ir- . a i • V - í l - 4 . 7 - ( 3 n - 2 ) i 2

Ejemplo 3. La serie / J ZO C ) • conver^e

n=l

Solución:

i) n+I 1.4.7 ..(3n-2X3n + l)] f 3.6.. 3n 3.6.9.,.(3nX3n + 3) J *U.4...(6n-2)J

3n +1 V3n + 3

lim a"+1 = limi 3n +1

a •>-A3n + 3. = 1 (criterio cociente falla)

ii) lim n n-»oc

converge

12n + 8 ^ 12 , , , . x M 1.4.7...(3n-2) — > 1, luego la sene > a— V9n" + 18n + 9^ 9 3.6.9..(3n) )

\ í

oo 2.7.12. Criterio de Gauss. Sea ^ a n u n a serie de términos positivos. Si

n=l existen una sucesión acotada (An) y un número \ > 1 tal que para n > N

Un, i , f = 1 entonces, n n

i)laseríelanconvergesir > 1 «-1

ii) La serie ^ an diverge si r < 1 «=i

111

Demostración. Se aplicará el criterio de Raabe si

lim n-n—»00

"n- t - i

an J

f r A, lim n • 1 - 1 + - + —{ n-»<*> v. n nA

= l i m n - í - + A2-, . . . . . . . . , n-».® Vn n'" J n limi r + - n r entonces

la serie ^ a n converge si r > 1 y diverge si r < 1

Para r = 1: n+1 = 1 1 A

an n n -JL, luego lim n- n+i 1-

V a J = lim

luego por el criterio de Raabe la sene diverge. 2 00

Ejemplo 1. La serie ^ n=l

1.3.5. . . (2n- 1) 2.4.6.. 2n

diverge.

Solución:

1 + —

an+l f 2n+ 1 2n + 2/

^ 4n + 4 n + 1 , 1 1 — +

5 + n

4n2 + 8n + 4 n 4n2 + 8n + 4

. 1 1 1 + — n n

5 + n , 8 4

4 + _ + n n J

1 A. = 1 - - + n n"

5 + A„ = — Q

n es a cot ada, pues lim An = — y como r = 1 o 4 n~»x> 4 4 ^ f n n"

entonces la serie diverge.

112

4

_ _ . v ^ r 1.4.7... Eiemplo 2. La serie > converge.

¿ - A 3.6.9..,(3n) ) 6

n=l Solución:

12 a

n+i _ (3n+l) 2 _ 9n2 + 6 n + l _ ^ 1 2 ^ 1 6 + ~n~ an (3n+3)2 9n 2 +18n + 9 9 n 9n 2 +18n + 9

f _ 12 ) _ , 1 2 1 1_ 1 6 n , 12 1 1

9 n n 2 ' 9 + l ! + A 9 n n2 a ' V n n 2 '

la sucesión (A„) es acotada, pues lim A n = - — y r = — >1, n-»oo 9 9

luego la serie es convergente.

113

EJERCICIOS.

I) Demostrar que las siguientes senes son convergentes.

4.

n=10 - ( I

n + n~ + n

i 2 . Y - 1 -12 + 3" n=i

XI

3 - S -1

n4 + e" + sen" n + 1 n=l

n A n 4 + isenni + e1 J n=1 v ! 1

7. •jj I

11=1

sen n

Vñ+T-Vñ

v Vn"

A

Q=i x \ u + n >

lnn ,3.

< n - í

16.

•JU I n=l

1 nln n

I lnn 4 " n

•u

8 y 1

f f V ' n ( n + l X n + 2 )

^ -ln(n+l) n=l

14. V f ' ^

n(n + 2)

dx ^ •*> l + x : n=0

Zn 7 \ n=i (3 + n2")

n=i

6n4 + 3n^ + 1 3n(n4 +1)

2 + ¡cc 9 I H ? n=l

12.

2 + jcos n|

n"

n! I t r ( " + 2 ) !

oo n+1 15. ] T j e _ V " d x

11=1 n

* I n=l

f \ n ( n 1

n+1

II) Demuestre que las siguientes series son divergentes.

i n\ 1- Z y

fl=1 -> «J— » n n

ZYl I 1

rt +

CSC «i fl-1 Í7

«=2 2 I

v i 2.4-2« V "" t?ll.3.5...(2«-l)J

^ Wi COS/7

i f i n 3. Z — - - T Í Z íW» « ^

' t í — -5 M 2« 3«. «=1

9 S c vV + l

«=t V » - 3

114

.0. ¿ Í . - ! V «=i « v

1 1

12. ¿ 3 "

1 3 1.3.5..,(2n-l) „ - i V ni

n\

rl~ i v - y

III) Analizar ia convergencia o divergencia de:

00 1

t f n + 2 "

*• y -n r

» 2 sen" n

oc 5.

n=I

1.35.. ( 2 n - I ) £-»1.4.7...(3n-2)

1 sen

n

7

n=l n2 +5 n Y A n = I

oc

» • I 1.4.9... n :

n=i oc

n=¡

1.35... (4 n - 3 )

25.8. . . ( 3n - l ) 159. . . (4n-3)

11. n = l

1.35.. . (2n-1) 4.8...4 n

3 £ 2.4.6.. 2n

-f 25.8... ( 3 n - l ) n=l 3C

6- Z n=I

Inn n + n

X ^

9. / s e n -^ n n=l

oc 12 z n = I

n! 2.4.. 2n

* / 1 / N 15 * I

n=l nssl 11

16. Z oc />2«+I

n=l

* i 1 7 - I - f -

x

' 8 - 1 1

n=2 nln«(ln(ln«))'

- K ^ " 2 , É ( , . J

30 3"«! 22- Z ^ T

««3 n 23. Z (2n-\Y

¿TV5« + 3

oo „100 24. Z V /i=3

•V

25. Para qué de p,q,r, converge la serie ]T 1 n^,np (tnn)í (ln(lnn)y

115

2.8. SERIES ALTERNADAS

00

Sea una serie de términos positivos. Diremos que la serie n=l

00

I ( - l ) ' a . = - a ! +a 2 - a 3 +a 4 - a s +a 6 - . . . D=1

X ^

o la serie £ ( - 1 ) " " a„ = a, - a , +a 3 - a 4 +a5 - a 6 +. . . n=l

es una sene alternada.

