema. De los seis restantes, resulta de gran importancia en la mecnica de fluidos el referido a la ecuacin de Navier-Stokes en tres dimensiones espaciales. La solucin de tal problema implicara un avance fundamental en la comprensindel fenmeno de la turbulencia y esto podra, casi seguramente, conducir a progresos en ingeniera nutica y aeronutica.

Otro de los desafos en esa lista de problemas, importante en la informtica, es el denominado problema P=NP? referidoa buscar cules problemas son accesibles en el sentido de que se puedan concebir algoritmos que corran en un tiemporazonable (polinomial). Basta decir que los criptosistemas de la informatica y de los bancos se basan sobre la hiptesisPNP.

Algunos matemticos colocan una lista ms larga de desafos para este siglo, entre los que mencionamos al ganador dela medalla Fields (1966), Stephen Smale (estadounidense, 1930- ), quien indic dieciocho problemas (1998), cuatro deellos idnticos a los del Instituto Clay, sealando a la ecuacin de Navier-Stokes y al P=NP? como dos de los msimportantes problemas de la matemtica contempornea.

EI mundo de la matemtica presentado en estos fascculos, reflejaciertos contenidos que estn presentes en los programas de laeducacin media diversificada y profesional, as como en el primersemestre universitario. A stos se agregan otros temas no contemplados

en esos programas, pero con la confianza de que en un futuro prximosern incorporados a los mismos, puesto que se refieren a aspectosde actualidad, de su forma de ensearlos y de sus relaciones condiversas reas del conocimiento.

Los fascculos estn conformados mediante distintas secciones enla que se presentan desarrollos conceptuales, sabas que(reseashistricas), interesante, orientaciones metodolgicas(sugerencias paralos docentes), tengo que pensarloy bib lio grafa. Adems algunassecciones eventuales como matemticas rec reativasy ayer y hoy.

Tambin se hacen conexiones de los temas desarrollados con las artes plsticas, la msica,la tecnologa, la arquitectura e ingeniera, la economa, el petrleo e, incluso, aspectosvinculados con la salud, como el Sida, o la lactancia materna, utilizando contenidos clsicos

de la matemtica y otros ms novedosos, que usualmente no estn contemplados en losactuales programas de estudio.

Esperamos que la forma de presentacin de la matemtica en los fascculos de EI mundode la matemtica, donde mostramos algunos de los desarrollos actuales que impregnansu dinamismo, contribuya a acrecentar el caudal cultural de los ciudadanos, sirva como uncanal para el mejoramiento de la enseanza-aprendizaje por parte de los estudiantes ydocentes y que, adems, permita contrarrestar ciertas percepciones que el pblico tiene deesta ciencia, en el sentido de promover visiones positivas de su desarrollo y de su importanciapara el mundo en que nos desenvolvemos.

Landon Clay, hombrede negocios y

empresario de Boston,fund el Clay

Mathematics Instituteen 1998 con el fin de

promover lamatemtica.

Figureight KnotComplement

Imagen corporatica del CMIde Helaman Ferguson,matemtico y escultor

norteamericano que basasus obras en frmulas

matemticas.

Stephen Smalematemtico y minerlogoestadounidense (1930- ).

Medalla Fields 1966.

Museo del LouvreParis, Francia.

Recurrencias de PoincarTrabajo realizado por los alumnos dela Escuela Normal Superior de Lyon

(Francia).

Afiche invitando a laconferencia realizada en SanPetersburgo (Rusia)Ecuacionesy otros tpicos Navier-Stokesen el 2002.


6/194

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica 16

Tablilla egipcia.Museo del Louvre (Francia).

Catedral de Nuestra Seora dePars (Francia).

CaotizadorMuseo de Ciencia y Tecnologa deLa Villette (Francia).

L o s t e m a s d e E l m u n d o d e l a m a t e m t i c aSucesiones y modelos matemticosA excepcin de ciertas nociones de sucesiones y de las progresiones aritmticas ygeomtricas, los contenidos contemplados en los fascculos relacionados con estostemas no son objeto de estudio de los programas instruccionales de educacin media

diversificada y profesional, y tangencialmente se incluyen algunas referencias de stosen el primer ao universitario. Sin embargo, la modelacin matemtica ha cobrado uninters creciente en muchos pases desde hace unas tres dcadas, y ello ha penetradoen la enseanza de los ltimos aos de la educacin secundaria y universitaria. Aquse trata de formular y estudiar modelos matemticos con sucesiones (modelos discretos)y algunos modelos continuos sin el uso del clculo infinitesimal.

Ya en el fascculo El mundo y los nmeros de la coleccin Matemtica para todos,se destacaron tres aspectos concernientes a la importancia de la matemtica en laciencia, la tecnologa y otros sistemas. Estos son: comunicacin, razonamiento yprediccin. En cuanto al tercero de ellos, la pred iccin, se formul lo siguiente:

La matemtica es un medio efectivo para la prediccin. Esto se logra a travs de losmodelos matemticos o matematizacinde situaciones reales, lo cual permite explicarel comportamiento de esas situaciones y predecir, con cierta aproximacin, cuestionesdesconocidas.

De all la necesidad de la inclusin del tema de los modelos matemticos. A esto sesuma la importancia creciente de los algoritmos en la matemtica aplicada y lainformtica.

Los fascculos correspondientes a estos temas contendrn lo siguiente:

Sucesiones numricas. Situaciones conducentes a plantear sucesiones. Grficos desucesiones. Caractersticas y clasificacin de sucesiones. Iteracin y recursin. Sucesionesen progresin aritmtica y sucesiones en progresin geomtrica. Crecimiento odecrecimiento lineal y exponencial.

Modelos matemticos construidos con sucesiones de nmeros (modelos discretos).Modelos matemticos continuos, estticos y dinmicos.

En los contenidos de estos fascculos se enfatizarn las vinculaciones (conexiones)con las ciencias y la tecnologa a travs de los modelos matemticos.

Lmite cuad rado .M. Escher (1898-1972).

Da l luvio so en Pars.Albert Marquet (1875-1947).

Ventanas simultneasRobert Delaunay.

Estrella de mar.


7/194

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica 1 7

lgebraRama de la matemtica cuyo objetivo durante varios siglos fue el estudio de lasecuaciones algebraicas (ecuaciones polinmicas), los sistemas de ecuaciones y lossistemas lineales. Para esto ltimo se cuenta hoy en da con el estudio de las matrices

como parte del lgebra lineal, herramienta fundamental de la matemtica actual y porsus numerosas aplicaciones a la fsica, la investigacin de operaciones, el clculonumrico, la economa, ... .

Los temas de lgebra se desarrollarn segn:

La notacin algebraica. Situaciones que envuelven variables. Las ecuaciones polinmicasde grado uno y dos. Su interpretacin geomtrica. Situaciones conducentes a plantearecuaciones polinmicas. Ecuaciones polinmicas de grado mayor o igual que tres y lainterpretacin geomtrica de las races reales. Algunos sistemas sencillos de ecuacionespolinmicas. Algunas inecuaciones sencillas. Los polinomios con coeficientes reales ysus operaciones.Se darn ciertas indicaciones sobre los nmeros complejos en relacin con lasraces de las ecuaciones polinmicas.

Coordenadas en un plano y en el espacio. Problemas que conducen a formular elespacio de las n-uplas de nmeros reales. El espacio Rn. La geometra con coordenadas.Algunos sistemas lineales sencillos m n, 1 m, n 3 y sus interpretaciones geomtricas.

Los contenidos de estos fascculos se vincularn con diferentes expresiones cientficasy tecnolgicas: investigacin de operaciones, cdigos, resolucin de ecuaciones, artey sistemas de ecuaciones consecuencia del estudio de fenmenos fsicos o de tpicosde ingeniera.

Retrato de fam iliaHenri Matisse (1869-1954).

Puente autopistaCaracas-La Guaira.

PartennAtenas, Grecia.

Trayectoria prevista por eltelescopio Hubble para atravesarlos anillos de Saturno.

Oficina del Instituto Postal deVenezuela (IPOSTEL) en laesquina de Carmelitas, Caracas.

Grabado de madera MargaritaPhilosophica (1503)Gregor Reish.

Show acrobtico,Palo Negro, estado Aragua.


8/194

Andrey Nikolaevich KolmogorovMatemtico ruso (1903-87).

Pirmide de GaltonMuseo de Ciencia y Tecnologa de

La Villette (Francia).

Estadstica y grficosEn la coleccin de Matemtica para todos (encartada en el diario ltimas Noticiasen 2004), se escribieron dos fascculos referidos a estadstica-probabilidades y grficos.Aqu se trata de grficos de funciones, de grficos estadsticos y de las medidas de

posicin y medidas de dispersin.Los grficos de funciones complementan lo que se ver en los fascculos de geometra(curvas y superficies), y los grficos estadsticos as como las medidas de posicin yde dispersin, dan continuidad a lo planteado en Matemtica para todos.

El estudio del cambio y del movimiento est estrechamente vinculado a las funcionesy sus tasas de cambio (tasas de variacin), llegando en la educacin superior al estudiode las tasas de cambio puntuales o instantneas (derivadas).

Dichos temas se desarrollarn as.

Funciones reales de una variable real. Diversas formas de dar una funcin. Analizarfunciones dadas por grficos y dadas por ecuaciones. Tasas de variacin o de cambiode funciones. Analizar cambios a partir de grficos y a partir de tablas de datos. Curvasen el plano. Funciones lineales, cuadrticas, exponenciales, logartmicas y potenciales.Escalas.

Estadstica y grficos. Histogramas y polgonos de frecuencias. Nube de puntos y ajustede los mismos. Situaciones que conducen a plantear las medidas de posicin y lasmedidas de dispersin. La curva de la campana. Cajas.

