Problemas de h i p e r c o n v e r g e n c i a · Luego también converge en él la serie de...

P r o b l e m a s de h i p e r c o n v e r g e n c i a

por

S i x t o R í o s

PRESENTADO POR EL SR. REY PASTOR EN LA SESIÓN DEL 12 DE FEBRERO DE 1936.

INTRODUCCIÓN

1. Supongamos que f ( t , z ) define una función analítica de z en un dominioD para cada valor del parámetro t, comprendido en el intervalo o ̂ t < oo, yque se verifica lim f (t, z) = F (z) uniformemente en un dominio DÌ (contenido

t —>• x

en D). Si t, en vez de los valores del intervalo o ^ t < oo, toma sólo los de unconjunto parcial ordenado * t* \ (p. e. : una sucesión de intervalos, un conjuntodenso de puntos, una sucesión de puntos, etc.), puede existir lim / (t*, z) = F (z)

f —> OC.

uniformemente en un dominio" D2 que se extiende más allá de D^Si así ocurre, se dice que la nueva familia de funciones es hiperconvergen-

te respecto de la primera. Como se ve, la determinación de una familia hipercon-vergente respecto de otra, constituye, cuando es posible, el método más sencillode prolongación analítica.

Comenzaremos por exponer brevemente y en forma sistemática (*) los re-sultados de esta teoría más estrechamente relacionados con el problema objetode esta Memoria.

2. SERIES DE TAYLOR.—El fenómeno de la hiperconvergencia fue puesto demanifiesto, por primera vez, en las series de potencias, mediante unos sencillosejemplos, por Porter (21); pero en estos primeros ejemplos no aparece clara-mente la verdadera esencia del fenómeno, cuyo descubrimiento se debe a Os-trowski.

C) Una exposición completa de carácter bibliográfico puede verse en nuestra Memoria (23, d).

— 28 —

El ejemplo de Porter-Ostrowski es el siguiente: sea la serie de potenciasque se obtiene desarrollando los polinomios de la serie :

« ^-,[3 (i-')]4"

¿/•^íl, " ^ " ^

donde pn es el mayor coeficiente del desarrollo binómico del paréntesis. En cadapolinomio Pn(» los coeficientes de las potencias son menores o iguales a i yhay en cada polinomio un término, al menos, que tiene coeficiente igual a i. Laserie de potencias tiene, pues, como círculo de convergencia el de centro el ori-gen y radio uno. Luego también converge en él la serie de polinomios [i] ; pero.si en ésta cambiamos z por 1-2, no se altera, luego converge uniformemente entodo dominio interior al círculo.

Tenemos, pues, una serie de potencias en que por la sola agrupación de sustérminos se obtiene una serie de polinomios con un campo de convergencia uni-forme mayor. En este ejemplo se advierte la existencia de lagunas entre el tér-mino final de un polinomio y el inicial del siguiente, y en esto radica lo esencialdel fenómeno, como ha demostrado Ostrowski. Pero antes de llegar a los resul-tados definitivos de Ostrowski en esta teoría, hemos de señalar los notables re-sultados de Jentzsch, en cuyas Memorias se hallan en germen algunas de lasideas desarrolladas por Ostrowski.

Jentzsch comprendió que el descubrimiento de la esencia del fenómeno dela hiperconvergencia radicaba en el estudio de las sucesiones parciales que seobtienen a partir de una serie de potencias, y obtuvo el primer notable resulta-do en este orden de ideas, demostrando que en una serie de potencias de radiofinito (no nulo), cada punto de la circunferencia es punto límite de ceros de lassumas parciales

n

2

Demostró también que el teorema puede caer en defecto para ciertas sumasparciales, con lo que quedaba abierta la posibilidad de la hiperconvergencia queél puso de manifiesto en unos ejemplos distintos de los de Porter, que no co-nocía (13).

El teorema de Jentzsch ha sido generalizado por Szego (26) a las sucesiones

parciales S„a(s) tales que lim '* + I == i y posteriormente Ostrowski (18, c) ha

obtenido resultados más completos como corolarios del siguiente teorema fun-damental :

Todo punto frontera del dominio completo de convergencia uniforme de unasucesión 8^(2) de sumas parciales, de una serie de potencias de radio i, es.punto singular de / (z) o es tal que, en todo entorno suyo, infinitas sumasSn¿(X> poseen un número arbitrariamente grande de ceros.

El problema de la caracterización de las series de Taylor que poseen suce-siones hiperconvergentes ha sido resuelto por Ostrowski mediante los dos teo-remas siguientes:

Teorema directo.—Supongamos que la serie de potencias

CO

2-xH= t

de radio de convergencia i, tiene una infinidad de lagunas (conjuntos de térmi-nos de coeficientes nulos) de longitud relativa inferiormente acotada. Entonces,la sucesión que se obtiene, limitando la serie al comiendo de cada laguna, conver»ge uniformemente en un entorno de todo punto regular de la circunferencia de-convergencia de la serie (2).

Teorema recíproco.—Si una sucesión Sn^fV) de la serie de potencias

=i=y^*/(=)

de radio de convergencia i, es uniformemente convergente en el entorno de unpunto de la circunferencia unidad, es

f (¿) = g (=) + *(*)

donde g(s~) es una serie de radio i con lagunas que verifican la propiedad delteorema directo, y h(z) es una serie de radio mayor que uno (3).

Ostrowski ha demostrado también que si en una serie lagunar, la longi-tud relativa de las lagunas tiende a infinito se puede asegurar que la sucesiónde sumas parciales limitadas al comienzo de las lagunas converge uniformemen-

O Otras demostraciones de este bello teorema han sido dadas por diversos autores (Sze-go (26), Zygmund (31), Lösch (15), Esterman (7) ; pero éstas, aunque más breves, no presentanla fecundidad de la primitiva.

El método utilizado por Ostrowski es sumamente fecundo en resultados. El propio Ostrowskilo ha utilizado en la demostración de otros teoremas, por ejemplo, un teorema de Fatou (18, a) ;Takenaka (27) ha logrado demostrar mediante él un teorema análogo al anterior para ciertostipos de series que generalizan las series de potencias; y en esta Memoria es utilizada con fruto«n alguna demostración.

(3) Este teorema ha sido obtenido por Bourion como consecuencia de un resultado algo másgeneral (5, d).

— 3° —

te hacia f (s) en un entomo de todo punto regular de /O). Además, el dominiode existencia de la función es en este caso simplemente conexo y la funciónuniforme.

Bourion (5, a, b, c, d) ha logrado probar que existe una cierta continuidaden la estructura lagunar con relación al punto alrededor del cual se hace el des-arrollo en serie de Taylor :

Supongamos que f(z) = ~%an(z — z0)n pueda escribirse como suma de dos

series:

S *„(*-*„)" +S *„(«-*„)"

donde la primera tiende lagunas de tipo Hadamard y radio R y la segunda ma-m,

yor radio. Si bn = o para mk < n < m'k, —=- > i + o la serie? %a„(z — z0)" semk

dirá de tipo A.

Si —-* -* co de tipo B.mkSi además R = oo de tipo C.Si / (z) es de tipo A, B, C, lo es en un entorno del origen y, en el caso G, en

todo el campo de existencia. Las demostraciones no han sido aún publicadas.3. SERIES DE DIRICHLET.—El estudio de las series de Dirichlet, desde el

punto de vista de la teoría de funciones (sin preocuparse de las aplicaciones ala teoría analítica de los números), es muy reciente. Se comenzó por estudiarcuestiones análogas a las que se plantean en la teoría de las series de Taylor;pero aquí las dificultades son muy superiores a las que se presentan al estudiarlas series de potencias. El mayor impulso a esta teoría se debe a W. Pernstein,quien ha estudiado el fenómeno de la hiperconvergencia estrecha en estas series,fenómeno que había sido descubierto anteriormente en un ejemplo1 por Bohr.

Los resultados de W. Bernstein se refieren a una clase particular de seriesde Dirichlet, aquellas cuya sucesión de exponentes

1 ' 2 i " ' • • • *^n •, • ' '

tiene densidad máxima finita (^ D), es decir, tales que dicha sucesión puedeconsiderarse como parcial de otra :

h . 4 , . ' f , . - -

que verifica la condición lim -¿~ = D. Esta segunda se dice medible y de den-p —> CO

sidad D (4). Mediante esta noción y la de abscisa de holomorfía (número H tal

(4) Estas nociones que se han mostrado, muy fecundas, han sido introducidas por Polya (20,a) y estudiadas, posteriormente, por W. Bernstein (2, d) ; el cual ha introducido además el lla-mado índice de condensación, que da idea de la proximidad de los \R y cuya utilidad en estateoría ha sido bien probada.

- Si —

que función f (s) sea holomorfa en el semiplano R(¿) > H y contenga puntos-singulares en todo semiplano R(j) > H — e), los resultados obtenidos por Berns-tein (2) pueden resumirse en la siguiente forma:

a) Si para una serie de Dirichlet, cuya sucesión de exponentes tiene unadensidad máxima finita, las rectas de convergencias y holomorfía no se confun-den, la banda vertical, comprendida entre ellas, es una zona de hiperconvergen-cia de la serie, esto es, existe una cierta sucesión de sumas parciales de la serieque converge uniformemente en dicha banda.

b) Toda serie, cuya sucesión de exponentes posea una densidad máximafinita, puede considerarse construida por un procedimiento que generaliza el uti-lizado por Bohr en su ejemplo, esto es, la serie está formada por grupos de tér-minos cuyos coeficientes tienen una suma que difiere muy poco de cero.

c) El teorema directo de Ostrowski (§ 2) vale para el tipo de series queconsideramos, sustituyendo la recta de convergencia por la de holomorfía (5)_

Para las series en que la densidad de la sucesión ) X n ¡ es infinita, los resul-tados son escasos. Bernstein (2, c) ha demostrado : que fijada la sucesión ] A„ \es posible elegir los coeficientes a„ de modo que la función f(s) sea entera, yque dada una serie

f ( s ) = -SaHc-l»s

una modificación suficientemente pequeña de los exponentes Xn no altera lassingularidades de f(s).

Bourion (5, d) ha probado que la hiperconvergencia en estas series no esuna propiedad local, esto es, que si la serie posee una sucesión parcial hiper-convergente en el entorno de un punto regular de la recta de convergencia, di-cha sucesión tiene la misma propiedad en todo otro punto regular de esta recta.

Si además es : lim —r~^ = I (hiperconvergencia estrecha) f(s) es regular enk -* 00 "*

todo punto de la recta de convergencia.Bourion (5, d) ha extendido las investigaciones sobre hiperconvergencia a las

series del tipo :1" a,, u y (x)

donde las uv(x) son funciones univalentes y regulares en un cierto dominio si-tuado sobre una superficie de Riemann. Además, son tales que

log u„ (x) -> tí (x)n

( ) El método de Bernstein es una generalización fundamental del utilizado por autores an-teriores (Lindelöf, Carlson, etc.) para la prolongación analítica de las series de Taylor. Se fundaen la interpolación de los coeficientes de la serie (o, mejor, en el caso de las series de Dirichlet,e números proporcionales a ellos) mediante funciones analíticas, tìadas por integrales, cuyas pro-

piedades conocidas permiten obtener resultados generales para las series.

— y- -

uniformemente en cada región contenida en D donde la función armónica w(x)•es regular. Dicha región de convergencia viene determinada por u(x) + la < o,

isiendo « = lim an \ ".

En este orden de ideas debemos citar, finalmente, el siguiente teorema deBohr (4, a), que se refiere a una clase muy amplia de series Dirichlet: Si losexponentes ATC de la serie

f(s) = 2íZK e~^«s

son tales que :

lOg « . .hm —r5— = L<,-\- <x>

v los coeficientes verifican la condición

¡ta ^v^A.M

W —> OO

• = O

y la suma f (s) de la série es holomorfa y de orden finito k en un cierto semipla-

:no R(j) > a, todo el semiplano R(» > "^,*^ es seguramente dominio de hi-

perconvergencia de la série.4. FINALIDAD DE ESTA MEMORIA.—A propuesta de mi querido maestro don

Julio Rey Pastor, estudio en esta Memoria el fenómeno de la hiperconvergen-•cia en las integrales de Laplace-Stieltjes. El problema fundamental en esta teo-ría es el de la caracterización de las intégrales en las que es posible el fenómenode la hiperconvergencia. Ahora bien, parece ser que la solución de este proble-ma se halla aún bastante lejana, en el estado actual de la teoría de funciones (6).Pero si limitamos, previamente, la clase de funciones generatrices consideradas,pueden obtenerse soluciones parciales del problema y esto es, en definitiva, loque se hace en el capítulo II de este trabajo (7). El capítulo I contiene variascondiciones suficientes para que en una integral de Laplace-Stieltjes se presenteel fenómeno de la hiperconvergencia (8). Estos teoremas plantean problemasrecíprocos del máximo interés y de una gran dificultad (9), algunos de los cua-les estudiamos en los dos capítulos siguientes.

(°) Esta es ,1a opinión del Prof. W. Bernstein.( ) En realidad, como se dice más adelante, nosotros, en este capítulo, nos proponemos re-

solver otro problema; pero los resultados pueden también interpretarse en este sentido.(8) Como caso particular de estos teoremas se obtienen algunos resultados conocidos de Os-

trowski (y otros nuevos) para las series de potencias y las series de Dirichlet.(') Algunos de estos problemas han sido resueltos por Ostrowski en las series de Taylor; pero

al pasar a las series de Dirichlet el campo está totalmente inexplorado y sólo puede citarse eneste orden de ideas un teorema reciente de Aronszajn (i), completado por Bernstein. Refiriéndose aproblemas de este tipo, dice W. Bernstein en su libro (i, h), pág. 168: "Nous ne sommes pas•en mesure de résoudre actuellement ces problèmes de façon complète."

33

Así, probado que además de la hiperconvergencia lagunar, puedan pre-sentarse en las integrales de Laplace-Stieltjes tipos de hiperconvergencia no la-gunar, ocurre preguntarse si se podrán delimitar clases de integrales en las quesólo sea posible la hiperconvergencia lagunar (10).

Dar una solución de este problema es, precisamente, el objeto del capítulo II.En el capítulo III se resuelve el problema de ver hasta qué punto es posible

dar arbitrariamente un dominio en el plano s, de tal modo que exista una inte-gral de Laplace-Stieltjes que tenga dicho dominio como campo de hiperconver-gencia para una cierta sucesión parcial.

Finalmente, en el IV, nos ocupamos de la caracterización del dominio totalde convergencia uniforme de un proceso lim f(t, z), obteniéndose como con-

¿—»•00

secuencia de éstos, resultados para la caracterización del dominio de hipercon-vergencia en una integral de Laplace-Stieltjes.