Ejemplos. Las senes:

i i t f . a=l n

2

n=l n

3 y ( - l ) " ( n + l) n í n3 + n + 1

4. ¿ ( - l ) n n . n=l

son series alternadas En cambio la serie

°° 3jc 5. > sen— = sen —+ sen7t + sen — + sen27t+... = 1+0-1+0+1+0-... no es

2 2 2 n=l

alternada.

2.8.1. Criterio de Liebniz para las series alternadas. Si (a,») es una sucesión decreciente de términos positivos que converge a cero, entonces la serie

00

alternada ^ ( - l ) n + 1 a n converge. n=l

Demostración. Se analizará la suma parcial S2n y la impar S2n+i-

116

2 n k+I S = V ( - 1 ) a =(a - a U f a - a )+...+(a - a ).

2 n k \ 1 2 / \ 3 4 / \ 2 n - l 2 n + l /

k=l Las expresiones entre paréntesis son positivas, entonces (s2n) es creciente y de términos positivos, puesto que

S = S +(a - a ) > S . 2 n + 2 2n \ 2 n + l 2 n + 2 / 2 n

Además,

S = a - a - a |+ a _» +...-(a _a J + a 2 n 1 ) \ 2 3 / \ 4 a

5 / \ 2 n - 2 a2 n - l / 2n ~ 2 1 '

ya que (an) es decreciente; en consecuencia (s2n) converge, es decir, lim S 7 =S. De otro lado es difícil aseverar que s2n+i es una sucesión

n->oo 2 n

decreciente. (S2n+i > s2n+3).También como s2n+i = s2n + a2n+1 entonces:

lim S„ = lim ÍS +a I = S + 0 = S,entonces (S2n+i) converge a S, n—>co 2 n + 1 n - W 2 n 2 n + , /

luego (Sn) converge a S y por ende la serie alternada converge.

El criterio es válido, si la sucesión (a,,) es decreciente a partir de un número natural, pues la eliminación de un número finito de términos no influye sobre su convergencia.

oo n

E( - l ) — — es convergente, pues es una serie alternada y n=l

(an) =! - y j es decreciente, de términos positivos y lim a n = lim A r = O ^ n J n ->co n->oo

oo

Ejemplo 3. es una serie alternada, divergente, ya que n=l

lim a n = lim n = +oo. Pero el criterio de Liebniz no es aplicable. n—>oo ii—>oo

117

00

Ejemplo 4. ^ ( - l ) es una sene alternada divergente, ' n+1

n=l

pues lim = 1 * 0. Nótese que tampoco hemos utilizado el criterio de n-»oo n + 1

Liebniz. oo n

Z( - l ) — es una sene alternada convergente, ya

n n=l

que í a n } = i — i es decreciente, de términos positivos y lim — = 0. I n J n—>oo n

2.8.2. Estimación del resto. Si (a„) es una sucesión decreciente de términos positivos, que converge a 0 (cero), entonces el resto Rn de la serie convergente

oc

^ ( - l ) n + 1 a n satisface la desigualdad, n=l

|S-S n J = |Rn¡ < a n + ] para todo n.

Demostración: Si (Sn) converge aS y como (s2n) es creciente y (s2n+i) es decreciente, entonces

Sin 2n+2 < S y S < S?n+1 < S2n-l

por lo tanto ( ver figura )

0 < S - S2 n< S2n+1 - s 2 n = (-1 )2n+2 a2n+i = a2n+i

y 0 < S2n., - S < S2n., - S2 n= - (-l)2nTl a2n = a2n

o sea que 0 < R2n < a2n+i y 0 < - R2n.t < a2n

o 0 < i R2n | < a2n+1 y 0 < | R2n., | < a2n

de donde 0 < | Sn-S | = | R„ | < an+1

118

Este teorema nos indica que el error | Rn ¡, no supera al primero de los términos sugeridos en valor absoluto.

Ejemplo 1. Sea la sene alternada / \ — ) , comprobar que ¡R4 [ < n=l

Solución: La serie dad es geométrica, con |r¡

Q Q 1 2 C 5 Su suma es S = = - v S , = -l - r 3 8

= — < 1, luego converge.

R 4 = S - S 4 = — 2 _ 5 _ _1_ 3 8 ~ 24

a, = 16

Se tiene entonces que:

1 1 24 16

Ejemplo 2. Hallar una cota superior del error | R3 |, que se comete al aproximar la suma S de la serie alternada

00 ^ ( - l ) n + l , por la suma parcial S3. n=l 1 0 " n

Solución: |R3 | < a 4 = — j — = 0.000025. 1 0 - 4

Entonces la suma de los tres primeros términos de la serie da un valor exacto por lo menos con cuatro cifras decimales, se tiene:

S s S 3 = - ~ + —— s 0.0953 J 10 200 3000

2.9. SERIES DE TÉRMINOS CON SIGNO VARIABLE (no necesariamente alternada).

119

oo

Se estudiará ahora seríes numéricas ^ T a n ; cuyos términos pueden variar en n=l

signo de forma arbitraria y se espera poder hallar un camino para generalizar lo que hasta aquí hemos estudiado.

oo 2.9.1. Convergencia absoluta y condicional. Una serie ^ a n s e dice

n=l absolutamente convergente, si la serie formada por los valores absolutos i,e.

oo oo

^ j a n | , es convergente. Y una serie se dice condicionalmente n=l n=l

oo oo

convergente si converge pero diverge. n=l n=l

00 (-1)" Ejemplol. La serie ]>]-—— es condicionalmente convergente, pues

Y ^ ^ converge (criterio de Liebniz) pero ^ -—— t í n n

n oo oo

v lu n=l

n n=l

= — diverge, n

^ f-l)n+1

Ejemplo 2. La sene / - — ~ — es absolutamente convergente, pues n=l n

00 I I n=l n

00 1

es convergente. n= l n

00 / i\n 2 2

Zi — 1) n n — j es divergente, ya que lim — = 1.

n = 1 n +1 n - > o o n - + i

Nótese que en este ejemplo no tiene sentido hablar de convergencia condicional o convergencia absoluta, dicho de otra manera las series CONVERGENTES se clasifican en condicionalmente convergentes y absolutamente convergentes.