Los contenidos de estos fascculos se prestan para las vinculaciones con las cienciasy la tecnologa: construcciones civiles (ingeniera y arquitectura), fsica, qumica,biologa, poblaciones, aspectos sociales, de salud y econmicos, entre otros.

Torres de Parque Central,Caracas.

Terremoto d e 1812Martn Tovar y Tovar.

Mango s en San BernardinoManuel Cabr.

De revolutionibus

Nicols Coprnico.


9/194

ndice y crditos de la obra


10/194

Fascculo 1

Presentacin 3

Por qu el mundo de la matemtica? 4

Los temas de El mundo de la matemtica 6Sucesiones y modelos matemticos 6

lgebra 7Estadsticas y grficos 8

Fascculo 2

Las sucesiones 10

Analizando sucesiones 12

Progresiones aritmticas, geomtricas y otras sucesiones 13

Fascculo 3Otras sucesiones 18

Sucesiones y dedos 20

Fibonacci y el mundo 21

Fibonacci y el nmero de oro 22

El nmero de oro en el arte y la arquitectura 23

Fibonacci, el nmero de oro y Le Corbusier 24

Fascculo 4

Matemticas recreativas 26

El ajedrez 26Las torres de Hanoi 27

Sucesiones y msica 28

Orientaciones metodolgicas (Sugerencias para los docentes) 30

Tengo que pensarlo 32

Fascculo 5

Situaciones de coordenadas 34

Sistemas de coordenadas en la recta 35

Orden en la recta 36

Sistemas de coordenadas en el plano 37

Coordenadas y nuestro planeta Tierra 39Coordenadas y hora mundial 40

Fascculo 6

El lenguaje de las matemticas 42

Ayer y hoy del simbolismo de las ecuaciones algebraicas 44

Ecuaciones lineales 45

Funciones afn y cuadrtica 47

Ecuaciones cuadrticas 48


11/194

Fascculo 7

Ecuaciones de grado mayor que dos 50

Soluciones de ecuaciones cbicas 51

Funciones polinmicas 52Adicin 52

Multiplicacin 53Divisin 54

Polinomios y tecnologa 55

Fascculo 8

Ecuaciones lineales con dos incgnitas 58

Matemtica recreativa 60

Orientaciones metodolgicas. Sugerencias para los docentes 62


Fascculo 9Funciones y sus grficas 66

Leyendo grficas y analizando tablas de valores 68Demanda y oferta de un bien 68Test de tolerancia a la glucosa 69Movimiento de un corredor 70Onda cuadrada 70

Tasas de varacin o de cambio 72

Fascculo 10

Tasas de varacin o de cambio 74

Otras situaciones de clculo de tasas de cambio 75Analizando cambios a partir de grficos y tablas 76

Frecuencia y grficos 77

Desde las fichas y tablillas de arcilla hasta las computadoras 78

Fascculo 11

El mundo de las funciones 82La funcin exponencial 82La funcin logartmica 83La funcin potencial 84

La funcin potencial en ayuda de la industria 85

De las escalas aritmticas a las escalas logartmicas 86Un ejemplo de grfico con escala logartmica 87

Fascculo 12

La funcin logartmica entre temblores y terremotos 90

Torres sismorresistentes 92

Logaritmos y acstica 93

Logaritmos y qumica 94



12/194

Fascculo 13El mundo de las inecuaciones 98Inecuaciones en la recta 99Resolviendo inecuaciones 100Solucin geomtrica de una inecuacin lineal 101

Inecuaciones cuadrticas 102Resolviendo inecuaciones 103

Fascculo 14Inecuaciones en el plano 106Inecuacin versus ecuacin 109

Coordenadas en el espacio

Sistemas de coordenadas en el espacio 110Coordenadas esfricas 111Coordenadas y tecnologa 112

Fascculo 15Ecuaciones lineales con tres incgnitas 114

Tres ecuaciones lineales con tres incgnitas 116

Solucin al problema de las balanzas 118


Juego: Quin llega primero? 120

Fascculo 16

El mundo de los modelos matemticos 122

Los modelos matemticos 124Situacin A. Caso de una sucesin con crecimiento indefinido 124

Situacin B. Caso de la altura de un rbol que est en una colina 125

Situacin C. Caso del volumen de una naranja 126

Fascculo 17

Modelos matemticos 130

Situacin D.Un modelo dinmico: Crecimiento de lapoblacin mundial 131

Modelos en Venezuela 135

La matemtica aplicada y los modelos matemticos: una breve historiaTiempo remoto 136

Fascculo 18

Renacimiento 137La gran creacin: El clculo infinitesimal (s. XVII) 138Siglo XIX 138Siglo XX 139

Otro modelo esttico: modelo de empaquetamiento 140

Orientaciones metodolgicas. Sugerencias para los docentes 143

Modelos en Venezuela 144


13/194

Fascculo 19 Estadstica y conocimiento

Estadstica y conocimiento 146Experimentos comparativos 148

Estudios observacionales 149

Construccin de modelos estadsticos 149

Medicin 150

Tipos de medicin 152

Fascculo 20 Variacin y distribucinVariacin 154Validez y confiabilidad 155Descripcin estadstica: Variacin y distribuciones de frecuenciaunidimensionales 156Dispositivo de Tallos y Hojas 158Histograma 159

Fascculo 21 Localizacin, v ariabilidad y co ncentracinLocalizacin de una distribucin 162Medicin de la variabilidad 163Desviacin estndar 164Concentracin 165Estadstica y lactancia materna 166Tengo que pensarlo 168

Fascculo 22 Distribuciones bidimensionalesDistribuciones bidimensionales 170Correlacin 171Regresin 172Orientac iones metodolg icas. Sugerenc ias para los docentes 174Estadstica y VIH/SIDA 175

Fascculo 23Probabilidad en el tiempo 178Probabilidad 179Teorema de Bayes 181Modelos de Bernoulli y binomial 182Modelo binomial 183Modelo normal 184

Fascculo 24

ndice de la obra 186

Fe de erratas 190

Equipo de trabajo 191


14/194

b y cfijos

O

Fascculo Pgina Donde dice Debe decir

1 3

4

7

2 14 y 15

5 36

6 42

48

7 51

56

11 88

En los dos dibujos las lneas deben ser punteadas

En el dibujo de la derecha: en el eje 0x es -1 y en el eje 0y es 10

55

y=ax

+b

x

y

O

y=ax

+b

x

y

O

b

b es fijo

56

b y cfijos

O


15/194

Especialistas del rea

Walter BeyerLicenciado en Matemtica (UCV)Magster en Educacin mencin Enseanza dela Matemtica (UPEL)

Profesor Asociado (J) (UNA)Alberto Camardiel

Licenciado en Estadstica (UCV)Magster en Estadstica (Universidad de Stanford,EE.UU.)Profesor Titular (UCV)

Antonio DvilaProfesor de Fsica y Matemtica (IPC)Curso Especializacin en Enseanza de la Fsica(UPEL)Profesor (J) del Ministerio de Educacin, Culturay Deporte

Mauricio J. Orellana ChacnLicenciado en Matemtica (UCV)Doctor en Matemtica (Universidad de Grenoble-Francia).Profesor Titular (J) (UCV)

Saulo Rada ArandaProfesor de Fsica y Matemtica (IPC)Maestra en Educacin Matemtica (Universidadde Maryland, EE.UU.)

Profesor Titular (J) (UPEL)Sergio Rivas

Licenciado en Matemtica (UCV)Maestra en Matemtica (UCV)Profesor Asociado (J) (UNA)

Luis Beltrn SalasLicenciado en Estadstica (UCV)Doctor en Ciencias Econmicas y Sociales(UCV)Profesor Titular (J) (UCV)

Colaboradores

Lucila Blanco (UCV)Marco Falcn Ascanio (UCV)Mara Elena Guerra (UCV)

Validadores

Henry Martnez (UCAB)Rafael Snchez (UCV)Antonio Acosta (UCV)Laura Galindo (UCV)

Julio GrauJos Manuel Pinto

Coordinador de la coleccin

Renato Valdivieso (Fundacin Polar)

Coordinadora acadmica

Ins Carrera de OrellanaProfesora de Fsica y Matemtica (InstitutoPedaggico de Caracas)Postgrado en Didctica de la Matemtica DEA(Universidad de Pars VII, Francia)Profesora Titular (J) CENAMEC

Revisin de textos

Ricardo AlezonesRenato Valdivieso


16/194

Fundacin Polar es la expresin del compromisoinstitucional de Empresas Polar con Venezuela. Fuecreada para apoyar y fomentar innovaciones einiciativas sustentables que fortalezcan el tejido

social de Venezuela y que contribuyan a mejorar lacalidad de vida de sus habitantes.

Objetivos

Aliviar disparidades de la sociedad

Consolidar valores ticos y patrimoniales

Fomentar y potenciar el talento y el conocimiento

Estimular la participacin responsable y elconsenso entre los diversos actores de la sociedad

Edificio Fundacin Polar2da avenida de Los Cortijos de Lourdes

Apartado Postal 70.934, Los RuicesCaracas 1071-A. Venezuela

Telf: 58 (212) 202.75.30Fax: 58 (212) 202.76.01

E-mail: [email protected]

www.fpolar.org.ve


17/194

Lm it e cuadr ado, es un grabado deM. Escher (1898-1972) donde utilizafiguras semejantes en vez de figurascongruentes. A partir de 1955, Escherse sirve de este tipo de construccionespara aproximar el infinito medianteseries. Algunas de estas obras,adems de la nombrada, es su seriede Lmi tes c ircu lares, Evolu cinyDems en ms p equeo.

