TRACCION CON DEFORMACIÓN TÉRMICA

En el espejo del auto, cuyo espesor es una sección circular variable a

lo largo del sujetador, calculamos los esfuerzos en cada elemento

finito y la reacción en el apoyo. Para realizar lo podemos dividir en 7

elementos finitos, EL material y peso están en el anexo.

1. MODELADO DEL

CUERPO REAL

Se tendrá en cuenta

que al momento de

aplicar el M.E.F sólo se

hará a la parte del

cuerpo en sí mas no

de la placa de la base.

Se hace su

dimensionado y su

posterior división para

aplicar el método

citado

1

Para fines de cálculo lo dividimos a elementos como se muestra

Para hallar cada uno de los radios con los que se trabajará se

dividirá la primera parte en 3 elementos finitos de altura 20 mm

cada uno y se verá que tiene la forma de un tronco de cono; luego

para su discretización se trabajará como un cilindro manteniendo

el volumen de cada tronco de cono igual a un volumen de cilindro

con la finalidad de hallar el radio.

Engeneral cuandounoquieremodelar un troncode conoauna forma

cilindrica ,deberá hacer el cambiorespectivo

πxhx (R2+r2+Rxr )3

=πx (R ´ )2 xh

Donde R ´=radio del cilindromodelado .

1er tramo:

Reemplazando :πx 20 x(452+(125

3 )2

+45 x ( 1253 ))

3=πx (R´ )2 x 20

Donde: R´ = 43.344 mm

Así podemos calcular los demás radios:

R´ = 40.01157 mm

R´ = 36.67929 mm

2do tramo:

Reemplazando :πx 5 x (352+(31.25 )2+35 x (31.25 ) )

3=πx (R ´ )2 x5

Donde: R´ = 33.14268 mm

Así podemos calcular los demás radios:

R´ = 29.39494 mm

R´ = 25.6478 mm

R´ = 21.9017 mm

Por último mostramos la discretización en forma de cilindros,

facilitando la aplicación del M.E.F. para nuestro problema.

2

Considerar:

PA = 10N

t (espesor) = Circular variable a lo largo del sujetador

E = 1.19x103 N/mm2

Y = 0.9g/cm3 = 0.9x 9.81 x10-6 N/mm3

=8.829x10-6N/mm3

∆T (Cambio de Temperatura) =85ºC

α = 11*10-6 ºC-1

Cuadro de conectividad:

E

NODOS GDL le

(mm)

Ae

(mm2)(1) (2) 1 2

1 1 2 1 2 20 5902.117

2 2 3 2 3 20 5029.457

3 3 4 3 4 20 4226.605

4 4 5 4 5 5 3450.842

5 5 6 5 6 5 2714.532

6 6 7 6 7 5 2066.57

7 7 8 7 8 5 1506.973

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector

Desplazamiento)

3

A través

del

grafico

se

muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento será:

Q∫¿ =¿ [0 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3¿ ] [Q4 ¿ ] [Q5¿ ] [Q6 ¿ ] [ Q7¿ ] ¿

¿¿¿¿

Donde Q1= 0 El objeto que sostiene al espejo esta empotrada y los

demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser

calculadas.

4

3. VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

Se hallará la carga existente en cada elemento finito.

5

F11 =

y ( Axl )12

+R1 −(E∗α∗A 1∗ΔT )= R1 −40615 ,42N

F21 =

y ( Axl )12

+(E∗α∗A 1∗ΔT )= 40596 ,46 N

F22 =

y (Axl )22

−(E∗α∗A2∗ΔT )=−34593 ,167 N

F32 =

y (Axl )22

+P+(E∗α∗A2∗ΔT )=34604 ,055 N

F33 =

y (Axl )32

−(E∗α∗A 3∗ΔT )=−29071,0613 N

F43 =

y ( Axl )32

+(E∗α∗A 3∗ΔT )=29071,80767 N

F44 =

y ( Axl )42

−(E∗α∗A 4∗ΔT )=−23735 ,505 N

F54 =

y ( Axl )42

+(E∗α∗A 4∗ΔT )=23735 ,6576 N

F55 =

y (Axl )52

−(E∗α∗A5∗ΔT )=−18671 ,034 N

F65 =

y (Axl )52

+(E∗α∗A5∗ΔT )= 18671 ,1539N

F66 =

y (Axl )62

−(E∗α∗A6∗ΔT )=−14214 ,236 N

F76 =

y (Axl )62

+(E∗α∗A 6∗ΔT )=14214 ,3273 N

F77 =

y (Axl )72

−(E∗α∗A 7∗ΔT )=−10365 ,2284 N

F87 =

y (Axl )72

+(E∗α∗A7∗ΔT )= 10365 ,294 N

6

Análisis de las cargas a nivel de cada elemento finito:

F1 = F11 = R1−40615 ,42 N

F2 = F21 + F2

2 = 6003 ,293 N

F3 = F32 + F3

3 =5532 ,9937 N

F4 = F43 + F4

4 = 5336 ,302678 N

F5 = F54 + F5

5 =5064 ,6236 N

F6 = F65 + F6

6 =4456 ,9179 N

F7 = F76 + F7

7 = 3849 ,0989 N

F8 = F87 = 10365 ,294 N

Ahora en su forma matricial lo tendremos:

F1 = ¿ [F 1¿ ] [F 2¿ ] [ F3 ¿ ] [F 4 ¿ ] [F 5¿ ] [ F6 ¿ ] [F 7 ¿ ]¿¿

¿

7

4.- MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que

esta determinada por la siguiente ecuación:

Ksr=( EAl )e [ 1 −1−1 1 ].