120

2.9.2. Criterio de la convergencia absoluta. A pesar de que la serie

" (~l)n+1

> -— converge, la serie que se obtiene sustituyendo cada término por ' n

n=l oo

su valor absoluto es divergente. Esto muestra que la convergencia de n=l

oo no implica la convergencia de ^ T j an! y en sentido contrario se tiene el

n=l siguiente criterio:

00 00 Si converge, entonces ^ converge y

n=l n=l

00 5>n n=l

00

n=l

Demostración: - | an | < an < | aB¡, sumando | an | en cada término de la desigualdad se tiene,

O < a _ + a\< 2 y dado que X !aJ converge; entonces X (an + \aj) n= 1

converge; y como a su turno an = (an + j a„}} - {an\ ,entonces se puede concluir oc

que X"„ converge, ya que X(a„ ~¡aJ) >' Xla«¡ son convergentes. »1=1

Para una serie absolutamente convergente se tiene que:

¿ a „ = | s H s „ + /?fl|<|s„| + W = n=l

a a +...+a„ 1+ 2 "

~i i l + r +--•+( oJ + j^i^XktM-^i y cuando n —> oo: »0

Y así »

I " , n=l

< X I a ni obteniéndose el resultado deseado.. n=l

121

Para demostrar que una serie converge, según lo anterior, bastará mostrar que es absolutamente convergente

00 f -H 1 1

Ejemplo 1. La serie ^ - > es convergente. n=l n~ + n

Solución: n=l

( - D 1

n2 + n » i

30 1 00 1 = X ~ 2 ~ < X"T- C o m o Z Z J converge,

o-l n~ + n ~ n n-1

® i ( — 1)" ! " ( — 1 )* entonces ]T I " converge, asi que — converge

n-l | n + n | n-1 n + n

y además su convergencia es absoluta.

Ejemplo 2. La serie X

x

Solución. X

senn

1

n=i¡n + 3 +1 senn

n + 3 +1

es convergente.

1 ¡senn] JS, i « 1 í—¡ 2 _ n , /—i 2 - n , L-j - i l n=l n + 3 + 1 n=I n + 3 + 1 n=l 3

Como converge, entonces n=l 3

senn 2 _ n , n + 3 +1

converge

y así ¿ senn „-, n2 +3 n+1

converge absolutamente.

2.9.3, Dada la serie X a » cuyos términos son positivos o negativos (no

necesariamente alternada ) su convergencia en muchos casos, puede analizarse x

a la luz de la serie formada por los valores absolutos , XIa»I» clue

n=l evidentemente es una serie de términos positivos y, por consiguiente, estaríamos en condición de aplicar lo que hemos desarrollado en las secciones precedentes ( 2.1.1-2.8.1 ). En particular, revisten especial interés los criterios de la raíz y del cociente que por brevedad mencionamos de nuevo aquí.

122

a) Criterio del cociente (D'alambert)

ac

Dada la serie > considere el número dado por n=l

L= lim a n+l

a0

i) Si 0 < L < 1 entonces es absolutamente convergente. tl=!

x

ii) Si L > 1 (o' L = oo) entonces X a n ^ divergente. n=l

CP

iii) Si L = 1, entonces X a n pude ser divergente o convergente. 0=1

(El criterio no decide)

b) El criterio de la raíz (A. Cauchy). ao

Dada la serie X a « » considérese el número L dado por n=l

L = ! a j ' n

00 i) Si 0 < L < 1 entonces Y. a n es absolutamente convergente.

n=l 00

ii) Si L > 1 entonces X a n e s divergente.

n=l 00

iii) Si L = 1 entonces Z a n Pu e^e ser divergente o convergente n=l

( El criterio no decide ).

123

EJERCICIOS.

Analizar la divergencia o convergencia de las siguientes series. Cuáles convergen absolutamente y cuáles condicionalmente.

00 í 00 ( i\n ®

n=l V + I J n=l n=l oo , v n oo oo

4 y r O _ ü s T l - i l ' J L 6. Y ( - i ) V c t a n i „ t 2 " r ¡ 2 n + 4 n=l n=1 n=l J L / i \ n 0 n » J L ->n

7 Z ^ r 8 Z H ) n v » - Z H - V n=l n=l n=l n

i 1 i n\ i „ ln/j 1 0 . £ ( - 1 ) " 7 T - T 7 l l - I ( - l ) ' , „ n 1 2 - Z - i r —

t ¿ (3/1-1) t í 1.3.5...(2«-1) t i n

i ,1.4.7 (3/i-2) i T2/2-1V 13- 3.5.7 (2n + l) 3.5.7 (2/7 + 1) t í

124

2.10. SERIES DE POTENCIAS

A continuación se estudiará un tipo especial de series de funciones (senes cuyos términos son funciones numéricas), las series de potencias, de capital importancia en el análisis matemático y en aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de la física matemática.

2.10.1. Definición y ejemplos. Una sene de potencias en (x-a), es una sene 30

de la forma ao +ai (x-a)+a2 (x-a)2+...= ^ a n ( x - a ) n , donde x es una variable n=0

real, ao,ai,a2,..., son los coeficientes de la serie y a una constante, es el centro de la serie. Si a=0, se obtiene la serie de potencias en x:

30

Za„-x"=a +ax + a x2+... " 0 1 2 n= 0

Se estudiarán dos aspectos sobre las series de potencias:

a). Para qué valores de x la serie de potencias es convergente? b).Qué tipo de funciones de valor real y de variable real pueden ser representadas por una serie de potencias.

Para todo valor real de x fijo, una serie de potencias se convierte en una serie numénca, cuya convergencia se debe analizar como se verá postenormente. El estudio de la convergencia de la serie de potencias en (x-a), es equivalente al estudio de la sene de potencias en x, y por esto de aquí en adelante, nos limitaremos a investigar sus principales propiedades.

x° Ejemplo 1. Hallar los valores de x para los cuales la serie es n=o2°(n+ O

convergente.