Para generar la red de Lmites cuadrados, Escher

parti de un tringulo isorrectngulo ABC y sobre la

hipotenusa BC se construyen otros dos tringulos

isorrectngulos DBE y DCE, siendo D el punto mediode BC. Se itera este proceso y se obtienen los cuatro

tringulos FBG, FGE, HCI y HEI. Y as sucesivamente.

Si BG tiene longitud 1, entonces GJ= , JK= ,...

Luego CM=BN es igual al valor de la siguiente suma

1 + + + ... + ; cuando el nmero de trminos

n se hace muy grande (se dice que n tiende a

infinito). Como esa es la suma de los trminos de

una progresin geomtrica de razn , resulta

A

B

CD

E

F

G

H

I

1

1/2

1/4

1/8

J

K

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2n-11

2

1

2

n

1

2-

= - 12n- 1+ 2

- 1 lo cual tiende a 2 para valores muy

grandes de n puesto que

tiende a 0.

12n- 1

N M


18/194

Waclaw Sierpinski (Polonia, 1882-1969) ide el tringulo que lleva su nombre en

un trabajo presentado en 1916, aun cuando en esa poca no se utilizaba el

nombre de fractal ni se dispona de una teora sobre estos entes geomtricos.

Sierpinski fue un eminente matemtico polaco, profesor en Lvov y Varsovia. Uno

de los crteres de la Luna lleva su nombre.

Las sucesiones

El mundo de los fractales, estos maravillosos diseos geomtricos que

nos cautivan y que estn presentes en la naturaleza y las artes, se

relaciona estrechamente con cierto tipo de funciones denominadas

sucesiones o secuencias.

Procedamos con la construccin siguiente en relacin con un tringulo,la cual indicaremos por pasos:

Fundacin Polar l t im as No t ic iasEl mundo de la matemtica Sucesiones 21 0

Estado inicial Paso 1 Paso 2 Paso 3

Estado inicial: Comenzamos con un tringulo equiltero de lado ayrea A

Etapa 1: Marcamos los puntos medios de cada lado y los unimoscon segmentos. Se forman 4 tringulos equilteroscongruentes.

Etapa 2: Eliminamos el tringulo central (en blanco) y repetimosla etapa 1 con cada uno de los tringulos rojos quequedan.

Etapa 3: Iteramos (repetimos sucesivamente) la etapa 2 en cadatringulo de color rojo.

Despus de seguir este algoritmo indefinidamente se obtiene un

fractal denominado Tringulo de Sierp inski(Fractal de Sierpinski).

Son muchas las preguntas que podemos hacer en relacin con este

fractal, por ejemplo:

1) Cuntos tringulos en blanco y cuntos tringulos no eliminados

hay despus de npasos?

2) Cunto mide el permetro de cada uno de esos tringulos y cunto

el permetro total?

3) Cul es el rea de cada tringulo y el rea total de los tringulos

no eliminados?

Sierpinski in NatureFotografa de Gayla Chandler.http://www.public.asu.edu/~starlite/index.htm

...a


19/194

Fundacin Polar l t im as No t ic iasEl mundo de la matemtica Sucesiones 2 1 1

Ntese algo sorprendente en el fractal de Sierpinski.

1) Como >1, entonces a medida que n aumenta la potencia ( )n tambin aumenta:

< ( )2 < ( )3 < ( )4 < ( )5 < ( )6 < ( )7 < ...1,5 < 2,25 < 3,375 < 5,0625 < 7,59375 < 11,390625 < 17,0859375 < ...

y esto implica que el permetro total va creciendo infinitamente, se dice que tiende a infinito.

2) Como < 1, entonces a medida que naumenta la potencia ( )n disminuye:

> ( )2 > ( )3 > ( )4 > ( )5 > ( )6 > ( )7 > ...

0,75 > 0,5625 > 0,421875 > 0,31640625 > 0,2373304688 > 0,17799785 > 0,133498388 > ...

por lo tanto, en cada paso el rea total disminuye en 75%, lo cual implica que dicha rea se aproxima a cero, se diceque tiende a cero.

Lo sorprendente es que un permetro infinito contiene un rea finita nula, a lo que no estamos acostumbrados con lamayora de las regiones geomtricas planas encerradas por curvas que tienen longitud finita, como son las circunferencias,las elipses (valos), los polgonos, entre otras.

Respondemos esas preguntas utilizando una tabla donde la primera columna corresponde al estado inicial

(n=0), la que sigue al primer paso (n=1) y as sucesivamente hasta la ltima que da el paso n-simo.

Pasos 0 1 2 3 4 ... n

Nmero de tringulos no eliminados 30=1 31=3 32=9 33=27 ? ... 3n

(en rojo)

Nmero de tringulos eliminados 1+3= 1+3+9= (en blanco) 0 1 1+3 1 1+31+32 ? ...

Lado de cada tringulo a ? ... ?

Permetro de cada tringulo 3a 3 3 3 ? ... ?

Permetro total de los tringulos no 3a 3 a 3 2a 3 3a ? ... ?eliminados

rea de cada tringulo no eliminado A ? ... ?

rea total de los tringulos no A A 2A 3A ? ... ?eliminados

Observa que en cada una de las filas aparece una sucesin de nmeros

que siguen cierto patrn, lo que da lugar a una ley de formacin de lostrminos. Por ejemplo, la fila nmero uno es: 1, 3, 9, 27, .. . esto es 1,1 3 = 31, 3 3 = 32, 3 3 3 = 33, 3 3 3 3 = 34,... , 3 ... n ... 3 = 3n,...

Cada una de las expresiones escritas en la ltima columna depende del

nmero natural n, n=0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., es decir, son funciones con variableindependiente n y con valores en los nmeros reales. Tales funciones sedenominan sucesiones. As, la primera fila define la sucesin1, 3, 32, 33, ..., 3n, ... en donde cada trmino es igual al anterior multiplicado

por 3.

Estamos en presencia de una situacin matemtica, fractales, que tienevinculaciones con las artes y las formas de la naturaleza. An ms, la misma

condujo a:

Construir un algoritmo de tres etapas (secuencia finita de instrucciones).

Contar, lo hicimos contando tringulos.

Iterar, lo que significa repetir o reiterar.

A estos procesos se suma un conjunto de conceptos matemticos: tringulo, punto medio, permetro,

rea, fractal, y todo esto es parte del maravilloso mundo de la matemtica contempornea.

Esta pirmide de Sierpinski fue

ensamblada en la entrada delMinneapolis Convention Center parala reunin anual del Consejo Nacionalde Profesores de Matemticas (sussiglas en ingls NCTM) en abril de1997. Tuvo 6 metros de alto y fueconstruida por un grupo de estudiantesde geometra del Anoka High School.

3n-

2

1+3+9+...+3n- 1=

a2

a22

a23

a2

32

a22

a23

32

32

A4

A

42

34

34

A

43

34

34

32 32 32 32 32 32

34

34

32

34

34

34

34

34

32

34

32


20/194

Analizando sucesiones

Consideremos cuatro sucesiones.

Analicemos sus grficos.


Sucesin de trmino general N(n)= 3nque da el nmero detringulos en rojo en el fractal de Sierpinski.Aqu observamos que la sucesin es creciente, es decir, amedida que naumenta entonces N(n)tambin aumentay crece indefinidamente y se dice que tiende hacia infinito.Sus trminos estn en progresin geomtrica de razn 3>1.

0

5

10

1 2 3 4

N(n)

0

5

10

1 2 3 4

B(n)

Sucesin de trmino general B(n)= que da elnmero de tringulos en blanco en el fractal deSierpinski.Esta sucesin tambin es creciente y a medida que naumenta los trminos de B(n)crecen indefinidamentey se dice que tiende hacia infinito.

55

0

0,5

1 2 3 4 5 6 7

T(n)

8

Diciembre2003

Enero Febrero2004

Marzo

Con leche o negrito

Sucesin de trmino general T(n)=( )n que permite calcular

el rea del fractal de Sierpinski cuando ncrece indefinidamentey suponiendo el rea del tringulo inicial A=1. Esta sucesin esdecreciente, es decir, a medida que n aumenta sus trminosdisminuyen. Los trminos de esta sucesin estn en progresingeomtrica de razn


21/194


Estudiemos ms ejemplos de sucesiones:

1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,...

2) 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,...

3) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

4) 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...Seguirn los conjuntos de nmeros presentados algn comportamiento regular, algn patrn?

Podremos conseguir alguna frmula que los represente o genere?

Cada uno de estos conjuntos de nmeros representa una sucesin.

Estudiemos cada situacin

Para los nmeros 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,... tenemos:

10 - 5 = 15 - 10 = 20 - 15 = 25 - 20 = 30 - 25 = 35 - 30 = ... = 5

Como vemos, la diferencia entre un trmino y el anterior permanece constante: siemprevale 5. Estos nmeros son mltiplos de 5. Para esta sucesin cada trmino se obtiene delanterior agregando 5. Vemos que siguen un patrn, el cual adems es similar al que sesigue para construir los nmeros naturales y para el caso de los nmeros pares.

Para el caso de los nmeros naturales dos trminos consecutivos se diferencian en 1.

Para el caso de los nmeros pares dos trminos consecutivos se diferencian en 2.

Para el caso de los mltiplos de cinco dos trminos consecutivos se diferencian en 5.

1

Podemos ahora imaginar una sucesin para la cual la diferencia entre sus trminos consecutivos sea un

nmero cualquiera, r0..

Estas sucesiones reciben un nombre especial: Se llaman progresiones aritmticas.