K

i∫¿= (AEl )1 [1 −1 0 0 0 0 0 0

−1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

]¿

+ ( AEl )2 [

0 0 0 0 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 0 00 −1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

]+ ( AEl )

3 [0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 1 −1 0 0 0 00 0 −1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

]

+ ( AEl )4 [

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 −1 0 0 00 0 0 −1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

]+ ( AEl )

5 [0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 −1 0 00 0 0 0 −1 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

]+ ( AEl )6 [

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 −1 00 0 0 0 0 −1 1 00 0 0 0 0 0 0 0

]+ ( AEl )

7 [0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1 1

]

8

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de

Conectividad obtenemos:

Finalmente:

K

i∫¿= 103

x [351. 175 −351 .175 0 0 0 0 0 0−351 .175 650. 427 −299 .252 0 0 0 0 0

0 −299 .252 551. 004 −251 .842 0 0 0 00 0 −251 .842 1072. 782 −821 .3 0 0 00 0 0 −821 .3 1467. 358 −646. 058 0 00 0 0 0 −646 .058 1137 . 901 −491. 843 00 0 0 0 0 −491. 843 850.502 −358 .6590 0 0 0 0 0 −358. 659 358. 659

] Nmm

¿

5.- ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigidez esta determinada por la siguiente ecuación:

F i = Ki∫ Q∫¿

¿

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

Por propiedades de matrices

9

[R1−40615. 426003 .2935532 .99375336 .3025064 .62364456 .91793849 .098910365 .294

] = 103 x [351 .175 −351. 175 0 0 0 0 0 0−351 .175 650 . 427 −299 . 522 0 0 0 0 0

0 −299. 252 551 .004 −251. 842 0 0 0 00 0 −251 . 842 1072.782 −821.3 0 0 00 0 0 −821. 3 1467 . 358 −646. 058 0 00 0 0 0 −646 . 058 1137 .901 −491 .843 00 0 0 0 0 −491. 843 850 . 502 −358 .6590 0 0 0 0 0 −358 .659 358. 659

] [0Q 2Q 3Q 4Q 5Q 6Q7Q8

]

¿ [6003 .293 ¿ ] [5532.9937 ¿ ] [ 5336. 3026 ¿ ] [5064 .6236 ¿ ] [ 4456 . 9179 ¿ ] [ 3849 . 0989 ¿ ]¿¿

¿= 103 x [650. 427 −299 . 252 0 0 0 0 0−299 .252 551 . 004 −251 .842 0 0 0 0

0 −251 . 842 1072. 782 −821. 3 0 0 00 0 −821 .3 1467 .358 −646 .058 0 00 0 0 −646. 058 1137 . 901 −491 . 843 00 0 0 0 −491 .843 850. 502 −358 .6590 0 0 0 0 −358 .659 358 .659

] ¿ [Q 2¿ ] [Q3 ¿ ] [Q 4 ¿ ] [Q 5 ¿ ] [Q 6 ¿ ] [Q 7 ¿ ] ¿¿

¿

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la

siguiente submatriz:

Resolviendo obtenemos:

[ R1−40615. 42 ] = 103 x [ 351 .175 −351. 175 0 0 0 0 0 0 ]¿¿R1=−33 .771625 N

Haciendo un análisis de la reacción, tendremos que:

R1+ P + W = 0

Donde: R1: Reacción

P: Carga aplicada

W: peso del sujetador

W= Peso del sujetador: V*Y

Remplazando:

W= 8.829*10^ (-6)*2.6917*10^6 = 23.7651N

P= 10N

10

Q2 = 0 .115695 mmQ3 =0 . 2314041 mmQ4 =0 .347339 mm

Q5 =0 . 376239 mmQ6 =0 . 405139 mmQ7 =0 . 43404 mmQ8 =0 . 46294025 mm

Luego: W+P-R1=33.7651-33.771625 = -0.006525

Como se puede ver, el equilibrio tiende a 0; no es exacto debido a la

toma de decimales para el cálculo de las matrices.