Solución: L= lim n-»oc n+l = lim

n—»oc

.0+1 2"(n+l) 2n+l(n + 2) x"

= lim n—»x x(n +1) 2(n + 2)

w 2

luego para un x fijo la serie converge si 1; es decir, si |xj < 2, lo cual

equivale a -2 < x < 2 y se dice que la serie tiene radio de convergencia R=2. En |x|=2, es decir en x =±2, reemplazando en la serie original se tiene que:

125

converge si x = -2 , e/ intervalo de convergencia es [ - 2,2) Si L=jx|>2 la serie dada es divergente.

- x" Ejemplo 2. Hallar los valores de x para los cuales la serie ] T — e s

n=o n! convergente

Solución: L= lim E n + 1 lim ! i n+1 x n! = lim

n->oo| a n | n _ > o o j ( n + 1 ) ! xn | n^.oo¡n+l

0

para todo x en R y como 0 < 1 para todo x, entonces la serie converge en el intervalo (-ac,+oc) y su radio de convergencia es R=+<x

oo

Ejemplo 3. Hallar los valores de x para los cuales la serie ^ n!xn es n=l

convergente.

Solución: . . í+oo si x * O

lim n—«o

(n+l)! xn+1| a„ n! x" | lo, si x = 0

y así la serie converge únicamente en x=0 y R^O QC

Ejemplo 4. Determinar los valores de x para los cuales la serie X x " e s

o=0

convergente

Solución: i / ,1/ , i ! n = lim xn¡ n = |x|

n—>co' 1 n—>co radio de convergencia es R=1.

00 00

En x = ±1 se obtienen las series l n y ^ ( - l ) n que son ambas divergentes, n=l n=l

luego el intervalo de convergencia es |x|<l, es decir, -1< x < 1 Es claro que la sene diverge para |x| > 1.

126

(x-5)-Ejemplo 5. Hallar ios valores de x para los cuales la serie £

n=i n3 convergente.

es

Solución:

L = lim n—*oc

a n + l = lim «->00 (x-5) n+l n3" (n +1)3"+1 (x-5)"

= lim rt—»oc

(x - 5) n

(«+O 3 '

luego la serie converge si U - 51 - < 1, o bien, si \x — 5 < 3, o sea si 2 < x < 8.

En x=2, y en x=8, se obtienen las series

oo n 00 / ,\n n °° V ( 2 - 5 j " r - l f V (8 -5 ) V 1

— y — í r " = L ñ q u e c o n v e r § e y d i v e r § e

oii n nV á—mi n n=l n=l n=l n ó n=l respectivamente, luego el intervalo de convergencia es [2,8) y su radio de convergencia R=3.

oo

Ejemplo 6. Hallar los valores de x para los cuales la serie ^ n=0

convergente.

( x - 3 ) " n!

es

Solución:

L = lim n+l = lim ( x - r n!

(n + l)! (x -3 )" lim

(x-3)n! (n+l)n!

¡x-3l = lim- L = 0

n + l

independientemente del valor de x , luego la serie dada es convergente para todo x en R

Los ejemplos anteriores permiten conjeturar que las series de potencias tienen las siguientes propiedades elementales que resumimos en el siguiente teorema.

Sea X a n x " u n a s e n e de potencias. Entonces existe un número real no

negativo R ( R también puede ser +cc ) tal que la serie dada converge para todo

127

x que satisface la desigualdad |xj < R(-x < x < R) y es divergente para todo x que satisface la desigualdad jxj > R. Además en los extremos del intervalo x = ±R la serie puede ser convergente ( absolutamente o condicionalmente ) o divergente. R es el radio de convergencia de la serie. En algunos casos R se reduce a un único valor, a saber R=0, y la serie es convergente únicamente para x=0, o bien puede extenderse hasta mas infinito.

2.11. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIAS.

30

2.11.1, Si la serie de potencias X a n x " converge para x = c * O, entonces es n=l

absolutamente convergente para todo x, tal que |x| < |cj y si diverge para x = d, entonces diverge para todo x, tal que |x| > |d|

Demostración: 30

Si la serie X a n x n converge para todo x = c * O, entonces lima c" = O y por n=l

eso la sucesión (ancn) es acotada, es decir, existe una constante M > O, tal que

|ancn| < M para todo n=0,1,2.3,... y |anxnj = |ancn , y así £ M n=0

es una

serie geométrica convergente, luego por el criterio de comparación 3C , 30

^ j a n x " converge, esto es, X a o x " converge absolutamente cuando |x | < | c |. n=0 n»I

Si la serie X a » x " diverge para x = d y converge para x = h con ) h | > | d n=l

entonces converge para x = d, esto contradice la hipótesis, por tanto la serie diverge para | x | > | d ¡.

2.11.2. Si f(x)= ]Tanx" es absolutamente convergente, entonces n=0

X

f (x p) = ^ a 0 x n P es absolutamente convergente en I, donde p es un número n=0

real fijo.

Demostración. Ejercicio.

128

Ejemplo 1. Este ejemplo pone de manifiesto la importancia de las series de potencias, toda vez que se exhiben algunas funciones racionales expresadas como una suma infinita de polinomios,aquí el lector debe percatarse de la importancia de la serie geométrica.

I * Si f(x)=- = X xn ; |x| < 1, entonces : L ~ X N=Q

i) /(-v3) = — 1 l - j = L 3 " ; U3 | < 1. o' M < 1 l-xJ n=0 1 1

») / ( - * ) = g ( * ) = t ~ = 7 3 7 — 7 = ¿ ( - 1 ) * " ; M < 1 o' U1 < 1,

1 + x 1 ( x) n=0

Ahora bien, (//) nos permite escribir. . | 00 / I 41

(iii) g(x ) = — x = S (-X ) ; - x < 1 O' 1*1 <1. 1 + /* M=0V > 1 1

j do n ' v ) g ( x 2 ) = - — r = Z ( - 0 * 2 n ; W\<\ o' |x |< 1.

l + x ^

oc

2.11.3. Si f (x )=^ ]a n x n es absolutamente convergente , entonces n = 0

CC

f(px) =X a n(P x ) n e s absolutamente convergente en I, donde p es un número n = 0

real fijo.

Demostración (ejercicio).

Ejemplo 1. De nuevo, partimos de la serie geométrica. La fuerza tanta teórica como práctica de esta serie se va haciendo mas palpable.