Es frecuente denotar con smbolos los trminos de una sucesin. As, a1

designa al primertrmino, a

2al segundo, a

3al tercero, y as sucesivamente. El trmino general, aquel que ocupa

el lugar ensimo, se denota por an. Cuando se tienen varias sucesiones a la vez los respectivos

trminos generales se denotan por an, b

n, c

n, etc.

El patrn de una progresin aritmtica se describe mediante la frmula de recurrencia (el trmino n-simo,se escribe en funcin del trmino anterior o (n-1)-simo)

an-an-1=r; de donde an=an-1+ r

A partir de la frmula anterior se puede determinar otra frmula que representa el trmino general de unaprogresin aritmtica:

an=a1+( n - 1)r, con n N n1 N= {0, 1, 2, 3, ...}

Razn de laprogresin

n es la variable eindica el nmerode trminos.

Se lee con n pertenecientea los naturales

Por tanto la sucesin considerada en nuestro primer ejemplo puede expresarse

mediante la frmula an= 5 + (n-1 )5, n=1 , 2, ...

Progresiones aritmticas,geomtricas y otras sucesiones


22/194

2Veamos qu ocurre en el caso de los nmeros 3, 6, 12,24, 48, 96, 192, 384,...

Qu ocurre si calculamos la diferencia entre un trminoy el anterior?

6-3=3 , 12-6=6 , 24-12=12... Notamos que ahora lasdiferencias no permanecen constantes.

Exploremos qu sucede si dividimos un trmino entre el ante

n es lavariable

Se lee con n pertenecientea los naturales

Razn de laprogresin


Divine propo rt ion grid IIrving Leonard Kaplaningeniero mecnico y artista norteamericano (1929- )

http://www.kaplangallery.com

6

3=

12

6=

24

12= ... = 2

En esta situacin tenemos que el cociente de dos trminos consecutivos permanece constante: vale 2.

Podemos ahora imaginar una sucesin para la cual el cociente entre sus trminos consecutivos sea un nmerocualquiera, r0.

Estas sucesiones tambin reciben un nombre especial, se llaman progresiones geomtricasEl patrn de una progresin geomtrica se describe mediante la frmula de recurrencia:

= r, de donde an= an -1ranan-1

A partir de la frmula anterior se puede determinar otra frmula que representa el trmino general de unaprogresin geomtrica:

an=a1r(n-1), con n N n1

-20

-10

0

10

20

30

40

1 5

Hemos podido explorar la presencia de patrones numricos en las sucesiones presentadas. Pero, qu

se observa si realizamos representaciones grficas?

Podemos notar que a medida que n aumentatambin lo hace an. Luego la sucesin escreciente. Este crecimiento es lineal. Todoslos valores estn por encima de 5; luego, estacotada inferiormente. No es acotadasuperiormente ya que los valores anpuedensuperar cualquier valor preestablecido.

-30

-40

Valores:

5, 10, 15, 20, 25, 30,...

2, -1, -4, -7, -10,...

an=5+5

(n-1)r=

5>0

bn=2-3(n-1) r=-3


23/194

tricas y otras sucesiones


0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7

Grafiquemos el ejemplo 2 cuyos valores son: 3, 6, 12, 24, 48, 96,...

La sucesin de trmino general 3 2n-1es creciente.Sin embargo, ella crece mucho ms rpidamente

que la anterior sucesin an.El crecimiento de esta sucesin se llamacrecimiento exponencial. Todos los valores estnpor encima de 3; luego, est acotada inferiormente.No es acotada superiormente ya que los valorescnpueden superar cualquier valor preestablecido.

pera de SidneyAustralia.

Cn= 3 2n- 1

0 1 2 3 4 5 n6 1 2 3 4 5 n0

Cuando alguna situacin real est modelada mediante una progresin aritmtica ouna progresin geomtrica, se dice que hay un crecimiento o d ecrecimiento linealo un crecimiento o decrecimiento exponenc ial, respectivamente. La razn de estasdenominaciones se entienden fcilmente con los grficos siguientes, siendo r la raznde la progresin.

En la grfica de una progresin aritmtica (puntosalineados), al mismo incremento de la variableindependiente ncorresponden incrementosiguales en los valores de la sucesin. Observalos segmentos verticales.

En la grfica de una progresin geomtrica(puntos en una exponencial), al mismo incrementode la variable independiente n no correspondenincrementos iguales en los valores de lasucesin. Observa los segmentos verticales.

Anlogamente ocurre para progresiones aritmticas decrecientes (r


24/194

RETO

A continuacin se dan las grficas de distintas sucesiones. Determina propiedades de las mismas en relacin

con su crecimiento o decrecimiento, si tienden hacia algn valor, si estn o no acotadas, ...

cn

0

A

n

dn

0 n

bn

0

1

-1

n

an

0

L

n

en

0 n

fn

0 n

gn

0

A

n

n

hn

0


En la antigedad las sucesiones se denominaban series o progresiones, nombre derivadodel latn progressio y utilizado por los matemticos de la Edad Media como Boecio y otros.En la actualidad se usa la palabra sucesin o secuencia en lugar de progresin, quedandoeste ltimo trmino asociado slo a ciertos tipos especiales de sucesiones como lasprogresiones aritmticas, geomtricas y armnicas. El vocablo serie modernamentese emplea para designar un tipo particular de sucesiones: aquellas que se obtienen de irsumando trminos de una sucesin previamente dada.

Las progresiones aritmticas y geomtricas son conocidas desde mucho tiempo atrs.

AritmticaLos primeros indicios de tal progresinse encuentran en el Papiro Rhind (delescriba Ahmes), con un problema dedividir 100 panes entre 5 personas detal forma que la cantidad de pan que losdos primeros reciben sean igual a unsptimo de la cantidad que reciben lasotras 3 personas.

GeomtricaLos primeros indicios de tal progresin se encuentran en Babilonia(ca. 2000 a.C.). En el Papiro Rhind hay un curioso problema, condu-cente a una progresin, que se lee como sigue (en notacin actual)

Casas 7Gatos 49Ratones 343Espelta 2 401Hekat 16 807Todos 19 607

donde espelta es una variedad de trigo y hekat es una medida decapacidad.Es una progresin geomtrica de razn 7 y la suma de sus primeros5 trminos da 19 607. El problema se puede interpretar as:En cada casa hay 7 gatos; cada gato mata 7 ratones; cada ratnpodra haberse comido 7 espigas de espelta y cada espiga podrahaber producido 7 hekat de grano. Cunto grano se ha salvadogracias a los gatos?Hay que recordar que en la mitologa egipcia los gatos eran animalessagrados.

Boecio(Italia, ca . 480-524)

Ahmes, ca .1650 a.C.

RETO:Calcula la cantidadde pan que le toca cada quien.


25/194

Da l lu vios o en Pa rs.Albert Marquet (1875-1947).Al fondo del cuadro de Marquet se divisa la siluetade la catedral de Notre Dame en la cual utilizaronel nmero ureo en su diseo y construccin.

La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menorbasa su construccin en un pentgono ureo,en el que el cociente entre la diagonal by ellado ade dicho pentgono es el nmero ureo.

ba

ba


26/194

El mayor primo conocido hasta los momentos es un nmero que tiene 6 320 430 dgitos y fue obtenidopor Michael Shafer en el ao 2003. Shafer forma parte de un proyecto computacional masivo conocidocomo Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), en honor a Marin Mersenne.El nmero obtenido es:

Q=2p- 1donde p = 20 996 011 es un nmero primo.

No hay una frmula que genere todoslos trminos de la sucesin. Lasucesin es creciente. Est acotadainferiormente por 2 ya que todos losdems valores estn por encima de2. No est acotada superiormente.

Grafiquemos los valores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

3

El mtodo que empleaba el griego Eratstenes, consista en cribar los nmeros: escribalos nmeros y tachaba el 1 y todos los pares, salvo 2; luego, tachaba todos los mltiplos de3, salvo 3; despus, todos los mltiplos de 5, menos el 5; y as sucesivamente. Los nmerosque quedaban al final sin tachar eran los primos.Eratstenes sigui este procedimiento escribiendo los primeros tres o cuatro mil nmerossobre una plancha metlica y agujerendola en los lugares correspondientes a los nmerosque haba que eliminar.

Continuando con el tercer caso: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...corresponde a una sucesin un poco dscola: la de los nmerosprimos. Hasta los momentos los matemticos no han encontrado

un patrn que sea seguido por ellos y adems no se conoceninguna frmula capaz de generarlos a todos.


Otras sucesiones

n N, n>1es primo si tiene slo dos divisores: 1 y n

Prime numbersAnna Baldwin (artista inglesa)http://anabaldwin.com

El polinomio p(n)=n2-n+41, genera slo nmeros primos si hacemos variar ndesde 1 hasta 40.

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Eratstenes de CireneFilsofo y matemtico griego

(ca. 276 a.C.- ca. 194 a.C.)

Marin MersenneFraile y matemtico francs

(1588-1648)

RETO:Qu ocurre con p(41) en el polinomio

anterior? Ser primo o compuesto?

...

n

p(n)


27/194


4 En la secuencia de nmeros 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4,2, 1, 4, 2, 1,... , del cuarto caso, pareciera a primera vista que no existieraun patrn. Observada con un poco ms de detenimiento se nota quelos ltimos trminos: 4, 2, 1, se repiten (y los puntos suspensivos indicanque lo seguirn haciendo indefinidamente). Por otra parte, despus decada nmero par el siguiente trmino es la mitad del anterior.

Qu relacin existir entre los nmeros impares y los pares que all aparecen?

La relacin que los une es que dado el nmero impar an, el par que le sigueen la sucesin se calcula con la frmula 3an+1. As, 3 (17) + 1 = 52,3 (13) + 1 = 40, 3 (5) + 1=16,...