No he de terminar esta ya larga introducción sin manifestar mi vivo agra-decimiento a mis >maestros, muy particularmente a los profesores J. Rey Pas-tor y W. Bernstein, que amablemente han contestado siempre, con su sabia com-petencia, a mis consultas (").

(w) Esta cuestión aparece ya planteada por Ostrowski en su Memoria (18, b). En una notaal pie dice Ostrowski haber obtenido una demostración válida para ciertas clases de series deTHrichlet, pero ni en ésta ni en ninguna de sus Memorias posteriores indica la clase de series deDirichlet para las que vale su demostración, ni cuál es esta demostración. Por otra parte, W. Ber-nstein dice en la página 45 de su libro: "mais il peut que cette réciproque soit vraie pour cer-taines classes des séries de Dirichlet. C'est un problème qui me riterait une étude approfondie".

C ) La mayor parte de los resultados contenidos en esta Memoria los hemos publicado ante-riormente en varias notas (24, c, e, f).

ACAD. DE CIENCIAS. —1936

— 34 —

CAPITULO I

LA HJPERCONVERGENCIA DE LAS INTEGRALES DE LAPLACE-STIELTJES.

ï. Es sabido que se llaman integrales de Laplace-Stieltjes o integrales (LS>

a las del tipo :

/

00e-*-* ¿a(\) lll

•>

donde se supone <*(X) de variación acotada en todo intervalo finito (o, X) y laintegral tomada en el sentido de Stielt j es. Las propiedades primeras de estasintegrales (campo de convergencia, abscisa de convergencia ordinaria, absoluta3' uniforme, etc.) son análogas a las de las 'series generales de Dirichlet

co

2"»"^"'O

y una exposición detallada de ellas, juntamente con resultados originales rela-tivos a la composición de las singularidades, se encuentra en Widder (29).

Las demostraciones de dichas propiedades primeras son inmediatas, cono-ciéndolas relativas á las series de Dirichlet; pero no ocurre lo mismo con laspropiedades relativas a singularidades (12) (sobre todo.las que se refieren a lainfluencia de la sucesión de exponentes j Xn ¡) que presentan a veces grandes di-ferencias con las series.

Por esto tiene interés el estudio de la hiperconvergencia en estas integrales..Además, de los teoremas demostrados en ellas, se obtienen como consecuen-

cia inmediata resultados para otra porción de algoritmos (series de Taylor, deDirichlet, de Bohr, integrales determinantes, series de facultades, etc.).

12) Ya en lo que se refiere al orden sobre las rectas verticales se encuentra una diferenciaimportante con las series de Dirichlet, en las cuales es sabido, por un teorema fundamental, quedicho orden (de una serie convergente) es siempre positivo o nulo y, en cambio, en las integrales(LS) puede ser negativo, como ha probado Widder en su Memoria citada. Además, es sabido queia clase de las funciones definidas por series de Dirichlet, en el sentido generalizado por Bohr (4,b), uniformemente convergentes en una banda a < R (ï) < ß, coincide con la clase de las fun-ciones cuasi periódicas. En cambio, la clase análoga para las integrales (LS) es mucho más am-plia, según ha demostrado Wiener (30).

Desde distintos puntos de vista han sido estudiadas estas integrales por diversos autores. Así,además de Widder y Ostrowski, que han dado resultados sobre las singularidades, hay que citarlos de Riesz sobre la sumación, los de Doetsch y Karamata sobre los teoremas tauberianos, losde Pólya y Titchmarsh sobre los ceros, etc.

— 35 —

farà probar estas integrales comprenden como caso particular los algorit-mos indicados, utilizaremos, siguiendo a Widder, un resultado de Fréchet, se-gún el cual toda integral del tipo anterior, donde «(A) es de variación acotada,puede descomponerse en la forma :

00 <»

f (s) = I e-l-*a(l)dl +SßÄ e'^»s + e~^sdu(k)

siendo <*(A) una función sumable, los \n son puntos de discontinuidad de œ(A)de modo que \an = a (Xn + o) — a (\n —• o) ; y M (A) es una función continua devariación limitada cuya derivada es cero, salvo en un conjunto de medida nula.

El primer sumando es una integral determinante, el segundo es una serie deBohr (4, b) (13), pues los puntos de discontinuidad A„ forman un conjun-to numerable; y se reduce a una serie ,de Dirichlet cuando el conjunto nu-merable es una sucesión monótona infinitamente creciente. Cuando existe eltercer sumando la integral (LS) define una función de distinta naturaleza quelas que se pueden definir utilizando los otros algoritmos antes citados, ya que no

/

00e~~^s d^l(\} a dichos algoritmos.

Veamos cuál es el tipo de función «(A) que corresponde a cada uno de losalgoritmos particulares citados.

Para las seríes generales de Dirichlet:

CO

2-

donde a,, es una sucesión de números complejos cualesquiera y \n una sucesiónmonótona de números reales infinitamente creciente, la función «(A) es :

°'w = 2 a"'X„ < A

y análogamente para las series más generales de Bohr.Si los números A„ son enteros se tienen las series de Taylor.

( ) Estas series, más generales que las de Dirichlet, han sido introducidas por Bohr en elestudio de las funciones cuasi periódicas (4, b) ; y aunque Bohr propone que se llamen tambiénsenes de Dirichlet, creemos preferible, para evitar confusiones, la designación indicada.

Las integrales de Laplace (estudiadas principalmente por Pincherle (19) sereducen al tipo (LS) mediante la introducción de la función:

X

rj.Q.) = /*(X) ¿ï.

En las integrales :

oo

f(s) = f*(t)e~l(t)Sdt

llamadas por Rey Pastor integrales (D) (22, a) se supone <p(f) integrable en elintervalo (o, + oo), y A(í) función continua monótona e infinitamente crecien-

/

t<f(f)dt con lo que la integral anterior

?queda reducida a la integral en el sentido de Stieltjes:

00

f(s)=je~~'k(t)Sdï(t]

(i

pero por ser A(f) continua y monótona admite función inversa t = í(A) y la in-tegral anterior queda reducida a la siguiente :

00

f ( s ) = fe~ls<¿a(>.)O

que es el tipo (LS).En resumen, existe una sencilla gradación entre los diversos tipos de algo-

ritmos en relación con sus correspondientes generatrices «(A).En la series de Taylor «(A) es una función escalonada, cuyo« saltos corres-

ponden a una sucesión de puntos enteros. En las series de Dirichlet tambiénes escalonada ; pero los saltos corresponden a una sucesión cualquiera de pun-tos reales. En las integrales de Laplace, o en las más generales del tipo (D), lafunción es integral indefinida de una función integrable Riemann ; pero es, portanto, una función continua de variación acotada con derivada en todos los pun-tos en que <p(t) es continua (12). Un ejemplo muy sencillo de generatriz «(A)cuya integral (LS) no es réductible a los tipos anteriores, es el de una funcióncontinua de variación limitada que sea constante en los intervalos complemen-tarios de un conjunto perfecto no denso (12, p. 367).

2. PROPIEDADES GENERALES.—Recordemos brevemente las que utilizamos enel curso de este capítulo:

- 37 —

I. Si la integral (I) converge en el punto s0 = a„ + it0 converge para todovalor de s tal que R(j) > ero.

De aquí, por un razonamiento conocido, resulta que puede ocurrir: a) la in-tegral converge para todo valor de s; b) la integral no converge para ningúnvalor de s; c) existe un número C, tal que la integral converge para R(Y) > C yno converge para R(j) < C. Este número C se llama abscisa de convergencia, elsemiplano R(J) > C, s.emiplano de convergencia y la recta R(s) = C, recta deconvergencia.

Análogamente se definen la recta y la abscisa de convergencia absoluta.II. Si la integral (I) converge para s = s0 converge uniformemente en el

dominio:

I J — -TO I o„ ',

donde H es un número entero positivo.Consecuencias de esto es que la integral representa una función f(s) holo-

morfa en su semiplano de convergencia y en él se verifica :

dkf(s)

dsk

co

= í e~ X " ( — X)* da W (¿' = O, ", 2, • • )

III. Si la integral converge absolutamente para .? = s„ converge uniforme-mente para R(s) ^ <r„.

De aquí resulta inmediatamente que si las abscisas de convergencia ordina-ria C y absoluta A son iguales, y designamos por U la abscisa de convergenciauniforme (definida del mismo modo que los anteriores), se verifica:

C = A '= U

pero si C ̂ A, puede ser U = A o bien U =£ A.IV. Cálculo la abscisa de convergencia (14).

oo

a) Si la integral \di(K) es divergente, es:

log| J r f aM

C= IÍS" °. L = TiíT ' . '°g I ° (x) I ,Tl

A-« 'A x-*« * [ 1

(") En esta exposición nos separamos de Widder, quien únicamente obtiene la fórmula [i].Las demostraciones de IV son análogas a las expuestas por Rey Pastor (22, a), y prescindimos«e ellas

- 3« -

X>

b) Si la integral / </*().) es convergente, es:

iti o. (W1 = ,iSr '»K a ( o o ) - a ( X ) | [8]

Desde luego, de las hipótesis hechas se deduce que en el caso- a) es C > o y

en el b) es C < o.Para la abscisa de convergencia absoluta se obtienen fórmulas análogas sus-

tituyendo la función a(\) por su variación w(A) en el intervalo (o, X).Prescindimos de propiedades generales que siguen en la Memoria de Wid-

der, las cuales no son necesarias a nuestra exposición ulterior.3. LA ABSCISA DE HOLOMORFÍA.—Es sabido que las series de Taylor poseen

al menos un punto singular sobre la circunferencia de convergencia. Pero estapropiedad no se conserva ya para las series de Dirichlet ordinarias :

T^

como lo prueba el ejemplo clásico:

v i \ M + 'y* (- ')•"—j

Por tanto, las propiedades de los puntos de la circunferencia de convergen-cia de las series de potencias se reparten en las series de Dirichlet y en las in-tegrales (LS) entre las rectas de convergencia y holomorfía: las que se refierena la serie se conservan en la recta de convergencia, mientras las que se refierenintrinsecamente a la función definida por la serie o la integral se localizan enla recta de holomorfía.

Se llama abscisa de holomorfía (15) de la integral [i], o de la función f ( s )definida por ella, el limite inferior H de los números h tales que f(s) es holo-morfa en el semiplano

R(í)>/¿

Resulta, pues, que f(s] es holomorfa en el semiplano R(s) > H que se llamasemiplano de holomorfía y posee necesariamente puntos singulares en todo se-miplano R (j) > H — e , (e > o).

(") Esta definición ha sido introducida para las series generales de Dirichlet por W. Berns-tein (2, a, h).

— 39 —

La determinación de dicha abscisa H tiene gran interés en la teoría de lahiperconvergencia. En el caso de las series de Dirichlet de densidad máximafinita ha dado W. Bernstein (2, a, f, h) un mètodo que permite la determinaciónde dicha abscisa de holomorfía; pero en el caso general no se conoce ningúnmétodo que permita dicha obtención (16).

Vamos a. deducir una fórmula que determina la abscisa de holomorfía siem-pre que la abscisa de convergencia sea finita (").

Si la abscisa de convergencia de la integral

/e-^dAt

es finita e igual a c =£ o, hagamos el cambio de variable : S = í + c, con lo quela integral se transforma en la :

Jr^'+'ijAw

•cuya abscisa de convergencia es cero, la cual, si ponemos

f e~V-cdA(<í) = y.(\)

o

adopta la forma :

00

/(f) = Jí~xV<z(>o

cuya abscisa de convergencia es cero. Basta, pues, considerar este caso.Si formamos el desarrollo en serie de Taylor de / (s) en cada punto

7 = k + í í , (k > o), el radio de convergencia será una función r = r (y) — r(k, f),y la abscisa de holomorfía serà :

H = ¿ — lim inf r (k, ¡í) =/t — ç (k)— ço < / < ço

C") Dice W. Bernstein en su libro (2, h, pág. 33) : "Pour ce qui en est des abscises H, O, S quenous venons de définir, on ne dispose malheureusement pas de telles formules, et, dans le casgeneral, on ne connaît aucum procédé que permette de les calculer effectivement."

C") En el caso en que la abscisa de convergencia sea — oo ésta es también la abscisa deholomorfía; pero si la abscisa de convergencia es + co, la formula expuesta no es válida. Quepuede ser finita en este caso la abscisa de holomorfía, se comprueba con método análogo al se-guido en el § 5 de este capítulo, en la serie siguiente:

S(—i)" <r"*e-W f , siendo X 2 K= — 2« , X2„ + r = — 2 n + e~ "' .

í>e ye así que la abscisa de convergencia es + oo, y la serie obtenida agrupando los términos deíndices, 2n, 2n -f- i, define una función holomorfa en semiplano R(s) > o.

— 40 —

En efecto, desde luego f (s) es holomorfa -en todos los círculos de centrosk + it y radio p = lim inf r(k, f) y, por tanto, en el semiplano R(j) > k — p.

, — 00 < / < 00

Ademad, dado E > o arbitrariamente pequeño, existen círculos de centrok + i f* y radios p* H — e existen puntossingulares de /(í) '(los situados sobre las circunferencias de centros k + i t* yradios p*.

Queda, pues, reducido el problema a la determinación de esta función r(k, í)-El desarrollo de f(s) en serie de Taylor en el punto y es :

/(,) = ¿^>>(T)K = O n\

-donde, en virtud de (§ 2, cap. I, apart. II) es :

00

/<•>(-,)=(- I)" í\" i"1' dr,(l)

o

y según el criterio de Cauchy-Hadamard resulta:

r(k,í)= — : L__ ,00

ÍÜS |/^_ I f\"e-^sda(\)

n—> 00 V n\

Teniendo en cuenta una transformación de Ostrowski (18, f) (18), a la ex-presión anterior se le puede dar la siguiente forma práctica:

r (k,í) =

donde

nlim— >• oo 1/" H„ , *, t

» I "\T(- *.)l\ke\\"^~)

TÍ'-«1')* V »/

_ |./Ü!V,-x<* + / < > rf.a(X,

(18) Esta transformación ha sido obtenida por Ostrowski en la generalización a las integralesdel criterio sobre las singularidades de los puntos de la circunferencia de convergencia de unaserie de potencias.