1 x

Si f (x) = = V x" ; |.r¡ < 1, entonces-l-x £¿

0 / ( 2 * ) = T - ! r - = £ ( 2 x ) " ; |2*|<1 o' |*¡ A 1 ¿ X 71=0 -

») /(--v) = g(-r) = = É ( " ; W < 1 entonces, l + X n=0

129

» + JX n- O ^

- o ^ - i - K f < 1 o' b e l < 3.

j 1 ¡v) f{2x-3)= ) " ; I2jt-3|<1

l - ( 2 x - 3 ) „_„

2.11.4. Si la serie converge para x = x,, y si jx2j < |x,j entonces la serie n-0

converge absolutamente para x=x2.

Demostración. Ejercicio 33 00

Ejemplo 1. La serie converge si | x | < 1, entonces la serie n=0 n - 0

converge absolutamente para cualquier valor de x entre -1 y 1.

Ejemplo 2.Mostramos que la serie X — „ converge en el intervalo [2,8) n=i n3

así que la serie converge para cualquier x entre 2 y 8.

La siguiente propiedad de las series de potencias Juega un papel importante en la teoría de las funciones analíticas de valor real y variable real.

2.11.5. Si una función f(x) está representada por una serie en potencias, QC

f(x) = X a"xn en el intervalo de convergencia absoluta (-R,R) entonces, n=0

i) f es continua en (-R,R).

ii) Su integral puede calcularse integrando la serie término término en (-R,R) y su radio de convergencia no varia.

iii) La derivada puede calcularse derivando la serie término a término en (-R,R) y su radio de convergencia no varía.

130

iv) f tiene derivadas de todos los ordenes en (-R,R).

Demostración (ejercicio). Ver APOSTOL T. "Cáculo" ( vol I ). Editorial Reverté. Ó SPIVAK MICHAEL " Calculus vol W, Ed. Reverté

Ejemplo 1. Insistimos una vez en la serie geométrica como herramienta básica y punto de partida.

x n 1 La serie ^ x " = para [xj < 1,derivando término a término encontramos: a-0 1 — X

30 i 30 1 1 i ) X n x " =]Tnx n =— — para |x| < 1, integrando término a término

vemos que:

.0 X xn + 1

' 0 j l t " = I = para |x| < 1. 0 11=0 n=0 o n=0 n + 1 De esta suerte , la convergencia absoluta permite derivar formalmente delante del símbolo de sumación, así como intercambiar los símbolos J y X

1 50

Ejemplo 2. Si = X ^ O " * " e n M < ' ' entonces: 1 + X n=0

i) f(x) = —— es continua en (-1,1) 1 + x V 7

X , X X « X 00 / _ 1 > i n v n + '

o 1 + 1 o 0 n=0 0 n=0 11 + 1

Con el propósito de verificar el teorema miremos ahora el intervalo de (,\n n+1 .'

— 1) X uuiivcigcnv;m uc / — valiéndonos del criterio del cociente :

£o n+1

131

lim a n+i = lim

n—mo

(-1rlx"2 {n +1) n + 2 (-1)".

luego la serie converge si |jc| < 1.

.n+i = lim — = |jr, n->oo n + 2

(-1)" En x = 1; la serie correspndiente es V que converge condicionalmente fo n + l

( - l)"(- l) 50 ( - l) En x = -1; la serie correspondiente es / = / , — que diverge,

^ Az + 1 n +1 n—0 n= 0 X j)" x"+l

luego la serie V converge en - 1 < x < 1, pero su radio de fo n +1

convergencia no varia (R = l)

Como un caso particular: si x=l, entonces: 30 (-1)"

ln(l + l) = ln2 = Yj — ( serie encontrada por Liebniz desde mediados del n=0 n + 1

siglo X V I I I )

iii) f'(x) = ( l + x)'

= Vn(-l) nx n _ I y su intervalo de convergencia n-1

es (-1,1), R = 1, en efecto:

lim n—>oo

n+l = lim n-»x (n + l X - r ' x

n(-l)nxn-1 = v!

y asi la serie converge absolutamente si |x| < 1 y diverge si |x| > 1, en x= ±1, la serie diverge (ejercicio).

30 00

2.11.6. Si f(x)= ^ a „ x " y g(x) = s o n absolutamente convergentes n=0 n«0

entonces se pueden restar término para cada valor de x en el intervalo de convergencia común:

Z (a a n ± / ? b n ) x n = Z a - a n - x n ± Z > b n - x n = a - f ( x ) ± ^ g(x), n=0 n=0 n=ü

a, ¡3 números reales.

Demostración (ejercicio).

132

Ejemplo 1. ¿ x ° = - i - si |xj<l, y ¿ Í J ) - x » = _ L s i | x j < 6 n=n l — X n=o o 1 +

1 + ("O o \

n=0 V 6 ) 1 1 1 6

n=0 n=0 6 1 — x 1 + x 1 — x 6 + x

12-5x 12-5x (l + x)(6 + x) 6 - 5 x - x

- si jx| < 1,

luego 12-5x

(l + xX6+x) 6 S í ' ^ 1 X si X < 1.

Este ejemplo nos lleva a sospechar las funciones racionales ( cocientes de los polinomios ) no son otra cosa que series de potencias centradas en el origen. ¡Un hecho crucial y sorprendente para todo desarrollo ulterior de las así llamadas funciones analíticas. Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 2. ]T x 1

n=0 2 2 ~ X X

si ¡x| < 2; y X 1

S6" + 1 6 - x si jx| < 6,

así que si j x |< 2 entonces,

oo

I n = 0

1 1 2n+1 6n+i

x 3 0 , ^ n

í—t n n+l ¿ J r i + I n=0 ^ 6 n + 1 2 - x 6 - x ( 2 - x X 6 - x )

x" - 8 x +12 , luego

OO

= 1 x" - 8 x + 1 2 6 " + V

1 1 x si x < 2.

2.11.7. Producto de series de potencias ( Producto de Cauchy ). En la literatura matemática clásica de una manera un tanto sucinta se conoce con el nombre de " producto generalizado de polinomios", con toda

133

justeza: M 30

Si f{x) = g(x) — ^bnx" son absolutamente convergentes en un

int ervalo I entonces, vale la formula de Cauchy:

m-g(x) = ( £ = ¿ V - . donde.

n cn = a0bn +a{bn_x + a2bn_2+...+anb0 = ^akbn_k. Debe percatarse el lector que

k-0 esto no es mas que el producto algebraico ordinario entre dos polinomios " generalizados " o infinitos. Como de costumbre explotamos al máximo las series de potencias.