Hemos podido encontrar un patrn y ste se representa mediante la frmulade recurrencia:

an+1= y a1=34 (nmero inicial)

En el caso general, a1 = k es el nmero seleccionado inicialmente.

3an+1 si anes impar

si anes paran2

Muchos de los ms brillantes matemticos del siglo XX han tratado de probar infructuosamente que comenzandocon cualquier nmero que se les antoje (nosotros comenzamos con el 34) y aplicando el patrn que hemosdado, esta sucesin siempre terminar comportndose igual: caer indefectiblemente en el ciclo 4, 2, 1. Lasospecha generalizada es que esto es as. Se ha comprobado su veracidad para nmeros muy grandes usandoel computador. Sin embargo, no existe ninguna demostracin que lo garantice, as como tampoco se haencontrado ningn contraejemplo que lo refute.

Este problema se conoce como la conjetura 3n+1.

Picos en Little Lake ValleyEstados Unidos

0

10

20

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Podemos observar en el grfico queesta sucesin no es ni creciente nidecreciente.La sucesin es acotada inferiormenteya que todos los valores estn porencima de 1. Tambin es acotadasuperiormente puesto que ningn valorsupera a 52. Como es acotadainferiormente y a la vezsuperiormente se dice que es acotada.

Grafiquemos los valores: 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, ...

RETO

Verifica que una vezalcanzado el nmero 4, los

nmeros 4, 2, 1, serepetirn indefinidamente.

No hay forma de salirdel ciclo!

RETO

Considera los nmeros menores que 50. Con cada uno de ellos, como nmeroinicial, construye la correspondiente sucesin siguiendo el patrn de la conjetura3n+1. Para cul de esos nmeros se requiere la mayor cantidad de pasos paraalcanzar el ciclo 4, 2, 1?

40

50

60

...

2


28/194


Sucesiones y dedos

Carl Friedrich Gauss(1777-1855)

Mientras somos nios, usamos nuestros dedos para contar y sumar, tambin lospodemos usar para descubrir algunas propiedades de las progresiones aritmticas.

Cunto suman los nmeros consecutivos del 1 al 10(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)?

Veamos una forma de hacerlo usando los dedos.

1

23

4

5 6

7 98

10 Numeremosnuestros dedosdel 1 al 10.

Unimos las manos de forma tal que el primer nmero corresponde con el

ltimo y as sucesivamente.

1+10

2+93+8

4+7

5+6

Observemos que:

1 + 10 = 11

2 + 9 = 11

3 + 8 = 11

4 + 7 = 11

5 + 6 = 11

Aqu recordaremos una ancdota del gran matemtico alemn Carl Friedrich Gauss. A los diez aos sumaestro le propuso a la clase calcular la suma de los nmeros consecutivos del 1 al 100. Apenas elmaestro haba terminado de dictar el problema, Gauss coloc en la mesa del maestro su pizarra con elresultado de la suma. Sera que Gauss ya lo haba realizado con los dedos de sus manos?

(1+100) + (2+99) + (3+98) + ... + (50+51) = 101 50 = 5 050

De la misma forma como se procedi con los primeros trminos de esta progresin aritmtica de razn1 podemos hacerlo con una de razn 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 o 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,19 y tambin con una de razn 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

Podemos asignar a nuestros dedos los primeros diez trminos de una de estas progresiones y comprobarsi ocurre algo similar a lo descrito con los nmeros del 1 al 10?

SUCESIN

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 22 22 5 = 1101, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 20 20 5 = 100

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. 33 33 5 = 165

Suma de nmerosen cada dedo

Suma de los trminosde la sucesin

Qu pasa si tomas slo los nmeros que hay asignados en una sola mano?

1 + 5 = 6

2 + 4 = 6

Queda slo el 3 que es la mitad de 6. Si aplicamos la frmulade la suma de los trminos de una progresin aritmtica resulta S = =15 = 2 6 + 3

Casa natal de GaussDucado de Brunswick (hoy Alemania)

1

23

4

5

(1 + 5) 5

2

11 5 = 55


29/194

Descendencia

Fibonacci y el mundo

En el ao 1202 Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, escribi unlibro enciclopdico, mezclando teora y prctica, titulado Liber Abaci(Libro delbaco). En este libro se propone un problema sobre nacimientos de parejas deconejos, que conduce a una sucesin que lleva su nombre.


Leonardo de PisaFibonacci (ca 1170-1250)

Cuntas parejas deconejos sern procreadasen un ao, comenzandocon una pareja, si en cadames una pareja engendrauna nueva pareja que seconvierte en reproductivaal cabo de dos meses?

1er mes

2do mes

3er mes

4to mes

5to mes

f1 1f2 1f3 2f4 3f5 5f6 8f7 13f8 21f9 34f10 55

f11 89

11 primeros trminos

Sucesin

de

Fibonacci

1 2 3 4 5 6 7

5

10

Este es un caso de una sucesin que sepuede dar por una frmula de recurrencia,pues sus trminos cumplen la relacin:

fn+ 2= fn+ 1+ fn , n1

dondef1= f2=1 .

Existe una frmula, dada por el matemticofrancs Franois Edouard Lucas (1842-1891) para esta sucesin, que permitecalcular fn en trminos de n.

La sucesin de Fibonacci est presente en el mundo que nos rodea. Por ejemplo, las margaritas tienengeneralmente 34, 55 u 89 ptalos; el nmero de rutas que puede seguir una abeja que va recorriendolas celdillas hexagonales de un panal de abejas son los trminos de esta sucesin, as como el nmerode espirales en la pia.

El nmero de espirales en una mismadireccin de la coliflor es un nmerode la sucesin de Fibonacci. En lafigura se indican 5.

Estrella de mar (5 brazos). En la f lor de girasol el nmero deespirales es 21, 34 o 55. stos sonnmeros consecutivos de la sucesinde Fibonacci.

6to mes

n

f(n)

1


30/194

a

b

b

a

Si marcamos una hoja en la base de untallo de una planta y contamos cuntashojas hay en el tallo hasta situarnosdirectamente sobre la hoja "marcada", en

general obtenemos un trmino de lasucesin de Fibonacci.

Si consideramos los cocientes entre trminos consecutivos de la Sucesin de Fibonacci, se forma unanueva sucesin vinculada con el nmero de oro. En efecto, se puede comprobar que stos cocientes,para valores muy grandes del nmero n, se aproximan ms y ms al nmero de oro o seccin area,nmero irracional designado con la letra griega phi ().

Este nmero est presente en muchas situaciones:

Si tomamos un rectngulo ureo ABCD y lesustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado esel lado menor AD del rectngulo, resulta queel rectngulo EBCF es ureo. Si despus aste le quitamos el cuadrado EBGH, elrectngulo resultante HGCF tambin esureo. Este proceso se puede reproducirindefinidamente, obtenindose una sucesinde rectngulos ureos encajados queconvergen hacia el vrtice O de una espirallogartmica.

En el cuerpo humano el nmero ureo aparece en muchas medidas:la relacin entre la altura total y la altura del ombligo es el nmeroureo; la relacin entre las falanges de los dedos es el nmero ureo;la relacin entre la longitud de la cabeza y su anchura es tambineste nmero.


Fibonacci y el nmero de oro

Si nuevamente fijamos nuestra atencin en el tallo y contamos cuantasvueltas le dimos antes de obtener la superposicin de las hojas,nuevamente se obtiene un nmero de la sucesin de Fibonacci.

fn+1fn

1 1 2 1,5 1,66... 1,6 1,625 1,6153846... 1,6190476... 1,61764705...


31/194

Algunos instrumentosmusicales se construyen

utilizando el nmero de oro.

5 5 5 5 5

El nmero de oro en el arte

El nmero de oro ha sido utilizado por muchsimos artistas a travs del tiempo.

Leda atmicaSalvador DalPintor espaol (1904-1989)


El cuadro de Dal, Leda atmica, pintado en 1949,sintetiza siglos de tradicin matemtica y simblica,

especialmente pitagrica. Se trata de una filigranabasada en la proporcin urea, pero elaborada de talforma que no es evidente para el espectador. En elboceto de 1947 se advierte la meticulosidad del anlisisgeomtrico realizado por Dal basado en el pentagramamstico pitagrico.

b a

b

a

a

b

b

a

ba

En la Catedral de Notre Dame en Pars, seutiliz profusamente la relacin de oro para su

diseo y construccin.

b

a

cd

La adoracin de los Reyes mago s

Diego Velsquez de SilvaPintor espaol(1599-1660)

El Templo de Ceres enPaestum (460 a.C.)

tiene su fachadaconstruida siguiendo un

sistema de tringulosureos.

El nmero de oro en la arquitectura

ba

dc

a+bd+c


32/194

Butaca reclinable y lmpara diseadaspor Le Corbusier

El arquitecto, diseador y pintor Le Corbusier, en 1948 propuso un mduloarquitectnico que contempla las dimensiones del hombre y de los objetos quelo rodean, con el fin de crear una armona del ser humano con el lugar donde viveo se desempea. A partir del nmero de oro construye dos sucesiones ideales:

Sucesin roja: d , d , 2d, 3d, 4d, 5d, . . .

Sucesin azul: 2d , 2d , 22d , 23d, 24d, 25d, . . .

La azul es el doble de la roja

donde d es la altura ideal de un hombre, que tom como la altura promedio delhombre nrdico: 6 pies = 6 30,48 cm 183 cm.

Con estas sucesiones, Le Corbusier dise obras que cumplen la misma relacinque la sucesin de Fibonacci y que son usadas para determinar la dimensin delos objetos y de las construcciones, tomando en cuenta las posiciones habitualesdel ser humano. De esta manera, este gran arquitecto propuso un sistema demedidas usado para las construcciones llamado El Modulor.