— 4I -

siendo

0 < V- ̂ V-'» < ' ' ° < V- ̂ V-„

donde ¡>. es un número positivo arbitrariamente pequeño, pero fijo.Queda, pues, como fórmula final de la abscisa de holomorfía (19) :

H = k / i — lim inf— 00

< ' < « Hm Y \ * n , k , t \i n—*• 00

donde

H« , k . t ' k ' V-'n ' V-", '

tienen los valores antes indicados.4. ACOTACIONES , DE LAS INTEGRALES PARCIALES.—Supondremos que la abs-

cisa de convergencia de la integral

00

f ( s ) = j e'^säa(l) [il

o

es cero, pues a este caso se pasa por un sencillo cambio de variable (como se havisto en el párrafo anterior), siempre que dicha abscisa sea finita.

Mediante una integración por partes se obtiene :

v f A-I (ï , X*) = I e~ 7- *d v. (l = e~ ̂ « (X) - « (o) + r « (X) d ¿~ l s (20>

o o

Por ser cero la abscisa de convergencia, se verifica en virtud de la fórmu-la [i], § 2, IV:

«a) ] < H / X

para A suficientemente grande cualquiera que sea e > o, y siendo H una cons-

(") Naturalmente que esta fórmula no permite siempre el cálculo efectivo de la abscisa deholomorfía, lo que no tiene nada de extraño, ya que otro tanto ocurre con otras fórmulas senci-llas de naturaleza análoga, como, p. e., la de Cauchy-Hadamard, que determina el radio de con-vergencia de una serie de potencias.

Mediante nuestra fórmula pueden obtenerse algunos resultados conocidos y otros nuevos so-bre las singularidades de las series de Dirichlet. En iparticu'-ir algunos de Pólya, relativos a lasseries en que lim (\n — A„_i) = g. Todo ello será objeto de otro trabajo.

(20) Siempre se puede suponer œ(o) = o, por lo que prescindimos de este término en lo-que sigue.

— 42 —

tante conveniente que no depende de A.. Teniendo esto en cuenta de la igualdadanterior se deduce:

X'I 1 (í, X*) | = e-Vs a (k*)-}- s í a(l)e-^sdf. <

Ó

X* + | , | H /V>-( 9 -«>rf) i ,

acotación que es vàlida para X*, suficientemente grande cualquiera que sea í;teniendo H y e la significación antes indicada. Ahora bien ; si suponemos que ses punto de un dominio finito D con lo cual \s\ < Hi(. y además para los puntosde dicho dominio es R(^) = o- < o, se verificará :

X*(a) | I ( í ,X*) |<Hp' ( - a + £) +H, f^(-a + E > ¿ x | = H A X < <» + • Ti + _JL_1

Por tanto, dado un dominio D con las condiciones indicadas (21), para A* sufi-cientemente grande se tiene la acotación

J-\0g\l(S,\*)\ <•-<, + * [í]

•que se verifica uniformemente en D (8 depende de E, <r, y HI, y tiende unifor-memente a cero en D cuando A. -» oo).

Si suponemos que D, además de las condiciones anteriores, cumple la de serinterior al dominio de holomorfía de /(-?), se tendrá para el resto (designado conM = Máx|/(j)|):

| R ( í , X * ) | = |/(í)-I(í,X*)|<|/(í) | + | I ( í , X * ) l <

<M + Ke^<--a + ̂

-rjr l o g | R ( í , X ' ) <-^ + ? [3]

Abamos ahora a obtener una acotación de los restos para el caso en que D seainterior al semiplano de convergencia de la integral.

(21) Más aún, basta para que la acotación sea válida que para los puntos del dominio se•verifique — o- + E > o.

— 43 —

Se tiene, en efecto, mediante una sencilla integración por partes:

00 OO

R(f ,X*) = f e~ *s it a (^^6-^*0.0*)+ ía(k)de-ls

r r

y si tomamos valores absolutos, teniendo en cuenta, lo mismo que antes, la fór-mula que da la abscisa de convergencia, se obtiene:

00

R ( r , X * ) | <H e~Va e*'* + \s f | aft) | ¿-X3¿X^'

V

00

<HL-**< 3 - £> + u i /V-x<3-s>¿x]

acotación válida cualquiera que sea s, tomando X* suficientemente grande (H y etienen la significación que ya se vio). Ahora bien; si suponemos que j es puntode un dominio finito D (con lo cual es \s\ < HI y además para los puntos dedicho dominio suponemos que es R(J) — v > o se verificará :

R(í .X·JI^Hfí-VC-' ï+H.J^- 'Jrf^Hí-X·P-OJ. + H.—L^]

acotación que se verifica uniformemente en el dominio DL Por tanto, dado undominio D con las condiciones antedichas, es posible determinar un valor A talque para X* > A valga la acotación :

^ l o g l R í f . X ^ K - o + í W

De las acotaciones [3]y [4] resulta que para todo dominio finito D comple-tamente interior al campo de regularidad de f(s) vale la acotación

-¿-log I R (, , X*) |< - .„ + ï [5]

desde un valor de X* suficientemente grande. Basta, en efecto, dividir el domi-nio en una parte completamente interior al semiplano R(V) > o, en que se apli-ca [4] y la complementaria en que, en virtud de la nota al pie de la página an-terior, es aplicable [3].

Daremos ahora, utilizando estas acotaciones, algunos teoremas que son con-

44 —

diciones suficientes para que una integral posea una sucesión parcial hipercon-vergente; pero antes expondremos algunos ejemplos que ponen de manifiesto laposibilidad efectiva del fenómeno de la hiperconvergencia en las integrales pro-piamente dichas (22), así como las diferencias que se presentan con las seriesde potencias y de Dirichlet.

5. CONSTRUCCIÓN DE EJEMPLOS.—a) Comenzamos por construir un ejem-plo de una integral (LS) en que una sucesión transfinita (23) de integrales par-ciales converge en dominio que se extienden más allá del semiplano de conver-gencia de dicha integral. Un tal tipo de sucesión hiperconvergente no es posibleen las series de Dirichlet.

Consideremos la sucesión transfinita de puntos :

siendo :N> > '^i ï '*2 » i ̂ " t \» i \t> -f- ï t • • • • ' '^w <»> -h n '

^m U) -\- « = X« -f- m , \2 n — i =2 n — i

/•2 n ~2 « — i -\-e

2 n -j-e~ 2

y definamos la función A = a(A) de modo que esté representada gràficamenteen los intervalos abiertos (XM t u + 2 Ä _ , , ^mU> + 2K), para m ̂ n, por un segmentoparalelo a la recta \ = '/, e-(>" + ») y en los intervalos cerrados (l-mu> + 2„ ,

AA

^

x1, 4 4V' L t., L, u¿«~ /,„ r?

(2!) Ya que en general resulta de los ejemplos conocidos para las series (véase Introducción).f3) Las definiciones y primeras propiedades (teoremas de Bolzano, Cauchy, etc.) de las su-

cesiones ordinarias, han sido generalizadas a las sucesiones transfinitas por P. 'Dienes (6).

— 45 —

¿»i ID-t-2 »-i-1) Por un segmento paralelo al eje X, y con discontinuidades de saltos£ (»» + « ) ,—¿- (« - f -« ) i en los puntos /LOT,„ + 2 „ _ , , >.mo» + 2 « respectivamente;y para m = n tomamos todo igual, salvo la recta A = ~L £-("' + «) que es ahoraA = A y los saltos en los puntos X O T ( U 4 2 m _ , , /^,,„4-2« que serán + iy — i respectivamente. Además se toma «(o) = o (24).

Se comprueba fácilmente que la función «(A.) así definida es de variación li-mitada en cada intervalo finito (o, X) y además es acotada para todo valor de Xy para X -» oo.

La integral :00

f(s)= fe-^dv.Q.) [,]

así definida tiene abscisa de convergencia cero ; pues por no ser convergente (25)para ¿ = o, será A ̂ o, y si se aplica la fórmula [ i ] del § 2 de este capítulose obtiene

A=lta ' ' " ( M ' <^=:0X —* CO >. X

luego es A = o.Vamos a probar que la sucesión transfinita de integrales parciales

\m o) -f- 2 w

f e-^dzQ.) M

o

o sea la serie transfinita

/.m lü + '" "

|̂V>^().)Ji-m d) -f- = » — i

es hiperconvergente, es decir, converge uniformemente en dominios que se ex-tienden más allá del semiplano de convergencia de la integral [i].

Poniendo para abreviar :AJM (1) + 2 tt

Im„(i)= / « ~ X í r f c t ( X )

Xœ (I) + 2 w — i

(M) Se puede obtener inmediatamente una expresión analítica de la función A — a (X) » perono tiene interés para nuestro objeto.

(*5) Esto resulta inmediatamente teniendo en cuenta que a(X) tiene en los puntos

km U) -(- 2 « — t , f'fti ü) -(- 2 rt

saltos de valor + i y — i.

— 46 -

resulta inmediatamente de la definición de a(X) para m^n:

_ , r 3 « - 1 \

1 l,\ ,,— (>» + « ) . \ 2 K / _J_im n VV — c c i

Xm (O + 2 n .

/

/ , 2«- .+*- 2 "_ \— í I « H 1e -X* „-(* + .) rf7L_e-(* + -) í \ • - + *-2K / =

_X/« (o -}- a A — i

2 » -j~ ^~

= (!+*)«'

i « (2 « + i-2 «)

_(„ + ,) _L + u^i).s. i. \ 2 w . /= ( i+ í ) í ' ' ' * ^ ' 2 K - ' / e '"X irf) .

y para m = M, anàlogamente :

3 ,„ _ , _L „- s « 2 « (2 m + e~2 "Om +

2 <» + i" = >"' 2 7Í2 I

f—\m\ s I —\,

e-** d\ = (i+s)e \ 2m ' I e k d\

La cuestión es, pues, probar que la série doble

T I««CO [3]

que es equivalente a la serie transfinita [i] converge uniformemente en recin-tos que se extienden fuera del semiplano R(s) > o. El valor absoluto de un tér-mino de esta serie es:

- 47 —

_(M+_ïi=I.y• „„( j ) ! = A m A < <(.+ | f | ) < f - ( l " + "> í V 2" '

( 2 « — I \

"<+-—).

2 » (2 » -f e - ")

<(!+£)„ ("'+») e4 n*

donde hemos supuesto que í es punto de un recinto finito D completamente in-terior al semiplano R(í) < — i ; es decir, R(j) ^ — i •+ E, \ s < k, y la acota-ción es válida desde un cierto valor de M en adelante.

Análogamente para los términos de la diagonal de la serie doble se obtiene r

\mm (s) = a,n < (< -f | J ¡)

< (i + K) e

í 2 m — i \— I m H ) J

„ V 3 >» /

2 »z (2 m -f «~ 2 '")

_(,._3)(m+.-2-^=lL) _ ,„V 2 m / _f

<

Resulta que :

•^T '. X"1 I2j A « « < ( I -f--4) ¿ !«-•»z n •[•

4 m'

ji1:/^«-"^'-^4»2 \ >« /

2 « — I.̂ _̂ ^ — 3 K — ( I — S)

_ i + k_ ^ e 2 " i"i _ e '• (- -:"') 4" ' 4 «2

Mediante el criterio de Cauchy resulta ahora inmediatamente la convergencia.•̂ ^ ^~Tde la serie ^A.m„, así como la de la serie simple / , a,„ ; luego la sucesión

m n m

transfinita [2] converge uniformemente en todo dominio finito completamente-interior al semiplano R(J) > — i, es decir, es hiperconvergente respecto de laintegral [-i]).

b) Tomemos como función A = «(A) la definida en los intervalos(n, n + ¿r") ,por un segmento paralelo a la recta A = X, y en los intervalos(n + e~n, n + i) por un segmento de recta ¡paralelo a la recta A = o, y tal queen los puntos n tenga una discontinuidad de salto + i y en los n + e~n de salto-—'i. Es decir, analíticamente:

n < \ < n -f é "

n + e~ " < l < n f i

«M = Zr

,o,)=.y

e~ k __ n 4 x -f i

- 4s -

c) Tórnenlos como función «(A) la definida en los intervalos:

n

(," + c- '" , < • "+ ' ) « (>.) = 2" e- ''*(

( ,»+. . , -+. + ,-,"' + - > ) *t>., = ¿ , -<*_*»+•+) .+ ,

d) Definamos la función «(X) del siguiente modo:

» » » -i- i V .-,*r:ir;i 2' -\-e~-'1 <).<23 ' a </.) = J^ « -'

I

«

y para 2 = " + ' <).< 2»" + ' + i-"-'" + ' « (X) = ̂ «-*'* - 22"+ '+>.+ !

Con el mismo procedimiento que anteriormente, se llega a probar que mediantela descomposición de la integral se obtienen en estos tres casos una serie hiper-convergente en el semiplano R(V) > — i.

6. CRITERIO DE HITERCONVERGENCIA EN UN PUNTO.—Si al recorrer X el con-junto ordenado ¡X*) parcial del (o, oo), converge uniformemente l(s, X*) en unentorno D de un punto regular de la recta de convergencia de la integral [i], esdecir, I(s, X*) es hiperconvergente respecto de la integral, se verifica uniforme-mente en dicho entorno: | R(s, X*) | -> o cuando X*-> oo. Utilizando las aco-taciones anteriores vamos a ver de qué modo tiende a cero | R(s, X*) |. De laacotación (4, § 4) resulta que en el arco m p n (interior al semiplano R(¿) > 77 > o)que limita el entorno se verifica :

I R(í ,X*) |<«~ )-* ( '1 s>

y como | R(í, X*) | —» o en D, es evidentemente acotada sobre el arco comple-mentario nt q u y, por tanto, se puede aplicar un lema Nevanlinna-Oslrowski(17, b, pág. 200) relativo al crecimiento comparado de una sucesión de funcio-nes de dos regiones de su dominio de convergencia. De él resulta que en D severifica:

log | R (s,}.') I < - 7>.» (r¡ -5) + (i - i) \oK ¿,

de donde resulta, para X* suficientemente grande:

1 R(í,).*) \<e~^' (cí>oi

Además, esta condición es evidentemente suficiente.

— 49 —

Resulta, pues, que una condición necesaria y suficiente para que la familiaT(s, X*) sea hiperaonvergente en un entorno de un punto regular situado en larecta de convergencia de la integral qulc <cxista un número a > o de modo que

en dicho entorno se verifique piara A* suficientemente grande: \ R(s, X*) | <?- a'-*

7. CONDICIONES SUFICIENTES DE HIPERCONVERGENCIA.—El método de la mi-nima majorante armónica (26) nos permite en este párrafo obtener varias condi-ciones suficientes de hiperconvergencia para las integrales (LS), de algunas de lascuales resultan como caso particular teoremas conocidos para las series de po-tencias, ' demostrados por diversos métodos por Ostrowski, Szegö, Lösch, Bou-Tion, etc. (2T).