Demostración. Ejercicio

Ejemplo 1.

oo n 1 9 1 f(x) = X x = = 1 + x + x +x J +. . .= a n + a 1x + a?x+...

n=0 1 ~ x

g(x) = Z ( - l ) n X n = —'— = 1 - x + X 2 - x 3 + x 4 - . . . = b n + b ,x + b ? x 2 + b .x 3

n=0 1 + x u i z j

134

entonces, 1 I a 0

f(x) •g(x)= x = Vc n x° , donde 1 - x l + x t i

C n = aot»n + aI

b n - l + -+a„b0- & ^UÍ,

c 0 = a 0 b 0 = ( l ) ( l ) = l

c 1 =a o b 1 +a 1 b o =( lX- l )+( lX0 = O

c2 =a0b2 + a,b,a2b0 =(l)(l) + (l)(-l) + (l)(l) = 1

c, = a 0 b 3 +a ,b 2 +a 2 b 1 + a3b0 = (lX-O + Í O O M O H M O O ) » 0

c4 = a0b4 + a,b3 +a2b2 + a3b, + a4b0

= (0(0 + ( O H ) + 0 X 0 + ( O H ) + ( O H ) = 1 entonces, 00

f(x)-g(x) = £ c n x n = c0 +c,x + c2x2 +c3x3 + C 4 X 4 + . . .

n=0

= l + 0x + x2 + Ox3 + x4 +0x5+...

00

= 1 + x2 + x4 + x6 +... = ^ x2n, lo cual era de esperarse si se n=0

tiene en cuenta que f—— jf—— j = —^—j - f(x2).

2.11.8. División de seríes de potencias.

Procedemos formalmente. Esto es, efectuamos la división como si tratáramos una división algebraica ordinaria entre polinomios.

135

Ejemplo l.Dividamos la serie X x ° P° r s e n e 111108 cuantos

términos así: n=0 B-0

, 2 4 6 1 + X + X + X + . . .

, 2 3 4 1 - x - x - X - X -5

-x +... 2 3 4 - x - x - X - X -

5 X - . . .

2 3 4 X + X + X + X

2 4 6 X + X + X +. . .

2 3 4 - X - X - x -

5 - X - . . .

3 5 7 - x - x - x - . 3 4 5

+ X - X + X -6 7

- X + X - . . . 4 6

-X - X

luego, 2n

i 2 3 4 1 + X + X + X + X + . . . i 2 3 1 - X 4 - X - X + . . .

a=0

I * ' o=0

l - x + x ~ - x + x -. . . Y ( - l ) " x n = . £ o ' 1 + X

Observe que: 1 _ 1

1 + x 1 -que concuerda con el resultado anterior.

I — x Esta división se puede efectuar en general así:

Si fifx) = I a n x n ; g(x) = f b n x n entonces, I a n x n = f(x) = g(x)x n=0 n=0 n=0 g(x)

f(x)

oo oo n = I b n x n - Z c n x donde a n = I b , c ,

n = 0 n = 0 n = 0 K " K

asi:

136

a0 ai _ b.c0 a0 ~ bOcO e"1011065 co = — a i = bocl + blc0 en tonces ci = — ^ ^ bo bo

y para n > 1,

a n ~ ( b i c n - l + b 2 c n - 2 + - + b n C 0 )

b n

1 2 1 Ejemplo 2. Sea f(x) = - r = " y g(*) = - = 1 — X n-0 1 X n=o

f(x) = c0 + c,x + c,c+...+... g(x)

1 2

f(x) = = 1 + x2 + x4 + x6 + x8+...= a0 +a,x + a2x2 + a3x3+...,

así que a0 = 1, a, = 0, a2 = 1, a3 =, a4 = 1, a5 = 0... y

g(x) = ~ - = b0 + bxx + b2x2 + ¿>3.x3 +...= \ + x + x2 +x3+.... luego

b0 = 1, b{ =\,b2 = 1, b3 =1.... entonces;

c = 0 K i

_a,-¿> lc0 0 - l x l

a a - ( V , + V o ) 1-((1X~1) + Ixl) 1 ¿o = 1 = T =

a 3 - ( V 2 + ¿ 2 c 1 + V 0 ) Q - ( 1 - 1 + 1) c3 _ - _ - = - ] ,

b0 1 y así:

^ = c0 + c,x + C2X2+...= 1 - x + x2 - x3+...= f ( -1 ) V = - J L g(x) 7 1 + X

137

2.12. SERIE DE TAYLOR.

Aquí abordamos el segundo problema señalado en la sección 2.10.1 :¿ Qué tipos de funciones pueden ser representadas por una serie de potencias?. Es de esperar que , hay que imponer fuertes restricciones ( hipótesis ) para que esto suceda. Supongamos una serie de potencias representa una función f en un intervalo (a-R,a+R), entonces existe una relación entre los coeficientes c„ y las derivadas de f, dadas por:

Resulta evidente que una función f puede tener una serie de taylor en x = a, solamente si posee derivadas de todo orden en este punto, así por ejemplo f ( x ) = lnx, no posee serie de Taylor en x = 0, en cualquier otro punto para x > o, posee sene de Taylor. Mas formalmente hemos llegado al importantísimo teorema de Taylor.

Teorema . Supongamos que f(x) es una función de clase c(n) (todas sus derivadas son continuas hasta el orden n). Del teorema fundamental del cálculo, sabemos que es válida la relación:

Si a=0 , la sene recibe el nombre de serie de Maclaurin.