27 cm43 70

86

113 140 183 226 cm

Fibonacci, el nm ero de oro y Le C orbusier


Two w omen w ith necklace (1930)Le Corbusier

2260 mm

1829

1397

1130

698

432

0

Esbozos originales de El Mod ulor

Unidad de habitacin en Berlin,Alemania.

14086

1,63 11370

1,61

7043

1,63 4327

1,59

226140

1,61 1831131,62

La altura promedio del hombre nrdicoes 183 cmCon la mano en alto: 226 cmDel pecho a los pies: 140 cmDel ombligo a los pies: 113 cm

Observa las relaciones:

Charles Edouard JeanneretLe Corbusier

Francs de origen suizo (1887-1965)

RETO:

Cada trmino es sumade los dos anteriores apartir del 3.


33/194

Retrato de fam i l ia,Henri Matisse (1869-1954).

El ajedrez

A pesar de que hayfuertes indicios queremontan los orgenesdel juego de ajedrez aEgipto en el tercermilenio a.C., muchas de

las leyendas divulgadassealan que se inventen la India en el siglo V.


34/194


Matemticas recreativas

Observemos que esta cantidad corresponde a la suma de los primeros 64trminos de la progresin geomtrica cuyo trmino general es a

nan= 2n1, n = 1 , 2 , El valor de la suma es:

S64= = 2641 = 18 446 744 073 709 551 615

Actualmente se estima que la produccin mundial de trigo est por el orden de600 millones de toneladas por ao.

Tomando en cuenta que aproximadamente 40 gramos de trigo equivalen a 1.000granos de este cereal, tenemos que 600 millones de toneladas de granos detrigo equivalen a:

Todas las leyendas sobre el origen del ajedrez coinciden en indicar que un rey, fascinado por lo interesante deljuego, quiso premiar al inventor, un sacerdote hind llamado Sessa, ofrecindole lo que quisiera, quien le contestque se conformaba con un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por latercera, ocho por la cuarta, y as doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de ajedrez.

El rey orden a su visir que preparara el premio solicitado, quien hizo los clculos y se dio cuenta que eraimposible cumplir la orden, ya que haba que darle

1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 263 granos de trigo

264 - 12 - 1

1 t =1 000 kg 1 kg =1 000 g 25 000 granos

De esta manera, para cumplir la solicitud del sacerdote, con la produccin actual de trigo, necesitaramos:

18 446 744 073 709 551 615

15 000 000 000 000 000 1 230 aos

La escritura ms antigua que menciona un juego parecido al ajedrez apareci alrededordel ao 600 a.C. y el hecho de que se mencionaba sin una explicacin sugiere que eraya bien conocido en ese entonces. El ajedrez es un juego de un grupo relacionado conel juego de "Chaturanga", que se piensa se origin en la India por el siglo VI o tal vezmucho antes y que, a su vez, podra estar vinculado a un juego chino ms antiguo.Chaturanga es una palabra snscrita que se refiere a cuatro "armas" (o divisiones) deun ejrcito indio: elefantes, caballera, carretas e infantera, de los cuales se derivanlos cuatro tipos de piezas del juego.

El ajedrez


35/194

Un problema interesante relacionado con esta leyenda esdeterminar el nmero mnimo de jugadas a realizar para trasladarlos discos al ltimo palillo, partiendo de un nmero nde discos.


Templo budistaHanoi, Vietnam.

En 1984 se cre una leyenda sobre un juegoinventado por el matemtico francs FranoisEdouard Lucas, quien lo llam M. Claus, que esun anagrama de Lucas.

En el gran templo de B enars, debajo de la cpula q ue marca el centro d el mundo , yace una base de bron ce,

en dond e se encuentran acom odadas 3 agujas de diamante, cada una del grueso del cuerpo d e una abeja. En

una de estas agujas, Dios, al mom ento d e la creacin, coloc 64 discos de oro, el mayor sobre el plato de

bron ce, y el resto d e menor t amao c onfo rme se llega a la cim a. Da y noc he, inc esantemen te, los sac erdot es

del templo m ueven los discos de una aguja a otra de acuerdo con las leyes imp uestas, que requieren que los

sacerdotes se encuentren tod o el tiemp o laborand o, no m uevan ms de un d isco a la vez y coloq uen cada d isco

en alguna de las agujas de mod o qu e no cub ra otro disco de radio m enor. Cuando los 64 d iscos hayan sido

transfer idos de la aguja en la que Dios coloc los discos, al momento de la creacin, a otra aguja, el temp lo y

los b rahmanes se c onvertirn en po lvo y junt o c on ellos el mundo d esaparecer.

Franois Edouard AnatoleLucas (1842-1891).

n=11 disco

n=22 discos

Posicin inicial Posicin final

1 = 211movimientos

3 = 221movimientos1er movimiento 2do movimiento

Posicin inicial Posicin final

En general, para mover los ndiscos al ltimo palillo se necesitan como mnimo 2n1movimientos, que esprecisamente la suma de los primeros n trminos de la progresin geomtrica cuya frmula esan=2n1, n = 1 , 2, ..., que en el caso de la leyenda son:

2641=18 446 744 073 709 551 615 movimientos.

Si suponemos que se mueve un disco por segundo, para pasar los 64 discos se requeriran:

584 942 417 355 (aos)18 446 744 073 709 551 61560 60 24 365

RETO: Calcula el nmero mnimo de movimientos para los casos de 3, 4 y 5 discos.


36/194


Sucesiones y msica

Se dice que la msica es capaz de afectar el pensamiento, elcarcter y los estados emocionales de las personas. Desde lospitagricos form parte de la matemtica como una de las cuatrodisciplinas del cuadrivium. Fue a partir del Barroco (s. XVI)cuando se empez a distinguir entre la msica como ciencia yla msica como arte.

Sonido: un proceso devibraciones fsicas que setransmiten a travs de algnmedio material, como el aire.

Frecuencia (f) de un sonido:es el nmero de vibraciones ociclos por segundo. Su unidades el Hertz (Hz) en honor alfsico alemn H. Hertz (1857-1894). Por ejemplo, la notamusical do tiene una frecuenciaaproximada de 260 Hz.

Si de dos sonidos uno tiene frecuencia fy el otro frecuencia 2f, se dice

que el primero es una octavams bajo (o grave) que el segundo. Elintervalo de extremos fy 2fse denomina una octava.

Los pitagricos descubrieron que al tener una cuerda tensa y

pulsarla se producen sonidos y mientras ms corta es la cuerda

entonces la frecuencia es mayor. Experimentaron con el monocordio:

si se fija la cuerda de longitud L en su punto medio se verifica que

y la razn de frecuencias (intervalos musicales) es = ,

el inverso de , lo que produce la octava: fnueva = 2 fvieja .

Los pitagricos tambin encontraron la quinta: si la cuerda original tiene longitud L y es la primera nota do,

entonces ( )L produce la quinta nota de la escala, sol, siendo ( :1 o bien 2:3) y la razn de las

frecuencias es 3:2.

La escala musical diatnica contiene siete notas fundamentales: do, re, mi, fa, sol, la, si.

De la obra Theorica Musice(F. Gafurius, Miln, 1492).Uno de los primeros intentos de hacer un retrato de

Pitgoras en un grabado de madera.Fuente: D.E.Smith, vol. I, p. 76 (1951).

Monocordio:instrumentomusical de una solacuerda.

La escala pitagrica fue primordial hasta la creacin de la afinacin temperada de Bach. TambinFibonacci estudi una serie de relaciones matemticas con la msica.

As, los primeros seis nmeros de la sucesin de Fibonacci figuran en una octava de piano, la cual consisteen 13 teclas: 8 teclas blancas, 5 teclas negras (en grupos de 2 y de 3).

octava octava octava octava octava octava octava

do:do do:re do:mi do:fa do:sol do:la do:si do:do

Primera Segunda Tercera Cuarta Quinta Sexta Sptima Octava

1:1 8:9 4:5 3:4 2:3 1:28:153:5

L2L

12

=fnuevafvieja

21

12

2

3

L

2

3=

L 23

23


37/194

El conjunto de notas musicales en una octava es una sucesin finita del intervalo de extremos f0 y 2f0 :f0< f1< f2....... < fn-1< fn< 2f0

f0 2 f0

f1 f2 ... fn-1 fn

siendo f0 una frecuencia patrn.

En la afinacin temperada de J. Sebastin Bach (alemn, 1685-1750), esa sucesin es una progresin geomtricade razn 2 = 21/12 :

f0

y en esta escala la octava queda dividida en doce intervalos de igual razn(que pasan a ser doce intervalos de la misma longitud cuando se tomanlogaritmos de base 2).

Con la misma se afinan el piano y el arpa.


Desde la Antigedad, la Serie de Fibonacci ha sido utilizadapor arquitectos y artistas para lograr efectos armoniosos,proporcionados y equilibrados formalmente. Pero a partir delsiglo XIX, se descubri que las formas ms elementales de lanaturaleza obedecan a esta proporcin: vegetales, conchas,

espirales, mecanismos celulares, .... En msica su empleo,consciente o no, remonta a Bach, Mozart ...Contemporneamente haba sido trabajada por Bela Bartok,Stockhausen y su discpulo Roger Smalley, -quien era miprofesor-.

Fuente: Mara Luz CrdenasEntrevista a Eduardo Marturet.Diario El Universal, 4-1, Caracas,15/02/1988.