I. Sea la integral00

/(í) = yV>--'Vec(?.)o

de abscisa de convergencia Cero y tal que.:

drj.Q^ — 0 • para /.2 ; — -.</.< 7.3 ,•

siendo :

).,/».= , - , ( < +0) ( r t>o)

Entonocs la sucesión I (s. A , / 4 , , ) converge uniformemente en un cierto entontode todo punto regidor de la función f (s) situado sobre la recta de convergencia (28).

Sea f(s) regular en un cierto entorno circular D <le un punto P de la recta deconvergencia. Sobre la parte C' de circunferencia de D interior al semiplanoR(.v) > o de la acotación (4, § 4) resulta :

—--IOS | Rí . f ,} . 2 , - - , ) «-3-J-Î'•2 í

(™) Es una generalización fundamental del principio de módulo máximo que utiliza comocota de la función, en vez de una constante una función armónica conveniente. Parece haber sido

.Hartogs do) quien ha introducido este fecundo método en el estudio de las funciones analíticas dedos variables complejas. Posteriormente ha sido utilizado en muy diversos problemas por Carle-man Nevanlinna, Ostrowski, Riesz, Bourion, etc.

C7) Véase la Introducción. El método de Szegö no es aplicable a las series de Dirichlet; sí lo es•el de Lösch convenientemente generalizado (como demostraremos en otra ocasión) ; pero éste novale para las integrales (L S).

(K) Como comprobación de este teorema véase el ejemplo c) del § 5.RKV. ACAD. DE CIENCIAS.—1936

y en la parte complementaria C" vale la acotación (3, § 4):

-,— log l R (í,X,.;-,) |< — a + S .-. ~ log | R (s,\*i- O 1< -^- +5 -A2 í — i AZ * ' r "

La función armónica ?>(cr, T) que toma sobre C' el valor — a y sobre C" el ¡—v-

es menor que —a en el interior de D, luego es negativa en P y, por la continui-

dad, en un entorno suficientemente pequeño de P será, p. e., menor que —2e, y

como log I R(í, AÏ»-I) I no puede tener otras singularidades que las correspon-

dientes a los ceros de R(í, AZi-i), y S es arbitrariamente pequeño, tomando i sufi-cientemente grande resulta:

— log \ R( í ,X2, - - , ) |< -3^21

con lo que queda demostrada la hiperconvergencia en un entorno de P (§ 6, cap. I)..Demostrado el teorema anterior, ocurre pensar si en el caso en que existen

lagunas de dicho tipo se obtendrá, por la simple descomposición de la integralen la forma indicada, convergencia uniforme en todo el campo de definición dela función. Fácil es convencerse de que no siempre ocurre esto sumando a unaintegral que posea dicha propiedad la

00

fe-'í* de-*.*

O

para la cual el punto &=• — k es singular y está situado en la recta de conver-gencia. Resulta, pues, que eligiendo k de modo que el serniplano de convergen-cia de esta integral y el dominio de convergencia uniforme de la sucesión par-cial elegida en la primera sean rampantes, se abti'ene una integral en que los do-minios de hiperconvergencia y holomorfia no coinciden.

Sin embargo, vamos ahora a dar un teorema en que se puede asegurar quemediante el proceso de hiperconvergencia se obtiene todo el campo de regula-ridad de la función.

II. Sea la integralOT

/(í)= fe-l'dvQio

tal que

¿*(>.) = o , ).,/_, <x<X 2 , - , -—^-—=i4-ö.-* oo

La sucesión I'.(s,\^ ^ ) converge uniformemente en todo recinto acotado cam-

pietà-mente interior cd dominio de existência de la función, que es simplementeconexo (29)>

Sea un dominio simplemente conexo finito D, contenido en el dominio deexistencia y limitado por una curva de Jordan F sin puntos dobles y que contie-ne puntos de los dos semiplanos R(Y) ~> o, R(^) < o (si no se le suma un domi-nio conexo con él conveniente para que así ocurra).

Como en la demostración anterior se puede aplicar a la parte F' de la fron-tera interior al semiplano R(V) > O, la acotación (4, §4) :

y1-log | R ( í , X 2 , - _ . ) I < — 0 + 81^2 I

y en la parte complementaria F" la'acotación (3, § 4):

•̂ log | Rí í .kf -OK -fj- -f 3fat ! ~T" "i

La sucesión de funciones armónicas <pi(a, -i) que toman sobre F' los valores — o-

y sobre F" los valores — ,- tiene como envolvente la función subarmó-i -f- u;

nica (25) if (a, T) que ;toma el valor <r sobre F' y o sobre F". En todo re-cinto completamente interior a D es y(<r, T) < —• 2 E < o, luego desde un valorde i en adelante también es en dicho recinto <ft{v, T) < — E ; por tanto, se veri-fica en dicho dominio

.— log | R ( s , X2 «•_,) |< — S + SA2Z

y como S tiende uniformemente a cero con ^— , desde otro valor i en adelante/V2 i

será:

-¿-loglRííA..-- .)! <--'-'f.2t 2

con lo que queda demostrada (§ 6, cap. I) la primera parte del teorema.Que el dominio de -existencia de f(s) es simplemente conexo resulta inme-

diatamente del teorema de Weierstrass y de haber demostrado que la suce-sión de funciones enteras f(s) converge uniformemente hacia f(s) en todo sucampo de existencia.

El estudio del conjunto singular de la función se hace del mismo modo queindicamos en nuestras notas (23, a, b) para las series de potencias.

(*") Se comprueba este teorema en el ejemplo d) del § 5.

— 52

El teorema anterior plantea e¡ problema de ver hasta qué punto es posibledar arbitrariamente un dominio simplemente conexo en el plano j de modo quese pueda determinar una función «(A) (de variación limitada en todo intervalo(o, a) de modo .que la integral

f(') ->^ </«().)

posea una sucesión parcial que converja uniformemente en todo recinto finitocompletamente interior a dicho dominio, que hade ser el campo total de existencia de / (s). Lasolución de este interesante problema será obje-to del capítulo III.

III. Si I (s*, A) es hip ere onitprgente en unentorno de tm punto regular de la recta de con-vergencia de la integral, I (s, A*) es hipercon-vergente en un entorno suficientemente pequeñode todo punto regular de dicha recta; es decir,la hip er convergencia en las integrales (LS) noes una propiedad local.

Consideremos (véase la figura) un dominiofinito contenido en el dominio de regularidad d'e/ (s) y que contenga un .entorno del punto P, en

i que se va a demostrar la' hiperconVergencia ytenga un arco interior al entorno del punto O

en que su supone la hiperconvergencia. Sobre este-arco F' se tiene la acota-ción (4, § 4) :

~ i o g | R ( í , X * ) l < - « < o

y en el resto de la frontera de D:

~ log | R (ï, X*) | < _ a 4 - o

La función armónica en D que toma los valores'—« sobre el arco F' y —o- so-bre el resto de la frontera es menor que — a en todo punto interior, luego esnegativa en P y en un entorno suyo interior a D ; es decir, en dicho entorno severifica :

~ log l R (s, X») \ <-3

con lo que queda demostrada la hiperconvergencia en P.

- ¿3 -

Este teorema se comprueba en los ejemplos del § 5, así como en los teore-mas anteriores.

Si a una integral que posea una sucesión hiperconvergente que verifique lascondiciones del teorema I, le sumamos otra de menor abscisa de convergencia,la integral obtenida posee también una sucesión hiperconvergente. Ocurre pen-sar si así se obtendrán todas las integrales con dicha propiedad de hiperconver-gencia. En las series de Taylor así ocurre, en efecto, según ha demostrado Os-trowski (18, b), pero ya en las series de Dirichlet la propiedad no es cierta, se-gún ha probado Bohr en un ejemplo y han estudiado W. Bernstein y Bourion (30)para ciertos tipos de series.

Plantéase entonces el importante problema de caracterizar clases de funcio-nes œ(A) con las cuales sólo es posible integrales (LS) con hiperconvergencia la-gunar. De este problema damos una solución en el capítulo II.

En los ejemplos a) y b) del § 5 se comprueba la existencia de integrales (LS)que poseen sucesiones hiperconvergentes sin que aparezcan lagunas de longitudrelativa inferiormente acotada en la generatriz a(A).

A continuación damos un teorema en que se'define una 'clase dé integrales(LS) con esta propiedad.

IV. Sea una integral (LS) :

• 00 í

/(j) = J « ~ X í f l f « ( X )

que tiene una sucesión pflrcial I(s, A¡) que converge uniformemente en un entor-no de un punto de la recta de convergencia y, adiemos, es tal qil.e:

.a) Urn; :-————,i- • ; . . V) l im——.— o..í*i

Dicha sucesión I(s, A¡) tiene,la misma propiedad .-en todo otro punto de la rec-ta de convergencia y, por 'tanto, todos los'punios de .estia r,ect,a son-regulares.

Probar la hiperconvergencia de,.la sucesión I(s, A¡) equivale a hacerlo parala serie:

SP( í ,X , - ) = S [ i ( í ,X/} - M*,*/- , )]-

Para todo recinto finito del semiplano ~R(s) ^ o valen las acotaciones (2, §4),y por ser

l P ( í , X í ) l < 2 M á x [ ( I ( f , . jy) " , ' I I ( í ,X,- - , ) |]

(Ml Véanse las citas de la Introducción.

y de la condición a) del teorema resulta :

• -—- log 1 P ( í , / . / ) I < — q + ò

Del mismo modo en todo recinto finito del semiplano R (X) > o vale (3, § 4)

— log | P (i,)./) < — q-fò

Teniendo en cuenta lo establecido en el § 6 y mediante el mismo razonamientoanterior, se deduce que en el entorno del origen se verifica:

— log 1 l'(í . ) . / ) I < o t<o .t.í

Tomando la misma configuración geométrica que en el teorema I de estepárrafo y con idéntico razonamiento, se deduce que en un entorno de cualquierotro punto de la recta de convergencia (ahora no hace falta suponer que sea re-gular) se verifica :

-1- log | l 'Or , ) . , ' ) I < - 3 < ot'f

Queda, pues, todo reducido a probar la convergencia de la serie numérica:

Z'-""í

lo cual es inmediato, pues si suponemos E variable, ésta es una serie de Dirichletcuya abscisa de convergencia en virtud de la condición b) es cero (31).

(") M. Bourion (5, d) ha demostrado un teorema sobre hiperconvergencia estrecha, relativoa las series £a„ un (x) con hipótesis algo diferentes del precedente. De él se deduce un teorema para

:/3

las series de Dirichlet que verifiquen las condiciones ^~" r '"' s63 convergente para o < r /•

para r > i ; y

y-log j ̂ r>-''" !» + i

'.'• + s

para r < i. Añade que para ello es suficiente que lim ——— > o. Esto ùltimo no es ciertolog?/

como se prueba inmediatamente tornando A„ = log n.

- 55 —

Este teorema se comprueba en los ejemplos a) y b) del § 5- Ahora bien; lasucesión (transfinita) del ejemplo a) no cumple la condición b) de este teorema,por ello tendría un gran interés dar una demostración en que no intervinieradicha condición. Si se hace, además de la hipótesis de la convergencia uniforme,la de la convergencia absoluta de la serie S P» (í, AÍ), se puede demostrar, conmétodo análogo, dicho teorema sin la condición b), y en esta forma el teoremasería aplicable al ejemplo a) del § ¡.

Es interesante observar que en el caso de series de Dirichlet, en el teorema•que resulta como corolario del expuesto, la hipótesis b) se refiere a la sucesión

parcial considerada ,es decir, ha de ser lim °K-- = o, lo que, naturalmente,k-+-r. "k

. . . . . .,, ,. loe; nno implica que para la serie se verifique: lim - — = o.

„^w ''"El teorema plantea, además, una serie'de cuestiones de gran interés, al tratar

de ver si son válidas con las condiciones expuestas conclusiones análogas a lasdemostradas por Bernstein (2, h) para las series en que la sucesión \ Xn\ es dedensidad máxima finita (coincidencia de los semiplanos de hiperconvergencia yholomorfía, etc.).

CAPITULO II

LAS CLASES DE SERIES DE DlRICHLET QUE SÓLO ADMITEN HIPERCONVERGENCIA

LAGUNAR.

i. Ya en el § 7 del capítulo anterior se indicó el interés que tendría la ca-racterización de clases de series de Dirichlet en las que sólo sea posible la hiper-convergencia lagunar (lagunas de longitud relativa inferiormente acotada). Lasolución de este problema puede interpretarse también, según se indicó en laIntroducción (§ 4), como una solución parcial del problema general de la ca-racterización de las integrales (LS) que poseen hiperconvergencia, previamenterestringida la clase de funciones generatrices.

La solución de aquel problema (planteado por Ostrowski (18, b) y cuyo in-terés se encarece en trabajos posteriores (2, h, pág. 45), consistirá en imponercondiciones a la sucesión j A n ¡ de exponentes, de modo que se pueda demostrarque toda serie de Dirichlet, cuyos exponentes verifiquen estas condiciones y queposea una sucesión hiperconvergente en el entorno de un punto regular de larecta de convergencia, es suma de otras dos: una de ellas con lagunas de lon-gitud relativa inferiormente acotada., y la otra, con una abscisa de convergen-cia menor.

- 56 -

A estas clases de series de Dirichlet las llamaremos clases (á).2. Damos a continuación un', teorema en .que se define la primera clase (a)

conocida y que, por tanto, constituye una solución del problema propuesto.I. Sea

00 '

./(*) = 2 a».e~v. ['ï

una serie d Dirichlet 'de abscisa de convergencia cero cuya sucesión de ex ponen-tes es tal que

lim -L log I T-f tin — \„ l =« —> co I. n J M

donde y y ß son dos números reíales positivas cualesquïer\a. Supongamos que laserie [i] converge uniformemente ,en un cierto entorno die un punto regular desu recta de convergencia; entonces la-serie- [1] tiente '-estructura lagunar, es decir,es la suma de otras dos-series de Dirichlet de la misma clase, una d-e las cuales/tiene lagunas de 'longitud, relativa'inferiorment.e acotada y la otra tiene -una abs-cisa de convergencia negativa (32).

Comencemos por demostrar que la diferencia

siendo<D(Í)=/M —,p( í ) ,

.(^jr^-a+M,

una serie de Dirichlet cuyos coeficientes son los mismos que los de la serie [i],es una función entera de j.