X

f (x) - f (a) = I f ' ( t)dt ( 1 ) Integrando por partes e identificando

u = f ' ( t ) , f"(t)dt dv = dt, V = - ( x -1 ) , x fijo

Entonces, X X

utilizando de nuevo integración por partes mediante:

u = /"(í), du = f"'(t)dt

dv = (x- t)dt- v = -^(x-t)2

138

,vemos en seguida que:

f(x) = f ( 0 )(a) + f (1)(aXx - a) + - f (2 )(aXx - a)2 + - íf ( 3 )(tXx -1) 2

2 2 J a

el proceso puede repetirse. La fórmula general reviste el aspecto, X X

f f ( p ) ( tXx- t ) p - ' d t = - f ( p ) ( a X x - a ) p + - f f ( p + 1 ) ( tXx-t ) pdt J p p J a a

por tal motivo,

f { x ) = f(a) + f\a\x - a) + ~f'(a\x - a)2 +...+-f(n) (a\x -a)" + 2! n\

+ -\fM\tXx-t)"dt (2) n\J

a

Aquí hemos supuesto que a y x son puntos de un intervalo en el cual la función f(x) posee su (n+1) derivadas continuas. La fórmula (2) es la fórmula de Taylor con residuo integral ( Brook - Taylor, 1685-1731, Inglés ).

2.13. teorema de Taylor. Supongamos que f y sus (n+1) derivadas están definidas y son continuas en un intervalo abierto de la forma (a-R,a+R)=I, entonces es válida la expansión:

f ( x ) = ¿ f k > ( , a ) ( x - a ) k + R n ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , K = 0 X !

para todo x€l, donde Pn(x) recibe el nombre de Polinomio de Taylor de grado n alrededor del punto a y,

R n ( x ) = - ^ í ( x - t ) n f l ( t ) ( n + l ) d t ; n! a es el residuo obtenido de la aproximación de la función f(x) mediante el polinomio Pn(x). De otra forma: Rn(x)= f(x>Pn(x) por definición.

Aqui surge un problema de orden teórico y de consecuencias poderosísimas en las aplicaciones. ¿Con lo que condiciona el residuo a ser supremamente pequeño?. O mejor aún ¿bajo que circunstancias extremas estamos en

139

capacidad de afirmar la igualdad lkn Rn(x) = O para un valor de x fijo ¿Para un n—»00

conjunto finito de valores de x?.

El siguiente teorema da una respuesta parcial a este problema (Condiciones suficientes).

Teorema: Si f satisface las condiciones del teorema de Taylor y existe un

número M>0, tal que < M para i i

i i0+1

jx-a | < R entonces |Rn (x)J < M ix — ai

(n + 1)!

Demostración.

i) Sea x > a.

! R a (X)| = - i } ( x - t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t < M X

f ( x - t ) ° dt n ! í n! J

a

Mjx-a[ (n + 1)!

n+l

¡i) Sea x < a

|R. W| = ¡~7 J(x-t)n f,0+l>(t)dt < M (a-x)nH . , . M|x-a|n+1

(n + 1)! luego |R„ (x)j <

(n + l)!

Teorema: Si f tiene derivadas de todos los ordenes en todo x, x e (a-R, a+R) = I y si lim R n (x) = O para todo x e I entonces :

n—>co

f(x) = Z n-0

f" ( a ) ( x - a ) n

n!

Demostración. (Ejercicio.)

Ejemplo 1. Hallar la serie deTaylor para f(x)= cosx, alrededor de a=0

140

°° (-1)° X2b+1

En forma análoga: sen x = Y - — , es una representación válida de nS (2n + l)!

sen x alrededor de a = 0, para todo número real x ( ejercicio ).

71 Ejemplo 2 Hallar la serie de taylor de f(x) = sen x alrededor de a = —

Solución:

f(x) = s e n x ; f (TC/3) V3

f*(x) = eos x j f(7t/3) = 1/2

f (x) = - sen x ; f'(7t/3) = - ^

f"(x) = - c o s x ; f"(7t/3) = -1/2 y así sucesivamente, luego

V3 , 1 sen x = — + 2 2.1

í x V3 f

Y - 1 2

1

2.2! A

V 3J 2.3! , 3) + ....

f<n+l>(c)(x- p/3) n+l

Ahora

(n + l)! entonces lim R a (x ) = 0

x - p / 3 (n+l)!

n+l

y como iim n—KC

X - 71 / 3 (n + l)!

= 0

Ejemplo 3. Hallar la serie de taylor para f(x) = ln x, alrededor a = 1

Solución:

m =

f(x) =

f (x ) =

f '(x) =

ln x ; f ( l ) = 0

- ; f ( i ) = i X

• - V ; W ="1 X

K2 x3

, f " ( l )= 2!

142

fW(x) = L i } — ( n 1) ! ; f<») (1) = (-i)"-1 (n-1)! (utilizar inducción xn

matemática), luego: f í a ) 1 1

f ( x ) = f ( a ) + f ( a X x - a ) + - ^ ( x - a ) 2 + ....= 0 + ( x - 1) - - ( x - 1 ) 2 + - ( x - l ) 3 . . .

= 0 + (x-1)- i ( x - l ) 2 + i ( x - l ) 3 . . . _ ^ ( - í r ^ x - i r

Lim ii+i = Lim n-»®

( X - 1 ) 0 + 1

- ( - i r n = Lim

n-»oo n + 1 v (x- l ) n ( - l ) n _ 1

asi que la serie converge si

( x - l ) n n + 1

o | x - l |

jx —1| < 1 y diverge si ¡x-lj>l, | x - l | < l equivale a 0 < x < 2

^ , ( - i ) _ l * (- i ) 0 - 1 r Si x = 0; Yj— e s divergente y en x = 2; es

n=0 ^ n=0 n

condicionalmente convergente, luego la serie converge en 0 < x < 2.

Ahora: í - " ( c ) = y ¡R„(x)|<

c es un cierto número de (0,2] entre 1 y x. Si 1< x < 2, entonces 0 < x-1 <1, y como 1 < c < x entonces 0 < x-1 < 1 <

x - 1 1 c y 0 < < 1 por tanto ÍRn(x)| < y así Lim R„ (x) = 0. c n + 1

Si 0 < x < l , también se tiene que Lim R„ (x) = 0 ( ejercicio ).

Luego: Inx = (x-1)- ^ ( x - l ) 2 + - ( x - l ) 3 +...

- ¿ H ¿ ( x . , r ; 3

t í n

Si x=l/2 se tiene ln - = Y Í - - 1 2 t í n l 2J

143

( - l ) n n! (x-l)n + l 1 x - 1 ca+1 (n+1)! n + 1 c

n+l donde c

30 ^ | J i/I—¡ OC |

_ — ( i » )

Ejemplo 4

Hallar la serie de Maclaurin que representa a f(x) = ex para todo número real x.