6.- ESFUERZOS TERMOMECÁNICOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos

la siguiente ecuación:

σ e =( El )e

[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿

¿

Y obtenemos lo siguiente:

σ 1 = ( 1. 19 x 103

20 )1

[−1 1 ] ¿ [ 0 ¿ ]¿¿

¿

σ 2 = ( 1. 19 x 103

20 )2

[−1 1 ] ¿ [ 0 . 115695 ¿ ] ¿¿

¿

σ 3 = ( 1 .19 x 103

20 )3

[−1 1 ] ¿ [0 . 2314041¿ ]¿¿

¿

σ 4 = (1 .19 x 103¿5 ¿¿

¿)4

[−1 1 ] ¿ [ 0 .347339 ¿ ]¿¿

¿

σ 5 = ( 1 .19 x 103

5 )3

[−1 1 ] ¿ [0 . 376239 ¿ ]¿¿

¿

σ 6 = ( 1 .19 x 103

5 )6

[−1 1 ] ¿ [ 0 . 405139 ¿ ]¿¿

¿

σ 7 = ( 1 .19 x 103

5 )7

[−1 1 ] ¿ [0 .43404012 ¿ ] ¿¿

¿

11

7.- RESULTADOS

GENERALES

Finalmente, los resultados son

mostrados en la siguiente tabla:

12

R1 =−33 .771625 N

σ 1 = 0 .0056525N

mm2

σ2 = 0 .0649145N

mm2

σ3 =0. 01992655N

mm2

σ 4 =0 . 0010132N

mm2

σ5 =0 .00082354N

mm2

σ 6 =0 . 00026656N

mm2

σ7 =0.000030942N

mm2

8.- DEMOSTRACIONES:

Matriz de rigidez

En el modelo el 1er teorema de Casstigliano

Fi=∂π∂Qi

Q: Desplazamiento

La matriz de rigidez se define como

Kij= ∂Fi∂Qj

= ∂2π∂Qi .∂Qi

La variación de carga Fi en cierto grado de libertad por la variación unitaria de un

deslazamiento Qj en otro grado de libertad

De la ecuación anterior se tiene

dFi= ∂2π∂Qi . ∂Qi

. dQj

En un elemento finito .numéricamente

13

10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Esfuerzo Termomecánico vs Longitud del sujetador

Esfuerzo termomecánico vs Longitud del sujetador

Longitud del sujetador (mm)

Esfu

erzo

term

omec

ánico

(N/m

m2)

FSe=( ∂2πe

∂qs .∂qr. dQr)

Ahora aplicando la sumatoria de todos los elementos

∑ Fe s =(∑ ∂2π e

∂qs .∂qr.dQr)

Se puede escribir

Fi=∑e=1

e

Ksr .Qj

Finalmente queda

F i=K ij∗QJ

Ecuación de rigidez en el modelo; siendo:

K iJ=∑e=1

e

K SRe

Uniendo luegomediantela concetividad dematricesde rigidez locales .

MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES

Ksr= ∂2π e

∂qs .∂qr.

kSr=[ ∂2πe

∂q1∂2π e

∂q1.∂q2∂2πe

∂q2.∂q1∂2π e

∂q2]

Realizando la derivación sabiendo πe=( EA2l )e

. [q12+q22−2q 1q 2 ]

Ksr=( EAl )e [ 1 −1−1 1 ].

Deformacion

ϵx=∂u∂x

+ϵ 0=∂u∂ϵ

.∂ ϵ∂ x

+ϵ 0

Donde numéricamente

u=qrNr=(1−ϵ2 )q1+( 1+ϵ

2 )q 2

14

∂u∂ϵ

=12. [q2−q1 ]

Por lo tanto

ϵ e= 1

le. [q2−q1 ]

Entonces se sabe

σ = E * (ϵ−ϵ 0); pero ϵ 0=α∗∆T

Por último remplazando para un elemento finito:

σ¿( El ). [−1 1 ][q1q2]−E∗α∗∆T

9. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTES : (E, α, Y)

VECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

15

F=

[(AL)1 γ

2+R1−EαΔTA1

( AL)1γ2

+( AL)2 γ

2+EαΔTA1−EαΔTA2

(AL )2γ

2+( AL)3γ

2+EαΔTA2−EαΔTA 3+P

(AL)3 γ2

+(AL )4 γ

2+EαΔTA 3−EαΔTA 4

(AL)4γ2

+(AL)5 γ

2+EαΔTA 4−EαΔTA 5

( AL)5γ2

+( AL)6 γ

2+EαΔTA 5−EαΔTA6

(AL )6γ2

+( AL)7 γ

2+EαΔTA6−EαΔTA7

(AL )7 γ2

+EαΔTA 7

] ; K=

∑ Ksr=∑1

7

( EAl )e

[ 1 −1−1 1 ]

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

[AL1 γ

2AL2γ

2+ AL1γ

2AL3 γ

2+ AL2 γ

2+PA

AL3 γ2

]=

[−1 −EA1

L10 0

0EA2

L2+EA1

L1−

EA2

L20

0 −EA2

L2

EA3

L3+EA2

L2−

EA3

L3

0 0 − EA3

L3

EA3

L3

][R1

Q2

Q3

Q4]

IMPRESIÓN DE RESULTADOSR1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q5 , Q6 , Q7 , Q8

FIN

10. CONCLUSIONES

Se puede apreciar que las deformaciones están en orden de decimas de milímetro lo cual indica que hay una mayor deformación a lo largo del sujetador.

Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro sistema de referencia.

Se verifica la condición de equilibrio, lo cual da validez al método de solución escogido para nuestro problema.

16