En efecto :

<D (í) ;=;/ (í) _ . f) '

Si suponemos que:^ es interior a un; círculo: \s < R, se verifica :

'!„

a»(A"Uí -<L ( T + M'):.. < iö / i :....'sl'e~^ <

,x«. r + B * ,

,/../ e~í-i (í\<

„ , bT+ f

< R .a„ I / e^Kä\ <R. -\an | '. | X / _ T _ ß « | e X » R < R . fl | ̂ « R - "* < .

' T + P . . - • ' '

' . < ; R , - \a,n \ e^+^+^"^ -'"*

C2) El método utilizado eri esta demostración íó .fiemos aplicado con fruto a la extensión aestarcíase de Series de Dirichlet de muchas propiedades relativas a las singularidades de las se-ries de Taylor. Su exposición será objeto de otra publicación.

57. -

y como k es arbitrariamente grande, resulta:

log I an\ -MogR-f R (T-}-ß « + £-"*) -nklim : * : : : : , = -

luego la serie que representa a $(s) es absolutamente convergente en el círculoI í j < R ; pero como R es arbitrario, resulta que dicha serie es absolutamenteconvergente en todo el plano s, y, por tanto, <e(s) función entera de s.

Desde luego, así resulta que los dominios de regularidad de f(s) y <p(s) sonidénticos. Probemos ahora que si f(s) es hiperconvergente en el entorno de un:puntó regular" de su recta de'convergencia lo es también- y(s) ; esto es, que si èridicho entorno sé verifica uniformemente para'una cierta sucesión parcial:

/(í)-í^(í) <3 [di

también se verifica en dicho entorno uniformemente :

<?(*) -S^w'^s

Por ser <&(/) entera, dado un número e arbitrariamente pequeño, se verifica uni-formemente en todo dominio'"finito del plano s:

<D«-(.9%(.í)~^(í)) <;,

para valores de k suficientemente grandes, o, lo que es lo mismo :

/M-*(,)-( ÍB^)--ÇA^))

es decir :

/(*>-'„>) ?(*)-£. W

y teniendo en" cuenta [a] se verifica uniformemente en un entorno de un punto-regular de la recta de convergencia :

-'-f 9W-Ç.J*) <

o bien

luego la serie

< ? w - £ „ A w < S -1- 3,

(P(í)=.-SaAí- i (í+BA> í

- 58-

•'es hiperconvergente en el entorno .de un punto .regular de su recta de conver-.gencia.

Pero haciendo el cambio de variable e~ ß j = e~ ^ esta serie se reduce a la

7 , 00

£-..- • • p " . y. ¿s**

:uSi aquí prescindimos de la trascendente enterai- ß' , a la serie TT" a"V'/» -"•<-£lj » f

•Se le puede aplicar el teorema recíproco de Ostrowski (véase Introducción, § 2)por ser sus exponentes enteros, de donde resulta que la serie p(j) tiene estructu-ra lagunar, esto es, sus coeficientes se descomponen en la forma:

, ;!og I a'. |an = a n -f- a n , siendo: lim -— — o,

n —> OO íZ

F- ÍOS I a"„ I , ^hm . = k <^ o« ->- co «

a'n = o, para «. ,•_,<«<«,, .

-> i -M - 6> o.nzi — i

Pero como de la desigualdad [2] se deduce:

p« + 7 _ ( S - " ß « <x„<{i^T + ,-"^

resulta :

por tanto,

lim ÌO-— ñ-»- 00 «

— log !•«'„! log | a J « ,hm _ = lim , » . ]lm == Q . _ __ 0

" -* w X« » ->- oo » » - * » ' • » ' P

Del mismo modo :

»— log|0J — iog\a'\lim .= Hm ~ . lim = k • ß < o •

» —>- CO A/Í „ _>. 50 « » - > 00 Xj«

Resulta, pues, que la serie propuesta

• /w=2xr*-'

— 59 —

tiene también estructura lagunar, con loque queda demostrado nuestro teorema.3. Limitándose a las series cuya sucesión de exponentes tiene una densi-

dad máxima finita (i33), los resultados de Bernstein (2, h) permiten deducir al-gunas observaciones generales sobre este problema. Así, Bernstein ha demos-

trado que en las series de Dirichlet en que la sucesión de exponentes ¡\n¡ tienedensidad máxima finita, la diferencia entre las abscisas de convergencia y holo-morfía es igual al índice de condensación de la sucesión J A n j . Resulta, pues,que si este índice es cero, la serie tiene necesariamente puntos singulares sobrela recta de convergencia y parece muy probable que estas series en que la suce-sión j A„ ¡ tiene densidad máxima finita e índice de condensación nulo, formenuna clase [a] y aún parece que ésta es la clase más amplia. Esto último puedeser cierto si nos limitamos a sucesiones ¡ \n ¡ de densidad máxima finita; peroen general no es así, ya que a continuación definimos una clase [a] de integra-les (LS).

II. S-ea ; X„ \ una sucesión de números reales monotonia infinitamente cre-ciente y que verifica la condición [2] del teorema anterior:

lim J J _ / | T _ | _ ß „ _ ) . „ l l = _oon —f 00 l « J

y designemos por

y c „:_,„ — • lo& K

X„ < ).E (L) = 2 an , siendo Um ' " ' = o

^""^- fi —>- CO \n

Forman una clase, [a] las integrales

. 00

,,/(í)= /*«~Xí ¿v?-)O

tales que a(\) = E(X)—E^A) verifica las siguientes condiciones:

a) Rara |j.„ _ , < X < v„ , d a. (/.) = o, siendo las snc.esiones ]v„ p \i„( taies que

v„ ̂ >.„ < \>.H < VB.+ ,

b) lim _ i__ log | a (>,„) | < + -GOII —>• CO 1,11

C) „ ̂ oo ">T 'Og l œ W l < + °° (P3« VB <). < (t,)

d) .?*, "TT log ! r j ! ̂ -) ~ " ("-) l= ~ M

e) ItaT ^_log(u.„-v„) =u—rea l.» ^ . "'

(33) Véase la introducción (§3) .

6o —

' Vamos a probar que es entera (34) la. función' X - 0 0 . o* J» . ' .- .

•Qls)^^ ane- ï» X— /V>.s ¿/E,(X) = jV^.rfEa)- | fi->-fV E, ().) -1 o' 0 o

SC= ç eT^*dv.Q.)O

Por la hipótesis a) està ùltima integrai se reduce a la serie• • • v« .

d>(i)= V í f e-*-'¿c; (X) l•̂ u i1

' que vamos a demostrar 'és absolutamente convergente en todo recinto finito delplano s.

Se tieneV-„ , V-n ' . .

e~'*** ¿c?(X)'/

«-'•• 'o-fXWX <

< : K) («-"-' - «- M1 + [« (i*,) - » (%)] Ä F 'K Í ' l >

+ h'(^-v) «(X)«--11»-'

Con proceso análogo al del teorema I se demuestra que el primer sumandoda lugar, en virtud de b) y e), a una serie absolutamente convergente en todoel plano, y lo mismo el segundo en virtud.de d), y el tercero por c) -y e).

Ahora ya se completa la demostración del mismo modo que en el teorema I,con lo que resulta que las integrales así definidas forman una clase [a].

Aunque las condiciones del teorema son de apariencia complicada, se com-prueban fácilmente, y así es inmediato ver que el teorema I se reduce a un casoparticular de éste.

Basta, en efecto, observar que las a), b), c) y d) son de verificación inme-diata y la e) se reduce a la condición [2] de dicho teorema.

NOTAS.—I. Si consideramos una sucesión j /xn j tal que

:'l¡m '-- I \\tt- V-«, _». oo \ n M

suponiendo que la sucesión ] \n j verifique las condiciones del teorema I, se de-

(M) Esta misma es la idea 'del teorema recíproco del III de nuestra nota (24, c). Por descuidose enunc ó en esta nota dicho teorema III (que no es cierto con la generalidad que allí se su-pone) en vez del recíproco, que sí es cierto.

muestra con idénticos razonamientos a los del citado teorema, que también cons-tituyen estas series de": JDirichlet una.clase,.{«.].. Esta aparente ¡ generalización dedicho teorema no lo es realmente, pues se verifica inmediatamente que para es-tas sucesiones vale la reacción [2], En efecto, ésta puede ponerse en la forma:

— e-k}"" < -[ -f p n — X„ < e~k~}-

donde k es arbitrariamente grande, y de la [a] se deduce:

e-*iX„<>^_ l l j < < e-*.X„

donde k^ es arbitrariamente grande ; luego sumando estos dos se obtiene :

_ í-X.(*+*.) < 7 + , ß„_ , i / < <e-U(*+*.)

es decir:

lim _ ' - / i T - J _ ß „ _ [ l J = _aon —> OO f1

II. Una condición necesaria sencilla para que se verifique la relación [2]del teorema anterior es que

| X,, — X« - , — ß |< Pn

siendo la serie ^pn absolutamente convergente. En efecto, se tiene :

ß „ _|_ T _ „- « !-.«<>.„< ß « -f T + e- « ?»

? ( « - . ) + i-?~ ("~ l ) '?"- '<X,'--·<B^- l )- |-71 1- í~ ( >"" ) B i '~ '

luego

u-u-.-ßKr^-.+ r^-1^«-'

Pero esta condición no es suficiente. Una sucesión que a pesar de verificaresta condición no verifica la [2] es la

X» = n +í — I

V J

III. Aunque la sucesión I (s,\2í), de una integral (LS), hiperconvergenteen el entorno de un punto regular de la recta de convergencia, verifique la con-dición :

T-2— > | 4- O , O > o ;'-2 i I

— fl2 —

no es suficiente para asegurar que la integral tenga estructura lagunar, es decir,sea la suma de dos integrales, una de las cuales tiene lagunas :

rfz,(X) = o , Xsi - , <X <X2; , tales que '—^—— > | - f -0 , O > o ,f^2Í

y la otra posee una abscisa de convergencia menor.Basta, en efecto, para convencerse, sumar a una integral

CO

f(s)= I «"V daQ.)

que posea una sucesión hiperconvergente lagunar I (s, A») y que tenga un puntosingular sobre la recta de convergencia (35) otra

co

<?(!)= ÍV>^¿p(X)

con la misma abscisa de convergencia y que tenga una , sucesión parcialI (s, A2n) con hiperconvergencia estrecha, y sea tal que X ¡ n = X2n. La integral

co

I e~^s d [a (X) + ß (X)]

tiene la misma abscisa de convergencia que las dadas, ya que no puede tenerlamenor por tener la función f(s) + ip(s) un punto singular sobre la recta de con-vergencia de aquéllas.

Todavía, si a la integral obtenida, le sumamos otra de abscisa de convergen-cia menor, resulta una nueva integral con hiperconvergencia lagunar (36), quemuestra la extraordinaria complicación que puede presentar dicho fenómeno enestas integrales.

IV. -Es interesante observar que las series de la clase [«] estudiada en elteorema I definen funciones f(s), cuyo dominio de existencia es periódico, esdecir, si s0 es un punto de dicho dominio, también lo son todos los puntoss0 ± 2nßrri. La frontera de dicho dominio es, pues, una curva periódica de pe-ríodo 2/3-Trt. Fácil es ver que la condición [2] no es necesaria para que la funciónf(s) tenga la citada propiedad. Basta para ello sumar a la serie dada otra quedefina una función entera, cuyos exponentes } ¡jín\ no verifiquen la condición [2].

f5) La construcción efectiva de estos tipos de integrales se expone en el capítulo siguiente.O Véase el capítulo I.

- ài —

En el capítulo siguiente volvemos a. ocuparnos de esta interesante clase de se-ries que definen funciones, cuyos dominios de existencia son periódicos.

CAPITULO III

LOS DOMINIOS DE HIPERCONVERGENCI^.

i. El teorema II del capítulo I plantea el problema de ver hasta qué pun-to se puede dar arbitrariamente un dominio simplemente conexo D en el plano S-para que sea posible construir una integral (LS) :

00

= I e-^ d..,/(*)= í - > - ' r f * < W

que posea una sucesión parcial

V

I ( í ,X¿ ' )= /VXj¿a(X)

que converja uniformemente en todo recinto finito completamente interior a D_En lo que sigue damos un método que resuelve el problema mediante la ob-

tención de una serie de Dirichlet :"n—- í

V. . P-

de exponentes racionales, cuyos denominadores ßn crecen infinitamente. En estaserie, agrupando ciertos conjuntos de términos, resulta una serie de polinomiosexponenciales que converge uniformemente en todo recinto finito interior al do-minio prefijado.

Vemos, pues, cómo el problema propuesto conduce al estudio de las seriesde polinomios exponenciales :

2P„(e-s)= T U«, e l""s+axle 7"" ' + + <z„ „, e ~knm¿]

donde a„» son números complejos y X„i números reales positivos.Respecto a estas series, solamente hemos encontrado en la bibliografía ma-

temática un teorema debido a Bohr (4, b) relativo a la aproximación uniforme-de una función f(s) cuasiperiódica en una banda a < R(j) < ß. En este capí-

fulo expondremos algunas propiedades de estas series de polinomios que sonnecesarias para la resolución del problema que nos proponemos (*7).

2. Mediante la transformación e~s = z la serie [i] del párrafo anterior to-ma la forma

O GO

£?*(*) = Zfa.^'+a.i^i-... •+«»„>") w¿—¡n = I

en la cual se ve que dichas series pueden considerarse como una generalización•de las series de polinomios enteros, en las cuales los números \ni son enteros.

Si A es entero el dominio de existencia de la función Z = z>- es el plano zliso, y por ello el estudio del-campo de convergencia, de convergencia unifor-me, etc., de las series de polinomios enteros se hace' sobre el plano z liso ; perosi X es real el dominio de existencia de la función Z = z>- es la superficie deRiemann del logaritmo que tiene, según se sabe, un punto de ramificación de or-den oo en el origen.

Por esto, el estudio de las series del tipo [2] lo habremos de hacer sobredicha superficie, que llamaremos L, la cual, si ponemos z = re' queda defini-

da como el conjunto de los puntos z tales que o < r < oo, — oo <C ö <C oo .Cabe, sin embargo, introducir una simplificación mediante la transformación

z = e~s con lo que el estudio de las series [2] se reduce al de las series [i] depolinomios exponenciales que se hace sobre el plano í liso (3S).

3. La cuestión fundamental de esta teoría se refiere a la posibilidad deaproximar uniformemente una función f(s) analítica regular en ;un dominio sim-plemente conexo >(D) del plano s, mediante una serie de polinomios exponencia-les. Su solución viene dada por el .siguiente,teorema :

I. Dada una función í (s) holonwrfa en- un dominio simplemente conexo Dcon dos puntos frontera al menos y que no contenga, el punto del infinito, se pue-de determinar una serie de polinomios'.