Solución

f(x) = e x ; f(x) = ex....; t<n) ( x) = ex, así f<n) (0) = 1 y

e* = / (0 ) + / ' (0 ) jc + /"(0)-t2

?t + .... = 1 + x + X 3 .T4

+ 3! 4! + ...+ x

n\ +

» Yn = I t í

n=o n!

Además, ÍRn(x)i < e x n+l

(n+1)! , donde c es un número entero entre 0 y x

i). Si 0 < c< x, ec < ex (ex es creciente), entonces 0 < Rn (x) < ex xn+1 , ex xn+l

A y asi lim = 0 (n + l)! — ( n + l)!

ii). Si x < 0. entonces c < 0, luego e° < e° = 1 y 0 < | R„ (x) | <

lo que implica lim Rn(x) = 0, para todo x; en particular.

,0+1

(n + l)!

Si x= ' / 2 ; e1/2 = ¿ 1

t í n ! 2 " • 2"

Si x = 2 ; e2 = £ -

Si x = -1 ; e'1 = X

o.0 n! (-1)"

t n!

Ejemplo 5. Desarrollar la función f(x) = ln 12 - 5x ¡ en serie de potencias de x +3.

Solución:

144

In 12 - 5x | = ln 12 - 5(x+3) + 15 | =ln 117 -5 (x+3) | =

ln ( 17 ( 1 - yy(x+3))) = ln 17 + ln ( 1- ~ (x+3)).

Se sabe que:

1 V n -I I , i lt I (̂-l)Xn+l ^(-l)Xn . , . , = 2 . x > si jxj < 1 y que ln | l -x | = 2 / si |x|<l, i — x n=0 n=o n +1 n=1 n

luego si x = ^y(x + 3) se tiene que :

f 5 ln 1 - — - (x + 3)

V I / >

. H K ^ x + 3)-) » 5 n ( x + 3)n , . 17 / , — = 2. 1—n SI X+J< ,

t í " n t i (17) n ! 1 5

luego: l n | 2 - 5 x | = >n « 7 - ¿ ( A V í ü i r „ M < i Z

Mas aún |x + 3| < y - equivale ~ ~ J ' < x < T >

2 . 32 y en x = — la serie diverge ( ejercicio) y en x la serie converge 5 5

(ejercicio). Luego la serie converge en 32 2 5 ' 5

x2 - 2 x + 19 Ejemplo 6. Desarrollar f(x) = — en serie de potencias de x. ( x - 3 ) (2x + 5)

Solución:

x2 - 2 x + 1 9 A ; B C 2 1 - + - —r + — = - - v + ( x - 3 ) (2x + 5) ( x - 3 ) ( x - 3 ) 2 (2x + 5) ( x - 3 ) 2 (2x+5)

(Ejercicio)

Ahora como :

145

2jc + 5 • o 1 (2 xY

— 2 ~ = ? Z ( - 1 )

1

' " W < 2 ' x 1 - -2>s

«=0 = - ; Z k si\x\<3 pero -¡.¿—¡-i -> n-0 (x-3) (x-3) 2

1 y m l y ( n + \)x" 3í—¡ 1" ~ 1 í—i -ilt+1

n=0 J J

->

Si | x | <3 , entonces:

ffx) = 2 + _ J _ = _ f 2 ( n + l ) x " ^ (-l)"(2x)°

(x-3) 2 ' 2x + 5 tC 3"+2 ¿S 5B+l

f 2(n + l) ( - l ) n 2 n N

on+2 cn+1 n«üV J •> y „ . I , 5 X , SI x < — I i 2

Las series estudiadas en esta sección, se pueden usar para obtener las representaciones en series de potencias de otras funciones como por ejemplo :

si ex = V — que es válida para todo x, se puede obtener una representación n=o n!

en series de potencias para e"~, sustituyendo x por -x2, así:

, 2 x4 x6 ^ ( - l ) ° x 2 n .... e = 1 - x + +....= 2 , - valida para todo x. 2! 3! n=o n!

e" = L-~r=L—-7— para todo x (1=0 n «=0 n

3x (3jc)" ^ 3" JT" Zi ^ ; v"J A j — — = 2 - -—T p a r a t o d o x

eax - Y para todo x n. o

146

Como sen x = — —— para todo x, entonces : n=0 (2/1 + 1)!

sen (x2) = 2 / ; v ; = X ' • para todo x (2/2 + 1)! (2 /7 + 1)!

/o n ^(-ir(2x)2a+i A(-ir 22n+i x2n+i

sen (2x) = > = > - — Dara todo x ' ¿j (2n +1)! % (2/1 + 1)! P a m t 0 a ° X

147

EJERCICIOS

I ). Cuales de las siguientes funciones admiten serie de potencia en el punto indicado y hallarla.

1). f (x)= - , x = 2 2). f(x) = ln (2-x), en x = 3

3). f(x) = x2 + x + 1, en x = 3 4). f(x) = 1

, en x = 2 3 - x

5). f(x) = ex, en x = 3 6). f(x) = arctan x, en x = 0

II) . Hallar el intervalo de convergencia de las series

D - Z ( x - 1 )•

n=l n 1

( x + l ) n

6 í n 2 n V2n + 1 3 ) 1 n=l ( - l ) n ( x - 3 ) 2 n

(2n+1) 3"

4). ¿ ( 3 n + l ) ( x - l ) n 5). ¿ n2 x"

n=l n=l n! 6 ) 1 f ~ n U 0 N a b

— + —

IV n n ' J xn a > 0 , b > 0

" xn , n+3

n=i a + b „=i n

III). Hallar el valor de la suma ( f ( x ) ) en las series

D - Z 00 xn

11=0 3 n+l n=0 n=0 (n + l)

(-1)" 2 n

= ° í 1 \ n v 3 n ® v M i ) * 4) z 1 1 ^ 5). x 6 ) . x

« xn

n=0 n! U (2n+1) ^ ( n + 3)! 7 ) Z ( x - i r

S ( n + 2)!

VI ). Verificar las igualdades siguientes

148

X 2/r+l

1). senh x = Y"— — para todo x

® / n n + l „ 2 « _. 2 V V~V ^ 2). sen x = > para todo x

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