Esas relaciones de la sucesin de Fibonacci con la msica estn expresadas enla entrevista al compositor y director de orquesta venezolano Eduardo Marturet,quien, al responder a una pregunta de la entrevistadora Crdenas, dijo:

... Con esta conclusin pas a otro nivel de trabajo e incorpor una serie de

elementos y conocimientos que me parecieron claves.- Cules?

Fundamentalmente la aplicacin de la Escala Matemtica de Leonardo Fibonacci dentro de la composicinmusical. La Serie Fibonacci, conocida como Serie de Oro, permite explicar el crecimiento proporcional

de la forma segn una sucesin numrica (... ).

Interesante

12

21/12 f0 27/12 f0 28/12 f0 212/12 f0


38/194

O rientaciones m etodolgicasS u g e r e n c i a s p a r a l o s d o c e n t e s


En este fascculo hemos presentado varias sucesiones numricastratando de encontrar la presencia de algn patrn o regularidad, perono siempre es posible como en el caso de los nmeros primos.

Al trabajar con sucesiones en el aula, el docente puede plantear

numerosas situaciones provenientes de contextos diversos tales como: Crecimiento de poblaciones.

Situaciones vinculadas con las finanzas.

Muchas otras que aparecen en la vida real.

stas producen datos que, en muchos casos, s siguen algn patrn.

El tomar como punto de partida hechos de la vida real, permite establecer un puente entre la matemticay el mundo que nos rodea, y est relacionado con las aplicaciones de esta materia y con la construccinde modelos matemticos. Sin embargo, hay que evitar la trivializacin y la creacin de contextos artificiosos

cuyos efectos son absolutamente contraproducentes.

Cmo se puede determinar la presencia dealguna regularidad entre los trminos de unasucesin?

EXPLORANDO

Realizandodiferencias entre

trminosconsecutivos.

Realizandococientes entre

trminosconsecutivos.

Relacionandoalgunos trminos

con otros, etc.

Con estas tcnicas se pueden establecer conjeturas que luego han de ser verificadas, conduciendo estoa los procesos de argumentacin y prueba. Eventualmente se pueden detectar patrones.

Es de gran utilidad presentarle al estudiante aspectos histricos dela matemtica.

Con ello se logra:

Percibir a la matemtica como una ciencia en permanente evolucin.

Apreciar que esta ciencia es un producto cultural de la humanidad.

Usar la historia de la matemtica como estrategia de enseanza-aprendizaje.


39/194

Enm

uc

ha

s

de

l

as

tareas

es

degra

n utilidadutiliz

ar

ca

lcu

ladora

oco

mp

utadora Es recomendable estudiar ciertas

propiedades de la sucesin:crecimiento o decrecimiento,

acotamiento inferior, acotamiento

superior...

BIBLIOGRAFACardona, Fracesc (2000),Mito loga del Ajedrez, Olimpo. Barcelona, Espaa.

Madsen Barbosa, Ruy (2002). Descob rind o a geometra fractal para a sala de aula.Autntica Editora, Belo Horizonte, Brasil.

Seminario Nmero y Notas: Reflexiones Matemticas sob re la Msica. Comisin deEstudios Interdisciplinarios y Escuela de Artes de la Universidad Central de Venezuela.Revista EscritoS. 2000.

Spinadel, Vera W. de (2003). Del Nmero de Oro al Caos. Nobuko, S.A., Buenos Aires,Argentina.

Video sobre el mundo de Pitgoras, el nmero de oro y algunas cuestiones de geometra:Donald en el pas de las matemgicas, de Walt Disney.

Los nmeros de Fibonacci y la razn urea. http://www.amc.unam.mx/laciencia/msf.htm

Nmero de oro y sucesin de Fibonacci: http://www.ifrance.com/expo/


Pero, a veces el patrn es mscomplejo o tal vez menos evidente.

En esta situacin tambin ayuda elcombinar diversas representaciones:

numrica, grfica....

Una vez encontrada una expresinanaltica es conveniente estimular en

los alumnos los cambios derepresentacin: a partir de la frmula

hallar valores numricos; a partir deellos graficar...

La tcnica de resolucin de problemas sesugiere como una excelente estrategia a ser

empleada por el docente en el aula.

Si la actividad considerada posee un cierto

nivel de complejidad es posible estructurarlacomo un pequeo proyecto.

Es factible combinar el trabajo individual del

alumno con el trabajo de pequeos grupos.

Tambin es factible la realizacin de actividadesextraescolares organizando clubes de

matemticas en el plantel.

Respuestas pgina 32: b) 3 4n ; c) ( )na, 3( )na ; d) tiende a infinito; 2) 1992; 3) =13

43

1


40/194


Teng o que p ensa rlo

El fractal copo de nieve (la isla de Koch) de Niels FabianHelge von Koch (Suecia, 1870-1924).

Partiendo de un tringulo equiltero de lado aefectuamos las siguientes construcciones:

Cada segmento se divide en tres partes iguales. En el segmento central se construye un tringulo equilteroy se elimina la frontera entre este tringulo y el segmento original, y as se sigue el proceso para obtenerestos polgonos estrellados.a) Dibuja el polgono correspondiente al tercer paso.b) Cuntos lados tiene el polgono estrellado cuando se hacen n pasos?c) Cunto mide el lado del polgono estrellado en el n-simo paso y cul es su permetro?d) Al continuar ese proceso indefinidamente se obtiene el fractal de von Koch o copo de nieve. A qutiende el permetro del fractal (permetro de la curva frontera)?

Paso 1 Paso 2Inicio Paso 3

a

1

Un escritor escribe una novela cadados aos. Cuando publica su sptimanovela, la suma de los aos en lascuales fueron publicadas es 13 986.En qu ao public su primera

novela?

2

Un crculo de rea A1

est contenido enel interior de un crculo de rea A

1+A

2.

Si el rea del crculo mayor es 3, y si A1,

A2, A

1+A

2estn en progresin aritmtica

cul es el radio del crculo menor?

3

1

1

1


41/194

S i s t e m a d e c o o r d e n a d a s

Los embajadoresHans Holbein El joven

Pintor alemn (1497-1543)

Esta pintura constituye el ejemplo caracterstico de un

tipo de retrato renacentista, en el cual el que se retrataest rodeado por una serie de objetos que manifiestansu inters y sus conocimientos. Entre los objetos,aparte de los instrumentos musicales, destacan: unlibro de aritmtica, un globo terrqueo, variosinstrumentos astronmicos y dos relojes de sol.


42/194

Situaciones de coordenadas

Fundacin Polar l t im as No t ic ia sEl mundo de la matemtica Sistema de Coordenadas 53 4

En todas estas

situaciones, para

ubicar una posicin enparticular, se precisa

de un punto de

referencia y asociar

dos elementos en un

cierto orden.

Un avin cuando vuelarequiere enviar a la torre

de control informacinsobre la latitud, la longitud

y la altura donde seencuentra.

Para poder organizar losproductos en unsupermercado,

precisamos conocer elpasillo, el anaquel y el

estante.

En todas estas situaciones, se requiere de un punto de referencia y asociar un nmero para lograr la

ubicacin.

En todas estas situaciones para

ubicar una posicin en particular,se precisa de un punto de

referencia y asociar tres

elementos en un cierto orden.

En cada casillero se

determina el piso y la letraque le corresponde al

apartamento.

Cualquier punto del globo

terrqueo se determinapor su latitud y su longitud.

En el plano de algunas

ciudades, las esquinasquedan determinadas por

la interseccin de unacalle con una avenida.

Descartes fue uno de los primeros filsofos modernos.En 1637 public su gran obra Discurso del mtodo paraconducir bien la razn y buscar la verdad en las ciencias,en la que figuran La Diptrica, Los Meteorosy la Geometra,siendo esta ltima un apndice de dicha obra. En LaGeometra aparecen las ideas sobre lo que hoy se conocecomo sistemas de coordenadas cartesianas debido a laforma latina de su apellido Cartesius.


43/194

Los nmeros racionales y algunas races como las cuadradas 2 , 3,... n,... se pueden representar en la recta utilizandoregla y comps (son nmeros construbles con regla y comps), mientras que hay otros nmeros con los que no se puedeusar este procedimiento, como es el caso de e y que se representan usando aproximaciones.

Postal Av. Urdaneta 1958.

Fundacin Polar l t im as Not ic iasEl mundo de la matemtica Sistema de Coordenadas 5 3 5

Sistemas de coordenadas en la recta

En muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicacin en una lnea

recta. Si estamos en la esquina de Veroes, de la avenida Urdaneta, de Caracas

(de frente a El vila), y deseamos movilizarnos a la esquina de Carmelitas,

debemos caminar dos cuadras a la izquierda. Si queremos ir a la esquina de

Ibarras, tenemos que caminar una cuadra hacia la derecha.

Cuando leemos en untermmetro podemos observar

temperaturas por encima o por

debajo de cero.

Av. Urdaneta

Carm

elita

s

Sta.

Capilla

Veroes

Ibarras

Pelot

a

Punc

eres

Av.

FuerzasArmadas

Soco

rro

nim

as

El piloto de un avin conoce la

altura a que se encuentra a travs

del altmetro.

En estas situaciones, en realidad lo que estamos haciendo es tomar un sistema de referencia en unarecta (vertical u horizontal), donde fijamos un punto de origen y luego consideramos direcciones: derechao izquierda; hacia arriba o hacia abajo; y una unidad de medida, como es el caso de la cuadra (100 m

aproximadamente) o 1 grado centgrado, etc.

Una recta o una curva con un punto O llamado origen y unaunidad de medida definida con otro punto U de la misma, deter-minan un sistema de coordenadas en la recta o en la curva.