]? (aflo e~~>-"°S i-a„ie~l"lS + +a„me~l"mS]

de exponentes \ni irracionales qive converge uniformemente en todo recinto fini-to completamente interior a D hacia f(s).

(") Un estudio más completo de estas series, que tenemos en preparación, será próxima-mente publicado.

(3S) De este modo a cada hoja del plano z : o < R < oo ,2(n — I)TT < o < 2n-!T corres-ponde una banda: ï(n — i) T < | J(j), | < m-v ; — ce, < R(s) < oo •

Si en las series de polinomios enteros se hace en la variable esta transformación, se ve quetodo el estudio se puede hacer en una de dichas bandas, pues todas las demás son equivalentespor ser las funciones periódicas.

- 65 -

Demostración.—Consideremos la sucesión de dominios Bn definidos por lasrelaciones

— n T: < I (s) < n x

— «z<R(í)Oir

Estos dominios, desde un valor de w = n0 en adelante tienen una-parte co-mún con el dominio dado. (Supondremos que n0 — i, pues todo otro caso se re-duce a éste por un cambio de variable.)

La interferencia del dominio simplemente conexo Bt con D se compone deun conjunto numerable de dominios necesariamente conexos. Se DÌ uno deellos. Del mismo modo la interferencia de B2 con D se compone de un con-junto numerable de dominios simplemente conexos, de los cuales elegimos elD2 que contiene a Dj (39), y en general tomaremos Dn + lt de manera que deél forme parte Dn. Esta sucesión de dominios Dn tiende a D, en^el sentido quetodo punto interior a D lo es a estos dominios Dn desde un valor de n en ade-lante, y, por tanto, todo recinto finito completamente interior a D lo es a todoslos dominios Dn desde un valor de n en adelante.

En efecto, dado un dominio finito d completamente interior a D, por serfinito es completamente interior a Bn, para n-~^ N. La interferencia de BN conD se compone de DM y de un conjunto numerable de dominios simplemente co-nexos, a uno de los cuales es completamente interior d, por serlo a BN y a D.Si d es completamente interior a DN lo es también a todo Dn para n > N y lapropiedad está demostrada ; pero si d no es interior a Dn lo es a otro D'n delos dominios de que se compone la interferencia de Bn y D. Como D'n y Dn

forman parte de D, se puede unir un punto de D'n y un punto de Dn medianteun arco de Jordán todo él a distancia finita; luego si tomamos convenientemen-te p > P, dicho arco será totalmente interior al dominio B^o-;) y también alDN-I- p ; por tanto, también formará parte de este dominio el D'n, y, por consi-guiente, d será completamente interior a los dominios D¡¡-+f para p > P.

Mediante la transformación e~s — .jr2" el dominio simplemente conexo Dn delplano s se transforma en un dominio simplemente conexo An del plano z, comoha demostrado Pólya (40).

Además de las hipótesis hechas sobre el dominio D, resulta que los domi-nios An no pueden contener el punto del infinito del plano z. Como la funciónj(s) es holomorfa en D y, por tanto, en Dn, la función /(—2« . h) = if(z) será

(M) En toda esta exposición, cuando digamos simplemente que un dominio D está contenidoen otro D', entendemos que todo punto interior de D es punto interior de D', y cuando digamosestá totalmente contenido entenderemos que también los puntos frontera de D son puntos inte-riores de D'. Además, por recinto entendemos siempre un dominio, más sus puntos de frontera.

( ) Este resultado ha sido obtenido por Pólya en el estudio de las series de potencias la-gunares (20, b).

KEV. ACAD. DB CIENCIAS.—1956

— 6.6 --

holomorfa en A„; luego en virtud de un teorema de Hubert (n) se puede cons-truir una sucesión de polinomios:

p(«)/ . - \ ] > ( * ) ( - • > I>("VsìM {-•> ' ¡ 2 \"ì i ' m VI ' ' • ' '

que converge uniformemente en todo recinto finito A'n totalmente interior a An,hacia if(z) ; es decir, se puede construir una sucesión de polinomios :

» wl1, \e—\ l-—\ í - — \"J.P.H '") , . - - - , P*H '"K ....

que converge uniformemente en todo recinto finito D'D completamente interiora Dn hacia f(s).

Se puede, pues, construir un cuadro de polinomios exponenciales, con las.propiedades indicadas :

p.4^1, p,<'>(r^ pj- ' f r1) , . . . . . . ./ _ i \ l-í\ / _ Í \p ( 2 ) l *) p ( 2 ) l * P <2)l 4

1 i ve / , 1 2 \e ' t ' ""* / '

P w L »l p w L «) p w L Hi l \í / , r2 \Ä / , l »< \c / ,

Vamos a demostrar ahora que se puede construir una sucesión de dominiossimplemente conexos D'n, tales que, i.°, D'n es completamente interior a Dn;2°, Dn es completamente interior a D'n +1, y 3-°, D'n tiende hacia D. ,

Para esto, en el cuadrado BÍ construyamos una red de cuadraditos de lado

—'— y consideremos el conjunto 8a de todos los cuadraditos interiores a DI y

tales que los ocho cuadraditos adyacentes a ellos sean también interiores a Dt.Tomando h suficientemente grande, dicho conjunto existe y está formado poruno o varios dominios simplemente conexos, uno de ellos sea D'j. La red de

lado "¿"TI en el cuadrado B2 determina en él un conjunto de cuadraditos aná-

logo al precedente, que designaremos por 82. Uno de los dominios D'2 de esteconjunto contiene, evidentemente, a D'i, y vamos a ver que dicho dominio D'2conexo con D^ y formado respecto a D2 del mismo modo que D'i respecto a

- ('7

D! verifica las dos condiciones, primero, de ser completamente interior a D2, y.segundo, de contener totalmente a EXj. Lo primero es evidente, y en cuanto alo segundo, basta observar que D'z contiene el dominio D"i determinado por la

red de lado — -^- en DÌ y conexo con D'i ; pues un cuadradito 81 de ~D\ está

formado por cuatro S2 de D"j, luego los cuadraditos S2 que son adyacentes a lafrontera de D^ forman también parte de D"i, pues sus ocho adyacentes soninteriores a DI ; por tanto, D"i está formado por D't con una orla de cuadra-ditos 82.

Tenemos así un método que nos permite pasar del dominio D'n a D'n +1, yesta sucesión de dominios D'n verifican las dos primeras propiedades exigidas.

La tercera condición, esto es, que todo dominio finito completamente inte-rior a D es completamente interior a D'n para n > N, se verifica del mismo modoque lo.hicimos al comienzo de esta demostración para los dominios Dn.

Volvamos ahora al cuadrado de sucesiones de polinomios y elijamos de la

primera sucesión el primer polinomio P,•;>H tal que se verifique en D'a :

/»-r'.'H <

del mismo modo de la segunda tomemos el primer polinomio P,<•>í -il'«, V 4 ' tal que:

(.)/ --\| ,/W-P* \« T|<7

y. en general, de la fila k un polinomio p \e - k í tal que se verifique en D^:

(k) _-i-/(í)-P%\« '*

Vamos a demostrar que la sucesión

( „ / -±\ ( „ / _ '-\l\ \e 2 / - p»2 V 4 ) - •

<T

(*) / --P-A( '

converge uniformemente hacia f(s) en todo dominio finito D* completamente in-terior a D. En efecto, dado un nùmero 8 se puede encontrar un valor K de k

tal que -- < 8 ; además, para k > K' es D7 completamente interior a D^; luego

si ponemos

k > K, = Max (K , K')

— öS —

será en todo punto de D' :

/ì.r) - l'„ (e"7*) <T< Ä -* N l «

La serie de polinomios buscada es, pues,

N̂xT '["..(•• •·)-1·.._.(·":B'-')j

Cuando el dominio D está contenido en una banda —-kir < ] ( s ) < ¿TT, lassucesiones del cuadro que siguen a la de lugar li son evidentemente idénticas aesta y el método conduce a una serie de polinomios exponenciales, cuyos expo-nentes son números racionales en que el máximo denominador es 2h; pero enel caso general los denominadores crecen infinitamente.

4. Los exponentes X,,¡ de la serie de polinomios:

N"L e-^"' + a ,->""•'+ +« ,">••"•' + ....+„ «T'-"']—- I //,, » , »l H m J

no aparecen en general en sucesión monótona. Vamos a ver cómo esto se pue-de lograr, obteniéndose así una serie de Dirichlet, en general, de abscisa de con-vergencia inf ini ta , de la cual, por simple agrupación de términos, resulta unaserie de polinomios exponenciales que converge uniformemente hacia f(s) entodo recinto finito completamente interior al dado.

Aproxímenlos el dominio D,por una sucesión de dominios D\, D'2, ... D'n, ...lo mismo que en el teorema anterior.

En virtud del teorema anterior, aplicado al dominio D',, se puede determi-nar un polinomio exponencial P- / ( (s}. tal que

|/(í) -?,__(*) [•' + '> • _ Pb í/> | < - -¿ + --¿- en D', , (?)

[/('>-p)j-^'-0j+·1'K'+>·'+'>'-p)j < 3C,o,+),+^ -" '3- w

etcétera. La serie de polinomios :

P), (si + e'^+'^Pi^si + e-^+^ + '-i'P^ (j)4-

t iene la propiedad de que una sucesión parcial converge uniformemente en tododominio finito completamente interior a D. En efecto, en D'i se verifica:

I / -PX, ! < * •Como E/2 es completamente interior a B2, resulta | R(s) ( < ¿ir; luego

| ,-*, + -„ | < ,=<*, + •» r

luego de \ß] se deduce que en D'2 se verifica:

!/_]> _„-&. + «) '» [ . - _ ' .\J l.\ 13 I 2

Del mismo modo

/_!>. _ ^-t ' /i + O-'p. _ ..-Oj+'M-f z) |> . ;<;J eie.y >.l /,2 A3 ¡ 2-

En ci caso en que el dominio D contenga todo punto interior a un semipla-no R(.f) > p, puede ocurrir que la serie de Dirichlet obtenida tenga una abscisade convergencia finita. En todo otro caso, la serie tiene, seguramente, abscisade convergencia + co. Por otra parte, tampoco se sabe con este mètodo si eldominio D es precisamente campo de existencia de la función así definida.

En el siguiente teorema se precisan estos extremos.TI.—Dado un dominio simplemente coniexo con dos puntos frontera al menas

y en e! que el punto del infinito 110 .fea inferior, de puíede determinar una serie deDirichlet de exponentes faciotmtes tal, que una sucesión parcial converge uni-formemente en todo \dominio finito completamente interior al dado. Además,diclw dominio, es-el campo total de existencia d,e la función representada 'porla serie, si ésta tiene abscisa de convergencia finita (41).

Construyamos en el teorema anterior la sucesión de dominios D'i, D'2, ...D'n, ... D'n se transforma por medio de e'" = ¿r2" en un dominio simplementeconexo liso .in del plano z. Ahora bien; se sabe por un teorema de Hubert ( i l )que dado un dominio simplemente conexo limitado por una curva simple ce-rrada, se puede construir una sucesión de dominios, cada uno contenido en elanterior, y que tienden al dado. Estos dominios están limitados por lemniscatasde ecuaciones: } P n ( z ) \ — i, donde Pn (z) son polinomios enteros en z de gra-dos m„ ̂ i. Además, es sabido que todo dominio simplemente conexo Dn condos puntos frontera, al menos, y que no contenga el punto del infinito, se puedeaproximar por una sucesión de dominios acotados, limitados por curvas cerra-das simples, para los cuales la afirmación de Hubert es aplicable (11).

(") En el caso en que la abscisa sea + co, parece natural convenir (2, h, paß. 102) quela serie de Dirichlet representa la función analítica definida por la serie de polinomios, con locual las conclusiones dei teorema son válidas en este caso.

'Resulta, pues, que para cada dominio An se puede determinar una sucesión

de polinomios P^ (2) de grados m(^ de modo que las curvas por ellos, deter-

minadas limiten dominios A^*', tales que: a) para todo valor de k está A^, con;-

tenido en A n ; b) A^ está contenido en AÍ*+ '' , y c)^ tiende hacia Á,, en el 'sen-tido ya indicado anteriormente.

Esto es, tenemos así construido un cuadro de dominios:

A'.'>, A« A < * > , -*A,

A « , A« , A < * > , -A

Al 0 ,*« A« ,

De este cuadro podemos extraer una sucesión de dominios cada uno conte-

nido en el anterior y cuyos transformados D„ tiendan a D. Basta, en efecto,

tomar como primer término de la sucesión el D, que eStá contenido en Dt y,

por tanto, en D2; luego los D^ le contienen también desde uno en adelante.

Tomemos como segundo término de la sucesión el D, primero de los D/' que

contiene a D, .Siguiendo este método, tenemos construida una sucesión de dominios/

D(,*'> , D^ , . . . . . . D?«>

cuyos transformados son :

A(*.) ¿(*»> _ _ _ A(*»)i ' 2 » • • • ' K '

Suprimiremos, para abreviar, los segundos subíndices y designaremos estassucesiones: ¡ Dn¡. A n ' . A cada dominio An corresponde un polinomio: P„ (z) cíegrado mn. Sea Fn la frontera de An y 8,, la máxima distancia de O a F„. Sea,además :

Min ... (.-*) = :i» . Máx I p» (») I = v* . »« < ' < v-»D F, _ ,

Determinemos ahora una sucesión de números enteros o„, tales que el primero a}

se elige suficientemente grande para que v/' < — y, en general, an + i , se elige

de modo que se verifiquen las siguientes condiciones :

^ ' -2 "" n mn "n + ¡ - l ^nanmn "«4-1-^ .an + I>2»a„™„ , o„ Cf, < ^„+, , o„ V-nf.^i

Formemos ahora la serie :

,.. n — l / ' s \a„^,-----•"""—P. ir»)n = 2

Los términos de esta serie son, sobre la transformada de cada curva Fn, desde

Tino en addante menores que los correspondientes de la serie numérica 'S, —^- •

Resulta, pues, que la serie es uniformemente convergente en todo dominio fini-to completamente interior al dado D. Además, los valores absolutos de los tér-minos sobre la frontera F del dominio y en todo punto exterior son mayoresque /; luego D es el dominio total de convergencia de la serie formada.

El mayor exponente del término n — simo de la serie es

mnan+a» ^ m*ann — iM fi™» — „ "n - i

y el menor del siguiente:

luego se verifica :

, mnan ^ mna,>»,,-< 1 2„ - 2

»4-11V1 « + I — H - an mr,

M'„ + , ^ «2 > OT

M„ '̂ n -f- i

2 » n

Por tanto, si la serie de Dirichlet formada tiene abscisa de convergencia finita,el campo total de existencia de la función representada por la serie de Dirichletformada es, en virtud del teorema IV del capítulo I, precisamente el dominiodado; esto es, la serie formada demuestra el teorema y resuelve el problemapropuesto.

En el caso en que la serie tuviera una abscisa de convergencia C'= -f- oo,parece natural convenir que representa la función definida por la serie de poli-nomios, y con este convenio son válidas las conclusiones anteriores.

5. El teorema II del párrafo anterior es susceptible de generalización alcaso de que en vez de uno se den n dominios, o más ;general, una infinidad nu-merable de dominios. Para lograr esto, vamos a ver primeramente cómo el me-

todo seguido en la demostración del teorema I es susceptible de generalizaciónalcasoide 'que se den w dominios distintos DI, D2, ... Dn y sendas funciones.

A(J), /»W, - fM-Observemos que, dados dos dominios D, d, exteriores uno a otro, el méto-

do utilizado en .dicho teorema conduce simultáneamente a dos sucesiones de do-minios :

D; , D; , D; , . . . .r f; . 4 • • . <*;•

que tienen la primera respecto a D y a la segunda respecto a d las propiedadesallí indicadas. Los transformados A'n, S'n de EXn, d„ mediante e~s = z son dos do-minios simplemente conexos del plano z para los cuales, en virtud de un teore-ma de Montei (17), se puede construir una sucesión de polinomios enteros en zque converja uniformemente en A'n hacia / ( — z n . l z ) y en S'n hacia cero. Elmismo método utilizado en dicho teorema permite extraer, -de esta sucesión desucesiones de polinomios, una sucesión de polinomios exponenciales de exponen-tes racionales que converge uniformemente en todo dominio finito completa-mente interior a D hacia / (s), y en todo dominio finito interior a d. 'hacia cero.

Si ahora se dan n dominios D1; D2, ... Dn sin puntos comunes y n funciones/i(X), /2 (s), ... fa(s), asociamos a cada dominio D± uno D'à que contenga los res-tantes dominios y formamos, como se acaba de indicar, las n series de polino-mios exponenciales correspondientes. Evidentemente, la suma de estas n seriesdemuestra el siguiente teorema :

III.—Dados n dominios simplemente conexos DI, D2, . „ Dn, qué'no con-tengan el punto del infinito y sin puntos comunes y dadas sendas funcio-nes fi(s), f2(s), ... fn(s), holom.orf.as en ellos,'se puede construir una serle de po-linomios exponenciales de exponentes racionales, tal que, en todo recinto finito-completamente interior a DÌ converja unif\orm,em,ent¡e liada fi(s).

He aquí, ahora, la generalización del teorema II anunciado :

IV.—Dado un conjunio numerable DI, D2, ... Dn, ... de dominios simple-mente conexos, sin puntos comunes, ninguno de los cuales contenga el pun-to del if mito, se puede construir una seroe de Dirichlet que tenga una su-cesión parcial qué ¡converja .uniformemente -en todo recinto finito completamen-te interior -a alguno de tos dominios prefijados, y mo .en Recintos que \<;c extíen-dtín más allá de dichos dominios.

Consideremos dos casos según que entre los dominios DI, D2, ... Dn, ... exis-ta o no uno qije contenga todo punto interior a un semiplano R (s) > h. En elprimer caso, sea Dt dicho dominio y sea S = o de modo que se correspondan los puntos del infinito.Consideremos la función ¿?-°M = /-,(>)'la cual transforma D! en el círculo de in-finitas hojas situado sobre la superficie Is.

A los dominios D2j ... Dn, ... que evidentemente no pueden tener la mismapropiedad que el D±, asociémosles las funciones /2<X), ... /n(f), . - • • que efectúenla representación conforme de dichos dominios sobre el círculo unidad liso.

Ahora designaremos en general (lo mismo para DI que para los restantes

dominios) por A?' el dominio interior a D¡, en que | /,(í) | < i —a , (a < i)r

cuya curva límite L? es : | /»(Y) | = i — a.Consideremos los n primeros dominios :

D, , D, D„así como los

*!" , A*" ¿I* , («.-u) :.

La función ¿. (s) — es sobre L.°* """ " '-s*-2v

í <h W i < iy sobre L > + 3 S " -

I 4y (•>•) I > i

En virtud del teorema anterior se puede construir una serie de polinomios ex-

ponenciales que converge uniformemente hacia ^n(s) en A3" y hacia cero en

A;« , A*- . , . . , - ¿ f_ ; , A^,., ...:. A;«,

es decir, se puede determinar un polinomio: -/~ (e '')' tal que:

j10 («-')(> i +3, enL?+ '5«2

l^t--)!<'-«. enl>+-«

11̂ («-';!<— e"^" (/'*o

Vamos a ver que se pueden sustituir estos polinomios por otros que verifiquenlas mismas condiciones y que además carezcan de término independiente ; esto

es, 777"' (o) = o. Desde luego, para los polinomios TT/"' (Vs) esto es inmediato,pues, puede siempre imponerse para ellos en la construcción anterior la condi-. , ' ' ! ' c2

cion de ser ^ <") (o) [ < -— , por ser la función /±(j) = e-'^^tan pequeña co-

mo se quiera en valor absoluto para valores de R (s) suficientemente grandes.Vamos cómo se transforman los polinomios ir/«) (e~s) (1^1) en otros que

verifican las relaciones [a] y además TT/"' (o) = o.

— 74 —

Sustituyendo w/"' (c's) por una potencia conveniente se obtiene un polino-mio y/"> (c"s) que verifica las relaciones :

2

-„ -r '„7<" ) (« - i ) j> t+ ; „ + ^ S0bre L/

7W («~ *) I + 3 '«/ I n f

^2

7;" )(«~J t)|<— S0bre ¿A" ^**)

ahora bien ; como uno de los recintos en que se verifica esta última relación es

el Aj3", que contiene un cierto semiplano R (j) > k, résulta que | y,» (o) | <-^-

por tanto, sumando al polinomio yW (e~a) una constante de mòdulo menor que

—~- , se obtiene un nuevo polinomio q^n) (ers~) con las propiedades propuestas.

En el segundo caso, es decir, si no existe un dominio entre los dados, quecontenga todo punto interior a un semiplano R (j) > h, realizaremos la cons-

trucción añadiendo a los n primeros dominios A^" , A^" , ..., Aã" uno AÕ", queserá un semiplano R (-$•) > k, contenido .en el R (s) > —hR y que no tenga pun-

tos comunes con A'î" , A~" , ..., A„ . En este segundo caso el dominio Ao".

l·iace el papel que en el primero hacía A f* y la construcción se repite exacta-mente igual, lográndose que los polinomios obtenidos carezcan de término in-dependiente.

Formemos, en el primer caso, el polinomio:

Q.(«-')=¿^)(«-')i=^ i

y en el segundo V

Q.(«-')=¿^(«-')i = o

de lo expuesto resuha que, en todo recinto finito interior a uno de los dominiosDI, los valores absolutos de los polinomios Qn (/"") son desde un valor de n enadelante menores que uno y que en todo entorno de un punto frontera de D sonmayores que uno.

Formemos la serie:

Z [Q. <••">]•

- 75 —

donde suponemos que

«„>«„_ , > . ._ ,» (ß>

siendo A. » _ i. el mayor exponente del polinomio Q „ - ( (e ~ s ). Evidentemente,

si desarrollamos las potencias indicadas en la serie 2Qi'," se obtiene una seriede Dirichlet, de la que, recíprocamente, por una conveniente agrupación de sustérminos se obtiene la serie de polinomios exponenciales, la cual posee las pro-piedades enunciadas en el torema, pues por ser en todo recinto finito completa-mente interior a un D( desde un valor N de w en adelante:

se deduce:

b ( r ' ) •<?<- .

í QS'-*)\",<y-v"y esta serie es convergente en virtud de la condición [/?]. Y por ser en todo en-torno de un punto frontera de un D desde un vapor N de w en adelante:

' Í Q» (<•-*) | >a'> i

resulta :

Ê Q„U-)!"">y/"N N

serie que es divergente. Resulta, pues, que el campo total de convergencia uni-forme de la serie formada es exactamente el conjunto de los dominios prefijados.

Además, si la serie de Dirichlet obtenida tiene abscisa de convergencia fini-ta, es aplicable (lo mismo que en el teorema II del capítulo I, del cual se deduceque el dominio total de existencia de la función definida por dicha serie de Di-richlet es precisamente el dominio Dt.

Valen aquí las mismas observaciones que en los párrafos anteriores : cuandono existe ningún dominio que contenga un semiplano R (Y) > h la serie de Di-richlet formada tiene, seguramente, abscisa de convergencia + oo ; pero en casocontrario nada puede asegurarse en general sobre dicha abscisa de convergencia.

7. El Prof. W. Bernstein nos ha comunicado que el problema tratado enlos párrafos anteriores puede generalizarse en el sentido de ver qué condicionesdebe verificar un coniunto de número" reales positivos 1 A; para que sea posibleconstruir para cada dominio simplemente conexo del plano s, una serie de Dirich-

let. cuyos exponentes sean todos de dicho conjunto \\( y tal que sus dominios

de existencia y de hiperconvergencia coincidan con el dado. (Para abreviar lla-maremos a este problema, en lo que sigue, problema D.)

En particular, sería interesante saber si se pueden construir sucesiones } \H \con las cuales fuera posible resolver dicho problema para todo dominio.

Además, ¿se pueden imponer nuevas condiciones al conjunto ¡A si en vezde suponer dominios generales se consideran sólo dominios de tipo especial (pe-riódicos (42), cuasi-periódicos, etc.)?

Planteado el problema en esta forma general parece sólo posible (43), en elestado actual de la teoría, dar condiciones necesarias y condiciones suficientespara los conjuntos j/W Desde luego, es fácil ver que una condición necesaria,

pero no suficiente, es que la suaesión | A. \ tenga densidad máxima infinita (44).

En efecto, si la densidad de la sucesión j V j es finita, toda sucesión parcialtiene esta misma propiedad y cualquier serie de Dirichlet en que la sucesiónde exponentes tenga dicha propiedad tiene, según es sabido por un teorema deW. Bernstein (2, a), infinitos .puntos singulares sobre la recta de holomorfía.Basta, pues, dar un dominio de,holomorfía que no tenga esta propiedad (porejemplo, en que la recta de holomorfía sea una asíntota de la curva que limitael dominio), para, que no sea posible resolver .el problema para tal dominio conla dicha sucesión.

Además, la condición de que ¡a densidad de la sucesión ) X,, | sea infinitano es suficiente, pues existen sucesiones ' X,, ,' de densidad máxima infinita (45)que poseen la propiedad de que el dominio de existencia de toda serie que po-sea una tal sucesión de exponentes o un semiplano o el plano entero .(salvo elpunto oo). Basta, pues, dar un dominio que no sea precisamente un semiplanopara que no sea posible resolver el problema V con dicha sucesión.

Recordemos el siguiente teorema de W. Bernstein.Dada una serie de Dirichlet:

/w = 2 a« e~^'("). Decimos que un dominio es periódico de período i k si al ser s0 un punto interior lo

son también todos los puntos sa -j- ink. Es inmediato establecer que la frontera de un dominioperiódico es un continuo periódico. Análogamente se definen los dominios cuasiperíódicos.

C") La solución general de este problema implica, evidentemente, la del problema de la ca-racterización de las series de Dirichlet, cuyos campos de hiperconvergencia y holomorfía coinci-den. Ahora bien, de este problema no se conoce más que una condición suficiente, la del teore-ma III (cap. I), y parece estarse bastante distante de su solución completa, pues aun pasando alas series de potencias, la solución del problema de la caracterización de las series de Taylor,cuyos dominios de existencia y de hiperconvergencia coinciden, llevaría implícita la solución delproblema la caracterización de las series de potencias, cuyos dominios de convergencia (el circulo)y existencia coinciden, esto es, de las series en que la circunferencia es cortadura esencial, problemano resuelto.

Se ve que la solución de aquel problema, aun en las series de potencias, lleva implícito el es-tudio de una serie de cuestiones, cuya solución no parece fácil lograr.

("j Véase en la introducción la definición de densidad.(45) Véase W. Bernstein (2, h, p. 177).

— 77 —

de abscisa de convergencia finita, se puede hacer corresponder a la sucesión deexponentes j \K \ una sucesión de números positivos \ z„ [, tales que cada serie

g&^a,.-*-

cuyos exponentes verifiquen desde un valor, de w en adelante las condiciones| ¡ín — A.» | <; £n representa una función g (s) que difiere de / (s) en una funciónentera.

De este teorema resulta como consecuencia inmediata una condición suficien-te para el conjunto } A j . Si el conjunto } A (es cualquier conjunto denso en todoel intervalo (k, + oo) de la señe de exponentes racionales:

/w=2 f l; « - > - ' •(supuesta con abscisa de convergencia finita), obtenida en cada uno de los teto-rentäs I, II, III y IV, se obtiene inmediatamente, mediante el teorema de Berns-tein citado, otra ~cuyos exponentes ] XM \ figuran en el conjunto JA j , ya que poreste denso, por pequeños que sean los números en que correspondan a los /*„,siempre existen números AB del conjunto j A ¡ que verifican las condiciones:

K-~M<£»Resulta así una generalización de los teoremas I, II, III y IV que el lector

puede enunciar fácilmente.8. En el caso de dominios de tipo especial, pueden precisarse más los re-

sultados del párrafo anterior.Desde luego, el caso de dominios de período i k cualquiera, se reduce inme-

diatamente al de dominios de período 2 ir i, mediante el sencillo cambio de va-

riable S = í — •. 2JT

Toda serie de Dirichlet f (s) = Sone-í-»1 en que los números |X„ ( son en-teros, representa una función f (s) periódica y, por tanto, si verifica el teore-ma III del capítulo I, sus dominios de existencia e hiperconvergencia coincideny son necesariamente periódicos, y en virtud de un teorema de Ostrowski (46)(i8,e) se puede resolver el problema para todo dominio periódico con la suce-sión | A» = « '.