O U

Sentido positivo: de O hacia USe asocia:0 con el origen y 1 con U

0 1 2 3 40

-1-2-3

5 4

3= 1 + 1

3

Teorema de Tales

- 5

5

e 2,718

3,1416

Teorema de Pitgoras

1


44/194

Los smbolos < y > se deben al matemtico ingls Thomas Harriot(1560-1621) quien los incluy en su obra pstuma Art is analyt icaepraxis(Londres, 1631) y quin, adems, fue un astrnomo prominente(descubri las manchas solares).Harriot fue el primer matemtico destacado enviado al Nuevo Mundocomo agrimensor, por Sir Walter Raleigh en 1585, y realiz lainspeccin y medicin de una porcin del territorio de Amrica delNorte.

aes menor que ba < bo b > a


Orden en la rectaLa recta y la curva en el espacio(2000)

Consuelo Mario. Pintora espaolaHomenaje a la primera muestra de pensamiento simblico.

Cueva Sudafricana. Hace 100.000-70.000 aos.

a b

Para incluir la posibilidad de que los nmeros ay bsean iguales se escribe abo bien ba, que se leea es menor o igual que b o bien b es mayor o igual que a, respectivamente.

Un conjunto de nmeros de uso frecuente son los llamados intervalos

Intervalo abierto

(a , b)

Nmeros que estn entre a y b.

No se incluyen ni a ni b.

Notacin Descripcin

a ba < x < b

60km/h

Intervalo cerrado

[a , b]

Nmeros que estn entre a y b,

incluyendo a y b.

Intervalo semiabierto

(a , b]


incluyendo b.


incluyendo a.

(a, ) Nmeros mayores que a.

a ba x b

a ba < x b

a ba x < b

a x > a

a

ax < a

b

Intervalo semiabierto

[a , b)

[0 , 60]

Presto Dinero1% mensualde 500000 a3 000 000 000

[5.105, 3.109

[a, )

x a

x a

Nmeros mayores o igualesque a.

( , a) Nmeros menores que a.

( , a]Nmeros menores o iguales

que a.

No seaceptanmenores de

edad

[0,18)

Solicitosecretaria, 22aos mnimoy mximo 35

aos

[22, 35]

Ejemplo: e


45/194

Postal Catedral de Caracas, 1920.

Fundacin Polar l t im as Not ic iasEl mundo de la matemtica Sistema de Coordenadas 5 3 7

En muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicacin en el plano de

alguna ciudad. Si estamos en una esquina del centro de una ciudad como Caracas

(como la esquina de La Torre) y le preguntamos a un transente cmo hacemos

para ir a la esquina de Altagracia, esta persona nos podra indicar que debemos

caminar dos cuadras hacia el norte y luego dos cuadras hacia el oeste. O bien

que podemos caminar dos cuadras hacia el oeste y luego dos cuadras hacia elnorte.

Sistemas de coordenadas en el plano

En realidad lo que est haciendo este individuoes considerar un sistema de referencia en el centro

de la ciudad, donde fija como punto de origen el

lugar en el que est ubicado y luego toma

direcciones (norte-sur, este-oeste) y una unidad

de medida en cada una de estas direcciones,

que en este caso es una cuadra (aproximadamente100 m).

Una situacin similar acontece en el casco central

de varias ciudades del pas, donde se toma unsistema de coordenadas para ubicar distintos

lugares, como es el caso de numerar todas lasvas en una misma direccin con la denominacin

de calle y asignarle un nmero, y las que estn

en la direccin perpendicular como avenidas,

atribuyndole tambin un nmero.

As, si deseamos referirnos a una esquina en

particular, debemos indicar el nmero de la calley el de la avenida, por ejemplo: avenida 3 concalle 5. Si queremos referirnos a un lugar que

est entre dos calles debemos indicar los nmerosde las dos calles y la avenida, por ejemplo: avenida

4 con calles 2 y 3.

Calle1

Av. Urdaneta

Carm

elita

s

Sta.

Capilla

Veroes

Llagu

no

Alta

gracia

Mijar

es

Jesuita

s

Cuartel

Cond

e

Princ

ipal

LaTorre

Pia

ngo

PadreSierra

Plaza

BolvarGr

adilla

s

Muo

z

Marc

osParra

Boler

o

Calle2

Calle3

Calle4

Calle5

Calle6Avenida 1

Avenida 2

Avenida 3

Avenida 4

Avenida 5

Avenida 6

El trazado de cuadrcula conformando lo que denominamos manzana proviene de las normas que habaestablecido la Corona espaola y que se llamaban Leyes de Indias, para la creacin de los pueblos pertenecientesal reino de Espaa.

N

E

S

O


46/194

En las situaciones anteriormente planteadas estamos considerando dos elementos para

dar una ubicacin. En general en un plano, para dar un sistema de coordenadas cartesiano

se consideran dos rectas (denominadas ejes de coordenadas) que se cortan en un

nico punto que usualmente se denota con la letra O y se denomina origen. Sobre

cada una de estas rectas se toma una unidad de medida (no necesariamente la misma

en ambos ejes).

Al fijar una unidad de medida en uno de los ejes, tomamos la longitud del segmento

OUcomo la unidad. De esta manera, en ese eje, tenemos una correspondencia

con los nmeros reales. De la misma forma se procede con el otro eje. Estepar de rectas con sus respectivas unidades de medidas, es lo que se

llama sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano.

Observa: Dado un punto P del plano, al trazar por P paralelas a los ejes,

stas cortan a dichos ejes en puntos a los que podemos asociar nmeros

reales que se denominan coordenadas del punto P. Tambin se tiene

que: dados dos nmeros reales xe ypodemos asociar un nico punto

en el plano cuyas coordenadas son el par ordenado (x,y).


Sistemas de coordenadas en el plano

Para las anotaciones en el juego de ajedrez, se etiquetan las

columnas con letras y las filas con nmeros. De esta manera

podemos ubicar la posicin de una ficha indicando una letra y un

nmero. Para la anotacin se acostumbra escribir la ubicacin

anteponiendo la primera letra del nombre de la ficha, por ejemplo,al decir Ag5 significa que estamos jugando el alfil en la posicin

g5.

8a 8 b 8 c 8 d 8 e 8 f 8 g 8 h 8

7a 7 b 7 c 7 d 7 e 7 f 7 g 7 h 7

6a 6 b 6 c 6 d 6 e 6 f 6 g 6 h 6

5a 5 b 5 c 5 d 5 e 5 f 5 g 5 h 5

4a 4 b 4 c 4 d 4 e 4 f 4 g 4 h 4

3a 3 b 3 c 3 d 3 e 3 f 3 g 3 h 3

2a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 h 2

1a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1 h 1

01 2 3 4

1

2

3

4

4

y

x

-1

-1

OrigenEje de las abscisas

Eje

de

lasord

enadas

P(x,y)

Abscisa del punto P

x

Ordenada del punto P

y

Coordenadas Polares

Adems de las coordenadas cartesianas existen otros sistemas de coordenadas en

el plano, uno de ellos se forma al considerar una semirrecta e(denominada eje polar

y cuyo extremo se llama polo y se denota con la letra O) y una circunferencia con

centro en el polo.

Para dar las coordenadas polares de un punto P, se consideran la distancia del punto

P al extremo O y el ngulo que forma la semirrecta econ el segmento OP. Eneste caso, la primera coordenada est en el intervalo [0 , ) mientras que la segunda

en el intervalo [0 , 2).

Pe

EjePo

lar

O

En general, para establecer un sistema de coordenadasen el plano basta con que demos dos curvas que se

cortan en un nico punto y una unidad de medida encada una de estas curvas. Ahora podemos pensar elplano como una red determinada por todas las curvasparalelas prefijadas.

00

12

34

5

a

b

c

d

a b c d e f g h

Nota: Usualmente los ejes x e y son perpendiculares.

Se pueden transformar las coordenadas de un cierto sistema a otro sistema. Por ejemplo: si (r, ) son las coordenadas

polares de un punto en el plano, sus correspondientes coordenadas cartesianas (ejes perpendiculares) vienen dadas por

las frmulas x = r cos , y= r sen .

Mientras que si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, entonces las coordenadas polares se

obtienen a travs de las frmulas r = x2 + y2, = arc tg .

En la actualidad, con las calculadoras cientficas se pueden obtener las coordenadas polares de un punto conociendo

las coordenadas cartesianas y viceversa.

yx


47/194

Fundacin Polar l t im as Not ic iasEl mundo de la matemtica Sistema de Coordenadas 5

Coordenadas y nuestro planeta TierraLa superficie de nuestro planeta se asemeja a una esfera y puede

dividirse en rejillas delimitadas por infinitas lneas imaginariasdenominadas meridianos y paralelos.

Los paralelos, son circunferencias con centro en el eje de rotacin de

la Tierra (recta que une los polos), y el paralelo mximo se denomina

Ecuador. Los meridianos son circunferencias que unen los polos y,por convencin, el meridiano de referencia se denomina Meridianode Greenwich.

Para dar la ubicacin de un punto P sobre la superficie de la Tierra, seutiliza el Sistema de Coordenadas Geogrficas. Segn este sistema,el punto P queda determinado por dos nmeros: latitud y longitud.

La longitud es el ngulo entre dos planos determinados por susrespectivos meridianos: uno que contiene al punto P y otro al meridiano

de Greenwich. La longitud suministra la localizacin del punto al este

o al oeste del meridiano en referencia. Se mide en ngulos que van de

0 en el meridiano de Greenwich, hasta 180 en ambos sentidos (estey oeste).

La latitud es el ngulo que forma el plano ecuatorial, con la recta queune el punto P considerado con el centro de la Tierra. La latitud

proporcion

2 El mundo de la Matemática

Documents

Transcript of 2 El mundo de la Matemática