En el § 2 del capítulo II demostrarnos que si los exponentes de una serie deDirichlet verifican la condición :

lira1—*• 00

[•^'|T + P»-M]=-<

(*) Es análogo al teorema II de este capítulo para series de potencias.

la série difiere de la

*( f)=y« - ( ' t i ;" ) je

en una función entera. La nueva función no será en general periódica, pero sudominio de existencia e hiperconvergencia, por coincidir con los de la

V"1 -('[ + ? ») s•j. (.c) =2^ an e

son, necesariamente, periódicos, e:> decir, una condición suficiente para que sepueda resolver con una, sucesión , \n [ e l problema (D) para iodo dominio perió-dico es que :

lim -L / j -, -f- fi « }.„ i U= - =o« -» 50 | « J

Desde luego, existen series ^*1«,, # ' "' en que los exponentes X„ no verifican

la condición anterior y poseen dominios de existencia e hiperconvergencia coin-cidentes y periódicos. (Basta, en efecto, sumar a una serie del tipo anterior otracuyo campo de convergencia contenga el dominio de existencia de aquélla, enparticular una serie entera.)

Pero es evidente que esto no es bastante para probar que la condición [a]no sea necesaria para que con la sucesión An

r ¡ se pxieda resolver el problema(D) para todo dominio periódico.

Para determinar este capítulo, vamos a demostrar un teorema que da un mé-todo sencillo que permite construir ejemplos de series de DiricKlet con una su-cesión parcial hiperconvergente.

Teorema.—Sea :

1> (s) = a¡ e~ '•"* + a2 e~ k-s + .. ..+ ak e~ >-* *

donde \n, X2, ..., Xn son números reales tales que:

o < Xj 0.3 < .. .. < \k ; (k^ 2)y sea f (z) = Sb¡zni una serie de potencias de radio R (o < R < oo) y tal que:

n;l¡-n¡.'_Ilk>(l>o ; f i)

la serie de Dirichlet que se ob tien'e desarrollfmdo las poíencias indicabas en laserie :

3Q

f[P(s>}=2 */[p (')]"'' =V - A. <> a. e J—~ ''

j

79 —

tiene abscisa de convergencia finita y 'posee una sucesión hip er convergent e que-es precisamente la:

m

F„(*)=>>.-[P<f)f [3]

Además, el campo de convergencia de esta'serie de polinomios exponenciales es-precisamente el dominio de holomorfía de la serie [i],

La serie de Dirichlet [2] verifica la condición de Pólya:

•V-*;_,>?

pues para los términos que proceden de un mismo polinomio [P (J)]B* se verifi-ca evidentemente :

'V-A > _ I >Mi«[X»-X, ._ I ] ( . = j ) j ( A )

y para los que proceden de dos polinomios consecutivos :

[P (,)]"'- , [pWf

se tiene, en virtud de f i ] :

V- V , > n. X, -»,._, XA > 0 > o _

Para R (s) = a > o es :

k • k,

iPWl<;2 | a · · | '~ x ' 0 < r X ' 3 -£ l < l · · | <Aí~x '°

luego la serie de polinomios [3] converge, seguramente, en el dominio de con-vergencia de la serie:

V \h.\ A*'T*"i°

/A'· ßesto' es, en el semiplano a > <r0 = ^— , suponiendo que <ra > o. Si (7„'< o

*-ila serie converge, seguramente, en el smiplano a > o. Por verificar la sucesiónde «xponentes A> la condición de Pólya resulta (20, c) que la serie [2] conver-ge seguramente en este semiplano. Más aún, el semiplano de convergencia dedicha serie es precisamente el de la abscisa menor entre todos los que están

— So —

•contenidos en el dominio de holomorfia de la función definida por dicha serie.Ahora bien ; por ser :

r x, e i»i - «,-_, > «,-_, y-+-5-7;— ~ ' h" *1. '»l *•! w,- _ ! J

la serie .S&iZ"1 tiene la circunferencia de convergencia como cortadura esen-/

ciai (teorema de Hadamard-Fabry), luego el campo de holomorfia de la fun-ción definida por la serie [2] es precisamente el conjunto1 de los puntos í, ta-les que :

l P (í) I < R

Para ver que este campo es un dominio de hiperconvergencia, bastará probar•que no puede coincidir con un semiplano R (s) > o. Vamos, pues, a demostrarque entre las curvas :

I P (í) = a,e >J' + «se ^ + + ake -x*< = R

no hay ninguna recta R (s) = cte, si k ̂ 2, es decir, que si R (s) = cte no pue-dé ser | P (s) | = cte.

Si ponemos

resulta :

I P W VA=l

-U 3 ' '(V-UO - y1 pT0-*0— / . i / , e_-

A

+

= Z p/.p;e -'̂ + V> 3 cos [(^ - x*) ' +• *i - ^]

Para un valor o- = a0 el primer sumando es una constante y todo queda re-ducido a probar que para que se verifique:

Zw-to+wh,

' COS [(>y — 1^} t + <?j — ?A] - cte

es necesario que \i = X2 = ... = X^, es decir, que & = ï, contra la hipótesis de-que k ̂ 2.

Vamos, en efecto, a demostrar que la suma :

^ ¿vcos(avt+ ?,,ïV = i

— Si-

no puede ser constante más que si <*•> = o para todo valor de v.Si desarrollamos el coseno indicado obtenemos:

"̂ Av tcos Pv cos av t — sen ßv sen nv *]V=i

y poniendo:

z 'A vcOS¡í v - Av sen pv i Av cos ßv-f- Av sen ß„•~TT =c'' ' ~ n ~ " vff _ ...

Í7 ,

queda la suma anterior en la forma (47) :

¿U^v + ̂ r'·v') , wV = I

•es decir, tenemos una expresión del tipo:

2 M

2B^V11-1

Condición necesaria para que se pueda verificar:

^ B,, ̂ = ote

•es que sea nulo el wronskiano de las 2 n' funciones e* ̂ , pero éste es un deter-minante de Vandermonde y resulta, como condición necesaria para su anulación,que una de las diferencias rp — rq = o, esto es, o se verifica, p. e. : i«! = — iajy, por tanto, «1=0, o bien ¿ «! = ± i o2. En todo caso la suma [«] queda conn' — i sumandos, e iterando el razonamiento se llega, por tanto, a la condición :

Oj = 02 = — 0-„ = O

o lo que es lo mismo:

Xj = \2 ^1^ • . - X-^

como queríamos demostrar.

(*') Esta suma tiene «' sumandos (n' ̂ n), pues puede ocurrir que varios sumandos de la

suma ^ AV cos (av / -f- ßv) se agrupen en uno solo de la nueva. Esto ocurre en dos sumandos:

Av cos Ov t -f ßv ) , _ A^ cos (etj! í + ßj! ) si es: ccy — cy

REV. ACAD. DE CIENCIAS.—1936 6

Notas. I. A todos los resultados contenidos en este capítulo se les puededar una nueva forma mediante la transformación

Se obtienen así, de las series de Dirichlet, las llamadas series de potencianirregulares por Sdhnee (24) y, de las series de polinomios exponenciales, las quepodemos llamar series de polinomios irregulares. El estudio, en lugar de hacer-se sobre el plano ,? liso, se hace sobre la superficie de Riemann L de / z y los nue-vos resultados son una traducción de los antes obtenidos.

II. Algunas propiedades de las series de Dirichlet pueden generalizarse alas series del tipo:

V -X»¿W/ . < * _ «

donde g (s) es una función entera de í cualquiera.Para estas series se plantea de nuevo el problema (D) que tiene una solución

análoga a la expuesta para las series de Dirichlet.' Del mismo modo algunosde los resultados sobre hiperconvergencia y singularidades establecidos en estaMemoria pueden generalizarse a dichas series, así como a las integrales en e!sentido de Stieltjes:

•>

/ í - X - r W r f a p i )

en que g (s~) es una función entera o más general a las integrales

(co

g (X , í ) ¿a (X)

donde g (A, s) es una función entera de j para cada A tal que o <! A < co, ycontinua respecto a A.

CAPITULO IV

SOBRE LA CARACTERIZACIÓN DEL DOMINIO DE HIPERCONVERGENCIA.

i. En el capítulo anterior demostramos que el dominio de hiperconvergen-cia de una sucesión parcial de una integral (LS) es completamente arbitrario,salvo ciertas restricciones naturales. Pero para obtener integrales que tuvieran

oá —

dicha propiedad había que construirlas de modo que presentasen lagunas delongitud relativa infinitamente creciente.

Plantéase entonces la cuestión de si tendrán la misma propiedad otras suce-siones (infinitas o transfinitas) en que las lagunas no verifiquen dicha condición,cuestión que es un caso particular del problema general de la caracterizacióndel dominio de convergencia uniforme de una sucesión parcial de una inte-gral (LS).

El estudio de dicho problema conduce, por generalización natural, a la con-sideración de procesos de convergencia uniforme del tipo (*8)

lim f(t*, s)t—> ¿a

donde / (t*,s) es una función holomorfa de j para los valores de un cierto con-junto ordenado que recorre t. Este estudio comprende como caso particular (sise supone que í recorre los valores naturales i, 2, ...) los resultados conocidospara sucesiones de funciones: /i(.f), fz(s), • • - , /nOO, ••• y muchos de estos teo-remas de Weierstrass, Stieltjes, Vitali, etc., se generalizan fácilmente. Tambiénquedarían incluidos los teoremas análogos a estos y relativos a sucesiones trans-finitas. De pauta para dicha generalización que, por otra parte, no tiene ningunadificultad, pueden servir las demostraciones de Dienes (6) para las generaliza-ciones de los teoremas de Bolzano, Cauchy, etc., a las sucesiones transfinitas.

Únicamente enunciaremos en esta forma más general un teorema de Os,-trowski cuya demostración no expondremos por ser análoga a la del primitivo.

De este teorema y de las acotaciones que establecimos en el capítulo I (§ 4),deduciremos la solución general del problema indicado (49), obteniendo un re-sultado que relaciona el fenómeno de la hiperconvergencia de una sucesión par-cial de una integral (LS) con la posición de los ceros de las integrales parcialesde dicha sucesión.

2. Siguiendo a Ostrowski diremos que Du [/(<*, s)] (o abreviadamente Du)es dominio completo de convergencia uniforme de la familia de funciones analí-ticas / (f*, s) si en cada recinto 'totalmente interior a D las funciones / (í*, s) sonuniformes, regulares y convergen uniformemente, y además es D„ tal que siun punto pertenece a él, existe un recinto totalmente interior a Du que contienea dicho punto.

Designaremos abreviadamente por C el conjunto de los ceros de / (í*, s) para

("") El caso aparentemente más general de que se trate de lim /(í, s) se reduce al ante-t.

rior poniendo T — /t tr,

O Asimismo se podrían obtener de dicho teorema consecuencias de interés en «1 estúdio deotros procesos de convergencia uniforme; p. e.: las transformaciones de Euler, los procesos es-tablecidos por Rey Pastor (ïï, b) para engendrar funciones semianaliticas, etc.

- 84 -

los distintos valores de /* y C' a su conjunto derivado y C" el derivado de éste.El teorema a que nos referimos se enuncia así :Sea M un punto frontera de D '(en cuyo dominio se supone f (s) = =o) y su-

pongamos que existe un círculo K de centro M en el qtie todas las funciones sonregulares y \ f (t*, s) | < M (t), entonces:

I. Si para cada 9 > o es

[ni if , X'i]° I !ogM(/*) I -»o

cs M punto singular de ï (s) o punto de C".II (50). Si para cada d > o cs:

[m (/*, ¿)]° | lo« M (/') ; -* o , [m (/*, «1° | log M (/**) | -» o

c s M punto de C".III. Si para cada 6 > o cs

w(/",X-) f ) M (/*)-> o

cs M punto singular de -f (s).Demostremos ahora la posibilidad de aplicar este resultado a las integra-

les (LS). Para ello basta hallar los valores de M (t*) y m (t*, k) y ver que verifi-can las desigualdades del teorema. Consideraremos una integral (LS) de absci-sa cero y tomaremos como punto M el origen, como círculo K el que tiene dicho

centro y radio uno, y como recinto R el círculo' \ s— i | ^— •

De la acotación [2] establecida en el capítulo I (§ 4), por ser en el círculo K:R(j) > — i , resulta: .„.

M(X*)<A« ( l + s U"<Aí2 )- '

}' análogamente por ser R (s) ̂ - en el recinto R, se obtiene de la acotación [4]

del párrafo citado:

-V ÎT-») -X*-m (>.*,*)< A, e ' < A, í +

De aquí se deduce:

[m (,).* , ¿ ] - | log M (X') I < C

con lo que resulta como corolario del teorema general antes enunciado (caso II),el siguiente teorema que nos habíamos propuesto:

I. Cada punto frontera M del dominio completo de convergencia uni/erme

f0) En este caso II se suppone que el conjunto ordenado <* es tal que cada elemento i* tieneun siguiente que designamos por t**. En lo que sigue la palabra sucesión tiene esta acepción.

- Ss -

relativo a ima sucesión parcial I (X*, s), es o un punto singular de f (s) o unpunto de C" [I(X*,s)]. De aquí resulta como consecuencia inmediata:

II. La condición necesaria y suficiente para qtiv una sucesión parcial I (À.*, s)de mia integral converja uniformemente en un entorno de un punto negular dela recta de convergencia es que no pertenezca al conjunto C" [I(X*, s)] (51).

Si consideramos la función I (X, s) para los valores de A de 'una sucesiónparcial X* y suponemos que

log X** = o O,*) ,tendremos :

-«v-;[;« (X* , ¿)]° | log M (X*) l < C e . X* -» o

-o/.-f >.•(•[;« (X* , ¿)] | log M ().*•) | < C e X ' * <. C e

puesto que ô es arbitrario, fijado O, se puede elegir e de modo que e — < o.

Entonces tenemos para las integrales el siguiente teorema, del que es caso par-ticular uno demostrado por Szegö (26) para las series de potencias :

Cada punto frontera del dominio completo de convergencia uniforme de unasucesión parcial I (s, X*) de una integral (LS) y en particular cada punto d'ela recta de convergencia si dicho dominio coincide con el semiplano de conver-gencia, es un punto de C" siempre que: log X** = o (X*).

Si suponemos que la integral tiene lagunas, obtenemos nuevamente comoconsecuencia el caso (III) del teorema general el teorema II del § 7 del capítulo I.

En efecto, por ser :

—) O •-'- _ r )•*' .>«().= ,-,/f)6 M (>.„•)< C í ' 2 I * - C'/'2''"1 =CC'e~ *~ r Z / ' 2 ' ~ ' - > o

resulta (caso III) que todos los puntos frontera del dominio completo de con-vergencia uniforme son los singulares. Que el dominio es simplemente conexo,ya quedó demostrado como consecuencia del teorema de Weierstrass.

Madrid, marzo de 1935.

(") Tiene interés comparar este resultado con el del § 6 del cap. I.

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Problemas de h i p e r c o n v e r g e n c i a · Luego también converge en él la serie de...

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